Векторные теоремы сложения и функции Бейкера–Ахиезера

Обсуждаются функциональные уравнения, естественно возникающие в различных проблемах современной математической физики. Введены понятия $N$-мерной теоремы сложения для функций скалярного аргумента и уравнения Коши ранга $N$ для функции $g$-мерного аргумента, обобщающие классическое функциональное уравнение Коши. Доказано, что при $N=2$ общее аналитическое решение этих уравнений задается функцией Бейкера–Ахиезера алгебраической кривой рода 2. Показано также, что $\theta$-функции дают решения уравнения Коши ранга $N$ для функций $g$-мерного аргумента, где $N\le 2^{g}$ в случае общего $g$-мерного абелева многообразия и $N\le g$ в случае якобиева многообразия алгебраической кривой рода $g$. Выдвинута гипотеза, что функциональное уравнение Коши ранга $g$ для функции $g$-мерного аргумента является характеристическим для $\theta$-функций якобиева многообразия алгебраической кривой рода $g$, т. е. решает проблему Римана–Шоттки.