| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Тернарная Р. Кернер Laboratoire de Physique Théorique de la Matière Condensée, Sorbonne Université, Paris, France
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2024, Volume 218, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577924010070 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ течение нескольких последних десятилетий $Z_3$-симметрия получила более широкое распространение и признание. Первые исследования, посвященные $Z_3$-обобщенным комплексным функциям и операторам, относящиеся к началу XX в., были представлены в полузабытых статьях Гумберта и Девисма [1], [2], написанных на французском языке. Авторы этих статей ввели специфическую комплексную параметризацию трехмерного евклидова пространства, спроецировав оси координат $x$, $y$, $z$ на три (линейно зависимые) оси на комплексной плоскости $\mathbb{C}^1$, заданные тремя кубическими корнями из единицы $j=e^{2\pi i/3}$, $j^2=e^{4\pi i/3}$ и $j^3=e^{6\pi i/3}=1$; в результате получилось представление циклической группы $Z_3$ в комплексной плоскости. Комплексное число, описывающее вектор $[x,y,z]$, было задано как
$$
\begin{equation}
w=j x+j^2y+z,\quad\text{при этом}\quad\overline w=j^2x+j y+z.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Условия гармоничности вещественных и мнимых частей аналитических функций комплексной переменной $\zeta=x+iy$ были заменены уравнением третьего порядка, впоследствии названным уравнением Гумберта, которое представляет собой обобщение уравнения Лапласа:
$$
\begin{equation}
\Delta_3=\frac{\partial^3}{\partial x^3}+\frac{\partial^3}{\partial y^3}+\frac{\partial^3}{\partial z^3}-3\frac{\partial^3}{\partial x\,\partial y\,\partial z}.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Решения уравнения Гумберта и свойства инвариантности соответствующей кубической формы изучались в обзорной статье Девисма [2]. Дальнейшее развитие этих идей было опубликовано в 2008 г. Липатовым, Раушем де Траубенбергом и Волковым в работе [3]. Подробнее о кубических формах и алгебрах с кубическим определяющим соотношением см. в книге Манина [4]. Циклическая группа $Z_3$ – это естественная группа симметрии кубических и тернарных алгебр; она также может служить для их градуировки, т. е. для присвоения элементу соответствующей степени; в результате при алгебраическом умножении степени складываются по модулю 3. Алгебраические структуры, являющиеся обобщением $Z_2$-градуированных грассмановых алгебр на случай $Z_3$-градуировки, были впервые рассмотрены в работе [5] и получили свое дальнейшее развитие в [6]. Кажется естественным далее применить $Z_3$-градуировку для суперсимметричного обобщения $Z_2$-градуированной расширенной алгебры дифференциальных операторов, задающих квантовую версию канонических импульсов, путем введения антикоммутирующих спинорных переменных $\xi^\alpha$, $\bar\xi^{\dot\beta}$, $\alpha,\dot\beta=1,2$, удовлетворяющих антикоммутационным соотношениям
$$
\begin{equation}
\xi^\alpha\xi^{\beta}=-\xi^{\beta}\xi^\alpha,\qquad \xi^{\bar\alpha}\xi^{\bar\beta}=-\xi^{\bar\beta}\xi^{\bar\alpha},\qquad \xi^\alpha\xi^{\bar\beta}=-\xi^{\bar\beta}\xi^\alpha.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Частные производные по антикоммутирующим переменным также антикоммутируют,
$$
\begin{equation}
\partial_\alpha\partial_\beta=-\partial_\beta\partial_\alpha,\qquad \partial_\alpha\partial_{\bar\beta}=-\partial_{\bar\beta}\partial_\alpha,\qquad \partial_{\bar\alpha}\partial_{\bar\beta}=-\partial_{\bar\beta}\partial_{\bar\alpha}.
\end{equation}
\tag{5}
$$
“Нечетные” генераторы суперсимметричных трансляций строятся следующим образом:
$$
\begin{equation}
Q_\alpha^{}=\partial_\alpha^{}+i\sigma^\mu_{\alpha\dot\delta}\,\bar\xi^{\dot\delta}\partial_\mu^{},\qquad Q_{\bar\beta}^{}=\partial_{\bar\beta}^{}+i\xi^\gamma\sigma^\nu_{\gamma\dot\delta}\,\partial_\nu^{}.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Их антикоммутатор дает генераторы алгебры Пуанкаре, т. е. пространственно-временные трансляции:
$$
\begin{equation}
Q_\alpha^{} \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q _{\dot\beta}^{}+ \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q _{\dot\beta}^{}Q_\alpha^{}= 2i\sigma^\mu_{\alpha\dot\beta}\,\partial_\mu^{}=2\sigma^\mu_{\alpha\dot\beta}P_\mu^{},
\end{equation}
\tag{7}
$$
где $\sigma^i_{\alpha\dot\beta}$, $i=1,2,3$, суть три эрмитовы матрицы Паули, $\sigma^0_{\alpha\dot\beta}$ – единичная матрица размера $2\times 2$. Поэтому можно утверждать, что суперсимметричные трансляции (6) эквивалентны квадратному корню из оператора Дирака. Градуированную версию калибровочных полей можно найти в [7]. Существование $Z_3$-градуированных переменных, введенных в [5], с кубическими антикоммутационными соотношениями
$$
\begin{equation*}
\theta^A\theta^B\theta^C=j\theta^B\theta^C\theta^A\quad\Longrightarrow\quad \theta^A\theta^B\theta^C+\theta^B\theta^C\theta^A+\theta^C\theta^A\theta^B=0,\qquad A,B,C=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
предполагает возможность $Z_3$-кососимметричного суперсимметричного обобщения путем введения $Z_3$-градуированных дифференцирований по переменным $\Theta^A$ и генераторов, подобных (6), кубические комбинации которых могут дать генераторы суперсимметрии $Q_\alpha$. Эти генераторы можно интерпретировать как корень третьей степени из операторов суперсимметричных трансляций и корень шестой степени из оператора Дирака. Соответствующая конструкция, получившая название “гиперсимметрия”, была впервые представлена в работе [8] и получила дальнейшее развитие в [9]. Однако было неясно, каким образом можно включить $Z_3$-симметрию в полностью релятивистские полевые уравнения, хотя представляется правдоподобным, что это должно играть важную роль в динамике кварков, три цвета которых задают новую дискретную степень свободы, помимо полуцелого спина и аромата. Обобщенное уравнение Дирака для шести запутанных спиноров Паули, эквивалентных трехцветным дираковским частицам с двенадцатью степенями свободы, было впервые предложено в [10] и недавно приобрело окончательный вид в [11]–[13]. В этих работах $Z_3$-симметрия была запутана с ($Z_2\times Z_2$)-симметрией уравнения Дирака, что привело к двенадцатикомпонентным обобщенным спинорам, описывающим релятивистское кварковое поле, наделенное полуцелым спином и цветом. При этом оказалось, что для реализации точного представления группы Лоренца необходимо расширить пространство состояний так, чтобы включить в него дополнительные степени свободы – два аромата и три поколения. Это равнозначно расширению ($Z_3\times Z_2\times Z_2$)-симметрии, действующей на двенадцатикомпонентные объекты, до $(Z_3\times Z_2\times Z_2)\times (Z_2\times Z_3)$-симметрии, действующей на $72$-компонентные волновые функции кварков. Диагонализация обобщенного оператора Дирака приводит к уравнению шестого порядка $(\partial_t^6-\Delta^3-m^6)\Psi=0$, заменяющему обычное уравнение Клейна–Гордона. Таким образом, группу Лоренца следует расширить до накрывающей $Z_3$-градуированной версии с $3\times 6=18$ генераторами, образующими три сектора, только один из которых (с нулевой степенью) образует подалгебру, совпадающую с обычной алгеброй Лоренца. Построение $Z_3$-симметричной версии квантовой хромодинамики всё еще находится на предварительной стадии. По-видимому, имеет смысл рассмотреть аналогичную конструкцию применительно к простейшей классической и квантовой системе: гармоническому осциллятору, для начала в скромном одном измерении. Первая попытка была предпринята в опубликованной в 2015 г. статье [14], в которой рассматривалось $Z_3$-симметричное расширение алгебры Гейзенберга и гамильтониан с шестыми степенями канонического импульса и координаты. Настоящая статья по сравнению с [14] содержит больше материала, а презентация и обсуждение значительно улучшены. Обобщение на случай трех измерений и запутанных цветных осцилляторов будет представлено в следующей статье. 2. Тернарные алгебрыТернарные алгебры – это простейший случай $n$-арных алгебр, представленный и исследованный в работах [15], [16], в которых некоторые особенности, характеризующие классические (“бинарные”) алгебры, такие как простота, нильпотентность и т. д., были обобщены на $n$-арный случай. $n$-Арная алгебра – это вещественное или комплексное векторное пространство $\mathcal A$, на котором определено $n$-линейное отображение
$$
\begin{equation}
\mathcal A\times\mathcal A\times\cdots\times\mathcal A\to\mathcal A.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Достаточно очевидно, что для любой обычной ассоциативной алгебры можно задать ее тернарное расширение, если определить на этой алгебре тернарное произведение С другой стороны, могут существовать тернарные алгебры, которые нельзя получить этим способом из какой-либо обычной ассоциативной алгебры. Доказательство этого утверждения довольно простое и проводится следующим образом. Определим $N$-мерную ассоциативную алгебру с генераторами $L_i$ и структурными константами $C^i_{jk}$, $i,j,\ldots=1,2,\ldots,N$: Теперь предположим, что у нас есть тернарная алгебра, заданная своими собственными структурными константами $f^l_{ijk}$, так что
$$
\begin{equation}
\{L_i^{},L_j^{},L_k^{}\}=\sum_{m=1}^N f^m_{ijk}L_m^{}.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Если тернарный закон композиции (11) происходит из бинарного закона (10), т. е. если можно записать равенство $\{L_i,L_j,L_k\}=(L_iL_j)L_k=L_i(L_jL_k)$, то мы получаем следующее тождество (в силу ассоциативности достаточно, чтобы выполнялось одно из двух равенств):
$$
\begin{equation}
\{L_i^{},L_j^{},L_k^{}\}=\sum_{m=1}^N f^m_{ijk}L_m^{}=\sum_{n,m=1}^N C^n_{ij}C^m_{nk}L_m^{}.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Учитывая, что генераторы $L_m$ образуют линейно независимый базис, мы приходим к следующим условиям, которым должны удовлетворять тернарные и обычные (бинарные) структурные константы: В самом общем случае константы $C^k_{ij}$ представляют собой $N^3$ переменных, а константы $f^m_{ijk}$ определяют $N^4$ априори независимых уравнений, что делает систему (13) переопределеной и поэтому не всегда имеющей решения. Мы полагаем, что может существовать обобщенная тернарная версия теоремы Адо для алгебр Ли, утверждающая, что для любой конечной тернарной алгебры $\mathcal A$ с $N$ генераторами существует обычная ассоциативная алгебра более высокой размерности, в которой можно найти $N$ генераторов, таких что некоторые конкретные линейные комбинации их тройных произведений подчиняются правилам тернарного умножения для $\mathcal A$. Однако, насколько нам известно, подобная теорема еще не доказана. ПримерыПример 1. Двойное векторное произведение в трехмерном пространстве. Расширяя обычное определение векторного произведения $\mathbf X\times\mathbf Y$ в трехмерном евклидовом пространстве $E^3$, мы можем задать следующее, очевидно неассоциативное, тернарное произведение трех векторов $\mathbf X$, $\mathbf Y$, $\mathbf Z$:
$$
\begin{equation}
\{\mathbf X,\mathbf Y,\mathbf Z\}=\mathbf X\times(\mathbf Y\times\mathbf Z).
\end{equation}
\tag{14}
$$
Чтобы доказать неассоциативность этого произведения, достаточно рассмотреть простой случай, когда три вектора $(\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3)$ образуют ортонормированный базис:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathbf e_i\times\mathbf e_j=\epsilon_{ijk}\mathbf e_k,\qquad i,j, k=1,2,3, \\ \mathbf e_1\times(\mathbf e_1\times\mathbf e_2)=\mathbf e_1\times\mathbf e_3=-\mathbf e_2,\quad (\mathbf e_1\times\mathbf e_1)\times\mathbf e_2=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Пример 2. Тернарное произведение в пространстве-времени Минковского $M_4$. Пусть $M_4$ – четырехмерное вещественное векторное пространство, снабженное метрикой Минковского, которая в декартовой системе координат принимает вид $g_{\mu\nu}=\operatorname{diag}(\,+\,,\,-\,,\,-\,,\,-\,)$, с полностью антисимметричным ковариантным $4$-тензором, определяющим элемент объема $\eta_{\mu\nu\lambda\rho}$. Пусть $X,Y,Z\in M_4$ задаются своими координатами $X^\mu$, $Y^\nu$, $Z^{\lambda}$ относительно некоторой лоренцевой системы координат. Тогда можно определить следующее естественное тернарное произведение $\{X,Y,Z\}\in M_4$ трех $4$-векторов: Это тернарное произведение явно неассоциативно. Оно имеет некоторые интересные свойства, проявляющиеся при вычислении произведений пространственноподобных и времениподобных векторов. Ясно, что тернарное произведение трех пространственноподобных векторов есть времениподобный вектор.Пример 3. Пусть $\mathcal H$ – гильбертово пространство над полем комплексных чисел с эрмитовым скалярным произведением векторов $|x\rangle,|y\rangle\in\mathcal H$, которое обозначается как $\langle x|y\rangle$, где $\langle x|=|x\rangle^\unicode{8224}$. Определим тернарное произведение трех векторов следующим образом: Пример 4. В пространстве кватернионов $\mathbb{H}$ тернарное произведение, индуцированное обычным алгебраическим произведением в $\mathbb{H}$, определяет тернарную структуру, отличную от структуры, индуцированной векторным произведением в трехмерном пространстве (см. пример 2). Умножение в $\mathbb{H}$ определяется следующим образом: Эта алгебра ассоциативна, но некоммутативна. Благодаря свойству ассоциативности мы можем определить естественное тернарное произведение в $\mathbb{H}$ как Пример 5. Тернарная алгебра матриц Паули. Ассоциативная некоммутативная алгебра $\sigma$-матриц Паули подобна алгебре кватернионов, с той лишь разницей, что квадраты матриц равны единичному элементу (единичной матрице размера $2\times 2$), а не $-1$. Матрицы Паули определяются как
$$
\begin{equation*}
\sigma_1=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\qquad \sigma_2=\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & \phantom{-}0 \end{pmatrix},\qquad \sigma_3=\begin{pmatrix} 1 & \phantom{-}0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
и удовлетворяют хорошо известным коммутационным соотношениям
$$
\begin{equation*}
[\sigma_i^{},\sigma_j^{}]=C^k_{ij}\sigma_k^{},\quad C^k_{ij}=2i\epsilon_{kij},\qquad i,j,k=1,2,3.
\end{equation*}
\notag
$$
Обертывающая алгебра $\mathcal A_{\sigma}$ содержит единичную матрицу $\mathbf 1$: Определим очевидное тернарное произведение на алгебре $\mathcal A_\sigma$: Пример 6. “Кубические матрицы”. Рассмотрим линейное (вещественное или комплексное) пространство ковариантных трехвалентных тензоров, заданных на $N$-мерном евклидовом пространстве $E^N$. В выбранной системе координат такой тензор (называемый также $3$-формой) будет определяться своими компонентами $a_{ijk}$, $i,j,k=1,2,\ldots,N$. Рассмотрим теперь три такие формы $a$, $b$ и $c$, задающиеся компонентами $a_{ijk}$, $b_{ijk}$, $c_{ijk}$. Их тернарное произведение $\{a,b,c\}$ можно задать следующим образом (см., например, [17], [18]): Это произведение неассоциативно, $\{a,\{b,c,d\}e\}\neq\{\{a,b,c\},d,e\}\neq\{a,b\{c,d,e\}\}$.Никакой особой симметрии не предполагается, но можно наложить некоторые условия, в том числе на обычное действие группы $Z_2$, типа требования симметричности и антисимметричности относительно четных или нечетных перестановок, задав симметричные или антисимметричные комбинации
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \{a,b,c\}_{\text{sym}}=\frac{1}{3}[\{a,b,c\}+\{b,c,a\}+\{c,a,b\}], \\ \{a,b,c\}_{\text{asym}}=\frac{1}{6}[\{a,b,c\}+\{b,c,a\}+\{c,a,b\}-\{c,b,a\}+\{b,a,c\}+\{c,b,a\}]. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Существует еще одна естественная группа симметрии, действие которой можно определить на любом тернарном произведении, а именно группа симметрии $S_3$ перестановок трех упорядоченных объектов и ее абелева подгруппа $Z_3$ циклических перестановок.
3. Группы симметрии $S_3$, $Z_3$ и $Z_6$Начнем с того, что напомним, как можно реализовать известную циклическую группу $Z_2$ представлениями, действующими в комплексной плоскости. Группа $Z_2$ совпадает с простейшей симметрической группой $S_2$ перестановок двух объектов. Группа $Z_3$ – это циклическая подгруппа симметрической группы $S_3$, содержащая только четные перестановки трех объектов; в нее отбираются три из шести элементов, образующих группу $S_3$. Обе группы $Z_2$ и $Z_3$ могут быть представлены операторами, действующими на комплексные числа. В реализации, в которой элементы групп симметрии представлены умножением на комплексные числа в $\mathbb{C}^1$, элементы группы $Z_2$ суть $-1=e^{2i\pi/2}=e^{i\pi}$ и $(-1)^2\,{=}\,1$. Элементы группы $Z_3$ задаются как Далее легко задать представление группы $S_3$ в комплексной плоскости. Четные (циклические) перестановки представляются умножениями на $j$, $j^2$ и $1$. Чтобы реализовать полное действие группы перестановок $S_3$, мы можем сделать следующий выбор:
$$
\begin{equation*}
\binom{ABC}{BCA}\to z\to jz,\qquad \binom{ABC}{CAB}\to z\to j^2z,\qquad \binom{ABC}{ABC}\to z\to z.
\end{equation*}
\notag
$$
Можно сделать альтернативный выбор: $j$ заменить на $j^2$, и наоборот. Нечетные перестановки должны быть представлены идемпотентами, т. е. операциями, квадрат которых есть тождественная операция. Мы можем сделать следующий выбор:
$$
\begin{equation*}
\binom{ABC}{CBA}\to z\to\bar z,\qquad \binom{ABC}{BAC}\to z\to\hat z,\qquad \binom{ABC}{CBA}\to z\to z^*.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $z\to\bar z$ обозначает комплексное сопряжение, т. е. отражение относительно вещественной оси, $z\to\hat z$ обозначает отражение относительно направления, заданного корнем $j^2$, а $z\to z^*$ – отражение, отвечающее корню $j$. Шесть операций замыкаются в неабелеву группу с таблицей умножения, заданной табл. 1 и диаграммой на рис. 1. Таблица 1.Таблица умножения симметрической группы $S_3$.
$Z_3$-симметрию можно комбинировать с $Z_2$-симметрией; числа $3$ и $2$ простые, декартово произведение групп изоморфно другой циклической группе, $Z_3\times Z_2=Z_6$. Циклическая группа $Z_6$ представлена в комплексной плоскости своим генератором $q=e^{2\pi i/6}=e^{\pi i/3}$ и его степенями от первой до шестой. В терминах группы $Z_3$, порожденной генератором $j$, и группы $Z_2$, порожденной генератором $-1$, имеем
$$
\begin{equation*}
q=- j^2,\quad q^2=j,\quad q^3=-1,\quad q^4=j^2,\quad q^5=- j,\quad q^6=1,
\end{equation*}
\notag
$$
как показано на рис. 2. По аналогии с цветами, обозначающими кварковые поля, если “белая” комбинация представлена нулем, то мы имеем две бесцветные суммы трех степеней параметра $q$, а именно $1+q^2+q ^4=0$ и $q+q^3+q^5=0$, а также три белые комбинации цвета с его антицветом, $q+q^4=0$, $q^2 +q^5=0$, $q^3+q^6=0$, точно такие же, как фермион и его античастица или три бозона (например, мезоны $\pi^0$, $\pi^{+}$ и $\pi^{-}$). 4. $Z_3$-градуированная алгебраПонятие $Z_2$-градуированных алгебр настолько хорошо известно, что такие структуры часто называют просто градуированными. Это прилагательное неявно предполагает существование двух степеней, которые можно приписать элементам таких алгебр, при этом элементы степени $0$ образуют четную подалгебру, элементы степени $1$ называются нечетными. При ассоциативном умножении степень произведения равна сумме степеней множителей по модулю $2$. Пусть $\mathcal A=\mathcal A_0\oplus\mathcal A_1$, где $\mathcal A_0$ имеет степень $0$, а $\mathcal A_1$ – степень $1$. Тогда можно символически записать, каким образом степени присваиваются произведениям элементов, принадлежащих этим подпространствам:
$$
\begin{equation}
\mathcal A_0\cdot\mathcal A_0\in\mathcal A_0,\qquad \mathcal A_0\cdot\mathcal A_1\in\mathcal A_1,\qquad \mathcal A_1\cdot\mathcal A_1\in\mathcal A_0.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Другими словами, при умножении степени складываются по модулю $2$: $0+0=0$, $0+1=1+0=1$, $1+1=0$. $Z_3$-градуировка строится аналогично: вместо двух степеней используются три, обозначаемые как $0$, $1$, $2$. $Z_3$-градуированная алгебра содержит три подпространства:
$$
\begin{equation}
\mathcal A=\mathcal A_0\oplus\mathcal A_1\oplus\mathcal A_2.
\end{equation}
\tag{22}
$$
Степени подпространств при умножении складываются по модулю $3$, что можно символически отобразить в следующей таблице умножения, воспроизводящей таблицу умножения комплексного представления группы $Z_3$, порожденной $j=e^{2\pi i/3}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{array}{|c||c|c|c|} \hline & \mathcal A_0 & \mathcal A_1 & \mathcal A_2 \\ \hline\hline \mathcal A_0 & \mathcal A_0 & \mathcal A_1 & \mathcal A_2 \\ \hline \mathcal A_1 & \mathcal A_1 & \mathcal A_2 & \mathcal A_0 \\ \hline \mathcal A_2 & \mathcal A_2 & \mathcal A_0 & \mathcal A_1\\ \hline \end{array} \quad \simeq\quad \begin{array}{|c||c|c|c|} \hline & 1 & j & j^2\\ \hline\hline 1 & 1 & j & j^2\\ \hline j & j & j^2 & 1\\ \hline j^2 & j^2 & 1 & j\\ \hline \end{array}\;\;.
\end{equation*}
\notag
$$
Приведем несколько примеров $Z_3$-градуированных и $Z_3$-симметричных алгебр. 4.1. $Z_3$-градуированная грассманова алгебраВведем $N$ генераторов, на которые натянуто линейное пространство над полем комплексных чисел, и которые удовлетворяют следующим кубическим соотношениям:
$$
\begin{equation}
\theta^A\theta^B\theta^C=j\,\theta^B\theta^C\theta^A=j^2\,\theta^C\theta^A\theta^B,
\end{equation}
\tag{23}
$$
где $j=e^{2i\pi/3}$, примитивный корень третьей степени из $1$. При этом $1+j+j^2=0$ и $\bar j=j^2$. Обозначим алгебру, натянутую на генераторы $\theta^A$, как $\mathcal A$. Введем аналогичный набор сопряженных генераторов $\bar\theta^{\dot A}$, $\dot A,\dot B,\ldots=1,2,\ldots,N$, удовлетворяющих аналогичному условию с заменой $j$ на $j^2$:
$$
\begin{equation}
\bar\theta^{\dot A}\bar\theta^{\dot B}\bar\theta^{\dot C}=j^2\,\bar\theta^{\dot B}\bar\theta^{\dot C}\bar\theta^{\dot A}= j\,\bar\theta^{\dot C}\bar\theta^{\dot A}\bar\theta^{\dot B}.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Обозначим эту алгебру как $\bar{\mathcal A}$. Наделим алгебру $\mathcal A$ естественной $Z_3$-градуировкой, рассматривая генераторы $\theta^A$ как элементы степени $1$, а их сопряженные $\bar\theta^{\dot A}$ – как элементы степени $2$. Степени складываются по модулю $3$, так что линейная оболочка произведений $\theta^A\theta^B$ образует линейное подпространство степени $2$, а тройные произведения $\theta^A\theta^B\theta^C$ имеют степень $0$. Аналогично, все квадратичные выражения в сопряженных генераторах $\bar\theta^{\dot A}\bar\theta^{\dot B}$ имеют степень $2+2=4_{\operatorname{mod}3}=1$, тогда как их тройные произведения снова имеют степень $0$, как и тройные произведения генераторов $\theta^A$. В сочетании с ассоциативностью эти кубические соотношения влекут конечную размерность алгебры, порожденной $Z_3$-градуированными генераторами. По сути, кубические выражения – это соотношения самого высокого порядка, которые не равны тождественно нулю. Доказательство получается непосредственно:
$$
\begin{equation}
\theta^A\theta^B\theta^C\theta^D=j\,\theta^B\theta^C\theta^A\theta^D=j^2\,\theta^B\theta^A\theta^D\theta^C= j^3\,\theta^A\theta^D\theta^B\theta^C=j^4\,\theta^A\theta^B\theta^C\theta^D.
\end{equation}
\tag{25}
$$
В силу того, что $j^4=j\neq 1$, единственное решение этих уравнений есть 4.2. $Z_3$-градуированная алгебра нонионовТак называемая алгебра нонионов была введена в XIX в. Сильвестром [19] и Кэли [20] как ($3\times 3$)-обобщение алгебры кватернионов. Оказывается, что она также дает тернарное обобщение алгебры Клиффорда, представляющее особый интерес в физике высоких энергий вследствие тесной связи с алгеброй Ли группы $SU(3)$, которая возникает как группа точной цветовой симметрии в квантовой хромодинамике сильных взаимодействий, основанной на кварковом представлении. Стандартный ($3\times 3$)-матричный базис тернарной алгебры Клиффорда задается следующими шестью матрицами:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{5} Q_1&=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & j \\ j^2& 0 & 0\end{pmatrix},&\qquad Q_2&=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & j^2 \\ j & 0 & 0\end{pmatrix},&\qquad Q_3&=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix},&\qquad \\ Q^\unicode{8224}_1&=\begin{pmatrix} 0 & 0 & j \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & j^2& 0\end{pmatrix},&\qquad Q^\unicode{8224}_2&=\begin{pmatrix} 0 & 0 & j^2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & j & 0\end{pmatrix},&\qquad Q^\unicode{8224}_3&=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix} \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{27}
$$
(напомним, $j$ – третий примитивный корень из единицы, $j=e^{2\pi i/3}$, $j^2=e^{4\pi i/3}$, $1+j+ j^2=0$), где $\mathcal M^\unicode{8224}$ обозначает эрмитово сопряжение матрицы $\mathcal M$. Видно, что все матрицы (27) неэрмитовы. Чтобы замкнуть базис бесследовых матриц размера $3\times 3$, нужно добавить к (27) следующие две линейно независимые диагональные матрицы:
$$
\begin{equation}
B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & j & 0 \\ 0 & 0 & j^2\end{pmatrix},\qquad B^\unicode{8224}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & j^2& 0 \\ 0 & 0 & j\end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{28}
$$
Эти восемь линейно независимых бесследовых ($3\times 3$)-матриц могут служить базисом фундаментального представления алгебры Ли группы $SU(3)$. Матрицы Гелл-Манна можно получить как линейные комбинации матриц $B$, $B^\unicode{8224}$, $Q_a$, $Q_b^\unicode{8224}$. Двумерная картанова подалгебра, натянутая на две диагональные матрицы Гелл-Манна $\lambda_3$, $\lambda_8$, получается из диагональных матриц $B$ и $B^\unicode{8224}$. Оболочка остальных шести матриц содержит шесть генераторов, соответствующих шестикратной системе картановых корней группы $SU(3)$. Этот частный базис алгебры Ли группы $SU(3)$ был впервые введен Кацем в [21]. Полную таблицу умножения и выражение для $\lambda$-матриц Гелл-Манна как линейных комбинаций матриц $B$ и $Q$ можно найти в [12]. Матрицы (27) снабжены естественной $\mathbb Z_3$-градуировкой,
$$
\begin{equation}
\operatorname{grade}(Q_k)=1,\qquad\operatorname{grade}(Q^\unicode{8224}_k)=2.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Из трех независимых $\mathbb Z_3$-градуированных тернарных (т. е. трилинейных) комбинаций степени $0$ только одна приводит к ненулевому результату. Легко проверить, что тернарные косые коммутаторы, содержащие и $j$, и $j^2$, действительно равны нулю:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \{Q_1, Q_2, Q_3\}_j&=Q_1Q_2Q_3+j Q_2Q_3Q_1+j^2Q_3Q_1Q_2=0, \\ \{Q_1, Q_2, Q_3\}_{j^2}&=Q_1Q_2Q_3+j^2Q_2Q_3Q_1+j Q_3Q_1Q_2=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{30}
$$
Аналогично для нечетных перестановок $Q_2Q_1Q_3+j Q_1Q_3Q_2+j^2Q_3Q_2Q_1=0$. Напротив, полностью симметричная комбинация не равна нулю, она пропорциональна единичной матрице $I_0=1\!\!1_3$ размера $3\times 3$:
$$
\begin{equation}
Q_aQ_bQ_c+Q_bQ_cQ_a+Q_cQ_aQ_b=3\,\eta_{abc}\,1\!\!1_3,\qquad a,b,c=1,2,3,
\end{equation}
\tag{31}
$$
где ненулевые компоненты $\eta_{abc}$ задаются как
$$
\begin{equation}
\eta_{111}=\eta_{222}=\eta_{333}=1,\qquad \eta_{123}=\eta_{231}=\eta_{312}=j^2,\qquad \eta_{213}=\eta_{321}=\eta_{132}=j;
\end{equation}
\tag{32}
$$
остальные компоненты равны нулю. Приведенное выше соотношение можно использовать как определение тернарной алгебры Клиффорда (см., например, [19], [10]). Аналогичный набор соотношений образован матрицами $Q_{\dot a}^\unicode{8224}:= \kern1.2pt\overline{\vphantom{Q}\kern6.3pt}\kern-7.5pt Q _a^{\,\mathrm T}$, эрмитово сопряженными к матрицам $Q_a$, которые мы снабдим индексами с точкой $\dot a,\dot b,\dot c=1,2,3$. Эрмитово сопряженные матрицы удовлетворяют соотношению $Q_a^2=Q_{\dot a}^\unicode{8224}$, а также сопряженным к (31) тождествам
$$
\begin{equation}
Q^\unicode{8224}_{\dot a}Q^\unicode{8224}_{\dot b}Q^\unicode{8224}_{\dot c}+Q^\unicode{8224}_{\dot b}Q^\unicode{8224}_{\dot c}Q^\unicode{8224}_{\dot a}+Q^\unicode{8224}_{\dot c}Q^\unicode{8224}_{\dot a}Q^\unicode{8224}_{\dot b}= 3\eta_{{\dot a}{\dot b}{\dot c}}\,\;1\!\!1_3,\quad \text{где}\quad\eta_{\dot a\dot b\dot c}=\bar\eta_{cba}.
\end{equation}
\tag{33}
$$
Очевидно, что любое преобразование подобия генераторов $Q_a$ сохраняет тернарный антикоммутатор (31). В самом деле, если мы положим $\widetilde Q_b=S^{-1} Q_bS$ с невырожденной матрицей $S$ размера $3\times 3$, то новый набор генераторов будет удовлетворять тем же тернарным соотношениям, поскольку мы имеем
$$
\begin{equation}
\widetilde Q_a\widetilde Q_b\widetilde Q_c=S^{-1}Q_aSS^{-1}Q_bS S^{-1}Q_cS=S^{-1}(Q_aQ_bQ_c)S.
\end{equation}
\tag{34}
$$
Для антикоммутатора мы получаем единичную матрицу, которая коммутирует со всеми другими матрицами, $S^{-1}\;1\!\!1_3\; S=1\!\!1_3$. 4.3. Тернарный $Z_3$-симметричный коммутаторВ любой ассоциативной алгебре $A$, используя генератор группы $Z_2$ в виде умножения на $-1$, можно ввести новую бинарную операцию – коммутатор: В случае группы $Z_2$ генератор ее представления в комплексной плоскости равен $-1=e^{i\pi}$; заметим, что $ -1+(-1)^2=0$. В случае группы $Z_3$ генератор ее комплексного представления можно выбрать как $j=e^{2\pi i/3}$, при этом $j+j^2+j^3=0$.Тернарный $Z_3$-симметричный коммутатор определяется следующим образом. Рассмотрим кубическую комбинацию, определенную на ассоциативной алгебре $\mathcal A$. Введем для $X,Y,Z\in\mathcal A$ трилинейную комбинацию Очевидно, имеем следовательно, $\{X,X,X\}=0$.В случае, когда $\mathcal A$ является унитальной алгеброй, т. е. содержит единичный элемент $\mathbf 1$ такой, что $\mathbf 1X=X\mathbf 1=X$ для любого $X\in\mathcal A$, единственная алгебра Ли естественным образом порождается кубическим коммутатором:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \{X,\mathbf 1,Y\}&=X\cdot\mathbf 1\cdot Y+j\,\mathbf 1\cdot Y\cdot X+j^2Y\cdot X\cdot\mathbf 1= \notag\\ &=XY+j\,YX+j^2\,YX=XY+(j+j^2)YX=XY-YX=[X,Y]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{38}
$$
В качестве примера $Z_3$-коммутатора кубической алгебры рассмотрим алгебру Ли, натянутую на три матрицы Паули, введенные в разделе 2. Определим кубический $j$-коммутатор на алгебре $\mathcal A_{\sigma}$ как
$$
\begin{equation}
\{\sigma_i,\sigma_j,\sigma_k\}=\sigma_i\sigma_j\sigma_k+j\sigma_j\sigma_k\sigma_i+j^2\sigma_k\sigma_i\sigma_j,\qquad j=e^{2\pi i/3}.
\end{equation}
\tag{39}
$$
Эта тернарная алгебра содержит три тернарные подалгебры, порожденные двумя $\sigma$-матрицами из трех, например
$$
\begin{equation*}
\{\sigma_1,\sigma_2,\sigma_1\}=-2\sigma_2,\qquad \{\sigma_2,\sigma_1,\sigma_2\}=-2\sigma_1,
\end{equation*}
\notag
$$
и аналогично для других пар $\sigma_2$, $\sigma_3$ и $\sigma_3$, $\sigma_1$. Также имеем $\{\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\}=0$.
5. Тернарная $Z_3$-симметричная алгебра ГейзенбергаСначала напомним определение обычной алгебры Гейзенберга, порожденной операторами координаты и импульса [22],
$$
\begin{equation}
\hat p=- i\hbar\frac{d}{dx},\qquad \hat x=x,\qquad [\hat p,\hat x]=-i\hbar.
\end{equation}
\tag{40}
$$
После перехода к новым переменным, учитывающим выбор системы единиц, в которой $\hbar=1$, она принимает упрощенный вид: $\hat p\to d/dx$, $\hat x\to x$. Квантовый гамильтониан в координатном (шредингеровском) представлении тогда записывается как
$$
\begin{equation}
\widehat H=\frac{1}{2}(\hat p^2+\hat x^2)=-\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{x^2}{2}.
\end{equation}
\tag{41}
$$
Эрмитовы генераторы $-i\partial_x$ и $x$ можно заменить парой их неэрмитовых комбинаций, взаимно эрмитово сопряженных:
$$
\begin{equation}
a=\frac{d}{dx}+x,\qquad a^\unicode{8224}=-\frac{d}{dx}+x,\qquad \widehat H=\frac{1}{2}(a a^\unicode{8224}+a^\unicode{8224} a).
\end{equation}
\tag{42}
$$
Собственным состоянием этого гамильтониана является состояние с наименьшей энергией $1/2$, это так называемые “вакуумные осцилляции”. Теперь введем тернарные $j$-коммутаторы операторов $d/dx$ и $x$. Начнем с вычисления кубических $j$-коммутаторов двух генераторов обычной алгебры Гейзенберга, $d/dx$ и $x$. Имеем
$$
\begin{equation}
\biggl\{\frac{d}{dx},x,\frac{d}{dx}\biggr\}=-i\sqrt{3}\frac{d}{dx},\qquad \biggl\{x,\frac{d}{dx},x\biggr\}=i\sqrt{3}x.
\end{equation}
\tag{43}
$$
Отсюда вполне очевидным образом получаем
$$
\begin{equation*}
\biggl\{\frac{d}{dx},\frac{d}{dx},\frac{d}{dx}\biggr\}=0,\qquad\{x,x,x\}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Что касается эрмитова сопряжения, то согласно сказанному в предыдущем разделе $\{a,b,c\}^\unicode{8224}=\{c^\unicode{8224},b^\unicode{8224},a^\unicode{8224}\}$. Считая $a$, $b$, $c$ эрмитовыми операторами, $a^\unicode{8224}=a$, $b^\unicode{8224}=b$, $c^\unicode{8224}=c$, получаем, что их кубический $3j$-коммутатор вообще говоря не является эрмитовым, поскольку
$$
\begin{equation*}
\{a,b,c\}^\unicode{8224}=\{c^\unicode{8224},b^\unicode{8224},a^\unicode{8224}\}=\{c,b,a\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Однако если $a=c$, этот коммутатор эрмитов,
$$
\begin{equation*}
\{a,b,a\}^\unicode{8224}=\{a^\unicode{8224},b^\unicode{8224},a^\unicode{8224}\}=\{a,b,a\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Как и в классическом случае, введем эрмитовы операторы $\pi=-\frac{i}{\sqrt{3}}\frac{d}{dx}$ и $x$, при этом $\pi^\unicode{8224}=\pi$ и $ x^\unicode{8224}=x$. Тогда $\{\pi,x,\pi\}=\pi$, $\{x,\pi,x\}=-x$. Оба $3$-коммутатора эрмитовы. В $Z_2$-градуированном случае две независимые комбинации операторов $d/dx$ и $x$ задаются невырожденной матрицей $\bigl(\begin{smallmatrix} \phantom{-}1 &1 \\ -1 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$. Аналогично в $Z_3$-градуированном случае следует использовать следующую матрицу преобразования, дающую три независимые комбинации операторов $d/dx$, $x$ и $\mathbf 1$:
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ j & j^2 & 1 \\ j^2 & j & 1\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, $Z_3$-обобщение должно быть порождено следующими тремя операторами и их эрмитово сопряженными:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} c_0^{}&=\frac{d}{dx}+x+\mathbf 1,&\qquad c_0^\unicode{8224}&=-\frac{d}{dx}+x+\mathbf 1, \\ c_1^{}&=j\frac{d}{dx}+j^2x+\mathbf 1,&\qquad c_1^\unicode{8224}&=-j^2\frac{d}{dx}+j x+\mathbf 1, \\ c_2^{}&=j^2\frac{d}{dx}+j x+\mathbf 1,&\qquad c_2^\unicode{8224}&=-j\frac{d}{dx}+j^2x+\mathbf 1. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{44}
$$
Их оболочка образует (бинарную) алгебру с умножением, определяемым как обычный коммутатор двух операторов. Получающаяся в результате таблица умножения представлена в табл. 2. Таблица 2.Коммутаторы генераторов $c_0$, $c_1$ и $c_2$.
Имеют место линейные соотношения
$$
\begin{equation}
\frac{1}{3}(c_0+c_1+c_2)=\mathbf 1,\qquad \frac{1}{3}(c_0+jc_1+j^2c_2)=x,\qquad \frac{1}{3}(c_0+j^2c_1+jc_2)=\frac{d}{dx}
\end{equation}
\tag{45}
$$
и аналогичные соотношения для эрмитово сопряженных операторов $c_0^\unicode{8224}$, $c_1^\unicode{8224}$ и $c_2^\unicode{8224}$
$$
\begin{equation}
\frac{1}{3}( c_0^\unicode{8224}+c_1^\unicode{8224}+c_2^\unicode{8224})=\mathbf 1,\qquad \frac{1}{3}(c_0^\unicode{8224}+j^2c_1^\unicode{8224}+jc_2^\unicode{8224})=x,\qquad \frac{1}{3}( c_0^\unicode{8224}+jc_1^\unicode{8224}+jc_2^\unicode{8224})=-\frac{d}{dx}.
\end{equation}
\tag{46}
$$
Построим три набора обобщенных собственных состояний и собственных функций, расширяющих обычную схему гармонического осциллятора. Для первого генератора, который является вещественным (но неэрмитовым), состояние с нулевым собственным значением оператора уничтожения $c_0$ такое же, как и в обычном гармоническом осцилляторе с генераторами $a=d/dx+x$ и $a^\unicode{8224}=-d/dx+x$, но со сдвинутым аргументом $x+1$ вместо $x$. Теперь мы имеем
$$
\begin{equation}
c_0|\Phi_0\rangle=0\;\;\Longrightarrow\;\;\biggl(\frac{d}{dx}+x+1\biggr)|\Phi_0\rangle=0\;\;\Longrightarrow\;\; \Phi_0(x)=e^{-(x+1)^2/2}\simeq e^{-x^2/2-x}.
\end{equation}
\tag{47}
$$
Подобные функции описывают так называемые “сжатые состояния”. Применяя оператор рождения $c_0^\unicode{8224}$ к основному состоянию $|\Phi\rangle_0$, получаем первый энергетический уровень $|\Phi\rangle_1$. Продолжая, получаем функции более высокого порядка от $x+1$, представляющие собой произведение сдвинутого гауссиана $e^{-(x+1)^2/2}$ на последовательные полиномы Эрмита со смещенным аргументом ($x$ заменено на $x+1$). Обычный гамильтониан осциллятора задается в соответствующим образом масштабированных единицах каноническим выражением $\frac{p^2}{2}+\frac{x^2}{2}$, а его квантовая версия, построенная обычным способом, имеет вид
$$
\begin{equation}
\widehat H_0=\frac{1}{2}(c_0c_0^\unicode{8224}+c_0^\unicode{8224} c_0)=-\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{(x+1)^2}{2}.
\end{equation}
\tag{48}
$$
Этот гамильтониан обладает обычным энергетическим спектром, включая осцилляции на нулевом уровне. Не всё так просто с аналогичными квадратичными выражениями, построенными с использованием других пар генераторов $(c_1,c_1^\unicode{8224})$ и $(c_2,c_2^\unicode{8224})$. Теперь мы получаем, что обобщенные (по-видимому, нефизические) квантовые состояния с наименьшей энергией задаются как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, c_1|\Phi_1\rangle=0&\;\;\Longrightarrow\;\;\biggl(j\frac{d}{dx}+j^2x+1\biggr)|\Phi_1\rangle=0\;\;\Longrightarrow\;\;\Phi_1(x)=e^{-(j^2x+1)^2/2}, \\ c_2|\Phi_2\rangle=0&\;\;\Longrightarrow\;\;\biggl(j^2\frac{d}{dx}+jx+1\biggr)|\Phi_2\rangle=0\;\;\Longrightarrow\;\;\Phi_2(x)=e^{-(jx+1)^2/2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{49}
$$
Следуя той же схеме, что и выше, мы можем построить соответствующие гамильтонианы
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widehat H_1&=\frac{1}{2}(c_1^{}c_1^\unicode{8224}+c_1^\unicode{8224} c_1^{})=-\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{(j^2x+1)^2}{2}, \\ \widehat H_2&=\frac{1}{2}(c_2^{}c_2^\unicode{8224}+c_2^\unicode{8224} c_2^{})=-\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2}+\frac{(jx+1)^2}{2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{50}
$$
Альтернативная идея состоит в использовании кубических комбинаций генераторов $c_0$, $c_1$, $c_2$ и их эрмитовых сопряжений для задания обобщенных операторов рождения и уничтожения третьего порядка. Такая конструкция подсказана следующим тождеством:
$$
\begin{equation}
(c_1^{}c_0^{}c_2^{}+c_0^{}c_2^{}c_1^{}+c_2^{}c_1^{}c_0^{})+(c_2^\unicode{8224} c_0^\unicode{8224} c_1^\unicode{8224}+c_0^\unicode{8224} c_1^\unicode{8224} c_2^\unicode{8224}+c_1^\unicode{8224} c_2^\unicode{8224} c_0^\unicode{8224})=3.
\end{equation}
\tag{51}
$$
После перенормировки $c_k\to\sqrt[3]{3}c_k$ и перехода к новой системе единиц правая часть этого кубического коммутационного соотношения становится равной $\hbar\mathbf 1$. В некотором смысле это похоже на тернарную версию алгебры Гейзенберга, которую мы попытаемся построить в следующих разделах.
6. Группа инвариантности алгебры ГейзенбергаРассмотрим общее линейное преобразование
$$
\begin{equation}
a\to A=\alpha a+\beta a^\unicode{8224},\qquad a^\unicode{8224}\to B=\gamma a+\delta a^\unicode{8224}.
\end{equation}
\tag{52}
$$
Налагая на новые генераторы такие же, как и ранее, определяющие соотношения $AB-BA=1$, приходим к условию $\alpha\delta-\gamma\beta=1$ на коэффициенты $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$, которое определяет группу $SL(2,\mathbb{C})$. Фактически группа $SL(2,\mathbb{C})$ – это группа инвариантности кососимметричной формы в двух измерениях, т. е. она сохраняет коммутатор двух генераторов. Инвариантность только коммутационных соотношений не сохраняет структуру алгебры Гейзенберга. Если мы хотим убедиться, что новые генераторы определяют алгебру Гейзенберга, изоморфную исходной, нам следует наложить дополнительное условие, гарантирующее, что $\tilde a^\unicode{8224}$ действительно является эрмитово сопряженным к $\tilde a$:
$$
\begin{equation*}
a\to\tilde a=\alpha a+\beta a^\unicode{8224},\qquad a^\unicode{8224}\to\tilde a^\unicode{8224}=\gamma a+\delta a^\unicode{8224}.
\end{equation*}
\notag
$$
Налагая на новые генераторы $\tilde a$ и $\tilde a^\unicode{8224}$ те же определяющие соотношения $\tilde a\tilde a^\unicode{8224}-\tilde a^\unicode{8224}\tilde a=1$, приходим к следующим условиям на коэффициенты $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$:
$$
\begin{equation*}
\alpha\delta-\gamma\beta=1,\qquad \bar\alpha=\delta,\qquad \bar\beta=\gamma.
\end{equation*}
\notag
$$
Эти условия определяют группу Боголюбова. Ее можно представить матрицами размера $2\times 2$ вида
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \operatorname{ch}\psi\,e^{i\theta_1} & \operatorname{sh}\psi\,e^{i\theta_2} \\ \operatorname{sh}\psi\,e^{- i\theta_2} & \operatorname{ch}\psi\,e^{- i\theta_1}\end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
содержащими три вещественных параметра $\psi$, $\theta_1$ и $\theta_2$. Теперь определим группу линейных преобразований, сохраняющих алгебру $\mathcal A_{3H}$. Матрицы $U^i_{j'}$ размера $3\times 3$, образующие такую группу, переводят три генератора $c_i$, $i=0,1,2$, в новые генераторы $\tilde c_{j'}$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, c_i\to\tilde c_{j'}=U^i_{j'}c_i, \\ \{c_i,c_j,c_k\}=\rho^m_{i j k}c_m,\qquad\{\tilde c_{i'},\tilde c_{j'},\tilde c_{k'}\}=\rho^{m'}_{i' j' k'}\tilde c_{m'}, \\ U^i_{i'}\rho^{i'}_{\;\,j'k'm'}=\rho^i_{\;\,jkm}U^j_{j'}U^k_{k'}U^m_{m'} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
с дополнительными условиями $\tilde c^\unicode{8224}_{1'}=\tilde c_{2'}^{}$, $\tilde c^\unicode{8224}_{2'}=\tilde c_{1'}^{}$, $\tilde c^\unicode{8224}_{3'}=\tilde c_{3'}^{}$. Легко видеть, что в этой группе преобразований имеются три подгруппы, каждая из которых изоморфна $SL(2,\mathbb{C})$:
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} U^1_{1'} & U^1_{2'} & 0 \\ U^2_{1'} & U^2_{2'} & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix} U^1_{1'} & 0 & U^1_{3'} \\ 0 & 1 & 0 \\ U^3_{1'} & 0 & U^3_{3'}\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & U^2_{2'} & U^2_{3'} \\ 0 & U^3_{2'} & U^3_{3'}\end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Каждая из этих матриц принадлежала бы группе $SL(2,\mathbb{C})$, если бы мы не налагали условий эрмитовоости. Но если мы хотим сохранить те же соотношения между новыми генераторами, которые были между старыми, следует ограничить эти три подгруппы соответствующими группами Боголюбова (см. [23]). Произведение этих матриц порождает полный $Z_3$-градуированный аналог группы Боголюбова.
7. $Z_3$-осциллятор$Z_3$-градуированными аналогами операторов рождения и уничтожения $a$ и $a^\unicode{8224}$ являются операторы $c_0=c_0^\unicode{8224}$, $c_1$, $c_1^\unicode{8224}$ и $c_2$, $c_2^\unicode{8224}$. Выражение $aa^\unicode{8224}+a^\unicode{8224} a$ можно интерпретировать как сумму всех перестановок из группы $Z_2$ для операторов $a$ и $a^\unicode{8224}$ или всех перестановок из группы $S_2$, поскольку здесь все перестановки циклические, чего нельзя сказать о группах $Z_3$ и $S_3$. Сумма всех циклических перестановок трех операторов в произведении $c_1c_2c_3$ или даже всех шести возможных перестановок не приводит ни к какому простому выражению. Более того, в таких комбинациях не появляется комплексное представление группы $Z_3$. Однако квадратичный гамильтониан $aa^\unicode{8224}+a^\unicode{8224} a$ гармонического осциллятора можно записать в другой форме, при этом представление группы $Z_2$ умножением на $1$ и $-1$ возникает в явном виде:
$$
\begin{equation}
\widehat H=\frac{1}{2}[(a+a^\unicode{8224})^2+(-1)(a-a^\unicode{8224})^2]=aa^\unicode{8224}+a^\unicode{8224} a.
\end{equation}
\tag{53}
$$
Теперь $Z_3$-обобщение становится очевидным: мы должны сформировать сумму кубов подобных выражений с тремя генераторами каждое, умноженных на $j$ и $j^2$ во всех возможных комбинациях так, чтобы обеспечить эрмитовость результата аналогично (53). С помощью генераторов $c_1$, $c_2$ и $c_0$ можно составить два выражения,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_1&=\frac{1}{27}[(c_0+c_1+c_2)^3+j (c_0+jc_1+j^2c_2)^3+j^2(c_0+j^2c_1+jc_2)^3], \\ D_2&=\frac{1}{27}[(c_0+c_1+c_2)^3+j^2(c_0+jc_1+j^2c_2)^3+j(c_0+j^2c_1+jc_2)^3], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
при этом
$$
\begin{equation*}
D_1=\frac{d^3}{dx^3}+jx^3+j^2\mathbf 1,\qquad D_2=\frac{d^3}{dx^3}+j^2x^3+j\mathbf 1.
\end{equation*}
\notag
$$
Ни одна из этих двух комбинаций не является эрмитовой, как и их сумма
$$
\begin{equation}
\widehat D_{Z_3}=D_1+D_2=2\frac{d^3}{dx^3}-x^3-1=2\frac{d^3}{dx^3}-(x^3+1).
\end{equation}
\tag{54}
$$
Этот оператор не может служить хорошим $Z_3$-градуированным обобщением гамильтониана квантового гармонического осциллятора, поскольку ему не хватает самого важного свойства: положительности. Выражение $x^3+1$, появляющееся как “потенциальная” часть, записывается как произведение $(x+1)(x+j)(x+j^2)$, и мы видим что оператор $\widehat D_{Z_3}$ и его эрмитово сопряженный $\widehat D^\unicode{8224}_{Z_3}$ не являются эрмитовыми,
$$
\begin{equation*}
\widehat D_{Z_3}^{}=2\frac{d^3}{dx^3}-(x^3+1),\qquad\widehat D^\unicode{8224}_{Z_3}=-2\frac{d^3}{dx^3}-(x^3+1),
\end{equation*}
\notag
$$
но эрмитовым оператором является симметризованная сумма их произведений:
$$
\begin{equation*}
\widehat D_{Z_3}^{}\widehat D^\unicode{8224}_{Z_3}+\widehat D^\unicode{8224}_{Z_3}\widehat D_{Z_3}^{}=-4\frac{d^6}{dx^6}+2(x^3+1)^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Уравнение на собственные значения $\widehat D_{Z_3}f(x)=Ef(x)$ для конкретного значения $E=-1$ можно решить явно, оно равносильно следующему дифференциальному уравнению третьего порядка: Чтобы найти решение, разложим $f(x)$ в ряд, $f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}c_kx^k$, и получим, что оно выражается через обобщенную гипергеометрическую функцию $F([\;\,]; p,q;\xi)$. Это обозначение принято в программе Maple, и оно определяет следующий степенной ряд:
$$
\begin{equation}
F([\;\; ]; p,q;\xi)=\sum_{k=0}^{\infty}c_k x^k,\qquad c_k=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+k)\Gamma(q+k)}.
\end{equation}
\tag{56}
$$
Собственная функция, задающаяся уравнением (55), представляет собой линейную комбинацию трех независимых решений
$$
\begin{equation*}
F\biggl([\;\,];\frac{2}{3},\frac{5}{6};\frac{x^6}{432}\biggr),\qquad xF\biggl([\;\,];\frac{5}{6},\frac{7}{6};\frac{x^6}{432}\biggr),\qquad x^2F\biggl([\;\,];\frac{7}{3},\frac{4}{3};\frac{x^6}{432}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
коэффициенты которой определяются тремя начальными условиями, как и должно быть для дифференциального уравнения третьего порядка.
8. Собственные состоянияСледуя классической схеме, найдем собственную функцию оператора $c_3$ с нулевым собственным значением в координатном представлении:
$$
\begin{equation}
c_3|0\rangle=0\quad\Longrightarrow\quad \biggl(\frac{d}{dx}+x+1\biggr)\Phi(x)=0.
\end{equation}
\tag{57}
$$
Имеется очевидное решение этого уравнения, подобное сжатому состоянию: Аналогом гамильтониана в нашем случае является
$$
\begin{equation*}
H=(c_1c_0c_2+c_0c_2c_1+c_2c_1c_0)+(c_2c_0c_1+c_0c_1c_2+c_1c_2c_0).
\end{equation*}
\notag
$$
Операторы $a$ и $a^\unicode{8224}$, используемые при построении обычного гамильтониана осциллятора, неэрмитовы, однако их комбинация $a a^\unicode{8224}+a^\unicode{8224} a$ эрмитова. Мы могли бы отказаться от требования эрмитовости и при этом получить вещественные собственные значения для неэрмитова оператора третьего порядка в духе работы Бендера [24] на эту тему. Но дифференциальный оператор третьего порядка не может служить хорошим кандидатом на роль гамильтониана любого типа, поскольку он не является положительно определенным и в его спектре не проявляется минимальное значение. Кроме того, в операторах $c_k$ оператор импульса $\hat p=-id/dx$ нельзя заменить его вещественным аналогом $d/dx$ без потери эрмитовости. Тем не менее такая замена возможна, если ввести квадратичную комбинацию двух операторов третьего порядка. Мы предлагаем рассмотреть следующие операторы:
$$
\begin{equation}
\widehat K_1=i p^3+x^3=-\frac{d^3}{dx^3}+x^3,\qquad \widehat K_2=-i p^3+x^3=\frac{d^3}{dx^3}+x^3.
\end{equation}
\tag{59}
$$
Нетрудно видеть, что $\widehat K_1^\unicode{8224}=\widehat K_2^{}$ и
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}[\widehat K_1\widehat K_2+\widehat K_2\widehat K_1]=\widehat H_{Z_3}=-\frac{d^6}{dx^6}+x^6.
\end{equation}
\tag{60}
$$
Собственные функции этого оператора с нулевым собственным значением имеют тот же вид, что и собственная функция (58), но с вещественным аргументом $x^6/432$ вместо мнимого $ix^6/432$. Оператор (60) можно представить в виде кубической комбинации операторов второго порядка, один из которых представляет классический гармонический осциллятор, а два остальных аналогичны, но содержат комплексно-сопряженные потенциальные части:
$$
\begin{equation}
\widehat H_0=-\frac{d^2}{dx^2}+x^2,\qquad \widehat H_1=-\frac{d^2}{dx^2}+jx^2,\qquad\widehat H_2=-\frac{d^2}{dx^2}+j^2x^2.
\end{equation}
\tag{61}
$$
Нетрудно проверить, что
$$
\begin{equation}
\frac{1}{3}[\widehat H_0\widehat H_1\widehat H_2+\widehat H_1\widehat H_2\widehat H_0+\widehat H_2\widehat H_0\widehat H_1]= -\frac{d^6}{dx^6}+x^6.
\end{equation}
\tag{62}
$$
Выражение, содержащее нечетную перестановку тех же трех операторов, дает идентичный результат. Рассмотренная нами модель является своего рода третьей степенью обычного гармонического осциллятора с его комплексифицированными аналогами. Каждый из двух “экзотических” операторов $\hat c_1^{}=i\hat p+jx$ и $\hat c_2^{}=\hat c_1^\unicode{8224}=i\hat p+j^2x$ имеет комплексный спектр с энергиями, умноженными на $j$ и на $j^2$ соответственно. По-видимому, это указывает на то, что спектр кубической комбинации $\widehat H_{Z_3}$ должен быть пропорционален произведениям трех собственных значений $E_0$, $E_1=jE_0$ и $E_2=j^2E_0$, что приводит к вещественному собственному значению $E_0\cdot E_1\cdot E_2=j\cdot j^2\cdot E_0^3=E_0^3$. Классическая схема квантования Бора–Зоммерфельда, примененная к гамильтониану $\widehat H_{Z_3}$, подтверждает эту гипотезу. 9. КвантованиеВ случае одномерного гармонического осциллятора, классический гамильтониан которого задается квадратичным выражением правило квантования Бора–Зоммерфельда обеспечивает конечный набор дискретных уровней энергии посредством следующего условия: Выразив импульс $p$ как функцию координаты $x$ и положив $H(p,x)=E=\text{const}$, получаем явное выражение для этого интеграла
$$
\begin{equation}
\int_{\text{период}}p\,dx=2m\omega\int_{x_{\min}}^{x_{\max}}\;\sqrt{\frac{2E}{k}-x^2}\,dx=n\hbar,
\end{equation}
\tag{64}
$$
где $\omega=\sqrt{k/m}$ и $E$ – энергия. Этот интеграл хорошо известен и приводит к правилу квантования $E=\omega\hbar(n+1/2)$. Применим аналогичное условие квантования к нашему кубическому “гамильтониану”. Начнем с выражения, которое должно описывать нечто, являющееся аналогом гамильтониана. Это выражение получается из тернарного обобщения алгебры Гейзенберга: Размерность этого выражения равна третьей степени энергии, $\operatorname{dim}[H]=[\text{энергия}]^3$. Предположим, что (65) постоянен по времени. Это дает уравнение
$$
\begin{equation}
H_6=\frac{p^6}{6m^3}+\frac{k^3x^6}{6}=E^3=\text{const}.
\end{equation}
\tag{66}
$$
Отсюда получаем выражение для $p$ как функции от $x$:
$$
\begin{equation}
p=6^{1/6}\,\sqrt{m k}\biggl[\frac{6E^3}{k^3}-x^6\biggr]^{1/6}.
\end{equation}
\tag{67}
$$
Легко видеть, что соответствующая траектория замкнута, и движение должно быть периодическим. Теперь наложим условие квантования Бора–Зоммерфельда (63), которое основано на квазиклассическом приближении и очень хорошо согласуется с наблюдениями в пределе больших квантовых чисел. В нашем случае оно дает явный интеграл, из которого, заменив $p$ его выражением (67), получаем
$$
\begin{equation}
\int_{\text{период}}p\,dx=2\int_{-x_{\max}}^{+x_{\max}}p\,dx= 2\sqrt{mk}\int_{-x_{\max}}^{+x_{\max}}\biggl[\frac{6E^3}{k^3}-x^6\biggr]^{1/6}\,dx.
\end{equation}
\tag{68}
$$
Пределы интегрирования определяются из условия $p=0$, имеем $x_{\max}=6^{1/6}\sqrt{E/k}$. Интеграл (68) выражается через гамма-функцию:
$$
\begin{equation}
2\sqrt{mk}\int_{-x_{\max}}^{+x_{\max}}\bigg[\frac{6E^3}{k^3}-x^6\bigg]^{1/6}\,dx= 4\cdot 6^{1/3}\sqrt{mk}\,\frac{[\Gamma(7/6)\big]^2}{\Gamma(4/3)}\frac{E}{k}.
\end{equation}
\tag{69}
$$
Правило квантования Бора–Зоммерфельда предполагает, что этот интеграл может принимать дискретные значения $n\hbar$, что приводит к дискретным значениям энергии
$$
\begin{equation}
E_n=\biggl[\frac{\Gamma(4/3)}{4\cdot 6^{1/3}[\Gamma(7/6)]^2}\biggr]=n\hbar\omega,\qquad\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
\end{equation}
\tag{70}
$$
Как и в случае обычного гармонического осциллятора, уровни энергии пропорциональны целым числам, $E_n=n\hbar\omega$. Следовательно, собственные значения оператора $\widehat H_{Z_3}$ пропорциональны $n\hbar^3\omega^3$. Интересная проблема возникает, если сравнить два результата квантования Бора–Зоммерфельда: обычный результат, вытекающий из квадратичного гамильтониана $p^2+x^2$, и результат, полученный выше для гамильтониана шестого порядка $p^6+x^6$, со сложным зависящим от $n$ множителем, стоящим перед целым $n$, которому, как и в классическом случае, пропорциональны дискретные уровни энергии $E_n$. Теперь с учетом того, что
$$
\begin{equation}
H_6=p^6+x^6=(p^2+x^2)(p^2+jx^2)(p^2+j^2x^2)=(p^2+x^2)(p^4-p^2x^2+x^4),
\end{equation}
\tag{71}
$$
представляется целесообразным применить схему квантования Бора–Зоммерфельда к “гамильтониану” $H_4=p^4-p^2x^2+x^4$ четвертой степени и сравнить результат с двумя уже полученными выражениями для $E_n$. Опираясь на его физическую размерность, нам следует придать этому гамильтониану размерность квадрата энергии. При правильных физических размерных единицах и выборе нормировочного коэффициента равным $1/8$ следует положить
$$
\begin{equation}
H_6=\frac{p^6}{8m^3}+\frac{k^3x^6}{8}= \biggl(\frac{p^2}{2m}+\frac{k x^2}{2}\biggr)\biggl(\frac{p^4}{4m^2}-\frac{k p^2x^2}{4m}+\frac{k^2x^4}{4}\biggr)=H_0H_4,
\end{equation}
\tag{72}
$$
при этом
$$
\begin{equation}
H_4=\frac{p^4}{4m^2}-\frac{k p^2x^2}{4m}+\frac{k^2x^4}{4}=E^2.
\end{equation}
\tag{73}
$$
К сожалению, выражая импульс $p$ как функцию от $x$, мы получаем выражение, содержащее квадратный корень под знаком другого квадратного корня. Это происходит потому, что сначала нам нужно решить уравнение
$$
\begin{equation}
\frac{p^4}{4m^2}-\frac{k p^2x^2}{4m}+\frac{k^2x^4}{4}-E^2=0,
\end{equation}
\tag{74}
$$
которое после замены $u=p^2$ и умножения на $4m^2$ дает квадратное уравнение для $u$: Решая его стандартными методами, приходим к следующему выражению для $p(x)$:
$$
\begin{equation}
p(x)=\pm\sqrt{\frac{kmx^2}{2}+\sqrt{16m^2E^2-3k^2m^2x^4}}.
\end{equation}
\tag{76}
$$
Это четная функцией от $x$, заданная для всех $x$ между $-|x_{\max}|$ и $|x_{\max}|$, где Нам не удалось найти для $H_4$ явный вид интеграла квантования Бора–Зоммерфельда $\int p(x)\,dx$, аналогичный (64). Однако мы получили численный ответ для гамильтониана четвертой степени (73) (с помощью программы Mathematica). Зависимость этого интеграла от $E$ показана на рис. 3. Не имея явного выражения зависимости $E$ от параметров $m$ и $k$, а значит, и от частоты осциллятора $\omega$, мы не можем в этом случае провести квантование Бора–Зоммерфельда, наложив условие $E=n\hbar\omega$. БлагодарностиЯ выражаю свою глубокую признательность за многочисленные обсуждения и конструктивную помощь при работе с программами Maple и Mathematica профессору Каролю Пенсону и профессору Катаржине Гурской. Я благодарю профессора Ежи Лукерского и профессора Анджея Боровеца за дружеские и содержательные замечания и предложения. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ker24} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|