| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Преобразования симметрии статистики поля вихря в оптической турбулентности В. Н. Гребенёвa, А. Н. Гришковb, С. Б. Медведевa a Федеральный исследовательский центр информационных и вычислительных технологий, Новосибирск, Россия b Universidade de São Paulo, Instituto de Matemática e Estatística, São Paulo, Brazil
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923110144 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ настоящей работе изучаются статистические свойства поля вихря в волновой оптической турбулентности. Распространение нелинейных пучков в оптической среде описывается двумерным нелинейным уравнением Шредингера (НУШ). Математическая аналогия между многомодовыми оптическими волокнами и двумерным НУШ означает, что многие явления, происходящие в волновой оптической турбулентности, также проявляются в динамических и статистических свойствах нелинейного пучка в многомодовых оптических волокнах. Одним из таких важных физических явлений является волновая оптическая турбулентность, возникающая из-за того, что нелинейная динамика, описываемая НУШ, является хаотической и часто неравновесной как для эволюции начального распределения, так и для случая внешней накачки. Когда накачка (возникающая из-за нестабильности) имеет масштаб, существенно отличный от масштаба диссипации, в дефокусирующем НУШ проявляется множество сложных структур, включающих смесь конденсата, ударных волн, серых солитонов и оптических вихрей. Полное теоретическое описание таких сложных явлений (как аналитическое, так и численное) еще не разработано в полном объеме. Исследование задачи проводится в предположении статистической изотропии, т. е. мы интересуемся случайными полями, их статистическими распределенными величинами. Любая оптическая турбулентность происходит в среде (установке, вычислительной области, конфигурации поля), которая обычно нарушает изотропию. Мы изучаем влияние этого нарушения симметрии конфигурации поля на статистических распределенных величинах. Далее мы исследуем свойства статистики, которые не зависят от свойств внешней случайной силы, т. е. инвариантность, когда турбулентность реализуется на масштабах, превышающих радиус корреляции внешней силы, или в обратных каскадах. Рассматривается бесконечная цепочка кинетических уравнений для описания статистики оптических вихрей с сосуществованием когерентных структур и случайных оптических вихрей. При их выводе в качестве основной величины движения берется поле завихренности. Эти уравнения напоминают цепочку Боголюбова в статистической физике, но здесь они выведены для поля. Полученные уравнения применимы для описания турбулентного режима в терминах многоточечных функций плотности распределения вероятности $f_n$ (ФПРВ), они представляют собой уравнения Ландгрена–Монина–Новикова (ЛМН) (статистическая форма уравнений Эйлера) для поля вихря $\Omega$ в двумерном потоке. Межмодовое взаимодействие оптических вихрей с когерентными структурами учитывается в гидродинамическом приближении НУШ через фрикционное демпфирование, посредством которого энергия взаимодействия сдвигается в бо́льшие масштабы обратного каскада. При этом система может возбуждаться белым гауссовым шумом с коротким радиусом корреляции. Одним из приложений конформной инвариантности являются тороидальные оптические вихри. В работе [1] представлены экспериментальные результаты формирования тороидальных структур лучей в оптике. Для обоснования эксперимента привлекалось трехмерное линейное уравнение Шредингера (параболическое приближение) в цилиндрической геометрии при аномальной дисперсии групповой скорости волнового пакета $\Psi$, которое является инвариантным при конформных преобразованиях плоскости, на которой расположены два фазовых элемента $\Psi$. Нити вихревой цилиндрической трубки конформным преобразованием отображаются в окружности с образованием вихревого кольца в трехмерном пространстве. Привлекаемое уравнение может быть использовано только в определенных приближениях, без учета нелинейных эффектов распространения оптических волн и взаимодействия с фоном случайных волн. Последнее ведет к тому, что обоснование подобных структур должно рассматриваться в рамках статистической теории с изучением симметрии статистических распределений поля завихренности, что учтено в настоящей работе. При выводе кинетического уравнения для ФПРВ мы используем гидродинамическое приближение НУШ для весового поля скорости $\mathbf u$, как это сделано в работе [2]. Кроме того, расширение симметрии до конформной инвариантности – программа, предложенная Поляковым [3] для двумерной статистической теории гидродинамической турбулентности. В этом случае конформная группа является бесконечномерной, что позволяет использовать возможности конформной теории поля [4]. Одним из основных результатов работы [5] (см. также [6]) является доказательство конформной инвариантности характеристик $f_n$-уравнения (уравнение для многоточечной ФПРВ) иерархии ЛМН для волновой оптической турбулентности при произвольном $n$ в отсутствие внешнего случайного воздействия и инвариантности $n$-точечной статистики для ФПРВ вдоль изолиний нулевой завихренности, что обобщает результаты, полученные для одноточечной статистики [7], [8] и для скалярного поля [9]. Для двумерной гидродинамической турбулентности в работе [10] получен точный аналитический результат, касающийся конформной инвариантности одноточечной статистики линии нулевой завихренности $\mathbf x(l)$ или контура кластера вихрей при внешнем воздействии в виде белого гауссова шума и крупномасштабного трения. Отметим, что для волновой оптической турбулентности граница кластеров оптических вихрей наблюдается в экспериментах [11]. Цель настоящей работы – распространить результаты, полученные в [5], на случай, когда $f_n$-уравнение рассматривается при внешнем воздействии в виде белого гауссова шума и крупномасштабного трения. Группа преобразований симметрии $G$ вычислена в работах [5], [6] в отсутствие внешнего воздействия. Кроме того, показано, что нарушается инвариантность $f_n$-уравнения в присутствии вязкости, которая ведет к разрушению обратного каскада переноса энергии турбулентности. Концептуальная новизна работы состоит в введении расслоенного пространства и действия группы $G$ в этом расслоении, что позволяет ввести калибровочный потенциал, форму связанности пространства и другие объекты теории преобразований расслоенных пространств. 2. Основные понятия2.1. Статистическая модельСтатистические выборки, как правило, рассматриваются на некотором многообразии $X$, возможно несвязном и недифференцируемом. Статистические модели представляют собой совокупность вероятностных мер $\{\mu_{\mathbf x}\mid\mathbf x\in X\}$ (параметризованных переменной $\mathbf x$) или функций плотности распределения вероятностей, заданных на некотором фиксированном пробном пространстве $\mathcal M$ наблюдаемых данных $\omega$. Выбор статистической модели, ассоциированной с рассматриваемой физической моделью, состоит в фиксировании вероятностной меры. Рассмотрим $n$-точечную выборку $(\mathbf x_{(1)},\dots,\mathbf x_{(n)})\in X$, которой соответствуют наблюдаемые данные $(\omega_{(1)},\dots,\omega_{(n)})$. Далее будем рассматривать $X$ как конфигурационное пространство двумерного турбулентного потока такое, что наблюдаемое значение $\omega_{(i)}$ – значение компоненты завихренности $\Omega(\mathbf x_{(i)},t)$ – интерпретируется как внутреннее состояние жидкой частицы $\mathbf x_{(i)}$. Пространство состояний точки $\mathbf x_{(i)}$ турбулентного потока является одномерным расслоением $\mathcal M\simeq\mathbb R$ над $X$. Тогда пространство состояний $n$-точечной выборки $(\mathbf x_{(1)},\dots,\mathbf x_{(n)})$ есть прямое произведение $\mathcal M^n=\mathcal M\times\dotsb\times\mathcal M\simeq\mathbb R^n$. Рассмотрим семейство вероятностных мер $\{\mu_{\mathbf x}\mid\mathbf x \in X\}$, заданных на $\mathcal M$, и стандартную меру Лебега $\nu$, определенную в $\mathcal M$. Предполагается, что семейство мер $\{\mu_{\mathbf x}\}$ является абсолютно непрерывным относительно меры $\nu$. Тогда отображение
$$
\begin{equation}
\mu_{\mathbf x}\to\biggl[\frac{d\mu_{\mathbf x}}{d\nu}\biggr]^{1/2},
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $d\mu_{\mathbf x}/d\nu$ – производная Радона–Никодима, определяет вложение семейства вероятностных мер $\{\mu_{\mathbf x}\mid\mathbf x \in X\}$ в единичную сферу $S$ гильбертова пространства $L^2(\mathcal M,\nu)$. Производная определяет ФПРВ в гильбертовом пространстве $S$. Конкретный вывод ФПРВ приведен ниже для модели волновой оптической турбулентности. Для построения калибровочного преобразования выбирается группа Ли, действующая на многообразие $X$, и мы будем рассматривать конформные преобразования двумерного многообразия $X$, которые представляют собой псевдогруппу Ли, реализованную на комплексной прямой $\mathbb C$. Действие рассматриваемой группы может быть поднято на расслоение $\mathcal P=P_{\mathbf x_{(1)}}\times\dotsb\times P_{\mathbf x_{(n)}}$ многообразия $X$ с базой $\mathbf x_{(j)}$, где слой $P_{\mathbf x_{(j)}}$ – группа преобразований $G_j$, что позволяет определить калибровку слоя. Такие расслоения называются главными. Реализация калибровки представлена для статистической модели волновой оптической турбулентности, основанной на нелинейном уравнении Шрeдингера. 2.2. Волновая оптическая турбулентностьТеория волновой оптической турбулентности предсказывает неравновесные статистические состояния, характеризующиеся каскадным (прямым и обратным) переносом энергии по соответствующим масштабам движения двумерных потоков. Обратный каскад ведет к накоплению спектра энергии на больших масштабах с последующим формированием крупномасштабных когерентных структур. Их развитие происходит посредством самовзаимодействия и взаимодействия с фоном случайных волн (со случайной фазой и амплитудой), что реализует сценарий хаоса [12]. Для статистического описания кластеров вихрей использована аналогия между поведением оптических и гидродинамических полей. Имея гидродинамическое приближение НУШ, определяемое уравнением Эйлера идеальной жидкости, уравнения для $n$-точечной ФПРВ $f_n$ поля вихря $\Omega$ можно определить из бесконечной цепочки уравнений ЛМН (статистическая форма уравнений Эйлера). Мы изучаем свойства статистики, которые не зависят от свойств внешней случайной силы, т. е. инвариантность, когда турбулентность реализуется на масштабах, превышающих радиус корреляции внешней силы или в обратных каскадах. Эксперименты и численное моделирование в пределах погрешности демонстрируют масштабную инвариантность статистики в обратных каскадах, в то время как масштабная инвариантность нарушается во всех известных прямых каскадах [13]. В частности, возможность расширения симметрии до конформной инвариантности вызвано приложением конформных преобразований в оптике [1], где представлены экспериментальные результаты формирования тороидальных структур. 2.3. Нелинейное уравнение ШредингераДля моделирования нелинейного распространения оптических волн в терминах скалярной волновой комплексной функции $\Psi(X,Y,T)$ для огибающих используется НУШ, которое в безразмерных переменных $x$, $y$, $t$ и $\psi$ имеет вид Преобразование Маделунга [14] где $|\psi|^2$ – оптическая интенсивность, $\phi$ – фаза волновой функции, устанавливает соответствие между оптическими и гидродинамическими полями, $\rho$ и $\mathbf v$ удовлетворяют уравнениям Эйлера для невязкого политропного газа с показателем адиабаты $\gamma=2$. Таким образом, оптическая интенсивность представляет собой плотность $\rho$, оптический фазовый градиент $\nabla\phi$ является скоростью $\mathbf v$, нелинейное возмущение показателя рефракции соответствует давлению $p$, расстояние, пройденное оптической волной, ассоциируется со временем $t$. В точках $\mathbf x_i=(x_i,y_i)\in\mathbb R^2$, где $\psi=0$, фаза $\phi$ не определена и завихренность определяется распределением дельта-функции $\delta(\mathbf x-\mathbf x_i)$. Переход к скорости $\mathbf u=\sqrt{\rho}\mathbf v$, как это сделано в работе [2], где аппроксимируется $\mathbf v$ вблизи $\mathbf x_i$ вихревым решением Питаевского [15] с весом $\sqrt{\rho}$, позволяет перейти к локализованному и быстро убывающему на больших расстояниях от центра вихря полю завихренности $\Omega$, которое все еще сингулярно при $r=0$ ($r=|\mathbf x-\mathbf x_i)|$), но уже не является распределением дельта-функции.Гамильтониан НУШ
$$
\begin{equation}
H=\int\biggl[|\nabla\psi|^2+\frac{1}{2}(|\nabla\psi|^2-1)^2\biggr]\,d\mathbf x
\end{equation}
\tag{5}
$$
в гидродинамических переменных $\mathbf u$, $\rho$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, H&=H_K+H_0,\qquad H_K=\frac{1}{2}\int u^2\,d\mathbf x, \\ H_0&=\frac{1}{2}\int[(\rho-1)^2+2|\nabla\sqrt{\rho}|^2]\,d\mathbf x,\qquad u=|\mathbf u|, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6}
$$
при этом $H_K$ совпадает с гамильтонианом идеальной несжимаемой жидкости. Как показано в работе [2], гамильтониан $H_K$ является доминантным на масштабах движения порядка радиуса $\xi$ ядра вихря в разложении гамильтониана $H$, где значительно изменение давления $p=\rho^2$ и $\rho\approx 1$ (фоновое значение плотности) для $r\gg\xi$. Кроме того, дивергенция поля $\mathbf u$, т. е. $\gamma(\mathbf x)=\nabla\cdot\mathbf u$, на этих масштабах движения есть величина $\gamma(\mathbf x)\ll 1$ (см. [2]). Таким образом, гидродинамическое приближение НУШ на масштабах движения порядка $\xi$ определяется уравнением Эйлера идеальной жидкости. Поля завихренности $\Omega=\omega\mathbf e_z$ и скорости $\mathbf u$ связаны законом Био–Савара
$$
\begin{equation}
\mathbf u(\mathbf x,t)=\frac{1}{2\pi}\int d\mathbf x'\,\omega(\mathbf x',t)\mathbf e_z \times\frac{\mathbf x-\mathbf x'}{|\mathbf x-\mathbf x'|^2} =\int d\mathbf x'\,\mathbf U(\mathbf x-\mathbf x',t)\omega(\mathbf x',t),
\end{equation}
\tag{7}
$$
где $\mathbf U$ – скорость вихря с интегрируемой особенностью. В трехмерном случае особенность не является интегрируемой и применяется регуляризация. 2.4. Статистическое описание поля оптических вихрейИмея гидродинамическое приближение НУШ, определяемое уравнением Эйлера идеальной жидкости, уравнение для $n$-точечной ФПРВ $f_n$ поля вихря $\Omega$ можно определить из бесконечной цепочки уравнений ЛМН, которая выводится из статистической формы уравнений Эйлера с использованием закона Био–Савара (7). Уравнения рассматриваются при внешнем воздействии белого гауссового шума и крупномасштабного трения Экмана, что ведет к статистической стационарности ФПРВ. Экспериментальное наблюдение оптической волновой турбулентности представлено в работе [12]. Начиная со слабонелинейных некогерентных волн наблюдается обратный каскад по спектру энергии и рост нелинейности, приводящий к образованию когерентных структур. Особенностью является стохастичность процесса формирования кластеров оптических вихрей. Используются следующие обозначения: $f_n(\mathbf x_{(1)},\omega_{(1)},\dots,\mathbf x_{(n)},\omega_{(n)},t)$ – $n$-точечная ФПРВ, $n=1,\dots$, $\omega_{(i)}$, $i=1,\dots,n$, – значение компоненты завихренности $\Omega(\mathbf x_{(i)},t)(\equiv\Omega_{(i)})$ в точке $\mathbf x_{(i)}$ в момент времени $t$. Далее верхний индекс будет обозначать компоненту вектора. Уравнение для $n$-точечной ФПРВ $f_n$ бесконечной цепочки уравнений ЛМН в эйлеровой формулировке при внешнем случайном действии и нулевой вязкости имеет следующий вид [16]:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{\partial f_n}{\partial t}+\sum_{j=1}^n \biggl(\frac{\partial}{\partial x_{(j)}} \int d\mathbf x_{(n+1)}\,d\omega_{(n+1)}\, \omega_{(n+1)}\alpha^1(\mathbf r_{(j,n+1)})f_{n+1}+{} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad{}+\frac{\partial}{\partial y_{(j)}} \int d\mathbf x_{(n+1)}\,d\omega_{(n+1)}\, \omega_{(n+1)}\alpha^2(\mathbf r_{(j,n+1)})f_{n+1}\biggr) =\mathcal F \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8}
$$
или
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{\partial f_n}{\partial t}= -\sum_{j=1}^n\biggl[\frac{\partial}{\partial x_{(j)}} \langle u(\mathbf x_{(j)},t)|\{\omega_l,\mathbf x_{(l)}\}\rangle f_n +\frac{\partial}{\partial y_{(j)}} \langle v(\mathbf x_{(j)},t)|\{\omega_{(l)},\mathbf x_{(l)}\}\rangle f_n\biggr] =\mathcal F, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9}
$$
где $n=1,\dots,\infty$, и
$$
\begin{equation}
\mathbf r_{(s,d)}=\mathbf x_{(s)}-\mathbf x_{(d)},\quad \alpha^1(\mathbf r_{(s,d)})=-\frac{1}{2\pi}\frac{r^2_{(s,d)}}{|\mathbf r_{(s,d)}|^2},\quad \alpha^2(\mathbf r_{(s,d)})=\frac{1}{2\pi}\frac{r^1_{(s,d)}}{|\mathbf r_{(s,d)}|^2},
\end{equation}
\tag{10}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal F=\beta\,\frac{\partial}{\partial\omega_{(n)}}(\omega_{(n)}f_n) -\frac{1}{2}\sum_{j=1}^nQ(x_{(n)} -x_{(j)})\,\frac{\partial^2}{\partial\omega_{(j)}^2}f_n.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Первое слагаемое в (11) – фрикционное демпфирование (трение Экмана), посредством которого энергия взаимодействия сдвигается в б́ольшие масштабы обратного каскада. Второе слагаемое отвечает за возбуждение системы белым гауссовым шумом с коротким радиусом корреляции, $Q(x_{(n)}-x_{(j)})$ интерпретируется как амплитуда внешнего воздействия. Компоненты скорости определяются формулами
$$
\begin{equation}
\langle u(\mathbf x_{(j)},t)|\{\omega_{(l)},\mathbf x_{(l)}\}\rangle={} \int d\mathbf x_{(n+1)}\,d\omega_{(n+1)}\, \omega_{(n+1)}\alpha^1(\mathbf x_{(l)}-\mathbf x_{(n+1)})\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\times\frac{ f_{n+1}(\mathbf x_{(n+1)},\omega_{(n+1)}, \{\mathbf x_{(l)},\omega_{(l)}\},t)}{f_n(\{\mathbf x_{(l)},\omega_{(l)}\},t)},
\end{equation}
\tag{12}
$$
$$
\begin{equation}
\langle v(\mathbf x_{(j)},t)|\{\omega_{(l)},\mathbf x_{(l)}\}\rangle={} \int d\mathbf x_{(n+1)}\,d\omega_{(n+1)}\, \omega_{(n+1)}\alpha^2(\mathbf x_{(j)}-\mathbf x_{(n+1)})\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\times\frac{f_{n+1}(\mathbf x_{(n+1)},\omega_{(n+1)},\{\mathbf x_{(l)},\omega_{(l)}\},t)} {f_n(\{\mathbf x_{(l)},\omega_{(l)}\},t)}.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Далее мы будем использовать обозначения
$$
\begin{equation}
\alpha^1(\mathbf r_{(1,n+1)})=\alpha^1_{(1,n+1)},\qquad \alpha^2(\mathbf r_{(1,n+1)})=\alpha^2_{(1,n+1)}.
\end{equation}
\tag{14}
$$
Класс ФПРВ определяется следующими условиями:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\int d\omega_{(1)}\,\dots\,d\omega_{(n)}\,f_n=1,\quad \int d\omega_{(n+1)}\,f_{n+1}=f_n, \\ &\lim_{|\mathbf x_{(n)}-\mathbf x_{(n+1)}|\to\infty} f_{n+1}(\mathbf x_{(1)},\omega_{(1)},\dots,\mathbf x_{(n+1)},\omega_{(n+1)},t)= \\ &\qquad=f_1(\mathbf x_{(n+1)},\omega_{(n+1)},t)\cdot f_n(\mathbf x_{(1)},\omega_{(1)},\dots,\mathbf x_{(n)},\omega_{(n)},t), \\ &\lim_{|\mathbf x_{(n)}-\mathbf x_{(n+1)}|\to 0}f_{n+1} =\delta(\omega_{(n+1)}-\omega_{(n)})f_n. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Последнее соотношение понимается в смысле обобщенных функций, что ведет к равенству вероятностных мер.
3. Симметрии статистики поля вихряКалибровочная инвариантность – это инвариантность физической модели относительно (локальных или зависящих от точки пространства) калибровочных преобразований, т. е. зависящих от координат преобразований, описывающих переход между базисами в пространстве внутренних симметрий. Калибровочная инвариантность эквивалентно определяется, как (инфинитезимальный) дифференциальный оператор на некотором векторном расслоении, принимающий значения в линейном пространстве симметрий. 3.1. Конформно-калибровочные преобразованияДействие псевдогруппы Ли конформных преобразований $X$ может быть поднято на расслоение $\mathcal P$ многообразия $X$ с базой $\mathbf x_{(j)}$. Слой $P_{\mathbf x_{(j)}}$ – группа преобразований Ли $G_j$ (с алгеброй Ли $\mathfrak s_j$), определяемая инфинитезимальным оператором $S_{(j)}$, $j=1,\dots,n$ [6]:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S_{(j)}={}&\xi^1\,\frac{\partial}{\partial x^1_{(1)}} +\xi^2\,\frac{\partial}{\partial x^2_{(1)}} +\xi^3\,\frac{\partial}{\partial\omega_{(1)}}+\dotsb+{} \notag \\ &+\xi^{3n-2}\,\frac{\partial}{\partial x^1_{(n)}} +\xi^{3n-1}\,\frac{\partial}{\partial x^2_{(n)}} +\xi^{3n}\,\frac{\partial}{\partial\omega_{(n)}} +\eta^1_{(n)}\,\frac{\partial}{\partial f_n}+{} \notag \\ &+\xi^{3n+1}\,\frac{\partial}{\partial x^1_{(n+1)}} +\xi^{3n+2}\,\frac{\partial}{\partial x^2_{(n+1)}} +\xi^{3n+3}\,\frac{\partial}{\partial\omega_{(n+1)}} +\eta^2_{(n)}\,\frac{\partial}{\partial f_{n+1}}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{16}
$$
где $j$ индексирует $\xi^{3n+1}$, $\xi^{3n+2}$, $\xi^{3n+3}$. Координаты инфинитезимального оператора определяются следующими формулами:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \xi^1& =c^{11}(\mathbf x_{(1)})x^1_{(1)}+c^{12}(\mathbf x_{(1)})x^2_{(1)} +d^1(\mathbf x_{(1)}), \\ \xi^2&=c^{21}(\mathbf x_{(1)})x^1_{(1)} +c^{22}(\mathbf x_{(1)})x^2_{(1)}+d^2(\mathbf x_{(1)}), \\ \xi^3&=[6c^{11}(\mathbf x_{(1)})]\omega_{(1)}, \\ &\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ \xi^{3k-2}&=c^{11}(\mathbf x_{(k)})x^1_{(k)} +c^{\it 12}(\mathbf x_{(k)})x^2_{(k)} +d^1(\mathbf x_{(k)}), \\ \xi^{3k-1}&=c^{21}(\mathbf x_{(k)})x^1_{(k)} +c^{22}(\mathbf x_{(k)})x^2_{(k)}+d^2(\mathbf x_{(k)}), \\ \xi^{3k}&=[6c^{11}(\mathbf x_{(k)})]\omega_{(k)}, \\ &\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots \\ \xi^{3n-2}&=c^{11}(\mathbf x_{(n)})x^1_{(n)} +c^{\it 12}(\mathbf x_{(n)})x^2_{(n)}+d^1(\mathbf x_{(n)}), \\ \xi^{3n-1}&=c^{21}(\mathbf x_{(n)})x^1_{(n)} +c^{22}(\mathbf x_{(n)})x^2_{(n)} +d^2(\mathbf x_{(n)}), \\ \xi^{3n}&=[6c^{11}(\mathbf x_{(n)})]\omega_{(n)}, \\ \xi^{3n+1}&=c^{11}(\mathbf x_{(j)})x^1_{(n+1)} +c^{12}(\mathbf x_{(j)})x^2_{(n+1)} +d^1(\mathbf x_{(j)}), \\ \xi^{3n+2}&=c^{21}(\mathbf x_{(j)})x^1_{(n+1)} +c^{22}(\mathbf x_{(j)})x^2_{(n+1)} +d^2(\mathbf x_{(j)}), \\ \xi^{3n+3}&=[2c^{11}(\mathbf x_{(j)})]\omega_{(n+1)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{17}
$$
где $k=1,\dots,n$, коэффициенты $c^{ls}$ удовлетворяют равенствам $c^{11}=c^{22}$, $c^{12}=-c^{21}$, а $c^{11}$, $c^{12}$ – произвольные гармонические функции. Функции $d^1(\mathbf y)$ и $d^2(\mathbf y)$ определяются формулами
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, d^1_1(\mathbf y)&=2c^{11}(\mathbf y)-c^{11}_1(\mathbf y)y^1 -c^{12}_1(\mathbf y)y^2, \\ d^1_2(\mathbf y)&=-c^{11}_2(\mathbf y)y^1 -c^{12}_2(\mathbf y)y^2, \\ d^2_1(\mathbf y)&=c^{12}_1(\mathbf y)y^1 - c^{11}_1(\mathbf y)y^2, \\ d^2_2(\mathbf y)&=2c^{11}(\mathbf y)+c^{12}_2(\mathbf y)y^1 -c^{22}_2(\mathbf y)y^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{18}
$$
Координаты $\eta^1_{(n)}$ и $\eta^2_{(n)}$ имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\begin{gathered} \, \eta^1_{(n)}=a^{00}_{(n)}(t,\mathbf x_{(1)},\dots,\mathbf x_{(n)})f_n, \\ a^{00}_{(n)}=\frac{\partial\xi^0}{\partial t} -\biggl(\frac{\partial\xi^0}{\partial t} +\frac{\partial\xi^1}{\partial x^1_{(1)}} +\frac{\partial\xi^2}{\partial x^2_{(1)}}+ \dotsb+\frac{\partial\xi^{3n-2}}{\partial x^1_{(n)}} +\frac{\partial\xi^{3n-1}}{\partial x^2_{(n)}}\biggr), \end{gathered} \\ &\begin{gathered} \, \qquad\qquad\eta^2_{(n)}=a^{00}_{(n+1)}(t,\mathbf x_{(1)},\dots,\mathbf x_{(n+1)})f_{(n+1)}, \\ a^{00}_{(n+1)}=\frac{\partial\xi^0}{\partial t} -\biggl(\frac{\partial\xi^0}{\partial t} +\frac{\partial\xi^1}{\partial x^1_{(1)}} +\frac{\partial\xi^2}{\partial x^2_{(1)}} +\frac{\partial\xi^4}{\partial x^1_{(2)}} +\frac{\partial\xi^5}{\partial x^2_{(2)}}+\dotsb+{} \\ \qquad{}+\frac{\partial\xi^{\it 3n+1}}{\partial x^1_{(n+1)}} +\frac{\partial\xi^{3n+2}}{\partial x^2_{(n+1)}}\biggr). \end{gathered} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{19}
$$
Используя $\xi^1$, $\xi^2$, $\dots$, $\xi^{3n-2}$, $\xi^{3n-1}$, $\xi^{3n}$ и $\xi^{3n+1}$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \eta^1_{(n)}&=-6\sum_{i=1}^nc^{11}(\mathbf x_{(i)}), \\ \eta^2_{(n)}&=-2c^{11}(\mathbf x_{(j)})-6\sum_{i=1}^nc^{11}(\mathbf x_{(i)}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
Инфинитезимальный оператор $S_{(j)}$ порождает группу Ли $G_j$ [6]:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, z^*_{(1)}&=F(z_{(1)}), \\ \omega^*_{(1)}&=|F_{z_{(1)}}|^2\omega_{(1)}, \\ &\dots\dots\dots\dots \\ z^*_{(k)}&=F(z_{(k)}), \\ \omega^*_{(k)}&=|F_{z_{(k)}}|^2\omega_{(k)}, \\ &\dots\dots\dots\dots \\ z^*_{(n+1)}&=F'(z_{(j)},z_{(n+1)}) =F(z_{(j)})+(z_{(n+1)}-z_{(j)})\frac{dF(z_{(j)})}{dz_{(j)}} \biggl|\frac{dF(z_{(j)})}{dz_{(j)}}\biggr|^{-2/3}, \\ \omega^*_{(n+1)}&=|F_{z_{(j)}}|^{2/3}\omega_{(n+1)}, \\ f^*_n&=\prod_{i=1}^n|F_{z_{(i)}}|^{-2}f_n, \\ f^*_{n+1}&=|F_{z_{(j)}}|^{-2/3}\prod_{i=1}^n|F_{z_{(i)}}|^{-2}f_{n+1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{21}
$$
где $F=U+iV$, $U$, $V$ – произвольные сопряженные гармонические функции, удовлетворяющие условиям Коши–Римана, т. е. $F$ – конформное отображение, $F_{z_{(k)}}$ – производная по $z_{(k)}$. $F'(z_{(j)}$, $z_{(n+1)})$ определено на $\mathbb C\times\mathbb C$, параметр группы $a$ опущен в обозначениях. Используя $\mathbf x_{(1)},\mathbf x_{(2)},\dots,\mathbf x_{(n)}$, введем комплексные переменные
$$
\begin{equation}
z_{(1)}=x^1_{(1)}+i x^2_{(1)},\quad z_{(2)}=x^1_{(2)}+ix^2_{(2)},\quad \dots, \quad z_{(n)}=x^1_{(n)}+ix^2_{(n)}
\end{equation}
\tag{22}
$$
или
$$
\begin{equation}
z_{(1)}=x_{(1)}+iy_{(1)}, \quad z_{(2)}=x_{(2)}+iy_{(2)}, \quad \dots, \quad z_{(n)}=x_{(n)}+iy_{(n)}.
\end{equation}
\tag{23}
$$
Определим $G=G_1\times\dotsb\times G_n$ как прямое произведение групп Ли $G_j$, а $G$ есть снова группа Ли, действующая в $\mathcal P=P_{\mathbf x_{(1)}}\times\dotsb\times P_{\mathbf x_{(n)}}$. Компоненты скорости $\langle u(\mathbf x_{(j)},t)|\omega_{(l)},\mathbf x_{(l)}\rangle$, $\langle v(\mathbf x_{(j)},t)|\omega_{(l)},\mathbf x_{(l)}\rangle$ определяют вектор скорости в $\mathbb C^n$:
$$
\begin{equation}
\langle\mathcal U(z_{(j)},\bar z_{(j)},t) |\{\omega_{(l)},z_{(l)},\bar z_{(l)}\}\rangle= \langle u(\mathbf x_{(j)},t)|\omega_{(l)},\mathbf x_{(l)}\rangle +i\langle v(\mathbf x_{(j)},t)|\omega_{(l)},\mathbf x_{(l)}\rangle.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Преобразование вектора скорости под действием группы $G$ дано в следующем разделе. 3.2. $G$-инвариантность $f_n$-уравнения иерархии ЛМНРассмотрим $f_n$-уравнения из бесконечной цепочки уравнений ЛМН, т. е. уравнение (9). Принимая во внимание, что правая часть уравнения $\mathcal F$ ведет к статистической стационарности ФПРВ, уравнение (9) принимает вид
$$
\begin{equation}
\sum_{j=1}^n\operatorname{Re} (\nabla_{z_{(j)}}\cdot[\langle\mathcal U(z_{(j)},\bar z_{(j)}) |\{\omega_{(l)},z_{(l)},\bar z_{(l)}\}\rangle])f_n=\mathcal F,
\end{equation}
\tag{25}
$$
где $j=1,\dots,n$, $\operatorname{Re}$ – действительная часть комплексного числа. Уравнение (25) задает многообразие $\mathcal E$ в пространстве струй $J^2(\mathbb C^n\times\mathcal M^n\times S,\mathbb R)$. Изучим действие группы $G$ на $\mathcal E$ и найдем условия инвариантности уравнения (25). Найдем, как преобразуется под действием группы $G$ вектор скорости
$$
\begin{equation}
(\langle\mathcal U(z_{(1)},\bar z_{(1)})| \{\omega_{(l)},z_{(l)},\bar z_{(l)}\}\rangle,\dots, \langle\mathcal U(z_{(n)},\bar z_{(n)})| \{\omega_{(l)},z_{(l)},\bar z_{(l)}\}\rangle)\in\mathbb C^n.
\end{equation}
\tag{26}
$$
Компоненты вектора скорости $\langle\mathcal U(z_{(j)},\bar z_{(j)}, t)|\{\omega_{(l)},z_{(l)},\bar z_{(l)}\}\rangle$ преобразуются согласно формулам (эти формулы аналогичны вычислениям для формул (40),(41) в [10] или в инфинитезимальном виде для формул (66)–(68) в [5])
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \langle u^*(\mathbf x^*_{(j)})|\omega^*_{(l)},\mathbf x^*_{(l)}\rangle &=\biggl[\frac{\partial U}{\partial x_{(j)}} \langle u(\mathbf x_{(j)},t)|\omega_{(l)},\mathbf x_{(l)}\rangle +\frac{\partial U}{\partial y_{(j)}} \langle v(\mathbf x_{(j)},t)|\omega_{(l)},\mathbf x_{(l)}\rangle\biggr], \\ \langle v^*(\mathbf x^*_{(j)})|\omega^*_{(l)},\mathbf x^*_{(l)}\rangle &=\biggl[-\frac{\partial U}{\partial y_{(j)}} \langle u(\mathbf x_{(j)},t)|\omega_{(l)},\mathbf x_{(l)}\rangle +\frac{\partial U}{\partial x_{(j)}} \langle v(\mathbf x_{(j)},t)|\omega_{(l)},\mathbf x_{(l)}\rangle\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{27}
$$
Далее, используя формулы продолжения для $G_j$, получаем (аналогично формулам (43), (44) в [10] и (73), (74) в [5])
$$
\begin{equation}
\nabla^*_{\mathbf x^*_{(j)}}\cdot[\langle\mathcal U^*(\mathbf x^*_{(j)}) |\omega^*_{(l)},\mathbf x^*_{(l)}\rangle f_n^*] =\gamma\nabla_{\mathbf x_{(j)}}\cdot[\langle\mathcal U(\mathbf x_{(j)}) |\omega_{(l)},\mathbf x_{(l)}\rangle f_n] +\mathcal G(\mathbf x_{(j)},\omega_{(j)}),
\end{equation}
\tag{28}
$$
где $\gamma=\prod_{i=1}^n|F_{z_{(i)}}|^{-2}$ и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal G(\mathbf x_{(j)},\omega_{(j)}) &=\frac{\omega_{(j)}}{\gamma} \biggl[\frac{\partial\gamma}{\partial x_{(j)}}\, \frac{\partial}{\partial\omega_{(j)}} \langle u(\mathbf x_{(j)},t)|\omega_{(l)},\mathbf x_{(l)}\rangle+{} \notag \\ &\qquad\qquad{}+\frac{\partial\gamma}{\partial y_{(j)}}\, \frac{\partial}{\partial\omega_{(j)}} \langle v(\mathbf x_{(j)},t)|\omega_{(l)},\mathbf x_{(l)}\rangle\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{29}
$$
Подставляя полученные выражения в левую часть уравнения (25), в преобразованных переменных получаем, что на статистической выборке $\{\mathbf x_{(j)},0\}$, т. е. на выборке, расположенной на кривой $\mathbf x(l)$ нулевой завихренности, значения $\mathcal G(\mathbf x_{(j)},0)=0$. В результате получаем
$$
\begin{equation}
\nabla^*_{\mathbf x^*_{(j)}}\cdot[\langle\mathcal U^*(\mathbf x^*_{(j)}) |\omega^*_{(l)},\mathbf x^*_{(l)}\rangle f_n^*]\bigr|_{\omega^*_{(j)}=0} =\gamma\nabla_{\mathbf x_{(j)}}\cdot[\langle\mathcal U(\mathbf x_{(j)}) |\omega_{(l)},\mathbf x_{(l)}\rangle f_n]\bigr|_{\omega_{(j)}=0}.
\end{equation}
\tag{30}
$$
Отметим, что соотношение $\omega_{(j)}=0$ группой $G_j$ преобразуются в $\omega^*_{(j)}=0$. Следовательно, левая часть уравнения (25) в преобразованных переменных под действием группы $G$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\sum_{j=1}^n\operatorname{Re}(\nabla_{z^*_{(j)}} \cdot[\langle {\mathcal U^*}(z^*_{(j)},\bar z^*_{(j)})| \{\omega^*_{(l)},z^*_{(l)},\bar z^*_{(l)}\}\rangle])f^*_n= \notag \\ &\qquad\qquad\qquad=\gamma\sum_{j=1}^n\operatorname{Re}(\nabla_{z_{(j)}} \cdot[\langle\mathcal U(z_{(j)},\bar z_{(j)})| \{\omega_{(l)},z_{(l)},\bar z_{(l)}\}\rangle])f_n. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{31}
$$
Отметим, что конформные преобразования $F$ определяют псевдогруппу Ли преобразований $X$, т. е. определены локально. Статистическая $n$-точечная выборка $(\mathbf x_{(1)},\dots,\mathbf x_{(n)})$ из $X$ принадлежит области определения $F$ и $F\colon(\mathbf x_{(1)},\dots,\mathbf x_{(n)}) \mapsto(\mathbf x^*_{(1)},\dots,\mathbf x^*_{(n)})\in X$. Конформные преобразования $F$ группы $G$ отражают свойство транзитивности $G$. Рассмотрим правую часть уравнения (25) и найдем ее преобразование под действием $G$. Запишем первое слагаемое в $\mathcal F$ в преобразованных переменных:
$$
\begin{equation}
\beta\,\frac{\partial}{\partial\omega^*_{(n)}}(\omega^*_{(n)}f^*_n),
\end{equation}
\tag{32}
$$
где
$$
\begin{equation}
\omega^*_{(n)}=|F_{z_{(n)}}|^2\omega_{(n)},\qquad \frac{\partial}{\partial\omega^*_{(n)}} =|F_{z_{(n)}}|^{-2}\,\frac{\partial}{\partial\omega_{(n)}}.
\end{equation}
\tag{33}
$$
Подставляя в (32)
$$
\begin{equation}
f^*_n=\prod_{i=1}^n|F_{z_{(i)}}|^{-2}f_n\equiv\gamma f_n,
\end{equation}
\tag{34}
$$
c учетом (33) получаем
$$
\begin{equation}
\beta\,\frac{\partial}{\partial\omega^*_{(n)}}(\omega^*_{(n)}f^*_n) =\gamma\beta\,\frac{\partial}{\partial\omega_{(n)}}(\omega_{(n)}f_n).
\end{equation}
\tag{35}
$$
Рассмотрим второе слагаемое в $\mathcal F$ в преобразованных переменных:
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}\sum_{j=1}^nQ^*(x^*_{(n)} -x^*_{(j)})\,\frac{\partial^2}{\partial\omega_{(j)}^{*2}}f^*_n,
\end{equation}
\tag{36}
$$
где
$$
\begin{equation}
\frac{\partial^2}{\partial\omega^{*2}_{(j)}} =|F_{z_{(j)}}|^{-4}\,\frac{\partial^2}{\partial\omega^{2}_{(j)}}.
\end{equation}
\tag{37}
$$
Тогда (36) принимает следующий вид:
$$
\begin{equation}
\frac{1}{2}\sum_{j=1}^nQ^*(x^*_{(n)}-x^*_{(j)})\,\frac{\partial^2}{\partial\omega_{(j)}^{*2}}f^*_n =\frac{1}{2}\sum_{j=1}^nQ^*(x^*_{(n)} -x^*_{(j)})|F_{z_{(j)}}|^{-4}\,\gamma\,\frac{\partial^2}{\partial\omega_{(j)}^2}f_n.
\end{equation}
\tag{38}
$$
Отсюда следует, что для инвариантности уравнения (25) требуется условие на преобразование $Q(x_{(n)} - x_{(j)})$, а именно
$$
\begin{equation}
Q^*(x^*_{(n)}-x^*_{(j)})=|F_{z_{(j)}}|^{4}Q(x_{(n)}-x_{(j)}).
\end{equation}
\tag{39}
$$
Таким образом, при выполнении условия (39) уравнение (25) под действием группы $G$ преобразуется инвариантно на выборке $(\mathbf x_{(1)},\dots,\mathbf x_{(n)})\in X$ с $\omega_{(j)}=0$, $j=1,\dots,n$. Инвариантность $n$-точечной статистики кривой $\mathbf x(l)$ или вероятности того, что $\mathbf x(l)$ проходит через точки $\mathbf x_{(1)},\dots,\mathbf x_{(n)}$ c нулевой завихренностью $\omega_{(j)}=0$, устанавливается аналогично прямыми вычислениями. 3.3. Нарушение $G$-инвариантности $f_n$-уравнения вязкостьюРассмотрим влияние вязкости на преобразования симметрии уравнения (25). Отметим, что вязкость сдвигает энергию турбулентности в направлении малых масштабов с образованием прямого каскада переноса энергии. Известно из экспериментов и из решения нескольких модельных задач, что масштабная инвариантность нарушена практически во всех известных прямых каскадах (см., например, [13]). Докажем точный результат, что нарушается конформная инвариантность $n$-точечной статистики в присутствии вязкости. Для учета вязкости правая часть уравнения (25) дополняется следующим слагаемым:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal K&=\nu\sum_{j=1}^n\mathcal K_j \equiv\nu\sum_{j=1}^n\,\frac{\partial}{\partial\omega_{(j)}} \biggl(\int d\omega_{(n+1)}\,\omega_{(n+1)} \int d\mathbf x_{(n+1)}\,\delta(\mathbf x_{(j)}-\mathbf x_{(n+1)})f_{n+1}\biggr)= \notag \\ &=\nu\lim_{|\mathbf x_{(j)}-\mathbf x_{(n+1)}|\to 0} \sum_{j=1}^n\frac{\partial}{\partial\omega_{(j)}} \biggl(\int d\omega_{(n+1)}\omega_{(n+1)}\,\Delta_{\mathbf x_{(n+1)}}f_{n+1}\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{40}
$$
где $\Delta_{\mathbf x_{(n+1)}}$ – лапласиан от переменных $\mathbf x_{(n+1)}$. Чтобы найти преобразование $\mathcal K^*$, найдем, как преобразуется $\mathcal K^*_j$. Будем использовать следующее соотношение:
$$
\begin{equation}
d\omega^*_{(n+1)}=|F_{z_{(j)}}|^{2/3}\,d\omega_{(n+1)}.
\end{equation}
\tag{41}
$$
Преобразования $\mathbf x_{(j)}\mapsto\mathbf x_{(j)}^*$ и $\mathbf x_{(n+1)}\mapsto\mathbf x_{(n+1)}^*$ являются обратимыми, следовательно, обратимо и преобразование $(\mathbf x_{(j)}-\mathbf x_{(n+1)})\to(\mathbf x_{(j)}-\mathbf x_{(n+1)})^*$. Следовательно, $|\mathbf x_{(j)}-\mathbf x_{(n+1)}|^*\to 0$ ведет к $|\mathbf x_{(j)}-\mathbf x_{(n+1)}|\to 0$. Лапласиан $\Delta_{\mathbf x_{(n+1)}}$ преобразуется согласно формулам
$$
\begin{equation}
\Delta^*_{\mathbf x^*_{(n+1)}}=|F_{z_{(j)}}|^{-8/3} \biggl[\biggl(\frac{\partial U}{\partial x_{(n+1)}}\biggr)^{\!2} +\biggl(\frac{\partial U}{\partial y_{(n+1)}}\biggr)^{\!2}\,\biggr]\Delta_{\mathbf x_{(n+1)}} \equiv |F_{z_{(j)}}|^{-2/3}\Delta_{\mathbf x_{(n+1)}}.
\end{equation}
\tag{42}
$$
Учитывая последнюю формулу в (21), получаем
$$
\begin{equation*}
\mathcal K^*_j=\gamma|F_{z_{(j)}}|^{-4/3}\mathcal K_j.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, ${\mathcal K}$ преобразуется согласно формуле
$$
\begin{equation}
\mathcal K^*=\gamma\nu\sum_{j=1}^n|F_{z_{(j)}}|^{-4/3}\mathcal K_j.
\end{equation}
\tag{43}
$$
Следовательно, вязкость из-за множителя $\sum_{j=1}^n\!|F_{z_{(j)}}|^{-4/3}$ нарушает инвариантность $f_n$-уравнения из иерархии ЛМН относительно действия преобразований $G$.
4. ЗаключениеВ настоящей работе доказано, что $G$ – преобразование произвольного уравнения для $n$-точечной статистики ФПРВ, т. е. $f_n$-уравнение при внешнем воздействии в виде белого гауссова шума и крупномасштабного трения является инвариантным вдоль кривых с нулевой завихренностью. При этом действие группы $G$ сохраняет класс ФПРВ [5], т. е. инвариантность (15). В связи с этим отметим, что численные эксперименты, проведенные в работах [17], [18] (см. также обзор [13]), демонстрируют, что изолинии нулевой завихренности, температуры скалярных полей в двумерной турбулентности принадлежат классу SLE (Schramm–Löwner evolution) [13] конформно-инвариантных случайных кривых. Такие кривые появляются как границы кластеров в двумерных критических явлениях, описываемых конформной теорией поля. Полученные в работе результаты применимы в оптике для объяснения формирования тороидальных оптических вихрей. Кроме того, показано, что гипотеза Полякова [3] о расширении симметрии уравнений гидродинамики до конформной группы преобразований двумерных уравнений статистической гидромеханики может быть объяснена в рамках теоретико-группового анализа бесконечной цепочки интегро-дифференциальных уравнений ЛМН для поля вихря. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GreGriMed23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|