| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) О задаче рассеяния на потенциале, убывающем пропорционально обратному квадрату расстояния В. А. Градусов, С. Л. Яковлев Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923110120 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВзаимодействие между заряженной частицей и мишенью, содержащей заряженные частицы, приводит к появлению на больших расстояниях от мишени медленно убывающего потенциала, имеющего вид суммы мультипольных членов [1]. Старшими членами в этом разложении являются кулоновское взаимодействие (в случае заряженной мишени) и наведенное дипольное взаимодействие, обратно пропорциональное квадрату расстояния $\pm \alpha^2 r^{-2}$. Следующие члены разложения, убывающие как $O(r^{-3})$ и быстрее, не дают вклада в поведение старших членов волновых функций и при решении задачи рассеяния могут быть учтены методами теории возмущений. Наведенное дипольное взаимодействие появляется, когда состояние мишени не является сферически-симметричным, как, например, при рассеянии электронов на возбужденных состояниях атома водорода. При теоретическом решении задачи рассеяния такое взаимодействие получается в результате разложения волновой функции многочастичной системы по волновым функциям состояний мишени и в этом смысле является эффективным потенциалом для эффективных уравнений, описывающих относительное движение налетающей частицы и мишени [2], [3]. Движение в поле отталкивания ($+\alpha^2r^{-2}$) является вполне регулярным, тогда как в поле притяжения ($-\alpha^2r^{-2}$) движение на больших расстояниях приобретает ряд особенностей [1]. В частности, при достаточной интенсивности $\alpha^2$ притяжения в пороговом поведении сечения рассеяния появляются характерные осцилляции, впервые теоретически предсказанные в работах [4], [5] для задачи рассеяния электрона на атоме водорода. Для нахождения околопорогового поведения сечения традиционно применяется так называемый вычислительный метод $R$-матрицы [6], [7]. Используемый для численного решения уравнения Шредингера, данный метод, однако, не может считаться вполне строгим с математической точки зрения. Строгий подход основан на интегральных уравнениях типа Липпманна–Швингера, которые позволяют доказать существование и единственность решения задачи рассеяния, а также позволяют получать полные решения задачи рассеяния, включая представления для амплитуд рассеяния, матриц рассеяния и т. п. В настоящей работе мы строим интегральное уравнение такого типа для решения задачи рассеяния на потенциале, который убывает на больших расстояниях как $-\alpha^2/r^2$, и исследуем его решение при малых энергиях. Полученное решение затем используется для анализа решения многоканальной задачи рассеяния для системы электрон–позитрон–антипротон. Хотя можно было бы взять и другую систему трех заряженных частиц, однако именно эта система в последнее время привлекает внимание исследователей, так как играет важную роль в экспериментах по изучению антиматерии [8], [9]. Теоретическое исследование процессов столкновений в такой трехчастичной системе при околопороговых энергиях сильно затруднено из-за чрезвычайно медленного выхода на асимптотику волновой функции, что обусловлено медленным убыванием дипольной части взаимодействия [10]–[14]. Этим, в частности, объясняется относительно небольшое количество теоретических работ, посвященных исследованию процессов рассеяния в таких системах заряженных частиц при низких энергиях. Прогресс в численном решении критически зависит от использования в трехчастичных уравнениях волновой функции для задачи рассеяния на потенциале с наведенным дипольным взаимодействием, которая для этих уравнений играет роль асимптотического граничного условия. Отметим, что на протяжении долгого времени основной интерес в теоретическом плане к задачам для уравнения Шредингера с потенциалом, обратно пропорциональным квадрату расстояния, в основном был связан с трехчастичными эффектами Томаса и Ефимова [15], [16] появления бесконечных серий трехчастичных связанных состояний. Эти эффекты порождаются эффективным трехчастичным потенциалом притяжения, обратно пропорциональным квадрату гиперрадиуса, который возникает на малых расстояниях между частицами для специального класса парных взаимодействий (см., например, недавнюю работу [17]). Следует также упомянуть работы (см. [18] и ссылки в этой работе), в которых изучались трехчастичные связанные состояния для частиц с парными взаимодействиями, обратно пропорциональными квадратам расстояний. Особенностям же динамики частиц, взаимодействующих на больших расстояниях посредством потенциалов, убывающих как обратный квадрат расстояния, в теоретическом плане уделялось недостаточное внимание (исключением служит разве что работа [19]). В настоящей работе мы восполняем этот пробел и проводим детальное исследование решения уравнения Шредингера для задачи рассеяния с такими потенциалами на базе интегральных уравнений типа Липпманна–Швингера. 2. Задача одноканального рассеянияЗадача одноканального рассеяния1 заключается в нахождении решения уравнения Шредингера
$$
\begin{equation}
\biggl[-\frac{d^2}{dr^2} +\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}+V^{d}(r)-p^2 \biggr] \psi(r,p)=0
\end{equation}
\tag{1}
$$
на промежутке $0\leqslant r < \infty$, которое удовлетворяет условию регулярности в точке $r=0$ и асимптотическому условию при $r\to \infty$
$$
\begin{equation}
\psi(r,p)\sim \biggl[\sin\biggl(pr-\frac{\ell\pi}{2}\biggr)+\cos\biggl(pr-\frac{\ell\pi}{2}\biggr)K_\ell(p)\biggr]A_\ell
\end{equation}
\tag{3}
$$
с некоторой вещественной амплитудой $A_\ell$. В силу однородности уравнения (1) конкретное значение константы $A_\ell$ не играет роли. Вещественная неизвестная $K_\ell(p)$, определяемая в процессе решения, называется $K$-матрицей. Вещественнозначный потенциал $V^d(r)$, соответствующий дипольному взаимодействию на больших расстояниях, задается формулами
$$
\begin{equation*}
V^{d}(r)= \begin{cases} V(r), & 0\leqslant r < R, \\ -\alpha^2/r^2, & r\geqslant R. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
$V(r)$ определяет взаимодействие на малых и средних расстояниях, является достаточно гладкой функцией и удовлетворяет стандартному условию при малых $r$ с некоторой константой $c$ такой, что $0<c<\infty$. Параметр $R$ соответствует расстоянию, на котором $V^{d}(r)$ становится дипольным притяжением. Потенциал $V^d(r)$ удовлетворяет условиям [20], которые достаточны для существования и единственности решения задачи рассеяния (1)–(3). Однако дальнодействующий характер взаимодействия $V^d(r)=O(1/r^2)$ приводит к практической бесполезности асимптотического условия (3), в частности, при малых значениях $p$. В связи с этим требуется построить такой алгоритм решения, при котором дальнодействующая часть взаимодействия учитывается явно. Такой алгоритм мы реализуем с помощью метода расщепления потенциала [21]–[24], в рамках которого потенциал $V^{d}$ представляется в виде суммы потенциала конечного радиуса действия $V_R$ и дальнодействующей части $V^R$: где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, V_R(r)&=\begin{cases} V(r)+V_0, & 0\leqslant r < R, \\ 0, & r\geqslant R, \end{cases} \\ V^R(r)&= \begin{cases} -V_0, & 0\leqslant r < R, \\ -\alpha^2/r^2, & r\geqslant R. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В общем случае параметр $V_0>0$ может быть выбран достаточно произвольным, в то время как выбор $V_0=\alpha^2/R^2$ является наиболее естественным. Уравнение (1) преобразуем к виду
$$
\begin{equation}
\biggl[-\frac{d^2}{dr^2} +\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}+V^R(r)-p^2 \biggr] \psi(r,p)=-V_R(r)\psi(r,p).
\end{equation}
\tag{5}
$$
Решение уравнения (5) разобьем на два этапа. Сначала рассмотрим однородное уравнение с потенциалом $V^R$
$$
\begin{equation}
\biggl[-\frac{d^2}{dr^2} +\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}+V^R(r)-p^2 \biggr] \phi(r,p)=0
\end{equation}
\tag{6}
$$
и построим для него регулярное и нерегулярное решения и соответствующую функцию Грина. Регулярное решение, удовлетворяющее условию $\phi(0,p)=0$, на промежутке $0\leqslant r\leqslant R$ имеет вид При $r\geqslant R$ выберем его в форме, согласующейся с (3): Здесь в общем случае нецелое значение $\lambda$ означает тот корень уравнения $\ell(\ell+1)-\alpha^2=\lambda(\lambda+1)$, который при $\alpha=0$ становится равным $\ell$:
$$
\begin{equation*}
\lambda=-\frac12+\sqrt{\frac14+\ell(\ell+1)-\alpha^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Функции $F_\lambda$ и $G_\lambda$ выражаются в терминах функций Бесселя:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, F_\lambda(z)&= \sqrt{\frac{\pi z}{2}}J_{\lambda+1/2}(z), \\ G_\lambda(z)&=\frac{1}{\cos \lambda \pi} \sqrt{\frac{\pi z}{2}}J_{-\lambda-1/2}(z), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8}
$$
они являются линейно независимыми решениями уравнения
$$
\begin{equation*}
\biggl[-\frac{d^2}{dz^2} +\frac{\lambda(\lambda+1)}{z^2}-1 \biggr] F_\lambda(G_\lambda)=0
\end{equation*}
\notag
$$
при произвольном значении $\lambda$, включая комплексные. Если выбор нормировки функции $F_\lambda(z)$ стандартен, то для нерегулярного решения $G_\lambda(z)$ в литературе имеются различные варианты. Наш выбор в (8) сделан так, чтобы при целочисленном значении $\lambda=\ell\geqslant 0$ функция $G_\ell(z)$ совпадала с кулоновской функцией $G_\ell(\eta,z)$ [25] при $\eta=0$. С помощью стандартных разложений для функций Бесселя [25] можно получить следующие представления для функций $F_\lambda(z)$ и $G_\lambda(z)$, которые понадобятся в дальнейшем для анализа низкоэнергического поведения решений:
$$
\begin{equation}
F_\lambda(z) = z^{\lambda+1}\sum_{k=0}^{\infty} f_k z^{2k} \equiv z^{\lambda+1} {\widetilde F}_\lambda(z^2),
\end{equation}
\tag{9}
$$
$$
\begin{equation}
G_\lambda(z) = z^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty} g_k z^{2k} \equiv z^{-\lambda} {\widetilde G}_{\lambda}(z^2).
\end{equation}
\tag{10}
$$
Коэффициенты $f_k$ и $ g_k$ (свои для каждого $\lambda$) не зависят от $z$. Также справедливы следующие асимптотические представления при $|z| \to \infty$:
$$
\begin{equation*}
F_\lambda(z) \sim \sin\biggl(z-\frac{\lambda\pi}{2}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
G_\lambda(z) \sim \frac{1}{\cos \lambda \pi}\cos\biggl(z+\frac{\lambda\pi}{2}\biggr).
\end{equation}
\tag{11}
$$
Правая часть (11) при целочисленном $\lambda=\ell \geqslant 0$ принимает стандартный вид $\cos(z-\ell\pi/2)$. Параметры $a_1(p)$ и $b_1(p)$ определяются из условий сшивания представлений для решения $\phi(r,p)$ и его производной в точке $r=R$ и даются формулами
$$
\begin{equation}
a_1(p)=-\frac{W(F_\lambda,G_\lambda)}{W(G_\lambda,F_\ell)}, \qquad b_1(p)=-\frac{W(F_\lambda,F_\ell)}{W(G_\lambda,F_\ell)}.
\end{equation}
\tag{12}
$$
В этих формулах вронскианы вида $W(f,g)=f {\dot g}- {\dot f}g$ вычисляются при $r=R$. Здесь и далее точкой обозначается производная по переменной $r$, например ${\dot f}= df/dr$. Построим второе линейно независимое c $\phi(r,p)$ решение $\gamma(r,p)$ уравнения (6), нерегулярное в точке $r=0$. Положим
$$
\begin{equation*}
\gamma(r,p)= \begin{cases} a_2(p)F_\ell(qr)+b_2(p) G_\ell(qr), & 0\leqslant r\leqslant R, \\ G_\lambda(pr), & r\geqslant R. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Сшивание решений при $r=R$ ведет к следующим значениям для $a_2$ и $b_2$:
$$
\begin{equation}
a_2(p)=-\frac{W(G_\lambda,G_\ell)}{W(G_\ell,F_\ell)},\qquad b_2(p)= \frac{W(G_\lambda,F_\ell)}{W(G_\ell,F_\ell)},
\end{equation}
\tag{13}
$$
где, как и ранее, вронскианы вычисляются в точке $r=R$. Решения $\phi(r,p)$ и $\gamma(r,p)$ стандартным образом позволяют построить функцию Грина $\Gamma(r,r',p)$, дающую решение неоднородного уравнения
$$
\begin{equation*}
\biggl[-\frac{d^2}{dr^2} +\frac{\ell(\ell+1)}{r^2}+V^R(r)-p^2 \biggr] \Gamma(r,r',p)=\delta(r-r')
\end{equation*}
\notag
$$
в виде
$$
\begin{equation*}
\Gamma(r,r',p)=-\frac{\phi(r_{<},p)\gamma(r_{>},p)}{W(\phi,\gamma)},
\end{equation*}
\notag
$$
где $r_>=\max[r,r']$, $r_<=\min[r,r']$. Вронскиан в знаменателе не зависит от $r$ и дается формулой Используя функцию Грина $\Gamma(r,r',p)$, перейдем ко второму этапу решения задачи и преобразуем (5) к интегральной форме уравнения Липпманна–Швингера
$$
\begin{equation}
\psi(r,p)=\phi(r,p)-\int_0^R dr' \, \Gamma(r,r',p)V_R(r')\psi(r',p).
\end{equation}
\tag{14}
$$
Структура уравнения (14) такова, что для нахождения $\psi(r,p)$ на всем промежутке $0\leqslant r< \infty$ достаточно найти решение уравнения (14) при $0\leqslant r\leqslant R$. Действительно, ограничивая (14) на промежуток $0\leqslant r\leqslant R$, получаем замкнутое интегральное уравнение для функции $\psi_R(r,p)=\psi(r,p)$ при $0\leqslant r\leqslant R$
$$
\begin{equation}
{\psi}_R(r,p)=a_1(p) F_{\ell}(qr)-\int_0^R dr' \, \Gamma(r,r',p)V_R(r'){ \psi}_R(r',p).
\end{equation}
\tag{15}
$$
Вместе с тем уравнение (14) при $R\leqslant r<\infty$ теперь превращается просто в формулу для вычисления $\psi(r,p)$ по ${\psi}_R(r,p)$,
$$
\begin{equation}
\psi(r,p)= F_\lambda(pr)+G_\lambda(pr) {\cal K}_{\lambda\ell}(p),
\end{equation}
\tag{16}
$$
где ${\cal K}_{\lambda\ell}(p)$ дается интегралом
$$
\begin{equation}
{\cal K}_{\lambda\ell}(p)= b_1(p)-\frac{1}{b_2(p)q}\int_0^R dr'\, F_\ell(qr')V_R(r'){\psi}_R(r',p).
\end{equation}
\tag{17}
$$
Тем самым для решения задачи рассеяния на всем промежутке $0\leqslant r<\infty$ достаточно решить уравнение для $\psi_R(r,p)$ на промежутке $0\leqslant r\leqslant R$. В разделе 5 показано, что интегральное уравнение (15) может быть сведено к уравнению Вольтерра, решение которого дается итерационным разложением [20]. Последнее обстоятельство гарантирует существование и единственность решения уравнения для ${ \psi_R(r,p)}$, которое единственным образом определяет искомое решение задачи рассеяния $\psi(r,p)$ на всем промежутке $0\leqslant r<\infty$. Полученное представление (16) теперь может заменить асимптотическое условие (3) в формулировке задачи рассеяния. Отметим в связи с этим, что представление (16) справедливо начиная с $r=R$, и при этом $pR$ не только может не быть большим при малых значениях $p$, но и принимать сколь угодно малые значения при $p\to 0$. Для области же физической асимптотики волновой функции (3) требуется $pr\to\infty$ при $r\geqslant R$. В этой асимптотической области $\psi(r,p)$ принимает вид
$$
\begin{equation*}
\psi(r,p)\sim \sin\biggl(pr-\frac{\lambda\pi}{2}\biggr)+ \frac{\cos(pr+\lambda\pi/2)}{\cos (\lambda \pi)}{\cal K}_{\lambda\ell}(p).
\end{equation*}
\notag
$$
В свою очередь, правая часть последнего соотношения преобразуется к виду стандартной физической асимптотики (3) решения задачи рассеяния
$$
\begin{equation*}
\psi(r,p)\sim \biggl[ \sin\biggl(pr-\frac{\ell\pi}{2}\biggr)+\cos\biggl(pr-\frac{\ell\pi}{2}\biggr) K_{\ell}(p)\biggr] A_{\lambda\ell},
\end{equation*}
\notag
$$
где физическая $K$-матрица дается выражением
$$
\begin{equation}
K_{\ell}(p)= \frac{\cos(\lambda\pi)\sin((\ell-\lambda)\pi/2)+{\cal K}_{\lambda\ell}(p)\cos((\ell+\lambda)\pi/2)} {\cos(\lambda\pi)\cos((\ell-\lambda)\pi/2)-{\cal K}_{\lambda\ell}(p) {\sin((\ell+\lambda)\pi/2)}},
\end{equation}
\tag{18}
$$
а амплитуда $A_{\lambda\ell}$ дается формулой
$$
\begin{equation*}
A_{\lambda\ell}= \cos\frac{(\ell-\lambda)\pi}{2}- {\cal K}_{\lambda\ell}(p)\frac{\sin((\ell+\lambda)\pi/2)}{\cos(\lambda\pi)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Итак, мы построили решение задачи рассеяния (1)–(3) и получили представление для $K$-матрицы (18). В следующем разделе анализируется низкоэнергетическое поведение $K_{\ell}(p)$ при $p\to 0$. 3. Низкоэнергетическое поведение $K$-матрицыЗависимость $K$-матрицы (18) от $p$ полностью определяется функцией ${\cal K}_{\lambda\ell}(p)$ (17). Последняя же зависит от $p$ через комбинацию $pR$, от которой зависят функции $F_\lambda$ и $G_\lambda$, а также через комбинацию $qR$, от которой зависят функции $F_\ell$ и $G_\ell$. Поскольку $q^2=p^2 + V_0$, то при $p\to 0$ переменная $q$ становится не зависящей от $p$. По этой причине функции $F_\ell$ и $G_\ell$ в старшем порядке можно считать не зависящими от $p$. Тем самым вся зависимость от $p$ будет сосредоточена в функциях $F_\lambda$ и $G_\lambda$. Поэтому в данном разделе мы вводим переменную $z=pR$ и изучаем поведение $K$-матрицы как функции $z$ при $z\to 0$. Представления для $b_1$ и $b_2$, необходимые для (17), при $z\to 0$ получаются из найденных для них выражений в (12), (13) и определений (9) и (10):
$$
\begin{equation}
b_1 = z^{2\lambda+1} {\tilde b}_1= -z^{2\lambda+1}\frac{f_0{\dot F}_\ell - ((\lambda+1)f_0/R)F_\ell} {g_0{\dot F}_\ell + (\lambda g_0/R)F_\ell}(1+O(z^2)),
\end{equation}
\tag{19}
$$
$$
\begin{equation}
b_2 =z^{-\lambda}{\tilde b }_2= z^{-\lambda} \frac{g_0{\dot F}_\ell+ (\lambda g_0/R)F_\ell} {q}(1+O(z^2)).
\end{equation}
\tag{20}
$$
В этих формулах, как и раньше, точкой обозначены производные по переменной $r$, а функции $F_\ell$ и ${\dot F}_\ell$ вычисляются в точке $r=R$. Для оценки интегрального члена в (17) рассмотрим более подробно интегральное уравнение (15) для функции $\psi_R$ на промежутке $0\leqslant r\leqslant R$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, {\psi}_R(r,p)={}&a_1F_\ell(qr) -\frac{F_\ell(qr)}{q}\int_r^R \biggl[\frac{a_2}{b_2}F_\ell(qr') +G_\ell(qr') \biggr] V_R(r'){\psi}_R(r',p)\, dr' -{} \notag \\ &-\biggl[\frac{a_2}{b_2}F_\ell(qr)+G_\ell(qr)\biggr] \frac{1}{q}\int_0^r F_\ell(qr') V_R(r') {\psi}_R(r',p)\,dr'. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{21}
$$
Для $a_1$ и $a_2/b_2$ аналогично предыдущему получаем следующие представления:
$$
\begin{equation}
a_1 =\frac{z^{\lambda+1}}{R}{\tilde a}_1= \frac{z^{\lambda+1}}{R}\frac{(2\lambda +1)f_0}{{\dot F}_\ell +(\lambda/R)F_\ell}(1+O(z^2)),
\end{equation}
\tag{22}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{a_2}{b_2} =-\frac{{\dot G}_\ell+(\lambda/R)G_\ell}{{\dot F}_\ell+(\lambda/R)F_\ell}(1+O(z^2)) ,
\end{equation}
\tag{23}
$$
в которых функции $F_\ell$, $G_\ell$ и их производные вычисляются в точке $r=R$. Из формул (22) и (23) видно, что $a_2/b_2$ превращается в постоянную при $z\to 0$ и также постоянной становится перенормированная величина ${\tilde a}_1= Rz^{-\lambda-1}a_1$. Отсюда следует, что перенормированная функция ${\tilde \psi}_R(r,p)=Rz^{-\lambda-1}{\psi_R(r,p)}$ удовлетворяет перенормированному уравнению (21), в котором $a_1$ следует заменить на ${\tilde a}_1$. Поскольку в полученном таким образом уравнении свободный член и ядро становятся не зависящими от $z$ величинами при $z\to 0$, то и его решение ${\tilde \psi}_R(r,p)$ будет обладать таким же свойством. В результате приходим к следующему низкоэнергетическому поведению исходного решения ${ \psi}_R(r,p)$ при $z\to 0$:
$$
\begin{equation}
{\psi}_R(r,p) = \frac{z^{\lambda+1}}{R} {\tilde \psi}_R(r,p),
\end{equation}
\tag{24}
$$
в котором ${\tilde \psi}_R(r,p)$ становится не зависящей от $z$ при $z\to 0$. Формулы (19), (20) и (24) позволяют получить следующее окончательное факторизованное представление для ${\cal K}_{\lambda\ell}(p)$, в котором мы возвращаемся к исходной переменной $p$:
$$
\begin{equation}
{\cal K}_{\lambda\ell}(p) = (pR)^{2\lambda+1} {\widetilde {\cal K}}_{\lambda\ell}(p),
\end{equation}
\tag{25}
$$
$$
\begin{equation}
{\widetilde {\cal K}}_{\lambda\ell}(p) = {\tilde b}_1-\frac{1}{q{\tilde b}_2R} \int_0^R dr'\, F_\ell(qr')V_R(r'){\tilde \psi}_R(r',p).
\end{equation}
\tag{26}
$$
Здесь перенормированная величина ${\widetilde {\cal K}}_{\lambda\ell}(p)$ становится независимой от $p$ при $pR\to 0$. Формула (25) при подстановке в (18) дает обобщение на случай дипольного взаимодействия представления для порогового поведения $K$-матрицы. Заметим при этом, что при $\alpha^2=0$ полученные выше формулы приводят к стандартному пороговому поведению для $K$-матрицы. Действительно, в этом случае $\lambda=\ell$, что влечет равенство $K_\ell(p)={\cal K}_{\ell\ell}(p)$ и, соответственно, формула (25) воспроизводит пороговое поведение для быстро убывающих потенциалов $K_\ell(p)\sim (pR)^{2\ell+1}$. Формулы (24) и (25), (26) являются главными результатами нашего исследования низкоэнергетического рассеяния на потенциале с дипольным взаимодействием на больших расстояниях. В отличие от аналогичного результата [4], [5], формулы (25), (26) дают явные представления для $K$-матрицы в терминах волновой функции. Последняя, в свою очередь, дается решением интегрального уравнения Липпманна–Швингера (14), что представляется важным преимуществом разработанного в настоящей работе формализма. 4. Анализ низкоэнергетического рассеяния в системе электрон–позитрон–антипротонВ данном разделе применим полученные результаты для анализа рассеяния антипротона на позитронии $\mathrm{Ps}$ (связанное состояние электрона и позитрона). Как отмечено в разделе 1, именно эта система привлекает внимание в связи с экспериментами по изучению антиматерии. Поляризационный потенциал взаимодействия между антипротоном и электрон-позитронной парой возникает в том случае, когда $\mathrm{Ps}$ находится в возбужденном состоянии. Рассмотрим случай первого возбужденного состояния с главным квантовым числом $n=2$, в котором орбитальный момент пары может принимать значения $\ell=0,1$. При проецировании потенциалов взаимодействия между антипротоном и составляющими $\mathrm{ Ps}$ частицами на волновые функции мишени ($\mathrm{Ps},\, n=2$) возникает матричный эффективный поляризационный потенциал, который при достаточно большом расстоянии $r$ между $\mathrm{ Ps}$ и $\bar p$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
V_{\mathrm{Ps}-\bar{p}}(r)=\frac{1}{r^2} \begin{pmatrix} 0& 23.9739 \\ 23.9739& 0 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь и далее используются атомные единицы для энергии и расстояния c атомной единицей длины $a_0$. Вместе с центробежным взаимодействием $V_{\mathrm{Ps}-\bar{p}}$ образует результирующий матричный потенциал
$$
\begin{equation*}
V_{\mathrm{eff}}(r) =\frac{1}{r^2} \begin{pmatrix} 0& 23.9739 \\ 23.9739& 2 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Решение двухканального уравнения Шредингера с таким потенциалом осуществляется с помощью диагонализации $V_{\mathrm{eff}}$
$$
\begin{equation*}
U^{\unicode{8224}}V_{\mathrm{eff}}(r)U =\frac{1}{r^2} \begin{pmatrix} 24.9947& 0 \\ 0& - 22.9947 \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
и последующей параметризации [4], [5], [7] вида
$$
\begin{equation*}
U^{\unicode{8224}}V_{\mathrm{eff}}(r)U = \frac{1}{r^2}\Lambda(\Lambda+1) .
\end{equation*}
\notag
$$
Диагональная матрица $\Lambda$ дается формулой
$$
\begin{equation*}
\Lambda= \begin{pmatrix} \lambda_1& 0 \\ 0& \lambda_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4.52441& 0 \\ 0& -0.5 +\mathrm{i} 4.76914 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathrm{i}=\sqrt{-1}$. Комплексное значение $\lambda_2$ отвечает ситуации, когда в данном канале на больших расстояниях возникает достаточно интенсивный поляризационный потенциал притяжения. Именно в этой ситуации в низкоэнергетическом рассеянии появляются осцилляции, предсказанные в работах [4], [5]. Действительно, согласно (25), (26) вклады в $K$-матрицу от асимптотической части взаимодействия и от взаимодействия на средних и малых расстояниях $V(r)$ имеют одну и ту же зависимость от относительного импульса $p$, а именно $(pR)^{2\lambda +1}$. В случае $\lambda=\lambda_2$ эта зависимость превращается в осциллирующий фактор
$$
\begin{equation}
\exp\{2\mathrm{i} (\operatorname{Im}\lambda_2)\ln(pR) \}.
\end{equation}
\tag{27}
$$
Для иллюстрации возникающих осцилляций рассмотрим решение модельной задачи рассеяния с потенциалом $V^R$ с параметрами, соответствующими реальным параметрам эффективного $\mathrm{Ps}-\bar{p}$ потенциала,
$$
\begin{equation}
\ell = 1,\quad \ell(\ell+1)- \alpha^2= -22.9947,\quad R = 6.0\, a_0.
\end{equation}
\tag{28}
$$
На рис. 1 приведен график в логарифмическом масштабе по переменной $p$ сечения рассеяния, вычисленного на основании представления для $K$-матрицы (18) по формуле
$$
\begin{equation*}
\sigma_1 = \frac{3\pi}{p^2}\biggl|\frac{2 \mathrm{i} K_1(p)}{1-\mathrm{i} K_1(p)}\biggr|^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Отчетливо виден логарифмический характер расположения максимумов (минимумов) сечения, диктуемых зависимостью (27). Особый интерес представляет поведение волновых функций, реализующих решение задачи рассеяния (1)–(3). Квадраты волновых функций, нормированных асимптотическим условием (3) с $A_\ell=1$, для двух значений импульса $p=0.006 a_0^{-1}$ и $ p=0.02\, a_0^{-1}$ имеют вид, показанный на pис. 2. При этом получаются следующие значения для величин $K$-матриц: ${\cal K}_{\lambda\ell}(0.02)=3.12\cdot10^5+\mathrm{i}\, 1.58\cdot10^6$, $K_\ell(0.02)=-0.822$, ${\cal K}_{\lambda\ell}(0.006)=-1.25\cdot10^6+\mathrm{i}\,1.01\cdot10^6$, $K_\ell(0.006)=-2.82$. Видно, что амплитуды колебаний становятся постоянными при очень больших расстояниях, $r> 2000 a_0$ для $p=0.02 a_0^{-1}$ и $r>5000 a_0$ для $p=0.006 a_0^{-1}$ соответственно. Эти расстояния определяют области, в которых волновые функции выходят на физическую асимптотику (3). В то же время волновые функции становятся равными суперпозиции (16) функций $F_\lambda$ и $G_\lambda$ при $r\geqslant 6 a_0$. Таким образом, выбор представления (16) в качестве асимптотического граничного условия вместо (3) уменьшает размер области, в которой необходимо решать уравнение Шредингера, в среднем на три порядка.  Рис. 2.Квадраты волновых функций, нормированных асимптотическим условием (3) с $A_\ell=1$, для потенциала $V^R$ с параметрами (28) при различных значениях $p$: сплошная линия соответствует $p=0.006\, a_0^{-1}$, штриховая линия соответствует $p = 0.02 \, a^{-1}_0$. 5. Анализ интегрального уравнения (15)Здесь мы сведем интегральное уравнение типа Фредгольма (15) к уравнению типа Вольтерра, к которому в полной мере могут быть применены результаты [20]. Используя явный вид функции Грина $\Gamma(r,r',p)$, запишем уравнение (15) в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \psi_R(r,p)={}&\phi(r,p)+ \frac{1}{W(\phi,\gamma)}\int_0^r dr'\, \phi(r',p)\gamma(r,p)V_R(r')\psi_R(r',p)+{} \notag \\ &+\frac{1}{W(\phi,\gamma)}\int_r^R dr' \, \phi(r,p)\gamma(r',p)V_R(r')\psi_R(r',p). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{29}
$$
Преобразуем интеграл в последнем слагаемом этого уравнения, добавляя и вычитая интеграл по промежутку $[0,r]$ c таким же подынтегральным выражением. В результате после очевидных преобразований получим уравнение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \psi_R(r,p)={}&\phi(r,p)\biggl[1+\frac{1}{W(\phi,\gamma)}\int_0^R dr'\, \gamma(r',p)V_R(r')\psi_R(r',p) \biggr] +{} \\ &+\frac{1}{W(\phi,\gamma)}\int_0^r dr'\, [\phi(r',p)\gamma(r,p)-\phi(r,p)\gamma(r',p)]V_R(r')\psi_R(r',p). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вводя новую искомую функцию
$$
\begin{equation*}
{\hat \psi}_R(r,p)= \psi_R(r,p) \biggl[1+\frac{1}{W(\phi,\gamma)}\int_0^R dr'\, \gamma(r',p)V_R(r')\psi_R(r',p) \biggr]^{-1},
\end{equation*}
\notag
$$
получим для нее интегральное уравнение Вольтерра на промежутке $[0,R]$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, {\hat \psi}_R(r,p)={}&\phi(r,p)+{} \notag \\ &+\frac{1}{W(\phi,\gamma)} \int_0^r dr'\, [\phi(r',p)\gamma(r,p)-\phi(r,p)\gamma(r',p)]V_R(r'){\hat \psi}_R(r',p). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{30}
$$
На промежутке $[0,R]$ выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
\phi(r,p)=a_1F_\ell(qr),\qquad \gamma(r,p)=a_2F_\ell(qr)+b_2G_\ell(qr).
\end{equation*}
\notag
$$
В результате свободный член в (30) лишь константой отличается от свободного члена интегрального уравнения (3.29) в [20]. То же самое относится и к ядру в (30), которое при этом отличается от ядра уравнения того же уравнения из [20] лишь на несущественное слагаемое, пропорциональное $F_\ell(qr)F_\ell(qr')$. В этих условиях применительно к (30) мы вправе воспользоваться результатом [20] о существовании и единственности решения этого уравнения, которое дается итерационным рядом. Решение исходного уравнения (29) выражается теперь формулой
$$
\begin{equation*}
{\psi}_R(r,p)= {\hat \psi}_R(r,p) \biggl[1-\frac{1}{W(\phi,\gamma)}\int_0^R dr'\, \gamma(r',p)V_R(r'){\hat \psi}_R(r',p) \biggr]^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
6. ЗаключениеВ заключение сформулируем основные результаты. На базе метода расщепления потенциала построен формализм, явно учитывающий индуцированное дипольное взаимодействие. Для решения задачи рассеяния с помощью метода расщепления потенциала построено интегральное уравнение типа Липпманна–Швингера. Структура этого уравнения такова, что его решение только для внутреннего диапазона позволяет построить решение во внешней области действия потенциала дипольного взаимодействия с помощью простой квадратуры. Данное свойство выгодно отличает разработанный в настоящей работе формализм от метода $R$-матрицы, в рамках которого для нахождения решения во внутренней области требуется его сшивание с асимптотическим решением на границе раздела между внутренней и внешней областями. Более того, коэффициентом пропорциональности при этом выступает неизвестная $R$-матрица, которая также должна находиться в процессе решения. Интегральное уравнение Липпманна–Швингера для волновой функции позволило получить явное представление для ее низкоэнергетического поведения. На базе решения этого интегрального уравнения получено явное интегральное представление для $K$-матрицы задачи рассеяния в терминах волновой функции. На основе этого интегрального представления строго исследовано низкоэнергетическое поведение $K$-матрицы, подтверждающее результат работ [4], [5]. Для иллюстрации чрезвычайно медленного выхода на асимптотику решений задачи рассеяния с дипольным взаимодействием проанализировано низкоэнергетическое поведение волновых функций и сечений рассеяния для канала рассеяния $\mathrm{Ps}-\bar{p}$, в котором появляются характерные осцилляции сечения рассеяния, предсказанные в [4], [5]. Полученные результаты несомненно будут полезны при решении реальных трехчастичных задач с заряженными частицами, в которых явный учет дипольного взаимодействия позволит преодолеть основную вычислительную трудность, связанную с чрезвычайно медленным выходом на асимптотику трехчастичных волновых функций и их компонент Фаддеева [10]–[14]. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GraYak23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|