Scattering on univalent graphs from $L$-function viewpoint

Изучается процесс рассеяния на многопетлевых бесконечных $p+1$-валентных графах. Эти графы являются дискретными пространствами постоянной отрицательной кривизны, будучи фактор-пространствами $p$-адической гиперболической плоскости по действию свободных дискретных подгрупп проективной группы $PGL(2, {\mathbf Q}_p)$. Они тождественны $p$-адическим многопетлевым поверхностям. Конечный подграф, содержащий все петли, называется редуцированным графом $T_{red}$, причем $L$-функция ассоциируется с этим конечным подграфом. Для бесконечного графа вводится понятие сферических функций. Они являются собственными функциями дискретного оператора Лапласа, действующего на графе. Для процессов рассеяния определяются $s$-матрица и амплитуды рассеяния $c_i$, налагающие ограничение $c_i=A_{ret}(u)/A_{adv}(u)=\hbox {const}$ на все вершины $u\in T_{supp}$. $A_{ret}$ и $A_{adv}$ – запаздывающая и опережающая ветви собственной функции и $T_{supp}$ – носитель центров рассеяния. Беря произведение по всем $c_i$, мы получаем детерминант матрицы рассеяния, который выражается как отношение двух $L$-функций: $C\sim L(\alpha _+)/L(\alpha _-)$. Здесь $L$-функция – функция Ихара–Сельберга, $\alpha _\pm =t/2p\pm \sqrt {t^2/4p^2-1/p}$, $t-p-1$ является собственным значением лапласиана. Мы представляем доказательство теоремы Хашимото–Басса, выражающей $L$-функцию $L(u)$ любого конечного графа через детерминант локального оператора $\Delta (u)$, действующего на этом графе. Предъявлены многочисленные примеры вычислений с $L$-функциями.