$q$-deformed Grassmann field and the two-dimensional Ising model

Конструируется точное представление статистической суммы модели Изинга в виде $SL_q(2,R)$-инвариантного функционального интеграла для теории решеточных свободных фермионов ($q=-1$). Показано, что $q$-фермионизация позволяет переписать статистическую сумму восьмивершинной модели во внешнем поле через функциональный интеграл с четырехфермионным взаимодействием. Чтобы сконструировать такие представления, мы определяем решеточное $(l,q,s)$-деформированное грассманово биспинорное поле и обобщаем на это поле правила интегрирования Березина. При $q=-1$, $l=s=1$ мы получаем решеточное $q$-фермионное поле, которое позволяет нам фермионизовать двумерную модель Изинга. Показано, что гауссов интеграл по $(q,s)$-грассмановым переменным выражается через $(q,s)$-деформированный пфаффиан, который равен квадратному корню из детерминанта некоторой матрицы при $q=\pm 1$, $s=\pm 1$.