Квантовые интегрируемые и неинтегрируемые модели, основанные на нелинейном уравнении Шредингера, для реализуемой конденсации Бозе–Эйнштейна в размерности $d+1$ $(d=1,2,3)$

Вычислены корреляторы $\langle T_\tau \hat{\psi}({\mathbf r}_1) \hat{\psi}^\dagger({\mathbf r}_2)\rangle$ в модели квантового нелинейного уравнения Шрёдингера (НШ) при конечной температуре для упорядоченных по тепловому времени $\tau$ бозе-полей $\hat{\psi}$, $\hat{\psi}^\dagger$ с хорошим приближением. Использовались новые методы функционального интегрирования в размерностях $d=1,2,3$ для потенциалов ловушки $V({\mathbf r})\not\equiv0$. Как и при наличии трансляционной инвариантности, коррелятор асимптотически убывает пропорционально $R^{-1}\equiv|{\mathbf r}_1-{\mathbf r}_2|^{-1}$ к значениям конденсата с большим дальнодействием, что находится в согласии с экспериментальными наблюдениями только в случае $d=3$; вообще говоря, имеются существенные поправки, определяемые присутствием ловушек и зависящие от ${\mathbf S}\equiv({\mathbf r}_1+{\mathbf r}_2)/2$. При $d=1$ воспроизведены точные трансляционно-инвариантные результаты при частотах ловушки $\Omega\rightarrow0$. В случае с притяжением изучается временная зависимость $c$-числового уравнения Гросса–Питаевского (ГП) с ловушечным потенциалом для обобщенной нелинейности вида $-2c\psi|\psi|^{2n}$ при $c<0$. При $n=1$ стационарная форма уравнения ГП возникает в приближении метода перевала в функциональных интегралах. Показано, что коллапс в смысле Захарова может иметь место, когда $c<0$, $nd\geqslant2$ и функционал $E_{\textup{НШ}}[\psi]\leqslant 0$, даже если $V({\mathbf r})\not\equiv0$. Сингулярности, как правило, возникают в виде $\delta$-функций с центром в середине ловушки ${\mathbf r}={\mathbf 0}$.