Об интегрируемости гиперболических систем типа уравнения Риккати

Рассматриваются уравнения вида $U_{xy}=U*U_x$. Здесь $U(x,y)$ – функция, принимающая значения в произвольной конечномерной алгебре $T$ над полем $\mathbb C$. Показано, что с каждым таким уравнением естественно связаны две характеристические алгебры Ли $L_x$ и $L_y$. Определено понятие $\mathbb Z$-градуированной алгебры Ли $\mathfrak G$, соответствующей уравнению. Доказано, что для каждого рассматриваемого уравнения соответствующую алгебру $\mathfrak G$ можно взять в виде прямой суммы векторных пространств $L_x$ и $L_y$, определив коммутаторы элементов из $L_x$ и $L_y$ при помощи соотношений нулевой кривизны. В предположении, что алгебра $T$ не имеет левосторонних идеалов, проведена классификация рассматриваемых уравнений с конечномерными характеристическими алгебрами Ли $L_x$ и $L_y$. Все эти уравнения интегрируемы по Дарбу.