| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Свободная энергия, энтропия и намагниченность одномерной модели Изинга разбавленного магнетика С. В. Сёмкин, В. П. Смагин Владивостокский государственный университет, Владивосток, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923110132 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеИзвестно [1], [2], что критическое поведение разбавленных или аморфных магнетиков может сильно отличаться от критического поведения магнетиков, имеющих трансляционную симметрию решетки. Однако даже для простых моделей магнетика с разбавлением, например для модели Изинга с немагнитными примесями, не удается построить точного решения для плоских или объемных решеток. Поэтому часто рассматриваются одномерные модели магнетиков [3]–[6]. В настоящей работе получено точное решение для одномерной модели Изинга с неподвижными, хаотично расположенными (вмороженными) немагнитными примесями. Это точное решение основано на представлении статистической суммы разбавленной цепочки в виде произведения статсумм изолированных отрезков цепочки различной длины. Для вычисления статистических сумм этих отрезков в работе использован метод несимметричной трансфер-матрицы [3], в отличие от метода, использованного в работе [6]. В одномерной модели Изинга не наблюдается фазовый переход при конечной температуре [3], а при любом разбавлении одномерная цепочка Изинга с взаимодействием только между ближайшим соседями распадается на не связанные между собой отрезки магнитных атомов конечной длины. То есть в разбавленной одномерной модели Изинга нет ни магнитного, ни концентрационного переходов. Но при низких концентрациях магнитных атомов или связей (меньших, чем порог протекания [1]) разбавленная модель Изинга на любой решетке также является совокупностью конечных фрагментов этой решетки, и нахождение термодинамических средних так или иначе сведется к усреднению по ансамблю таких конечных фрагментов. Целью настоящей работы является вычисление свободной энергии разбавленной цепочки Изинга при любых значениях температуры, внешнего магнитного поля, концентрации магнитных связей и для любого значения константы обменного взаимодействия. Кроме того, целью работы является исследование магнитных, термодинамических и фрустрационных свойств данной модели. 2. Статистическая сумма одномерной модели Изинга с немагнитным разбавлениемРассмотрим одномерный магнетик (цепочку) Изинга с взаимодействием только между ближайшими соседями. Допустим, что некоторые связи случайным образом разорваны, например с помощью неподвижных немагнитных примесей, так что вероятность обнаружить магнитную связь между атомами в соседних узлах равна $b$, а вероятность того, что связь окажется разорванной, равна $1-b$. При таком разбавлении цепочка разбивается на отрезки магнитных атомов разной длины, разделенные немагнитными связями. Статистическая сумма такой цепочки длины $N$ имеет вид
$$
\begin{equation}
Z_N=Z_1^{N_1}\times Z_2^{N_2}\times \cdots \times Z_m^{N_m},
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $N_n$ – количество отрезков длиной $n$, $Z_n$ – статистическая сумма такого отрезка, $N=\sum nN_n$. Свободная энергия при температуре $T$ в расчете на один магнитный атом $f=-kT(\ln Z_N)/N$, где $k$ – постоянная Больцмана. Из (1) получим
$$
\begin{equation*}
-\frac{f}{kT}=\sum_n \frac{nN_n}{N} \frac{\ln Z_n}{n}.
\end{equation*}
\notag
$$
При $N\to \infty $ отношение $nN_n/N$ стремится к $p_n$ – вероятности того, что произвольно взятый магнитный атом принадлежит отрезку длиной $n$ спинов. Таким образом, при $N\to \infty $ Очевидно, что $p_n=nb^{(n-1)} (1-b)^2$, а статистическую сумму для отрезка из $n$ изинговских спинов $\sigma_1,\sigma_2,\dots,\sigma_{n}$ вычислим следующим образом:
$$
\begin{equation}
Z_n=\sum_{\sigma_{1},\dots,\sigma_{n}} \exp \biggl(K\sum_i^{n-1} \sigma_{i}\sigma_{i+1}+h\sum_i^n \sigma_{i}\biggr)= \Phi_n(+1)+\Phi_n(-1),
\end{equation}
\tag{3}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\Phi_n(\sigma_{n})=\sum_{\sigma_{1},\dots,\sigma_{n-1}} \exp \biggl(K\sum_i^{n-1} \sigma_{i}\sigma_{i+1}+h\sum_i^n \sigma_{i}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $K=J/kT$ ($J$ – обменный интеграл (обменная энергия)), $T$ – температура, $h=H/kT$ ($H$ – внешнее поле). Эти безразмерные параметры имеют простой смысл: $K$ показывает отношение энергии обменного взаимодействия к тепловой энергии, а $h$ – отношение энергии взаимодействия спина с внешним полем к тепловой энергии. Для функции $\Phi_n(\sigma )$ можно составить рекуррентные соотношения, которые удобно представить в матричной форме:
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} \Phi_n(+1) \\ \Phi_n(-1 ) \end{pmatrix}=\mathbf{V} \begin{pmatrix} \Phi_{n-1}(+1) \\ \Phi_{n-1}(+1) \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{4}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \Phi_1(+1) \\ \Phi_1(-1 ) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} e^h \\ e^{-h} \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{V}= \begin{pmatrix} e^{(K+h)} & e^{-K+h)} \\ e^{(-K-h)}& e^{(K-h)} \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
т. е. $\mathbf{V}$ – несимметричная трансфер-матрица [3]. Таким образом,
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} \Phi_n(+1) \\ \Phi_n(-1 ) \end{pmatrix}=\mathbf{V}^{n-1} \begin{pmatrix} e^h \\ e^{-h} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{5}
$$
3. Термодинамические функции разбавленной цепочки ИзингаЗная свободную энергию магнетика как функцию температуры $T$, внешнего поля $H$ и обменной энергии $J$, можно выразить намагниченность $m=\langle \sigma_{i} \rangle$, внутреннюю энергию $u$, энтропию $s$ и среднее значение произведения соседних спинов $v=\langle \sigma_{i} \sigma_{i+1}\rangle$ (в расчете на один магнитный атом) следующим образом [7]:
$$
\begin{equation}
m=-\frac{\partial f}{\partial H},\qquad u=-T^2 \frac{\partial}{T} \biggl(\frac{f}{T}\biggr),\qquad s=-\frac{\partial f}{\partial T},\qquad v=-\frac{\partial f}{\partial J}.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Переходя к переменным $K$ и $h$ и обозначив $\alpha =-f/kT=\lim_{N\to\infty}\frac{\ln Z_N}{N}$, получим
$$
\begin{equation}
m=\frac{\partial \alpha}{\partial h},\qquad v=\frac{\partial \alpha}{\partial K},\qquad \frac{s}{k}=\alpha-(hm+Kv),\qquad u=-kT(hm+Kv).
\end{equation}
\tag{7}
$$
Собственные числа $\lambda_1$ и $\lambda_2$ матрицы $\mathbf{V}$ находятся из соответствующего характеристического уравнения:
$$
\begin{equation}
\lambda_{1,2}=e^K\operatorname{ch} h \pm R,\qquad R=\sqrt{e^{2K}\operatorname{ch} h+e^{-2K}},
\end{equation}
\tag{8}
$$
т. е. такие же, как и у симметризированной трансфер-матрицы цепочки Изинга [3]. Вычислив собственные векторы матрицы $\mathbf{V}$, соответствующие собственным числам $\lambda_1$ и $\lambda_2$, и построив из них диагонализирующую матрицу $\mathbf{R}$, представим $\mathbf{V}$ в виде
$$
\begin{equation*}
\mathbf{V}=\mathbf{R} \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} \mathbf{R}^{-1},
\end{equation*}
\notag
$$
а матрицы $\mathbf{R}$ и $\mathbf{R}^{-1}$ представим в тригонометрической форме:
$$
\begin{equation*}
\mathbf{R}= \begin{pmatrix} \cos \varphi_1 & -\sin \varphi_2 \\ \sin \varphi_1 & \hphantom{-}\cos \varphi_2 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{R}^{-1}=\frac{1}{\Delta} \begin{pmatrix} \hphantom{-}\cos \varphi_1 & \sin \varphi_2 \\ -\sin \varphi_1 & \cos \varphi_2 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varphi_1$ и $\varphi_2$ принадлежат интервалу от $0$ до $\pi/2$ и находятся из условий
$$
\begin{equation}
\operatorname{tg} \varphi_1=\lambda_1 e^{K-h}-e^{2K},\qquad \operatorname{ctg} \varphi_2=e^{2K}-\lambda_2 e^{K-h},\qquad \Delta=\cos (\varphi_1-\varphi_2).
\end{equation}
\tag{9}
$$
Отсюда статистическую сумму $Z_n$ для отрезка из $n$ спинов найдем в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, Z_n=\lambda_1^{n-1}(A_1+A_2 \delta^{n-1}),\qquad \delta=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}, \\ \begin{aligned} \, A_1&=\frac{1}{\Delta}(e^h\cos \varphi_2 +e^{-h}\sin \varphi_2)(\cos \varphi_1 +\sin \varphi_1), \\ A_2&=\frac{1}{\Delta}(e^h\sin \varphi_1 -e^{-h}\cos \varphi_1)(-\cos \varphi_2 +\sin \varphi_2). \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Выражения для коэффициентов $A_{1,2}$ можно упростить, используя (8) и (9):
$$
\begin{equation}
A_{1,2}=\operatorname{ch} h\pm\frac{1+e^{2K}{(\operatorname{sh} h)}^2}{Re^K}.
\end{equation}
\tag{10}
$$
Свободная энергия всей системы (в расчете на один атом)
$$
\begin{equation}
f=-kT\biggl(b\ln\lambda_1 +(1-b)^2\sum_{n=0}^{\infty}b^n\ln(A_1+A_2 \delta^n)\biggr).
\end{equation}
\tag{11}
$$
При $h=0$ расчеты значительно упрощаются. Трансфер-матрица $\mathbf{V}$ становится симметричной, а ее собственные векторы – ортогональными. Собственные числа $\lambda_1=2\operatorname{ch} K$, $\lambda_2=2\operatorname{sh} K$. Свободная энергия (11) становится равной Этот результат (12) можно получить непосредственно, используя высокотемпературное представление статистической суммы разбавленной решетки Бете (в частности, линейной цепочки) в дуализме Крамерса–Ванье [3]. Используем представление статсуммы магнетика Изинга в виде
$$
\begin{equation*}
Z_N=(\operatorname{ch} K)^{N_b} \sum\biggl(\prod (1+\sigma_i \sigma_j \operatorname{th} K) \biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где суммирование проводится по всем $N$ спинам решетки, а произведение – по $N_b$ связям. Тогда, учитывая, что в любой решетке Бете отсутствуют замкнутые пути, получим
$$
\begin{equation*}
\frac{\ln Z_N}{N}=\frac{N_b}{N}\ln (\operatorname{ch} K)+\ln 2,
\end{equation*}
\notag
$$
что при $N_b/N=b$ эквивалентно (12). Таким образом, термодинамические функции разбавленной цепочки Изинга находятся по формулам (7), в которых
$$
\begin{equation}
\alpha=b\ln \lambda_1 +(1-b)^2\sum_{n=0}^{\infty}b^n\ln\biggl( (1+\delta^n)\operatorname{ch} K+(1+\delta^n)\frac{1+e^{2K}{(\operatorname{sh} h)}^2}{Re^K}\biggr),
\end{equation}
\tag{13}
$$
где $\delta=\lambda_2/\lambda_1$, значения $\lambda_{1,2}$ и $R$ определяются из (8), а при дифференцировании по $h$ и $K$ следует учесть, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial \delta }{\partial h}=-2\frac{e^K \operatorname{sh} K }{R}\delta, \qquad \frac{\partial \delta }{\partial K}=2\frac{e^K \operatorname{sh} K }{R}\frac{e^{-2K}}{e^{2K}-e^{-2K}}\delta.
\end{equation*}
\notag
$$
4. Результаты и выводыПо формулам (7) и (13) можно рассчитать термодинамические функции для любой разбавленной цепочки Изинга как для $J>0$, так и для $J<0$, т. е. и для ферромагнитного, и для антиферромагнитного типов взаимодействия. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только антиферромагнитного случая $J<0$, поскольку именно в этом случае система имеет наиболее интересные особенности [8], [9]. На рис. 1 показан график удельной намагниченности $m=\langle\sigma_{i}\rangle$ (кривая I) в зависимости от внешнего поля (в единицах $|J|$) при $J<0$. График построен для низкой температуры $|K|=25$, поскольку для таких температур явно виден “ступенчатый” характер зависимости $m(H)$; при увеличении температуры ступеньки сглаживаются. Поведение намагниченности $m(H)$ при $T\to 0$ можно найти непосредственно из выражений, следующих из (7) и (13), переходя к соответствующему пределу. Однако величины и положения ступенек на рис. 1 легко понять, рассмотрев намагниченности в основном состоянии. Первая ступенька на кривой I соответствует значению поля $H\in(0;|J|)$. Напомним, что разбавленная цепочка рассматривается как ансамбль линейных фрагментов магнитных атомов длиной $n$, присутствующих в этом ансамбле с вероятностью $p_n$; соответственно все удельные величины для разбавленной цепочки вычисляются как средние по такому ансамблю с весами $p_n=nb^{n-1}(1-b)^2$. Следовательно, при значениях поля $H\in(0;|J|)$ вклад в намагниченность основного состояния фрагментов с четной длиной $n$ равен нулю, а фрагменты с нечетной длиной имеют среднюю (на атом фрагмента) намагниченность в основном состоянии $1/n$. Поэтому значение намагниченности $m_1$ на первой ступеньке кривой I равно
$$
\begin{equation}
m_1=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{p_{2k+1}}{2k+1}=(1-b)^2\sum_{k=0}^{\infty}b^{2k}=\frac{1-b}{1+b}.
\end{equation}
\tag{14}
$$
Вторая ступенька кривой I соответствует значениям внешнего поля в интервале $H\in (|J|;2|J|)$. Значение намагниченности $m_2$ на этой ступеньке можно вычислить, учитывая, что вклад в намагниченность основного состояния в этом интервале полей вносят фрагменты как с нечетной, так и с четной длиной, Третья ступенька кривой I соответствует значениям $H>2|J|$. В этом интервале все спины ориентированы в направлении поля, следовательно, намагниченность в основном состоянии $m_3=1$. Рассуждая аналогично, можно интерпретировать ступеньки на кривой II, которая показывает зависимость от внешнего поля величины $v=\langle \sigma_{i} \sigma_{i+1}\rangle$ при низких температурах. Значение $v_1$ на первой ступеньке этой кривой соответствует $H\in[0;|J|)$ и равно $v_1=-b$. При $H\in(|J|;2|J|)$ имеем $v_2=b(1-3b)/(1+b)$, а при $H>2|J|$ имеем $v_3=b$. Зависимость энтропии системы от величины внешнего поля показана на рис. 2. При низких температурах ($K=25$) и концентрациях, отличных от 0 или 1, энтропия не стремится к нулю при $T\to 0$, если $H\in[0;2|J|)$ (кривая I на рис. 2), что означает вырожденность основного состояния разбавленной антиферромагнитной цепочки при таких значениях полей. Вырождение низкоэнергетических состояний, связанное с тем, что конкурирующие взаимодействия в системе не могут быть одновременно удовлетворены, является признаком фрустраций [10], [11]. Как видно из рис. 2 (кривая I), локальные максимумы остаточной энтропии для рассматриваемой системы имеют место при $H=|J|$ и при $H=2|J|$. Следует, впрочем, отметить, что вырождение основного состояния в системе изинговских спинов не обязательно связано с наличием конкурирующих взаимодействий, а может иметь более простую “парамагнитную” природу. При $H=0$ разбавленная цепочка Изинга состоит из не связанных между собой фрагментов, каждый из которых может быть, не меняя внутреннего состояния, ориентирован двумя способами с одной и той же минимальной энергией, что дает остаточную удельную энтропию $s_0 =k(1-b)\ln 2$. При $H>0$ это парамагнитное вырождение полностью исчезает в ферромагнитном ($J>0$) случае. В антиферромагнитном ($J<0$) случае при $H\in(0;|J|)$ парамагнитное вырождение сохраняется только для фрагментов с четным числом атомов, что дает остаточную удельную энтропию $s_1 = kb(1-b)/(1+b)\ln 2$. В более сильных полях ($H\geqslant|J|$) остаточная энтропия связана еще и с вырождением основного состояния самих фрагментов. При повышении температуры зависимость энтропии от величины внешнего поля становится более “сглаженной”, а при дальнейшем повышении – монотонной (кривые II и III на рис. 2). Зависимость остаточной удельной энтропии от концентрации магнитных связей $b$ показана на рис. 3. Для всех $H\in (0;2|J|)$ остаточная энтропия немонотонно зависит от концентрации (кривые I, II, III на рис. 3) (что может наблюдаться для разбавленных фрустрированных магнетиков [2]), а при $H=2|J|$ остаточная энтропия монотонно возрастает до значения $k\ln \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ (логарифм золотого сечения) [5], [12] при $b=1$ (кривая IV на рис. 3). Несмотря на то что одномерная цепочка является в известном смысле “патологическим” случаем модели Изинга – в ней нет фазового перехода при конечной температуре, на основании проведенного анализа можно высказать некоторые общие предположения о фазовой диаграмме и остаточной энтропии разбавленного антиферромагнетика Изинга на произвольной решетке с координационным числом $q$. В любом случае, независимо от степени немагнитного разбавления $b$, значение внешнего поля $H=q|J|$ должно приводить к ненулевому значению остаточной энтропии [12]. Но можно предположить, что остаточная энтропия разбавленного антиферромагнетика Изинга при $b<1$ будет отлична от нуля во всей области $H\leqslant q|J|$, причем при значениях $H=n|J|$, где $n=1,\ldots, q$, будут наблюдаться ее локальные максимумы. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{SemSma23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|