| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 4 научных статьях (всего в 4 статьях) Модифицированная задача Римана–Гильберта для нелинейного уравнения Шредингера с производной: исчезающие начальные условия Юн-Шуай Чжанa , Хай-Бин Уa, Дэ-Цинь Цюb a Department of Mathematics, Zhejiang University of Science and Technology, Hangzhou, Zhejiang province, China b School of Mathematics and Statistics, Huizhou University, Huizhou, Guangdong province, China
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923100112 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеНелинейное уравнение Шредингера с производной (НУШп) где нижние индексы обозначают частные производные, имеет много физических приложений. Оно хорошо описывает низкоамплитудные нелинейные альвеновские волны в плазме с малым параметром $\beta$ (отношение кинетического давления к магнитному), распространяющиеся строго параллельно или под малым углом по отношению к внешнему магнитному полю [1]–[5]. В работе [4] на основе НУШп рассматривалась теория квазипараллельных нелинейных низкоамплитудных магнитогидродинамических (МГД) волн, которая применялась при анализе нелинейных МГД-волн в головной ударной волне в магнитосфере Земли [6]. Темные солитоны НУШп, распространяющиеся под большими углами по отношению к внешнему магнитному полю, являются стационарными решениями системы МГД-уравнений с эффектами Холла [7], и поэтому НУШп может описывать распространение нелинейных волн в плазме с большими $\beta$ в произвольном направлении по отношению к внешнему магнитному полю [8].НУШп интегрируемо [9] и является условием совместности уравнений
$$
\begin{equation}
\Phi_x=X(x,t,\lambda)\Phi,\qquad \Phi_t=T(x,t,\lambda)\Phi
\end{equation}
\tag{2}
$$
(пара Лакса), где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, X(x,t,\lambda)&=-i\lambda^2\sigma_3+\lambda U, \\ T(x,t,\lambda)&=-2i\lambda^4\sigma_3+2\lambda^3 U-i\lambda^2 U^2\sigma_3+\lambda U^3-i\lambda U_x \sigma_3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Другими словами, НУШп эквивалентно уравнению $X_t-T_x+[X,T]=0$. При этом $\Phi\,{=}\,\Phi(x,t,\lambda)$ есть ($2\times 2$)-матричнозначная собственная функция, $\lambda$ – комплексный спектральный параметр, а матрица потенциала $U=U(x,t)$ имеет вид
$$
\begin{equation}
U=\begin{bmatrix} \phantom{-}0 & u \\ -u^* & 0 \end{bmatrix}.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Здесь и далее звездочка означает комплексное сопряжение, $\sigma_3$ – одна из спиновых матриц Паули, которые задаются как
$$
\begin{equation}
\sigma_1=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},\qquad \sigma_2=\begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & \phantom{-}0 \end{bmatrix},\qquad \sigma_3=\begin{bmatrix} 1 & \phantom{-}0 \\ 0 &-1 \end{bmatrix}.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Метод обратной задачи рассеяния (МОЗР) для уравнения НУШп с нулевым на бесконечности граничным условием был впервые представлен в работе Каупа и Ньюэлла [9]. От спектральной задачи Захарова–Шабата (ЗШ) задача на собственные значения для уравнения НУШп отличается тем, что ее решения Йоста не стремятся к свободному решению Йоста, когда $|\lambda|$ стремится к $+\infty$. Это приводит к тому, что интеграл от ядра ЗШ вдоль большой окружности дает ненулевой вклад. Чтобы справиться с этой проблемой, Кауп и Ньюэлл ввели функцию $W(x)$, на которую умножается ядро ЗШ; после такого преобразования ядро начинает стремиться к нулю при $|\lambda|\to+\infty$ [9]. Далее с использованием стандартного МОЗР получаются солитонные решения $N$-го порядка. Однако в формулы для этих солитонов входит интегральный множитель, зависящий от самого́ решения, что затрудняет получение явных выражений. Хуан с соавторами в работах [10], [11] предложил модификацию МОЗР, разработанного Каупом и Ньюэллом. В работе [10] они ввели подходящий множитель $\lambda^{-1}$ или $\lambda^{-2}$ в обычное интегральное ядро ЗШ, при этом интеграл от ядра ЗШ по большому кругу дает нулевой вклад. Опираясь на асимптотику решений Йоста, авторы сформулировали модифицированную обратную задачу и получили явные формулы для солитонов $N$-го порядка. В работе [11] в качестве основного параметра был взят $\kappa=\lambda^{-1}$, и тогда решения Йоста стремятся к свободному решению Йоста при $|\lambda|\to 0$ или $|\kappa|\to\infty$. В этом случае работает обычный МОЗР и получаются явные выражения для солитонов $N$-го порядка. Недавно в работе [12] Ян с соавторами рассмотрел НУШп с исчезающими и неисчезающими граничными условиями, используя матричную задачу Римана–Гильберта (ЗРГ). Были получены решения ЗРГ с $N$ парами полюсов второго порядка. Однако полученные выражения также включают интегральный множитель, зависящий от решения (см. формулу (63) в [12]), поэтому нельзя записать решения НУШп в явном виде. Это побудило нас преобразовать обычную ЗРГ в обратную задачу рассеяния для уравнения НУШп так, чтобы можно было получить явные решения, отвечающие произвольному количеству полюсов произвольно высокого порядка. Как мы отмечали в работе [13], достаточно рассмотреть случай одного полюса высокого порядка, потому что из него можно получить решения для произвольного количества полюсов. Настоящая статья организована следующим образом. В разделе 2 мы приводим краткое описание спектрального анализа НУШп, в том числе асимптотические, аналитические и симметрийные свойства решений Йоста. В разделе 3 мы строим модифицированные ЗРГ и обратную задачу исходя из асимптотического поведения решений Йоста при $\lambda\to 0$ и $|\lambda|\to\infty$. Для этих задач мы находим решения $N$-го порядка, включающие солитоны и позитоны $N$-го порядка, предполагая соответственно, что ЗРГ имеет $N$ пар простых полюсов и одну пару полюсов $N$-го порядка. Применяя формулу Коши–Бине, мы получаем явные выражения для $N$-солитоннных решений. Для задачи с одной парой полюсов порядка выше единицы мы выписываем явное выражение для позитона второго порядка, а позитонные решения третьего и четвертого порядков представляем графически. Обсуждения и выводы приведены в заключительном разделе 4. 2. Спектральный анализИсчезающие граничные условия для НУШп записываются как и свободное решение Йоста имеет вид
$$
\begin{equation}
E(x,t,\lambda)=e^{-i\lambda^2\sigma_3 x-2i\lambda^4\sigma_3 t}.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Пусть
$$
\begin{equation}
\Phi=\Psi e^{-i\lambda^2\sigma_3 x-2i\lambda^4\sigma_3t},
\end{equation}
\tag{7}
$$
тогда функция $\Psi(x,t,\lambda)$ удовлетворяет уравнениям
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Psi_x+i\lambda^2[\sigma_3,\Psi]&=\lambda U \Psi, \\ \Psi_t+2i\lambda^4[\sigma_3,\Psi]&=(2\lambda^3 U-i\lambda^2 U^2\sigma_3+\lambda U^3-i\lambda U_x \sigma_3)\Psi. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для этих уравнений получаем решение, которое записывается в виде интеграла Вольтерры:
$$
\begin{equation}
\Psi_{\pm}(x,\lambda)=I+\int^x_{\pm\infty}\lambda e^{-i\lambda^2(x-y)\sigma_3}U(y)\Psi_{\pm}(y,\lambda)e^{i\lambda^2(x-y)\sigma_3}\,dy.
\end{equation}
\tag{8}
$$
В силу единственности решения функции $\Phi_{\pm}$ удовлетворяют условию
$$
\begin{equation}
\Phi_{+}(x,t,\lambda)=\Phi_{-}(x,t,\lambda)S(\lambda),
\end{equation}
\tag{9}
$$
где
$$
\begin{equation}
S(\lambda)=\begin{bmatrix} \tilde a(\lambda) & b(\lambda) \\ \tilde b(\lambda) & a(\lambda) \end{bmatrix}.
\end{equation}
\tag{10}
$$
А именно, мы имеем
$$
\begin{equation}
\Psi_{+}=\Psi_{-}e^{-i(\lambda^2x+2\lambda^4t)\sigma_3}S(\lambda)e^{i(\lambda^2x+2\lambda^4t)\sigma_3}
\end{equation}
\tag{11}
$$
и
$$
\begin{equation}
S(\lambda)=e^{i (\lambda^2 x+2\lambda^4t)\sigma_3}\Psi_{-}^{-1}\Psi_{+}e^{-i(\lambda^2x+2\lambda^4t)\sigma_3}.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Первый столбец $\Psi_{+,1}$ матрицы $\Psi_{+}$ и второй столбец $\Psi_{-,2}$ матрицы $\Psi_{-}$ являются аналитическими в области $C_{-}$ и непрерывными в области $C_{-}\cup\Sigma$; столбцы $\Psi_{-,1}$ и $\Psi_{+,2}$ являются аналитическим в области $C_{+}$ и непрерывными в области $C_{+}\cup\Sigma$; функция $a(\lambda)$ аналитична в области $C_{+}$ и непрерывна в области $C_{+}\cup\Sigma$; наконец, функция $b(\lambda)$ всего лишь непрерывна в $\Sigma$. Здесь
$$
\begin{equation}
C_{+}=\{\lambda\colon \operatorname{Im} \lambda^2>0\},\qquad C_{-}=\{\lambda\colon \operatorname{Im} \lambda^2<0\},\qquad \Sigma=\mathbb{R}\cup i\mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Теорема 2.1. Решения Йоста удовлетворяют следующим симметрийным соотношениям: а функции $a(\lambda)$, $b(\lambda)$ – соотношениям Теорема 2.2. При $\lambda\to 0$ Главная трудность МОЗР связана с матрицами $D_{\pm}$. Из-за них решения Йоста $\Phi_{\pm}$ не стремятся к свободному решению Йоста $E(x,t,\lambda)$, а интеграл от ядра ЗШ по большой окружности дает ненулевой вклад [9]. Кроме того, решая ЗРГ, нельзя найти явное выражение для солитона $N$-го порядка, поскольку $D_{\pm}$ содержат интегральный множитель, зависящий от самого́ решения [12]. В следующем разделе мы переформулируем обычную ЗРГ для НУШп в соответствии с асимптотическим поведением решений Йоста и найдем решения $N$-го порядка в явном виде. 3. Модифицированная ЗРГ и солитонные решенияСформулируем следующую ЗРГ: для матрицы
$$
\begin{equation}
M(x,t,\lambda)=\begin{cases} e^{-i\delta_{-}\sigma_3}\biggl[\Psi_{-,1}\quad\dfrac{\Psi_{+,2}}{a(\lambda)}\biggr], & \lambda\in C_{+}, \\ e^{-i\delta_{-}\sigma_3}\biggl[\dfrac{\Psi_{+,1}}{a^*(\lambda^*)}\quad\Psi_{-,2}\biggr], & \lambda\in C_{-},\vphantom{\bigg[^2} \end{cases}
\end{equation}
\tag{19}
$$
требуется найти матрицы $M_{\pm}(x,t,\lambda)$, такие что
$$
\begin{equation}
M_{\pm}(x,t,\lambda)=\lim_{\substack{\lambda'\to\lambda,\\ \lambda'\in C_{\pm}}} M(x,t,\lambda'),\qquad\lambda\in\Sigma.
\end{equation}
\tag{20}
$$
В соответствии с соотношением (9)
$$
\begin{equation}
M_{+}(x,t,\lambda)=M_{-}(x,t,\lambda)e^{i(\lambda^2x+2\lambda^4t)\sigma_3}J(\lambda)e^{-i (\lambda^2x+2\lambda^4t)\sigma_3},
\end{equation}
\tag{21}
$$
где
$$
\begin{equation}
J(\lambda)=\begin{bmatrix} 1 & r(\lambda) \\ r^*(\lambda^*) & 1+r(\lambda)r^*(\lambda^*) \end{bmatrix},\qquad r(\lambda)=\frac{b(\lambda)}{a(\lambda)}.
\end{equation}
\tag{22}
$$
Теорема 3.1. Итегральный фазовый множитель $e^{-i\delta_{-}}$, определяющий асимптотическое поведение решений Йоста в теореме 2.2, имеет вид а решение НУШп задается как Модифицированная обратная задача для уравнения НУШп приведена в теореме 3.1. На основе этой обратной задачи далее мы находим решение ЗРГ с $N$ парами простых полюсов и одной парой полюсов $N$-го порядка и выписываем явные решения типа солитонов и позитонов $N$-го порядка. 3.1. Солитоны $N$-го порядка как решения НУШпЧтобы получить явное решение, рассмотрим безотражательную задачу, т. е. положим $b(\lambda)=0$ для $\lambda\in\Sigma$, и предположим, что функция $u(x,t)$ имеет компактный носитель. Функция $a(\lambda)$ четная по $\lambda$, поэтому если $\lambda=\lambda_k$ ($k=1,2,\ldots,N$) – простые нули этой функции, лежащие в первом квадранте, то $\lambda=-\lambda_k$ будут простыми нулями функции $a(\lambda)$, лежащими в третьем квадранте. При этом $\pm\lambda_k^*$ ($k=1,2,\ldots,N$) – простые нули функции $\tilde a(\lambda)$. Тогда функции $a(\lambda)$ и $\tilde a(\lambda)$ можно разложить как
$$
\begin{equation}
a(\lambda)=a_0(\lambda)\prod_{k=1}^N(\lambda^2-\lambda_k^2),\qquad \tilde a(\lambda)=\tilde a_0(\lambda)\prod_{k=1}^N(\lambda^2-\lambda_k^{*2}),
\end{equation}
\tag{25}
$$
где $a_0(\lambda)\neq 0$ для всех $\lambda\in C_{+}$ и $\tilde a_0(\lambda)\neq 0$ для всех $\lambda\in C_{-}$. Согласно формулировке ЗРГ $\pm\lambda_k$ ($k=1,2,\ldots,N$) являются простыми полюсами функции $M_{12}(x,t,\lambda)$, а $\pm\lambda_k^*$ ($k=1,2,\ldots,N$) – простыми полюсами функции $M_{11}(x,t,\lambda)$. Из (11) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathop{\rm Res}\limits _{\lambda=\lambda_k^*}M_{11}(x,t,\lambda)&= - \mathop{\rm Res}\limits _{\lambda=\lambda_k^*}[r^*(\lambda^*)e^{2i(\lambda^2x+2\lambda^4t)}M_{12}(x,t,\lambda)], \\ \mathop{\rm Res}\limits _{\lambda=\lambda_k}M_{12}(x,t,\lambda)&= \mathop{\rm Res}\limits _{\lambda=\lambda_k}[r(\lambda)e^{-2i(\lambda^2x+2\lambda^4t)}M_{11}(x,t,\lambda)]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{26}
$$
Используя симметрийные свойства из теоремы 2.1 и асимптотические свойства из теоремы 2.2 и вспоминая, что $u(x,t)$ имеет компактный носитель, находим, что $M_{11}(x,t,\lambda)$ – четная функция, а $M_{12}(x,t,\lambda)$ и $r(\lambda)$ – нечетные функции. При этом $M_{11 }(x,t,\lambda)$, $M_{12}(x,t,\lambda)$ и $r(\lambda)$ имеют следующие разложения:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, M_{11}(x,t,\lambda)&=1+\sum_{k=1}^N\biggl(\frac{1}{\lambda-\lambda_k^*}-\frac{1}{\lambda+\lambda_k^*}\biggr)f_k, \\ M_{12}(x,t,\lambda)&=\sum_{k=1}^N\biggl(\frac{1}{\lambda-\lambda_k}+\frac{1}{\lambda+\lambda_k}\biggr)g_k, \end{aligned}\\ r(\lambda)=r_0(\lambda)+\sum_{k=1}^N\biggl(\frac{1}{\lambda-\lambda_k}+\frac{1}{\lambda+\lambda_k}\biggr)r_k, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{27}
$$
где
$$
\begin{equation*}
r_k=\frac{b_k}{\dot a(\lambda_k)}, \qquad \dot a(\lambda_k)=\frac{da(\lambda)}{d\lambda}\bigg|_{\lambda=\lambda_k}
\end{equation*}
\notag
$$
и $f_k$, $g_k$ ($k=1,2,\ldots,N$) – неизвестные функции, подлежащие определению. Из условий для вычетов (26) следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, f_k&=-r_k^*e^{2i\theta(\lambda_k^*)}\sum_{j=1}^N\biggl(\frac{1}{\lambda_k^*-\lambda_j}+\frac{1}{\lambda_k^*+\lambda_j}\biggr)g_j, \\ g_k&=r_ke^{-2i\theta(\lambda_k)}\biggl[1+\sum_{j=1}^N\biggl(\frac{1}{\lambda_k-\lambda_j^*}-\frac{1}{\lambda_k+\lambda_j^*}\biggr)f_j\biggr], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{28}
$$
где $\theta(\lambda)=\lambda^2 x+2\lambda^4 t$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |F\rangle=\bigl[f_1\;\,f_2\;\,\ldots\;\,f_N\bigr],\qquad |G\kern1pt\rangle=\bigl[g_1\;\,g_2\;\,\ldots\;\,g_N\bigr], \\ |\eta\rangle=\bigl[\eta_1\;\,\eta_2\;\,\ldots\;\,\eta_N\bigr], \qquad \eta_k=r_ke^{-2i\theta(\lambda_k)}, \\ \begin{alignedat}{3} \Omega&=\bigl[\Omega_{kj}\bigr]_{N\times N},&\qquad \Omega_{kj}&=-r_k^*e^{2i\theta(\lambda_k^*)}\biggl(\frac{1}{\lambda_k^*-\lambda_j}+\frac{1}{\lambda_k^*+\lambda_j}\biggr), \\ \widetilde\Omega&=\bigl[\widetilde\Omega_{kj}\bigr]_{N\times N},&\qquad \widetilde\Omega_{kj}&=r_ke^{-2i\theta(\lambda_k)}\biggl(\frac{1}{\lambda_k-\lambda_j^*}-\frac{1}{\lambda_k+\lambda_j^*}\biggr), \end{alignedat} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
тогда линейные уравнения (28) можно переписать как
$$
\begin{equation}
|F\kern1pt\rangle=\Omega|G\kern1pt\rangle,\qquad |G\kern1pt\rangle=|\eta\rangle+\widetilde\Omega|F\kern1pt\rangle.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Решая их, получаем
$$
\begin{equation}
|G\kern1pt\rangle=(I-\widetilde\Omega\Omega)^{-1}|\eta\rangle,\qquad |F\kern1pt\rangle=\Omega(I-\widetilde\Omega\Omega)^{-1}|\eta\rangle.
\end{equation}
\tag{30}
$$
Из (27) получаем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M_{11}(x,t,\lambda)&=1+\langle Y(\lambda)|\Omega(I-\widetilde\Omega\Omega)^{-1}|\eta\rangle, \\ M_{12}(x,t,\lambda)&=\langle Z(\lambda)| (I-\widetilde\Omega\Omega)^{-1}|\eta\rangle, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \langle Y(\lambda)|&=\bigl[Y_1(\lambda)\;\;Y_2(\lambda)\;\;\ldots\;\;Y_N(\lambda)\bigr],&\qquad Y_k(\lambda)&=\frac{1}{\lambda-\lambda_k^*}-\frac{1}{\lambda+\lambda_k^*}, \\ \langle Z(\lambda)|&=\bigl[Z_1(\lambda)\;\;Z_2(\lambda)\;\;\ldots\;\;Z_N(\lambda)\bigr], &\qquad Z_k(\lambda)&=\frac{1}{\lambda-\lambda_k}+\frac{1}{\lambda+\lambda_k}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Из теоремы 3.1 выводим следующую теорему. Теорема 3.2. $N$-солитонное решение НУШп имеет вид Далее представим солитонные решения уравнения НУШп в явном виде. Заметив, что $r_k$ ($k=1,2,\ldots,N$) можно рассматривать как фазовые сдвиги, положим $r_k=1$ без ограничения общности. Пусть $N=1$, $|\eta\rangle=e^{-2i(\lambda_1^2x+2\lambda_1^4t)}$, $\langle Y_0|=-2/\lambda_1^*$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Omega&=e^{2i(\lambda_1^{*2}x+2\lambda_1^{*4}t)}\biggl(\frac{1}{\lambda_1^*-\lambda_1^{}}+\frac{1}{\lambda_1^*+\lambda_1^{}}\biggr), \\ \widetilde\Omega&=e^{-2i(\lambda_1^2x+2\lambda_1^4t)}\biggl(\frac{1}{\lambda_1^{}-\lambda_1^*}-\frac{1}{\lambda_1^{}+\lambda_1^*}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда односолитонное решение НУШп записывается как
$$
\begin{equation}
u(x,t)=\frac{i\alpha_1^2\beta_1^2(\alpha_1-i \beta_1)[(\alpha_1-i\beta_1)^2e^{\zeta}+4\alpha_1^2\beta_1^2e^{-\zeta}]} {\bigl[-\frac{1}{4}(\alpha_1+i\beta_1)^2e^{\zeta}+\alpha_1^2\beta_1^2e^{-\zeta}\bigr]^2}\, e^{2i\xi},
\end{equation}
\tag{32}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \zeta&=4\alpha_1\beta_1[x+4(\alpha_1^2-\beta_1^2)t], \\ \xi&=(\alpha_1^2-\beta_1^2)x+2(\alpha_1^4+\beta_1^4-6\alpha_1^2\beta_1^2)t. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это решение совпадает с решением, полученным методом преобразования Дарбу и с помощью МОЗР [9], [14], [15]. Если $x+4(\alpha_1^2-\beta_1^2)t=0$, амплитуда решения достигает величины
$$
\begin{equation*}
\bigg|\frac{16\alpha_1^2\beta_1^2(2i\alpha_1^{}\beta_1^{}-\alpha_1^2+\beta_1^2-4\alpha_1^2\beta_1^2)(i\beta_1^{}-\alpha_1^{})^2} {(4i\alpha_1^2\beta_1^3-4\alpha_1^3\beta_1^2-i\alpha_1^2\beta_1^{}-i\beta_1^3-\alpha_1^3-\alpha_1^{}\beta_1^2)^2}\biggr|.
\end{equation*}
\notag
$$
Решение (32) показано на рис. 1. Также на рис. 1 приведено двухсолитонное решение, связанное с двумя парами простых полюсов, которое описывает столкновение двух солитонов. Мы не приводим явное выражение для двухсолитонного решения из-за его громоздкости. 3.2. Явные $N$-солитонные решения НУШпЧтобы получить явные выражения для солитона $N$-го порядка, мы должны найти определители из теоремы 3.2. Однако при больших $N$ вычисление определителя становится очень сложной задачей. Найдем общие выражения для солитона $N$-го порядка, применяя формулу Коши–Бине. Для удобства введем матрицу $A$ размера $N\times (N+1)$ и матрицу $B$ размера $(N+1)\times N$ с элементами
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} A_{0,j}&=\eta_j,&\quad A_{k,j}&=-\widetilde\Omega_{k,j}, \\ B_{k,0}&=1,&\quad B_{k,j}&=\Omega_{k,j}, \end{alignedat}\qquad k,j=1,2,\ldots,N,
\end{equation*}
\notag
$$
а также три ($N\times N$)-матрицы $C$, $D$, $F$, заданные как
$$
\begin{equation*}
C=-\widetilde\Omega,\qquad D=\Omega,\qquad F=-\widetilde\Omega+|\eta\rangle\langle Y_0|.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть
$$
\begin{equation*}
V=\det(I+AB)-\det(I+CD),\qquad U=\det(I+CD),\qquad W=\det(I+FD).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда $N$-солитонное решение можно записать как В соответствии с формулой Коши–Бине
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, V&=\det(I+AB)-\det(I+CD)= \\ &=\sum_{\tau=1}^N\sum_{\substack{1\leqslant n_1<\cdots<n_{\tau}\leqslant N, \\ 1\leqslant m_2<\ldots<m_\tau\leqslant N}} A[n_1,n_2,\ldots,n_{\tau};0,m_2,\ldots,m_{\tau}] B[0,m_2,\ldots,m_{\tau};n_1,n_2,\ldots,n_{\tau}], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $A[n_1,n_2,\ldots,n_{\tau};m_1,m_2,\ldots,m_{\tau}]$ обозначает определитель подматрицы в $A$, которая состоит из элементов с номерами строк $n_1,n_2,\ldots,n_{\tau}$ и номерами столбцов $m_1,m_2,\ldots,m_{\tau}$. Применяя свойства определителей Коши, имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A[n_1,n_2,\ldots,n_{\tau};&0,m_2,\ldots,m_{\tau}] B[0,m_2,\ldots,m_{\tau};n_1,n_2,\ldots,n_{\tau}]= \\ &=4^{\tau-1}\prod_{m,n}\frac{r_nr_m^*e^{2i\theta(\lambda_m^*)-2i\theta(\lambda_n)}\lambda_m^{*2}}{\lambda_n^2-\lambda_m^{*2}} \prod_{m>m',n>n'}(\lambda_n^2-\lambda_{n'}^2)(\lambda_m^{*2}-\lambda_{m'}^{*2}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $m,m'\in\{m_2,\ldots,m_{\tau}\}$ и $n,\,n'\in\{n_1,n_2,\ldots,n_{\tau}\}$. Аналогично с помощью несложных вычислений получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, U&=\det(I+CD)=\\ &=\sum_{\tau=1}^N\sum_{\substack{1\leqslant n_1<\cdots<n_{\tau}\leqslant N,\\ 1\leqslant m_1<\ldots<m_\tau\leqslant N}}\kern-16pt C[n_1,n_2,\ldots,n_{\tau};m_1,m_2,\ldots,m_{\tau}] D[m_1,m_2,\ldots,m_{\tau};n_1,n_2,\ldots,n_{\tau}], \\ W&=\det(I+FD)= \\ &=\sum_{\tau=1}^N\sum_{\substack{1\leqslant n_1<\ldots<n_{\tau}\leqslant N,\\ 1\leqslant m_1<\ldots<m_\tau\leqslant N}}\kern-16pt F[n_1,n_2,\ldots,n_{\tau};m_1,m_2,\ldots,m_{\tau}] D[m_1,m_2,\ldots,m_{\tau};n_1,n_2,\ldots,n_{\tau}], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, C[n_1,n_2,&\ldots,n_{\tau};m_1,m_2,\ldots,m_{\tau}]\, D[m_1,m_2,\ldots,m_{\tau};n_1,n_2,\ldots,n_{\tau}]= \\ &=(-4)^{\tau}\prod_{m,n}\frac{r_nr_m^*e^{2i\theta(\lambda_m^*)-2i\theta(\lambda_n)}\lambda_m^{*2}}{\lambda_n^2-\lambda_m^{*2}} \prod_{m>m',n>n'}(\lambda_n^2-\lambda_{n'}^2)(\lambda_m^{*2}-\lambda_{m'}^{*2}), \\ F[n_1,n_2,&\ldots,n_{\tau};m_1,m_2,\ldots,m_{\tau}]\, D[m_1,m_2,\ldots,m_{\tau};n_1,n_2,\ldots,n_{\tau}]= \\ &=(-4)^{\tau}\prod_{m,n}\frac{r_nr_m^*e^{2i\theta(\lambda_m^*)-2i\theta(\lambda_n)}\lambda_n^2}{\lambda_n^2-\lambda_m^{*2}} \prod_{m>m',n>n'}(\lambda_n^2-\lambda_{n'}^2)(\lambda_m^{*2}-\lambda_{m'}^{*2}) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
c $m,m'\in\{m_1,m_2,\ldots,m_{\tau}\}$ и $n,n'\in\{n_1,n_2,\ldots,n_{\tau}\}$. Подставляя выражения для $U$, $V$, $W$ в решение $u(x,t)$, заданное в (33), получаем явное $N$-солитонное решение НУШп в безотражательном случае. 3.3. $N$-позитонное решение НУШпТеперь расмотрим решение, связанное с одной парой нулей $N$-го порядка $\pm\lambda_0$ функции $a(\lambda)$, т. е. предположим, что где $a_0(\lambda)\neq 0$ для всех $\lambda\in C_{+}$. Тогда $M_{11}(x,t,\lambda)$ и $M_{12}(x,t,\lambda)$ имеют по одной паре полюсов $N$-го порядка $\lambda=\pm\lambda_0^*$, и $\lambda=\pm\lambda_0$ соответственно. С учетом асимптотических свойств из теоремы 2.2 положим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, M_{11}(x,t,\lambda)&=1+\sum_{k=1}^N\biggl[\frac{1}{(\lambda-\lambda_0^*)^k}+\frac{(-1)^k}{(\lambda+\lambda_0^*)^k}\biggr]f_k, \\ M_{12}(x,t,\lambda)&=\sum_{k=1}^N\biggl[\frac{1}{(\lambda-\lambda_0)^k}+\frac{(-1)^{k+1}}{(\lambda+\lambda_0)^k}\biggr] g_k, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{35}
$$
где $f_k$, $g_k$ ($k=1,2,\ldots,N$) – неизвестные функции, подлежащие определению. Напомним, что $u(x,t)$ имеет компактный носитель, и, разлагая в ряд Лорана, получим
$$
\begin{equation*}
r(\lambda)=r_0(\lambda)+\sum_{k=1}^N\biggl[\frac{1}{(\lambda-\lambda_0)^k}+\frac{(-1)^{k+1}}{(\lambda+\lambda_0)^k}\biggr]r_k,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
r_k=\lim_{\lambda\to\lambda_0}\frac{1}{(N-k)!}\frac{d^{N-k}}{d\lambda^{N-k}}[(\lambda-\lambda_0)^Nr(\lambda)],\qquad k=1,2,\ldots, N,
\end{equation*}
\notag
$$
и функция $r_0(\lambda)$ является аналитической при всех $\lambda\in C_{+}$. Чтобы найти $f_k$, $g_k$, следует заменить условия для вычетов (26) на следующие:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathop{\rm Coeff}\limits _{(\lambda-\lambda_0^*)^k}M_{11}(x,t,\lambda)&= - \mathop{\rm Coeff}\limits _{(\lambda-\lambda_0^*)^k}[r^*(\lambda^*)e^{2i\theta(\lambda)}M_{12}(x,t,\lambda)], \\ \mathop{\rm Coeff}\limits _{(\lambda-\lambda_0)^k}M_{12}(x,t,\lambda)&= \mathop{\rm Coeff}\limits _{(\lambda-\lambda_0)^k}[r(\lambda)e^{-2i\theta(\lambda)}M_{11}(x,t,\lambda)] \end{aligned}
\end{equation}
\tag{36}
$$
для $k=1,2,\ldots,N$, где $ \mathop{\rm Coeff}\limits _{(\lambda-\lambda_0^*)^k}M_{11}(x,t,\lambda)$ – коэффициент при $(\lambda-\lambda_0^*)^{-k}$ в разложении для $M_{11}(x,t,\lambda)$ и аналогично для $ \mathop{\rm Coeff}\limits _{(\lambda-\lambda_0)^k}M_{12}(x,t,\lambda)$, а именно
$$
\begin{equation*}
\mathop{\rm Coeff}\limits _{(\lambda-\lambda_0^*)^k}M_{11}(x,t,\lambda)=f_k,\qquad \mathop{\rm Coeff}\limits _{(\lambda-\lambda_0)^k}M_{12}(x,t,\lambda)=g_k.
\end{equation*}
\notag
$$
Запишем разложения в ряды Тейлора
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, e^{-2i \theta(\lambda)}=\sum_{k=0}^{+\infty}\mu_k(\lambda-\lambda_0)^k, \qquad \mu_k=\lim_{\lambda\to\lambda_0}\frac{1}{k!}\frac{\partial^k}{\partial\lambda^k}e^{-2i\theta(\lambda)}, \\ \frac{1}{(\lambda-\lambda_0)^k}+\frac{(-1)^{k+1}}{(\lambda+\lambda_0)^{k}}= \sum_{j=0}^{+\infty}\binom{k+j-1}{j}\biggl[\frac{(-1)^j}{(\lambda_0^*-\lambda_0)^{k+j}}+ \frac{(-1)^{k+j+1}}{(\lambda_0^*+\lambda_0)^{k+j}}\biggr](\lambda-\lambda_0^*)^j. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом (36) это дает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, f_m&=-\sum_{k=1}^N\sum_{j=0}^{s-m} \sum_{s=m}^N\binom{k+j-1}{j}r_s^*\mu_{s-m-j}^* \biggl[\frac{(-1)^j}{(\lambda_0^*-\lambda_0)^{k+j}}+\frac{(-1)^{k+j+1}}{(\lambda_0^*+\lambda_0)^{k+j}}\biggr] g_k, \\ g_m&=\sum_{s=m}^N r_s \mu_{s-m}+{} \\ &\quad+\sum_{k=1}^N\sum_{j=0}^{s-m}\sum_{s=m}^N\binom{k+j-1}{j}r_s\mu_{s-m-j} \biggl[\frac{(-1)^k}{(\lambda_0^*-\lambda_0)^{k+j}}+\frac{(-1)^{k+j}}{(\lambda_0^*+\lambda_0)^{k+j}}\biggr]f_k \end{aligned}
\end{equation}
\tag{37}
$$
для $m=1,2,\ldots, N$. Положим
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, |F\kern1pt\rangle=\bigl[f_1\;\;f_2 \;\;\ldots\;\;f_N\bigr]^{\mathrm T},\qquad |G\kern1pt\rangle=\bigl[g_1\;\;g_2 \;\;\ldots\;\ g_N\bigr]^{\mathrm T}, \\ |\eta\rangle=\bigl[\eta_1\;\;\eta_2\;\;\ldots\;\;\eta_N \bigr]^{\mathrm T}, \qquad \eta_m=\sum_{s=m}^N r_s \mu_{s-m}, \\ \begin{aligned} \, \Delta_{mk}&=-\sum_{s=m}^N\sum_{j=0}^{s-m}\binom{k+j-1}{j} \biggl[\frac{(-1)^j}{(\lambda_0^*-\lambda_0^{})^{k+j}}+\frac{(-1)^{k+j+1}}{(\lambda_0^*+\lambda_0^{})^{k+j}}\biggr] r_s^*\mu^*_{s-m-j}, \\ \widetilde\Delta_{mk}&=\sum_{s=m}^N\sum_{j=0}^{s-m}\binom{k+j-1}{j} \biggl[\frac{(-1)^k}{(\lambda_0^*-\lambda_0^{})^{k+j}}+\frac{(-1)^{k+j}}{(\lambda_0^*+\lambda_0^{})^{k+j}}\biggr] r_s\mu_{s-m-j}. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда можно переписать линейные уравнения (37) как
$$
\begin{equation*}
|G\kern1pt\rangle=|\eta\rangle+\widetilde\Delta|F\kern1pt\rangle,\qquad |F\kern1pt\rangle=\Delta|G\kern1pt\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
Прямые вычисления дают
$$
\begin{equation*}
|G\kern1pt\rangle=(I-\widetilde\Delta\Delta)^{-1}|\eta\rangle,\qquad |F\kern1pt\rangle=\Delta(I-\widetilde\Delta\Delta)^{-1}|\eta\rangle.
\end{equation*}
\notag
$$
В соответствии с (35) имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, M_{11}(x,t,\lambda)&=1+\langle\widetilde Y(\lambda)|\Delta(I-\widetilde\Delta\Delta)^{-1}|\eta\rangle, \\ M_{12}(x,t,\lambda)&=\langle\widetilde Z(\lambda)|(I-\widetilde\Delta\Delta)^{-1}|\eta\rangle, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} \langle\widetilde Y(\lambda)|=\bigl[\widetilde Y_1(\lambda)\;\;\widetilde Y_2(\lambda)\;\;\ldots\;\;\widetilde Y_N(\lambda)\bigr],&\qquad \widetilde Y_k(\lambda)&=\frac{1}{(\lambda-\lambda_0^*)^k}+\frac{(-1)^k}{(\lambda+\lambda_0^*)^k}, \\ \langle\widetilde Z(\lambda)|=\bigl[\widetilde Z_1(\lambda)\;\;\widetilde Z_2(\lambda)\;\;\ldots\;\;\widetilde Z_N(\lambda)\bigr],&\qquad \widetilde Z_k(\lambda)&=\frac{1}{(\lambda-\lambda_0)^k}+\frac{(-1)^{k+1}}{(\lambda+\lambda_0)^k}. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Из теоремы 3.1 выводим следующую теорему. Теорема 3.3. $N$-позитонное решение НУШп имеет вид Замечание 3.1. В работе [16] приведены соотношения между решениями Йоста для уравнения Фокаса–Ленеллса без предположения о том, что $u(x,t)$ имеет компактный носитель. Аналогично можно получить соотношения для НУШп. Опираясь на эти соотношения, мы можем решить ЗРГ с полюсами высокого порядка так же, как в случае нескольких простых полюсов. Таким образом, необязательно предполагать, что $u(x,t)$ имеет компактный носитель, это лишь упрощает процедуру решения ЗРГ с несколькими полюсами высокого порядка. В случае $N=2$ двухпозитонные решения были получены из ЗРГ в работе [12], однако не было найдено явное выражение для интегрального множителя, и решения имели очень сложный вид (см. формулу (65) в [12]). Приведем простое выражение. Из теоремы 3.3 следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widetilde\Delta_{11}&=-\biggl[\frac{1}{\lambda_0^*-\lambda_0}+\frac{1}{\lambda_0^*+\lambda_0}\biggr]r_1\mu_0- \biggl[\frac{1}{\lambda_0^*-\lambda_0}+\frac{1}{\lambda_0^*+\lambda_0}\biggr]r_2\mu_1+{} \\ &\quad\kern1pt+\biggl[-\frac{1}{(\lambda_0^*-\lambda_0)^2}+\frac{1}{(\lambda_0^*+\lambda_0)^2}\biggr]r_2\mu_0, \\ \widetilde\Delta_{12}&=\biggl[\frac{1}{(\lambda_0^*-\lambda_0)^2}+\frac{1}{(\lambda_0^*+\lambda_0)^2}\biggr]r_1\mu_0+ \biggl[\frac{1}{(\lambda_0^*-\lambda_0)^2}+\frac{1}{(\lambda_0^*+\lambda_0)^2}\biggr]r_2\mu_1+{} \\ &\quad\kern1pt+2\biggl[\frac{1}{(\lambda_0^*-\lambda_0)^3}-\frac{1}{(\lambda_0^*+\lambda_0)^3}\biggr]r_0\mu_0, \\ \widetilde\Delta_{21}&=-\biggl[\frac{1}{\lambda_0^*-\lambda_0}+\frac{1}{\lambda_0^*+\lambda_0}\biggr]r_2\mu_0, \qquad \widetilde\Delta_{22}=\biggl[\frac{1}{(\lambda_0^*-\lambda_0)^2}+\frac{1}{(\lambda_0^*+\lambda_0)^2}\biggr]r_2\mu_0, \\ \Delta_{11}&=-\biggl[\frac{1}{\lambda_0^*-\lambda_0}+\frac{1}{\lambda_0^*+\lambda_0}\biggr]r_1^*\mu_0^*- \biggl[\frac{1}{\lambda_0^*-\lambda_0}+\frac{1}{\lambda_0^*+\lambda_0}\biggr]r_2^*\mu_1^*+{} \\ &\quad\kern1pt +\biggl[\frac{1}{(\lambda_0^*-\lambda_0)^2}+\frac{1}{(\lambda_0^*+\lambda_0)^2}\biggr]r_2^*\mu_0^*, \\ \Delta_{12}&=-\biggl[\frac{1}{(\lambda_0^*-\lambda_0)^2}-\frac{1}{(\lambda_0^*+\lambda_0)^2}\biggr]r_1^*\mu_0^*- \biggl[\frac{1}{(\lambda_0^*-\lambda_0)^2}-\frac{1}{(\lambda_0^*+\lambda_0)^2}\biggr]r_2^*\mu_1^*-{} \\ &\quad\kern1pt -2\biggl[\frac{-1}{(\lambda_0^*-\lambda_0)^3}+\frac{1}{(\lambda_0^*+\lambda_0)^3}\biggr]r_2^*\mu_0^*, \\ \Delta_{21}&=-\biggl[\frac{1}{\lambda_0^*-\lambda_0}+\frac{1}{\lambda_0^*+\lambda_0}\biggr]r_2^*\mu_0^*, \qquad \Delta_{22}=-\biggl[\frac{1}{(\lambda_0^*-\lambda_0)^2}-\frac{1}{(\lambda_0^*+\lambda_0)^2}\biggr]r_2^*\mu_0^* \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
|\eta\rangle=\bigl[r_1\mu_0+r_2\mu_1\;\;r_2\mu_0\bigr]^{\mathrm T},\qquad \langle\widetilde{Y_0}|=\biggl[-\frac{2}{\lambda_0^*}\;\;\frac{2}{\lambda_0^{*2}}\biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Положим $r_1=r_2=1$, $\lambda_0=(1+i)/2$, тогда позитонное решение второго порядка для НУШп имеет более простой, чем полученный в [12], вид где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_1&=(64it^2+16ix^2+16it-8ix-4+6i-32t)e^{2x}+16e^{4x}-1, \\ A_2&=(16it-8ix+4+8i-16t-8x)e^{2x}-4it+2ix-4t-2x-1, \\ A_3&=(32it-64t^2-16x^2-6+4i-16t+8x)e^{2x}-16ie^{4x}+i. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это решение показано на рис. 2. При $t=\pm 10$ траектории совпадают (сплошная и штриховая линии на рис. 2б). Это отличает данное решение от солитона второго порядка на рис. 1, поскольку позитон порожден одной парой полюсов второго порядка, а солитон второго порядка получается при двух парах простых полюсов. Используя формулы теоремы 3.3, мы также можем вычислить позитоны третьего и четвертого порядков, связанные с одной парой полюсов соответствующих порядков, которые нельзя получить непосредственно по формулам из статьи [12]. Явные выражения для этих двух позитонов очень громоздки, и мы просто приводим их графики на рис. 3. Подобно солитонам высоких порядков, позитоны третьего и четвертого порядков также можно рассматривать как суперпозицию нескольких солитонов, но на криволинейных траекториях. Проводя сложные аналитические вычисления, мы находим, что расстояние между солитонами, движущимися вдоль кривых линий, пропорционально $\ln|t|$, в отличие от многосолитонных решений. Эволюции позитонов третьего и четвертого порядков ясно показывают разницу между солитонами и позитонами. Асимптотический анализ многопозитонных решений будет дан в отдельной статье в ближайшем будущем. 4. Заключение и обсуждениеВ представленной статье мы сформулировали модифицированную ЗРГ (19) с исчезающим граничным условием и модифицированную обратную задачу (см. теорему 3.1) для НУШп, используя анализ асимптотического поведения решения при $\lambda\to 0$ и $|\lambda|\to+\infty$ одновременно. Эта модифицированная ЗРГ удовлетворяет условию нормировки, т. е. $M(x,t,\lambda)\to I$ при $|\lambda|\to\infty$, и для нее по-прежнему работает обычная процедура решения ЗРГ [13], [17], [18]. В безотражательном случае мы построили $N$-солитонные решения (см. теорему 3.2) и позитонные решения $N$-го порядка (см. теорему 3.3) для НУШп, соответствующие ЗРГ с $N$ парами простых полюсов и одной парой полюсов $N$-го порядка. Для вывода явных $N$-солитонных решений мы применили формулу Коши–Бине. Явные выражения для позитонов второго порядка получаются с применением формулы, более простой, чем в [12]. Дополнительно мы представили графики позитонных решений третьего и четвертого порядков, которые описывают столкновения солитонов на криволинейных траекториях. Модифицированная ЗРГ очень эффективна для решения системы Каупа–Ньюэлла или таких НУШп, как уравнение типа Чена–Ли–Лю, уравнение типа Герджикова–Иванова, уравнение типа Кунду и т. д. Недавно этот метод был применен к уравнению Фокаса–Ленеллса [16], [19] и уравнению Чена–Ли–Лю высокого порядка [20]. В ближайшее время мы рассмотрим НУШп с неисчезающим граничным условием, а также нелокальное НУШп [21]–[23]. Подобные задачи также возникают в методе Фокаса при рассмотрении начально-краевой задачи для нелинейных интегрируемых уравнений [24]–[26]. Техника, использованная в нашей статье, может быть полезна для упрощения метода Фокаса [24], [27]–[29]. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ZhaWuQiu23} |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|