| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
О преобразованиях Беклунда некоторых нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка В. В. Цегельник Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники, Минск, Беларусь
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923110107 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ обзорной статье [1] (см. также [2]) указаны некоторые актуальные направления исследования свойств решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений типа Пенлеве – уравнений, общие решения которых не имеют подвижных критических особых точек. Указанные уравнения принято называть уравнениями с $P$-свойством решений или уравнениями $P$-типа. Не претендуя на полноту изложения, отметим также продолжающиеся в последние годы исследования различных свойств решений уравнений, представляющих высшие аналоги уравнений типа Пенлеве [3]–[7], и инициированные работой [8] исследования неабелевых уравнений типа Пенлеве [9]–[13]. Целью работы является исследование аналитических свойств решений дифференциальных уравнений
$$
\begin{equation}
w''_{\alpha} =2w^3_{\alpha}+\varphi w_{\alpha}+\alpha \varphi'+\frac{\varphi''}{2\varphi'}(2w'_{\alpha}-2\varepsilon w^2_{\alpha}-\varepsilon \varphi),
\end{equation}
\tag{1}
$$
$$
\begin{equation}
w'' =\frac{w'^2}{w}-\frac{\varphi'}{\varphi} w-\frac{1}{w}+\frac{1}{\varphi}(w^2+\beta \varphi')+\frac{\varepsilon-\beta}{\varepsilon} \frac{\varphi''}{\varphi}w,
\end{equation}
\tag{2}
$$
$$
\begin{equation}
\varphi w w'' =\varphi w'^2-\varphi' w w'+(\alpha +\varphi'\varepsilon -\varepsilon)w^3+(\beta+\varphi' \sigma-\sigma) w+\varphi w^4- \varphi,
\end{equation}
\tag{3}
$$
$$
\begin{equation}
2w w'' =w'^2+3w^4+8\varphi w^3+4\biggl( \varphi^2+\varepsilon \left(\varphi'+p+\frac{q}{2} \right) \biggr)w^2-q^2,
\end{equation}
\tag{4}
$$
а также систем и
$$
\begin{equation}
y +\frac{M(z) (-2z+M(z))w}{M(z)(-2z+M(z))+2z(2+\beta+\alpha \varepsilon)w-(4+2\alpha \varepsilon)M(z)w} =0,
\end{equation}
\tag{6а}
$$
$$
\begin{equation}
w + \frac{N(z) (-2z+N(z))y}{N(z)( -2z+N(z))+2z(-2+\beta -2\varepsilon)y+(4+2\alpha\varepsilon)N(z)y} =0.
\end{equation}
\tag{6б}
$$
В уравнениях (1)–(4) $\varphi=\varphi(z)$ – произвольная аналитическая функция независимой переменной $z$; $b$, $\alpha$, $\beta$ – произвольные параметры, $\varepsilon^2=\sigma^2=1$, $q^2+2\beta=0$, $p=-1-2\varepsilon-q/2$. В системе (6) $M(z)=zw'+\varepsilon z w^2+(\alpha\varepsilon+1)w+z$, $N(z)=zy'-\varepsilon zy^2-(\alpha\varepsilon +3)y+z$.
2. Анализ уравнения (1)Уравнение (1) представимо в виде системы уравнений
$$
\begin{equation}
w_{\alpha} =-w_{\alpha-\varepsilon}-\varepsilon \frac{(2\alpha-\varepsilon)\varphi'}{2w'_{\alpha-\varepsilon}+2\varepsilon w^2_{\alpha-\varepsilon}+\varepsilon\varphi},
\end{equation}
\tag{7а}
$$
$$
\begin{equation}
w_{\alpha-\varepsilon} = -w_{\alpha}+\varepsilon \frac{(2\alpha-\varepsilon)\varphi'}{2w'_{\alpha}-2\varepsilon w_{\alpha}^2-\varepsilon \varphi}
\end{equation}
\tag{7б}
$$
с неизвестными функциями $w_{\alpha}$, $w_{\alpha-\varepsilon}$ независимой переменной $z$ и произвольной аналитической функцией $\varphi(z)$ ($\varphi'(z)\not\equiv0$). Из системы (7) при условии следует, что
$$
\begin{equation}
w'_{\alpha}-\varepsilon w^2_{\alpha} +w'_{\alpha-\varepsilon}+\varepsilon w^2_{\alpha-\varepsilon}=0.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Исключая из (9) при условии (8) неизвестную функцию $w_{\alpha}$, получим уравнение
$$
\begin{equation}
w''_{\alpha-\varepsilon}=2w^3_{\alpha-\varepsilon}+\varphi w_{\alpha-\varepsilon}+(\alpha-\varepsilon)\varphi'+\frac{\varphi''}{2\varphi'}(2 w'_{\alpha-\varepsilon}+2\varepsilon w^2_{\alpha+\varepsilon}+\varepsilon\varphi).
\end{equation}
\tag{10}
$$
Теорема 1. Пусть $w_{\alpha}=w(z,\alpha,\varepsilon)$ – решение уравнения (1) при фиксированных значениях $\alpha$, $\varepsilon^2=1$ и условии (8). Тогда функция $w_{\alpha-\varepsilon}=w(z, \alpha-\varepsilon)$, определяемая соотношением (7б), является решением уравнения (10). Теорема 2. Пусть $w_{\alpha-\varepsilon}=w(z,\alpha-\varepsilon)$ – решение уравнения (10) при фиксированных значениях $\alpha$, $\varepsilon^2=1$ и условии (8). Тогда функция $w_{\alpha}=w(z, \alpha,\varepsilon)$, определяемая соотношением (7а), является решением уравнения (1). Легко видеть, что уравнение (10) получается из (1) заменой $\varepsilon\to-\varepsilon$, $\alpha\to\alpha-\varepsilon$ и наоборот. Это справедливо и по отношению к формулам (7а), (7б). Таким образом, формулы (7а), (7б) определяют прямое и обратное преобразования Беклунда уравнения (1). Полагая $\varphi(z)=z$, из (1) получаем второе уравнение Пенлеве Формулы (7а), (7б) в этом случае имеют вид
$$
\begin{equation}
w_{\alpha} =-w_{\alpha-\varepsilon}-\varepsilon \frac{2\alpha-\varepsilon}{2w'_{\alpha-\varepsilon}+2\varepsilon w^2_{\alpha-\varepsilon}+\varepsilon z},
\end{equation}
\tag{12}
$$
$$
\begin{equation}
w_{\alpha-\varepsilon} = -w_{\alpha}+\varepsilon \frac{2\alpha-\varepsilon}{2w'_{\alpha}-2\varepsilon w^2_{\alpha}-\varepsilon z}.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Преобразования (12), (13) для уравнения (11) в случае $\varepsilon=1$ получены в [14]. Нетрудно убедиться, что все решения уравнения Риккати
$$
\begin{equation}
2w'_{\alpha}=2\varepsilon w^2_{\alpha} +\varepsilon \varphi
\end{equation}
\tag{14}
$$
являются решениями уравнения (1) при $2\alpha=\varepsilon$. Пример 1. Уравнение (14) при $\varepsilon=-1$, $\varphi=-2(z^2+a)$ ($a$ – произвольный параметр), $w_{\alpha}=y_a$ принимает вид и при $a=1$ имеет частное решение $y_1=z$. В силу этого общее решение уравнения (15) при $a=1$ имеет вид где $C$ – произвольная постоянная. Рассмотрим уравнение Несложно проверить, что если $y_a=y(z,a)$ – решение уравнения (15), то
$$
\begin{equation}
y_{a+2}=y(z,a+2)=z+\frac{a+1}{z+y_a}, \qquad a\neq-1,
\end{equation}
\tag{17}
$$
есть решение уравнения (16). Отметим также, что если $y_a=y(z,a)$ – решение уравнения (15), то функция $\tilde{y}_a=-i y(iz,-a)$, $i^2+1=0$, также есть решение уравнения (15). Приведенное свойство, а также соотношение (17) позволяют сделать вывод об интегрируемости уравнения (15) в квадратурах при $a=2k+1$, $k\in \mathbb{Z}$. Соотношение (17) представимо в виде $(y_{a+2}-z)(y_a+z)=a+1$, и его можно рассматривать как дискретный аналог уравнения (15). Отметим, что уравнение (1) в случае $\varphi''(z)\not\equiv0$ не является уравнением типа Пенлеве. 3. Анализ уравнения (2)Уравнение (2) можно записать в виде системы уравнений первого порядка
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \varphi w' &=\varepsilon \varphi+(1-\varepsilon \beta) \varphi' w -\varepsilon y w^2,\\ \varphi y' &= -\varepsilon \varphi-(1-\varepsilon \beta) \varphi' y+\varepsilon y^2 w. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{18}
$$
Исключая из (18) неизвестную функцию $w$, относительно $y$ получим уравнение
$$
\begin{equation}
y''=\frac{y'^2}{y}-\frac{\varphi'}{\varphi}y'-\frac{1}{y}+\frac{1}{\varphi} \left(y^2+(\beta-2\varepsilon)\varphi' \right)-\frac{\varepsilon-\beta}{\varepsilon}\cdot \frac{\varphi''}{\varphi}y.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Уравнение (19) получается из (2) преобразованием $y=w$, $\varepsilon\to-\varepsilon$, $\beta\to\beta-2\varepsilon$ и наоборот. Таким образом, формулы
$$
\begin{equation}
y = \frac{-\varepsilon \varphi w'+(\varepsilon-\beta)\varphi'w+\varphi}{w^2},
\end{equation}
\tag{20}
$$
$$
\begin{equation}
w = \frac{\varepsilon \varphi y'+(\varepsilon-\beta)\varphi'y +\varphi}{y^2}
\end{equation}
\tag{21}
$$
определяют прямое и обратное преобразования Беклунда уравнения (2). Рассмотрим два случая. 1. $\varphi=c=\mathrm{const}\neq0$. Уравнение (2) принимает вид и имеет первый интеграл где $H$ – произвольная постоянная. Уравнение (22) интегрируется [15] в эллиптических функциях.2. $\varphi=z$. В этом случае уравнение (2) приводится к виду
$$
\begin{equation}
w''=\frac{w'^2}{w}-\frac{w'}{z}+\frac{1}{z}(w^2+\beta)-\frac{1}{w}
\end{equation}
\tag{23}
$$
и является частным случаем третьего уравнения Пенлеве
$$
\begin{equation}
w''=\frac{w'^2}{w}-\frac{w'}{z}+\frac{1}{z}(\alpha w^2+\beta)+\gamma w^3+\frac{\delta}{w}
\end{equation}
\tag{24}
$$
при значениях $\alpha$, $\beta$, $\gamma=0$, $\delta=-1$. Можно проверить, что при $\varphi=az+b$, $a\neq0$ уравнение (2) масштабным преобразованием неизвестной функции и независимой переменной также сводится к уравнению (23). Формулы (20), (21) при $\varphi=z$ получены в работе [16]. Теорема 3. Уравнение (2) при $\varphi=c=\mathrm{const}\neq0$ либо $\varphi=az+b$ ($a\neq0$) является уравнением типа Пенлеве. Сравнение уравнения (2) со списком уравнений из [17] позволяет сделать вывод, что при $\varphi''(z)\not\equiv0$ оно не является уравнением $P$-типа. 4. Анализ уравнения (3)Система уравнений
$$
\begin{equation}
\varphi w' -\varepsilon \varphi w^2-(\alpha \varepsilon-1)w-\sigma\varphi =\frac{\varepsilon \sigma(\sigma\beta+\alpha\varepsilon-2)w}{yw-\varepsilon \sigma},
\end{equation}
\tag{25}
$$
$$
\begin{equation}
\varphi y' + \varepsilon \varphi y^2+(\alpha\varepsilon-1)y+\sigma\varphi =\frac{-\varepsilon \sigma (\sigma\beta+\alpha \varepsilon-2)y}{yw-\varepsilon\sigma}
\end{equation}
\tag{26}
$$
при условии $\sigma\beta+\alpha\varepsilon-2\neq0$ эквивалентна уравнению (3). Если из (25), (26) при условии $\sigma\beta+\alpha\varepsilon-2\neq0$ исключить функцию $w$, то относительно $y$ получим уравнение
$$
\begin{equation}
\varphi yy''=\varphi y'^2-\varphi' yy'+(\alpha-\varphi'\varepsilon -\varepsilon)y^3+(\beta-\varphi'\sigma-\sigma)y+\varphi y^4-\varphi.
\end{equation}
\tag{27}
$$
Уравнение (27) получается из (3) с помощью преобразования $w=y$, $\varepsilon\to -\varepsilon$, $\alpha\to\alpha-2\varepsilon$, $\sigma\to -\sigma$, $\beta\to \beta-2\sigma$, и наоборот. Таким образом, справедливы следующие теоремы. Теорема 4. Пусть $w=w(z,\alpha,\beta, \varepsilon, \sigma)$ – решение уравнения (3) при фиксированных значениях параметров $\alpha$, $\beta$, $\varepsilon^2=1$, $\sigma^2=1$. Тогда функция Теорема 5. Пусть $y=y(z,\alpha, \beta, \varepsilon, \sigma)$ – решение уравнения (27) при фиксированных значениях параметров $\alpha$, $\beta$, $\varepsilon^2=1$, $\sigma^2=1$ такое, что $\sigma\beta+\alpha\varepsilon-2\neq0$. Тогда функция Таким образом, соотношения (28), (29) определяют прямое и обратное преобразования Беклунда уравнения (3). Рассмотрим два случая. 1. $\varphi=c=\mathrm{const}\neq0$. Уравнение (3) в этом случае принимает вид
$$
\begin{equation}
cww''=cw'^2+(\alpha-\varepsilon)w^3+(\beta-\sigma)w+cw^4-c.
\end{equation}
\tag{30}
$$
Это уравнение является уравнением типа Пенлеве и интегрируется [15] в эллиптических функциях. Уравнение (27) имеет вид
$$
\begin{equation}
cyy''=cy'^2+(\alpha-\varepsilon)y^3+(\beta-\sigma)y+cy^4-c
\end{equation}
\tag{31}
$$
и с точностью до обозначений совпадает с уравнением (30). Таким образом, при выполнении условий теоремы 4 формула (28), в которой $\varphi= c= \mathrm{const}\neq 0$, определяет автопреобразование Беклунда уравнения (30). 2. $\varphi=z$. Уравнение (3) имеет вид Уравнение (32) есть частный случай третьего уравнения Пенлеве (24) при значениях параметров $\alpha$, $\beta$, $\gamma=1$, $\delta=-1$. Уравнение (27) представимо в данном случае в виде
$$
\begin{equation}
zyy''=zy'^2-yy'+(\alpha-2\varepsilon)y^3+(\beta-2\sigma)y+zy^4-z.
\end{equation}
\tag{33}
$$
Как отмечалось выше, уравнение (33) получается из (32) с помощью преобразования $w=y$, $\alpha\to\alpha-2\varepsilon$, $\beta\to\beta-2\sigma$, а уравнение (32) – из (33) с помощью преобразования $y=w$, $\varepsilon\to -\varepsilon$, $\alpha\to \alpha-2\varepsilon$, $\sigma\to -\sigma$, $\beta\to\beta-2\sigma$. Таким образом, при выполнении условий теоремы 4 по решению (24) с набором параметров $(\alpha, \beta,1,-1)$ с помощью преобразования (28) (в котором $\varphi=z$) получается новое решение уравнения (24) с набором параметров $(\alpha-2\varepsilon, \beta-2\sigma, 1,-1)$, $\varepsilon^2=\sigma^2=1$. Если $\varphi=az+b$, $a\neq0$, то уравнение (3) масштабным преобразованием неизвестной функции и независимой переменной сводится к (24) при $\gamma=1$, $\delta=-1$. Система уравнений (25), (26) в случае $\varphi=z$ получена в работе [18]. Теорема 6. Уравнение (3) в случае $\varphi=c=\mathrm{const}\neq0$ либо $\varphi=az+b$ $(a\neq0)$ является уравнением типа Пенлеве. Сравнение уравнения (3) со списком уравнений из [17] позволяет сделать вывод, что при $\varphi''(z)\not\equiv0$ оно не является уравнением $P$-типа. 5. Анализ уравнения (4)Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, w'&=q+2\varepsilon \varphi w+\varepsilon w^2+2\varepsilon w u, \\ u'&=p-2\varepsilon \varphi u-\varepsilon u^2-2\varepsilon wu, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{34}
$$
эквивалентную по $w$ уравнению (4). Если из (34) исключить неизвестную функцию $w$, то относительно $u$ получим уравнение
$$
\begin{equation}
2uu''=u'^2+3u^4+8\varphi u^3+4\biggl( \varphi^2+\varepsilon \biggl(\varphi'+q+\frac{p}{2}\biggr)\biggr)u^2-p^2.
\end{equation}
\tag{35}
$$
Теорема 7. Пусть $w=w(z,p,q,\varepsilon)$ – решение уравнения (4) при фиксированных значениях $p$, $q$, $\varepsilon^2=1$. Тогда функция Теорема 8. Пусть $u=u(z,p,q,\varepsilon)$ – решение уравнения (35) при фиксированных значениях $p, q$, $\varepsilon^2=1$. Тогда функция Легко видеть, что уравнение (35) получается из (4) преобразованиями $w=u$, $\varepsilon\to-\varepsilon$, $p\to q$, $q\to p$. Таким образом, соотношения (36), (37) определяют преобразования Беклунда (прямое и обратное) уравнения (4). Рассмотрим два случая. 1. $\varphi(z)=z$. Уравнение (4) есть четвертое уравнение Пенлеве [17] общее решение которого не имеет подвижных критических особых точек. Соотношения (36), (37) при $\varphi=z$ приведены в [14], [19].Если $\varphi(z)=az+b$, $a$, $b$ – постоянные, причем $a(a-1)\neq0$, то уравнение (4) с помощью масштабных преобразований $w=\lambda y$, $az+b=\mu\tau$ приводится [20] к уравнению (38), в котором параметры $\alpha$, $\beta$ зависят от $a$. 2. $\varphi(z)=c=\mathrm{const}$. В данном случае уравнения (4), (35) принимают соответственно вид
$$
\begin{equation}
2ww'' =w'^2+3w^4+8c^2w^3+4\biggl(c^2+\varepsilon \biggl(p+\frac{q}{2}\biggr)\biggr)w^2-q^2,
\end{equation}
\tag{39}
$$
$$
\begin{equation}
2uu'' =u'^2+3u^4+8c^2u^3+4\biggl( c^2-\varepsilon \biggl(q+\frac{p}{2}\biggr)\biggr)u^2-p^2.
\end{equation}
\tag{40}
$$
Уравнение (40) получается из (39) заменой $u\to w$, $\varepsilon\to -\varepsilon$, $q\to p$, $p\to q$. Уравнения (39) и (40) интегрируются в эллиптических функциях [15]. Таким образом, формулы
$$
\begin{equation}
u = \frac{w'-q-2\varepsilon cw-\varepsilon w^2}{2\varepsilon w},
\end{equation}
\tag{41}
$$
$$
\begin{equation}
w =\frac{-(u'-p+2\varepsilon cu+\varepsilon u^2)}{2\varepsilon u}
\end{equation}
\tag{42}
$$
определяют преобразования Беклунда (прямое и обратное) уравнения (39), интегрируемого в эллиптических функциях. Сравнение уравнения (4) со списком уравнений из [17] позволяет сделать вывод, что в случае $\varphi''(z)\not\equiv0$ оно не является уравнением $P$-типа. Легко проверить, что все решения уравнения Риккати являются одновременно решениями уравнения (4) при Из (43) с учетом (44) следует, что при $\varphi=z$ все решения уравнения являются одновременно решениями уравнения (38), если $\beta+2(1+\alpha)^2=0$, и все решения уравнения являются одновременно решениями уравнения (38), если $\beta+2(\alpha-1)^2=0$.Уравнение (45) заменой [21] $w=-2(\alpha+1) v^{-1}$ $(\alpha\neq-1)$ преобразуется в уравнение Сравнение (46) и (47) показывает, что решение $w=w_{\alpha}$ ($\alpha\neq-1$) уравнения (45) порождает решение $w_{\alpha+2}=-2(\alpha+1) w^{-1}_{\alpha}$ уравнения (46) при значении $\alpha_1=\alpha+2$ и наоборот. Полагая в (45) $w=-y_a-z$, $2\alpha+1=a$, относительно $y_a$ получим уравнение (15).6. Анализ систем (5), (6)6.1.Решения системы (5) подчинены одному из условий: либо либоПри выполнении условия (48) система (5) эквивалентна по $y$ ($y'-b\varphi'\neq0$) уравнению
$$
\begin{equation}
2yy''=y'^2+4y^3-2\varphi y^2+2b\varphi'' y-b^2\varphi'^2,
\end{equation}
\tag{50}
$$
а по $w$ ($w'+(b-1)\varphi'\neq0$) – уравнению
$$
\begin{equation}
2ww''=w'^2+4w^3 -2\varphi w^2-2(b-1)\varphi''w-(b-1)\varphi'^2.
\end{equation}
\tag{51}
$$
Теорема 9. Пусть $y_b=y(z,b)\not\equiv0$ – решение уравнения (50) при фиксированном значении параметра $b$. Тогда функция $w$, определяемая соотношением (5б), является решением уравнения (51). Легко видеть, что уравнение (51) получается из (50) заменой $y=w$, $b\to 1-b$. Теорема 10. Пусть $w_{b-1}=w(z,b-1)\not\equiv0$ – решение уравнения (51) при фиксированном значении параметра $b$. Тогда функция $y$, определяемая соотношением (5а), является решением уравнения (50). При выполнении условия (49) система (5) эквивалентна по $y$ ($y'-b\varphi'\neq0$) уравнению
$$
\begin{equation}
2yy''= 3y'^2-4b\varphi' y'+2\varphi y^2+2b\varphi'' y+b^2\varphi'^2,
\end{equation}
\tag{52}
$$
а по $w$ ($w'+(b-1)\varphi'\neq0$) – уравнению
$$
\begin{equation}
2ww''=3w'^2+4(b-1)\varphi'w'+2\varphi w^2 -2(b-1)\varphi''w+(1-b)^2\varphi'^2.
\end{equation}
\tag{53}
$$
Теорема 11. Пусть $y_b=y(z,b)\not\equiv0$ – решение уравнения (52) при фиксированном значении параметра $b$. Тогда функция $w$, определяемая соотношением (5б), является решением уравнения (53). Теорема 12. Пусть $w_{b-1}=w(z,b-1)\not\equiv0$ – решение уравнения (53) при фиксированном значении параметра $b$. Тогда функция $y$, определяемая соотношением (5а), является решением уравнения (52). Уравнение (53) получается из (52) преобразованием $y=w$, $b\to1-b$. Таким образом, формулы (5а), (5б) определяют, с одной стороны, преобразования Беклунда (прямое и обратное) для уравнения (50), а с другой стороны – преобразования Беклунда (прямое и обратное) для уравнения (52). Пусть $\varphi(z)=c=\mathrm{const}$. Тогда уравнения (50), (52) принимают соответственно вид Уравнение (52) имеет первый интеграл где $H$ – произвольная постоянная. Уравнение (56) интегрируется в эллиптических функциях [15].Уравнение (55) заменой сводится к линейному уравнению $p''=-(c/2)p$. Таким образом, доказанаОтметим, что уравнение (50) при $\varphi(z)=z$ есть уравнение XXXIV из списка [17]. Теорема 14. Уравнение (52) при $b=0$ либо при $\varphi(z)=z$ является уравнением типа Пенлеве. Доказательство. Если в (52) положить $b=0$, то преобразованием (57) оно сводится к уравнению Эйри $p''=-(\varphi/2)p$. При $\varphi(z)=z$ уравнение (52) принимает вид Пусть $b\neq0$. Заменой $y\to b y^{-1}$ от уравнения (58) перейдем к уравнению Наряду с (59) рассмотрим более общее уравнение в котором $F(z)$ – произвольная аналитическая функция, $\delta$ – параметр. Уравнение (60) с точностью до обозначений совпадает с (59) при $F(z)=-z$, $\delta=0$. В работе [22] (где использовалось преобразование из [17], см. с. 454 в [17]) показано, что уравнение (60) является уравнением $P$-типа. А именно, общее решение уравнения (60) есть рациональная функция постоянных интегрирования. Теорема доказана.Замечание 1. Уравнение (60) при $\delta=1$ есть каноническое уравнение XXVII из списка [17]. Преобразование Беклунда для уравнения (60) в случае $F(z)=2(z^2+\alpha)$, $\delta=-2\beta$ ($\alpha$, $\beta$ – произвольные параметры) получено в [23]. Следствие 1. Уравнение (50) при $\varphi''(z)\not\equiv0$ и уравнение (52) при $b\neq0$ и $\varphi''(z)\not\equiv0$ не являются уравнениями типа Пенлеве. Система (5) в случае $\varphi(z)=z$ приведена в [22]. 6.2.При рассмотрении системы (6) будем исключать случай при Это связано с тем, что при выполнении условий (61)–(63) уравнения системы (6) вырождаются в соотношение $y+w=0$.Исключая из системы (6) неизвестную функцию $y$, приходим к заключению, что функция $w$ удовлетворяет следующей совокупности дифференциальных уравнений:
Если из системы (6) исключить неизвестную функцию $w$, то приходим к заключению, что функция $y$ удовлетворяет следующей совокупности дифференциальных уравнений: Легко проверить, что соотношение (6а) получается из (6б) по схеме $y \to w$, $w \to y$, $\varepsilon\to-\varepsilon$, $\alpha\to \alpha+4\varepsilon$, $\beta=\beta$ и наоборот. В силу этого по такой же схеме уравнение (66) получается из (32), уравнение (67) – из (64), а уравнение (68) – из (65). Наличие в уравнении (64) слагаемого $z^4w'^4$, а также одного из коэффициентов $-z^3(2\varepsilon+2)ww'$ при $w''$ не позволяет представить его в виде где $L$, $S$, $T$ – рациональные функции $w$ с аналитическими по $z$ коэффициентами. Согласно [17] (см. стр. 437 в [17]) необходимым условием отсутствия у общего решения уравнения где $R$ – рациональная функция относительно $w$, $w'$ с аналитическими по $z$ коэффициентами, подвижных критических точек (т. е. наличия свойства Пенлеве) является представление (70) в виде (69). Таким образом, уравнение (64) не является уравнением типа Пенлеве. В этом нетрудно убедиться, например, при $\alpha=-2\varepsilon$, $\beta\neq0$. А именно, при указанных значениях параметров уравнение (64) не удовлетворяет тесту Пенлеве [24], не имеет (согласно [25]) целых трансцендентных решений (в силу наличия одного доминирующего члена $z^4w^8$) и полиномиальных решений, отличных от $w=0$. Таким образом, справедливы следующие теоремы.Теорема 15. Пусть $w=w(z, \alpha, \beta)$ – решение уравнения (32) при фиксированных значениях параметров $\alpha$, $\beta$, $\varepsilon^2=1$ такое, что $M(z)(-2z+M(z))\not\equiv0$, $|\alpha+2\varepsilon|+|\beta|\neq0$. Тогда функция $y$, определяемая соотношением (6а), является решением уравнения (64). Теорема 16. Пусть $y=y(z, \alpha, \beta, \varepsilon)$ – решение уравнения (64) при фиксированных значениях параметров $\alpha$, $\beta$, $\varepsilon^2=1$ такое, что $N(z)(-2z+N(z))\not\equiv0$, $|\alpha+2\varepsilon|+|\beta|\neq0$. Тогда функция $w$, определяемая соотношением (6б), является решением уравнения (32). Следовательно, при выполнении условий теорем 15, 16 соотношения (6а), (6б) при фиксированных значениях $\alpha$, $\beta$, $\varepsilon^2=1$ устанавливают взаимнооднозначное соответствие (определяют прямое и обратное преобразования Беклунда) между решениями третьего уравнения Пенлеве (24) с набором параметров $(\alpha, \beta, 1,-1)$, ($\alpha+4\varepsilon, \beta,1,-1$) соответственно. С другой стороны, формулы (6а), (6б) устанавливают взаимнооднозначное соответствие между решениями уравнений (64), (67) при фиксированных значениях $\alpha$, $\beta$, $\varepsilon^2=1$. Поскольку левая часть уравнения (65) при $\sigma\beta=\alpha\varepsilon+2\neq0$, $\sigma^2=1$ есть точный квадрат, то оно равносильно уравнению
$$
\begin{equation}
zw'+\varepsilon zw^2+(\alpha\varepsilon+1)w-\sigma z=0,
\end{equation}
\tag{71}
$$
все решения которого являются [14] одновременно решениями уравнения (24) при $\sigma \beta-\alpha \varepsilon-2=0$. Система (6) приведена в работе [26]. 7. ЗаключениеВ работе исследованы некоторые аналитические свойства решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка специального вида с произвольной аналитической функцией. Для каждого из приведенных уравнений получены преобразования Беклунда (прямое и обратное). Доказано существование у данных уравнений (за исключением одного) однопараметрических семейств решений, порождаемых решениями уравнения Риккати с произвольной аналитической функцией. Рассмотренные уравнения (не являющиеся в общем случае уравнениями типа Пенлеве) при определенных ограничениях на аналитическую функцию сводятся, в частности, ко второму, третьему (случаи: $\gamma=0$, $\alpha=-\delta=1$ и $\gamma=-\delta=1$) или четвертому уравнению Пенлеве. Рассмотрены свойства преобразований Беклунда нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, порождаемых двумя системами двух нелинейных уравнений первого порядка с квадратичными нелинейностями производных неизвестных функций. Важный вопрос связан с конечностью или бесконечностью групп преобразований, допускаемых рассмотренными уравнениями. Для ответа на него, на мой взгляд, необходимо выполнить следующие исследования:
БлагодарностиАвтор благодарит рецензента за внимание к работе и конструктивные рекомендации. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tse23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|