Преобразование Дарбу, факторизация, суперсимметрия в одномерной квантовой механике

Исходя из общей концепции операторов преобразования вводится понятие оператора преобразования Дарбу порядка $N$. Показано, что этот оператор всегда представим в виде произведения $N$ операторов преобразования Дарбу первого порядка. Исследована связь данного преобразования с методом факторизации. Введены операторы суперзаряда $N$-го порядка по производной. Установлено, что эти операторы совместно с супергамильтонианом образуют супералгебру $N$-го порядка. При $N=2$ получаем квадратичную супералгебру, которая аналогична квадратичным алгебрам Склянина. Установлена связь введенного преобразования с обратной задачей рассеяния в квантовой механике. Построен $N$-параметрический потенциал элементарного вида, имеющий $N$ наперед заданных уровней дискретного спектра. В заключение приведены примеры новых точно разрешимых потенциалов.