| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 5 научных статьях (всего в 5 статьях) О глобальной во времени разрешимости одной нелинейной системы уравнений тепло-электрической модели с квадратичной нелинейностью М. О. Корпусовab, А. Ю. Перловab, А. В. Тимошенкоab, Р. С. Шафирab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Физический факультет, Москва, Россия b Российский университет дружбы народов, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923110090 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеСовременные радиоинформационные системы, решающие задачи мониторинга космического пространства, характеризуются большим числом плотно расположенной радиоэлектронной аппаратуры, непрерывным функционированием в течение длительного времени, а также высокими требованиями к надежности. При работе структурно сложной радиоинформационной системы в теплонапряженных режимах резко возрастает тепловыделение в радиоэлектронной аппаратуре за счет высокой токовой нагрузки. Повышение тепловыделения влечет за собой перегрев аппаратуры и, как следствие, снижение надежности изделия [1], а также увеличение вероятности отказов аппаратуры. Данные обстоятельства обуславливают необходимость исследования нелинейных тепловых процессов в полупроводнике, а также построения и изучения тепло-электрической модели полупроводника. В настоящей статье приведены результаты теоретических исследований по обоснованию глобальной во времени разрешимости классических решений системы дифференциальных уравнений для потенциала электрического поля $\phi(x,t)$ и температуры $\psi(x,t)$. Данная работа продолжает исследования, начатые в работах [2]–[5] и посвященные исследованию начально-краевых задач для локальных и нелокальных уравнений с нелинейным градиентом. В работе [5] мы рассмотрели следующую систему уравнений (см. [6]–[9]):
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{\partial}{\partial t}\Delta\phi+\sigma_0\Delta\phi-\gamma_0\Delta\psi=0, \\ \varepsilon_0\frac{\partial\psi}{\partial t}=\Delta\psi+q_0|D_x\phi|^p, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\phi$ – потенциал электрического поля, $\psi$ – температура,
$$
\begin{equation*}
\sigma_0=\frac{4\pi\sigma}{\varepsilon},\qquad \gamma_0=\frac{4\pi\gamma}{\varepsilon},
\end{equation*}
\notag
$$
причем $\varepsilon_0>0$, $\sigma_0>0$, $\gamma_0>0$, $q_0>0$ и $p>1$. В работе [5] результат о разрушении был получен фактически только при $p>2$, хотя вопрос о существовании непродолжаемого во времени классического решения был решен при $p>1.$ Поэтому вопрос о разрушении при $p=2$ остался открытым. В этой работе мы рассмотрели несколько иную систему уравнений, которая в бо́льшей степени отражает физику процесса теплового “разогрева” и содержит квадратичную нелинейность, причем эта система уравнений имеет следующее дифференциальное следствие:
$$
\begin{equation*}
\frac{\varepsilon_0\varepsilon}{4\pi}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}+ \frac{\partial}{\partial t}\biggl(-\frac{\varepsilon}{4\pi}\Delta\phi+\varepsilon_0\sigma\phi\biggr)-\sigma\Delta\phi= \frac{\varepsilon\gamma}{8\pi}\frac{\partial}{\partial t}|D_x\phi|^2.
\end{equation*}
\notag
$$
В настоящей работе мы показали, что при $\sigma=0$, т. е. в случае диэлектрика, тепловой разогрев не приводит к возникновению теплового или электрического пробоя, а решение задачи существует глобально во времени вне зависимости от начальных распределений электрического потенциала $\phi_0(x)$ и температуры $\psi_0(x)$.
2. Вывод системы уравненийВывод системы уравнений имеется в работе [2]. Именно там получена система уравнений, описывающая тепловые и электрические явления в полупроводниковых приборах, из-за которых полупроводниковые элементы на платах греются и происходит тепловой “пробой”. Для полноты изложения приведем вывод рассматриваемой системы уравнений. В отличие от работы [2] в настоящей работе рассматривается изотропная среда. В приближении квазистационарного электрического поля справедливы следующие уравнения (см. [9]):
$$
\begin{equation}
\operatorname{div}\mathbf{D}=-4\pi n,\qquad\operatorname{rot}\mathbf{E}=0,\qquad \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E},
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $\mathbf{D}$ – вектор индукции электрического поля, $\mathbf{E}$ – вектор напряженности электрического поля, $n$ – плотность свободных зарядов, причем в случае поверхностной односвязности границы $\Gamma$ определен потенциал электрического поля $\phi$: Поскольку полупроводник, очевидно, является проводящей средой, мы должны дополнить систему (1) уравнением для тока свободных зарядов, которое имеет вид [9]
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial n}{\partial t}=\operatorname{div}\mathbf{J},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbf{J}$ – вектор тока свободных зарядов. При этом учтем тепловой разогрев полупроводника [6], [7]:
$$
\begin{equation*}
\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}-\gamma\nabla\psi,\qquad \sigma\geqslant 0,\quad\gamma\geqslant 0,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\psi$ – температура в полупроводнике. Для температуры $\psi$ имеет место уравнение теплопроводности с тепловым нагревом за счет электрического поля $\mathbf{E}$ [6]:
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_0\frac{\partial\psi}{\partial t}=\triangle\psi+(\mathbf{J},\mathbf{E}),
\end{equation*}
\notag
$$
где параметр $\varepsilon_0>0$ имеет вид и $\varepsilon_1>0$ – фиксированное число, а параметр $\alpha>0$ достаточно велик. Из уравнений (1), (2) вытекает следующая система уравнений:
$$
\begin{equation}
\frac{\varepsilon}{4\pi}\frac{\partial}{\partial t}\Delta\phi+\sigma\Delta\phi+\gamma\Delta\psi=0,
\end{equation}
\tag{3}
$$
$$
\begin{equation}
\varepsilon_0\frac{\partial\psi}{\partial t}=\Delta\psi+\sigma|D_x\phi|^2+\gamma(D_x\phi,D_x\psi).
\end{equation}
\tag{4}
$$
Относительно коэффициентов в системе уравнений (3), (4) будем предполагать, что
$$
\begin{equation}
\varepsilon>0,\qquad\sigma\geqslant 0,\qquad\gamma\geqslant 0,\qquad\varepsilon_0>0.
\end{equation}
\tag{5}
$$
3. Обозначения и вспомогательные результатыПредположим, что $\Omega\subset\mathbb{R}^3$ – ограниченная выпуклая область с поверхностно односвязной границей $\Gamma\in{C}^{2,\alpha}$ при $\alpha\in(0,1]$. Мы будем пользоваться стандартными обозначениями из работы [10]. Отметим только, что символом ${C}^{(1,0)}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$ мы обозначили линейное пространство функций
$$
\begin{equation*}
u(x,t),\;D_{x_i}u(x,t)\in{C}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T),
\end{equation*}
\notag
$$
которое является банаховым относительно нормы
$$
\begin{equation*}
|u(x,t)|_{1,0;D_T}:=|u(x,t)|_{0;D_T}+\sum_{i=1}^N|D_{x_i}u(x,t)|_{0;D_T}.
\end{equation*}
\notag
$$
Через $C^{(2,1)}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$ мы обозначили линейное пространство таких функций $u(x,t)$, что
$$
\begin{equation*}
D_x^ru(x,t),\; D^s_tu(x,t)\in C( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)
\end{equation*}
\notag
$$
для всех $r=0,1,2$ и $s=0,1$. Рассмотрим первую краевую задачу в ограниченной области $D_T=\Omega\times(0,T)$ с границей $S_T\cup B_T\cup B$:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\psi(t)}{\partial t}-\Delta\psi(t)=f(x,t)\quad\text{для}\quad (x,t)\in D_T\cup B_T,
\end{equation}
\tag{6}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \psi(x,t)&=0&\quad&\text{для}&\quad (x,t)&\in S_T, \\ \psi(x,t)&=\psi_0(x)&\quad&\text{для}&\quad (x,t)&\in B. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{7}
$$
Функция Грина $G(x,t;y,\tau)$ первой краевой задачи существует, единственна и является непрерывной (см. [11]) для $(x,t;\xi,\tau)\in \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T\times(D_T\cup B)$, $t>\tau$. Кроме того,
$$
\begin{equation*}
G,\; D_xG,\; D^2_xG,\;D_tG\in{C}((D_T\cup B_T)\times(D_T\cup B)),\qquad t>\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Решение $\psi(x,t)\in{C}^{(2,1)}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$ первой краевой задачи (6), (7) представимо в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\psi(t)=\chi(t)\psi_0(x)+\int_0^t\int_{\Omega}G(x,t;y,\tau) [f(y,\tau)-\chi'(\tau)\psi_0(y)+\chi(\tau)\Delta\psi_0(y)]\,dy\,d\tau,
\end{equation}
\tag{8}
$$
если
$$
\begin{equation*}
\chi(t)\in{C}^{(1)}_b[0,+\infty),\quad \psi_0(x)\in{C}^{(2)}(\overline{\Omega}),\quad\chi(0)=1,\quad \psi_0(x)=0\quad\text{при}\quad x\in\Gamma.
\end{equation*}
\notag
$$
Для доказательства представления (8) достаточно применить третью формулу Грина (см., например, [11]) к функции $\psi(x,t)-\chi(t)\psi_0(x)$. Заметим, что в работе [12] приведены мажоранты для производных функции Грина следующего вида:
$$
\begin{equation*}
|D_t^rD_x^sG(x,t;y,\tau)|\leqslant\frac{A_1}{(t-\tau)^{(3+2r+s)/2}} \exp\biggl(-a_1\frac{|x-y|^2}{t-\tau}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
при $t>\tau$, $x\ne y.$ Из этой оценки (см., например, [11]) элементарно получается вспомогательная оценка
$$
\begin{equation}
|D_t^rD_x^sG(x,t;y,\tau)|\leqslant \frac{A_2}{(t-\tau)^{\mu}|x-y|^{3+2r+s-2\mu}},\qquad t>\tau,\quad x\ne y.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Прежде чем переходить к основной части исследования, нам нужно доказать вспомогательное утверждение о свойстве объемного потенциала
$$
\begin{equation*}
V(x,t):=\int_0^t\int_{\Omega}G(x,t;y,\tau)f(y,\tau)\,dy\,d\tau.
\end{equation*}
\notag
$$
Справедливо следующее утверждение (см., например, [11]). Лемма 1. Если функция $f(x,t)\in{C}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$, то объемный потенциал $V(x,t)$ принадлежит пространству ${C}^{(1,0)}(\mathbb{R}^3\times[0,T])$ и для всех $(x,t)\in D_T$ справедливо равенство причем справедлива оценка для любого $\theta\in(0,1)$. С учетом оценки (9) справедливо следующее утверждение (см. теорему 5 работы [13]). Лемма 2. Если область $\Omega\subset\mathbb{R}^N$ выпуклая и функция $f(x,t)\in{C}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$, справедлива оценка производных для всех $(x'',t''), (x',t')\in \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T$ и любого $\alpha\in(0,1)$. Наконец, справедливо следующее известное утверждение [11]. Лемма 3. Если функция $f(x,t)\in{C}^{\alpha/2,\alpha}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$ при $\alpha\in(0,1)$, то и справедливы поточечные равенства 4. Постановка первой краевой задачиРассмотрим следующую первую краевую задачу в ограниченной цилиндрической области $D_T=\Omega\times(0,T)$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{\varepsilon}{4\pi}\frac{\partial}{\partial t}\Delta\phi+\sigma\Delta\phi+\gamma\Delta\psi=0, \\ \varepsilon_0\frac{\partial\psi}{\partial t}=\Delta\psi+\sigma|D_x\phi|^2+\gamma(D_x\phi,D_x\psi), \end{gathered}\qquad (x,t)\in D_T\cup B_T,
\end{equation}
\tag{10}
$$
$$
\begin{equation}
\psi(x,t)=\phi(x,t)=0\quad\text{при}\quad (x,t)\in S_T,
\end{equation}
\tag{11}
$$
$$
\begin{equation}
\phi(x,0)=\phi_0(x),\quad\psi(x,0)=\psi_0(x)\quad\text{при}\quad x\in\overline{\Omega}.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Дадим определение классического решения первой краевой задачи (10)–(12). Определение 1. Пара функций $\{\phi(x,t),\psi(x,t)\}$ называется классическим решением задачи (10)–(12), если Справедливо следующее утверждение. Лемма 4. В классе классических решений $\{\phi(x,t),\psi(x,t)\}$ при условии согласования $\phi_0(x)=0=\psi_0(x)$ для всех $x\in\Gamma$ и $\phi_0(x)\in{C}^{2+\alpha}(\overline{\Omega})$ задача (10)–(12) эквивалентна следующей задаче: Доказательство. Заметим только, что если $\psi(x,t)\in{C}^{1+\alpha/2,2+\alpha}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$ и $u_0(x)\in{C}^{2+\alpha}(\overline{\Omega})$, то функция $\phi(x,t)$, определенная равенством (13), принадлежит классу Справедлива следующая Лемма 5. Если $\psi_0(x)\geqslant 0$, то в классе $\psi(x,t),\phi(x,t)\in{C}^{(2,1)}({D}_T\cup B_T)\cap{C}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$ имеем $\psi(x,t)\geqslant 0$ для всех $(x,t)\in \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T$. Доказательство. Доказательство основано на признаке сравнения для дифференциального неравенства для некоторого фиксированного $\phi(x,t)$. 5. Существование непродолжаемого во времени решения интегрального уравненияРассмотрим вспомогательное интегральное уравнение вида (8):
$$
\begin{equation}
\psi(t)=\chi(t)\psi_0(x) +\int_0^t\int_{\Omega}G(x,t;y,\tau) [\sigma|D_yA(\psi)(y,\tau)|^2+\gamma(D_yA(\psi),D_y\psi)-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad\qquad\quad- \chi'(\tau)\psi_0(y)+\chi(\tau)\Delta\psi_0(y)]\,dy\,d\tau,
\end{equation}
\tag{15}
$$
$$
\begin{equation}
\phi(x,t)=A(\psi)(x,t) :=\phi_0(x) e^{-\sigma_0t}+\gamma_0\int_0^t e^{-\sigma_0(t-\tau)}\psi(x,\tau)\,d\tau,
\end{equation}
\tag{16}
$$
где $G(x,t;\xi,\tau)$ – функция Грина первой краевой задачи для оператора теплопроводности
$$
\begin{equation*}
L_{\varepsilon_0}:=\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}-\Delta_x,\qquad\varepsilon_0>0,
\end{equation*}
\notag
$$
в ограниченной цилиндрической области $D_T=\Omega\times(0,T)$. Справедлива следующая Доказательство. Справедливы следующие равенства: Имеет место следующее утверждение. Лемма 7. Линейный оператор (16) действует как и в классе функций $\psi(x,t)\in{C}^{(1,0)}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$ справедлива оценка Рассмотрим отображения
$$
\begin{equation*}
F_1(\psi):=|D_xA(\psi)|^2,\qquad F_2(\psi):=(D_xA(\psi),D_x\psi).
\end{equation*}
\notag
$$
Справедливо следующее утверждение. Лемма 8. Отображение $F_1(\psi)$ действует как и справедлива оценка Введем отображение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \hat{G}(\psi)(x,t)&:=\chi(t)\psi_0(x)+ \int_0^t\int_{\Omega}G(x,t;y,\tau)\times{} \\ &\times [\sigma F_1(\psi)(y,\tau)+\gamma F_2(\psi)- \chi'(\tau)\psi_0(y)+\chi(\tau)\Delta\psi_0(y)]\,dy\,d\tau. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Справедлива следующая (см. [5]) Теорема 1. Если $\psi_0(x)\in{C}^{(2)}(\overline{\Omega})$ и $\chi(t)\in{C}^{(1)}_b[0,+\infty)$, то отображение $\hat{G}$ действует как Из этой теоремы вытекает Теорема 2. Для любых $\psi_0(x)\in{C}^{(2)}(\overline{\Omega})$, $\phi_0(x)\in{C}^{(1)}(\overline{\Omega})$ и $\chi(t)\in{C}^{(1)}_b[0,+\infty)$ найдется такое малое $T>0$, что существует единственное решение интегрального уравнения (15) в классе ${C}^{(1,0)}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$. Доказательство. Доказательство основано на применении принципа сжимающих отображений и теореме 1. Используя стандартный алгоритм продолжения решений интегральных уравнений типа Вольтерра во времени (см., например, [14]), получим следующий результат. Теорема 3. Для любых $\psi_0(x)\in{C}^{(2)}(\overline{\Omega})$, $\phi_0(x)\in{C}^{(1)}(\overline{\Omega})$ и $\chi(t)\in{C}^{(1)}_b[0,+\infty)$ найдется такое максимальное $T_0=T_0(\phi_0,\psi_0,\chi)>0$, что для любого $T\in(0,T_0)$ существует единственное решение интегрального уравнения (15) в классе ${C}^{(1,0)}( \kern1.8pt\overline{\vphantom{D}\kern6.4pt}\kern-8.0pt D\kern0.2pt _T)$, причем либо $T_0=+\infty$, либо $T_0<+\infty$, и в последнем случае справедливо предельное свойство 6. Существование классического решения задачи (10)–(12)Справедлива следующая (см. [5]) Теорема 4. Для любых $\psi_0(x)\in{C}^{2+\alpha}(\overline{\Omega})$, $\phi_0(x)\in{C}^{2+\alpha}(\overline{\Omega})$ при $\alpha\in(0,1]$ и $\chi(t)\in{C}^{(2)}_b[0,+\infty)$ оператор $\hat{G}$ на решениях интегрального уравнения (15) действует как Таким образом, из теоремы 4 с учетом теоремы 3 вытекает следующее утверждение (см. [5]). Теорема 5. Для любых $\psi_0(x),\phi_0(x)\in{C}^{2+\alpha}(\overline{\Omega})$ при $\alpha\in(0,1]$, $\chi(t)\in{C}^{(2)}_b[0,+\infty)$ при выполнении условий согласования $\phi_0(x)=0=\psi_0(x)$ для всех $x\in\Gamma$ найдется такое максимальное $T_0=T_0(\phi_0,\psi_0,\chi(t))>0$, что существует единственное классическое решение задачи (10)–(12) для любого $T\in(0,T_0)$, причем либо $T_0=+\infty$, либо $T_0<+\infty$, и в последнем случае выполнено предельное свойство (19). 7. Глобальная во времени разрешимость при $\sigma=0$Рассмотрим систему уравнений (3), (4). Теорема 5, как нетрудно заметить, доказана при выполнении условий (5). Пусть $\{\phi(x,t),\psi(x,t)\}$ – классическое решение первой краевой задачи (10)–(12) для произвольного $T\in(0,T_0)$. Тогда имеет место система уравнений (13), (14), из которой вытекают, в частности, равенства
$$
\begin{equation}
\frac{\varepsilon}{4\pi}\frac{\partial\phi}{\partial t}+\sigma\phi+\gamma\psi=0\quad\text{для}\quad (x,t)\in D_T\cup B_T,
\end{equation}
\tag{20}
$$
$$
\begin{equation}
\nonumber \frac{\varepsilon}{8\pi}\frac{\partial|D_x\phi|^2}{\partial t}+\sigma|D_x\phi|^2+\gamma(D_x\psi,D_x\phi)=0\quad\text{для}\quad (x,t)\in D_T\cup B_T,
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial}{\partial t}\biggl(\varepsilon_0\psi+\frac{\varepsilon}{8\pi}|D_x\phi|^2\biggr)=\Delta\psi\quad\text{для}\quad (x,t)\in D_T\cup B_T.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Из равенств (20) и (21) нетрудно получить следующее дифференциальное следствие:
$$
\begin{equation}
\frac{\varepsilon_0\varepsilon}{4\pi}\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}+ \frac{\partial}{\partial t}\biggl(-\frac{\varepsilon}{4\pi}\Delta\phi+\varepsilon_0\sigma\phi\biggr)-\sigma\Delta\phi= \frac{\varepsilon\gamma}{8\pi}\frac{\partial}{\partial t}|D_x\phi|^2\quad\text{для}\quad (x,t)\in D_T\cup B_T,
\end{equation}
\tag{22}
$$
причем из уравнения (20) получаем дополнительное начальное условие:
$$
\begin{equation}
\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial t}\bigg|_{t=0}=-\frac{4\pi\sigma}{\varepsilon}\phi_0(x)-\frac{4\pi\gamma}{\varepsilon}\psi_0(x).
\end{equation}
\tag{23}
$$
Заметим, что справедлива следующая Лемма 9. В классе классических решений система уравнений (10)–(12) эквивалентна уравнениям (20) и (22) при выполнении граничных условий (11) и (12), причем выполнено условие согласования (23). Уравнение третьего порядка (22) является уравнением псевдопараболического типа (см., например, [15], [16]). Рассмотрим случай, когда $\sigma=0$. В этом случае получим следующее уравнение:
$$
\begin{equation}
\varepsilon_0\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}-\frac{\partial}{\partial t}\Delta\phi=\frac{\gamma}{2}\frac{\partial}{\partial t}|D_x\phi|^2.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Проинтегрируем обе части равенства (24) по времени и получим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \varepsilon_0\frac{\partial\phi}{\partial t}-\Delta\phi=\frac{\gamma}{2}|D_x\phi|^2+f_0(x), \\ f_0(x):=-\frac{4\pi\varepsilon_0\gamma}{\varepsilon}\psi_0(x)-\Delta\phi_0(x)-\frac{\gamma}{2}|D_x\phi_0(x)|^2. \notag \end{gathered}
\end{equation}
\tag{25}
$$
Заметим, что справедливо равенство (см., например, [17])
$$
\begin{equation}
e^{-\gamma\phi/2}\biggl(\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}-\Delta\biggr)e^{\gamma\phi/2}= \frac{\gamma}{2}\biggl[\varepsilon_0\frac{\partial\phi}{\partial t}-\Delta\phi-\frac{\gamma}{2}|D_x\phi|^2\biggr].
\end{equation}
\tag{26}
$$
Введем новую функцию Тогда с учетом (26) из (25) получим линейное уравнение
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, Lg(x,t):=\varepsilon_0\frac{\partial g(x,t)}{\partial t}-\Delta g(x,t)-f_1(x)g(x,t)=0\quad\text{для}\quad (x,t)\in D_T\cup B_T, \\ f_1(x):=\frac{\gamma}{2}f_0(x), \notag \end{gathered}
\end{equation}
\tag{27}
$$
причем выполнены граничные условия на параболической части границы $S_T\cup B:$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, g(x,t)=1\quad\text{для}\quad (x,t)\in S_T, \notag \\ g(x,0)=\exp\biggl(\frac{\gamma}{2}\phi_0(x)\biggr)\quad\text{для}\quad x\in\overline{\Omega}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{28}
$$
Заметим, что найдется такая постоянная $c_0\in\mathbb{R}$, что выполнено неравенство
$$
\begin{equation*}
f_1(x)\geqslant c_0:=\min_{x\in\overline{\Omega}}f_1(x)\quad\text{для всех}\quad x\in\overline{\Omega}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из уравнения (27) с учетом того, что $g(x,t)\geqslant 0$, получим неравенство
$$
\begin{equation*}
\varepsilon_0\frac{\partial g(x,t)}{\partial t}-\Delta g(x,t)-c_0g(x,t)=[f_1(x)-c_0]g(x,t)\geqslant 0\quad\text{для}\quad (x,t)\in D_T\cup B_T.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда в силу признака сравнения для оператора $\varepsilon_0\frac{\partial}{\partial t}-\Delta_x$ получим оценку снизу:
$$
\begin{equation}
m_1\leqslant g(x,t) e^{-c_0 t/\varepsilon_0}\leqslant g(x,t),
\end{equation}
\tag{29}
$$
где постоянная $m_1>0$ определена равенством
$$
\begin{equation}
m_1:=\min\biggl\{e^{-c_0 t/\varepsilon_0},\min_{x\in\overline{\Omega}}\exp\biggl(\frac{\gamma}{2}\phi_0(x)\biggr)\biggr\}.
\end{equation}
\tag{30}
$$
А в силу принципа максимума модуля для решения $g(x,t)$ задачи (27), (28) получим неравенство
$$
\begin{equation}
g(x,t)\leqslant e^{c_1 T/\varepsilon_0} M_1,\qquad c_1:=\max\Bigl\{0,\max_{x\in\overline{\Omega}}f_1(x)\Bigr\},
\end{equation}
\tag{31}
$$
где постоянная $M_1\geqslant 0$ определена как
$$
\begin{equation}
M_1:=\max\biggl\{1,\max_{x\in\overline{\Omega}}\exp\biggl(\frac{\gamma}{2}\phi_0(x)\biggr)\biggr\}.
\end{equation}
\tag{32}
$$
Теперь заметим, что функция удовлетворяет задаче
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varepsilon_0\frac{\partial g_1(x,t)}{\partial t}-\Delta g_1(x,t)-f_1(x)g_1(x,t)=0\quad\text{для}\quad (x,t)\in D_T\cup B_T, \\ g_1(x,t)=0\quad\text{для}\quad (x,t)\in S_T, \\ g_1(x,0)=-\frac{2\pi\gamma^2}{\varepsilon}\psi_0(x)\exp\biggl(\frac{\gamma}{2}\phi_0(x)\biggr)\quad\text{для}\quad x\in\overline{\Omega}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Введем новую функцию Тогда для новой функции $g_2(x,t)$ получим следующую задачу:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varepsilon_0\frac{\partial g_2(x,t)}{\partial t}-\Delta g_2(x,t)+[c_1-f_1(x)]g_2(x,t)=0\quad\text{для}\quad (x,t)\in D_T\cup B_T, \\ g_2(x,t)=0\quad\text{для}\quad (x,t)\in S_T, \\ g_2(x,0)=-\frac{2\pi\gamma^2}{\varepsilon}\psi_0(x)\exp\biggl(\frac{\gamma}{2}\phi_0(x)\biggr)\quad\text{для}\quad x\in\overline{\Omega}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу принципа максимума модуля получим
$$
\begin{equation}
|g_2(x,t)|\leqslant\frac{2\pi\gamma^2}{\varepsilon}\max_{x\in\overline{\Omega}} \biggl|\psi_0(x)\exp\biggl(\frac{\gamma}{2}\phi_0(x)\biggr)\biggr|.
\end{equation}
\tag{35}
$$
Из (33)–(35) получим, что справедливо неравенство
$$
\begin{equation}
\frac{\gamma}{2}\biggl|\frac{\partial\phi(x,t)}{\partial t}\biggr|g(x,t)\leqslant M_2 e^{c_1 T/\varepsilon_0},
\end{equation}
\tag{36}
$$
где постоянная $M_2\geqslant 0$ определена как
$$
\begin{equation}
M_2:=\frac{2\pi\gamma^2}{\varepsilon}\max_{x\in\overline{\Omega}} \biggl|\psi_0(x)\exp\biggl(\frac{\gamma}{2}\phi_0(x)\biggr)\biggr|<+\infty.
\end{equation}
\tag{37}
$$
Таким образом, доказана следующая основная Теорема 6. Если $\sigma=0$ и $\phi_0(x),\psi_0(x)\in{C}^{2+\alpha}(\overline{\Omega})$, причем выполнены условия $\phi_0(x)=0=\psi_0(x)$ для всех $x\in\Gamma$, то существует единственное глобальное во времени классическое решение задачи (10)–(12), причем для любого $T>0$ справедливы следующие оценки: Доказательство. Доказательство основано на оценках (36) и (29), (31), из которых и из теоремы 5 в силу равенства (20) вытекает, что $T_0=+\infty$. Замечание 1. Отметим, что в работе [5] получен результат о разрушении за конечное время близкой системы уравнений при условии, что проводимость $\sigma>0$ и достаточно велика. Из оценок (38) и (39) вытекает, что если $\sigma=0$, то при $\psi_0(x)\equiv 0$ единственным классическим решением задачи (10)–(12) будет решение Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KorPerTym23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|