Коммутативные свойства сингулярно возмущенных операторов

Пусть самосопряженный оператор $A$ в гильбертовом пространстве $\mathcal H$ коммутирует с ограниченным оператором $S$. Предположим, что другой самосопряженный оператор $\widetilde A$ является сингулярно возмущенным относительно $A$, т.е. он совпадает с $A$ на некотором плотном множестве в $\mathcal H$. Мы изучаем следующий вопрос: при каких условиях $\widetilde A$ также коммутирует с $S$? Кроме того, мы рассматриваем случаи, когда $S$ неограничен, а также когда $S$ заменен сингулярно возмущенным оператором $\widetilde S$. В качестве приложения рассмотрен оператор Лапласа в $L_2(\mathbf R^q)$, сингулярно возмущенный набором $\delta$-функций и коммутирующий с оператором симметризации в $\mathbf R^q$, $q=2,3$, или с регулярными представлениями произвольных изометрических преобразований в $\mathbf R^q$, $q\leqslant 3$.