Ли-алгебраический подход к гамильтониану Гельмана с использованием метода возмущений

Показано, что алгебраический подход в сочетании с методом возмущений можно применить для изучения собственных значений гамильтониана Гельмана. Важнейшим ключевым элементом анализа является вектор Рунге–Ленца, который вводится в задачах с радиальной симметрией. Эта симметрия влечет, что подходящей алгеброй Ли для этих гамильтонианов должна быть алгебра $so(4)$, являющаяся суммой двух алгебр Ли $so(3)$. Кроме того, из радиальной симметрии вытекает требование симметрии вектора углового момента $\vec{L}$, вектора Рунге–Ленца $\vec{M}$ и, следовательно, их векторного произведения $\vec{W}=\vec{L}\times\vec{M}$. Гамильтониан Гельмана представляет собой сумму кулоновского гамильтониана и потенциала Юкавы, который рассматривается как возмущение. С точки зрения алгебры Ли возмущение изменяет все три оператора $\vec{L}$, $\vec{M}$ и $\vec{W}$, добавляя к ним скорость прецессии $\Omega$. С топологической точки зрения появление этой прецессии существенным образом влияет на спектр и соответствующую алгебру Ли для потенциала Гельмана. С использованием алгебраических свойств вектора Рунге–Ленца и метода Колмогорова получен спектр энергий гамильтониана Гельмана.