Представление точных и квазиклассических собственных функций через когерентные состояния. Атом водорода в магнитном поле

Техника когерентных состояний применяется для получения глобальных формул для собственных функций и решений задачи Коши, в том числе через интегралы по путям. Изучается редукция когерентных состояний по группам симметрий на примере перехода от “бесселевых” состояний к “гипергеометрическим”. Собственные функции гамильтониана атома водорода в однородном магнитном поле представлены через бесселевы когерентные состояния. В случае малого поля после квантового усреднения гамильтониан выражается через образующие с квадратичными коммутационными соотношениями. Неприводимые представления этой квадратичной алгебры реализуются на гипергеометрических состояниях. Введены также деформированные гипергеометричекие состояния, служащие для этой квадратичной алгебры аналогом сжатых гауссовых пакетов алгебры Гейзенберга. С помощью таких состояний и их деусреднения вычислена асимптотика собственных функций по малому полю и по высокому главному квантовому числу. Найдены явные формулы для зеемановского расщепления спектра до четвертого порядка по полю, в том числе для нижних и верхних уровней в кластере, включая случаи “падения на центр”.