| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Д. В. Павшинкинab a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия b Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), Долгопрудный, Московская обл., Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923110089 
Реферативные базы данных:
    1. ВведениеЗначительный прогресс в изучении $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $-деформированных релятивистских квантовых теорий поля (КТП) [1]–[3] привел к тому, что недавно были введены $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $-подобные деформации для более общего случая не лоренц-инвариантных КТП [4], а также для интегрируемых спиновых цепочек [5]–[8] и систем многих тел [9]–[11]. Эти исследования способствовали выявлению важных свойств точно решаемых иррелевантных деформаций. Авторы работ [9], [10] показали, что деформированные нерелятивистские теории многих тел становятся нелокальными и демонстрируют хагедорновский рост плотности состояний, характерный для теории струн, и при этом остаются решаемыми. Качественно картина, лежащая в основе этих явлений, представляется как растяжение точечных частиц до объектов конечной ширины, определяемой полной энергией системы. В работе [10] исследовалась $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $-деформация интегрируемой модели Либа–Линигера (ЛЛ), описывающей одномерные бозе-частицы с отталкивающим дельтаобразным взаимодействием. Деформация определялась на уровне уравнений анзаца Бете, а также потока гамильтониана. В случае конечного объема оператор $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $ приводит к деформации как спектра гамильтониана, так и собственных функций. С другой стороны, в случае бесконечного объема $S$-матрица содержит множитель Кастильехо–Далица–Дайсона (КДД), что приводит к соответствующей деформации уравнений Бете. Авторы работы [12] изучали деформацию нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) – классического полевого аналога модели ЛЛ. Для этого они успешно применили метод динамической (зависящей от поля) замены координат, изначально сформулированный для релятивистских теорий поля [13]. Этот метод предполагает, что можно получить непертурбативное решение уравнения потока лагранжиана как возмущение первого порядка исходного лагранжиана, записанного в определенной системе координат. Существует еще один способ сформулировать $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $-возмущенную квантовую механику [14], [15], основанный на голографической интерпретации $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $-деформированной двумерной КТП [16]. Такая деформация получается путем размерной редукции двумерного оператора $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $ при условии, что в этой модели выполнено соотношение на след (тензора энергии-импульса $T^\mu_\nu$). Деформированная таким образом шварцианная квантовая механика становится дуальной пространству AdS$_2$, обрезанному при конечном радиусе. Существенное отличие деформации билинейным оператором $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $ от размерной редукции состоит в том, что в последнем случае деформированный гамильтониан является функцией исходного гамильтониана. В результате собственные функции не меняются, а корреляционные функции определяются деформированным спектром. Цель этой статьи – изучение $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $-подобных деформаций классической и квантовой нерелятивистской моделей Калоджеро–Сазерленда (KC) [17]–[19]. Эта модель лежит в самой основе интегрируемых систем, в теоретической физике она встречается повсюду: в конформной теории поля [20], [21], теории конденсированных сред [22] и теории случайных матриц [23] – и это лишь некоторые из ее применений. В дальнейшем мы в основном сосредоточимся на связи модели KC с калибровочными теориями. Модель KC описывает систему одинаковых частиц, живущих на окружности и взаимодействующих определенным образом. Отличительным свойством одномерных взаимодействующих систем многих тел является неразрывная связь между их попарными статистическими и динамическими взаимодействиями. В связи c этим модель КС демонстрирует дробную статистику и оказывается связанной с двумерными анионами [24]. Однако формулировка модели KC в рамках формализма нерелятивистской теории поля остается неясной. Мы выводим уравнение $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $-потока для следа и детерминанта тензора энергии-импульса и получаем обобщенное соотношение след-детерминант, используя замену координат, зависящую от поля. Затем мы применяем это соотношение к on-shell (т. е. на уравнениях движения) конфигурации модели НУШ в пределе отсутствия взаимодействия. Это позволяет найти размерно редуцированную версию оператора $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $. Представленный вывод аналогичен получению $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $-деформации конформной квантовой механики в работе [14]. Далее мы определяем деформацию модели KC. По построению полученный оператор не меняет собственных функций и, вообще говоря, не эквивалентен билинейной деформации. Еще одна интересная особенность интегрируемых систем многих тел – их связь с калибровочными теориями, дуальность фазового пространства частиц и топологических калибровочных степеней свободы (для обзора см. работу [25]). Простейшим примером этой связи является двумерная модель Янга–Миллса (ЯМ). Мы рассматриваем теорию ЯМ на цилиндре с $L$-периодической пространственной координатой и калибровочной группой $U(N)$. Двумерная теория ЯМ является почти топологической, точно решаемой, но при этом нетривиальной теорией поля. Физическое гильбертово пространство состоит из эффективных степеней свободы, соответствующих собственным значениям пространственной петли Вильсона, которые представляют собой систему $N$ свободных нерелятивистских фермионов, живущих на окружности длины $L'\sim L^{-1/2}$ [26], [27]. Кроме того, если вдоль цилиндра добавляется линия Вильсона в конкретном представлении, то лежащая в основе динамика фазового пространства соответствует частицам модели KC [28]–[30]. $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $-деформация теории ЯМ изучалась с разных сторон [31]–[35], при этом были обнаружены новые явления [36], [37]. Однако понятная интерпретация двумерной теории ЯМ в терминах свободных фермионов, видимо, теряется после деформации. On-shell оператор $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $, согласованный с теорией ЯМ, сводится к $(T^t_t)^2$, и получающаяся в результате модель существенно отличается от $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $-возмущенной системы нерелятивистских частиц. Это является следствием описанного выше нетривиального отображения $L'\sim L^{-1/2}$. Новая решаемая деформация, которую мы предлагаем в настоящей статье, отображает двумерную теорию ЯМ в систему жестких стержней с фермиононой статистикой. Оставшаяся часть статьи устроена следующим образом. Раздел 2 содержит основные формулы для модели KC, которые используются в статье. Мы представляем обзор теории билинейных $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $-деформаций интегрируемых систем многих тел и получаем энергетический спектр деформированной модели KC. Раздел 3 посвящен выводу размерно редуцированного оператора $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $, соответствующего частицам Калоджеро. В разделе 4 мы получаем некоторую деформацию классической и квантовой теории ЯМ, отображающую калибровочную теорию в систему $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $-возмущенных фермионов. Гамильтонова редукция деформированной модели ЯМ на цилиндре с дополнительной линией Вильсона выводится в разделе 5. В заключительном разделе 6 мы предлагаем наиболее интересные расширения нашего исследования. 2. Предварительные сведения2.1. Модель KCКлассический гамильтониан KC задается как
$$
\begin{equation}
H^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{CS}} }=\frac{1}{2m}\sum_{i=1}^N p_i^2+\frac{1}{2m} \biggl(\frac{\pi}{L}\biggr)^{\!2}\sum_{i<j}^N\frac{\gamma^2}{\sin^2\frac{\pi}{L}(q_i-q_j)},
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $\gamma$ – константа связи, $\{p_i,q_i\}$ – канонически сопряженные координаты, описывающие пространственные координаты и импульсы $N$ нерелятивистских частиц на окружности длины $L$ (см. подробности в [38], [39]). Классическая интегрируемость этой системы означает существование $N$ коммутирующих интегралов движения $H_k$, которые единым образом можно получить из матрицы Лакса. Гамильтониан квантуется путем замены классического импульса $p_k\to-i\hbar\frac{\partial}{\partial q_k}$ и введения дополнительного квантового сдвига $\gamma^2\to\gamma(\gamma-\hbar)$. В результате имеем
$$
\begin{equation}
\widehat H^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{CS}} }=-\frac{\hbar^2}{2m} \biggl[\,\sum_{i=1}^N\frac{\partial^2}{\partial q_i^2}- \biggl(\frac{\pi}{L}\biggr)^{\!2}\sum_{i<j}^N\frac{\beta(\beta-1)}{\sin^2\frac{\pi}{L}(q_i-q_j)}\biggr].
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Здесь введена квантовая константа связи $\beta=\gamma/\hbar$. Всюду далее мы полагаем $\hbar^2=m=1$. Волновая функция основного состояния задается как
$$
\begin{equation}
\widetilde\Delta^\beta(q)=\prod_{i<j}^N\biggl(\frac{L}{\pi}\sin\frac{\pi}{L}(q_i-q_j)\biggr)^{\!\beta}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
и определяет распределение вероятностей положения частиц, согласующееся с совместной плотностью вероятностей собственных значений $2\beta=1,2,4$ случайных матриц из круговых ансамблей Дайсона. Волновая функция, подходящая для описания возбужденных состояний, имеет вид
$$
\begin{equation}
\Psi^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{CS}} }=J^\beta_{\boldsymbol n}(q)\widetilde\Delta^\beta(q).
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Здесь $J^\beta_{\boldsymbol n}$ обозначает симметрические функции Джека. Они индексируются разбиением $\boldsymbol n$ и сводятся к многочленам Шура при $\beta=1$. Собственные значения, соответствующие набору целых чисел $\boldsymbol n=\{n_1\geqslant n_2\cdots\geqslant n_N\}$, задаются как
$$
\begin{equation}
E(\boldsymbol n)=\frac{1}{2}\biggl(\frac{\pi}{L}\biggr)^{\!2}\sum_{j=1}^N n_j\bigl(n_j+\beta(N+1-2j)\bigr)+ \beta^2\biggl(\frac{\pi}{L}\biggr)^{\!2}\frac{N(N^2-1)}{24},
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
при этом основное состояние отвечает $\boldsymbol n=0$. Факт интегрируемости модели KC связан с интерпретацией энергетического спектра как спектра квазичастиц. Введя импульсы квазичастиц как
$$
\begin{equation}
\tilde p_j=\frac{2\pi}{L}\biggl(n_{N+1-j}+\beta\biggl(j-\frac{N+1}{2}\biggr)\!\biggr),
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
получаем
$$
\begin{equation}
E(\boldsymbol n)=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^N \tilde p_j^2,\qquad P(\boldsymbol n)=\sum_{j=1}^N\tilde p_j.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Эти квазииимпульсы дают обощенное правило отбора приводящее к статистике Бозе при $\beta=0$ и к статистике Ферми при $\beta=1$. Таким образом, модели KC присущи как анионная статистика, так и динамическое взаимодействие. Спектр тригонометрической модели KC можно получить из уравнений анзаца Бете для рациональной модели. Рациональная модель KC имеет постоянный фазовый сдвиг
$$
\begin{equation}
\theta(p_i-p_j)=\pi(\beta-1)\operatorname{sgn}(p_i-p_j),
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
где $p_i$ – асимптотические импульсы. Если волновая функция удовлетворяет $L$-периодическим граничным условиям, то уравнения анзаца Бете имеют вид
$$
\begin{equation}
p_j=\frac{2\pi I_j}{L}+\frac{\pi(\beta-1)}{L}\sum_{k\neq j}^N\operatorname{sgn}(p_j-p_k).
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Предположив, что импульсы упорядочены как $p_1<\cdots<p_N$, получаем
$$
\begin{equation}
p_j=\frac{2\pi I_j}{L}+\frac{\pi(\beta-1)}{L}(2j-N-1).
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
В этой формуле $p_j$ совпадают с квазиимпульсами тригонометрической модели KC после отождествления 2.2. $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $-возмущенные нерелятивистские интегрируемые системыДеформацию нерелятивистских интегрируемых моделей можно изучать универсальным образом с помощью техники анзаца Бете. В пределе бесконечного объема деформированная $S$-матрица приобретает фазовый множитель типа КДД:
$$
\begin{equation}
S_\lambda(u,v)=e^{-i\lambda[p(u)e(v)-p(v)e(u)]}S(u,v),
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
где $u$, $v$ – быстроты. Следовательно, при условии, что справедливы нерелятивистские дисперсионные соотношения, деформированные уравнения анзаца Бете в конечном объеме принимают вид
$$
\begin{equation}
p_j[L-\lambda E_\lambda(p)]+\lambda p_j^2P_N+\sum^N_{k\neq j}\theta(p_j,p_k)=2\pi I_j,
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
где неявно учитывается (предполагается) влияние оператора $\mathcal Y_\lambda$, определеного ниже в (2.20). Получить деформированный спектр в секторе нулевого полного импульса достаточно просто. Деформация изменяет размер системы как $L\to L-\lambda E_\lambda$. В частности, используя (2.11) с $I_j=j-(N+1)/2$, находим энергию основного состояния $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $-возмущенной модели KC:
$$
\begin{equation}
E_\lambda=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^Np_j^2=\frac{\beta^2\pi^2}{(L-\lambda E_\lambda)^2}\frac{N(N^2-1)}{6}.
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Интересно, что картина деформации на качественном уровне состоит в том, что систему частиц в уменьшенном объеме можно интерпретировать как систему жестких стержней, каждый из которых имеет длину, равную исключенному объему, деленному на число частиц. $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $-деформация также может быть введена без опоры на условия интегрируемости с использованием однопараметрического семейства гамильтонианов, удовлетворяющих уравнению
$$
\begin{equation}
\frac{dH_\lambda}{d\lambda}=\int dx\,T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T _\lambda(x,t).
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
На классическом уровне это определение эквивалентно уравнению потока лагранжиана (см. уравнение (3.1) ниже). Авторы работ [7], [40] предложили переписать интеграл по пространству от оператора $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\int dx\,T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T _\lambda(x,t)=i[H_\lambda(t),\mathcal X_\lambda(t)]+\mathcal Y_\lambda(t).
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
Первое слагаемое в правой части определяется билокальным оператором
$$
\begin{equation}
\mathcal X_\lambda(t)=\int_{x<y}dx\,dy\,T^t_{t}(x,t)T^t_x(y,t).
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Коммутатор отвечает за каноническое преобразование гамильтониана и его собственных функций
$$
\begin{equation}
H\to U_\lambda HU_\lambda^{-1},\qquad |\Psi\rangle\to U_\lambda|\Psi\rangle.
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Заметим, что если рассматривать теорию свободных частиц с $H^{\kern1pt\text{free}}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^Np_i^2$, то легко убедиться, что коммутатор не влияет на гамильтониан, $[H_\lambda^{\kern1pt\text{free}},\mathcal X_\lambda]=0$. Второе слагаемое в (2.17) задается как
$$
\begin{equation}
\mathcal Y_\lambda(t)=\frac{1}{L}({\boldsymbol P_\lambda}^t_x\,{\boldsymbol P_\lambda}^x_t- {\boldsymbol P_\lambda}^t_t{\boldsymbol P_\lambda}^x_x), \qquad {\boldsymbol P_\lambda}^\alpha_\beta=\int dx\,{T_\lambda}^\alpha_\beta(x,t).
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Оно приводит к потоку энергетического спектра
$$
\begin{equation}
\frac{d E_\lambda}{d\lambda}=\langle\mathcal Y_\lambda\rangle.
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
В пределе бесконечного объема $L\to\infty$ оператор $\mathcal Y_\lambda$ исчезает, и унитарная матрица принимает вид
$$
\begin{equation}
U_\lambda=\operatorname{P\exp}\biggl\{-i\int_0^{\lambda^{}}d\lambda'\,\mathcal X_{\lambda'}\biggr\}.
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Введем обозначение для билинейной $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $-деформации одномерной теории:
$$
\begin{equation}
\mathcal O^{T \kern0.6pt\overline{\vphantom{\scriptstyle T}\kern4.8pt}\kern-5.4pt T }_\lambda:=\int dx\,T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T _\lambda(x,t).
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
3. $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $-возмущенная квантовая механика как результат размерной редукцииВ этом разделе мы подробнее рассмотрим $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $-подобную деформации квантово-механической системы. Определение деформации не зависит от исходной двумерной теории поля. На примере свободных бозонов и фермионов мы выводим составной оператор, являющийся функцией одномерного тензора энергии-импульса. Мы используем on-shell соотношение на след, чтобы выразить вспомогательную компоненту $T^x_x$ двумерного тензора энергии-импульса через другие, которые непосредственным образом интерпретируются в одномерной теории. Затем, используя квазичастичное описание, мы обобщаем эту деформацию на случай модели KC. Особенность такой размерной редукции состоит в том, что получающаяся в результате деформация влияет только на спектр гамильтониана и не затрагивает его собственные значения. В этом смысле редуцированный оператор эквивалентен $\mathcal Y_\lambda$ (2.20). 3.1. Обобщенное соотношение на след$T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $-деформация классических двумерных теорий поля задается дифференциальным уравнением
$$
\begin{equation}
\frac{dS_\lambda}{d\lambda}=-\int d^2x\,T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T _\lambda(x,t)
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
с действием Деформированный лагранжиан можно выразить через исходный лагранжиан следующим образом:
$$
\begin{equation}
\int d^2x\,\mathcal L_\lambda(\mathbf x)=\int d^2x'\bigl(\mathcal L_0(\mathbf x')-\lambda\det T_0(\mathbf x')\bigr),
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
где якобиан перехода между координатами $\mathbf x^\alpha=(x,t)$ и ${\mathbf x'}^\alpha=(x',t')$ равен
$$
\begin{equation}
J^{-1}(\mathbf x')=\begin{pmatrix} 1+\lambda {T_0}^x_x(\mathbf x') & -\lambda {T_0}^t_x(\mathbf x') \\ -\lambda {T_0}^x_t(\mathbf x')& 1+\lambda {T_0}^t_t(\mathbf x') \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Таким образом, деформированная плотность лагранжиана в координатах $\mathbf x$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\mathcal L_\lambda(\mathbf x)=\frac{\mathcal L_0(\mathbf x'(\mathbf x))-\lambda\det T_0(\mathbf x'(\mathbf x))}{\det J^{-1}(\mathbf x'(\mathbf x))}.
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
Используя формулу для канонического тензора энергии-импульса, получаем
$$
\begin{equation}
{T_\lambda}_\nu^\mu(\mathbf x)= \frac{{T_0}_\beta^\alpha(\mathbf x'(\mathbf x))+\delta_\beta^\alpha\,\lambda\det T_0(\mathbf x'(\mathbf x))}{\det J^{-1}(\mathbf x'(\mathbf x))}.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Отсюда, в частности, находим выражение для плотности деформированного гамильтониана $\mathcal H_\lambda:={T_\lambda}_t^t$,
$$
\begin{equation}
\mathcal H_\lambda(\mathbf x)=\frac{\mathcal H_0{(\mathbf x'(\mathbf x))+\lambda\det T_0(\mathbf x'(\mathbf x))}}{\det J^{-1}(\mathbf x'(\mathbf x))}.
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Подчеркнем, что это уравнение не является замкнутой формулой для плотности гамильтониана (как и (3.5) для плотности лагранжиана). Наоборот, оно выполняется на уровне уравнений движения, и после уточнения теории производные по $\mathbf x'$ от полей, входящих в $\mathcal H_0$, должны быть выражены в старых координатах $\mathbf x^\alpha$. Из (3.6) получаем $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $-поток для $ \operatorname{tr} T$ и $\det T$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \operatorname{tr} T_\lambda(\mathbf x)= \frac{ \operatorname{tr} T_0(\mathbf x'(\mathbf x))+2\lambda\det T_0(\mathbf x'(\mathbf x))}{\det J^{-1}(\mathbf x'(\mathbf x))}, \\ \det T_\lambda(\mathbf x)=\frac{\det T_0(\mathbf x'(\mathbf x))}{\det J^{-1}(\mathbf x'(\mathbf x))}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Используя эти выражения, мы приходим к обобщенному соотношению на след
$$
\begin{equation}
\operatorname{tr} T_\lambda=2\lambda\det T_\lambda+\frac{ \operatorname{tr} T_0}{1+\lambda \operatorname{tr} T_0+\lambda^2\det T_0}.
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
Заметим, что данное равенство справедливо с точностью до полных производных и должно рассматриваться под интегралом. Используя условие бесследовости КТП, восстанавливаем формулу
$$
\begin{equation}
\operatorname{tr} T_\lambda=2\lambda\det T_\lambda,
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
которая была получена во многих работах с помощью размерного анализа. В следующем пункте мы применяем полученное соотношение на след к конкретной классической нерелятивистской теории поля. 3.2. Соотношение на след в модели НУШНедавно идея динамической замены координат была применена к нерелятивистским теориям поля на примере модели НУШ с потенциалом $V$ общего вида [12]. Рассмотрим потенциал $V(x_i-x_j)=c\delta(x_i-x_j)$. Каноническое квантование этой модели приводит к КТП, описывающей бозе-газ с попарным дельтаобразным взаимодействием. В $N$-частичном секторе эта КТП эквивалентна модели ЛЛ. Нас интересует предел невзаимодействующих бозонов $c\to 0$. Соответствующая плотность лагранжиана равна
$$
\begin{equation}
\mathcal L_0=\frac{i}{2}(\psi^*\partial_t\psi-\partial_t\psi^*\,\psi)-\partial_x\psi^*\partial_x\psi,
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
а компоненты тензора энергии-импульса задаются как
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} {T_0}_t^t&=\partial_x\psi^*\,\partial_x\psi,&\qquad {T_0}_x^t&=\frac{i}{2}(\psi^*\,\partial_x\psi-\partial_x\psi^*\,\psi), \\ {T_0}^x_t&=-(\partial_x\psi^*\,\partial_t\psi+\partial_t\psi^*\,\partial_x\psi),&\qquad {T_0}^x_x&=-\frac{i}{2}(\psi^*\,\partial_t\psi-\partial_t\psi^*\,\psi)-\partial_x\psi^*\,\partial_x\psi. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Соответствующие этому лагранжиану уравнения движения имеют вид
$$
\begin{equation}
i\partial_t\psi^*=\partial^2_x\psi^*,\qquad -i\partial_t\psi=\partial^2_x\psi.
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Важным фактом является то, что на уравнениях движения
$$
\begin{equation}
{T_0}^x_x=\frac{1}{2}(\psi^*\,\partial^2_x\psi+\partial^2_x\psi^*\,\psi)-\partial_x\psi^*\,\partial_x\psi= -2\partial_x\psi^*\,\partial_x\psi+\frac{1}{2}\partial_x^2|\psi|^2,
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
а диагональные компоненты тензора энергии-импульса подчиняются соотношению
$$
\begin{equation}
{T_0}^x_x=-2{T_0}^t_t+\frac{1}{2}\partial_x^2|\psi|^2.
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Используя эту формулу вместе с (3.6) и (3.9), мы получаем on-shell соотношение на след в случае нерелятивистских бозонов:
$$
\begin{equation}
\operatorname{tr} T_\lambda=3\lambda\det T_\lambda-{T_\lambda}^t_t+ \frac{\frac{1}{2}\partial_x^2|\psi|^2}{1+\lambda \operatorname{tr} T_0+\lambda^2\det T_0}.
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
Теперь мы готовы представить размерную редукцию. 3.3. $\mathcal O^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{GHR}} }_\lambda$-деформацияРассмотрим $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $-деформацию теории поля, живущей на цилиндре с $L$-периодической пространственной координатой. Уравнение потока гамильтониана записывается как
$$
\begin{equation}
\frac{dH_\lambda}{d\lambda}=\mathcal O^{T \kern0.6pt\overline{\vphantom{\scriptstyle T}\kern4.8pt}\kern-5.4pt T }_\lambda=-\int _0^L dx\,\bigl({T_\lambda}^t_t{T_\lambda}^x_x-{T_\lambda}^t_x{T_\lambda}^x_t\bigr).
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Будем рассматривать уравнения движения в пространстве низкой размерности как частный случай высокоразмерных уравнений движения, в которых все существенные величины однородны вдоль дополнительных пространственных направлений. Редукция размерности состоит в устранении зависимости от $x$ с помощью подстановки
$$
\begin{equation}
{T_\lambda}^\mu_\nu(x,t)\to\frac{1}{L}{\boldsymbol P_\lambda}^\mu_\nu(t).
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
В размерно редуцированной теории мы имеем уравнение
$$
\begin{equation}
\frac{dH_ \lambda}{d\lambda}=-\frac{1}{L^2}\int _0^L dx\, \bigl({\boldsymbol P_\lambda}^t_t{\boldsymbol P_\lambda}^x_x-{\boldsymbol P_\lambda}^t_x{\boldsymbol P_\lambda}^x_t\bigr),
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
где мы намеренно исключили интегрирование вдоль окружности. Видно, что правая часть этого уравнения есть не что иное, как оператор $\mathcal Y_\lambda$ (2.20). Однако в одномерной теории ${T_\lambda}^x_x$ следует рассматривать как вспомогательное поле1. В случае невзаимодействующих бозонов мы можем использовать соотношение (3.16), чтобы найти компоненту ${\boldsymbol P_\lambda}^x_x$ (интегрируя по частям):
$$
\begin{equation}
{\boldsymbol P_\lambda}^x_x= -\frac{2L{\boldsymbol P_\lambda}^t_t+3{\boldsymbol P_\lambda}^x_t{\boldsymbol P_\lambda}^t_x}{L-3\lambda {\boldsymbol P_\lambda}^t_t}+\text{полная производная}.
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Подставляя это выражение в (3.19), получаем, что поток гамильтониана определяется следующим оператором:
$$
\begin{equation}
\mathcal O_\lambda^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{GHR}} }(t):= \frac{2({\boldsymbol P_\lambda}^t_t)^2+{\boldsymbol P_\lambda}^x_t{\boldsymbol P_\lambda}^t_x}{L-3\lambda {\boldsymbol P_\lambda}^t_t};
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
здесь индекс GHR (generalized hard-rod) говорит о том, что при такой деформации мы приходим к обобщенной модели жестких стержней. В квантовой механике свободные нерелятивистские бозонные и фермионные частицы можно описать с помощью одного и того же гамильтониана, который содержит только кинетический член $\hat p^2/2$. Таким образом, приведенная выше формула применима и к свободным фермионам. Теперь включим тригонометрическое взаимодействие между частицами. Руководствуясь квазичастичной интерпретацией спектра модели KC, введем “квазивеличины” $\widetilde{\boldsymbol P}_\lambda\vphantom{P_\lambda}^\mu_\nu$, такие что
$$
\begin{equation}
\widetilde{\boldsymbol P}_0\vphantom{P_\lambda}^t_t:=\frac{1}{2}\sum_{j=1}^N\tilde p^2_j=E^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{CS}} },\qquad \widetilde{\boldsymbol P}_0\vphantom{P_\lambda}^t_x:=\sum_{j=1}^N\tilde p_j,
\end{equation}
\tag{3.22}
$$
и зададим деформацию аналогично (3.21):
$$
\begin{equation}
\frac{dH_\lambda^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{CS}} }}{d\lambda}= \frac{2(\widetilde{\boldsymbol P}_\lambda\vphantom{P_\lambda}^t_t)^2+ \widetilde{\boldsymbol P}_\lambda\vphantom{P_\lambda}^x_t\widetilde{\boldsymbol P}_\lambda\vphantom{P_\lambda}^t_x} {L-3\lambda\widetilde{\boldsymbol P}_\lambda\vphantom{P_\lambda}^t_t}.
\end{equation}
\tag{3.23}
$$
Далее для простоты мы рассматриваем сектор нулевого импульса $\widetilde{\boldsymbol P}\vphantom{P}^t_x=0$. Заметим, что потенциал в $H_\lambda^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{CS}} }$ не коммутирует с $\mathcal X_\lambda$, поэтому $\mathcal O^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{GHR}} }\neq\mathcal O^{T \kern0.6pt\overline{\vphantom{\scriptstyle T}\kern4.8pt}\kern-5.4pt T }$. Ключевое отличие состоит в том, что $\mathcal O^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{GHR}} }$-возмущенный гамильтониан является функцией исходного, а волновые функции не изменяются2,
$$
\begin{equation}
H_\lambda^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{CS}} }=f_\lambda(H_0^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{CS}} }),\qquad |E_n\rangle_\lambda=|E_n\rangle_0.
\end{equation}
\tag{3.24}
$$
Покажем эти результаты, вычислив явно деформированный спектр. Используя теорему Гельмана–Фейнмана, получаем спектральный поток
$$
\begin{equation}
\frac{dE_\lambda}{d\lambda}=\frac{2E_\lambda^2}{L-3\lambda E_\lambda}.
\end{equation}
\tag{3.25}
$$
Умножая это равенство на $(L-3\lambda E_\lambda)(L-\lambda E_\lambda)$, имеем
$$
\begin{equation}
2\lambda E_\lambda^3+3\lambda^2 E_\lambda^2 \frac{dE_\lambda}{d\lambda}-2LE_\lambda^2-4\lambda LE_\lambda\frac{dE_\lambda}{d\lambda}+L^2\frac{dE_\lambda}{d\lambda}=0.
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
Нетрудно убедиться, что это уравнение можно записать в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\frac{d}{d\lambda}(\lambda^2 E_\lambda^3 -2\lambda LE_\lambda^2+L^2E_\lambda)=0.
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
Выражение в скобках постоянно вдоль потока,
$$
\begin{equation}
\lambda^2 E_\lambda^3-2\lambda LE_\lambda^2+L^2E_\lambda=\text{const},
\end{equation}
\tag{3.28}
$$
и равно $L^2E_0$. Тем самым мы приходим к формуле для деформированного спектра который совпадает со спектром модели KC, деформированной оператором $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $ (см. п. 2.2). Обратим внимание, что деформированная энергия зависит только от отношения $\lambda/L$. Такая же формула справедлива и для гамильтониана. Мы можем переписать его в виде
$$
\begin{equation}
\frac{1}{L}H_\lambda=f_\lambda\biggl(\frac{1}{L}H_0\biggr),\qquad f_\lambda(x)=\frac{x}{(1-\lambda f_\lambda(x))^2}.
\end{equation}
\tag{3.30}
$$
В конце данного раздела выведем деформированный классический лагранжиан частицы, движущейся на многообразии $M$ с метрикой $g^{\mu\nu}$. В канонической формулировке исходный лагранжиан имеет вид
$$
\begin{equation}
\mathcal L=p_\mu\dot q^\mu-\frac{g^{\mu\nu}p_\mu p_\nu}{2},
\end{equation}
\tag{3.31}
$$
где второе слагаемое есть гамильтонинан. Деформация действует как
$$
\begin{equation}
\mathcal L_\lambda= p_\mu\dot q^\mu-f_\lambda\biggl(\frac{p^2}{2}\biggr).
\end{equation}
\tag{3.32}
$$
Нетрудно найти обратную функцию $f_\lambda^{-1}(x)=x(1-\lambda x)^2$. Таким образом, в новых координатах, таких что
$$
\begin{equation}
p^\mu=\tilde p^\mu\biggl(1-\lambda\frac{\tilde p^2}{2}\biggr),
\end{equation}
\tag{3.33}
$$
получаем
$$
\begin{equation}
\mathcal L_\lambda=\tilde p_\mu\biggl(1-\lambda\frac{\tilde p^2}{2}\biggr)\dot q^\mu-\frac{\tilde p^2}{2}.
\end{equation}
\tag{3.34}
$$
Этот результат можно записать следующим образом:
$$
\begin{equation}
\mathcal L_\lambda=\tilde p_\mu\dot q^\mu-\frac{\tilde g^{\mu\nu}\tilde p_\mu\tilde p_\nu}{2},\qquad \tilde g^{\mu\nu}=g^{\mu\nu}(1+\lambda\tilde p_{\alpha}\dot q^\alpha).
\end{equation}
\tag{3.35}
$$
Гамильтоновы уравнения принимают вид
$$
\begin{equation}
\dot q^\mu=\frac{\partial H_\lambda}{\partial p_\mu}=\frac{\tilde p^\mu}{1-3\lambda\tilde p^2/2}.
\end{equation}
\tag{3.36}
$$
Выражая $\tilde p$ через $\dot q$ и подставляя в (3.34), получаем деформированный лагранжиан
$$
\begin{equation}
\mathcal L_\lambda(\dot{{q}})=\frac{1-\sqrt{1-6\lambda\dot q^2}}{3\lambda}- \frac{1}{2\dot q^2}\biggl(\frac{1-\sqrt{1-6\lambda\dot q^2}}{3\lambda}\,\biggr)^{\!2}+ \frac{\lambda}{2\dot q^2}\biggl(\frac{1-\sqrt{1-6\lambda\dot q^2}}{3\lambda}\,\biggr)^{\!3}.
\end{equation}
\tag{3.37}
$$
4. $\mathcal O^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{GHR}} }_\lambda$-деформированная теория ЯМКак мы указывали во введении, квантовая двумерная система ЯМ эквивалентна системе свободных нерелятивистских фермионов, но $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $-деформация нарушает это соответствие. Поэтому естественно задаться вопросом: какая деформация калибровочной теории соотносится с $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $-возмущенной системой частиц? Мы предлагаем составной оператор
$$
\begin{equation}
\mathcal O_\lambda^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{GHR}} }(x,t)=\frac{2({T_\lambda}^t_t(x,t))^2+{T_\lambda}^x_t{T_\lambda}^t_x(x,t)}{1-3\lambda {T_\lambda}^t_t(x,t)}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
и используем его для определения новой деформации двумерной теории ЯМ. 4.1. Классическая теория ЯМПлотность лагранжиана задается как
$$
\begin{equation}
\mathcal L^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{YM}} }=-\frac{1}{2g^2} \operatorname{Tr} F^2=-\frac{1}{4g^2}F_a^{\mu\nu}F^a_{\mu\nu}.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Для компактности формул в этом разделе мы будем опускать обозначение Tr следа по калибровочным индексам. Определим тензор энергии-импульса следующим образом:
$$
\begin{equation}
(T^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{YM}} })^\mu_\nu=\frac{\partial\mathcal L^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{YM}} }}{\partial(\partial_\mu^{}\mathcal A^a_\rho)}F^a_{\nu\rho}-\eta^\mu_\nu\mathcal L^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{YM}} }.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Тогда ${{\mathcal O}}^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{GHR}} }$-деформированный поток лагранжиана ЯМ задается уравнением
$$
\begin{equation}
\frac{d\mathcal L^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{YM}} }_\lambda(\mathbf x)}{d\lambda}=-\frac{2\bigl((T^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{YM}} }_\lambda)^t_t\bigr)^2}{1-3\lambda(T^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{YM}} }_\lambda)^t_t}.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
В общем случае, чтобы получить решение $\mathcal L^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{YM}} }_{\lambda}$, нужно подставить $(T^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{YM}} })^t_t$ из (4.3) и далее решать дифференциальное уравнение с помощью теории возмущений по $\lambda$, используя анзац $\mathcal L_\lambda=\sum_{j=0}^{\infty}\lambda^jL_j$ с начальным условием $L_0=\mathcal L^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{YM}} }$. Однако мы предлагаем получить деформированную плотность лагранжиана другим способом. Прежде всего, учитывая, что $(T^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{YM}} })^t_t=\mathcal H^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{YM}} }$, приходим к потоковому уравнению для плотности гамильтониана
$$
\begin{equation}
\frac{d\mathcal H^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{YM}} }_{\lambda}(\mathbf x)}{d\lambda}= \frac{2\bigl(\mathcal H^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{YM}} }_\lambda(\mathbf x)\bigr)^2}{1-3\lambda\mathcal H^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{YM}} }_\lambda(\mathbf x)},
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
решение которого нам известно (см. предыдущий раздел):
$$
\begin{equation}
\mathcal H^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{YM}} }_\lambda=\frac{\mathcal H^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{YM}} }_0}{(1-\lambda \mathcal H^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{YM}} }_\lambda)^2}.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Можно переписать плотность лагранжиана в первом порядке как
$$
\begin{equation}
\mathcal L^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{YM}} }=\phi F+\frac{g^2}{2}\phi^2\omega,
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
где введено скалярное поле $\phi$ со значениями в алгебре, $\omega$ – единичная форма объема. Второе слагаемое в правой части – это плотность гамильтониана. Таким образом, $\mathcal O^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{GHR}} }_\lambda$-деформация принимает вид
$$
\begin{equation}
\mathcal L^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{YM}} }_\lambda=\phi F+f_\lambda\biggl(\frac{g^2}{2}\phi^2\biggr).
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
После подстановки
$$
\begin{equation}
\phi\to\tilde\phi\biggl(1-\lambda\frac{g^2}{2}\tilde\phi^2\biggr)
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
деформированная плотность лагранжиана замечательным образом упрощается:
$$
\begin{equation}
\mathcal L^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{YM}} }_\lambda=\tilde\phi\biggl(1-\lambda\frac{g^2}{2}\tilde\phi^2\biggr)F+\frac{g^2}{2}\tilde\phi^2.
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Далее проинтегрируем вспомогательное поле $\tilde\phi$, это означает, что мы подставляем значение, которое минимизирует действие:
$$
\begin{equation}
\tilde\phi^*=\frac{1-\sqrt{1+6\lambda F^2/g^2}}{3\lambda F}.
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
Получаем плотность лагранжиана $\mathcal O^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{GHR}} }_\lambda$-деформированной теории ЯМ:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal L^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{YM}} }_\lambda&= \frac{1-\sqrt{1+6\lambda F^2/g^2}}{3\lambda}+ \frac{g^2}{2F^2}\biggl(\frac{1-\sqrt{1+6\lambda F^2/g^2}}{3\lambda}\,\biggr)^{\!2}-{} \notag\\ &\quad -\frac{\lambda g^2}{2F^2}\biggl(\frac{1-\sqrt{1+6\lambda F^2/g^2}}{3\lambda}\,\biggr)^{\!3}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Важной характеристикой этой теории является критическое значение напряженности поля 4.2. Квантовая теория ЯМРассмотрим теорию ЯМ на цилиндре с $L$-периодическим пространством и временны́м интервалом длины $T$ и зададим матрицы голономии на концах временно́го интервала как
$$
\begin{equation}
U(0)=e^{i\boldsymbol\theta_0},\qquad U(T)=e^{i\boldsymbol\theta_T}.
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Статистическая сумма деформированной теории ЯМ может быть записана следующим образом:
$$
\begin{equation}
Z_\lambda(T,e^{i\boldsymbol\theta_0},e^{i\boldsymbol\theta_T})= \int[\mathcal D{\mathcal A}(t)] \exp\biggl\{- \operatorname{Tr} \int_0^T dt\,\mathcal L^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{YM}} }_\lambda\biggr\} \delta\bigl(\bigl[Pe^{i\int_0^T dt\,\mathcal A(t)}\bigr]e^{i\boldsymbol\theta_0},e^{i\boldsymbol\theta_T}\bigr).
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
С учетом эквивалентности лагранжева и гамильтонова подходов3, можно также представить ее как квантово-механический пропагатор фермионов из начальной конфигурации $\theta_i$, т. е. как
$$
\begin{equation}
\langle e^{i\boldsymbol\theta_0}|e^{-T\widehat H^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{YM}} }_\lambda}|e^{i\boldsymbol\theta_T}\rangle.
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Деформированный гамильтониан $\widehat H^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{YM}} }_\lambda$ приводится к диагональному виду в базисе представления $|R\rangle$ с волновыми функциями, основанными на неприводимых характерах $\chi_R(e^{i\boldsymbol\theta})= \operatorname{Tr} _R(e^{i\boldsymbol\theta})$, и имеет собственные значения
$$
\begin{equation}
E_\lambda(R)=Lf_\lambda\biggl(\frac{g^2}{2}C_2(R)\biggr),\qquad C_2(R)=\sum_{j=1}^N n_j\bigl(n_j+(N+1-2j)\bigr),
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
где представления $R$ индексируются набором целых чисел $\{n_1\geqslant n_2\geqslant\cdots\geqslant n_N\}$ (см. работу [41]). Разлагая по этому базису начальное условие $|e^{i\boldsymbol\theta}\rangle=\sum_R\chi_R(e^{i\boldsymbol\theta})|R\rangle$, получаем ядро ЯМ
$$
\begin{equation}
Z_\lambda(T,e^{i\boldsymbol\theta_0},e^{i\boldsymbol\theta_T})= \sum_R\chi_R(e^{i\boldsymbol\theta_0})\chi^*_R(e^{i\boldsymbol\theta_T})e^{-Af_\lambda(C_2(R))}.
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
Площадь цилиндра равна $A=LT$. Гильбертово пространство не меняется, и после деформации не появляются лишние собственные значения. Перепишем характеры следующим образом:
$$
\begin{equation}
\chi_R(e^{i\boldsymbol\theta})=\frac{1}{\Delta(e^{i\boldsymbol\theta})} \det\limits_{ab}(e^{i(n_a-a)\theta_b}),\qquad \Delta(e^{i\boldsymbol\theta})=\prod_{s<r}(e^{i\theta_s}-e^{i\theta_r}),
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
тогда получаем, что деформированная статистическая сумма удовлетворяет дифференциальному уравнению
$$
\begin{equation}
\biggl[\biggl(\frac{2}{N^2}\partial_A-\frac{1}{12}\biggr) \biggl(1-\frac{\lambda}{2}\biggl(\frac{2}{N^2}\partial_A-\frac{1}{12}\biggr)\!\biggr)^{\!2}- \frac{1}{\Delta(e^{i\boldsymbol\theta})} \sum_{i=1}^N \frac{\partial^2}{\partial \theta^2_i}\Delta(e^{i\boldsymbol\theta})\biggr]Z_\lambda=0,
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
где первое слагаемое есть $f_\lambda^{-1}\bigl(\frac{2}{N^2}\partial_A-\frac{1}{12}\bigr)$.
5. Редукция гамильтониана: деформированная теория ЯМ с дополнительной линией ВильсонаДвумерная теория ЯМ на цилиндре эквивалентна унитарной матричной квантово-механической модели, описывающей свободные фермионы на окружности. Добавление массивного источника цвета вдоль временно́й оси приводит к помещению фермионов в тригонометрический потенциал Калоджеро–Сазерленда. В настоящем разделе мы исследуем, как ведет себя эта теория при $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $- и $\mathcal O^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{GHR}} }$-деформациях. В частности, мы показываем, что эти деформации совершенно различны до редукции гамильтониана, но совпадают на редуцированном фазовом пространстве. Рассмотрим $U(N)$-теорию ЯМ на цилиндре с периодической пространственной координатой. В канонической формулировке действие имеет вид
$$
\begin{equation}
S^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{YM}} }=\int_{S^1\times\mathbb{R}} \operatorname{Tr} \biggl(\phi F+\frac{g^2}{2}\phi^2\biggr).
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Скалярное поле $\phi$ представляет электрическое поле. Заметим, что разрешимость двумерной теории ЯМ объясняется отсутствием магнитного поля в $1+1$ измерениях. Лагранжиан можно переписать как
$$
\begin{equation}
\mathcal L^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{YM}} }= \operatorname{Tr} \biggl(2\phi\,\partial_t A_x+\frac{g^2}{2}\phi^2+A_t\,D_x\phi\biggr).
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Временна́я компонента $A_t$ в последнем члене играет роль множителя Лагранжа в законе Гаусса. Условие отображения моментов имеет вид Это гарантирует, что электрическое поле является ковариантно постоянным. 5.1. Деформация до редукцииПервое и третье слагаемые в лагранжиане являются топологическими, а второе связано с формой объема и преобразуется при рассматриваемых двух деформациях следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T \colon&\; g^2 \operatorname{Tr} \phi^2\to\frac{(g^2/2) \operatorname{Tr} \phi^2}{1-\lambda (g^2/2) \operatorname{Tr} \phi^2}, \\ \mathcal O^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{GHR}} }\colon&\; g^2 \operatorname{Tr} \phi^2\to f_\lambda(g^2 \operatorname{Tr} \phi^2), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
где функция $f_\lambda(x)$ задана в (3.30). После того как введена определенная деформация, вставим в некоторое представление $R$ линию Вильсона вдоль временно́й оси:
$$
\begin{equation}
\langle R^*\bigg| \operatorname{Tr} _R\biggl(\operatorname{P\exp}{\int_t A_t}\biggr)\bigg|R\rangle.
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
Если времениподобные линии Вильсона, т. е. электрические источники, вставлены в точки $x_i$ пространственной окружности, то закон Гаусса изменяется следующим образом:
$$
\begin{equation}
\mu+\sum_i\mu_{\scriptscriptstyle \mathcal O_i}\delta(x-x_i)=0,
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
где $\mu_{\scriptscriptstyle\mathcal O_i}$ – отображения моментов, отвечающие коприсоединенным орбитам ${\mathcal O_i}$, расположенным в точках $x_i$. Чтобы получить бесспиновую динамику Калоджеро–Сазерленда в редуцированном фазовом пространстве, мы оставляем только одну линию Вильсона в точке $x_1$ в однострочном представлении4 $R_\gamma$. Соответствующая орбита – это комплексное проективное пространство $CP^{N-1}$. В однородных координатах $z$, $\bar z$ отображение моментов действует как $\mu_{\scriptscriptstyle CP^{{N-1}}}=\gamma(z\otimes\bar z-1\!\!1)=J_\gamma$. Таким образом, получаем $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $-преобразованное действие с дополнительной линией Вильсона
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S_{\substack{T \kern0.6pt\overline{\vphantom{\scriptstyle T}\kern4.8pt}\kern-5.4pt T \text{-YM}\\ +WL}}=\int_{\!\!{}_{\scriptstyle S^1\times T}}\kern-11pt dx\,dt\, \operatorname{Tr} \biggl[\phi&\,\partial_tA_x+\frac{(g^2/2)\phi^2}{1-\lambda(g^2/2) \operatorname{Tr} \phi^2}- A_t(\partial_x\phi+[A_x,\phi]-\delta(x-x_1)J_\gamma)\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Аналогичное выражение имеет место для $\mathcal O^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{GHR}} }$-преобразования. Рассмотрим калибровку $A_x=\operatorname{diag}\{i\theta_1,\ldots,i\theta_N\}$. Решение закона Гаусса (5.6) вне точки $x_1$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\phi_{ij}(x)=e^{- i(x-x_1)(\theta_i-\theta_j)}\phi_{ij}(x_1).
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Скачок поля в точке $x_1$ задается как
$$
\begin{equation}
\phi_{ij}(x_1+0)-\phi_{ij}(x_1-0)=\mu_{\scriptscriptstyle CP^{{N-1}}}.
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
Используя равенства (5.8) и (5.9), приходим к следующему соотношению:
$$
\begin{equation}
(\mu_{\scriptscriptstyle CP^{{N-1}}})_{ii}=0,\quad\text{т. е.}\quad |z|^2=1,\qquad \begin{aligned} \, &\phi_{ij}(x_1+0)=\frac{\gamma z_i\bar z_j}{1-e^{-2\pi i(\theta_i-\theta_j)}}, \\ &\phi_{ii}=p_i=\text{const}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
Наконец, рассматривая подпространство, удовлетворяющее этим условиям, получаем гамильтонианы редуцированной теории:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, H_\lambda^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{GHR}} }&=\int dx\,f_\lambda\biggl(\frac{g^2}{2} \operatorname{Tr} \phi^2\biggr)=Lf_\lambda\biggl(\frac{1}{L}H^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{CS}} }\biggr), \\ H_\lambda^{T \kern0.6pt\overline{\vphantom{\scriptstyle T}\kern4.8pt}\kern-5.4pt T }&=\frac{H^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{CS}} }}{1-\lambda H^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{CS}} }/L}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
где введен гамильтониан частиц Калоджеро–Сазерленда, живущих на окружности длины $L'=\pi/\sqrt{g^2L}$:
$$
\begin{equation}
H^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{CS}} }=\frac{g^2L}{2}\biggl(\,\sum_{i=1}^Np_i^2+\sum_{i<j}^N\frac{\gamma^2}{\sin^2\frac{\theta_i-\theta_j}{2}}\biggr).
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
До сих пор мы описывали редукцию гамильтониана деформированных теорий с дополнительной линией Вильсона. Можно также добавить линию Вильсона перед деформацией. Мы остановимся на этом случае в другой работе. Эту редукцию можно повторить и в квантовом случае. В результате возникает квантовый сдвиг $\gamma^2\to\hbar^2\beta(\beta-1)$ (см. работу [28]). 5.2. Деформация после редукцииНапомним, что, налагая ограничение, описывающееся законом Гаусса, на чистую теорию ЯМ, можно получить динамику свободных фермионных частиц, в то время как теория ЯМ с дополнительной линией Вильсона сводится к модели KC. Согласно определению $\mathcal O^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{GHR}} }$-деформации гамильтонианы изменяются следующим образом:
$$
\begin{equation}
\frac{1}{L} H^{\text{free}}\to f_\lambda\biggl(\frac{1}{L} H^{\text{free}}\biggr),\qquad \frac{1}{L} H^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{CS}} }\to f_\lambda\biggl(\frac{1}{L} H^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{CS}} }\biggr).
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
Как описано в разделе 2, в квантовом случае $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $-деформация приводит к тем же гамильтонианам с точностью до канонического преобразования:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{1}{L}H^{\text{free}}&\to f_\lambda\biggl(\frac{1}{L} H^{\text{free}}\biggr), \\ \frac{1}{L} H^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{CS}} }&\to U_\lambda f_\lambda\biggl(\frac{1}{L} H^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{CS}} }\biggr)U^{-1}_\lambda. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
С точки зрения одномерной теории мы рассматриваем классическую частицу на многообразии $M$. При добавлении линии Вильсона фазовое пространство расширяется, Частица приобретает дополнительные степени свободы, соответствующие движению в пространстве $CP^{N-1}$. Таким образом, лагранжиан частицы принимает вид
$$
\begin{equation}
\mathcal L^{\text{free+WL}}= p_\mu\dot q^\mu- H^{\text{free}}+\theta- \operatorname{Tr} (A_t\,\mu_{\scriptscriptstyle CP^{{N-1}}}),
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
где $d\theta=\gamma\omega_{\scriptscriptstyle{\mathrm{FS}}}$ есть форма Фубини–Штуди, а $\oint\theta$ – фаза Берри. После деформации системы получаем
$$
\begin{equation}
H_\lambda^{\text{free+WL}}=f_\lambda\bigl(H^{\text{free}}-\theta+ \operatorname{Tr} (A_t\,\mu_{\scriptscriptstyle CP^{{N-1}}})\bigr).
\end{equation}
\tag{5.17}
$$
Результаты этого раздела представлены на рис. 1.  Рис. 1.Карта деформаций. Стрелка “WL” обозначает вставку линии Вильсона вдоль цилиндра в однострочном представлении, “reduction” – редукция гамильтониана, штриховая стрелка указывает на то, что соответствие имеет место только между спектрами, “GHR” – обобщенная система жестких стержней, “GHR-anyons” – модель обощенных жестких стержней с анионной статистикой, “FF” – свободные фермионы, $T^2$ – деформация квантовой механики квадратом оператора $T^t_t$, $\mathcal O^{T \kern0.6pt\overline{\vphantom{\scriptstyle T}\kern4.8pt}\kern-5.4pt T }$ – билинейный оператор (2.23), $\mathcal O^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{GHR}} }$ – оператор (4.1), $\beta$ – квантовая константа связи модели KC (модель KC вырождается в модель свободных фермионов при $\beta=1$). 6. ОбсуждениеВ представленной работе мы предложили новую $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $-подобную деформацию нерелятивистской квантовой механики многих тел на примере модели свободных частиц и модели Калоджеро–Сазерленда. Эта деформация получается путем размерной редукции билинейного оператора $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $ с использованием обобщенного соотношения на след. Деформация изменяет спектр гамильтониана, но не меняет его собственных функций. Кроме того, мы получили деформированный лагранжиан невзаимодействующих частиц. Наконец, мы описали деформированную двумерную теорию ЯМ, эквивалентную системе $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $-деформированных фермионов. Было бы интересно изучить $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $-деформацию системы броуновских частиц на окружности. Изучение проблемы броуновских блужданий без пересечений оказалась очень плодотворным и актуальным во многих задачах теоретической физики. Авторы работ [42]–[44] обнаружили неожиданную связь между двумерной моделью ЯМ на сфере и броуновскими движениями. Они показали, что статистическая сумма модели ЯМ отображается в нормированные вероятности возвращения (reunion probabilities) свободных непересекающихся броуновских блужданий на прямой с различными граничными условиями. Недавно эти результаты были обобщены на случай модели ЯМ на цилиндре и случайных блужданий частиц, взаимодействующих посредством тригонометрического потенциала Калоджеро–Сазерленда [45]. Используя интуитивное представление жестких стержней, мы намерены изучить соответствие между моделью ЯМ и случайных блужданиями в смысле $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $-деформаций как для свободного, так и для взаимодействующего броуновского процесса. Наконец, мы хотели бы обратить внимание на тесную связь между двумерной теорией ЯМ и теорией струн. Уже давно было показано, что статистическая сумма модели ЯМ на сфере допускает дуальную струнную интерпретацию [46]. Эта связь основана на разложении калибровочной теории на киральные и антикиральные секторы в пределе больших $N$, что непосредственно вытекает из фермионной картины. Недавно обсуждалось соответствие $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $-деформированной теории ЯМ и теории струн [34], [36]. Было показано, что $T \kern0.9pt\overline{\vphantom{T}\kern6.0pt}\kern-6.9pt T $-деформированная теория ЯМ отображается в систему фермионов, испытывающих сильно нелокальное взаимодействие, которое препятствует их факторизации. Таким образом, это ставит под сомнение возможную струнную формулировку. С другой стороны, $\mathcal O^{ \scriptscriptstyle{\mathrm{GHR}} }$-возмущенная теория ЯМ, обсуждавшаяся в настоящей статье, имеет четкую интерпретацию в терминах свободных ферми-частиц конечной длины и поэтому заслуживает дальнейшего изучения в этом направлении. Мы надеемся получить соответствующие результаты в будущем. БлагодарностиАвтор благодарен А. С. Горскому за вдохновляющие обсуждения и сотрудничество при решении смежных задач. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Pav23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|