| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Тау-функция иерархии Тоды типа B А. В. Забродинab, В. В. Прокофьевab a Сколковский институт науки и технологий, Москва, Россия b Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923110041 
Реферативные базы данных:
    1. ВведениеИерархия двумеризованной решетки Тоды [1] играет важную роль в теории интегрируемых систем. Коммутирующие потоки иерархии параметризуются двумя бесконечными наборами комплексных временны́х переменных $\mathbf{t}=\{t_1, t_2, t_3, \ldots \}$ (“положительные времена”) и $\bar{\mathbf{t}}=\{\bar{t}_1, \bar{t}_2, \bar{t}_3, \ldots \}$ (“отрицательные времена”) и целочисленным “нулевым временем” $n\in \mathbb{Z}$ (для солитонных решений $n$ может иметь смысл непрерывной переменной). Здесь и далее в тексте черта не означает комплексного сопряжения. По временам $\mathbf{t}$, $\bar{\mathbf{t}}$ уравнения иерархии дифференциальные, а по $n$ – разностные. Они могут быть представлены в лаксовом виде как уравнения эволюции двух лаксовых псевдоразностных операторов $L$, $ \kern0.2pt{\overline{\vphantom{L^{;}}\kern5.6pt}\kern-6.2pt L\kern0.4pt} $, т. е. операторов, которые могут быть записаны в виде полубесконечных сумм степеней операторов сдвига $e^{\pm \partial_n}$ с коэффициентами, зависящими от $n$ и $\mathbf{t}$, $\bar{\mathbf{t}}$. Общее решение дается с помощью тау-функции $\tau_n (\mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}})$, которая удовлетворяет бесконечному набору билинейных дифференциально-разностных уравнений типа Хироты [2], [3]. В определенном смысле иерархия Тоды может быть рассмотрена как дискретизация иерархии Кадомцева–Петвиашвили (КП). В недавней работе одного из авторов с Кричевером [4] была рассмотрена другая версия иерархии Тоды (см. также более раннюю работу [5], где похожая иерархия была предложена в качестве интегрируемой дискретизации уравнения Новикова–Веселова). В работе [4] она была названа решеткой Тоды со связью типа B или, проще, иерархией B-Тоды. Это подыерархия решетки Тоды, которая определяется наложением связи на операторы Лакса. В специальной (“сбалансированной”) калибровке связь имеет вид
$$
\begin{equation}
L^{\unicode{8224}}=(e^{\partial_n}-e^{-\partial_n}) \kern0.2pt{\overline{\vphantom{L^{;}}\kern5.6pt}\kern-6.2pt L\kern0.4pt} (e^{\partial_n}-e^{-\partial_n})^{-1},
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
где $e^{\pm \partial_n}$ – оператор сдвига, действующий по формуле $e^{\pm \partial_n} f(n)=f(n\pm 1)$, а $L^{\unicode{8224}}$ – сопряженный оператор (операция ${}^{\unicode{8224}}$ определена как $(f(n) \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} e^{\partial_n})^{\unicode{8224}}=e^{-\partial_n} \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} f(n)=f(n-1)\mathrel{ \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} } e^{-\partial_n}$). В работе [4] было показано, что такая связь сохраняется потоками $\partial_{T_k}= \partial_{t_k}-\partial_{\bar{t}_k}$ и разрушается потоками $\partial_{t_k}+\partial_{\bar{t}_k}$, т. е. чтобы определить иерархию, нужно ограничиться условием $t_k+\bar{t}_k=0$ и рассматривать в качестве независимых временны́х переменных $T_k=(t_k -\bar{t}_k)/2$. Связь(1.1) похожа на связь
$$
\begin{equation}
(L^\mathrm {KP})^{\unicode{8224}}=-\partial_x L^\mathrm {KP} \partial_x^{-1}, \qquad x=t_1,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
которая налагается на псевдодифференциальный оператор Лакса $L^\mathrm {KP}$ иерархии КП. Операция ${}^{\unicode{8224}}$ в этом случае определена как $(f(x)\mathrel{ \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} } \partial_x)^{\unicode{8224}}=-\partial_x \mathbin{ \mathbin{\stackrel{\scriptscriptstyle{\circ}}{{}_{\vphantom{.}}}} } f(x)$. Эта связь (которая сохраняется по “нечетным временам” $\partial_{t_{2k+1}}$ и разрушается потоками по “четным временам” $\partial_{t_{2k}}$) определяет иерархию B-КП [6]–[12] с независимыми переменными $\mathbf{t}_\mathrm{o}=\{t_1, t_3, t_5, \ldots \}$. “Четные времена” $\mathbf{t}_\mathrm{e}=\{t_2, t_4, t_6, \ldots \}$ положены равными нулю. Связь (1.1) выглядит, как дискретный аналог (1.2), поэтому она и называется связью типа B. Описание иерархии B-КП в терминах тау-функции КП $\tau^\mathrm {KP}(\mathbf{t})$ было получено в работе [12]. Тау-функция КП, которая соответствует решению иерархии B-КП, должна удовлетворять условию
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \biggl(\tau^\mathrm {KP}&\biggl(t_1-z^{-1}, -\frac{1}{2}z^{-2}, t_3-\frac{1}{3}z^{-3}, -\frac{1}{4}z^{-4}, \ldots \biggr)\biggr)^2={} \notag \\ &= \tau^\mathrm {KP}(t_1, 0, t_3, 0, \ldots ) \tau^\mathrm {KP}\biggl(t_1-2z^{-1}, 0, t_3-\frac{2}{3}z^{-3}, 0, \ldots \biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
Кроме того, существует тау-функция $\tau^\mathrm{ BKP}(\mathbf{t}_\mathrm{o})$ иерархии B-КП, являющаяся функцией только от “нечетных времен” $\mathbf{t}_\mathrm{o}$. Она связана с тау-функцией КП соотношением
$$
\begin{equation}
\tau^\mathrm {KP}(t_1, 0, t_3, 0, \ldots )= (\tau^\mathrm{ BKP}(t_1, t_3, \ldots ))^2.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Функция $\tau^\mathrm{ BKP}(\mathbf{t}_\mathrm{o})$ удовлетворяет бесконечному набору билинейных уравнений типа Хироты. Цель данной работы – получить подобное описание для иерархии B-Тоды в терминах тау-функции $\tau_n(\mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}})$ и ввести тау-функцию $\tau^\mathrm{ B}_n(\mathbf{T})$ иерархии B-Тоды, являющуюся функцией от переменных $\mathbf{T}=\{T_1, T_2, T_3, \ldots \}$. Тау-функция Тоды, определяющая решение иерархии B-Тоды, должна удовлетворять соотношению
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tau_{n}(\mathbf{T}, -\mathbf{T}-[z^{-1}])&\tau_{n-1}(\mathbf{T}, -\mathbf{T}-[z^{-1}])={} \notag \\ &=(1-z^{-2})\tau_{n}(\mathbf{T}+[z^{-1}], -\mathbf{T}-[z^{-1}]) \tau_{n-1}(\mathbf{T}, -\mathbf{T}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\mathbf{T}\pm [z^{-1}]=\biggl\{ T_1\pm z^{-1}, T_2 \pm \frac{1}{2}z^{-2}, T_3 \pm \frac{1}{3}z^{-3}, \ldots \biggr\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Можно рассматривать (1.5) как связь (1.1), записанную в терминах тау-функции. Она выделяет те тау-функции решетки Тоды, которые решают иерархию B-Тоды. Тау-функция $\tau^\mathrm{ B}_n(\mathbf{T})$ иерархии B-Тоды связана с $\tau_n(\mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}})$ соотношением
$$
\begin{equation}
\tau_n(\mathbf{T}, -\mathbf{T})=\tau^\mathrm{ B}_n(\mathbf{T})\, \tau^\mathrm{ B}_{n-1}(\mathbf{T}),
\end{equation}
\tag{1.6}
$$
которое представляет собой разностный аналог (1.4). Функция $\tau^\mathrm{ B}_n(\mathbf{T})$ удовлетворяет бесконечному набору билинейных уравнений типа Хироты. Чтобы избежать путаницы, следует отметить, что рассматриваемая нами иерархия B-Тоды существенно отличается от иерархии, которая называется иерархией решетки Тоды типа B и которая была исследована в работе [1]. Тау-функция последней удовлетворяет условию
$$
\begin{equation}
\tau_{n}(t_1, 0, t_3, 0, \ldots ; \bar{t}_1, 0, \bar{t}_3, 0, \ldots )= \tau_{1-n}(t_1, 0, t_3, 0, \ldots ; \bar{t}_1, 0, \bar{t}_3, 0, \ldots ),
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
а не (1.5). Кроме того, квадратный корень из $\tau_{0}(t_1, 0, t_3, 0, \ldots ; 0, 0, 0, 0, \ldots )$ – это тау-функция иерархии B-КП. Статья организована следующим образом. В разделе 2 мы напоминаем основные определения и факты, относящиеся к иерархии двумеризованной решетки Тоды. В разделе 3 описана иерархия B-Тоды и получены связи на тау-функцию Тоды. В разделе 4 мы вводим тау-функцию B-Тоды и получаем интегральное билинейное уравнение для нее. В разделе 5 приведены примеры солитонных решений. Раздел 6 содержит заключительные замечания. 2. Решетка ТодыКратко опишем иерархию двумеризованной решетки Тоды, следуя статье [1]. Основным объектом рассмотрения служат два псевдоразностных оператора Лакса
$$
\begin{equation}
{\mathcal L}=e^{\partial_n}+\sum_{k\geqslant 0}U_k(n) e^{-k\partial_n}, \qquad \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal{L}^{;}}\kern6.8pt}\kern-7.0pt \mathcal{L}} =c(n)e^{-\partial_n}+\sum_{k\geqslant 0} \kern1.2pt\overline{\vphantom{U^{;}}\kern6.8pt}\kern-7.5pt U _k(n) e^{k \partial_n}.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Здесь мы используем стандартную калибровку, в которой коэффициент перед $e^{\partial_n}$ в выражении для ${\mathcal L}$ равен единице. Коэффициенты $c(n)$, $U_k(n)$, $ \kern1.2pt\overline{\vphantom{U^{;}}\kern6.8pt}\kern-7.5pt U _k(n)$ зависят от $n$ и от всех времен $\mathbf{t}$, $\bar{\mathbf{t}}$. Уравнения, определяющие эволюцию операторов Лакса по временам, следующие:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \partial_{t_m}{\mathcal L}&=[{\mathcal B}_m, {\mathcal L}], \qquad \partial_{t_m} \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal{L}^{;}}\kern6.8pt}\kern-7.0pt \mathcal{L}} =[{\mathcal B}_m, \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal{L}^{;}}\kern6.8pt}\kern-7.0pt \mathcal{L}} ], \qquad {\mathcal B}_m=({\mathcal L}^m)_{\geqslant 0}, \\ \partial_{\bar{t}_m}{\mathcal L}&=[ \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal L^{;}}\kern6.8pt}\kern-7.0pt \mathcal B} _m, {\mathcal L}], \qquad \partial_{\bar{t}_m} \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal{L}^{;}}\kern6.8pt}\kern-7.0pt \mathcal{L}} =[ \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal L^{;}}\kern6.8pt}\kern-7.0pt \mathcal B} _m, \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal{L}^{;}}\kern6.8pt}\kern-7.0pt \mathcal{L}} ], \qquad \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal L^{;}}\kern6.8pt}\kern-7.0pt \mathcal B} _m=( \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal{L}^{;}}\kern6.8pt}\kern-7.0pt \mathcal{L}} ^m)_{< 0}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Здесь и ниже для заданного подмножества $\mathbb{S} \subset \mathbb{Z}$ мы обозначаем
$$
\begin{equation*}
\biggl(\,\sum_{k\in \mathbb{Z}} U_k e^{k \partial_n}\biggr)_{\mathbb{S}}= \sum_{k\in \mathbb{S}} U_k e^{k \partial_n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Например,
$$
\begin{equation}
{\mathcal B}_1=e^{\partial_n}+U_0(n), \qquad \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal L^{;}}\kern6.8pt}\kern-7.0pt \mathcal B} _1=c(n)e^{-\partial_n}.
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Введем функцию $\varphi =\varphi (n)$ равенством из (2.2) получим
$$
\begin{equation}
\partial_{t_m}\varphi =({\mathcal L}^m)_0, \qquad \partial_{\bar{t}_m}\varphi =-( \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal{L}^{;}}\kern6.8pt}\kern-7.0pt \mathcal{L}} {}^{m})_0.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Кроме того, иерархию Тоды можно сформулировать через уравнения Захарова–Шабата:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \partial_{t_k}{\mathcal B}_m -\partial_{t_m}{\mathcal B}_k +[{\mathcal B}_m, {\mathcal B}_k]&=0, \\ \partial_{\bar{t}_k}{\mathcal B}_m -\partial_{t_m} \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal L^{;}}\kern6.8pt}\kern-7.0pt \mathcal B} _k +[{\mathcal B}_m, \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal L^{;}}\kern6.8pt}\kern-7.0pt \mathcal B} _k]&=0, \\ \partial_{\bar{t}_k} \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal L^{;}}\kern6.8pt}\kern-7.0pt \mathcal B} _m -\partial_{\bar{t}_m} \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal L^{;}}\kern6.8pt}\kern-7.0pt \mathcal B} _k +[ \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal L^{;}}\kern6.8pt}\kern-7.0pt \mathcal B} _m, \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal L^{;}}\kern6.8pt}\kern-7.0pt \mathcal B} _k]&=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
Первое уравнение иерархии Тоды получается из второго уравнения в (2.6) при $k=m=1$. В терминах функции $\varphi (n)$ оно принимает хорошо известный вид:
$$
\begin{equation}
\partial_{t_1}\partial_{\bar{t}_1}\varphi (n)=e^{\varphi (n)-\varphi (n-1 )}- e^{\varphi (n+1)-\varphi (n)}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Важную роль в теории играют одевающие операторы ${\mathcal W}$, $ \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal W^{;}}\kern10.0pt}\kern-10.2pt \mathcal W} $, определяемые из соотношений
$$
\begin{equation}
{\mathcal L}={\mathcal W}e^{\partial_n}{\mathcal W}^{-1}, \qquad \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal{L}^{;}}\kern6.8pt}\kern-7.0pt \mathcal{L}} = \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal W^{;}}\kern10.0pt}\kern-10.2pt \mathcal W} e^{-\partial_n} \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal W^{;}}\kern10.0pt}\kern-10.2pt \mathcal W} {}^{-1}.
\end{equation}
\tag{2.8}
$$
Очевидно, что эти соотношения определяют их с точностью до умножения справа на псевдоразностный оператор с постоянными коэффициентами. Позже мы зафиксируем эту свободу. Одевающие операторы можно представить в виде рядов
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, {\mathcal W}&=1+\sum_{k\geqslant 1} w_k(n)e^{-k\partial_n}, \\ \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal W^{;}}\kern10.0pt}\kern-10.2pt \mathcal W} &=\bar w_0(n)+\sum_{k\geqslant 1} \bar w_k(n)e^{k\partial_n}, \qquad \bar w_0(n)=e^{\varphi (n)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Нам также потребуются операторы $({\mathcal W}^{\unicode{8224}})^{-1}$, $( \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal W^{;}}\kern10.0pt}\kern-10.2pt \mathcal W} {}^{\unicode{8224}})^{-1}$. Они имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, ({\mathcal W}^{\unicode{8224}})^{-1}&=1+\sum_{k\geqslant 1} w_k^*(n)e^{k\partial_n}, \\ ( \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal W^{;}}\kern10.0pt}\kern-10.2pt \mathcal W} {}^{\unicode{8224}})^{-1} &=\bar w_0^*(n)+\sum_{k\geqslant 1} \bar w_k^*(n)e^{-k\partial_n}, \qquad \bar w_0^*(n)=(\bar w_0(n))^{-1}=e^{-\varphi (n)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Определим волновые функции, зависящие от параметра $z$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \psi_n(\mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}};z)&={\mathcal W}z^n e^{\xi (\mathbf{t},z)}= z^n e^{\xi (\mathbf{t},z)}\biggl(1+\sum_{k\geqslant 1}w_k(n)z^{-k}\biggr), \qquad z\to \infty, \\ \bar{\psi}_n(\mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}};z)&= \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal W^{;}}\kern10.0pt}\kern-10.2pt \mathcal W} z^n e^{\xi (\bar{\mathbf{t}},z^{-1})}= z^n e^{\xi (\bar{\mathbf{t}},z^{-1})} \biggl(\bar w_0(n)+\sum_{k\geqslant 1}\bar w_k(n)z^{k}\biggr), \qquad z\to 0 , \\ \psi_n^*(\mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}};z)&=( {\mathcal W}^{\unicode{8224}})^{-1} z^{-n} e^{-\xi (\mathbf{t},z)}= z^{-n} e^{-\xi (\mathbf{t},z)}\biggl(1+\sum_{k\geqslant 1}w_k^*(n)z^{-k}\biggr), \qquad z\to \infty, \\ \bar{\psi}_n^*(\mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}};z)&=( \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal W^{;}}\kern10.0pt}\kern-10.2pt \mathcal W} {}^{\unicode{8224}})^{-1} z^{-n } e^{-\xi (\bar{\mathbf{t}},z^{-1})}={} \\ &= z^{-n} e^{-\xi (\bar{\mathbf{t}},z^{-1})} \biggl(\bar w_0^*(n) + \sum_{k\geqslant 1}\bar w_k^*(n)z^{k}\biggr), \qquad z\to 0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
где Волновые функции удовлетворяют линейным дифференциально-разностным уравнениям
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \partial_{t_m}\psi_n &={\mathcal B}_m \psi_n, \qquad \partial_{\bar{t}_m}\psi_n = \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal L^{;}}\kern6.8pt}\kern-7.0pt \mathcal B} _m \psi_n, \qquad {\mathcal L}\psi_n =z\psi_n, \qquad \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal{L}^{;}}\kern6.8pt}\kern-7.0pt \mathcal{L}} \psi_n =z^{-1}\psi_n, \\ \partial_{t_m}\bar{\psi}_n &={\mathcal B}_m \bar{\psi}_n, \qquad \partial_{\bar{t}_m}\bar{\psi}_n = \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal L^{;}}\kern6.8pt}\kern-7.0pt \mathcal B} _m \bar{\psi}_n, \qquad {\mathcal L}\bar{\psi}_n =z\bar{\psi}_n, \qquad \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal{L}^{;}}\kern6.8pt}\kern-7.0pt \mathcal{L}} \bar{\psi}_n =z^{-1}\bar{\psi}_n. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Уравнения Лакса (2.2) и Захарова–Шабата (2.6) являются условиями совместности для этих линейных уравнений. Иерархия Тоды закодирована в билинейном интегральном уравнении для волновых функций
$$
\begin{equation}
\oint_{C_{\infty}} (\psi_n(\mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}};z) \psi^*_{n'}(\mathbf{t}', \bar{\mathbf{t}}';z)- \bar{\psi}_n(\mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}};z^{-1}) \bar{\psi}^*_{n'}(\mathbf{t}', \bar{\mathbf{t}}';z^{-1}) )\frac{dz}{z}=0,
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
справедливом при всех $n,n'$, $\mathbf{t}, \mathbf{t}'$, $\bar{\mathbf{t}}, \bar{\mathbf{t}}'$, где $C_{\infty}$ – большая окружность вокруг $\infty$ (это соотношение означает лишь, что коэффицент перед $z^{-1}$ в ряде Лорана для подынтегрального выражения при разложении в бесконечности равен нулю). Общее решение иерархии задается тау-функцией $\tau_n (\mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}})$. Волновые функции могут быть выражены через нее следующим образом [1]:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \psi_n(\mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}};z)&=z^{n}e^{\xi (\mathbf{t}, z)}\, \frac{\tau_{n}(\mathbf{t}-[z^{-1}], \bar{\mathbf{t}})}{\tau_{n}(\mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}})}, \\ \bar{\psi}_n(\mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}};z)&=z^{n}e^{\xi (\bar{\mathbf{t}}, z^{-1})}\, \frac{\tau_{n+1}(\mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}}-[z])}{\tau_{n}(\mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}})}, \\ \psi_n^*(\mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}};z)&=z^{-n}e^{\xi (-\mathbf{t}, z)}\, \frac{\tau_{n+1}(\mathbf{t}+[z^{-1}], \bar{\mathbf{t}})}{\tau_{n+1}(\mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}})}, \\ \bar{\psi}_n^*(\mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}};z)&= z^{-n}e^{\xi (-\bar{\mathbf{t}}, z^{-1})}\, \frac{\tau_{n}(\mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}}+[z])}{\tau_{n+1}(\mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}})}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
где мы использовали стандартное обозначение
$$
\begin{equation}
\mathbf{t}\pm [z]=\biggl \{ t_1\pm z, t_2 \pm \frac{1}{2} z^2, t_3 \pm \frac{1}{3} z^3, \ldots \biggr \}.
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
В частности, и уравнение Тоды (2.7) становится билинейным уравнением на тау-функцию. Билинейное уравнение (2.14) в терминах тау-функции имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \oint_{C_{\infty}} &z^{n-n'-1} e^{\xi (\mathbf{t}-\mathbf{t}', z)} \tau_n(\mathbf{t}-[z^{-1}], \bar{\mathbf{t}}) \tau_{n'+1}(\mathbf{t}'+[z^{-1}], \bar{\mathbf{t}}')\,dz={} \notag \\ &=\oint_{C_{0}} z^{n-n'-1} e^{\xi (\bar{\mathbf{t}}-\bar{\mathbf{t}}', z^{-1})} \tau_{n+1}(\mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}}-[z]) \tau_{n'}(\mathbf{t}', \bar{\mathbf{t}}'+[z])\,dz, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
где $C_0$ – маленькая окружность вокруг нуля. Положив $n'=n-1$, $\mathbf{t}-\mathbf{t}'=[\lambda^{-1}]$, $\bar{\mathbf{t}}-\bar{\mathbf{t}}'= [\mu^{-1}]$ и вычисляя интеграл (2.18) с помощью вычетов, получим уравнение для тау-функции решетки Тоды типа Хироты–Мивы:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tau_n(\mathbf{t}-[\lambda^{-1}], \bar{\mathbf{t}})&\tau_n(\mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}}-[\mu^{-1}])- \tau_n(\mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}}) \tau_n(\mathbf{t}-[\lambda^{-1}], \bar{\mathbf{t}}-[\mu^{-1}])={} \notag \\ &= (\lambda \mu )^{-1}\tau_{n+1}(\mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}}-[\mu^{-1}])\tau_{n-1} (\mathbf{t}-[\lambda^{-1}], \bar{\mathbf{t}}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Существует другая, эквивалентная формулировка иерархии Тоды, которая может быть получена из описанной выше “калибровочным преобразованием” [13], [14]. До сих пор мы использовали стандартную калибровку, в которой коэффициент у первого члена ряда для ${\mathcal L}$ положен равным единице. На самом деле существует семейство калибровочных преобразований с функцией $g=g(n)$ вида
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, {\mathcal L}\to g^{-1}{\mathcal L}g, \qquad \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal{L}^{;}}\kern6.8pt}\kern-7.0pt \mathcal{L}} \to g^{-1} \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal{L}^{;}}\kern6.8pt}\kern-7.0pt \mathcal{L}} g, \\ {\mathcal B}_n \to g^{-1}{\mathcal B}_n g -g^{-1}\partial_{t_n}g, \qquad \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal L^{;}}\kern6.8pt}\kern-7.0pt \mathcal B} _n \to g^{-1} \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal L^{;}}\kern6.8pt}\kern-7.0pt \mathcal B} _n g -g^{-1}\partial_{\bar{t}_n}g. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Нам интересен другой специальный выбор калибровки, при котором коэффициенты перед двумя первыми членами в рядах для операторов Лакса совпадают. Обозначим операторы Лакса и генераторы потоков в этой калибровке через $L$, $ \kern0.2pt{\overline{\vphantom{L^{;}}\kern5.6pt}\kern-6.2pt L\kern0.4pt} $, $B_m$, $ \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B _m$ соответственно:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, L=g^{-1}{\mathcal L}g, \qquad \kern0.2pt{\overline{\vphantom{L^{;}}\kern5.6pt}\kern-6.2pt L\kern0.4pt} =g^{-1} \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal{L}^{;}}\kern6.8pt}\kern-7.0pt \mathcal{L}} g, \\ B_m =g^{-1}{\mathcal B}_m g -\partial_{t_m}\ln g, \qquad \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B _m =g^{-1} \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal L^{;}}\kern6.8pt}\kern-7.0pt \mathcal B} _m g -\partial_{\bar{t}_m}\ln g. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Легко видеть, что функция $g(n)$ может быть определена из соотношения Назовем данную калибровку сбалансированной. Калибровочное преобразование меняет нормировку волновых функций:
$$
\begin{equation}
\Psi_n = g^{-1}(n)\psi_n, \qquad \bar{\Psi}_n = g^{-1}(n)\bar{\psi}_n.
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Новые волновые функции удовлетворяют линейным уравнениям
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \partial_{t_m}\Psi_n &=B_m \Psi_n, \qquad \partial_{\bar{t}_m}\Psi_n = \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B _m \Psi_n, \qquad L\Psi_n =z\Psi_n, \qquad \kern0.2pt{\overline{\vphantom{L^{;}}\kern5.6pt}\kern-6.2pt L\kern0.4pt} \Psi_n =z^{-1}\Psi_n, \\ \partial_{t_m}\bar{\Psi}_n &=B_m \bar{\Psi}_n, \qquad \partial_{\bar{t}_m}\bar{\Psi}_n = \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B _m \bar{\Psi}_n, \qquad L\bar{\Psi}_n =z\bar{\Psi}_n, \qquad \kern0.2pt{\overline{\vphantom{L^{;}}\kern5.6pt}\kern-6.2pt L\kern0.4pt} \bar{\Psi}_n =z^{-1}\bar{\Psi}_n. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
Их условия совместности – это уравнения Лакса и Захарова–Шабата для $L$, $ \kern0.2pt{\overline{\vphantom{L^{;}}\kern5.6pt}\kern-6.2pt L\kern0.4pt} $, $B_m$, $ \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B _m$.
3. Иерархия B-ТодыОбозначим через $T$ оператор сдвига, имеющий вид Как показано в работе [4], на решетку Тоды можно наложить следующую связь:
$$
\begin{equation}
(T-T^{\unicode{8224}}) \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal{L}^{;}}\kern6.8pt}\kern-7.0pt \mathcal{L}} ={\mathcal L}^{\unicode{8224}}(T-T^{\unicode{8224}}).
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
В работе [4] она была названа связью типа B. Эта связь сохраняется потоками $\partial_{T_k}=\partial_{t_k}-\partial_{\bar{t}_k}$ и разрушается потоками $\partial_{t_k}+\partial_{\bar{t}_k}$. Соответственно мы определим переменные
$$
\begin{equation}
T_k =\frac{1}{2}(t_k-\bar{t}_k), \qquad y_k =\frac{1}{2}(t_k+\bar{t}_k),
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
положим $y_k=0$ (т. е. $\bar{t}_k =-t_k=-T_k$) и будем рассматривать эволюцию только по временам $\mathbf{T}=\{T_1, T_2, T_3, \ldots \}$. Уравнения, определяющие эволюцию, и будут уравнениями иерархии B-Тоды. Иерархию B-Тоды удобнее всего описывать в сбалансированной калибровке. В этой калибровке связь (3.2) имеет вид
$$
\begin{equation}
(e^{\partial_n}-e^{-\partial_n}) \kern0.2pt{\overline{\vphantom{L^{;}}\kern5.6pt}\kern-6.2pt L\kern0.4pt} =L^{\unicode{8224}}(e^{\partial_n}-e^{-\partial_n}).
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Генераторы потоков $\partial_{T_k}$ – это
$$
\begin{equation}
A_k=B_k - \kern1.2pt\overline{\vphantom{B^*}\kern5.6pt}\kern-7.3pt B _k,
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
а линейные задачи –
$$
\begin{equation}
\partial_{T_k}\Psi_n =A_k \Psi_n, \qquad \partial_{T_k}\bar{\Psi}_n =A_k \bar{\Psi}_n.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
В частности, с некоторой функцией $v_n$, и аналогичное уравнение верно для $\bar{\Psi}_n$. Условия совместности линейных задач (3.6) – это уравнения Захарова–Шабата В работе [4] доказано, что разностные операторы $A_k$ делятся справа на $e^{\partial_n}-e^{-\partial_n}$: где $C_k$ – разностный оператор (т. е. линейная комбинация конечного числа сдвигов $e^{\pm \partial_n}$). Первым членом иерархии B-Тоды является система уравнений на две неизвестные функции $v_n$, $f_n$, зависящие от двух временны́х переменных $T_1$, $T_2$:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \partial_{T_1}\ln (v_nv_{n+1})= \dfrac{f_{n+1}}{v_{n+1}}-\dfrac{f_n}{v_n}, \\ \partial_{T_2}v_n-\partial_{T_1}f_n=2v^2_n(v_{n-1}-v_{n+1}). \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Она получена из (3.8) при $k=1$, $m=2$. На время вернемся к стандартной калибровке. Как легко видеть, в терминах одевающих операторов связь (3.2) переписывается в виде
$$
\begin{equation}
[ e^{-\partial_n}, {\mathcal W}^{\unicode{8224}}(T-T^{\unicode{8224}}) \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal W^{;}}\kern10.0pt}\kern-10.2pt \mathcal W} \,]=0.
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Это означает, что ${\mathcal W}^{\unicode{8224}}(T-T^{\unicode{8224}}) \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal W^{;}}\kern10.0pt}\kern-10.2pt \mathcal W} $ – (псевдо)разностный оператор с постоянными коэффициентами вида $-e^{-\partial_n}+\sum_{k\geqslant 0}a_k e^{k\partial_n}$. Явный вид этого оператора зависит от свободы в выборе одевающих операторов. Зафиксируем эту свободу, положив ${\mathcal W}^{\unicode{8224}}(T-T^{\unicode{8224}}) \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal W^{;}}\kern10.0pt}\kern-10.2pt \mathcal W} =e^{\partial_n}-e^{-\partial_n}$, т. е.
$$
\begin{equation}
(T-T^{\unicode{8224}}) \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal W^{;}}\kern10.0pt}\kern-10.2pt \mathcal W} =({\mathcal W}^{\unicode{8224}})^{-1}(e^{\partial_n}-e^{-\partial_n}),
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
или, что то же самое,
$$
\begin{equation}
(T-T^{\unicode{8224}}){\mathcal W}=( \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal W^{;}}\kern10.0pt}\kern-10.2pt \mathcal W} {}^{\unicode{8224}})^{-1}(e^{\partial_n}-e^{-\partial_n}).
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Этот выбор сделан так, чтобы тривиальные одевающие операторы ${\mathcal W}= \kern0.2pt{\overline{\vphantom{\mathcal W^{;}}\kern10.0pt}\kern-10.2pt \mathcal W} =1$ давали (тривиальное) решение. Наша следующая цель состоит в том, чтобы понять, какие тау-функции решетки Тоды описывают решение иерархии B-Тоды. Используя определение волновых функций (2.11), мы рассмотрим соотношения (3.12), (3.13) как уравнения на волновые функции:
$$
\begin{equation}
(z - z^{-1})\psi_n^*(\mathbf{T}, -\mathbf{T};z)={} \frac{\tau_{n-1}(\mathbf{T}, -\mathbf{T})}{\tau_{n}(\mathbf{T}, -\mathbf{T})} \bar{\psi}_{n-1}(\mathbf{T}, -\mathbf{T};z^{-1})-{} \nonumber
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
$$
\begin{equation}
-\frac{\tau_{n}(\mathbf{T}, -\mathbf{T})}{\tau_{n+1}(\mathbf{T}, -\mathbf{T})} \bar{\psi}_{n+1}(\mathbf{T}, -\mathbf{T};z^{-1}),
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
(z - z^{-1})\bar{\psi}_n^*(\mathbf{T}, -\mathbf{T};z^{-1})={} \frac{\tau_{n}(\mathbf{T}, -\mathbf{T})}{\tau_{n+1}(\mathbf{T}, -\mathbf{T})} \psi_{n+1}(\mathbf{T}, -\mathbf{T};z)-{} \nonumber
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
$$
\begin{equation}
- \frac{\tau_{n-1}(\mathbf{T}, -\mathbf{T})}{\tau_{n}(\mathbf{T}, -\mathbf{T})} \psi_{n-1}(\mathbf{T}, -\mathbf{T};z).
\end{equation}
\notag
$$
В свою очередь, подставив в эти уравнения формулы (2.15), получим следующие соотношения на тау-функции:
$$
\begin{equation}
(1-z^{-2})\tau_n (\mathbf{T}+[z^{-1}], -\mathbf{T}) ={} \frac{\tau_{n}(\mathbf{T}, -\mathbf{T})}{\tau_{n-1}(\mathbf{T}, -\mathbf{T})} \tau_{n-1} (\mathbf{T}, -\mathbf{T}-[z^{-1}])-{} \nonumber
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
$$
\begin{equation}
-z^{-2} \frac{\tau_{n-1}(\mathbf{T}, -\mathbf{T})}{\tau_{n}(\mathbf{T}, -\mathbf{T})} \tau_{n+1} (\mathbf{T}, -\mathbf{T}-[z^{-1}]),
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
(1-z^{-2})\tau_n (\mathbf{T}, -\mathbf{T}+[z^{-1}]) ={} \frac{\tau_{n}(\mathbf{T}, -\mathbf{T})}{\tau_{n+1}(\mathbf{T}, -\mathbf{T})} \tau_{n+1} (\mathbf{T}-[z^{-1}], -\mathbf{T})-{} \nonumber
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
$$
\begin{equation}
-z^{-2} \frac{\tau_{n+1}(\mathbf{T}, -\mathbf{T})}{\tau_{n}(\mathbf{T}, -\mathbf{T})} \tau_{n-1} (\mathbf{T}-[z^{-1}], -\mathbf{T}).
\end{equation}
\notag
$$
Эти соотношения выделяют среди всех тау-функций те, которые соответствуют решениям иерархии B-Тоды. Комбинируя их с уравнениями Хироты–Мивы (2.19), которые мы запишем в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tau_{n}(\mathbf{T}+[z^{-1}], -\mathbf{T})&\tau_{n}(\mathbf{T}, -\mathbf{T}-[z^{-1}]) = \tau_{n}(\mathbf{T}, -\mathbf{T})\tau_{n}(\mathbf{T}+[z^{-1}], -\mathbf{T}-[z^{-1}])-{} \notag \\ &\qquad\qquad\quad- z^{-2}\tau_{n+1}(\mathbf{T}+[z^{-1}], -\mathbf{T}-[z^{-1}]) \tau_{n-1}(\mathbf{T}, -\mathbf{T}) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
(мы положили $\lambda =\mu =z$ и сдвинули $\mathbf{t}\to \mathbf{t}+[z^{-1}]$ в (2.19)), и, подставляя $\tau_{n}(\mathbf{T}+[z^{-1}], -\mathbf{T})$ из (3.16) в (3.18), получим $\tau_n X_n -z^{-2}\tau_{n-1}X_{n+1}=0$, где
$$
\begin{equation*}
X_n=\frac{\tau_{n}(\mathbf{T}, -\mathbf{T}-[z^{-1}]) \tau_{n-1}(\mathbf{T}, -\mathbf{T}-[z^{-1}])}{(1-z^{-2}) \tau_{n-1}(\mathbf{T}, -\mathbf{T})}- \tau_{n}(\mathbf{T}+[z^{-1}], -\mathbf{T}-[z^{-1}]).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как это должно быть выполнено тождественно, то $X_n=0$, т. е.
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tau_{n}(\mathbf{T}, -\mathbf{T}-[z^{-1}])&\tau_{n-1}(\mathbf{T}, -\mathbf{T}-[z^{-1}])={} \notag \\ &=(1-z^{-2})\tau_{n}(\mathbf{T}+[z^{-1}], -\mathbf{T}-[z^{-1}]) \tau_{n-1}(\mathbf{T}, -\mathbf{T}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
То же самое следует и из (3.17). Можно рассматривать соотношение (3.19) как связь (3.2), записанную в терминах тау-функций. Она выделяет тау-функции решетки Тоды, которые решают иерархию B-Тоды. Разлагая (3.19) по степеням $z^{-1}$, получим в первом неисчезающем порядке
$$
\begin{equation}
(\partial_{t_1}\ln \tau_n +\partial_{\bar{t}_1}\ln \tau_{n-1} ) |_{\bar{\mathbf{t}}=-\mathbf{t}}=0.
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
Мы предполагаем, что более общее условие (3.19) следует из (3.20), как это имело место в случае иерархии C-КП [15].
4. Тау-функция иерархии B-ТодыПока что мы имели дело с тау-функцией решетки Тоды $\tau_n(\mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}})$, которая зависела от обоих наборов времен $\mathbf{t}$ и $\bar{\mathbf{t}}$. Оказывается, что существует тау-функция $\tau_n^\mathrm{ B}(\mathbf{T})$, зависящая лишь от $T_k=(t_k-\bar{t}_k)/2$ и которую можно назвать тау-функцией иерархии B-Тоды. Эти две тау-функции связаны соотношением
$$
\begin{equation}
\tau_n(\mathbf{T}, -\mathbf{T})=\tau_n^\mathrm{ B}(\mathbf{T}) \tau_{n-1}^\mathrm{ B}(\mathbf{T}),
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где подразумевается, что тау-функция в левой части удовлетворяет условию (3.19). Это условие означает, что
$$
\begin{equation}
\tau_n(\mathbf{T}-[z^{-1}], -\mathbf{T})=(1 - z^{-2})^{1/2}\tau_n^\mathrm{ B}(\mathbf{T}) \tau_{n-1}^\mathrm{ B}(\mathbf{T}-[z^{-1}])
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
и
$$
\begin{equation}
\tau_n(\mathbf{T}, -\mathbf{T}-[z^{-1}])=(1 - z^{-2})^{1/2} \tau_n^\mathrm{ B}(\mathbf{T}+[z^{-1}]) \tau_{n-1}^\mathrm{ B}(\mathbf{T}).
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
При $z=\infty$ получаем (4.1). Уравнения (3.16), (3.17) принимают вид
$$
\begin{equation}
(1 - z^{-2})^{1/2} \tau_n(\mathbf{T}+[z^{-1}], -\mathbf{T})={} \tau_{n-1}^\mathrm{ B}(\mathbf{T}+[z^{-1}]) \tau_{n}^\mathrm{ B}(\mathbf{T})-{} \nonumber
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
$$
\begin{equation}
-z^{-2}\tau_{n+1}^\mathrm{ B}(\mathbf{T}+[z^{-1}]) \tau_{n-2}^\mathrm{ B}(\mathbf{T}),
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
(1 - z^{-2})^{1/2} \tau_n(\mathbf{T}, -\mathbf{T}+[z^{-1}])={} \tau_{n-1}^\mathrm{ B}(\mathbf{T}) \tau_{n}^\mathrm{ B}(\mathbf{T}-[z^{-1}])-{} \nonumber
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
$$
\begin{equation}
-z^{-2}\tau_{n+1}^\mathrm{ B}(\mathbf{T}) \tau_{n-2}^\mathrm{ B}(\mathbf{T}-[z^{-1}]).
\end{equation}
\notag
$$
Подставляя уравнения (4.2)–(4.5) в билинейное соотношение (2.18), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tau_{n'+1}^\mathrm{ B}(\mathbf{T}')&\oint_{C_{\infty}} [ z^{n-n'-1}e^{\xi (\mathbf{T}-\mathbf{T}',z)} \tau_{n-1}^\mathrm{ B}(\mathbf{T}-[z^{-1}])\tau_{n'}^\mathrm{ B}(\mathbf{T}'+[z^{-1}])+{} \notag \\ &\hphantom{={}}+z^{n'-n-3}e^{-\xi (\mathbf{T}-\mathbf{T}',z)} \tau_{n+1}^\mathrm{ B}(\mathbf{T}+[z^{-1}])\tau_{n'-2}^\mathrm{ B}(\mathbf{T}'-[z^{-1}]) ]\,dz={} \notag \\ &= \tau_{n'-1}^\mathrm{ B}(\mathbf{T}')\oint_{C_{\infty}} [ z^{n-n'-3}e^{\xi (\mathbf{T}-\mathbf{T}',z)} \tau_{n-1}^\mathrm{ B}(\mathbf{T}-[z^{-1}])\tau_{n'+2}^\mathrm{ B}(\mathbf{T}'+[z^{-1}])+{} \notag \\ &\hphantom{={}}+z^{n'-n-1}e^{-\xi (\mathbf{T}-\mathbf{T}',z)} \tau_{n+1}^\mathrm{ B}(\mathbf{T}+[z^{-1}])\tau_{n'}^\mathrm{ B}(\mathbf{T}'-[z^{-1}]) ]\,dz. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Сначала кажется, что полученные уравнения кубические (трилинейные) по $\tau_n^\mathrm{ B}$, а не билинейные. Однако ниже мы покажем, что эти соотношения эквивалентны билинейным уравнениям. Действительно, (4.6) имеет вид
$$
\begin{equation}
G_{n, n'}(\mathbf{T}, \mathbf{T}')-G_{n, n'+2}(\mathbf{T}, \mathbf{T}')=0,
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, G_{n, n'}(\mathbf{T}, \mathbf{T}')={}&\frac{1}{2\pi i} \oint_{C_{\infty}} \biggl[ z^{n-n'-1}e^{\xi (\mathbf{T}-\mathbf{T}',z)} \frac{\tau^\mathrm{ B}_{n-1}(\mathbf{T}-[z^{-1}])}{\tau^\mathrm{ B}_{n}(\mathbf{T})} \frac{\tau^\mathrm{ B}_{n'}(\mathbf{T}'+[z^{-1}])}{\tau^\mathrm{ B}_{n'-1}(\mathbf{T}')}+{} \notag \\ & + z^{n'-n-3}e^{-\xi (\mathbf{T}-\mathbf{T}',z)} \frac{\tau^\mathrm{ B}_{n+1}(\mathbf{T}+[z^{-1}])}{\tau^\mathrm{ B}_{n}(\mathbf{T})} \frac{\tau^\mathrm{ B}_{n'-2}(\mathbf{T}'-[z^{-1}])}{\tau^\mathrm{ B}_{n'-1}(\mathbf{T}')}\biggr]\, dz. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Из уравнения (2.21), определяющего сбалансированную калибровку, следует, что
$$
\begin{equation}
g(n)=\frac{\tau^\mathrm{ B}_n(\mathbf{T})}{\tau^\mathrm{ B}_{n-1}(\mathbf{T})}.
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Следовательно, волновые функции в этой калибровке имеют вид
$$
\begin{equation}
\Psi_n(\mathbf{T}; z) =\frac{\tau^\mathrm{ B}_{n-1}(\mathbf{T})}{\tau^\mathrm{ B}_{n}(\mathbf{T})} \psi_n(\mathbf{T}, -\mathbf{T};z) =(1-z^{-2})^{1/2} z^n e^{\xi (\mathbf{T},z)} \frac{\tau^\mathrm{ B}_{n-1}(\mathbf{T}-[z^{-1}])}{\tau^\mathrm{ B}_{n}(\mathbf{T})},
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
$$
\begin{equation}
\bar{\Psi}_n(\mathbf{T}; z) =\frac{\tau^\mathrm{ B}_{n-1}(\mathbf{T})}{\tau^\mathrm{ B}_{n}(\mathbf{T})} \bar{\psi}_n(\mathbf{T}, -\mathbf{T};z^{-1}) ={} \nonumber
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
$$
\begin{equation}
=(1-z^{-2})^{1/2} z^{-n} e^{-\xi (\mathbf{T},z)} \frac{\tau^\mathrm{ B}_{n+1}(\mathbf{T}+[z^{-1}])}{\tau^\mathrm{ B}_{n}(\mathbf{T})}.
\end{equation}
\notag
$$
Пользуясь (4.10), (4.11), перепишем (4.8) в виде
$$
\begin{equation}
G_{n, n'}(\mathbf{T}, \mathbf{T}')=\frac{1}{2\pi i} \oint_{C_{\infty}} [ \Psi_n(\mathbf{T};z)\bar{\Psi}_{n'-1}(\mathbf{T}';z) +\bar{\Psi}_n(\mathbf{T};z)\Psi_{n'-1}(\mathbf{T}';z) ] \frac{dz}{z^2-1}.
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Уравнение (4.7) означает, что $G_{n, n'}(\mathbf{T}, \mathbf{T}')$ периодично по $n'$ с периодом 2. Следовательно, достаточно рассмотреть два случая: $n'=n$ и $n'=n+1$. Сначала положим $\mathbf{T}'=\mathbf{T}$. Пользуясь (4.8), легко видеть, что $G_{n, n}(\mathbf{T}, \mathbf{T})=1$, $G_{n, n+1}(\mathbf{T}, \mathbf{T})=0$, т. е. $G_{n, n'}(\mathbf{T}, \mathbf{T})=(1 + (-1)^{n-n'})/2$. Теперь покажем, что $G_{n, n'}(\mathbf{T}, \mathbf{T}')$ не зависит от $\mathbf{T}'$, т. е. $G_{n, n'}(\mathbf{T}, \mathbf{T}')=(1 + (-1)^{n-n'})/2$ для всех $\mathbf{T}$, $\mathbf{T}'$. Представим $\bar{\Psi}_{n'-1}(\mathbf{T}';z)$ в (4.12) в виде ряда Тейлора по переменным $\mathbf{T}'-\mathbf{T}$. Каждое слагаемое в этом ряде содержит несколько производных $\bar{\Psi}_{n'-1}(\mathbf{T};z)$ по $T_k$. Уравнения (3.6) означают, что действие таких дифференциальных операторов на $\bar{\Psi}_{n'-1}(\mathbf{T};z)$ – это то же самое, что и действие разностных операторов по $n'$. Более того, как следует из (3.9), эти разностные операторы имеют вид $D (e^{\partial_{n'}}-e^{-\partial_{n'}})$ с некоторым оператором $D$. То же самое верно и для ряда Тейлора $\Psi_{n'-1}(\mathbf{T}';z)$. То есть каждое слагаемое при разложении $G_{n, n'}(\mathbf{T}, \mathbf{T}')$ (кроме самого первого) имеет вид $D (e^{\partial_{n'}}-e^{-\partial_{n'}})G_{n, n'}(\mathbf{T}, \mathbf{T}')$, но из (4.7) видно, что это выражение равно нулю. А значит, мы получаем билинейное уравнение на волновую функцию
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\pi i} \oint_{C_{\infty}} [ \Psi_n(\mathbf{T};z)\bar{\Psi}_{n'}(\mathbf{T}';z) +\bar{\Psi}_n(\mathbf{T};z)\Psi_{n'}(\mathbf{T}';z) ] \frac{dz}{z^2-1}= 1 - (-1)^{n-n'}.
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Для тау-функции оно принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{1}{\pi i} \oint_{C_{\infty}} &[z^{n-n'-2}e^{\xi (\mathbf{T}-\mathbf{T}',z)} \tau^\mathrm{ B}_{n-1}(\mathbf{T}-[z^{-1}])\tau^\mathrm{ B}_{n'+1}(\mathbf{T}'+[z^{-1}])+{} \notag \\ &\hphantom{={}}+ z^{n'-n-2}e^{-\xi (\mathbf{T}-\mathbf{T}',z)} \tau^\mathrm{ B}_{n+1}(\mathbf{T}+[z^{-1}])\tau^\mathrm{ B}_{n'-1}(\mathbf{T}'-[z^{-1}]) ]\,dz={} \notag \\ &=(1 - (-1)^{n-n'}) \tau^\mathrm{ B}_{n}(\mathbf{T})\tau^\mathrm{ B}_{n'}(\mathbf{T}'). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Это справедливо при всех $n, n'$ и $\mathbf{T}$, $\mathbf{T}'$. Нетрудно видеть, что простейшее (не зависящее от $n$) решение таково:
$$
\begin{equation*}
\tau^\mathrm{ B}_n(\mathbf{T})=\exp \biggl(\frac{1}{2}\sum_{k\geqslant 1}kT_k^2\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Другие примеры решений будут даны в следующем разделе. Отметим, что тау-функция B-Тоды определена с точностью до преобразования вида $\tau^\mathrm{ B}_n(\mathbf{T}) \to A^{(-1)^n}\tau^\mathrm{ B}_n(\mathbf{T})$ с некоторой константой $A$, которое оставляет уравнение (4.14) инвариантным. Положив $n'=n-1$, $\mathbf{T}-\mathbf{T}'=[\lambda^{-1}]+[\mu^{-1}]$, интеграл в (4.14) можно взять с помощью вычетов. Сделав это, получим четырехчленное уравнение типа Хироты–Мивы:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \lambda \tau^\mathrm{ B}_{n-1}(\mathbf{T}-[\mu^{-1}]) &\tau^\mathrm{ B}_{n}(\mathbf{T}-[\lambda^{-1}])-\mu \tau^\mathrm{ B}_{n-1}(\mathbf{T}-[\lambda^{-1}]) \tau^\mathrm{ B}_{n}(\mathbf{T}-[\mu^{-1}])-{} \notag \\ &\hphantom{={}}\qquad\qquad-(\lambda - \mu ) \tau^\mathrm{ B}_{n-1}(\mathbf{T}-[\lambda^{-1}]-[\mu^{-1}]) \tau^\mathrm{ B}_{n}(\mathbf{T}) ={} \notag \\ &= (\lambda^{-1} - \mu^{-1}) \tau^\mathrm{ B}_{n-2}(\mathbf{T} - [\lambda^{-1}] - [\mu^{-1}]) \tau^\mathrm{ B}_{n+1}(\mathbf{T}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.15}
$$
Покажем, что оно эквивалентно полностью дискретному уравнению B-КП, которое впервые было получено в работе [16]. Пусть $p_1, p_2, p_3$ – три целочисленные переменные. Определим функцию
$$
\begin{equation*}
\tau (p_1, p_2, p_3)=(1-\lambda^{-1}\mu^{-1})^{p_1p_2} \tau^\mathrm{ B}_{p_1+p_2+p_3+n-2}(\mathbf{T}+p_1[\mu^{-1}] +p_2 [\lambda^{-1}])
\end{equation*}
\notag
$$
и положим
$$
\begin{equation*}
\lambda =\frac{c+b}{c-b}, \qquad \mu =\frac{c+a}{c-a}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда уравнение (4.15) принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (c+a)(b+a)&(b-c)\tau (p_1+1, p_2, p_3)\tau (p_1, p_2+1, p_3+1)+{} \notag \\ & +(c+b)(b+a)(c-a)\tau (p_1, p_2+1, p_3)\tau (p_1+1, p_2, p_3+1)+{} \notag \\ & +(c+b)(c+a)(a-b)\tau (p_1, p_2, p_3+1)\tau (p_1+1, p_2+1, p_3)+{} \notag \\ & +(c-a)(c-b)(b-a)\tau (p_1, p_2, p_3)\tau (p_1+1, p_2+1, p_3+1) = 0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
что совпадает с полностью дискретным уравнением B-КП из работы [16]. Самое простое его решение – это $\tau (p_1, p_2, p_3)=1$. Мы видим, что на полностью дискретном уровне уравнения B-КП и B-Тоды практически совпадают (они различаются лишь линейной заменой переменных). Это аналогично тому, что происходит для иерархий КП и Тоды: на полностью дискретном уровне они по сути совпадают. Легко видеть, что уравнение (4.15) содержит все линейные уравнения на $\Psi$-функцию в виде (3.6). Действительно, в терминах $\Psi$-функции (4.10) оно может быть переписано как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (1-e^{-\partial_n})\Psi_{n+1}(\mathbf{T}, \lambda )&e^{-D(\lambda )} \Psi_{n}(\mathbf{T}, \mu )={} \notag \\ &=\Psi_{n+1}(\mathbf{T}, \lambda ) \Psi_{n}(\mathbf{T}, \mu )-\Psi_{n}(\mathbf{T}, \lambda ) \Psi_{n+1}(\mathbf{T}, \mu ), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.17}
$$
где $D(\lambda )$ – дифференциальный оператор
$$
\begin{equation*}
D(\lambda )=\sum_{k\geqslant 1}\frac{\lambda^{-k}}{k}\, \partial_{T_k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обращая разностный оператор $1-e^{-\partial_n}$ как
$$
\begin{equation*}
(1-e^{-\partial_n})^{-1}=\sum_{k\geqslant 0}e^{-k\partial_n},
\end{equation*}
\notag
$$
перепишем (4.17) в виде
$$
\begin{equation}
(e^{-D(\lambda )}-1)\Psi_{n}(\mathbf{T}, \mu )= \frac{1}{\Psi_{n+1}(\mathbf{T}, \lambda )}\sum_{k\geqslant 0} e^{-k\partial_n}\Psi_{n}(\mathbf{T}, \lambda)(e^{-\partial_n}-e^{\partial_n}) \Psi_{n}(\mathbf{T}, \mu ),
\end{equation}
\tag{4.18}
$$
или
$$
\begin{equation}
(e^{-D(\lambda )}-1 )\Psi_{n}(\mathbf{T}, \mu )= \sum_{k\geqslant 0}\frac{\Psi_{n-k}(\mathbf{T}, \lambda )}{\Psi_{n+1}(\mathbf{T}, \lambda )} ( \Psi_{n-k-1}(\mathbf{T}, \mu )-\Psi_{n-k+1}(\mathbf{T}, \mu ) ).
\end{equation}
\tag{4.19}
$$
Данное уравнение может быть рассмотренно как производящее для вспомогательных линейных задач. Разлагая обе его части по отрицательным степеням $\lambda$, заметим, что действие дифференциального оператора по $T_k$ эквивалентно действию разностного оператора, который делится справа на $e^{\partial_n}-e^{-\partial_n}$. Это полностью согласуется с (3.6), (3.9). Далее мы покажем, как уравнения (3.10) могут быть разрешены в терминах тау-функции $\tau^\mathrm{ B}_n(\mathbf{T})$. Положим [4]
$$
\begin{equation}
v_n=\frac{\tau^\mathrm{ B}_{n+1}\tau^\mathrm{ B}_{n-1}}{(\tau^\mathrm{ B}_n)^2}, \qquad f_n=\frac{\tau^\mathrm{ B}_{n+1}\tau^\mathrm{ B}_{n-1}}{(\tau^\mathrm{ B}_n)^2}\, \partial_{T_1} \ln \frac{\tau^\mathrm{ B}_{n+1}}{\tau^\mathrm{ B}_{n-1}},
\end{equation}
\tag{4.20}
$$
тогда первое уравнение в (3.10) удовлетворяется автоматически, в то время как второе перепишется в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{\partial_{T_2}\tau^\mathrm{ B}_{n+1}}{\tau^\mathrm{ B}_{n+1}}&+ \frac{\partial_{T_2}\tau^\mathrm{ B}_{n-1}}{\tau^\mathrm{ B}_{n-1}}-2 \frac{\partial_{T_2}\tau^\mathrm{ B}_{n}}{\tau^\mathrm{ B}_{n}} -\frac{\partial_{T_1}^2\tau^\mathrm{ B}_{n+1}}{\tau^\mathrm{ B}_{n+1}} +\frac{\partial_{T_1}^2\tau^\mathrm{ B}_{n-1}}{\tau^\mathrm{ B}_{n-1}}+{} \\ &+2\frac{\partial_{T_1}\tau^\mathrm{ B}_{n+1}\partial_{T_1}\tau^\mathrm{ B}_{n}}{\tau^\mathrm{ B}_{n+1}\tau^\mathrm{ B}_{n}}- 2\frac{\partial_{T_1}\tau^\mathrm{ B}_{n-1}\partial_{T_1}\tau^\mathrm{ B}_{n}}{\tau^\mathrm{ B}_{n-1}\tau^\mathrm{ B}_{n}} +2\frac{\tau^\mathrm{ B}_{n+2}\tau^\mathrm{ B}_{n-1}}{\tau^\mathrm{ B}_{n+1}\tau^\mathrm{ B}_{n}} -2\frac{\tau^\mathrm{ B}_{n-2}\tau^\mathrm{ B}_{n+1}}{\tau^\mathrm{ B}_{n-1}\tau^\mathrm{ B}_{n}}=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это кубическое уравнение на $\tau^\mathrm{ B}_n$, однако легко видеть, что его можно свести к билинейному уравнению
$$
\begin{equation}
\frac{\partial_{T_2}\tau^\mathrm{ B}_{n+1}}{\tau^\mathrm{ B}_{n+1}}- \frac{\partial_{T_2}\tau^\mathrm{ B}_{n}}{\tau^\mathrm{ B}_{n}} -\frac{\partial_{T_1}^2\tau^\mathrm{ B}_{n+1}}{\tau^\mathrm{ B}_{n+1}} -\frac{\partial_{T_1}^2\tau^\mathrm{ B}_{n}}{\tau^\mathrm{ B}_{n}} +2\frac{\partial_{T_1}\tau^\mathrm{ B}_{n+1}\partial_{T_1}\tau^\mathrm{ B}_{n}}{\tau^\mathrm{ B}_{n+1}\tau^\mathrm{ B}_{n}} +2\frac{\tau^\mathrm{ B}_{n+2}\tau^\mathrm{ B}_{n-1}}{\tau^\mathrm{ B}_{n+1}\tau^\mathrm{ B}_{n}}=2.
\end{equation}
\tag{4.21}
$$
Наконец, докажем, что из билинейного соотношения для волновых функций (4.13) следует существование тау-функции $\tau^\mathrm{ B}_n(\mathbf{T})$ такой, что волновые функции выражаются с помощью формул (4.10), (4.11). С этой целью представим волновые функции в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Psi_n(\mathbf{T};z)&=(1 - z^{-2})^{1/2} z^n e^{\xi (\mathbf{T}, z)}w_n(\mathbf{T}, z), \\ \bar{\Psi}_n(\mathbf{T};z)&=(1 - z^{-2})^{1/2} z^{-n} e^{-\xi (\mathbf{T}, z)}\bar w_n(\mathbf{T}, z), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $w_n(\mathbf{T}, z)$, $\bar w_n(\mathbf{T}, z)$ – регулярные функции от $z$ вблизи $\infty$. Положим $\mathbf{T}-\mathbf{T}'=[a^{-1}]$ в (4.13), так что $e^{\xi (\mathbf{T}-\mathbf{T}', z)} =a/(a-z)$, и рассмотрим случаи $n'=n$ и $n'=n-1$. Вычисляя вычеты, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{cases} w_n(\mathbf{T}, a)\bar w_n(\mathbf{T}-[a^{-1}], a)= \bar w_n(\mathbf{T}, \infty )w_n(\mathbf{T}-[a^{-1}], \infty ), \\ w_n(\mathbf{T}, a)\bar w_{n-1}(\mathbf{T}-[a^{-1}], a)=1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{4.22}
$$
Из этих уравнений следует, что
$$
\begin{equation}
\frac{w_n(\mathbf{T}, a)}{w_{n+1}(\mathbf{T}, a)}= \frac{w_n(\mathbf{T}-[a^{-1}], \infty )}{w_{n+1}(\mathbf{T}, \infty )}.
\end{equation}
\tag{4.23}
$$
Рассмотрим функцию
$$
\begin{equation*}
\tilde w_n(\mathbf{T}, a)=\frac{w_n(\mathbf{T}, a)}{w_{n}(\mathbf{T}, \infty )}, \qquad \tilde w_n(\mathbf{T}, \infty )=1.
\end{equation*}
\notag
$$
В терминах этой функции соотношение (4.23) перепишется в виде
$$
\begin{equation*}
\ln \tilde w_n(\mathbf{T}, a)-\ln \tilde w_{n+1}(\mathbf{T}, a)= \ln w_n(\mathbf{T}-[a^{-1}], \infty )-\ln w_{n+1}(\mathbf{T}, \infty ),
\end{equation*}
\notag
$$
т. е.
$$
\begin{equation*}
\ln \tilde w_n(\mathbf{T}, a)=F_n(\mathbf{T}-[a^{-1}])-F_n(\mathbf{T})
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторой функции $F_n$. Это значит, что $w_n(\mathbf{T}, a)$ можно представить в виде
$$
\begin{equation*}
w_n(\mathbf{T}, a)=\frac{\rho_n(\mathbf{T}-[a^{-1}])}{\rho_n(\mathbf{T})} w_n(\mathbf{T}, \infty )
\end{equation*}
\notag
$$
для некоторой $\rho_n$. Положив
$$
\begin{equation*}
\tau_n^\mathrm{ B}(\mathbf{T})=\frac{\rho_n(\mathbf{T})}{w_n(\mathbf{T}, \infty )}, \qquad \tau_{n-1}^\mathrm{ B}(\mathbf{T})=\rho_n(\mathbf{T}),
\end{equation*}
\notag
$$
придем к уравнению (4.10). Уравнение (4.11) получается из него при использовании второго уравнения из (4.22).
5. Солитонные решения$N$-солитонные решения иерархии B-Тоды – это специализации $2N$-солитонных решений иерархии Тоды. В общем виде тау-функция $2N$-солитонного решения зависит от $6N$ параметров $\alpha_i$, $p_i$, $q_i$, $i=1, \ldots , 2N$, и задается формулой
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tau_n & \biggl[ \begin{array}{c}\alpha_1 \\ p_1, q_1\end{array}; \begin{array}{c}\alpha_2 \\ p_2, q_2\end{array}; \begin{array}{c}\alpha_3 \\ p_3, q_3\end{array}; \begin{array}{c}\alpha_4 \\ p_4, q_4\end{array}; \cdots ; \begin{array}{c}\alpha_{2N-1} \\ p_{2N-1}, q_{2N-1}\end{array}; \begin{array}{c}\alpha_{2N} \\ p_{2N}, q_{2N}\end{array}\biggr] (\mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}})={} \notag \\ &=\exp \biggl(-\sum_{k\geqslant 1} kt_k \bar{t}_k \biggr) \det_{1\leqslant i,j\leqslant 2N} \biggl( \delta_{ij}+ \alpha_i \frac{p_i-q_i}{p_i-q_j} \biggl(\frac{p_i}{q_i}\biggr)^n e^{\zeta (p_i, q_i; \mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}})} \biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\zeta (p_i, q_i; \mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}})=\xi (\mathbf{t}, p_i)- \xi (\mathbf{t}, q_i)+\xi (\bar{\mathbf{t}}, p_i^{-1})- \xi (\bar{\mathbf{t}}, q_i^{-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Определим тау-функцию
$$
\begin{equation}
\tilde \tau_n(\mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}})= \exp \biggl(\,\sum_{k\geqslant 1} kt_k \bar{t}_k \biggr) \tau_n(\mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}}),
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
тогда, разлагая детерминант в (5.1), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\tilde \tau_n(\mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}})=\sum_{m=0}^{2N} \sum_{i_1<i_2< \ldots < i_m}^{2N} \biggl(\,\prod_{\gamma =1}^m \alpha_{i_{\gamma}}e^{\eta_{i_{\gamma}}}\biggr) \prod_{\mu <\nu}^{m}c_{i_{\mu}i_{\nu}}={} \notag \\ & =1+\sum_{i=1}^{2N}\alpha_i e^{\eta_i}+\sum_{i<j}^{2N}\alpha_i \alpha_j c_{ij}e^{\eta_i +\eta_j}+ \sum_{i<j<k}^{2N}\alpha_i \alpha_j \alpha_k c_{ij}c_{ik}c_{jk}e^{\eta_i +\eta_j+\eta_k}+\cdots, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
где
$$
\begin{equation}
e^{\eta_i}=\biggl (\frac{p_i}{q_i}\biggr)^{\!n} e^{\zeta (p_i, q_i; \mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}})}, \qquad c_{ij}=\frac{(p_i-p_j)(q_i-q_j)}{(p_i-q_j)(q_i-p_j)}.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Чтобы получить солитонное решение иерархии B-Тоды, нужно специализировать (5.1) следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tau_n \biggl[ \begin{array}{c}\beta_1(q_1^{-1} - q_1 ) \\ p_1, q_1^{-1}\end{array}; \begin{array}{c}\beta_1(p_1 - p_1^{-1} ) \\ q_1, p_1^{-1} \end{array}; & \begin{array}{c}\beta_2(q_2^{-1} - q_2 ) \\ p_2, q_2^{-1}\end{array}; \begin{array}{c}\beta_2(p_2 - p_2^{-1} ) \\ q_2, p_2^{-1} \end{array}; \ldots ; \notag \\ &\begin{array}{c}\beta_{N}(q_N^{-1} - q_N ) \\ p_{N}, q_{N}^{-1}\end{array}; \begin{array}{c}\beta_{N} (p_N - p_N^{-1} )\\ q_{N}, p_{N}^{-1}\end{array} \biggr] (\mathbf{T}, -\mathbf{T}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
где $\beta_i$, $p_i$, $q_i$ – $3N$ произвольных параметров. Например, при $N=1$ с $p_1=p$, $q_1=q$, $\beta_1=\beta$ получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tilde \tau_n(\mathbf{T}, -\mathbf{T})&= 1+\beta (p - p^{-1} + q^{-1} - q)(pq)^n e^{\zeta (\mathbf{T})} +\beta^2 (p-q)^2(pq)^{2n-1} e^{2\zeta (\mathbf{T})}={} \notag \\ &= (1+\beta (p-q)(pq)^n e^{\zeta (\mathbf{T})} ) (1+\beta (p-q)(pq)^{n-1} e^{\zeta (\mathbf{T})}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
где
$$
\begin{equation}
\zeta (\mathbf{T})=\xi (\mathbf{T}, p)+\xi (\mathbf{T}, q)- \xi (\mathbf{T}, p^{-1})-\xi (\mathbf{T}, q^{-1}).
\end{equation}
\tag{5.7}
$$
Следовательно, односолитонная тау-функция $\tau_n^\mathrm{ B}(\mathbf{T})$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\tau_n^\mathrm{ B}(\mathbf{T})=\exp \biggl(\frac{1}{2}\sum_{k\geqslant 1}kT_k^2\biggr) (1+\beta (p-q)(pq)^n e^{\zeta (\mathbf{T})}).
\end{equation}
\tag{5.8}
$$
Похожие, но более долгие вычисления дают следующий результат для двухсолитонной тау-функции:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tau_n^\mathrm{ B}(\mathbf{T})={}& \exp \biggl(\frac{1}{2}\sum_{k\geqslant 1}kT_k^2\biggr) (1+\beta_1 (p_1 - q_1)(p_1q_1)^n e^{\zeta _1(\mathbf{T})}+ \beta_2 (p_2 - q_2)(p_2q_2)^n e^{\zeta _2(\mathbf{T})}+{} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad +\beta_1\beta_2 (p_1 - q_1)(p_2 - q_2)b_{12} e^{\zeta _1(\mathbf{T}) +\zeta _2(\mathbf{T})}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.9}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\zeta_i (\mathbf{T})=\xi (\mathbf{T}, p_i)+\xi (\mathbf{T}, q_i)- \xi (\mathbf{T}, p_i^{-1})-\xi (\mathbf{T}, q_i^{-1})
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation}
b_{ij}=\frac{(p_i-q_j)(p_i-p_j)(q_i-p_j)(q_i-q_j)}{(p_iq_j - 1) (p_ip_j - 1)(q_ip_j - 1)(q_iq_j - 1)}.
\end{equation}
\tag{5.10}
$$
Покажем, что $N$-солитонная тау-функция имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tau_n^\mathrm{ B}(\mathbf{T})={}& \exp \biggl(\frac{1}{2}\sum_{k\geqslant 1}kT_k^2\biggr)\times{} \notag \\ &\hphantom{={}}\times \sum_{m=0}^{N} \sum_{i_1<i_2< \ldots < i_m}^{N} \biggl(\,\prod_{\gamma =1}^m \beta_{i_{\gamma}}(p_{i_{\gamma}} - q_{i_{\gamma}})(p_{i_{\gamma}} q_{i_{\gamma}})^n e^{\zeta_{i_{\gamma}}(\mathbf{T})}\biggr) \prod_{\mu <\nu}^{m}b_{i_{\mu}i_{\nu}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
Для этого докажем, что функции (5.5) и (5.11) удовлетворяют уравнению (4.2). Прямая подстановка показывает, что этот факт основан на некотором тождестве для рациональных функций. Пусть $I$ – множество $\{1,2, \ldots , N\}$, а $I_1, I_2$ – его подмножества такие, что $I_1 \cup I_2 =I$, $I_1\cap I_2 =\emptyset$. Тогда тождество запишется в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \prod_{i\in I} (p_i-q_i)&\sum_{I_1, I_2}\prod_{i\in I_1} \frac{(z- p_i)(z- q_i)}{(p_iz - 1)(q_iz - 1)}\times{} \notag \\ &\hphantom{={}}\times \prod_{{\scriptsize \begin{array}{c} i,j\in I_1\\ i<j\end{array}}} \frac{(p_i-p_j)(p_i-q_j)(q_i-q_j)(q_i-p_j)}{(p_ip_j - 1)(p_iq_j - 1) (q_iq_j - 1)(q_ip_j - 1)}\times{} \notag \\ &\hphantom{={}}\times \prod_{{\scriptsize \begin{array}{c} i,j\in I_2\\ i<j\end{array}}} \frac{(p_i-p_j)(p_i-q_j)(q_i-q_j)(q_i-p_j)}{(p_ip_j - 1)(p_iq_j - 1) (q_iq_j - 1)(q_ip_j - 1)}={} \notag \\ &= \sum_{I_1, I_2}\biggl(\,\prod_{i\in I_1} \frac{z-p_i}{q_iz-1} (1-q_i^2)\biggr) \biggl(\,\prod_{i\in I_2} \frac{z-q_i}{p_iz-1} (p_i^2-1)\biggr) \times{} \notag \\ &\hphantom{={}}\times \prod_{{\scriptsize \begin{array}{c} i,j\in I_1\\ i<j\end{array}}} \frac{(p_i-p_j)(q_i-q_j)}{(p_iq_j - 1) (q_ip_j - 1)} \prod_{{\scriptsize \begin{array}{c} i,j\in I_2\\ i<j\end{array}}} \frac{(p_i-p_j)(q_i-q_j)}{(p_iq_j - 1) (q_ip_j - 1)}\times{} \notag \\ &\hphantom{={}}\times \prod_{i_1 \in I_1, i_2 \in I_2} \frac{(p_{i_1}-p_{i_2})(q_{i_1}-p_{i_2})}{(p_{i_1}p_{i_2} - 1) (q_{i_1}q_{i_2} - 1)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.12}
$$
Сумма берется по всем разбиениям множества $I$ на два несвязных подмножества $I_1, I_2$ ($I_1$ или $I_2$ могут быть пустыми). Выражение слева (справа) берется из правой (левой) стороны (4.2). Нетрудно видеть, что это тождество верно для $N=1$. Чтобы доказать его в общем случае, воспользуемся индукцией. Пусть (5.12) верно для некоторого $N$, тогда дальнейшее рассуждение покажет, что оно верно и для $N+ 1$. Обе части (5.12) – рациональные функции от $z$ с $2N$ простыми полюсами в точках $z=p_i^{-1}$ и $z=q_i^{-1}$, ведущие себя как $O(1)$ при $z\to \infty$. Рассмотрим, например, полюсы в $z=p_1^{-1}$. Как нетрудно видеть, равенство вычетов эквивалентно тому же уравнению (5.12), но с заменой $N\to N-1$ и $z=q_1$. Следовательно, вычеты обоих выражений совпадают по предположению индукции. Аналогично это доказывается и для других полюсов. Тем самым разность правой и левой частей (5.12) не зависит от $z$. В таком случае достаточно вычислить ее при каком-то конкретном $z$, например при $z=p_1$. Используя предположение индукции вновь, легко видеть, что она равна нулю. Наконец, заметим, что тау-функция (5.11) представляется в виде пфаффиана. Напомним, что пфаффиан кососимметричной ($2N \times 2N$)-матрицы $A$ – это квадратный корень из ее детерминанта (который оказывается полным квадратом). Он задается явной формулой
$$
\begin{equation*}
\operatorname{pf} A =\sum (-1)^P A_{i_1i_2}A_{i_3i_4}\ldots A_{i_{2N-1}i_{2N}},
\end{equation*}
\notag
$$
где сумма берется по всем перестановкам индексов $1,2, \ldots , 2N$ таким, что
$$
\begin{equation*}
i_1<i_2,\; i_3<i_4,\; \dots,\; i_{2N-1}<i_{2N}, \qquad i_1<i_3<\cdots < i_{2N-1},
\end{equation*}
\notag
$$
и $P$ – четность перестановки. Например для $N=1$ получим $\operatorname{pf} A =A_{12}$ и при $N=2$ $\operatorname{pf} A =A_{12}A_{34}-A_{13}A_{24}+A_{14}A_{23}$. Пусть $J$ – кососимметричная ($2N \times 2N$)-матрица с матричными элементами $J_{2i-1, 2i}=1$, $J_{2i, 2i-1}=-1$ и всеми остальными матричными элементами, равными нулю. Пусть $B$ – следующая кососимметричная матрица:
$$
\begin{equation}
B_{ij}=J_{ij}+\nu_i \nu_j \frac{r_i-r_j}{r_ir_j-1} (r_ir_j)^n e^{\zeta (\mathbf{T}, r_i)+\zeta (\mathbf{T}, r_j)},
\end{equation}
\tag{5.13}
$$
где $r_{2i-1}=p_i$, $r_{2i}=q_i$, $\nu_{2i-1}=\nu_{2i}=\gamma_i$, $i=1, \ldots , N$,
$$
\begin{equation*}
\zeta (\mathbf{T}, r)=\xi (\mathbf{T}, r)-\xi (\mathbf{T}, r^{-1}).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда тау-функция (5.11) с $\beta_i=\gamma_i^2/(p_iq_i-1)$ равна
$$
\begin{equation}
\tau_n^\mathrm{ B}(\mathbf{T})= \exp \biggl(\frac{1}{2}\sum_{k\geqslant 1}kT_k^2\biggr) \operatorname{pf} (J+B).
\end{equation}
\tag{5.14}
$$
Эквивалентность (5.11) и (5.14) следует из формулы
$$
\begin{equation}
\operatorname{pf}\biggl(\frac{x_i-x_j}{x_{i}x_{j}-1}\biggr)_{1\leqslant i,j\leqslant 2n}= \prod_{k<l}\frac{x_k-x_l}{x_kx_l-1}
\end{equation}
\tag{5.15}
$$
(см., например, [17], [18]), которая может рассматриваться как пфаффиановский аналог формулы для детерминанта матрицы Коши, и формулы для пфаффиана матрицы $J+B$:
$$
\begin{equation}
\operatorname{pf} (J+B)=1+ \sum_{m=1}^{N}\sum_{i_1< \ldots <i_m}^N \operatorname{pf} B(2i_1 - 1, 2i_1; 2i_2 - 1, 2i_2;\ldots ; 2i_m - 1, 2i_m),
\end{equation}
\tag{5.16}
$$
где $B(2i_1- 1, 2i_1; 2i_2 - 1, 2i_2;\ldots ; 2i_m - 1, 2i_m)$ – кососимметричная ($2m \times 2m$)-матрица, состоящая из строк и столбцов матрицы $B$, пронумерованных индексами $2i_1 - 1, 2i_1; 2i_2 - 1, 2i_2;\ldots ; 2i_m -1, 2i_m$. Последнюю формулу легко доказать индукцией по $N$.
6. Заключительные замечанияВ данной работе мы рассмотрели иерархию B-Тоды, которая является подиерархией решетки Тоды и может быть получена из нее наложением связи (1.1) или (3.2) (связь типа B). Нашей задачей была формулировка иерархии B-Тоды в терминах тау-функций. В предыдущей работе на эту тему [4] данному вопросу не было уделено достаточно внимания. Мы показали, каким именно тау-функциям решетки Тоды $\tau_n(\mathbf{t}, \bar{\mathbf{t}})$ соответствуют решения иерархии B-Тоды (условие (3.19)). Кроме того, мы ввели тау-функцию $\tau^\mathrm{ B}_n(\mathbf{T})$ для иерархии B-Тоды, которая зависит от переменных $T_k=(t_k-\bar{t}_k)/2$ (с $t_k+\bar{t}_k=0$). Существование подобной тау-функции следует из билинейного уравнения (4.13) для волновых функций (решений вспомогательных линейных задач). Мы также получили билинейное интегральное уравнение на тау-функцию $\tau^\mathrm{ B}_n(\mathbf{T})$, которое содержит в себе все уравнения иерархии. В качестве важного следствия было получено четырехчленное билинейное уравнение (4.15) для $\tau^\mathrm{ B}_n(\mathbf{T})$, которое после линейных замен переменных оказывается эквивалентным полностью дискретному уравнению B-КП для тау-функции $\tau^\mathrm{BKP}$. Кроме того, мы детально изучили солитонные решения иерархии B-Тоды и показали, как они выражаются через пфаффианы антисимметричных матриц специального вида. Этот результат аналогичен известному результату для солитонных решений иерархии B-КП [19], [20]. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ZabPro23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|