Случайные блуждания в неупорядоченных системах с дальнодействием. Асимптотически точно решаемые модели

Исследован класс моделей случайных блужданий в неупорядоченных системах, которые описываются кинетическими уравнениями вида $\dot P=-{\mathcal A}\xi P$, где $- {\mathcal A}$ – генератор однородного в пространстве и времени процесса блужданий на правильной решетке, $\xi$ – диагональный оператор, $\xi _{xy}=\xi _x \delta _{xy}$, $\{\xi _x\}$ – независимые неотрицательные ограниченные одинаково распределенные случайные величины. Детально проанализирован случай, когда скорости переноса обусловлены взаимодействием мультипольного типа, а у величин $\xi _x$ достаточно много отрицательных моментов (модель изотропных случайных прыжков с дальнодействующим переносом). Развиты методы построения асимптотических разложений пропагатора при малых значениях параметра Лапласа и при больших временах. Разложение получено и при помощи функционального интеграла. Рассмотрена специфика выхода на длинновременную асимптотику, обусловленная как дальнодействием, так и неупорядоченностью среды. Намечен метод исследования систем с принудительным сносом вдоль определенного направления. Обсуждаются способы преобразования асимптотически точно решаемых задач и связи с другими известными системами и реалистическими моделями. Получена оценка $l_1$-нормы резольвенты марковского процесса со счетным множеством состояний и $l_1$-ограниченным генератором.