| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Классические Д. В. Артамонов Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923070012 
Реферативные базы данных:
   1. Введение1.1. Коэффициенты РакаКоэффициенты Рака для алгебры Ли $g$ определяются следующим образом. Рассмотрим неприводимые представления $V^1$, $V^2$, $V^3$ данной алгебры и их тензорное произведение $V^1\otimes V^2\otimes V^3$. Скобки в данном произведении могут быть расставлены двумя способами: как
$$
\begin{equation*}
(V^1\otimes V^2)\otimes V^3\quad\text{или}\quad V^1\otimes (V^2\otimes V^3).
\end{equation*}
\notag
$$
Соответственно произведение $V^1\otimes V^2\otimes V^3$ в сумму неприводимых представлений можно разлагать двумя способами. 1. Сначала разлагаем произведение $V^1\otimes V^2$:
$$
\begin{equation}
V^1\otimes V^2=\bigoplus_U \operatorname{Mult} _U^{V^1,V^2}\mathrel{\otimes}U,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $U$ – неприводимое представление, а $ \operatorname{Mult} _U^{V^1,V^2}$ – пространство кратности. Это векторное пространство, не снабженное действием алгебры $g$. Умножая тензорно равенство (1) на $V^3$ справа, получаем
$$
\begin{equation}
(V^1\otimes V^2)\otimes V^3=\bigoplus_{U,W} \operatorname{Mult} _U^{V^1,V^2}\otimes \operatorname{Mult} _W^{U,V^3}\mathrel{\otimes}W.
\end{equation}
\tag{2}
$$
2. Сначала разлагаем произведение $V^2\otimes V^3$ как
$$
\begin{equation}
V^2\otimes V^3=\bigoplus_U \operatorname{Mult} _{H}^{V^2,V^3}\mathrel{\otimes}H
\end{equation}
\tag{3}
$$
и далее получаем
$$
\begin{equation}
V^1\otimes (V^2\otimes V^3)=\bigoplus_{U,W} \operatorname{Mult} _{H}^{V^2,V^3}\otimes \operatorname{Mult} _W^{V^1,H}\mathrel{\otimes}W.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Имеется изоморфизм $\Phi\colon(V^1\otimes V^2)\otimes V^3\to V^1\otimes (V^2\otimes V^3)$, который дает отображение
$$
\begin{equation}
\Phi\colon\;\bigoplus_{U,W} \operatorname{Mult} _U^{V^1,V^2}\otimes \operatorname{Mult} _W^{U,V^3}\to\bigoplus_{U,W} \operatorname{Mult} _{H}^{V^2,V^3}\otimes \operatorname{Mult} _W^{V^1,H}.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Определение 1. Отображение Рака – это отображение, индуцированное изоморфизмом $\Phi$: После выбора базиса в пространствах кратности появляются матричные элементы отображения Рака. Они называются коэффициентами Рака. Если $s$ – индекс, перечисляющий базисные векторы в пространстве кратности, то для коэффициентов Рака используется обозначение где $s_1$, $s_2$, $s_3$, $s_4$ – индексы базисных векторов в $ \operatorname{Mult} _U^{V^1,V^2}$, $ \operatorname{Mult} _W^{U,V^3}$, $ \operatorname{Mult} _P^{V^2,V^3}$, $ \operatorname{Mult} _W^{V^1,H}$ соответственно. Из этого определения понятно значение коэффициентов Рака с точки зрения теории представлений. Рассмотрим категорию конечномерных представлений и перейдем к ее кольцу Гротендика. Фактически это означает переход от категории представлений к кольцу их характеров. При этом переходе теряется часть информации о категории представлений, например информация, заключенная в коэффициентах Рака [1]. В некоторых случаях категорию представлений можно восстановить по кольцу Гротендика и коэффициентам Рака. Коэффициенты Рака применяются в квантовой механике. Они были введены Рака в работе [2]. В случае алгебры $g=\mathfrak{sl}_2$ эти коэффициенты обсуждаются во всех учебниках по квантовой механике (см., например, [3], [4]) и учебниках по теории углового момента (см., например, [5], [6]). Для конечномерных неприводимых представлений алгебры $\mathfrak{sl}_2$ имеются явные формулы для коэффициентов Рака, в которых они выражаются как значения гипергеометрических функций [7]. При этом задача вычисления коэффициентов Рака для бесконечномерных представлений алгебры $\mathfrak{sl}_2$ остается до сих пор актуальной [8], [9]. Коэффициенты Рака для $\mathfrak{sl}_3$ также представляют интерес [10], [11]. Общая формула для $6j$-символа в случае алгебры $\mathfrak{sl}_3$ неизвестна (см. введение к диссертации [12]). На сегодняшний день явные формулы получены только для некоторых классов представлений [13]–[16]. Отметим также работы [17], [18], где найдены некоторые классы коэффициентов Рака, и этот результат играет важную техническую роль в вычислении некоторых коэффициентов Клебша–Гордана для алгебры $\mathfrak{gl}_3$. Также следует отметить, что в настоящее время даже большее внимание уделяется квантовым коэффициентам Рака, т. е. коэффициентам Рака для квантовых алгебр Ли. Привести полный обзор этой деятельности не представляется возможным, упомянем лишь недавние работы [19], [20], где рассматривались коэффициенты Рака для алгебр, отличных от $U_q(\mathfrak{sl}_2)$. 1.2. $6j$-СимволыДанные коэффициенты были введены Вигнером1 даже ранее, чем коэффициенты Рака. Для их определения сначала введем $3j$-символы. Пусть $V^1$, $V^2$, $V^3$ – представления алгебры $g$ и $\{v^1_\alpha\}$, $\{v^2_\beta\}$, $\{v^3_\gamma\}$ – базисы в этих представлениях. Определение 2. $3j$-Символ – это набор числовых коэффициентов такой что где $f$ – семиинвариант для действия алгебры $\mathfrak{gl}_3$, т. е. $f$ является собственным вектором для картановской подалгебры и обращается в нуль при действии корневыми элементами. Легко заметить связь $3j$-символов с коэффициентами Клебша–Гордана. Возьмем разложение (1), введем в пространстве кратности базис $\{e_s\}$ и положим $U^s:=e_s\otimes U$, тогда (1) можно написать так: $V^1\otimes V^2=\bigoplus_{s,U}U^s$. Выбрав базисы $\{v^1_\alpha\}$, $\{v^2_\beta\}$, $\{u^s_\gamma\}$ в этих пространствах, получаем
$$
\begin{equation}
u_\gamma^s=\sum_{\alpha,\beta} D^{U,\gamma,s}_{V^1,V^2;\alpha,\beta}\,v_\alpha^1\otimes v_\beta^2.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Коэффициент $D^{U,\gamma,s}_{V^1,V^2;\alpha,\beta}\in\mathbb{C}$ называется коэффициентом Клебша–Гордана, он связан с $3j$-символом соотношением
$$
\begin{equation*}
D^{U,\gamma,s}_{V^1,V^2;\alpha,\beta}=\begin{pmatrix} V^1 & V^2 & \kern1.5pt\overline{\vphantom{U}\kern5.6pt}\kern-7.1pt U \\ v^1_\alpha & v^2_\beta & \bar u_\gamma \end{pmatrix}^{\!s},
\end{equation*}
\notag
$$
где $ \kern1.5pt\overline{\vphantom{U}\kern5.6pt}\kern-7.1pt U $ и $\bar u_\gamma$ – контраградиентное представление и двойственный базис в нем. Введение индекса $s$ у $3j$-символов несет следующую информацию. Пространство $3j$-символов с заданными внутренними индексами изоморфно пространству кратности. Поэтому, фиксируя базис в пространстве кратности, мы фиксируем базисные $3j$-символы. Определение 3. $6j$-Символом называется результат спаривания $3j$-символов по правилу Теперь запишем связь коэффициентов Рака и $6j$-символов:
$$
\begin{equation*}
W\begin{Bmatrix} V^1 & V^2 & U \\ V^3 & W & H \end{Bmatrix}^{\!\bar s_1,\bar s_2}_{s_3,s_4}= \begin{Bmatrix} V^1 & V^2 & U \\ V^3 & W & H \end{Bmatrix}^{\!s_1,s_2}_{s_3,s_4}.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом выражении мы используем тот факт, что имеет место двойственность между пространствами $ \operatorname{Mult} ^{V^1,V^2}_U$ и $ \operatorname{Mult} ^{\bar V^1,\bar V^2}_{\bar U}$. При этом если $s$ – индекс базисного вектора в $ \operatorname{Mult} ^{V^1,V^2}_U$, то $\bar s$ – индекс двойственного базиса в $ \operatorname{Mult} ^{\bar V^1,\bar V^2}_{\bar U}$. Далее мы будем иметь дело с $6j$-символами. 1.3. Результаты настоящей работыМы получаем простую явную формулу для произвольного $6j$-символа конечномерных неприводимых представлений алгебры $\mathfrak{gl}_3$. Это удается сделать благодаря использованию следующих идей. Во-первых, используется так называемая реализация А-ГКЗ представления алгебры $\mathfrak{gl}_3$, подробно описанная в [21]. Пространство представления реализуется как подпространство в пространстве полиномов от переменных $A_X$, $X\subset\{1,2,3\}$, антисимметричных по $X$, но не подчиняющимся каким-либо другим соотношениям. Пространство представления описывается как пространство полиномиальных решений некоторого уравнения в частных производных, называемого антисимметризованным уравнением Гельфанда–Капранова–Зелевинского (уравнением А-ГКЗ). В данной реализации удается найти в явном виде функции от переменных $A_X$, соответствующие базисным векторам Гельфанда–Цетлина (см. оригинальную работу [22], а также [21]). Важно, что в данной модели имеется записывающееся явно скалярное произведение. Во-вторых, используется построенный в [23] индекс кратности $s$ для коэффициентов Клебша–Гордана и $3j$-символов. В-третьих, используется полученная в [21] явная и простая формула для произвольного $3j$-символа конечномерных неприводимых представлений2. Эти обстоятельства позволяют найти простую формулу для произвольного $6j$-символа конечномерных неприводимых представлений, выражающуюся через значения функции гипергеометрического типа. Структура настоящей работы такова. Во вводном разделе 2 описывается представление А-ГКЗ и функциональные реализации представлений алгебры $\mathfrak{gl}_3$, а также приведены решение проблемы кратности для задачи разложения тензорного произведения $\mathfrak{gl}_3$ в сумму неприводимых представлений и формула для $3j$-символа через скалярные произведения. В основном разделе 3 вычисляется произвольный $6j$-символ для алгебры $\mathfrak{gl}_3$. Прежде всего в п. 3.1 для него приведена неявная формула через скалярное произведение (лемма 1), затем в п. 3.2 доказаны правила отбора для $6j$-символа (теорема 3). Наконец, в п. 3.3 получена явная формула для $6j$-символа (теорема 4). 2. Основные понятия2.1. $A$-гипергеометрические функцииПодробную информацию о $\Gamma$-ряде можно найти в работе [24]. Пусть $B\subset\mathbb{Z}^N$ – решетка, $\mu\in\mathbb{Z}^N$ – фиксированный вектор. Определим гипергеометрический $\Gamma$-ряд от переменных $z_1,\ldots,z_N$ формулой
$$
\begin{equation}
\mathcal F_\mu(z,B)=\sum_{b\in B}\frac{z^{b+\mu}}{\Gamma(b+\mu+1)},
\end{equation}
\tag{10}
$$
где $z=(z_1,\ldots,z_N)$, в числителе и знаменателе используются мультииндексные обозначения
$$
\begin{equation*}
z^{b+\mu}:=\prod_{i=1}^N z_i^{b_i+\mu_i},\qquad\Gamma(b+\mu+1):=\prod_{i=1}^N\Gamma(b_i+\mu_i+1).
\end{equation*}
\notag
$$
Замечание 1. Более компактная запись для ряда (10) такова: Заметим, что если хотя бы одна из компонент вектора $b+\mu$ целая отрицательная, то соответствующее слагаемое в (10) обращается в ноль. Благодаря этому рассматриваемые в работе ряды будет содержать только конечное число членов. Для простоты мы будем писать факториалы вместо $\Gamma$-функций. $\Gamma$-ряд удовлетворяет системе ГКЗ. Выпишем ее явно в случае, когда
$$
\begin{equation*}
z=(z_3,z_1,z_2,z_{1,3},z_{2,3},z_{1,2}),\qquad B=\mathbb{Z}\langle v=e_1-e_2-e_{1,3}+e_{2,3}\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Имеем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \biggl(\frac{\partial^2}{\partial z_1\,\partial z_{2,3}}-\frac{\partial^2}{\partial z_2\,\partial z_{1,3}}\biggr)\mathcal F_\mu(z,B)=0, \\ \begin{aligned} \, \biggl(z_1\frac{\partial}{\partial z_1}+z_2\frac{\partial}{\partial z_2}\biggr)\mathcal F_\mu(z,B)&=(\mu_1+\mu_2)\mathcal F_\mu(z,B), \\ \biggl(z_1\frac{\partial}{\partial z_1}+z_{1,3}\frac{\partial}{\partial z_{1,3}}\biggr)\mathcal F_\mu(z,B)&=(\mu_1+\mu_{1,3})\mathcal F_\mu(z,B), \\ \biggl(z_1\frac{\partial}{\partial z_1}-z_{2,3}\frac{\partial}{\partial z_{2,3}}\biggr)\mathcal F_\mu(z,B)&=(\mu_1-\mu_{2,3})\mathcal F_\mu(z,B), \end{aligned} \\ z_3\frac{\partial}{\partial z_3}\mathcal F_\mu(z,B)=\mu_3\mathcal F_\mu(z,B),\qquad z_{1,2}\frac{\partial}{\partial z_{1,2}}\mathcal F_\mu(z,B)=\mu_{1,2}\mathcal F_\mu(z,B). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{11}
$$
2.2. Реализация А-ГКЗ представления алгебры $\mathfrak{gl}_3$Всюду далее в работе речь пойдет о конечномерных неприводимых представлениях. Подробности можно найти в [21]. Рассмотрим переменные $A_X$, где $X\subset\{1,2,3\}$ – собственное подмножество, антисимметричные по $X$, но другим соотношениям не подчиняющиеся. На этих переменных имеется действие алгебры $\mathfrak{gl}_3$, определяемое по правилу
$$
\begin{equation}
E_{i,j}A_X=\begin{cases} A_{X|_{j\mapsto i}}, & \text{если}\;\,j\in X, \\ 0 & \text{в прочих случаях}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{12}
$$
Здесь $X|_{j\mapsto i}$ обозначает процедуру замены индекса $j$ на $i$. Рассмотрим уравнение А-ГКЗ
$$
\begin{equation}
\biggl(\frac{\partial^2}{\partial A_1\,\partial A_{2,3}}-\frac{\partial^2}{\partial A_2\,\partial A_{1,3}}+ \frac{\partial^2}{\partial A_3\,\partial A_{1,2}}\biggr)F=0.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Замечание 2. Термин А-ГКЗ объясняется так. Рассмотрим систему (11), оставим в ней только первое уравнение и “антисимметризуем” его, добавив третий член. Получающееся уравнение и есть уравнение А-ГКЗ. Имеет место следующее утверждение [21]. Теорема 1. Пространство полиномиальных решений уравнения (13) инвариантно под действием алгебры $\mathfrak{gl}_3$. Как представление пространство полиномиальных решений есть прямая сумма с кратностью $1$ всех конечномерных неприводимых представлений с $m_3=0$. Пространство неприводимого представления со старшим весом $[m_1,m_2,0]$ имеет старший вектор $A_1^{m_1-m_2}A_{1,2}^{m_2}$ и состоит из всех полиномиальных решений, у которых однородная степень по переменным $A_X$ с $|X|=1$ равна $m_1-m_2$, а однородная степень по переменным $A_X$ с $|X|=2$ равна $m_2$. Укажем базис в пространстве полиномиальных решений. Для этого рассмотрим пространство $\mathbb{C}^6$ с координатами $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_{1,2}$, $A_{1,3}$, $A_{2,3}$ и определим векторы
$$
\begin{equation}
v=e_1-e_2-e_{1,3}+e_{2,3},\qquad r=e_3+e_{1,2}-e_1-e_{2,3}.
\end{equation}
\tag{14}
$$
Теперь рассмотрим $\Gamma$-ряд, связанный с решеткой $B=\mathbb{Z}\langle v\rangle$ и вектором $\mu\in\mathbb{Z}^6$:
$$
\begin{equation}
\mathcal F_\mu(A,B):=\sum_{t\in\mathbb{Z}}\frac{A^{\mu+tv}}{(\mu+tv)!}.
\end{equation}
\tag{15}
$$
Здесь мы использовали мультииндексное обозначение
$$
\begin{equation*}
A^{\mu+tv}=\prod_X A_X^{\mu_X+tv_X},\qquad (\mu+tv)!=\prod_X (\mu_X+tv_X)!\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда (см. необходимые вычисления в [23], [25] или [21]) базис в пространстве полиномиальных решений образуют ненулевые функции
$$
\begin{equation}
F_\mu(A):=\sum_{s\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}} q^\mu_s \zeta_A^{s}\mathcal F_{\mu-sr}(A),
\end{equation}
\tag{16}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, t_0=1, \qquad t^\mu_s=\frac{1}{s(s+1)+s(\mu_1+\mu_2+\mu_{1,3}+\mu_{2,3})}\;\;\text{при}\;\;s>0, \\ q_\mu^s=\frac{t_s^\mu}{\sum_{s'\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}} t_{s'}^\mu}, \\ r=e_3+e_{1,2}-e_1-e_{2,3},\qquad \zeta_A=A_1A_{2,3}-A_2A_{1,3}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{17}
$$
Заметим, что функция $F_\mu(A)$ фактически зависит не от вектора $\mu$, а от сдвинутой решетки $\Pi=\mu+\mathbb{Z}\langle v\rangle$. Если данная функция ненулевая, то она есть не что иное, как базисный вектор Гельфанда–Цетлина. А именно, диаграмме Гельфанда–Цетлина
$$
\begin{equation*}
(m_{p,q})=\begin{pmatrix} m_{1,3} & & m_{2,3} & & m_{3,3} \\ & m_{1,2} & & m_{2,2} \\ & & m_{1,1} \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
соответствует такая функция $F_\mu(A)$, что сдвинутая решетка $\Pi=\mu+\mathbb{Z}\langle v\rangle$ задается уравнениями
$$
\begin{equation}
\delta\in\Pi\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} \delta_1+\delta_2+\delta_3+\delta_{1,2}+\delta_{1,3}+\delta_{2,3}=m_{1,3}, \\ \delta_{1,2}+\delta_{1,3}+\delta_{2,3}=m_{2,3}, \\ \delta_1+\delta_2+\delta_{1,2}+\delta_{1,3}+\delta_{2,3}=m_{1,2}, \\ \delta_{1,2}=m_{2,2}, \\ \delta_1+\delta_{1,2}+\delta_{1,3}=m_{1,1}, \end{cases}
\end{equation}
\tag{18}
$$
причем такое соответствие между диаграммами Гельфанда–Цетлина и ненулевыми функциями $F_\mu(A)$ взаимно однозначно. Важно, что в реализации А-ГКЗ имеется записываемое в явном виде инвариантное скалярное произведение
$$
\begin{equation}
\langle f(A),g(A)\rangle=f\biggl(\frac{\partial}{\partial A}\biggr)g(A)\big|_{A=0}.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Также заметим, что если представление $V$ реализовано в пространстве полиномов от переменных $A_X$, т. е. $V=\{h(A)\}$, то контраградиентное представление реализуется в пространстве полиномов от операторов $\partial/\partial A_X$, на которых имеется действие алгебры $\mathfrak{gl}_3$, порожденное действием на функциях от $A_X$. При этом
$$
\begin{equation*}
\kern1.3pt\overline{\vphantom{V}\kern6pt}\kern-7.3pt V =\biggl\{h\biggl(\frac{\partial}{\partial A_X}\biggl)\colon\,h(A)\in V\biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Спаривание задается формулой, аналогичной (19):
$$
\begin{equation}
\biggl\{h_1(A),h_2\biggr(\frac{\partial}{\partial A_X}\biggr)\biggr\}=h_2\biggl(\frac{\partial}{\partial A_X}\biggr)h_1(A)\big|_{A=0}.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Так как базис $F_\mu(A)$ есть базис Гельфанда–Цетлина, который является ортогональным, двойственным базисом к $F_\mu(A)$ будет базис $\frac{1}{|F_\mu|^2}F_\mu\bigl(\frac{\partial}{\partial A}\bigr)$. 2.3. Функциональная реализацияНам понадобится еще одна реализация, подробности о ней можно найти в [26]. Функции на группе $GL_3$ образуют представление группы $GL_3$. На функцию $f(g)$, $g\in GL_3$, элемент группы $X\in GL_3$ действует с помощью правых сдвигов по правилу Переходя к инфинитезимальному действию, получаем, что на пространстве всех функций на $GL_3$ имеется действие алгебры $\mathfrak{gl}_3$.Любое конечномерное неприводимое представление может быть реализовано как подпредставление в пространстве функций. А именно, если $[m_1,m_2,m_3]$ – старший вес, то в пространстве всех функций имеется старший вектор с таким весом, который явно записывается следующим образом. Пусть $a_i^j$, $i,j=1,2,3$, – функция матричного элемента на группе $GL_3$. Здесь $j$ – номер строки, а $i$ – номер столбца. Кроме того, положим
$$
\begin{equation}
a_{i_1,\ldots,i_k}:=\det(a_i^j)_{i=i_1,\ldots,i_k}^{j=1,\ldots,k},
\end{equation}
\tag{22}
$$
где берется определитель подматрицы в матрице $(a_i^j)$, образованный строками с номерами $1,\ldots,k$ и столбцами с номерами $i_1,\ldots,i_k$. Оператор $E_{i,j}$ действует на определитель путем действия на индексы столбцов по формуле, аналогичной (12):
$$
\begin{equation}
E_{i,j}a_X=\begin{cases} a_{X|_{j\mapsto i}}, & \text{если}\;\, j\in X, \\ \;\;0 & \text{в прочих случаях}.\end{cases}
\end{equation}
\tag{23}
$$
Имеется отображение из реализации А-ГКЗ в функциональную, состоящее в замене Принципиальное отличие данной реализации от реализации А-ГКЗ состоит в том, что определители $a_x$ подчиняются соотношению Плюккера а переменные $A_X$ независимы. С одной стороны, это упрощает описание пространства представления. Так, имеет место теорема (ср. с теоремой 1).Теорема 2. Пространство неприводимого представления, старший вес которого равен $[m_1,m_2,0]$, а старший вектор есть $a_1^{m_1-m_2}a_{1,2}^{m_2}$, состоит из всех полиномов, у которых однородная степень по переменным $a_X$ с $|X|=1$ равна $m_1-m_2$, а однородная степень по переменным $a_X$ с $|X|=2$ равна $m_2$. C другой стороны, при этом усложняются многие вычисления. Так, формула для инвариантного скалярного произведения (19) неверна, если механически заменить $A_X$ на $a_X$. Тем не менее имеет место следующий результат: при подстановке (24) функция $F_\mu(A)$ переходит в $\mathcal F_\mu(a,B)$, так что $\mathcal F_\mu(a,B)$ есть вектор базиса Гельфанда–Цетлина в функциональной реализации. 2.4. Решение проблемы кратности для $3j$-символовПостроим в явном виде индекс кратности $s$ для $3j$-символов. Тройное тензорное произведение может быть реализовано в пространстве функций на $GL_3\times GL_3\times GL_3$. Функции матричных элементов на этих экземплярах $GL_3$ будем обозначать как $a_i^j$, $b_i^j$, $c_i^j$. Соответствующими буквами будем обозначать определители матриц, составленных из этих матричных элементов. Построим в явном виде некоторые семиинвариантные векторы $f$. Легко понять, что семиинвариантным является вектор вида
$$
\begin{equation}
f=\frac{(abc)^{\tau_1}(aac)^{\tau_2}(acc)^{\tau_3}(aab)^{\tau_4}(abb)^{\tau_5}(bbc)^{\tau_6}(bcc)^{\tau_7}(aabbcc)^{\tau_8}} {\tau_1!\,\tau_2!\,\tau_3!\,\tau_4!\,\tau_5!\,\tau_6!\,\tau_7!\,\tau_8!},
\end{equation}
\tag{26}
$$
где
$$
\begin{equation*}
(abc)=\det\begin{pmatrix} a_1^1 & a_2^1 & a_3^1 \\ b_1^1 & b_2^1 & b_3^1 \\ c_1^1 & c_2^1 & c_3^1 \end{pmatrix},\qquad (aac)=\det\begin{pmatrix} a_1^1 & a_2^1 & a_3^1 \\ a_1^2 & a_2^2 & a_3^2 \\ c_1^1 & c_2^1 & c_3^1 \end{pmatrix}\qquad \text{и т. д.}
\end{equation*}
\tag{27}
$$
Здесь
$$
\begin{equation*}
(aabbcc):=(\tilde a\tilde b\tilde c),\qquad \tilde a_1^1:=a_{2,3},\quad \tilde a_2^1:=-a_{1,3},\quad \tilde a_3^1:=a_{1,2}
\end{equation*}
\notag
$$
и $\tilde b_i^1$, $\tilde c_i^1$ определяются аналогично. При этом $f$ лежит в тензорном произведении $V^1\otimes V^2\otimes V^3$ представлений со старшими весами $[m_1,m_2,0]$, $[m'_1,m'_2,0]$, $[M_1,M_2,0]$, если и только если выполнены условия
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} m_1&=\tau_1+\tau_2+\tau_3+\tau_4+\tau_5+\tau_8,&\qquad m_2&=\tau_2+\tau_4+\tau_8, \\ m'_1&=\tau_1+\tau_4+\tau_5+\tau_6+\tau_7+\tau_8,&\qquad m'_2&=\tau_5+\tau_6+\tau_8, \\ M_1&=\tau_1+\tau_2+\tau_3+\tau_6+\tau_7+\tau_8,&\qquad M_2&=\tau_3+\tau_7+\tau_8. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{28}
$$
Предложение 1 (см. предложение 2 в [23]). В пространстве $3j$-символов с одинаковыми внутренними индексами имеется набор порождающих, состоящий из $3j$-символов, индексированных семиинвариантными функциями $f$ вида (26); эти $3j$-символы согласованы со старшими весами в верхней строке $3j$-символа по правилу (28). Чтобы получить базис, необходимо оставить функции $f$, в которых либо $\tau_1=0$, либо $\tau_8=0$. 2.5. Выражение для $3j$-символовБудем выбирать в представлениях базисы типа $F_\mu(A)$, но, чтобы согласовать обозначения с (9), будем использовать индекс $\alpha_i$ для перечисления базисных векторов. Таким образом, в качестве $v^1_{\alpha_1}$ выберем $F_{\alpha_1}(A^1)$, в качестве $v^2_{\alpha_2}$ выберем $F_{\alpha_2}(A^2)$ и т. д. Также будем использовать функцию, задающую семиинвариант, как индекс кратности у $3j$-символа. Вычисления в настоящей работе основаны на формуле для $3j$-символов в базисе $F_\alpha$, полученной в работе [21]. Пусть $G$ – семиинвариант в $V^1\otimes V^2\otimes V^3$ в реализации А-ГКЗ и
$$
\begin{equation*}
G(A,B,C)=\sum_{\alpha'_1,\alpha'_2,\alpha'_3}c_{\alpha'_1,\alpha'_2,\alpha'_3}F_{\alpha'_1}(A)\otimes F_{\alpha'_2}(B)\otimes F_{\alpha'_3}(C),
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
c_{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3}= \begin{pmatrix} V^1 & V^2 & V^3 \\ F_{\alpha_1} & F_{\alpha_2} & F_{\alpha_3} \end{pmatrix}^{\!G}.
\end{equation*}
\notag
$$
Векторы $F_\alpha$ ортогональны, так как они являются векторами базиса Гельфанда–Цетлина, поэтому
$$
\begin{equation*}
c_{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3}= \frac{\langle G(A,B,C),F_{\alpha_1}(A)F_{\alpha_2}(B)F_{\alpha_3}(C)\rangle}{|F_{\alpha_1}(A)|^2|F_{\alpha_2}(B)|^2|F_{\alpha_3}(C)|^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Также заметим следующее. Пусть семиинвариант $G$ в реализации А-ГКЗ соответствует семиинварианту $f$ в функциональной реализации, задаваемому функцией (26). Тогда где $r(A,B,C)$ лежит в идеале соотношений между определителями $a_X$, $b_X$, $c_X$. Этот идеал порождается соотношениями (25), а также аналогичными соотношениями для $b_X$, $c_X$. Тогда
$$
\begin{equation*}
\langle r(A,B,C),F_{\alpha_1}(A)F_{\alpha_2}(B)F_{\alpha_3}(C)\rangle=0,
\end{equation*}
\notag
$$
так как $F_{\alpha_1}(A)$, $ F_{\alpha_2}(B)$, $ F_{\alpha_3}(C)$ – решения уравнений А-ГКЗ (13), а скалярное произведение задается формулой (19). Значит, $3j$-символ вычисляется как
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix} V^1 & V^2 & V^3 \\ F_{\alpha_1} & F_{\alpha_2} & F_{\alpha_3} \end{pmatrix}^{\!f}= \frac{\langle f(A,B,C),F_{\alpha_1}(A)F_{\alpha_2}(B)F_{\alpha_3}(C)\rangle}{|F_{\alpha_1}(A)|^2|F_{\alpha_2}(B)|^2|F_{\alpha_3}(C)|^2}.
\end{equation}
\tag{29}
$$
3. $6{j}$-символыПриступим к вычислению $6j$-символа (9). Сначала приведем выражение для него в терминах скалярных произведений, а затем выпишем явную формулу через значение функции гипергеометрического типа, в аргументы которой подставлены $\pm 1$. 3.1. Выражение через скалярные произведенияНайдем выражение для $6j$-символа (9). Пусть индексы кратности $s_1,\ldots,s_4$ в (9) соответствуют функциям $f_1,\ldots,f_4$. Нам необходимо вычислить $3j$-символ для контраградиентного представления и двойственного базиса. При реализации контраградиентного представления, описанной в конце п. 2.3, двойственным для $F_{\alpha_i}(A^i)$ является базис $\frac{1}{|F_{\alpha_i}|^2}F_{\alpha_i}(\frac{\partial}{\partial A^i})$. Заметим, что $3j$-символ вида
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \kern1.3pt\overline{\vphantom{V}\kern6pt}\kern-7.3pt V ^1 & \kern1.3pt\overline{\vphantom{V}\kern6pt}\kern-7.3pt V ^2 & U \\ F_{\alpha_1}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^1}\bigr) & F_{\alpha_2}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^2}\bigr) & F_{\alpha_4}(A^4) \end{pmatrix}^{\!f}
\end{equation*}
\notag
$$
можно вычислить так:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\begin{pmatrix} \kern1.3pt\overline{\vphantom{V}\kern6pt}\kern-7.3pt V ^1 & \kern1.3pt\overline{\vphantom{V}\kern6pt}\kern-7.3pt V ^2 & U \\ F_{\alpha_1}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^1}\bigr) & F_{\alpha_2}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^2}\bigr) & F_{\alpha_4}(A^4) \end{pmatrix}^{\!f}= \notag\\ &\kern60pt = \frac{\bigl\langle f\bigl(\frac{\partial}{\partial A^1},\frac{\partial}{\partial A^2},A^4\bigr), F_{\alpha_1}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^1}\bigr) F_{\alpha_2}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^2}\bigr) F_{\alpha_4}(A^4)\bigr\rangle} {\big|F_{\alpha_1}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^1}\bigr)\big|^2 \big|F_{\alpha_2}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^2}\bigr)\big|^2 \big|F_{\alpha_4}(A^4)\big|^2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{30}
$$
Скалярное произведение в тех случаях, когда аргументом функции является не переменная, а оператор дифференцирования, вычисляется по формуле, аналогичной (19). Как следствие этой явной формулы имеем
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, \biggl\langle f\biggl(\frac{\partial}{\partial A^1},\frac{\partial}{\partial A^2},A^4\biggr),&\, F_{\alpha_1}\biggl(\frac{\partial}{\partial A^1}\biggr) F_{\alpha_2}\biggl(\frac{\partial}{\partial A^2}\biggr) F_{\alpha_4}(A^4)\biggl\rangle\,= \\ &=\langle f( A^1, A^2,A^4),F_{\alpha_1}(A^1) F_{\alpha_2}(A^2) F_{\alpha_4}(A^4)\rangle, \end{aligned}\\ |F_{\alpha_1}(A^1)|^2=\bigg|F_{\alpha_1}\biggl(\frac{\partial}{\partial A^1}\biggr)\bigg|^2. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{31}
$$
Базисы $F_{\alpha_1}(A^1)$ и $F_{\alpha_1}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^1}\bigr)$ и т. п. не являются двойственными, двойственным к базису $F_{\alpha_1}(A^1)$ является $\frac{1}{|F_{\alpha_1}|^2}F_{\alpha_1}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^1}\bigr)$. В результате $6j$-символ выражается через рассмотренные $3j$-символы (30) следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \begin{Bmatrix} V^1 & V^2 & U \\ V^3 & W & H \end{Bmatrix}^{f_1,f_2}_{f_3,f_4}:= \sum_{\alpha_1,\ldots,\alpha_6}& \begin{pmatrix} \kern1.3pt\overline{\vphantom{V}\kern6pt}\kern-7.3pt V ^1 & \kern1.3pt\overline{\vphantom{V}\kern6pt}\kern-7.3pt V ^2 & U \\ F_{\alpha_1}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^1}\bigr) & F_{\alpha_2}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^2}\bigr) & F_{\alpha_4}(A^4) \end{pmatrix}^{\!f_1}\times{} \notag\\ &\times\begin{pmatrix} \kern1.5pt\overline{\vphantom{U}\kern5.6pt}\kern-7.1pt U & \kern1.3pt\overline{\vphantom{V}\kern6pt}\kern-7.3pt V ^3 & W \\ F_{\alpha_4}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^4}\bigr) & F_{\alpha_3}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^3}\bigr) & F_{\alpha_4}(A^5) \end{pmatrix}^{\!f_2}\times{} \notag\\ &\times\begin{pmatrix} V^2 & V^3 & \kern1.9pt\overline{\vphantom{H}\kern6.2pt}\kern-8.1pt H \\ F_{\alpha_2}(A^2) & F_{\alpha_3}(A^3) & F_{\alpha_6}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^6}\bigr) \end{pmatrix}^{\!f_3}\times{} \notag\\ &\times \begin{pmatrix} V^1 & H & \kern0.5pt\overline{\vphantom{W}\kern10pt}\kern-10.5pt W \\ F_{\alpha_1}(A^1) & F_{\alpha_6}(A^6) & F_{\alpha_5}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^5}\bigr) \end{pmatrix}^{f_4}\times{} \notag\\ &\times |F_{\alpha_1}|^2\ldots|F_{\alpha_6}|^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{32}
$$
Подставим выражения (30) в (32) с учетом (31). При этом стоящие в конце (32) выражения $|F_{\alpha_i}|^2$ напишем в виде $F_{\alpha_i}\bigl(\frac{\partial}{\partial A^i}\bigr)F_{\alpha_i}(A^i)\mid_{A=0}$. После перестановки членов получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\begin{Bmatrix} V^1 & V^2 & U \\ V^3 & W & H \end{Bmatrix}^{f_1,f_2}_{f_3,f_4}= \\ &\qquad\qquad =\sum_{\alpha_1,\ldots,\alpha_6} \frac{\langle f_1,F_{\alpha_1}F_{\alpha_2}F_{\alpha_4}\rangle}{|F_{\alpha_1}|^2 |F_{\alpha_2}|^2 |F_{\alpha_4}|^2} F_{\alpha_1}\biggl(\frac{\partial}{\partial A^1}\biggr) F_{\alpha_2}\biggl(\frac{\partial}{\partial A^2}\biggr)F_{\alpha^4}(A^4)\times{} \\ &\kern78pt\times\frac{\langle f_2,F_{\alpha_4}F_{\alpha_3}F_{\alpha_5}\rangle}{|F_{\alpha_4}|^2|F_{\alpha_3}|^2 |F_{\alpha_5}|^2} F_{\alpha_4}\biggl(\frac{\partial}{\partial A^4}\biggr) F_{\alpha_3}\biggl(\frac{\partial}{\partial A^3}\biggr)F_{\alpha_5}(A^5)\ldots\bigg|_{A^1=\cdots=A^6=0}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь запишем соотношение
$$
\begin{equation*}
f_1\biggl(\frac{\partial}{\partial A^1},\frac{\partial}{\partial A^2}, A^4\biggr)=\sum \frac{\langle f_1,F_{\alpha_1}F_{\alpha_2}F_{\alpha_4}\rangle}{|F_{\alpha_1}|^2|F_{\alpha_2}|^2|F_{\alpha_4}|^2} F_{\alpha_1}\biggl(\frac{\partial}{\partial A^1}\biggr)F_{\alpha_2}\biggl(\frac{\partial}{\partial A^2}\biggr)F_{\alpha^4}(A^4)
\end{equation*}
\notag
$$
и аналогичные соотношения для
$$
\begin{equation*}
f_2\biggl(\frac{\partial}{\partial A^4},\frac{\partial}{\partial A^5}, A^5\biggr),\quad f_3\biggl(\frac{\partial}{\partial A^2},A^3,\frac{\partial}{\partial A^6}\biggr),\quad f_4\biggl(A^1,A^6,\frac{\partial}{\partial A^5}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом того, что
$$
\begin{equation*}
\biggl\{F_{\alpha_i}(A^i),F_{\alpha'_i}\biggl(\frac{\partial}{\partial A^i}\biggr)\biggr\}= \begin{cases} |F_{\alpha_i}|^2, &\text{если}\;\, \alpha_i=\alpha'_i, \\ 0, &\text{если}\;\, \alpha_i\neq\alpha'_i,\end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
получаем следующее утверждение. Лемма 1. Имеет место выражение Предполагается, что выражение (33) вычисляется так. Сначала оно представляется как сумма мономов от переменных и дифференциальных операторов, при этом мы перемножаем переменные и дифференциальные операторы так, как если бы они коммутировали. Затем в каждом мономе дифференциальные операторы действуют на произведение встречающихся в мономе переменных. Наконец, подставляются нули вместо всех переменных. 3.2. Правила отбораНайдем условия, необходимые для того, чтобы $6j$-символ был ненулевым. Для этого рассмотрим носители различных функций. Определение 4. Носителем функции $f$ от переменных $Z=\{z_1,\ldots,z_N\}$, разложенной в степенной ряд, будем называть множество $ \operatorname{supp} f$ показателей $\delta\in\mathbb{Z}^N$ мономов $Z^{\delta}:=z_1^{\delta_1}\ldots z_N^{\delta_N}$, входящих в разложение функции $f$. В работе [21] функция $f$ вида (26) рассматривалась как функция от переменных
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Z=\bigl\{&[c_1a_{2,3}],[c_2a_{1,3}],[c_3a_{1,2}],[a_1c_{2,3}],[a_2c_{1,3}],[a_3c_{1,2}],[c_1b_{2,3}],[c_2b_{1,3}], \notag\\ &[c_3b_{1,2}],[b_1c_{2,3}],[b_2c_{1,3}],[b_3c_{1,2}],[b_1a_{2,3}],[b_2a_{1,3}],[b_3a_{1,2}],[a_1b_{2,3}],[a_2b_{1,3}], \notag\\ &[a_3b_{1,2}],[a_1b_2c_3],[a_2b_3c_1],[a_3b_1c_2], -[a_2b_1c_3],[a_1b_3c_2],[a_3b_2c_1],[a_{2,3}b_{1,3}c_{1,2}], \notag\\ &[a_{1,3}b_{1,2}c_{2,3}],[a_{1,2}b_{2,3}c_{1,3}],-[a_{1,3}b_{2,3}c_{1,2}],[a_{2,3}b_{1,2}c_{1,3}],[a_{1,2}b_{1,3}c_{2,3}]\bigr\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{34}
$$
так что отдельные слагаемые в определителях $(caa),(acc),\ldots,(aabbcc)$ отождествлялись с данными переменными. При этом в [21] было показано, что носитель функции $f$ вида (26) имеет вид пересечения сдвинутой решетки и положительного октанта:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{supp} f=\Bigl(\,\mathop{\cap}\limits_i\,(\delta_i\geqslant 0)\Bigr)\cap{}(\kappa+\mathcal B)\subset\mathbb{Z}^{30},
\end{equation*}
\notag
$$
где $30$ – это количество переменных $Z$. При этом $\mathcal B\subset\mathbb{Z}^{30}$ порождается векторами
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\begin{alignedat}{5} p_1&=e_{[c_1a_{2,3}]}-e_{[c_2a_{1,3}]},&\quad p_2&=e_{[c_1a_{2,3}]}-e_{[c_3a_{1,2}]}&\quad p_3&=e_{[a_1c_{2,3}]}-e_{[a_2c_{1,3}]}, \\ p_4&=e_{[a_1c_{2,3}]}-e_{[a_3c_{1,2}]},&\quad p_5&=e_{[c_1b_{2,3}]}-e_{[c_2b_{1,3}]},&\quad p_6&=e_{[c_1b_{2,3}]}-e_{[c_3b_{1,2}]}, \\ p_7&=e_{[b_1c_{2,3}]}-e_{[b_2c_{1,3}]},&\quad p_8&=e_{[b_1c_{2,3}]}-e_{[b_3c_{1,2}]},&\quad p_9&=e_{[a_1b_{2,3}]}-e_{[a_2b_{1,3}]}, \\ p_{10}&=e_{[a_1b_{2,3}]}-e_{[a_3b_{1,2}]},&\quad p_{11}&=e_{[b_1a_{2,3}]}-e_{[b_2a_{1,3}]},&\quad p_{12}&=e_{[b_1a_{2,3}]}-e_{[b_3a_{1,2}]}, \\ p_{13}&=e_{[a_1b_2c_3]}-e_{[a_2b_3c_1]},&\quad p_{14}&=e_{[a_1b_2c_3]}-e_{[a_3b_1c_2]},&\quad p_{15}&=e_{[a_1b_2c_3]}-e_{[a_2b_1c_3]}, \\ p_{16}&=e_{[a_1b_2c_3]}-e_{[a_1b_3c_2]},&\quad p_{17}&=e_{[a_1b_2c_3]}-e_{[a_3b_2c_1]},&\quad p_{18}&=e_{[a_{2,3}b_{1,3}c_{1,2}]}-e_{[a_{1,3}b_{1,2}c_{2,3}]}, \end{alignedat}\\ &\begin{alignedat}{3} p_{19}&=e_{[a_{2,3}b_{1,3}c_{1,2}]}-e_{[a_{1,2}b_{2,3}c_{1,3}]},&\quad p_{20}&=e_{[a_{2,3}b_{1,3}c_{1,2}]}-e_{[a_{1,3}b_{2,3}c_{1,2}]}, \\ p_{21}&=e_{[a_{2,3}b_{1,3}c_{1,2}]}-e_{[a_{1,2}b_{1,3}c_{2,3}]},&\quad p_{22}&=e_{[a_{2,3}b_{1,3}c_{1,2}]}-e_{[a_{2,3}b_{1,2}c_{1,3}]}, \end{alignedat} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а вектор $\kappa$ задается как
$$
\begin{equation*}
\kappa=(\tau_2,0,0,\tau_3,0,0,\tau_6 ,0,0,\tau_7,0,0,\tau_4,0,0,\tau_5,0,0,\tau_1,0,0,0,0,0,\tau_8,0,0,0,0,0).
\end{equation*}
\notag
$$
Более того, $f$ является $\Gamma$-рядом от переменных $Z$, взятых со знаком плюс или минус, построенным по решетке $\mathcal B$ и вектору сдвига $\kappa$. Со знаком минус берутся ровно те переменные, которые входят в определитель со знаком минус. Функцию $f$ можно понимать и более привычным способом: как функцию от $A_X$, $B_X$, $C_X$. Переход от переменных $Z$ к переменным $A_X$, $B_X$, $C_X$ осуществляется с помощью очевидной подстановки типа При этом возникают отображения $ \operatorname{pr} _a$, $ \operatorname{pr} _b$, $ \operatorname{pr} _c $ из пространства показателей для переменных $Z$ в пространство показателей для переменных $A_X$, $B_X$, $C_X$ соответственно:
$$
\begin{equation*}
\operatorname{pr} _a,\, \operatorname{pr} _b,\, \operatorname{pr} _c\colon \mathbb{Z}^{30}\to\mathbb{Z}^6.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\mathbb{Z}^{30}$ – решетка показателей мономов от переменных $Z$, а $\mathbb{Z}^6$ – решетка показателей мономов от переменных $A_X$ (или $B_X$, или $C_X$). Соответственно в $\mathbb{Z}^{30}$ имеется базис, индексированный переменными $Z$, а в $\mathbb{Z}^6$ – базис, индексированный собственными подмножествами $X\subset\{1,2,3\}$. Теперь можно сформулировать условие, необходимое для того, чтобы $6j$-символ был отличен от нуля. Рассмотрим выражение (33). Имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{supp} f_i=\Bigl(\,\mathop{\cap}\limits_i\,(\delta_i\geqslant 0)\Bigr)\cap(\kappa_i+\mathcal B_i)\subset\mathbb{Z}^{30},\qquad i=1,\ldots,4.
\end{equation*}
\notag
$$
Положим
$$
\begin{equation}
H= \operatorname{supp} f_1\oplus \operatorname{supp} f_2\oplus \operatorname{supp} f_3\oplus \operatorname{supp} f_4\subset\mathbb{Z}^{30}\oplus\mathbb{Z}^{30}\oplus\mathbb{Z}^{30}\oplus\mathbb{Z}^{30}.
\end{equation}
\tag{36}
$$
Для каждого $i=1,\ldots,4$ имеются отображения $ \operatorname{pr} ^i_a,\, \operatorname{pr} ^i_b,\, \operatorname{pr} ^i_c\colon\mathbb{Z}^{30}\to\mathbb{Z}^{6}$. Можно взять их прямую сумму и получить отображение $ \operatorname{pr} ^i_a\oplus \operatorname{pr} ^i_b\oplus \operatorname{pr} ^i_c\colon\mathbb{Z}^{30}\to(\mathbb{Z}^{6})^{\oplus 3}$. Рассмотрим также суммарное отображение
$$
\begin{equation}
\operatorname{pr} :=\bigoplus_{i=1}^4 \operatorname{pr} ^i_a\oplus \operatorname{pr} ^i_b\oplus \operatorname{pr} ^i_c\colon\,\mathbb{Z}^{30}\oplus\mathbb{Z}^{30}\oplus\mathbb{Z}^{30}\oplus\mathbb{Z}^{30}\to \bigoplus_{i=1}^4(\mathbb{Z}^{6})^{\oplus 3}.
\end{equation}
\tag{37}
$$
При этом естественно ввести в $\bigoplus_{i=1}^4(\mathbb{Z}^{6})^{\oplus 3}$ базис $e_X^{A^j,i}$, элементы которого пронумерованы следующим образом. Нижний индекс – это собственное подмножество $X\subset\{1,2,3\}$, таким образом, данные индексы перечисляют базисные векторы в выбранном пространстве $\mathbb{Z}^6$. Верхних индексов два, первый из них обозначает одну из переменных (или дифференциальный оператор), которая подставляется в $f_i$ в (26), таким образом, фиксация данного индекса определяет выбор одного из трех слагаемых в $(\mathbb{Z}^{6})^{\oplus 3}$. Второй верхний индекс – это собственно номер $i$, определяющий слагаемое $(\mathbb{Z}^{6})^{\oplus 3}$ в $\bigoplus_{i=1}^4(\mathbb{Z}^{6})^{\oplus 3}$. Так, в образе $(\mathbb{Z}^{6})^{\oplus 3}$, соответствующем $f_1$, базис будет таков:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} &\text{в первом слагаемом } \mathbb{Z}^6: &\quad & e^{A^1,1}_1,\,e^{A^1,1}_2,\,e^{A^1,1}_3e^{A^1,1}_{1,2},\,e^{A^1,1}_{1,3},\,e^{A^1,1}_{2,3}; \\ &\text{во втором слагаемом } \mathbb{Z}^6: &\quad & e^{A^2,1}_1,\,e^{A^2,1}_2,\,e^{A^2,1}_3e^{A^2,1}_{1,2},\,e^{A^2,1}_{1,3},\,e^{A^2,1}_{2,3}; \\ &\text{в третьем слагаемом } \mathbb{Z}^6: &\quad& e^{A^4,1}_1,\,e^{A^4,1}_2,\,e^{A^4,1}_3e^{A^4,1}_{1,2},\,e^{A^4,1}_{1,3},\,e^{A^1,1}_{2,3}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
В образе $(\mathbb{Z}^{6})^{\oplus 3}$, соответствующем $f_2$, базис будет таков:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} &\text{в первом слагаемом } \mathbb{Z}^6: &\quad & e^{A^4,2}_1,\,e^{A^4,2}_2,\,e^{A^4,2}_3e^{A^4,2}_{1,2},\,e^{A^4,2}_{1,3},e^{A^4,2}_{2,3}; \\ &\text{во втором слагаемом } \mathbb{Z}^6: &\quad & e^{A^3,2}_1,\,e^{A^3,2}_2,\,e^{A^3,2}_3e^{A^3,2}_{1,2},\,e^{A^3,2}_{1,3},\,e^{A^3,2}_{2,3}; \\ &\text{в третьем слагаемом } \mathbb{Z}^6: &\quad & e^{A^5,2}_1,\,e^{A^5,2}_2,\,e^{A^4,2}_3e^{A^5,2}_{1,2},\,e^{A^5,2}_{1,3},\,e^{A^5,2}_{2,3}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
В образе $(\mathbb{Z}^{6})^{\oplus 3}$, соответствующем $f_3$, базис будет таков:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} &\text{в первом слагаемом } \mathbb{Z}^6: &\quad &e^{A^2,3}_1,\,e^{A^2,3}_2,\,e^{A^2,3}_3e^{A^2,3}_{1,2},\,e^{A^2,3}_{1,3},\,e^{A^2,3}_{2,3}; \\ &\text{во втором слагаемом } \mathbb{Z}^6: &\quad &e^{A^3,3}_1,\,e^{A^3,3}_2,\,e^{A^3,3}_3e^{A^3,3}_{1,2},\,e^{A^3,3}_{1,3},\,e^{A^3,3}_{2,3}; \\ &\text{в третьем слагаемом } \mathbb{Z}^6: &\quad &e^{A^6,3}_1,\,e^{A^6,3}_2,\,e^{A^6,3}_3e^{A^6,3}_{1,2},\,e^{A^6,3}_{1,3},\,e^{A^6,3}_{2,3}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
В образе $(\mathbb{Z}^{6})^{\oplus 3}$, соответствующем $f_4$, базис будет таков:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} &\text{в первом слагаемом } \mathbb{Z}^6: &\quad & e^{A^1,4}_1,\,^{A^1,4}_2,\,e^{A^1,4}_3e^{A^1,4}_{1,2},\,e^{A^1,4}_{1,3},\,e^{A^1,4}_{2,3}; \\ &\text{во втором слагаемом } \mathbb{Z}^6: &\quad & e^{A^6,4}_1,\, e^{A^6,4}_2,\,e^{A^6,4}_3e^{A^6,4}_{1,2},\,e^{A^6,4}_{1,3},\,e^{A^6,4}_{2,3}; \\ &\text{в третьем слагаемом } \mathbb{Z}^6: &\quad & e^{A^5,4}_1,\,e^{A^5,4}_2,\,e^{A^5,4}_3e^{A^5,4}_{1,2},\,e^{A^5,4}_{1,3},\,e^{A^5,4}_{2,3}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Определение 5. В соответствии со сверткой в (33) определим подрешетку как решетку, порожденную для всех возможных $X\subset\{1,2,3\}$ векторами, которые получаются как разности векторов с одинаковыми $X$, одинаковой переменной $A^j$, но отвечающих разным $f_i$. Таким образом, решетка $D$ порождается векторами
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{5} & e_X^{A^1,1}-e_X^{A^1,4},&\qquad & e_X^{A^2,1}-e_X^{A^2,3},&\qquad & e_X^{A^3,2}-e_X^{A^3,4}, \\ & e_X^{A^4,1}-e_X^{A^4,2},&\qquad & e_X^{A^5,2}-e_X^{A^5,4},&\qquad & e_X^{A^6,3}-e_X^{A^6,4}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим следующее. Пусть имеется моном, получающийся при разложении (33). Он дает ненулевой вклад, если в нем для каждой переменной $A^j_X$, $j=1,\ldots,6$, порядок дифференцирования по $A^j_X$ совпадает со степенью переменной $A^j_X$. Условие того, что такие мономы существуют, переформулированное в терминах носителей, дает следующий результат. Теорема 3. Чтобы $6j$-символ (33) был отличен от нулевого, необходимо, чтобы выполнялось условие где $H$ определяется в (36), а решетка $D$ задана в определении 5. Замечание 3. Условие отличия от нуля $6j$-символа (33) можно также сформулировать в терминах носителей функций $f_i$ как функций от переменных $A^j$. Видно, что носитель $ \operatorname{supp} _A f_i$ функции $f_i$ как функции от переменных $A^j$ есть образ носителя $ \operatorname{supp} f_i$ функции $f_i$ как функции от переменных $Z$ при отображении $ \operatorname{pr} ^i_a\oplus \operatorname{pr} ^i_b\oplus \operatorname{pr} ^i_c$, и поэтому он тоже является сдвинутой решеткой. Тогда необходимое условие того, чтобы $6j$-символ мог быть ненулевым, формулируется так: носитель $ \operatorname{supp} _A(f_1f_2f_3f_4)= \operatorname{pr} (H)$ имеет непустое пересечение с $D$. Для вычисления значения $6j$-символа нам удобнее работать с переменными $Z$. 3.3. Формула для $6j$-символаФункции $f_1$, $f_2$, $f_3$, $f_4$ можно рассматривать как функции от наборов переменных $Z_1$, $Z_2$, $Z_3$, $Z_4$, где $Z_i$ – набор переменных, получаемых из (34) заменой символов $a$, $b$, $c$ на символы переменных (или дифференциальных операторов), подставляемых в $f_i$ в (33). А именно,
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{7} &\text{для}\;\,f_1:&\quad a,b,c&{}\mapsto A^1,A^2,A^4,&\qquad &\text{для}\;\,f_2:&\quad a,b,c &{}\mapsto A^4,A^5,A^6, \\ &\text{для}\;\,f_3:&\quad a,b,c &{}\mapsto A^2,A^3,A^5,&\qquad &\text{для}\;\,f_4:&\quad a,b,c &{}\mapsto A^1,A^6,A^5. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{38}
$$
Вычисление выражения (33) можно описать так. Сначала мы рассматриваем $f_1\ldots f_4$ как функцию от набора переменных $Z_1$, $Z_2$, $Z_3$, $Z_4$. Разлагаем $f_1\ldots f_4$ в сумму произведений мономов от данных переменных. Оставляем лишь слагаемые, носители которых лежат в $H\cap \operatorname{pr} ^{-1}( D)\neq\varnothing$. Далее для каждой из переменных из набора $Z_1$, $Z_2$, $Z_3$, $Z_4$ совершаем замену типа (35) с учетом (38) и переходим к переменным $A^j_X$ или $\partial/\partial A_X^j$ в соответствии с тем, переменная или дифференциальный оператор участвует в $f_i$ в (33). Перемножаем их так, как если бы они коммутировали. Затем в получившемся мономе от $A^j_X$ или $\partial/\partial A_X^l$ применяем дифференциальные операторы к переменным и поставляем вместо переменных ноль. Например, если сосредоточить внимание на переменной $A_1^1$ в мономе, то наши действия выглядят так. Данный символ встречается в обозначении переменных, входящих в наборы $Z_1$ и $Z_4$. Берем моном, получающийся при разложении $f_1\ldots f_4$. Пусть его носитель лежит в $H\cap \operatorname{pr} ^{-1}(D)$. Запишем моном в явном виде вместе с коэффициентом при этом мономе. Выше было замечено, что функции $f_1,\ldots,f_4$ являются $\Gamma$-рядами от набора переменных $Z_1$, $Z_2$, $Z_3$, $Z_4$, так что коэффициент при мономе есть произведение обратных величин к факториалам степеней:
$$
\begin{equation}
\underbrace{\frac{[A^1_1A^2_{2,3}]^{\beta_1}}{\beta_1!}\frac{[A^1_1A^4_{2,3}]^{\beta_2}}{\beta_2!}\ldots}_{\text{из}\;\,f_1}\cdot\ldots\cdot \underbrace{\frac{[A^1_1A^6_{2,3}]^{\gamma_1}}{\gamma_1!}\frac{[A^1_1A^5_{2,3}]^{\gamma_2}}{\gamma_2!}\ldots}_{\text{из}\;\,f_4}\;.
\end{equation}
\tag{39}
$$
Далее вычисляем сумму показателей переменных, в обозначении которых есть $A_1^1$. Для множителей, происходящих из $f_1$, эта сумма равна $\beta_1+\beta_2+\cdots{}$, а для множителей, происходящих из $f_4$, эта сумма равна $\gamma_1+\gamma_2+\cdots{}$. Тот факт, что носители лежат в $H\cap \operatorname{pr} ^{-1}(D)$, влечет, что $\beta_1+\beta_2+\cdots=\gamma_1+\gamma_2+\cdots$. При переходе к $A^j_X$ или $\partial/\partial A_X^j$ в множители, происходящие из $f_1$, подставляется $\partial/\partial A_1^1$, а в множители, происходящие из $f_4$, подставляется $A_1^1$. После применения дифференциального оператора к переменной $A_1^1$ и подстановки вместо $A_1^1$ нуля в (39) фактически происходит удаление всех символов $A_1^1$ и дописывается сверху числовой множитель $(\beta_1+\beta_2+\cdots)!$. После выполнения аналогичных действий со всеми переменными $A_X^j$ моном (39) превращается в числовую дробь. В ее знаменателе стоит факториал (в мультииндексном смысле) степени монома как монома от переменных $Z_1,\ldots,Z_4$, а в числителе – факториал (опять в мультииндексном смысле) степени монома как монома от переменных $A_X^j$. Приступим к формулировке основного результата настоящей работы. Множество $H\cap \operatorname{pr} ^{-1}(D)$ является сдвинутой решеткой. Следовательно, для некоторого вектора $\varkappa$ и решетки $L\subset \mathbb{Z}^{30}\oplus\mathbb{Z}^{30}\oplus\mathbb{Z}^{30}\oplus\mathbb{Z}^{30}$ можно записать следующее соотношение:
$$
\begin{equation}
H\cap \operatorname{pr} ^{-1}( D)=\varkappa+L\subset\mathbb{Z}^{30}\oplus\mathbb{Z}^{30}\oplus\mathbb{Z}^{30}\oplus\mathbb{Z}^{30}.
\end{equation}
\tag{40}
$$
Существует проекция $ \operatorname{pr} $, определяемая формулой (37). Свяжем со сдвинутой решеткой $\varkappa+L$ ряд гипергеометрического типа (на самом деле являющийся конечной суммой) от переменных $Z=\{Z_1,\ldots,Z_4\}$, который определяется формулой, родственной (10):
$$
\begin{equation}
\mathcal J_\gamma(Z;L)=\sum_{x\in \varkappa+L}\frac{\Gamma( \operatorname{pr} (x)+1)Z^x}{\Gamma(x+1)}.
\end{equation}
\tag{41}
$$
Теорема 4. $6j$-Символ (33) равен $\mathcal J_\gamma(\pm 1;L)$, где $+1$ подставляется вместо тех переменных, которые в определители, перемножаемые в $f_i$, входят со знаком плюс, и $-1$ подставляется вместо тех переменных, которые в эти определители входят со знаком минус. Сдвинутая решетка $\varkappa+L$ определяется по формуле (40), где $H=\oplus H_i$, $H_i= \operatorname{supp} f_i$; подрешетка $D$ задается определением 5; отображение $ \operatorname{pr} $ определено в (37). Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Art23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|