| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Скалярные произведения векторов Бете в обобщенном алгебраическом анзаце Бете Г. В. Кулкарниa, Н. А. Славновb a Université de Lyon, ENS de Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1, CNRS, Laboratoire de Physique, Lyon, France b Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923100100 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВычисление скалярных произведений c помощью алгебраического анзаца Бете [1]–[3] является важной задачей. Наличие простых и компактных формул для скалярных произведений векторов Бете позволяет изучать формфакторы и корреляционные функции квантовых интегрируемых моделей. Несколько интересных результатов в этом направлении было получено в моделях с рациональными и тригонометрическими $R$-матрицами [4]–[15]. Для изучения полностью анизотропной цепочки Гейзенберга $XYZ$ [16] используется обобщенный алгебраический анзац Бете [2]. Причина в том, что цепочка $XYZ$ имеет $R$-матрицу восьмивершинной модели [17]–[20]. В результате соответствующая матрица монодромии не имеет вакуумного вектора, необходимого для построения собственных векторов трансфер-матрицы в рамках традиционного алгебраического анзаца Бете. Обобщенный алгебраический анзац Бете позволяет построить собственные векторы трансфер-матрицы, а также получить уравнения Бете, определяющие спектр гамильтониана. В то же время проблема изучения скалярных произведений обобщенных векторов Бете становится чрезвычайно сложной технически и до недавнего времени практически не исследовалась. Прогресс был достигнут после разработки нового метода, основанного на сведении скалярных произведений к системе линейных уравнений [21]. Для обобщенного алгебраического анзаца Бете этот метод позволил получить компактные детерминантные представления для скалярных произведений собственных векторов трансфер-матрицы (on-shell векторов Бете) и произвольных (off-shell) векторов Бете, зависящих от одного и того же числа параметров [22]. В настоящей статье мы называем такие скалярные произведения сбалансированными. Однако дальнейшие исследования в этом направлении показали, что таких скалярных произведений недостаточно для вычисления формфакторов локальных спиновых операторов. Последние можно свести к формфакторам матричных элементов матрицы монодромии с помощью квантовой обратной задачи [23]–[25]. В свою очередь, действия элементов матрицы монодромии на исходный on-shell вектор Бете порождают линейные комбинации off-shell векторов Бете, в которых число параметров может отличаться от исходного на единицу [26]. В результате возникают скалярные произведения, в которых количество параметров в левом и правом векторах не совпадает. Данная статья посвящена вычислению таких несбалансированных скалярных произведений. Мы пользуемся методом сведения скалярных произведений к системе линейных уравнений. В принципе, этот метод позволяет получить результат для цепочки $XYZ$ при общих значениях констант связи. Однако при этом мы сталкиваемся с техническими трудностями, которые до сих пор не преодолены. Поэтому в данной работе мы рассматриваем частный случай цепочки $XYZ$, в котором она эквивалентна свободным фермионам (цепочка $XY$) [27]–[35]. Мы надеемся обобщить полученные результаты в будущем. Статья организована следующим образом. В разделе 2 мы даем краткое описание обобщенного алгебраического анзаца Бете, определяем калибровочное преобразование матрицы монодромии и строим векторы Бете, а также скалярные произведения векторов Бете. В разделе 3 мы выводим каскадную систему уравнений, которая связывает скалярные произведения с различными дисбалансами. В разделе 4 мы рассматриваем скалярные произведения с дисбалансом $\pm2$ (т. е. число параметров в левом и правом векторах отличается на $\pm 2$). Мы доказываем, что такие скалярные произведения равны нулю. В разделе 5 это наблюдение позволяет нам выразить скалярные произведения с дисбалансом $\pm 1$ через сбалансированные скалярные произведения. В конце статьи мы собрали базовую информацию о тета-функциях Якоби в приложении А. В приложении Б обсуждаются нетривиальные решения специальных однородных систем. Наконец, в приложении В мы описываем метод контурного интеграла, позволяющий вычислять некоторые суммы, содержащие тета-функции. 2. Обобщенный алгебраический анзац Бете для модели $XYZ$В этом разделе мы приводим основную информацию об описании модели $XYZ$ с помощью обобщенного алгебраического анзаца Бете. Более подробно с этим методом читатель может ознакомиться в работах [2], [22]. 2.1. $R$-матрица и матрица монодромииСпиновая цепочка $XYZ$ эквивалентна восьмивершинной модели. Соответствующая восьмивершинная $R$-матрица имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
R(u)=\begin{pmatrix} \ \mathsf a(u) & 0 & 0 & \mathsf d(u) \\ 0 & \mathsf b(u) & \mathsf c(u) & 0 \\ 0 & \mathsf c(u) & \mathsf b(u) & 0 \\ \mathsf d(u) & 0 & 0 & \mathsf a(u) \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathsf a(u)&=\frac{2\theta_4(\eta |2\tau)\theta_1(u+\eta |2\tau)\theta_4(u|2\tau)}{\theta_2(0|\tau)\theta_4(0|2\tau)}, \\ \mathsf b(u)&=\frac{2\theta_4(\eta |2\tau)\theta_4(u+\eta |2\tau)\theta_1(u|2\tau)}{\theta_2(0|\tau)\theta_4(0|2\tau)}, \\ \mathsf c(u)&=\frac{2\theta_1(\eta |2\tau)\theta_4(u+\eta |2\tau)\theta_4(u|2\tau)}{\theta_2(0|\tau)\theta_4(0|2\tau)}, \\ \mathsf d(u)&=\frac{2\theta_1(\eta |2\tau)\theta_1(u+\eta |2\tau)\theta_1(u|2\tau)}{\theta_2(0|\tau)\, \theta_4(0|2\tau)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Определение тета-функций Якоби дано в приложении А. Чтобы определить матрицу монодромии, сначала введем квантовое гильбертово пространство $\mathcal H$ и вспомогательное пространство $\mathcal H_0$. Первое из них является тензорным произведением локальных квантовых пространств, $\mathcal H=\mathcal H_1\otimes\mathcal H_2\otimes\cdots\otimes\mathcal H_N$. В свою очередь, $\mathcal H_0\cong\mathbb{C}^2$ и $\mathcal H_k\cong\mathbb{C}^2$ для каждого $k$. Тогда матрица монодромии цепочки $XYZ$ длины $N$ определяется как произведение $R$-матриц, действующих в $\mathcal H_0\otimes\mathcal H_k$:
$$
\begin{equation}
\mathcal T(u)=R_{01}(u-\xi_1)R_{02}(u-\xi_2)\ldots R_{0N}(u-\xi_N),
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где комплексные параметры $\xi_k$ называются неоднородностями. В дальнейшем мы будем рассматривать только цепочки с четным числом узлов $N$. Матрица монодромии (2.3) удовлетворяет $RTT$-соотношению
$$
\begin{equation}
R_{12}(u-v)\mathcal T_1(u)\mathcal T_2(v)=\mathcal T_2(v)\mathcal T_1(u)R_{12}(u-v),
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
которое выполняется в тензорном произведении $\mathbb{C}^2\otimes\mathbb{C}^2\otimes\mathcal H$. Нижние индексы в (2.4) показывают, в каком из двух вспомогательных пространств $\mathbb{C}^2$ матрица монодромии $\mathcal T_k$ действует нетривиально. Если записать матрицу монодромии в виде матрицы размера $2\times2$ во вспомогательном пространстве $\mathcal H_0$ как
$$
\begin{equation}
\mathcal T(u)=\begin{pmatrix} A(u) & B(u) \\ C(u) & D(u) \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
то (2.4) задает коммутационные соотношения между операторами $A(u)$, $B(u)$, $C(u)$ и $D(u)$, действующими в $\mathcal H$. Гамильтониан $H$ цепочки $XYZ$ можно получить из трансфер-матрицы $\mathsf T(u)$. Последняя равна следу матрицы монодромии по вспомогательному пространству,
$$
\begin{equation}
\mathsf T(u)={ \operatorname{tr} }_0 \mathcal T(u)=A(u)+D(u).
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Она является производящей функцией интегралов движения. В частности, определим $H$ как
$$
\begin{equation}
H=\frac{2\theta_1(\eta |\tau)}{\theta_1'(0|\tau)}\frac{d}{du}\ln\mathsf T(u)\big|_{u=0}- \frac{\theta_1'(\eta|\tau)}{\theta'_1(0|\tau)}N\mathbf{1},
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
где $\mathbf{1}$ – единичный оператор. Тогда в однородном пределе $\xi_k=0$, $k=1,\ldots,N$, получим
$$
\begin{equation}
H=\sum_{j=1}^{N}(J_x^{}\sigma^x_j\sigma^x_{j+1}+J_y^{}\sigma^y_j\sigma^y_{j+1}+J_z^{}\sigma^z_j\sigma^z_{j+1}),\qquad \sigma^{x,y,z}_{N+1}=\sigma^{x,y,z}_1,
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
где спиновые операторы $\sigma^{x,y,z}_k$ – это матрицы Паули, нетривиально действующие в $\mathcal H_k$. Числовые коэффициенты $J_{x,y,z}$ задаются формулами
$$
\begin{equation*}
J_x=\frac{\theta_4(\eta|\tau)}{\theta_4(0|\tau)},\qquad J_y=\frac{\theta_3(\eta|\tau)}{\theta_3(0|\tau)},\qquad J_z=\frac{\theta_2(\eta|\tau)}{\theta_2(0|\tau)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Они играют роль сил взаимодействия вдоль осей $x$, $y$ и $z$. Хотя для построения гамильтониана цепочки $XYZ$ необходим только однородный случай, в дальнейшем мы будем рассматривать более общий случай неоднородной модели (2.3) с произвольными комплексными неоднородностями $\xi_k$. Подчеркнем, однако, что мы делаем это исключительно из соображений общности. Во всех приведенных ниже формулах однородный предел тривиален. В наших вычислениях мы в основном сосредоточимся на случае $\eta=1/2$, что соответствует $J_z=0$, но многие из приведенных ниже формул остаются справедливыми для более общего случая рационального $\eta$. 2.2. Калибровочно-преобразованная матрица монодромии и вакуумные векторыВ моделях с шестивершинной $R$-матрицей собственные векторы трансфер-матрицы (on-shell векторы Бете) строятся путем применения операторов рождения к вакуумному вектору. В модели $XYZ$ такого вектора нет. Поэтому для построения векторов Бете в рамках обобщенного алгебраического анзаца Бете необходимо сначала ввести обобщенные калибровочно-преобразованные матрицы монодромии [2], [22]. Пусть
$$
\begin{equation}
\mathcal T_{k,l}(u)=M^{-1}_k(u) \mathcal T(u)M_l(u)= \begin{pmatrix} A_{k,l}(u) & B_{k,l}(u) \\ C_{k,l}(u) & D_{k,l}(u) \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Здесь
$$
\begin{equation}
M_k(u)=\begin{pmatrix} \theta_1(s_{k} +u|2\tau) & \gamma_k\theta_1(t_{k} -u|2\tau) \\ \theta_4(s_{k} +u|2\tau) & \gamma_k\theta_4(t_{k} -u|2\tau) \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
где $s_k=s+k\eta$, $t_k=t+k\eta$, комплексные параметры $s,t\in\mathbb{C}$ произвольны и
$$
\begin{equation}
\gamma_k=\frac2{\theta_2(x_k|\tau)\theta_2(0|\tau)},\qquad x_k=x+k\eta,\quad x=\frac{s+t}{2}.
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Легко проверить, что
$$
\begin{equation}
\det M_k(u)= \frac{2\theta_1(y+u|\tau)}{\theta_2(0|\tau)},\quad\text{где}\quad y=\frac{s-t}{2}.
\end{equation}
\tag{2.12}
$$
Для калибровочно-преобразованных матриц монодромии существует вектор, который по своим свойствам аналогичен вакуумному вектору в традиционном алгебраическом анзаце Бете. Введем семейство локальных вакуумных векторов $|\omega_k^l\rangle$, параметризованных целым числом $l$:
$$
\begin{equation}
|\omega_k^l\rangle=\binom{\theta_1(s_{k+l-1}+\xi_k|2\tau)}{\theta_4(s_{k+l-1}+\xi_k|2\tau)}\in\mathcal H_k.
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Тогда глобальный вакуумный вектор определяется как
$$
\begin{equation}
|\Omega ^l\rangle=|\omega_1^l\rangle\otimes|\omega_2^l\rangle\otimes\cdots\otimes|\omega_N^l\rangle\in\mathcal H.
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Можно проверить, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, C_{l,l+N}(u)|\Omega^l\rangle&=0, \\ A_{l,l+N}(u)|\Omega^l\rangle&=a(u)|\Omega^{l+1}\rangle, \\ D_{l,l+N}(u)|\Omega^l\rangle&=d(u)|\Omega^{l-1}\rangle, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
где
$$
\begin{equation}
a(u)=\prod_{k=1}^N\theta_1(u-\xi_k+\eta|\tau),\qquad d(u)=\prod_{k=1}^N\theta_1(u-\xi_k|\tau).
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Точно так же мы можем определить дуальные (левые) локальные вакуумные векторы
$$
\begin{equation}
\langle\bar\omega_k^l|=\bigl(-\theta_4^{}(t_{k+l}-\xi_k^{}|2\tau);\;\theta_1^{}(t_{k+l}^{}-\xi_k^{}|2\tau)\bigr)\in\mathcal H^*_k.
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
Глобальные дуальные (левые) вакуумные векторы определяются как тензорные произведения локальных:
$$
\begin{equation}
\langle \kern0.2pt\overline{\vphantom{\Omega}\kern6.6pt}\kern-6.8pt\Omega ^{\kern1pt l}|=\langle\bar\omega_1^l|\otimes\langle\bar\omega_2^l|\otimes\cdots\otimes\langle\bar\omega_N^l|\in\mathcal H^*.
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Действия операторов $A_{l,l+N}(u)$, $D_{l,l+N}(u)$, $B_{l,l+N}(u)$ на левый вакуум даются формулами
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \langle \kern0.2pt\overline{\vphantom{\Omega}\kern6.6pt}\kern-6.8pt\Omega ^{\kern1pt l}|B_{l,l+N}(u)&=0, \\ \langle \kern0.2pt\overline{\vphantom{\Omega}\kern6.6pt}\kern-6.8pt\Omega ^{\kern1pt l}|A_{l,l+N}^{}(u)&=\gamma_l^{}\gamma_{l+N}^{-1}a(u)\langle \kern0.2pt\overline{\vphantom{\Omega}\kern6.6pt}\kern-6.8pt\Omega ^{\kern1pt l-1}|, \\ \langle \kern0.2pt\overline{\vphantom{\Omega}\kern6.6pt}\kern-6.8pt\Omega ^{\kern1pt l}|D_{l,l+N}^{}(u)&=\gamma_{l+N}^{}\gamma_l^{-1}d(u)\langle \kern0.2pt\overline{\vphantom{\Omega}\kern6.6pt}\kern-6.8pt\Omega ^{\kern1pt l+1}|. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Векторы Бете получаются последовательным действием операторов $B_{k,l}(u)$ на глобальный вакуумный вектор. Дуальные векторы Бете строятся с помощью операторов $C_{k,l}(v)$ (см. ниже). Векторы БетеПрежде чем двигаться дальше, введем некоторые новые обозначения. В дальнейшем мы будем опускать модулярный параметр в обозначениях тета-функций всякий раз, когда он равен $\tau$, а именно, $\theta_a(\,{\cdot}\,)\equiv\theta_a(\,{\cdot}\,|\tau)$. Введем две функции, которые часто будут использоваться ниже:
$$
\begin{equation}
f(u,v)=\frac{\theta_1(u-v+\eta)}{\theta_1(u-v)},\qquad h(u,v)=\frac{\theta_1(u-v+\eta)}{\theta_1(\eta)}.
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
В дальнейшем мы будем постоянно иметь дело с наборами комплексных переменных. Будем обозначать такие наборы чертой сверху: $\bar u=\{u_1,u_2,\ldots,u_m\}$, $\bar v=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ и т. д. Как правило, число элементов в множествах не указано явно, однако мы приводим эти мощности в комментариях к формулам. Мы также вводим специальные подмножества $\bar u_j=\bar u\backslash\{u_j\}$, $\bar u_{j,k}=\bar u\backslash\{u_j,u_k\}$ и т. д. Чтобы сделать формулы более компактными, мы используем сокращенные обозначения для произведений функций (2.20). А именно, если функции $f$ или $h$ зависят от набора (или двух наборов) переменных, то это означает, что надо взять произведение по соответствующему набору. Например,
$$
\begin{equation}
f(u_j,\bar u_j)=\prod_{\substack{u_l\in\bar u,\\ l\ne j}}f(u_j,u_l),\qquad f(\bar v,\bar u)=\prod_{\substack{u_l\in\bar u,\\ v_k\in\bar v}}f(v_k,u_l).
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
По определению любое произведение по пустому множестве равно $1$. Двойное произведение равно $1$, если хотя бы одно из множеств пусто. Мы также будем применять это соглашение к произведениям тета-функций, например
$$
\begin{equation}
\theta_2(u-\bar v)=\prod_{v_k\in\bar v}\theta_2(u-v_k),\qquad \theta_1(u_j-\bar u_j)=\prod_{\substack{u_l\in\bar u,\\ l\ne j}}\theta_1(u_j-u_l).
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
В частности, выражения (2.16) для функций $a(u)$ и $d(u)$ принимают вид
$$
\begin{equation}
a(u)=\theta_1(u -\bar\xi+\eta), \qquad d(u)=\theta_1(u-\bar \xi\kern2pt).
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
Чтобы построить векторы Бете, сначала введем обобщенный превектор Бете
$$
\begin{equation}
|\psi_{n-r}^l(\bar u)\rangle=B_{l-r-1,l+r+1}(u_{n-r})B_{l-r-2,l+r+2}(u_{n-r-1})\ldots B_{l-n,l+n}(u_1)|\Omega^{l-n}\rangle,
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
где $\bar u=\{u_1,u_2,\ldots,u_{n-r}\}$ – набор произвольных комплексных чисел, $n=N/2$ и $r\,{\in}\,\mathbb{Z}$. Тогда обобщенный вектор Бете определяется как преобразование Фурье превектора (2.24). При $\eta=1/2$ оно имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
|\widehat\Psi^\nu_{n-r}(\bar u)\rangle=\sum_{l=0}^{3}e^{-\pi i\nu l\eta}\,|\psi_{n-r}^l(\bar u)\rangle, \qquad \nu\in\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}.
\end{equation}
\tag{2.25}
$$
Если параметры $\bar u$ удовлетворяют системе уравнений Бете (см. ниже), то обобщенный вектор Бете становится собственным вектором трансфер-матрицы $\mathsf T(u)$ [2]. Векторы Бете симметричны по параметрам $\bar u$ в силу коммутационных соотношений между операторами $B_{l-k,l+k}$ и $B_{l-k-1,l+k+1}$ [2], [22]. Аналогично можно определить дуальные обобщенные превекторы Бете
$$
\begin{equation}
\langle\psi_{n-r}^l(\bar v)|= \langle \kern0.2pt\overline{\vphantom{\Omega}\kern6.6pt}\kern-6.8pt\Omega ^{\kern1pt l-n}| \kern0.4pt\overline{\vphantom{C}\kern6.6pt}\kern-7.0pt C _{l-n,l+n}(v_1)\ldots \kern0.4pt\overline{\vphantom{C}\kern6.6pt}\kern-7.0pt C _{l-r-2, l+r+2}(v_{n-r-1}) \kern0.4pt\overline{\vphantom{C}\kern6.6pt}\kern-7.0pt C _{l-r-1, l+r+1}(v_{n-r}),
\end{equation}
\tag{2.26}
$$
где $ \kern0.4pt\overline{\vphantom{C}\kern6.6pt}\kern-7.0pt C _{kl}=\gamma_k\gamma_l C_{kl}$ и $\bar v=\{v_1,v_2,\ldots,v_{n-r}\}$ – набор произвольных комплексных чисел. Тогда дуальные векторы Бете имеют вид
$$
\begin{equation}
\langle\widehat\Psi^\nu_{n-r}(\bar v)|=\sum_{l=0}^{3} e^{\pi i\nu l\eta}\,\langle\psi_{n-r}^l(\bar v)|,\qquad\nu\in\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}.
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
Как и векторы (2.25), дуальные векторы Бете симметричны по параметрам $\bar v$. В общем случае (дуальные) векторы Бете становятся собственными векторами трансфер-матрицы (on-shell векторами Бете) при $r=0$. Введем функцию
$$
\begin{equation}
\chi_\nu(z)=(-1)^ne^{i\pi\eta\nu}a(z)+e^{-i\pi\eta\nu}d(z).
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
Тогда $|\widehat\Psi^\nu_{n}(\bar u)\rangle$ является on-shell вектором Бете, если Система уравнений (2.29) есть не что иное, как система уравнений Бете в случае свободных фермионов $\eta=1/2$. Точно так же $\langle\widehat\Psi^\nu_{n}(\bar v)|$ является дуальным собственным вектором трансфер-матрицы (дуальным on-shell вектором Бете) при условии Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathsf T(z)|\widehat\Psi^\nu_n(\bar u)\rangle&=T_\nu(z|\bar u)|\widehat\Psi^\nu_n(\bar u)\rangle, \\ \langle\widehat\Psi^\nu_{n}(\bar v)|\mathsf T(z)&=T_\nu(z|\bar v)\langle\widehat\Psi^\nu_{n}(\bar v)|, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.31}
$$
где
$$
\begin{equation}
T_\nu(z|\bar u)=\chi_\nu(z)f(z,\bar u),\qquad T_\nu(z|\bar v)=\chi_\nu(z)f(z,\bar v).
\end{equation}
\tag{2.32}
$$
В модели $XYZ$ при рациональном значении $\eta$ имеет место вырождение спектра [36]. В частности, при $\eta=1/2$ вырождение обусловлено наличием корней уравнений Бете, отличающихся друг от друга на $1/2$. Зададим следующее отображение фундаментальной области: для $z\in\mathbb C/(\mathbb Z+\tau\mathbb Z)$ положим где $\epsilon=0$, если $0\leqslant\operatorname{Re}z<1/2$, и $\epsilon=1$ в противном случае. Легко проверить, что $\chi_\nu(z^\ast)=(-1)^{\nu}\chi_\nu(z)$. Следовательно, если $v_a$ – корень функции $\chi_\nu(z)$, то $v_a^\ast$ также является корнем функции $\chi_\nu(z)$. Будем называть такие элементы близнецами. Поскольку выражение (2.28) является эллиптическим полиномом степени $N$, мы заключаем, что у нас есть $N/2$ вакансий (т. е. возможных решений) для уравнения (2.30) в половине области $0\leqslant\operatorname{Re}z<1/2$ и $N/2$ вакансий в оставшейся половине $1/2\leqslant\operatorname{Re}z<1$ фундаментальной области.В дальнейшем мы будем работать только с on-shell векторами Бете, не содержащими близнецов, которые соответствуют синглетным собственным состояниям. Рассмотрение векторов с близнецами требует специального исследования (см., например, [37]–[39]). Если (дуальный) on-shell вектор Бете без близнецов параметризуется корнями $\bar v$, то из формулы (2.32) следует, что собственные значения равны нулю для любого из корней-близнецов: $T_\nu(v_a^\ast)=0$ при всех $a$. При этом собственные значения трансфер-матрицы можно вычислить в ее корнях Бете и записать как $T_\nu(v_a)=\theta_2(0)\Omega^\nu_a$, где
$$
\begin{equation}
\Omega^\nu_a=\frac{1}{\theta_2(0)}\lim_{z\to v_a}T_\nu(z)= \frac{(-1)^n e^{i\pi\nu\eta} a(v_a)f(v_a,\bar v_a)\mathcal V_a}{\theta_1'(0)}= \frac{- e^{-i\pi\nu\eta} d(v_a) f(v_a,\bar v_a)\mathcal V_a}{\theta_1'(0)}.
\end{equation}
\tag{2.34}
$$
Здесь мы ввели логарифмическую производную
$$
\begin{equation}
\mathcal V_a= \frac{d}{dz}\ln\frac{a(z)}{d(z)}\bigg|_{z=v_a},
\end{equation}
\tag{2.35}
$$
которая возникает в нормированных выражениях для скалярных произведений (см. ниже). 2.3. Скалярные произведения, правила отбораВ работе [22] рассматривались скалярные произведения следующего вида:
$$
\begin{equation}
\mathbf S^{\nu,\lambda}_{n,n}(\bar v|\bar u)=\mathcal N_n^\nu(\bar v)\langle\Psi^\nu_n(\bar v)|\Psi^\lambda_n(\bar u)\rangle,
\end{equation}
\tag{2.36}
$$
где
$$
\begin{equation}
\mathcal N_n^\nu(\bar v)=\frac{1}{\langle\Psi^\nu_n(\bar v)|\Psi^\nu_n(\bar v)\rangle}.
\end{equation}
\tag{2.37}
$$
В этих формулах $\langle\Psi^\nu_n(\bar v)|$ является дуальным on-shell вектором Бете, т. е. набор $\bar v$ удовлетворяет уравнениям Бете (2.30). В то же время $|\Psi^\lambda_n(\bar u)\rangle$ является off-shell вектором Бете, т. е. на множество $\bar u$ не наложено никаких ограничений. Однако в данном случае требуется, чтобы $\operatorname{\#}\bar v=\operatorname{\#}\bar u=n$. Мы называем такие скалярные произведения сбалансированными. Как было показано в работе [26], скалярных произведений (2.36) недостаточно для описания формфакторов локальных операторов. Поэтому в данной статье мы рассматриваем скалярные произведения более общего вида
$$
\begin{equation}
\mathbf S^{\nu,\lambda}_{n,m}(\bar v|\bar u)=\mathcal N_n^\nu(\bar v)\langle\Psi^\nu_n(\bar v)|\Psi^\lambda_m(\bar u)\rangle.
\end{equation}
\tag{2.38}
$$
Как и прежде, $\langle\Psi^\nu_n(\bar v)|$ является дуальным on-shell вектором Бете. Кроме того, мы предполагаем, что множество $\bar v$ не содержит близнецов. Что касается вектора $|\Psi^\lambda_m(\bar u)\rangle$, то он по-прежнему является off-shell вектором Бете, однако $\operatorname{\#}\bar u=m$ и $m$ может отличаться от $n$. Мы будем называть $\varkappa=n-m$ дисбалансом, а соответствующие скалярные произведения – несбалансированными. Легко установить некоторые свойства скалярных произведений относительно дисбаланса. Они основаны на свойствах оператора $\mathsf U_3$:
$$
\begin{equation}
\mathsf U_3=\sigma_1^z\otimes\sigma_2^z\otimes\cdots\otimes\sigma_N^z.
\end{equation}
\tag{2.39}
$$
В работе [22] было показано, что (дуальные) off-shell векторы Бете общего вида являются собственными векторами оператора $\mathsf U_3$:
$$
\begin{equation}
\mathsf U_3|\Psi^\lambda_m(\bar u)\rangle=(-1)^{\lambda+m}|\Psi^\lambda_m(\bar u)\rangle,\qquad \langle\Psi^\nu_n(\bar v)|\mathsf U_3=(-1)^{\nu+n}\langle\Psi^\nu_n(\bar v)|.
\end{equation}
\tag{2.40}
$$
Отсюда следует правило отбора
$$
\begin{equation}
\mathbf S^{\nu,\lambda}_{n,m}(\bar v|\bar u)\cong \delta_{\nu+\varkappa,\lambda\,(\operatorname{mod}2)}.
\end{equation}
\tag{2.41}
$$
В случае свободных фермионов из формулы (2.41) вытекает, что либо $\lambda=\nu$, либо $\lambda=\nu+2\,(\operatorname{mod}2)$. Заметим, что скалярные произведения симметричны по $\bar v$ и симметричны по $\bar u$. 3. Каскадные системы линейных уравнений для скалярных произведенийМы используем подход, который был разработан в работе [21], а также использовался в [22] для сбалансированных скалярных произведений в модели $XYZ$. С этого момента мы рассматриваем только случай свободных фермионов, поэтому параметр $\eta=1/2$ фиксирован. Однако часть рассуждений, включая начальные замечания, остается в силе и для моделей с рациональным $\eta$. Пусть $\langle\widehat\Psi^\nu_n(\bar v)|$ – дуальное собственное состояние без близнецов, а $\bar u$ – набор комплексных чисел в общем положении мощности $\operatorname{\#}\bar u=n-\varkappa+1$. Рассмотрим все возможные подмножества $\bar u_j$, $j=1,2,\ldots,\operatorname{\#}\bar u$, этого множества и определим соответствующие векторы Бете $|\widehat\Psi^\lambda_m(\bar u_j)\rangle$, где $m=n-\varkappa$. Тогда мы можем ввести следующие несбалансированные скалярные произведения:
$$
\begin{equation}
X^{\lambda}_j=\mathcal N_n^\nu(\bar v)\langle\widehat\Psi^\nu_n(\bar v)|\widehat\Psi^\lambda_m(\bar u_j^{})\rangle.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Таким образом, мы получаем $2(n-\varkappa+1)$ переменных $X^\lambda_j$ с учетом всех возможных значений $\lambda$ и $j$ и правила отбора (2.41). Важно подчеркнуть, что по определению скалярное произведение $X^\lambda_j$ не зависит от $u_j$ и является симметричной функцией от $\bar u_j$. С другой стороны, $X^\lambda_j$ зависит от дисбаланса, но для краткости мы не указываем явно параметр $\varkappa$ в наших обозначениях переменных. Систему линейных уравнений на переменные $X^\lambda_j$ можно получить, используя следующую процедуру. Вставим между двумя векторами трансфер-матрицу $\mathsf T(u_j)$, получим, с одной стороны,
$$
\begin{equation}
\mathcal N_n^\nu(\bar v)\langle\widehat\Psi^\nu_n(\bar v)|\mathsf T(u_j)|\widehat\Psi^\lambda_m(\bar u_j)\rangle=T_\nu(u_j|\bar v)X_j^\lambda,
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где $T_\nu$ – собственное значение трансфер-матрицы, отвечающее дуальному on-shell вектору Бете (2.32). С другой стороны, мы можем вычислить действие матрицы $\mathsf T(u_j)$ направо, используя формулы действия [26]. Эти формулы были получены для цепочки $XYZ$ с рациональными $\eta$ вида $\eta=2P/Q$, где $P$ и $Q$ – взаимно простые целые числа. Схематически действие трансфер-матрицы $\mathsf T(u_j)$ на вектор Бете $|\widehat\Psi^\lambda_m(\bar u_j)\rangle$ можно записать следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathsf T(u_j)&|\widehat\Psi^\lambda_m(\bar u_j)\rangle= \sum_{\mu=0}^{Q-1}\biggl\{\, \sum_{k=1}^{m+1}\mathbf W^{(\lambda-\mu)}_{\varkappa;1}(u_j,u_k)\chi_\mu(u_k)|\widehat\Psi^\mu_m(\bar u_k)\rangle+{} \notag\\ &{}+\sum_{a>b}^{m+1}\mathbf W^{(\lambda-\mu)}_{\varkappa;2}(u_j,u_a,u_b)|\widehat\Psi^\mu_{m-1}(\bar u_{a,b})\rangle +\mathbf W^{(\lambda-\mu)}_{\varkappa;3}(u_j)|\widehat\Psi^\mu_{m+1}(\bar u)\rangle\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Здесь $\mathbf W^{(\lambda)}_{\varkappa;k}$ – некоторые числовые коэффициенты (см. их подробное описание в работе [26]). Ниже мы приведем их явный вид для конкретных случаев. В частности, эти коэффициенты зависят от дисбаланса $\varkappa$. В нашем случае $P=1$, $Q=4$. Тогда из формулы (3.3) сразу следует
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal N_n^\nu(\bar v)&\langle\widehat\Psi^\nu_n(\bar v)|\mathsf T(u_j)|\widehat\Psi^\lambda_m(\bar u_j)\rangle= \sum_{\mu=0}^{3}\biggl\{\,\sum_{k=1}^{m+1} \mathbf W^{(\lambda-\mu)}_{\varkappa;1}(u_j,u_k)\chi_\mu(u_k)X_k^\mu+{} \notag\\ &+\sum_{a>b}^{m+1}\mathbf W^{(\lambda-\mu)}_{\varkappa;2}(u_j,u_a,u_b)\mathbf S_{n,m-1}^{\nu,\mu}(\bar v|\bar u_{a,b}) +\mathbf W^{(\lambda-\mu)}_{\varkappa;3}(u_j)\mathbf S_{n,m+1}^{\nu,\mu}(\bar v|\bar u)\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Принимая во внимание (3.2), мы приходим к системе уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &T_\nu(u_j|\bar v)X_j^\lambda-\sum_{\mu=0}^{3}\sum_{k=1}^{m+1}\mathbf W^{(\lambda-\mu)}_{\varkappa;1}(u_j,u_k)\chi_\mu(u_k)X_k^\mu= \notag\\ &\qquad =\sum_{\mu=0}^{3}\biggl\{\,\sum_{a>b}^{m+1} \mathbf W^{(\lambda-\mu)}_{\varkappa;2}(u_j,u_a,u_b)\mathbf S_{n,m-1}^{\nu,\mu}(\bar v|\bar u_{a,b}) +\mathbf W^{(\lambda-\mu)}_{\varkappa;3}(u_j)\mathbf S_{n,m+1}^{\nu,\mu}(\bar v|\bar u)\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Таким образом, мы получили систему линейных уравнений, связывающую скалярные произведения, которые имеют дисбаланс $\varkappa$ и $\varkappa\pm 1$. В случае свободных фермионов коэффициенты $\mathbf W^{(\lambda)}_{\varkappa;2}$ и $\mathbf W^{(\lambda)}_{\varkappa;3}$ обращаются в нуль при четном дисбалансе $\varkappa=2p$. Возникает замкнутая однородная система уравнений для скалярных произведений с дисбалансом $\varkappa=2p$. При $p=0$ эта система рассматривалась и решалась в работе [22] для произвольного рационального $\eta$. Ниже мы приведем явное решение для $\eta=1/2$. В следующем разделе мы покажем, что в случае свободных фермионов и дисбаланса $\varkappa=\pm 2$ однородные системы уравнений имеют только тривиальные решения, согласующиеся с требованием, чтобы $X_j^\lambda$ не зависели от $u_j$. Отсюда следует, что скалярные произведения с дисбалансом $\varkappa=\pm 1$ удовлетворяют неоднородным системам уравнений, в которых неоднородная часть выражается через сбалансированные скалярные произведения. Таким образом, решения этих систем определяются однозначно1. Важно отметить, что аналогичные рассуждения можно использовать и для более общих моделей с рациональными значениями $\eta$. В этом случае мы получили бы однородную систему скалярных произведений с $\varkappa=0\,(\operatorname{mod} M(Q))$, где $M(Q)=Q$ при нечетном $Q$ и $M(Q)=Q/2$ при четном $Q$. Во всех остальных случаях мы получаем неоднородную систему, неоднородная часть которой задается в виде скалярных произведений с $\varkappa'=\varkappa\pm 1$, которые, в свою очередь, могут быть решениями неоднородной системы. Следовательно, для определения таких скалярных произведений, где $\varkappa\neq 0\,(\operatorname{mod} M(Q))$, требуется рассмотреть скалярные произведения с $\varkappa'=\varkappa\pm 1$ и т. д., пока этот каскадный процесс не будет прерван однородным случаем $\varkappa=0\,(\operatorname{mod} M(Q))$. В результате количество промежуточных уровней с неоднородными членами, которые нам нужно рассмотреть, равно $M(Q)-1$. Для нашей модели $Q=4$, и нам нужно решить только одну неоднородную систему. Прежде чем двигаться дальше, напомним результаты для сбалансированных скалярных произведений с $\varkappa=0$, полученные в [22]. Мы рассматриваем только случай $\eta=1/2$. Тогда
$$
\begin{equation}
\mathbf S^{\nu,\mu}_{n,n}(\bar v|\bar u)=\phi_1^{\nu,\mu}(S,x)\frac{\theta_1'(0|2\tau)}{\theta_1'(0|\tau)}\, \frac{\prod_{a<b}^n\theta_2(v_a-v_b)\theta_2(u_a-u_b)}{\prod_{a,b=1}^n\theta_2(u_a-v_b)}\prod_{k=1}^{n} \frac{T_\nu(u_k|\bar v)}{\Omega^\nu_k}.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Здесь
$$
\begin{equation}
\phi^{\nu,\mu}_1(S,x)=\delta_{\nu,\mu\,(\operatorname{mod}2)} e^{i\pi(\mu-\nu)x} \frac{\theta_1(S)\theta_1\bigl(S+2x+\frac{(\mu-\nu)\tau}2\big|2\tau\bigr)}{\theta_1\bigl(S+\frac{(\mu-\nu)\tau}2\big|2\tau\bigr)\theta_1(2x|2\tau)},
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
где $S=\sum_{j=1}^n(v_j-u_j)$ и $x=(s+t)/2$ (см. (2.11)). Функции $T_\nu(u_k|\bar v)$ и $\Omega^\nu_k$ заданы соответственно формулами (2.32) и (2.34). Удобно ввести функцию
$$
\begin{equation}
\mathbf S_{n,n}^{\nu;\epsilon}(\bar v|\bar u)=\mathbf S_{n,n}^{\nu,\nu}(\bar v|\bar u)+(-1)^\epsilon\mathbf S_{n,n}^{\nu,\nu+2}(\bar v|\bar u).
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Тогда, воспользовавшись формулами (А.3)–(А.6), можно показать, что
$$
\begin{equation}
\mathbf S_{n,n}^{\nu;\epsilon}(\bar v|\bar u)=\frac{\theta_1(S+x_\epsilon)}{\theta_1(x_\epsilon)}\, \frac{\prod_{a<b}^n\theta_2(v_a-v_b)\theta_2(u_a-u_b)}{\prod_{a,b=1}^n\theta_2(u_a-v_b)}\prod_{k=1}^{n}\frac{T_\nu(u_k|\bar v)}{\Omega^\nu_k}.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Напомним, что $x_\epsilon=(s+t)/2+\eta\epsilon$.
4. Скалярные произведения с дисбалансом $|\varkappa|=2$Начнем наше рассмотрение со скалярных произведений с дисбалансом $|\varkappa|=2$. В этом разделе мы докажем следующее предложение. Предложение 4.1. Пусть $\operatorname{\#}\bar v=n$ и $\langle\widehat\Psi_n^\nu(\bar v)|$ является on-shell вектором Бете без близнецов. Пусть $|\widehat\Psi^\lambda_m(\bar u)\rangle$ – произвольный вектор Бете с $m=\operatorname{\#}\bar u=n\pm2$. Тогда Доказательство состоит из нескольких шагов. Сначала мы покажем, что рассматриваемые скалярные произведения удовлетворяют однородным системам линейных уравнений. Затем мы преобразуем эти системы в новые. Это преобразование является общим для $\varkappa=2$ и $\varkappa=-2$. Наконец, докажем, что полученные системы имеют только тривиальные решения. Соответствующие доказательства различны для $\varkappa=2$ и $\varkappa=-2$. 4.1. Однородная система уравненийКак уже упоминалось выше, коэффициенты $\mathbf W^{(\lambda-\mu)}_{\varkappa;2}$ и $\mathbf W^{(\lambda-\mu)}_{\varkappa;3}$ обращаются в нуль при четных значениях $\varkappa=2p$. Система (3.5) становится однородной. Для описания коэффициентов $\mathbf W^{(\lambda-\mu)}_{\varkappa;1}$ мы сначала введем функцию и ее преобразование Фурье
$$
\begin{equation}
\hat\alpha_\mu(z)=\sum_{l=0}^3 e^{-i\pi\eta\mu l}\alpha_l(z),\qquad \mu\in\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\mathbf W^{(\lambda-\mu)}_{\varkappa;1}(u_j,u_k)=\frac{1}{4}\frac{f(u_k,\bar u_k)}{h(u_j,u_k)}\hat\alpha_{\lambda-\mu}(u_{jk}),
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
и мы получаем
$$
\begin{equation}
f(u_j,\bar v)\chi_\nu(u_j)X_j^\lambda-\frac{1}{4} \sum_{\mu=0}^3\sum_{k=1}^{n-2p+1}\frac{f(u_k,\bar u_k)}{h(u_j,u_k)}\hat\alpha_{\lambda-\mu}(u_{jk})\chi_\mu(u_k) X_k^{\mu}=0.
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Здесь и в дальнейшем $u_{jk}=u_j-u_k$, $v_{nl}=v_n-v_l$ и т. п. Легко видеть, что $\hat\alpha_1(z)=\hat\alpha_3(z)=0$. Кроме того, правило отбора (2.41) говорит о том, что либо $\lambda=\nu$, либо $\lambda=\nu+2$. Следовательно, мы получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, f(u_j,\bar v)\chi_\nu(u_j) X_j^\nu&=\frac{1}{4} \sum_{k=1}^{n-2p+1}\frac{f(u_k,\bar u_k)}{h(u_j,u_k)}\chi_\nu(u_k) \bigl(\hat\alpha_{0}(u_{jk})X_k^{\nu}-\hat\alpha_2(u_{jk}) X_k^{\nu+2}\bigr), \\ f(u_j,\bar v)\chi_\nu(u_j) X_j^{\nu+2}&=\frac{1}{4} \sum_{k=1}^{n-2p+1}\frac{f(u_k,\bar u_k)}{h(u_j,u_k)}\chi_\nu(u_k) \bigl(\hat\alpha_2(u_{jk}) X_k^{\nu}-\hat\alpha_{0}(u_{jk}) X_k^{\nu+2}\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Пусть
$$
\begin{equation}
X_j^\epsilon= X_j^\nu+(-1)^\epsilon X_j^{\nu+2},\qquad \epsilon=0,1.
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
Тогда систему (4.5) можно переписать в виде
$$
\begin{equation}
\chi_\nu(u_j) X_j^\epsilon -\frac{1}{f(u_j,\bar v)} \sum_{k=1}^{n-2p+1}\frac{f(u_k,\bar u_k)}{h(u_j,u_k)}\chi_\nu(u_k)\alpha_{\epsilon}(u_{jk}) X_k^{1-\epsilon} =0,\qquad \epsilon=0,1,
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
где мы воспользовались тем, что $\hat\alpha_{0}+ (-1)^\epsilon\hat\alpha_2=4\alpha_\epsilon$. Полагая
$$
\begin{equation}
X_j^\epsilon= Y_j^\epsilon\prod_{\substack{\,a=1,\\ a\ne j}}^{n-2p+1}\chi_\nu(u_a),
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
мы исключаем функцию $\chi_\nu$ из уравнений (4.8):
$$
\begin{equation}
Y_j^\epsilon -\frac{1}{f(u_j,\bar v)} \sum_{k=1}^{n-2p+1}\frac{f(u_k,\bar u_k)}{h(u_j,u_k)}\alpha_{\epsilon}(u_{jk})Y_k^{1-\epsilon} =0,\qquad\epsilon=0,1.
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Важно отметить, что $Y_j^\epsilon$ не зависит от $u_j$ и является симметричной функцией от $\bar u_j$. Напомним, что $X_j^\epsilon$ и, следовательно, $Y_j^\epsilon$ также являются функциями параметров $\bar v$. Хотя множество $\bar v$ фиксируется уравнениями Бете, мы всё же можем рассматривать $v_k$ как свободные параметры, потребовав выполнение уравнений Бете для неоднородностей $\bar\xi$ вместо спектральных параметров $\bar v$. Преобразование системыМатрица системы имеет следующий блочный вид:
$$
\begin{equation}
\mathbf{M}=\begin{pmatrix} \mathbf I & \mathbf\Omega^0 \\ \mathbf\Omega^1 & \mathbf I \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
где каждый блок имеет размер $(n-2p+1)\times(n-2p+1)$ и
$$
\begin{equation}
\mathbf\Omega^\epsilon_{jk}=-\frac{1}{f(u_j,\bar v)}\frac{f(u_k,\bar u_k)}{h(u_j,u_k)}\alpha_{\epsilon}(u_{jk}).
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Полагая $\epsilon=0$ в уравнении (4.10), получим
$$
\begin{equation}
Y_j^0=-\sum_{k=1}^{n-2p+1}\mathbf\Omega^0_{jk}Y^1_k.
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Подставляя это выражение в уравнение (4.10) с $\epsilon=1$, мы приходим к
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^{n-2p+1}\bigl(\mathbf I-\mathbf\Omega^1\mathbf\Omega^0\big)_{jk}Y^1_k=0.
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Произведение $\mathbf\Omega^1\mathbf\Omega^0$ можно найти в явном виде с помощью метода контурного интеграла (см. приложение В). Имеем
$$
\begin{equation}
(\mathbf I-\mathbf\Omega^1\mathbf\Omega^0)_{jk}=-\frac{\theta_2^2(0)}{\theta_1(x)\theta_2(x)}\sum_{q=1}^n A_{jq}B_{qk},
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
где
$$
\begin{equation}
A_{jk}= \frac{f(v_k,\bar v_k)}{f(u_j,\bar v)f(v_k,\bar u)}\frac{\theta_1(u_{j}-v_k+x)}{\theta_1(u_j-v_k)}, \qquad j=1,\ldots,n-2p+1,\quad k=1,\ldots,n,
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
и
$$
\begin{equation}
B_{jk}= \frac{\theta_2(u_{k}-v_j-x)}{\theta_1(u_k-v_j)}f(u_k,\bar u_k),\qquad j=1,\ldots,n, \quad k=1,\ldots,n-2p+1.
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
Таким образом,
$$
\begin{equation}
\det_{n-2p+1}(\mathbf I-\mathbf\Omega^1\mathbf\Omega^0)= \biggl(-\frac{\theta_2^2(0)}{\theta_1(x)\theta_2(x)}\biggr)^{\!n-2p+1} \det_{n-2p+1}\biggl(\,\sum_{q=1}^n{A}_{jq} {B}_{qk}\biggr).
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
4.2. Скалярные произведения с дисбалансом $\varkappa=2$Дисбаланс $\varkappa=2$ соответствует значению $p=1$. Докажем, что в этом случае определитель (4.18) отличен от нуля. Заметим, что этот определитель является аналитической функцией от $\bar v$, $\bar u$ и $x$. Следовательно, для доказательства того, что эта функция не равна тождественно нулю, достаточно доказать, что она не равна нулю для некоторых специальных значений $\bar v$, $\bar u$ и $x$. Тогда в силу аналитичности эта функция не обращается в нуль в некоторой окрестности этой специальной точки. Следовательно, она не равна тождественно нулю. Замечание. Если множество $\bar v$ содержит близнецы, то некоторые члены в сумме по $q$ в (4.18) обращаются в ноль. Действительно, из (4.16) следует, что коэффициенты $A_{jk}$ пропорциональны произведениям $f(v_k,\bar v_k)$. Но $f(v_k,\bar v_k)$ обращается в ноль, если у $v_k$ есть близнец. С другой стороны, если множество $\bar v$ не содержит близнецов, то в сумме по $q$ в (4.18) ровно $n$ слагаемых. Введем матрицы $\mathbf A$ и $\mathbf B$ размера $(n-1)\times(n-1)$ с элементами
$$
\begin{equation}
\mathbf A_{jk}={A}_{jk}, \qquad \mathbf B_{jk}={B}_{jk}, \qquad j,k=1,\ldots,n-1.
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\det_{n-1}\biggl(\,\sum_{q=1}^n{A}_{jq} {B}_{qk}\biggr)= \det_{n-1}\bigl((\mathbf A\mathbf B)_{jk}+{A}_{jn}{B}_{nk}\bigr)= \det_{n-1}\mathbf A\det_{n-1}\mathbf B\det_{n-1}(\mathbf I+\mathbf L),
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
где
$$
\begin{equation}
\mathbf L_{jk}=\sum_{\ell,m=1}^{n-1}(\mathbf{A^{-1}})_{j\ell}A_{\ell n}B_{nm}( \mathbf{B^{-1}})_{mk}.
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
Мы видим, что $\mathbf L_{jk}$ является матрицей единичного ранга. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\det_{n-1}(\mathbf I+\mathbf L)=1+\sum_{k=1}^{n-1}\mathbf L_{kk}.
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
Обе матрицы $\mathbf A$ и $\mathbf B$ являются матрицами Коши (умноженными на диагональные матрицы) с ненулевыми определителями для $\bar u$, $\bar v$ и $x$ в точке общего положения. Таким образом, достаточно доказать, что для $\bar u$, $\bar v$ и $x$ общего вида. Обратные к матрицам Коши $\mathbf A$, $\mathbf B$ задаются следующим образом (см. (Б.6), (Б.7)):
$$
\begin{equation}
(\mathbf A^{-1})_{jk} = \frac{-f(u_k,\bar v)}{f(v_n,v_j)\theta_1(x)\theta_1(x-S)}\frac{\theta_2(\bar u-v_j)}{\theta_2(\bar v_{n,j}- v_j)} \frac{\theta_1(u_k-v_j-x+S)}{\theta_1(u_k-v_j)} \frac{\theta_1(u_k-\bar v_n)}{\theta_1(u_k-\bar u_k)},
\end{equation}
\tag{4.24}
$$
$$
\begin{equation}
(\mathbf B^{-1})_{jk} = \frac{1}{\theta_2(x)\theta_2(x+S)}\frac{\theta_1(\bar u-v_k)}{\theta_1(\bar v_{n,k}-v_k)} \frac{\theta_2(u_j-v_k+x+S)}{\theta_1(u_j-v_k)} \frac{\theta_1(u_j-\bar v_n)}{\theta_2(u_j-\bar u_j)},
\end{equation}
\tag{4.25}
$$
где Напомним, что в силу соглашения (2.22) обозначение $\theta_2(\bar u-v_j)$ и ему подобные означают произведение тета-функций по множеству $\bar u$. Пусть
$$
\begin{equation}
\mathcal A_j=\sum_{\ell=1}^{n-1}(\mathbf{A^{-1}})_{j\ell}A_{\ell n},\qquad \mathcal B_k=\sum_{\ell=1}^{n-1}B_{n\ell}( \mathbf{B^{-1}})_{\ell k}.
\end{equation}
\tag{4.27}
$$
Тогда с помощью метода контурного интеграла находим
$$
\begin{equation}
\mathcal A_j = \frac{1}{\theta_1(x-S)}\frac{\theta_2(\bar u-v_j)}{\theta_2(\bar v_{n,j}-v_j)} \frac{\theta_1(v_{nj}-x-S)}{\theta_2(v_{nj})} \frac{\theta_2(v_n-\bar v_n)}{\theta_2(v_n-\bar u)},
\end{equation}
\tag{4.28}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal B_k = \frac{-1}{\theta_2(x+S)}\frac{\theta_1(\bar u-v_k)}{\theta_1(\bar v_{n,k}-v_k)} \frac{\theta_2(v_{nk}+x-S)}{\theta_1(v_{nk})} \frac{\theta_1(v_n-\bar v_n)}{\theta_1(v_n-\bar u)}.
\end{equation}
\tag{4.29}
$$
Таким образом, используя (А.4) и (А.5), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 1&{}+\sum_{k=1}^{n-1}\mathbf L_{kk}=1+\frac{\theta_1(2v_n-2\bar v_n|2\tau)}{\theta_1(2v_n-2\bar u|2\tau)}\times{} \notag\\ &\times\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\theta_1(2\bar u-2v_k|2\tau)}{\theta_1(2\bar v_{k}-2v _k|2\tau)} \frac{\theta_1(2x|2\tau)\theta_4(2v_{nk}+2S|2\tau)-\theta_4(2x|2\tau)\theta_1(2v_{nk}+2S|2\tau)} {\theta_1(2x|2\tau)\theta_4(2S|2\tau)-\theta_4(2x|2\tau)\theta_1(2S|2\tau)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.30}
$$
Рассмотрим частный случай $u_k=v_k$ для $k=2,\ldots,n-1$. Тогда $S=v_1-u_1$. Мы также видим, что благодаря произведению $\theta_1(2\bar u-2v_k|2\tau)$ в сумме (4.30) сохраняется только один член с $k=1$. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 1+\sum_{k=1}^{n-1}\mathbf L_{kk}=1+{}&\frac{\theta_1(2v_1-2u_1|2\tau)}{\theta_1(2v_n-2u_1|2\tau)}\times{} \notag\\ &\quad\times \frac{\theta_1(2x|2\tau)\theta_4(2v_{n}-2u_1|2\tau)-\theta_4(2x|2\tau)\theta_1(2v_{n}-2u_1|2\tau)} {\theta_4(2x|2\tau)\theta_1(2v_1-2u_1|2\tau)-\theta_1(2x|2\tau)\theta_4(2v_1-2u_1|2\tau)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.31}
$$
Воспользовавшись тождествами (А.3), преобразуем этот результат следующим образом:
$$
\begin{equation}
1+\sum_{k=1}^{n-1}\mathbf L_{kk}= \frac{\theta_1(v_1-v_n)\theta_2(v_1+v_n-2u_1)\theta_1(x)\theta_2(x)}{\theta_1(v_n-u_1)\theta_2(v_n-u_1)\theta_1(v_1-u_1-x)\theta_2(v_1-u_1+x)}.
\end{equation}
\tag{4.32}
$$
Мы видим, что $1+\sum_{k=1}^{n-1}\mathbf L_{kk}\neq 0$ для $v_1$, $v_n$, $u_1$ и $x$ в точке общего положения. Таким образом, мы заключаем, что $1+\sum_{k=1}^{n-1} \mathbf L_{kk}\neq 0$ для $\bar u$, $\bar v$ и $x$ в точке общего положения. Поэтому система уравнений (4.14) и, следовательно, система (4.10) имеют только тривиальные решения при $p=1$. Отсюда
$$
\begin{equation}
\langle\widehat\Psi^\nu_n(\bar v)|\widehat\Psi^\lambda_m(\bar u)\rangle=0
\end{equation}
\tag{4.33}
$$
при $\varkappa=n-m=2$. Это доказывает часть предложения 4.1. 4.3. Скалярные произведения с дисбалансом $\varkappa=-2$Дисбаланс $\varkappa=-2$ отвечает значению $p=-1$. Тогда матрица $\mathbf I-\mathbf\Omega^1\mathbf\Omega^0$ имеет размер $(n+3)\times(n+3)$, и мы получаем
$$
\begin{equation}
\det_{n+3}\biggl(\,\sum_{q=1}^n A_{jq}B_{qk}\biggr)=0,
\end{equation}
\tag{4.34}
$$
так как ранг этой матрицы не превосходит $n$. Следовательно, в этом случае система (4.14) имеет нетривиальные решения. Однако мы покажем, что эти решения несовместимы с требованием, что $Y^\epsilon_j$ не зависит от $u_j$. В приложении Б показано, что решения системы (4.14) выражаются через элементы обратной матрицы $B^{-1}$. Сначала мы должны увеличить размер матрицы $B$, заданной в (4.17), до $(n+3)\times(n+3)$. Для этого введем расширенную матрицу $\widetilde B$ с элементами
$$
\begin{equation}
\widetilde B_{n+l,k}=\frac{\theta_2(u_{k}-z_l-x)}{\theta_1(u_k-z_l)}f(u_k,\bar u_k),\qquad l\in\{1,2,3\},
\end{equation}
\tag{4.35}
$$
и $\widetilde B_{jk}= B_{jk}$ при $j\leqslant n$. Здесь $z_1$, $z_2$ и $z_3$ – комплексные числа в точке общего положения. Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (\widetilde B^{-1})_{j, n+l}&= \frac{1}{\theta_2(x)\theta_2(x+\widetilde S)} \frac{\theta_2(u_j-u_{n+l}+x+\widetilde S)}{\theta_1(u_j-u_{n+l})}\times{} \notag\\ &\quad\times \frac{\theta_1(u_j-\bar v)\theta_1(u_j-\bar z)\theta_1(\bar u-z_l)}{\theta_2(u_j-\bar u_j)\theta_1(\bar v- z_l)\theta_1(\bar z_l- z_l)}, \qquad l=1,2,3, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.36}
$$
где
$$
\begin{equation}
\widetilde S=\sum_{j=1}^n(v_j-u_j)+\sum_{l=1}^{3}(z_l-u_{n+l}).
\end{equation}
\tag{4.37}
$$
Отсюда находим где
$$
\begin{equation}
Y^1_{j;l}=\theta_2(x+u_j-z_l-\widetilde S) \frac{\theta_1(u_j-\bar z_l)\theta_1(u_j-\bar v)}{\theta_2(u_j-\bar u_j)},
\end{equation}
\tag{4.39}
$$
а $C_l$ – некоторые функции, которые зависят от параметров $\bar u$ так, что $C_lY^1_{j;l}$ не зависит от $u_j$. Подставив $Y^1_{j;l}$ (4.39) в уравнение (4.10) с $\epsilon=0$, получим $Y^{0}_{j;l}$:
$$
\begin{equation}
Y_{j;l}^0=-\frac{C_l\theta_2(0)}{f(u_j,\bar v)} \sum_{k=1}^{n+3}\frac{\theta_1(u_k-\bar z)\theta_1(u_k-\bar v)}{\theta_1(u_k-\bar u_k)} \frac{\theta_1(u_{k}-u_j-x)}{\theta_2(u_k-u_j)\theta_1(x)} \frac{\theta_2(x+u_k-z_l-\widetilde S)}{\theta_1(u_k-z_l)}.
\end{equation}
\tag{4.40}
$$
Вычисляя эту сумму методом контурного интеграла, находим
$$
\begin{equation}
Y_{j;l}^0=f(u_j,\bar z_l)\frac{\theta_2(x)}{\theta_1(x)}\,C_l \frac{\theta_1(u_j-\bar z_l)\theta_1(u_j-\bar v)}{\theta_2(u_j-\bar u_j)}\, \theta_1(x+u_j-z_l-\widetilde S).
\end{equation}
\tag{4.41}
$$
Теперь мы видим, что нельзя удовлетворить условию, что $Y^\epsilon_j$ не зависит от $u_j^{}$. Действительно, чтобы обеспечить это условие для $Y_{j;l}^1$, мы должны выбрать
$$
\begin{equation}
C_l=\widetilde C_l\frac{\prod_{a>b}^{n+3}\theta_2(u_a-u_b)}{\theta_1(\bar u-\bar v)\theta_1(\bar u-\bar z_l)},
\end{equation}
\tag{4.42}
$$
где $\widetilde C_l$ не зависят от $\bar u$. Однако из формулы (4.41) следует, что в этом случае $Y_{j;l}^0$ становится пропорциональным произведению $f(u_j,\bar z_l)$. И наоборот, выбирая функции $C_l$ в формуле (4.41) так, чтобы исключить зависимость от $u_j$, мы тем самым мы создаем зависимость от $u_j$ в (4.39). Таким образом, единственным решением системы (4.10), удовлетворяющим необходимому условию, является тривиальное решение. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\langle\widehat\Psi^\nu_n(\bar v)|\widehat\Psi^\lambda_m(\bar u)\rangle=0
\end{equation}
\tag{4.43}
$$
при $\varkappa=n-m=-2$. Таким образом, предложение 4.1 доказано. Предложение 4.1 дает нам сильное правило отбора для скалярных произведений on-shell векторов Бете без близнецов. Мы нашли, что они ортогональны всем векторам Бете из сектора $\varkappa=\pm 2$. Однако это ничего не говорит об их скалярных произведениях с векторами Бете при $\varkappa=\pm 1$. В этом случае система уравнений (3.5) неоднородная. Этой системе посвящен следующий раздел. 5. Несбалансированные скалярные произведения с $\varkappa=\pm 1$В этом разделе удобно сделать замену переменных. А именно, мы заменим множество $\bar u=\{u_1,u_2,\ldots,u_{m+1}\}$ на множество $\bar w=\{w_1,w_2,\ldots,w_{m+1}\}$. При нечетных значениях параметра $\varkappa=2p+1$ все коэффициенты $\mathbf W^{(\lambda)}_{\varkappa;k}$, $k=1,2,3$, в системе (3.5) сохраняются. Для их описания сначала введем коэффициенты
$$
\begin{equation}
\omega_{ab}(z)=\frac{[d(w_a)a(w_b)-d(w_b)a(w_a)]f(w_a,\bar w_a)f(\bar w_b,w_b)}{f(w_a,w_b)h(w_a,z)h(z,w_b)},
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
где $a(u)$ и $d(u)$ задаются формулами (2.23). Определим также две функции
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \beta^{+}_l(z)&=\theta_2(z+s_l), \\ \beta^{-}_l(z;u,v)&=\theta_2(z-t_l)\theta_2(z-u+x_l)\theta_2(z-v+x_l) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
и их преобразования Фурье
$$
\begin{equation}
\hat\beta^\pm_\mu(\,{\cdot}\,)=\sum_{l=0}^{3}e^{-i\pi\mu\eta l}\beta^\pm_l(\,{\cdot}\,),\qquad\mu\in\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}.
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Напомним, что $s$ и $t$ – калибровочные параметры (см. формулу (2.10)) и $s_l=s+l\eta$, $t_l=t+l\eta$. Тогда система (3.5) принимает следующий вид:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, T_\nu&(w_j|\bar v)X^\lambda_j-\frac{\theta_2(y+w_j)}{4\theta_1(y+w_j)}\sum_{\mu=0}^{3} \sum_{k=1}^{n-2p}\frac{f(w_k,\bar w_k)}{h(w_j,w_k)}\hat\alpha_{\lambda-\mu}(w_{jk})\chi_\mu(w_k)X^\mu_k= \notag\\ &=\frac{(-1)^p}{2\theta_1(y+w_j)\theta_1^2(x)\theta_2^2(x)} \sum_{\mu=0}^{3}\sum_{a>b}^{n-2p}\omega_{ab}(w_j)\hat\beta^{-}_{\lambda-\mu}(w_j;w_a,w_b)\mathbf S_{n,n-2p-2}^{\nu,\mu}(\bar v|\bar w_{a,b})+{} \notag\\ &\quad+\frac{(-1)^p\theta_2^2(0)}{8\theta_1(y+w_j)} \sum_{\mu=0}^{3}\hat\beta^{+}_{\lambda-\mu}(w_j)\mathbf S_{n,n-2p}^{\nu,\mu}(\bar v|\bar w). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Мы видим, что решения неоднородных систем при $\varkappa=\pm 1$ могут быть найдены в терминах скалярных произведений с $\varkappa\in\{-2,0,2\}$. Как мы показали в предыдущем разделе, эти скалярные произведения обращаются в нуль при $\varkappa=\pm 2$. В то же время случай $\varkappa=0$ описывается формулой (3.9). Таким образом, неоднородная часть системы (5.4) полностью определена. В свою очередь, можно существенно упростить однородную часть уравнения (5.4). Заметим, что нам не требуется искать $X_j^\lambda$ для всех $j=1,\ldots,m+1$. Достаточно найти только один из них, например $X_{m+1}^\lambda$. Поскольку $X_{m+1}^\lambda$ не зависит от $w_{m+1}$, мы можем положить Тогда $\theta_2(y+w_{m+1})=0$, и мы немедленно получаем явное выражение для $X_{m+1}^\lambda$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &X_{m+1}^\lambda=\frac{(-1)^{\frac{n-m-1}2}}{T_{\nu}(-y^\ast|\bar v)} \biggl\{\frac{\theta_2(0)}{8}\sum_{\mu=0}^{3}\hat\beta^{+}_{\lambda-\mu}(-y^\ast)\mathbf S^{\nu,\mu}_{n,m+1}(\bar v|\bar w)+{} \notag\\ &\quad+\frac{1}{2\theta_1^2(x)\theta_2^2(x)\theta_2(0)} \sum_{\mu=0}^{3}\sum_{a>b}^{m+1}\omega_{ab}(-y^\ast)\hat\beta^{-}_{\lambda-\mu}(-y^\ast;w_a,w_b)\mathbf S^{\nu,\mu}_{n,m-1}(\bar v|\bar w_{a,b})\biggl\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
Очевидно, что $\beta^\pm_{l+2}=-\beta^\pm_l$. Тогда легко видеть, что $\hat\beta^\pm_{\lambda}$ отличен от нуля только для $\lambda=1$ или $\lambda=3$. Отсюда следует, что $X_{m+1}^{\lambda}$ равно нулю для $\lambda=\nu$ и $\lambda=\nu+2$, как мы и ожидали из правила отбора (2.41). Мы также видим, что в силу предложения 4.1 правая часть формулы (5.6) содержит только один тип скалярного произведения: либо с $m=n-1$, либо с $m=n+1$. Рассмотрим эти два случая отдельно. 5.1. Несбалансированные скалярные произведения с $\varkappa=1$Рассмотрим множество $\bar w=\{\bar u,-y^\ast\}$. Тогда
$$
\begin{equation}
X^\lambda_{m+1}=\mathbf S^{\nu,\lambda}_{n,n-1}(\bar v|\bar u).
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Поскольку все скалярные произведения $\mathbf S_{n,n-2}^{\nu,\mu}$ обращаются в нуль в силу предложения 4.1, уравнение (5.6) переходит в
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbf S^{\nu,\nu+1}_{n,n-1}(\bar v|\bar u)&=\frac{\theta_2(0)}{8T_\nu(-y^\ast|\bar v)} [\kern1pt\hat\beta^{+}_1(-y^\ast) \mathbf S^{\nu,\nu}_{n,n}(\bar v|\{\bar u,-y^\ast\})+ \hat\beta^{+}_3(-y^\ast)\mathbf S^{\nu,\nu+2}_{n,n}(\bar v|\{\bar u,-y^\ast\})], \\ \mathbf S^{\nu,\nu+3}_{n,n-1}(\bar v|\bar u)&= \frac{\theta_2(0)}{8T_\nu(-y^\ast|\bar v)} [\kern1pt\hat\beta^{+}_1(-y^\ast)\mathbf S^{\nu,\nu+2}_{n,n}(\bar v|\{\bar u,-y^\ast\})+ \hat\beta^{+}_3(-y^\ast)\mathbf S^{\nu,\nu}_{n,n}(\bar v|\{\bar u,-y^\ast\})]. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Введем
$$
\begin{equation}
\mathbf S^{\nu;\epsilon}_{n,n-1}(\bar v|\bar u)= \mathbf S^{\nu,\nu+1}_{n,n-1}(\bar v|\bar u)+(-1)^\epsilon \mathbf S^{\nu,\nu+3}_{n,n-1}(\bar v|\bar u),\qquad \epsilon=0,1.
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Тогда, используя равенство $\hat\beta_1+(-1)^\epsilon\hat\beta_3=4(-i)^\epsilon\beta_\epsilon$, получаем
$$
\begin{equation}
\mathbf S^{\nu;\epsilon}_{n,n-1}(\bar v|\bar u)= -(-i)^\epsilon\frac{\theta_2(0)\theta_1(x_\epsilon)}{2T_\nu(-y^\ast|\bar v)} \mathbf S^{\nu;\epsilon}_{n,n}(\bar v|\{\bar u,-y^\ast\}),
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
где скалярное произведение $S_{n,n}^{\nu;\epsilon}(\bar v|\bar u,-y^\ast)$ в правой части дается формулой (3.9). Заменяя в (3.9) $\bar u$ на $\{\bar u,-y^\ast\}$, находим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathbf S^{\nu;\epsilon}_{n,n-1}(\bar v|\bar u)&=\frac{(-i)^\epsilon}2 \theta_2(0) \theta_2(S'+s_\epsilon) \frac{\prod_{a=1}^{n-1} \theta_1(u_a+y)}{\prod_{a=1}^{n}\theta_1(v_a+y)}\times{} \notag\\ &\quad\times\frac{\prod_{a<b}^n\theta_2(v_a-v_b)\prod_{a<b}^{n-1}\theta_2(u_a-u_b)}{\prod_{a=1}^{n-1}\prod_{b=1}^n\theta_2(u_a-v_b)} \frac{\prod_{k=1}^{n-1} T_\nu(u_k|\bar v)}{\prod_{k=1}^{n}\Omega^\nu_k}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
где $S'=\sum_{j=1}^n v_j-\sum_{j=1}^{n-1} u_j$. 5.2. Несбалансированные скалярные произведения с $\varkappa=-1$Мы снова полагаем $\bar w=\{\bar u,-y^\ast\}$ и получаем
$$
\begin{equation}
X^\lambda_{m+1}=\mathbf S^{\nu,\lambda}_{n,n+1}(\bar v|\bar u).
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
На этот раз множество $\bar u$ состоит из $n+1$ параметров. В силу предложения 4.1 все скалярные произведения $\mathbf S_{n,n+2}^{\nu,\lambda}$ равны нулю. Рассмотрим комбинацию, аналогичную (5.8):
$$
\begin{equation}
\mathbf S_{n,n+1}^{\nu;\epsilon}(\bar v|\bar u)= \mathbf S_{n,n+1}^{\nu,\nu+1}(\bar v|\bar u)+(-1)^{\epsilon}\mathbf S_{n,n+1}^{\nu,\nu+3}(\bar v|\bar u).
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
Тогда аналогично случаю $\varkappa=1$ получим
$$
\begin{equation*}
\mathbf S^{\nu;\epsilon}_{n,n+1}(\bar v|\bar u)= \frac{-2(-i)^\epsilon\theta_1(x_\epsilon)}{\theta_1^2(x)\theta_2^2(x)\theta_2(0)T_\nu(-y^\ast|\bar v)} \sum_{a>b}^{n+2}\omega_{ab}(-y^\ast)\theta_1(w_a-t_\epsilon)\theta_1(w_b-t_\epsilon)\mathbf S^{\nu;\epsilon}_{n,n}(\bar v|\bar w_{a,b}).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, скалярное произведение $\mathbf S^{\nu;\epsilon}_{n,n+1}$ выражается через простую линейную комбинацию произведений $\mathbf S^{\nu;\epsilon}_{n,n}$.
6. ЗаключениеВ работе [26] мы утверждали, что для вычисления формфакторов недостаточно сбалансированных скалярных произведений. Необходимо также знать скалярные произведения с дисбалансом $\varkappa=\pm1$. В представленной работе мы показали, что в модели $XY$ последние простым образом выражаются через сбалансированные скалярные произведения. Таким образом, мы подготовили все необходимые инструменты для вычисления формфакторов локальных спиновых операторов в модели $XY$. Действительно, в силу явного решения обратной задачи последние сводятся к формфакторам элементов матрицы монодромии. Например, формфактор оператора $\sigma_k^z$ сводится к матричному элементу оператора $A(\xi_k)-D(\xi_k)$:
$$
\begin{equation}
\frac{\langle \Psi^\nu_n(\bar v)|\sigma_k^z |\Psi^\lambda_n(\bar u)\rangle}{\|\Psi^\nu_n(\bar v)\|\,\|\Psi^\lambda_n(\bar u)\|}= \biggl(\frac{\prod_{j=1}^{k-1}T_\lambda(\xi_j|\bar u)}{\prod_{j=1}^{k}T_\nu(\xi_j|\bar v)}\biggr) \frac{\langle \Psi^\nu_n(\bar v)|\big(A(\xi_k)-D(\xi_k)\big) |\Psi^\lambda_n(\bar u)\rangle}{\|\Psi^\nu_n(\bar v)\|\,\|\Psi^\lambda_n(\bar u)\|}.
\end{equation}
\tag{6.1}
$$
Действие оператора $A(\xi_k)-D(\xi_k)$ на вектор $|\Psi^\lambda_n(\bar u)\rangle$ схематично задается формулой (3.3) (с другими коэффициентами $\mathbf W^{(\lambda)}_{\varkappa;k}$). Таким образом, формфактор (6.1) сводится к линейной комбинации скалярных произведений с дисбалансом $\varkappa=0,\pm1$. Что касается правильной нормировки, то легко видеть, что она восстанавливается в выражениях, квадратичных по формфакторам. Мы полагаем, что предложенный в статье метод можно обобщить и на случай произвольного рационального значения параметра $\eta$. Как уже отмечалось, каскадная система уравнений для скалярных произведений (3.5) дает однородные уравнения при дисбалансе $\varkappa=0\,(\operatorname{mod}M(Q))$, где $M(Q)=Q$ при нечетном $Q$ и $M(Q)=Q/2$ для четного $Q$. Вполне возможно, что эти неоднородные уравнения имеют только тривиальные решения по той же причине, что и в случае свободных фермионов. Если это так, то мы получаем замкнутую систему неоднородных линейных уравнений для скалярных произведений с ненулевым дисбалансом. Остается только записать решение этой системы в удобном для дальнейших приложений виде. Мы изучим этот вопрос в наших будущих публикациях. Приложение А. Тета-функции ЯкобиЗдесь мы приводим только некоторые основные свойства тета-функций Якоби, которые используются в статье. Более подробную информацию можно найти в [40]. Тета-функции Якоби определяются следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \theta_1(u|\tau)&=-i\sum_{k\in\mathbb{Z}}(-1)^k q^{(k+\frac{1}{2})^2}e^{\pi i(2k+1)u},&\qquad \theta_2(u|\tau)&=\sum_{k\in\mathbb{Z}}q^{(k+\frac{1}{2})^2}e^{\pi i(2k+1)u}, \\ \theta_3(u|\tau)&=\sum_{k\in\mathbb{Z}}q^{k^2}e^{2\pi i ku},&\qquad \theta_4(u|\tau)&=\sum_{k\in \mathbb{Z}}(-1)^kq^{k^2}e^{2\pi i ku}, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{А.1}
$$
где $\tau\in\mathbb{C}$, $\operatorname{Im}\tau>0$ и $q=e^{\pi i\tau}$. Они удовлетворяют следующим свойствам относительно сдвигов:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} &\theta_1(u+1/2|\tau)=\theta_2(u|\tau),&\qquad&\theta_2(u+1/2|\tau)=-\theta_1(u|\tau), \\ &\theta_1(u+1|\tau)=-\theta_1(u|\tau),&\qquad&\theta_2(u+1|\tau)=-\theta_2(u|\tau), \\ &\theta_1(u+\tau|\tau)=-e^{-\pi i(2u+\tau)}\theta_1(u|\tau),&\qquad&\theta_2(u+\tau|\tau)=e^{-\pi i(2u+\tau)}\theta_2(u|\tau). \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{А.2}
$$
В этой статье мы пользуемся тождеством
$$
\begin{equation}
2\theta_1(u+v|2\tau)\theta_4(u-v|2\tau)=\theta_1(u|\tau)\theta_2(v|\tau)+\theta_2(u|\tau)\theta_1(v|\tau).
\end{equation}
\tag{А.3}
$$
Из этого тождества следует, что
$$
\begin{equation}
\theta_1(u|\tau)\theta_2(v|\tau)=\theta_1(u+v|2\tau)\theta_4(u-v|2\tau)+\theta_4(u+v|2\tau)\theta_1(u-v|2\tau).
\end{equation}
\tag{А.4}
$$
В частности, полагая в (А.4) $v=u$, получим
$$
\begin{equation}
\theta_1(u|\tau)\theta_2(u|\tau)=\theta_1(2u|2\tau)\theta_4(0|2\tau).
\end{equation}
\tag{А.5}
$$
Дифференцируя это соотношение по $u$ в нуле, приходим к тождеству
$$
\begin{equation}
\frac{\theta'_1(0|\tau)}{\theta'_1(0|2\tau)}=2\frac{\theta_4(0|2\tau)}{\theta_2(0|\tau)}.
\end{equation}
\tag{А.6}
$$
Приложение Б. Нулевые собственные векторыПусть $M$ – матрица размера $n\times n$ и ее матричные элементы можно представить в виде где $m<n$. Другими словами, матрица $M$ является произведением двух прямоугольных матриц размеров $n\times m$ и $m\times n$. Предположим, что $\operatorname{rank}B=m$. В противном случае, если $\operatorname{rank}B=m'$ с $m'<m$, то строки матрицы $B$ линейно зависимы, и мы можем представить $M$ в виде суммы $m'$ слагаемых:
$$
\begin{equation}
M_{jk}=\sum_{\ell=1}^{m'}\tilde A_{j\ell}B_{\ell k}.
\end{equation}
\tag{Б.2}
$$
Очевидно, что $\det M=0$. Найдем нулевые собственные векторы матрицы $M$. Для этого расширим $B$, добавив $n-m$ строк с элементами $B_{m+1,k},B_{m+2,k},\ldots,B_{n,k}$. Обозначим эту расширенную матрицу размера $n\times n$ через $\widetilde B$. Потребуем, чтобы $\widetilde B$ была обратимой. Тогда нулевые собственные векторы $\Psi^{(a)}$, $a=1,\ldots,n-m$, матрицы $M$ имеют следующие компоненты: Доказательство элементарно:
$$
\begin{equation}
\sum_{k=1}^nM_{jk}\Psi^{(a)}_k= \sum_{k=1}^n\sum_{\ell=1}^m A_{j\ell}B_{\ell k} (\widetilde B^{-1})_{k,m+a}= \sum_{\ell=1}^m A_{j\ell}\delta_{\ell,m+a}=0,
\end{equation}
\tag{Б.4}
$$
так как $\ell<m+a$. Мы предполагаем, что $\widetilde B_{jk}$ обратима, поэтому векторы $\Psi^{(a)}$ линейно независимы. В частности, пусть $B$ – прямоугольная матрица Коши,
$$
\begin{equation}
B_{jk}=\frac{\theta_1(x_j-y_k+\lambda)}{\theta_1(x_j-y_k)},\qquad j=1,\ldots,m,\quad k=1,\ldots,n,
\end{equation}
\tag{Б.5}
$$
зависящая от попарно различных комплексных чисел $x_1,\ldots,x_m$ и $y_1,\ldots,y_n$. Мы можем создать расширенную матрицу следующим образом:
$$
\begin{equation}
\widetilde B_{jk}=\frac{\theta_1(x_j-y_k+\lambda)}{\theta_1(x_j-y_k)},\qquad j,k=1,\ldots,n.
\end{equation}
\tag{Б.6}
$$
Здесь $x_{m+1},\ldots,x_n$ суть комплексные числа общего положения, не равные $x_1,\ldots,x_m$ и $y_1,\ldots,y_n$. Тогда расширенная матрица $\widetilde B$ невырожденна, а обратная матрица задается как
$$
\begin{equation}
(\widetilde B^{-1})_{jk}= \frac1{\theta_1(\lambda)\theta_1(S+\lambda)}\frac{\theta_1(S+\lambda-x_k+y_j)}{\theta_1(x_k-y_j)} \frac{\theta_1(x_k-\bar y)\theta_1(\bar x-y_j)}{\theta_1(x_k-\bar x_k)\theta_1(\bar y_j- y_j)},
\end{equation}
\tag{Б.7}
$$
где Соответственно, нулевые собственные векторы матрицы $M$ задаются как
$$
\begin{equation}
\Psi^{(l)}_j=C_l\theta_1(S+\lambda-x_{m+l}+y_j)\frac{\theta_1(\bar x_{m+l}-y_j)}{\theta_1(\bar y_j- y_j)},
\end{equation}
\tag{Б.8}
$$
где $C_l$ – некоторые константы. Мы видим, что разные собственные векторы параметризуются числами $x_{m+1},\ldots,x_n$.
Приложение В. Метод контурного интегралаМетод контурного интеграла позволяет вычислять или преобразовывать суммы специального вида, содержащие тета-функции Якоби. Для иллюстрации этого метода рассмотрим два примера. Первый пример связан с преобразованием матричного произведения $\mathbf\Omega^1\mathbf\Omega^0$. Из формулы (4.12) следует, что произведение $\mathbf\Omega^1\mathbf\Omega^0$ имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
(\mathbf\Omega^1\mathbf\Omega^0)_{jk}=\frac{\theta_2(0)f(u_k,\bar u_k)}{\theta_1(x)\theta_2(x)f(u_j,\bar v)}H_{jk},
\end{equation}
\tag{В.1}
$$
где
$$
\begin{equation}
H_{jk}=\sum_{a=1}^{n-2p+1} \frac{\theta_2(u_a-\bar u)\theta_1(u_a-\bar v)}{\theta_1(u_a-\bar u_a)\theta_2(u_a-\bar v)} \frac{\theta_2(u_{\ell j}-x)\theta_1(u_{\ell k}+x)}{\theta_2(u_a-u_j)\theta_2(u_a-u_k)}.
\end{equation}
\tag{В.2}
$$
Рассмотрим контурный интеграл
$$
\begin{equation}
J=\frac{\theta'_1(0)}{2\pi i}\oint dz\, \frac{\theta_2(z-\bar u)\theta_1(z-\bar v)}{\theta_1(z-\bar u)\theta_2(z-\bar v)} \frac{\theta_2(z-u_{j}-x)\theta_1(z-u_{k}+x)}{\theta_2(z-u_j)\theta_2(z-u_k)},
\end{equation}
\tag{В.3}
$$
где интегрирование ведется по границе фундаментальной области. Используя (А.2), получаем, что $J=0$ в силу периодичности (напомним, что $\operatorname{\#}\bar u=n-2p+1$ и $\operatorname{\#}\bar v=n$). С другой стороны, этот интеграл равен сумме вычетов внутри контура интегрирования. Сумма вычетов в $z=u_a$ дает $H_{jk}$. Мы также имеем полюсы при $z=v_q+1/2$, $q=1,\ldots,n$. Наконец, при $j=k$ существует полюс в точке $z=u_j+1/2$. Таким образом, получаем
$$
\begin{equation}
H_{jk}=\delta_{jk}\frac{f(u_j,\bar v)}{f(u_j,\bar u_j)}\frac{\theta_1(x)\theta_2(x)}{\theta_2(0)}+ \theta_2(0)\sum_{q=1}^{n}\frac{f(v_q,\bar v_q)}{f(v_q,\bar u)} \frac{\theta_1(u_{j}-v_q+x)\theta_2(u_{k}-v_q-x)}{\theta_1(u_j-v_q)\theta_1(u_k-v_q)}.
\end{equation}
\tag{В.4}
$$
Отсюда следует, что
$$
\begin{equation}
(\mathbf\Omega^1\mathbf\Omega^0)_{jk}=\delta_{jk}+ \frac{\theta_2^2(0)f(u_k,\bar u_k)}{\theta_1(x)\theta_2(x)f(u_j,\bar v)} \sum_{q=1}^{n}\frac{f(v_q,\bar v_q)}{f(v_q,\bar u)} \frac{\theta_1(u_{j}-v_q+x)\theta_2(u_{k}-v_q-x)}{\theta_1(u_j-v_q)\theta_1(u_k-v_q)}.
\end{equation}
\tag{В.5}
$$
В результате приходим к (4.15). Во втором примере вычислим коэффициенты $\mathcal A_j$ (4.27). Имеем
$$
\begin{equation}
\mathcal A_j=\frac{-1}{f(v_n,v_j)\theta_1(x)\theta_1(x-S)}\frac{\theta_2(\bar u-v_j)}{\theta_2(\bar v_{n,j}-v_j)} \frac{f(v_n,\bar v_n)}{f(v_n,\bar u)}G^a_j,
\end{equation}
\tag{В.6}
$$
где
$$
\begin{equation}
G^a_j=\sum_{a=1}^{n-1} \frac{\theta_1(u_a-v_j-x+S)\theta_1(u_a-v_n+x)}{\theta_1(u_a-v_j)\theta_1(u_a-v_n)} \frac{\theta_1(u_a-\bar v_n)}{\theta_1(u_a-\bar u_a)}.
\end{equation}
\tag{В.7}
$$
Функцию $G^a_j$ можно найти из следующего контурного интеграла:
$$
\begin{equation}
J^a_j=\frac{\theta'_1(0)}{2\pi i}\oint dz\, \frac{\theta_1(z-v_j-x+S)\theta_1(z-v_n+x)}{\theta_1(z-v_j)\theta_1(z-v_n)} \frac{\theta_1(z-\bar v_n)}{\theta_1(z-\bar u)}.
\end{equation}
\tag{В.8}
$$
В силу периодичности этот интеграл равен нулю. С другой стороны, в силу теоремы о вычетах он дает $G^a_j$ и вычет в полюсе $z=v_n$:
$$
\begin{equation}
J^a_j=0=G^a_j +\theta_1(x) \frac{\theta_1(v_{nj}-x+S)}{\theta_1(v_{nj})} \frac{\theta_1(v_n-\bar v_n)}{\theta_1(v_n-\bar u)},
\end{equation}
\tag{В.9}
$$
что приводит к (4.28). БлагодарностиАвторы благодарны А. Забродину и А. Зотову за многочисленные и плодотворные обсуждения. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KulSla23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|