| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Интегрирование модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза отрицательного порядка в классе периодических функций Г. У. Уразбоевab, А. Б. Яхшимуратовc, М. М. Хасановa a Ургенчский государственный университет им. Аль-Хорезми, Ургенч, Узбекистан b Хорезмское отделение Института математики им. В. И. Романовского Академии наук Узбекистана, Ургенч, Узбекистан c Ургенчский филиал Ташкентского университета информационных технологий им. Мухаммада аль-Хорезми, Ургенч, Узбекистан
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923110053 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеМодифицированное уравнение Кортевега–де Фриза (мКдФ), имеющее большое прикладное значение, является представителем класса вполне интегрируемых нелинейных уравнений в частных производных. Полная интегрируемость этого уравнения методом обратной задачи в классе быстроубывающих функций впервые была установлена в работе Вадати [1]. Исследованию уравнения мКдФ в классе конечнозонных функций посвящены работы [2], [3]. В работе [4] методом обратной задачи было проинтегрировано уравнение мКдФ с самосогласованным источником в классе периодических функций. Отметим, что уравнение мКдФ с самосогласованным источником в классе быстроубывающих функций было рассмотрено в работах [5], [6], а нелинейные уравнения с самосогласованными источниками в классе периодических функций в различных постановках изучены в работах [7]–[10]. Метод $(G'/G)$-разложения использован для интегрирования нагруженного уравнения мКдФ в работе [11]. Уравнение КдФ отрицательного порядка с самосогласованным источником в классе периодических функций изучено в работах [12], [13], а в работе [14] изучена отрицательно-четная иерархия мКдФ и ее солитонные решения. Смешанные положительные и отрицательные иерархии исследованы в работах [15], [16]. Иерархия уравнения мКдФ отрицательного порядка была исследована в работе [17] с помощью рекуррентных методов. В работе [18] исследованы бризерные решения уравнения мКдФ отрицательного порядка или
$$
\begin{equation*}
\rho_{xx} =q^2,\qquad q_{xt} +2q\rho_{xt} +\alpha q=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно видеть, что в результате замены $q$ на $iq$ и преобразования $\mu =\rho_x +\frac{\alpha}{2} t$ уравнение мКдФ отрицательного порядка принимает следующий более простой вид:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} q_{xt} =-2q\mu_t, \\ \mu_x =-q^2, \end{cases}\qquad t>0,\quad x\in \mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{1}
$$
В настоящей работе метод обратной спектральной задачи применяется к интегрированию уравнения мКдФ отрицательного порядка (1) в классе периодических функций. Рассмотрим уравнение мКдФ отрицательного порядка (1) при условиях
$$
\begin{equation}
q(x,t)|_{t=0} =q_0 (x),\qquad \mu (x,t)|_{x=0} =\mu_0 (t),\qquad [q_t (x,t)-\mu_t (x,t)]\big|_{x=0} =\beta (t),
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $q_0 (x)\in C^{3} (\mathbb{R})$, $\mu_0 (t)\in C^1 [0, \infty)$ и $\beta (t)\in C[0,\infty)$ – заданные действительные функции, $q_0 (x)$ имеет период $\pi $, а функция $\beta (t)$ ограничена. Требуется найти действительные периодические по переменной $x$ функции $q(x,t)$ и $\mu (x,t)$, причем
$$
\begin{equation*}
q(x+\pi,t)\equiv q(x,t),\qquad t\geqslant 0,\quad x\in \mathbb{R},
\end{equation*}
\notag
$$
и удовлетворяющие условиям гладкости
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, q(x,t)&\in C_x^1 (t>0)\cap C_t^1 (t>0)\cap C(t\geqslant 0), \\ \mu (x,t)&\in C_x^1 (t>0)\cap C_t^1 (t>0)\cap C(t\geqslant 0). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3}
$$
Систему (1) можно рассматривать как условие совместности
$$
\begin{equation*}
y_{xt} -y_{tx} \equiv \frac1{2\lambda } \begin{pmatrix} 0 & -(q_{xt} +2q\mu_t)+(\mu_{xt} +2qq_t) \\ -(q_{xt} +2q\mu_t)-(\mu_{xt} +2qq_t) & 0 \end{pmatrix}=O,
\end{equation*}
\notag
$$
где следующей системы уравнений: где
$$
\begin{equation*}
A=\begin{pmatrix} q & -\lambda \\ \lambda & -q \end{pmatrix},\qquad B=\frac1{2\lambda } \begin{pmatrix} 0 & q_t -\mu_t \\ q_t +\mu_t & 0 \end{pmatrix},\qquad y=\begin{pmatrix} y_1 (x,t) \\ y_2 (x,t) \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Первое из этих уравнений называется системой уравнений Дирака. Система уравнений Дирака допускает представление в следующем операторном виде:
$$
\begin{equation}
L(t)y\equiv J\frac{dy}{dx} +\Omega (x,t)y=\lambda y,\qquad x\in \mathbb{R},
\end{equation}
\tag{4}
$$
где
$$
\begin{equation*}
J=\begin{pmatrix} \hphantom{-}0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \qquad \Omega (x,t)=\begin{pmatrix} 0 & q(x,t) \\ q(x,t) & 0 \end{pmatrix} \qquad y=\begin{pmatrix} y_1 (x,t) \\ y_2 (x,t) \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Через $\lambda_n $, $n\in \mathbb{Z}$, мы обозначим собственные значения, пронумерованные в порядке возрастания, периодической ($y_1 (0)=y_1 (\pi)$, $y_2 (0)=y_2 (\pi)$) либо антипериодической ($y_1 (0)=-y_1 (\pi)$, $y_2 (0)=-y_2 (\pi)$) задачи для уравнения Дирака (4). Цель данной работы – разработать процедуру построения решения ($q(x,t)$, $\mu (x,t)$) задачи (1)–(3) в рамках обратной спектральной задачи для уравнения Дирака (4). 2. Необходимые сведения о прямой и обратной спектральных задачах для оператора Дирака с периодическим коэффициентомПриведем для полноты изложения некоторые основные сведения, касающиеся обратной спектральной задачи для оператора Дирака с периодическим коэффициентом (см. [19]–[24]). Рассмотрим систему уравнений Дирака на всей прямой
$$
\begin{equation}
Ly\equiv \begin{pmatrix} \hphantom{-}0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y'_1 \\ y'_2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & q(x) \\ q(x) & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix}=\lambda \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix},\qquad x\in \mathbb{R},
\end{equation}
\tag{5}
$$
где $q(x)$ – действительная непрерывная функция из класса $C^1 (\mathbb{R})$, имеющая период $\pi$, а $\lambda $ – комплексный параметр. Обозначим через $c(x,\lambda)=(c_1 (x,\lambda),c_2 (x,\lambda))^\mathrm{T}$ и $s(x,\lambda)=(s_1 (x,\lambda),s_2 (x,\lambda))^\mathrm{T}$ решения уравнения (5), удовлетворяющие начальным условиям $c(0,\lambda)=(1,\, 0)^\mathrm{T}$ и $s(0,\lambda)=(0,\, 1)^\mathrm{T}$. Функция $\Delta (\lambda)=c_1 (\pi,\lambda)+s_2 (\pi, \lambda)$ называется функцией Ляпунова или дискриминантом Хилла для оператора Дирака (5). Спектр оператора (5) состоит из следующего множества:
$$
\begin{equation*}
E=\{ \lambda \in \mathbb{R}:\; -2\leqslant \Delta (\lambda)\leqslant 2 \} =\mathbb{R}\backslash \biggl\{\bigcup_{n=-\infty}^{\infty}(\lambda_{2n-1},\lambda_{2n}) \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Интервалы $(\lambda_{2n-1}, \lambda_{2n})$, $n\in \mathbb{Z}$, называются лакунами. Корни уравнения $s_1 (\pi,\lambda)=0$ обозначим через $\xi_n$, $n\in \mathbb{Z}$. Числа $\xi_n $, $n\in \mathbb{Z}$, совпадают с собственными значениями задачи Дирихле $y_1 (0)=0$, $y_1 (\pi)=0$ для системы (5), и выполняются соотношения $\xi_n \in [\lambda_{2n-1},\lambda_{2n}]$, $n\in \mathbb{Z}$. Числа $\xi_n \in [\lambda_{2n-1},\lambda_{2n}]$, $n\in \mathbb{Z}$, и знаки $\sigma_n =\operatorname{sgn}\{s_2 (\pi,\xi_n)-c_1 (\pi,\xi_n)\}$, $n\in \mathbb{Z}$, называются спектральными параметрами задачи (5). Спектральные параметры $\xi_n$, $\sigma_n$, $n\in \mathbb{Z}$, и границы спектра $\lambda_n$, $n\in \mathbb{Z}$, называются спектральными данными задачи (5). Нахождение спектральных данных задачи (5) называется прямой задачей, а восстановление коэффициента $q(x)$ по спектральным данным называется обратной задачей. Если в задаче (5) вместо $q(x)$ рассмотреть $q(x+\tau)$, то спектр полученной задачи не будет зависеть от параметра $\tau$: $\lambda_n (\tau)\equiv \lambda_n$, $n\in \mathbb{Z}$, а спектральные параметры будут зависеть от параметра $\tau$: $\xi_n (\tau)$, $\sigma_n (\tau)$, $n\in \mathbb{Z}$. Эти спектральные параметры удовлетворяют аналогу системы уравнений Дубровина–Трубовица
$$
\begin{equation*}
\frac{d\xi_n}{d\tau} =2(-1)^{n-1} \sigma_n (\tau)h_n (\xi)\xi_n,\qquad n\in \mathbb{Z},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
h_n (\xi)=\sqrt{(\xi_n -\lambda_{2n-1})(\lambda_{2n} -\xi_n)} \, \sqrt{\prod_{k=-\infty,\, k\ne n} ^{\infty}\frac{(\lambda_{2k-1} -\xi_n)(\lambda_{2k} -\xi_n)}{(\xi_{k} -\xi_n)^2} }.
\end{equation*}
\notag
$$
Знак $\sigma_n (\tau)$ меняется на противоположный при каждом столкновении $\xi_n (\tau)$ с границами своей лакуны $[\lambda_{2n-1},\lambda_{2n}]$. Система уравнений Дубровина–Трубовица, а также формула первого следа
$$
\begin{equation*}
q(\tau)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{n-1} \sigma_n (\tau)h_n (\xi (\tau))
\end{equation*}
\notag
$$
дают метод решения обратной спектральной задачи. Без труда доказываются следующие леммы и теоремы. Лемма 1. Если вектор-функция $(y_1,\; y_2)^\mathrm{T}$ является решением системы (5), то выполняются следующие тождества: Лемма 2. Выполняются следующие равенства: Теорема 1. Если число $\lambda $ является собственным значением граничной задачи с условиями для системы уравнений (5) и ему соответствует собственная вектор-функция $\begin{pmatrix} y_1 (x) \\ y_2 (x) \end{pmatrix}$, то $(-\lambda)$ тоже является собственным значением этой задачи и ему соответствует собственная вектор-функция $\begin{pmatrix} \hphantom{-}y_1 (x) \\ -y_2 (x) \end{pmatrix}$. Замечание 1. Эта теорема верна и при других граничных условиях, например при граничных условиях Неймана $y_2 (0)=0$, $y_2 (\pi)=0$, при периодических граничных условиях $y_1 (0)=y_1 (\pi)$, $y_2 (0)=y_2 (\pi)$, при антипериодических граничных условиях $y_1 (0)=-y_1 (\pi)$, $y_2 (0)=-y_2 (\pi)$. Нетрудно видеть, что $\begin{pmatrix} \hphantom{-}c_1 (x,-\lambda) \\ -c_2 (x,-\lambda) \end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix} -s_1 (x,-\lambda) \\ \hphantom{-}s_2 (x,-\lambda) \end{pmatrix}$ также являются решениями уравнения (5). Так как $\begin{pmatrix} \hphantom{-}c_1 (0,-\lambda)\\ -c_2 (0,-\lambda) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix} -s_1 (0,-\lambda) \\ \hphantom{-}s_2 (0,-\lambda) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, из теоремы единственности решения задачи Коши получим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \hphantom{-}c_1 (x,-\lambda) \\ -c_2 (x,-\lambda) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} c_1 (x,\lambda) \\ c_2 (x,\lambda) \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} -s_1 (x,-\lambda) \\ \hphantom{-}s_2 (x,-\lambda) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} s_1 (x,\lambda) \\ s_2 (x,\lambda) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
в частности $\Delta (-\lambda)=c_1 (\pi,-\lambda)+s_2 (\pi,-\lambda)=c_1 (\pi,\lambda)+s_2 (\pi,\lambda)=\Delta (\lambda)$. Замечание 2. Собственные значения $\xi_n $, $n\in \mathbb{Z}$, задачи (5), (8) расположены симметрично относительно нуля, мы можем их нумеровать следующим образом: $\xi_{-n} =-\xi_n $, $n\geqslant 0$. При этом $\xi_0 =0$ всегда является собственным значением и ему соответствует собственная вектор-функция $\begin{pmatrix} 0 \\ \exp \left\{ -\int_0^{x}q(t)\,dt\right \} \end{pmatrix}$. Кроме того, выполняется следующее равенство: Теорема 2. Если в уравнении (5) коэффициент $q(x)$ является действительной непрерывно дифференцируемой функцией, то компоненты решения $\begin{pmatrix} y_1 (x) \\ y_2 (x) \end{pmatrix}$ этого уравнения удовлетворяют следующим уравнениям: Следствие 1. Если $\begin{pmatrix} y_{n,1} (x) \\ y_{n,2} (x) \end{pmatrix}$ – собственная вектор-функция задачи (5), (8), соответствующая собственному значению $\xi_n$, и $\xi_n \ne 0$, то $y_{n,1} (x)$ является собственной функцией следующей граничной задачи: соответствующей собственному значению $\xi_n^2 $. Здесь $\nu$ – спектральный параметр. 3. Эволюция спектральных параметровОсновной результат настоящей работы заключается в следующей теореме. Теорема 3. Пусть ($q(x,t),\mu (x,t)$) – решение задачи (1)–(3). Тогда спектр оператора (4) не зависит от параметра $t$, а спектральные параметры $\xi_n =\xi_n (t)$, $n\in \mathbb{Z}\backslash \{ 0\}$, удовлетворяют аналогу системы уравнений Дубровина–Трубовица: Знаки $\sigma_n (t)=\pm 1$ меняются при каждом столкновении точки $\xi_n (t)$ с границами своей лакуны $[\lambda_{2n-1},\lambda_{2n}]$. Кроме того, выполняются следующие начальные условия: где $\xi_n^0$, $\sigma_n^0$, $n\in \mathbb{Z}\backslash \{ 0\}$, – спектральные параметры оператора Дирака с коэффициентом $q_0 (x)$. Доказательство. Обозначим через $\xi_n (t)$, $n\in \mathbb{Z}$, собственные значения задачи Дирихле с граничными условиями (8) для уравнения (4). Пусть $y_n (x,t)=(y_{n,1} (x,t),\, y_{n,2} (x,t))^\mathrm{T}$, $n\in \mathbb{Z}$, – ортонормированные собственные вектор-функции задачи Дирихле (4), (8), соответствующие собственным значениям $\xi_n (t)$, $n\in \mathbb{Z}$. Не ограничивая общности, можно считать собственные вектор-функции $y_n (x,t)$, $n\in \mathbb{Z}$, действительнозначными. Дифференцируя по $t$ равенство $\xi_n (t)=(L(t)y_n,y_n)$ и пользуясь симметричностью оператора $L(t)$, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \dot{\xi }_n (t)&=(\dot{\Omega }(x,t)y_n +L(t)\dot{y}_n,y_n)+(L(t)y_n,\dot{y}_n)={} \notag \\ &=(\dot{\Omega }(x,t)y_n,y_n)+(\dot{y}_n,L(t)y_n)+(L(t)y_n,\dot{y}_n)={} \notag \\ &=(\dot{\Omega }(x,t)y_n,y_n)+\xi_n (t)\frac{\partial(y_n,y_n)}{\partial t}=(\dot{\Omega }(x,t)y_n,y_n). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{11}
$$
Используя явный вид скалярного произведения
$$
\begin{equation*}
(y,z)=\int_0^{\pi }[y_1 (x)\bar{z}_1 (x)+y_2 (x)\bar{z}_2 (x)]\, dx,\qquad y=\begin{pmatrix} y_1 (x) \\ y_2 (x) \end{pmatrix},\quad z=\begin{pmatrix} z_1 (x) \\ z_2 (x) \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
равенство (11) перепишем в виде
$$
\begin{equation}
\dot{\xi }_n (t)=2\int_0^{\pi }y_{n,1} y_{n,2} q_t\, dx .
\end{equation}
\tag{12}
$$
Используя формулу (6), получим равенство
$$
\begin{equation}
\dot{\xi }_n =\frac1{2\xi_n } \int_0^{\pi }(y_{n,2}^2 -y_{n,1}^2)'q_t\, dx +\frac1{\xi_n } \int_0^{\pi }(y_{n,2}^2 +y_{n,1}^2)qq_t\, dx,\qquad n\in \mathbb{Z}\backslash \{ 0\},
\end{equation}
\tag{13}
$$
которое можно переписать в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \dot{\xi }_n ={}&\frac1{2\xi_n } [y_{n,2}^2 (\pi,t)-y_{n,2}^2 (0,t)]q_t (0,t)-{} \\ &-\frac1{2\xi_n } \int_0^{\pi }(y_{n,2}^2 -y_{n,1}^2)q_{xt}\, dx +\frac1{\xi_n } \int_0^{\pi }(y_{n,2}^2 +y_{n,1}^2)qq_t\, dx. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из системы уравнений (1) имеем Следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \dot{\xi }_n ={}&\frac1{2\xi_n } [y_{n,2}^2 (\pi,t)-y_{n,2}^2 (0,t)]q_t (0,t)+{} \notag \\ &+\frac1{\xi_n } \int_0^{\pi }(y_{n,2}^2 -y_{n,1}^2)q\mu_t\, dx -\frac1{2\xi_n } \int_0^{\pi }(y_{n,2}^2 +y_{n,1}^2)\mu_{xt}\, dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Интегрируем по частям последний интеграл:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, I_1 &=-\frac1{2\xi_n } \int_0^{\pi }(y_{n,2}^2 +y_{n,1}^2)\mu_{xt}\, dx ={} \notag \\ &=-\frac1{2\xi_n } [y_{n,2}^2 (\pi,t)-y_{n,2}^2 (0,t)]\mu_t (0,t)+\frac1{2\xi_n } \int_0^{\pi }(y_{n,2}^2 +y_{n,1}^2)'\mu_t\, dx . \end{aligned}
\end{equation}
\tag{16}
$$
На основании (7) равенство (16) принимает вид
$$
\begin{equation}
I_1 =-\frac1{2\xi_n } [y_{n,2}^2 (\pi,t)-y_{n,2}^2 (0,t)]\mu_t (0,t)-\frac1{\xi_n } \int_0^{\pi }(y_{n,2}^2 -y_{n,1}^2)q\mu_t\, dx .
\end{equation}
\tag{17}
$$
Из (15) и (17) выводим, что
$$
\begin{equation}
\dot{\xi }_n (t)=\frac1{2\xi_n } [y_{n,2}^2 (\pi,t)-y_{n,2}^2 (0,t)]\{q_t (0,t)-\mu_t (0,t)\},\qquad n\in \mathbb{Z}\backslash \{ 0\}.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Обозначим через $s(x,\lambda,t)=(s_1 (x,\lambda,t)$, $s_2 (x,\lambda,t))^\mathrm{T}$ решение уравнения (4), удовлетворяющее начальным условиям $s(0,\lambda,t)=(0,\, 1)^\mathrm{T}$. Из равенства
$$
\begin{equation*}
\int_0^{\pi }[s_1^2 (x,\lambda,t)+s_2^2 (x,\lambda,t)]\,dx =s_1 (\pi,\lambda,t)\frac{\partial s_2 (\pi,\lambda,t)}{\partial \lambda} -s_2 (\pi,\lambda,t)\frac{\partial s_1 (\pi,\lambda,t)}{\partial \lambda}
\end{equation*}
\notag
$$
находим формулу для нормы собственной вектор-функции $s(x,\xi_n (t),t)$ задачи Дирихле (4), (8), соответствующей собственному значению $\xi_n (t)$:
$$
\begin{equation}
c_n^2 (t)=\int_0^{\pi }[s_1^2 (x,\xi_n (t),t)+s_2^2 (x,\xi_n (t),t)]\,dx =-\frac{\partial s_1 (\pi,\xi_n (t),t)}{\partial \lambda} s_2 (\pi,\xi_n (t),t).
\end{equation}
\tag{19}
$$
Используя равенство и (19), имеем
$$
\begin{equation}
y_{n,2}^2 (\pi,t)-y_{n,2}^2 (0,t)=\frac{s_2^2 (\pi,\xi_n (t),t)-1}{c_n^2 (t)} =-\frac{s_2 (\pi,\xi_n (t),t)-(s_2 (\pi,\xi_n (t),t))^{-1}}{\partial s_1 (\pi,\xi_n (t),t)/\partial \lambda}.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Подставляя значения $x=\pi $ и $\lambda =\xi_n (t)$ в тождество
$$
\begin{equation*}
c_1 (x,\lambda,t)s_2 (x,\lambda,t)-c_2 (x,\lambda,t)s_1 (x,\lambda,t)=1,
\end{equation*}
\notag
$$
находим
$$
\begin{equation}
c_1 (\pi,\xi_n (t),t)=\frac1{s_2 (\pi,\xi_n (t),t)} .
\end{equation}
\tag{21}
$$
Учитывая равенство (21) и тождество
$$
\begin{equation*}
[c_1 (\pi,\lambda,t)-s_2 (\pi,\lambda,t)]^2 =(\Delta ^2 (\lambda)-4)-4c_2 (\pi,\lambda,t)s_1 (\pi,\lambda,t),
\end{equation*}
\notag
$$
получим
$$
\begin{equation}
s_2 (\pi,\xi_n (t),t)-\frac1{s_2 (\pi,\xi_n (t),t)} =\sigma_n (t)\sqrt{\Delta ^2 (\xi_n (t))-4},
\end{equation}
\tag{22}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Delta (\lambda)=c_1 (\pi,\lambda,t)+s_2 (\pi,\lambda,t),\qquad \sigma_n (t)=\operatorname{sgn}\{s_2 (\pi,\xi_n (t),t)-c_1 (\pi,\xi_n (t),t)\}.
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
y_{n,2}^2 (\pi,t)-y_{n,2}^2 (0,t)=-\frac{\sigma_n (t)\sqrt{\Delta ^2 (\xi_n (t))-4} }{\partial s_1 (\pi,\xi_n (t),t)/\partial \lambda}.
\end{equation}
\tag{23}
$$
Используя разложения
$$
\begin{equation*}
\Delta^2 (\lambda)-4=-4\pi^2 \prod_{k=-\infty }^{\infty }\frac{(\lambda -\lambda_{2k-1})(\lambda -\lambda_{2k})}{a_{k}^2},\qquad s_1 (\pi,\lambda,t)=\pi \prod_{k=-\infty }^{\infty }\frac{\xi_{k} -\lambda }{a_{k}},
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_0 =1$ и $a_{k} =k$ при $k\ne 0$, равенство (23) можно переписать в следующем виде:
$$
\begin{equation}
y_{n,2}^2 (\pi,t)-y_{n,2}^2 (0,t)=2(-1)^{n} \sigma_n (t)h_n (\xi).
\end{equation}
\tag{24}
$$
При этом мы воспользовались равенством
$$
\begin{equation*}
\operatorname{sgn}\biggl\{-\frac{\pi }{a_n} \prod_{k=-\infty,\; k\ne n}^{\infty }\frac{\xi_{k} -\xi_n }{a_{k} } \biggr\}=(-1)^{n-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя выражение (24) в тождество (18), получаем (9). Если заменить граничные условия Дирихле периодическими ($y(\pi)=y(0)$) или антипериодическими ($y(\pi)=-y(0)$) граничными условиями, то вместо уравнения (18) получим $\dot{\lambda }_n =0$. Значит, собственные значения $\lambda_n $, $n\in \mathbb{Z}$, периодической и антипериодической задач не зависят от параметра $t$. Теорема доказана. Следствие 2. Рассмотрим $q(x+\tau,t)$ вместо $q(x,t)$, тогда собственные значения периодической и антипериодической задач не зависят от параметров $\tau, t$, а собственные значения $\xi_n$ задачи Дирихле и знаки $\sigma_n$ зависят от $\tau, t$: $\xi_n =\xi_n (\tau,t)$, $\sigma_n =\sigma_n (\tau,t)=\pm 1$, $n\in \mathbb{Z}$. В этом случае система (9) принимает вид Следствие 3. Эта теорема дает метод решения задачи (1)–(3). Для этого сначала найдем спектральные данные $\lambda_n$, $\xi_n^0 (\tau)$, $\sigma_n^0 (\tau)$, $n\in \mathbb{Z}$, соответствующие коэффициенту $q_0 (x+\tau)$. Далее решаем задачу Коши Следствие 4. В работе [21] доказана следующая теорема: для экспоненциального убывания длин лакун оператора Дирака с $\pi$-периодическими действительными коэффициентами необходимо и достаточно, чтобы эти коэффициенты были аналитичны. Отсюда выводим, что если начальная функция $q_0 (x)$ является действительной аналитической функцией, то длины лакун оператора Дирака, соответствующие этому коэффициенту, убывают экспоненциально. Коэффициенту $q(x,t)$ соответствуют те же лакуны, значит, решение $q(x,t)$ – является действительной аналитической функцией по переменной $x$. Следствие 5. Согласно результатам работы [22], для того чтобы число $\pi /2$ являлось периодом коэффициентов системы уравнений Дирака, необходима и достаточна двукратность всех корней уравнения $\Delta (\lambda)+2=0$. Отсюда выводим, что если число $\pi/2$ является периодом для начальной функции $q_0 (x)$, то все корни уравнения $\Delta (\lambda)+2=0$ являются двукратными. Так как функция Ляпунова, соответствующая коэффициенту $q(x,t)$, совпадает с $\Delta (\lambda)$, то число $\pi/2$ является также периодом и для решения $q(x,t)$ по переменной $x$. Следствие 6. Если число $\pi/2$ является антипериодом для начальной функции $q_0 (x)$, то все корни уравнения $\Delta (\lambda)-2=0$ являются двукратными. Так как функция Ляпунова, соответствующая коэффициенту $q(x,t)$, совпадает с $\Delta (\lambda)$, заключаем (см. [24]), что число $\pi/2$ является также антипериодом для решения $q(x,t)$ по переменной $x$. Покажем, что пара функций $q(x,t)$, $\mu (x,t)$, построенная с помощью системы уравнений Дубровина–Трубовица (25), (29) и формулы следа (26), а также формулы (28), удовлетворяет системе уравнений (1). При этом мы также будем использовать формулу второго следа
$$
\begin{equation}
q^2 (\tau,t)+q_{\tau } (\tau,t)=\sum_{k=-\infty }^{\infty }\biggl(\frac{\lambda_{2k-1}^2 +\lambda_{2k}^2 }{2} -\xi_{k}^2 (\tau,t)\biggr) .
\end{equation}
\tag{30}
$$
Дифференцируя формулу (30) по $t$, имеем
$$
\begin{equation}
2qq_t (\tau,t)+q_{\tau t} (\tau,t)=-2\sum_{k=-\infty }^{\infty }\xi_{k} (\tau,t)\frac{\partial \xi_{k} (\tau,t)}{\partial t}.
\end{equation}
\tag{31}
$$
Далее, учитывая систему уравнений Дубровина–Трубовица (25), из (31) получим
$$
\begin{equation}
2qq_t (\tau,t)+q_{\tau t} (\tau,t)=2(q_t (\tau,t)-\mu_t (\tau,t))\sum_{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k-1} \sigma_{k} (\tau,t)h_{k} (\xi).
\end{equation}
\tag{32}
$$
Тогда из (26) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 2qq_t (\tau,t)+q_{\tau t} (\tau,t)&=2q(q_t (\tau,t)-\mu_t (\tau,t)),\\ q_{\tau t} (\tau,t)&=-2q\mu_t (\tau,t). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Дифференцируя формулу (28) по $\tau $, находим $\mu_{\tau } =-q^2 $. Перепишем систему Дубровина–Трубовица в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial \xi_n }{\partial t} =2(-1)^{n} \sigma_n (\tau,t)\sqrt{(\xi_n -\lambda_{2n-1})(\lambda_{2n} -\xi_n)} f_n (\xi)g_n (\xi),\qquad n\in \mathbb{Z}\backslash \{ 0\},
\end{equation}
\tag{33}
$$
где
$$
\begin{equation*}
f_n (\xi)=\sqrt{\prod_{k=-\infty,\, k\ne n}^{\infty }\frac{(\lambda_{2k-1} -\xi_n)(\lambda_{2k} -\xi_n)}{(\xi_n -\xi_{k})^2}},\qquad g_n (\xi)=\frac{\beta (t)}{2\xi_n } \exp \biggl\{2\int_0^{x}q(\tau,t)\,d\tau \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что если в формуле (23) работы [25] положить $a(t)=0$, $C(t)=0$, $b(t)=2\beta (t)$, то система уравнений Дубровина–Трубовица (22) из работы [25] совпадает с нашей системой (33). В этом случае оценки (27) из [25] принимают вид
$$
\begin{equation*}
|g_n (\xi)|\leqslant \frac{C_{4} }{|n|},\qquad \biggl|\frac{\partial g_n (\xi)}{\partial \xi_{m}} \biggr|\leqslant C_{5} \frac{\gamma_{m}}{n},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\gamma_n \equiv \lambda_{2n} -\lambda_{2n-1}$. Поэтому в случае $q_0 (x)\in C^{3} (\mathbb{R})$, как и в работе [25], нетрудно доказать разрешимость задачи (33), (29), т. е. решение задачи Коши (33), (29) для всех $t>0$ существует и единственно. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{UraYakKha23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|