The $[n_1,n_2,\dots,n_s]$-th reduced KP hierarchy and $W_{1+\infty}$ constraints

С каждым распределением $n=n_1+n_2+\dots+n_s$ можно ассоциировать некоторую реализацию алгебр Ли $a_{\infty}$ и $\hat{gl}_n$ вершинными операторами. Используя эту конструкцию, мы получаем редукции $s$-компонентной иерархии КП, связанные с этими распределениями. Таким образом мы получаем матричные уравнения типа КдФ. Мы показываем, что следующие два ограничения на $\tau$-функцию эквивалентны – (1) $\tau$ является $\tau$-функцией $[n_1,n_2,\dots,n_s]$-й редуцированной иерархии КП, удовлетворяющей струнному уравнению, $L_{-1}\tau =0$, (2) $\tau$ удовлетворяет вакуумным условиям алгебры $W_{1+\infty}$.