| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Новая интегрируемость в теории струн, возникающая из автоморфных симметрий А. В. Прибыток Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923120103 
Реферативные базы данных:
   Памяти Андрея Алексеевича Славнова 1. Метод: автоморфное отображение1.1. Интегрируемая иерархияИнтегрируемая спиновая цепочка задается соответствующим гамильтонианом $H$, который является одной из сохраняющихся величин во взаимно коммутирующей иерархии сохраняющихся зарядов
$$
\begin{equation*}
\{\mathbb{Q}_2,\mathbb{Q}_3,\ldots,\mathbb{Q}_r,\ldots\}
\end{equation*}
\notag
$$
данной интегрируемой системы. Действие каждого заряда охватывает некоторое подмножество узлов спиновой цепочки (диапазон взаимодействия), при этом каждому узлу соответствует локальное квантовое пространство $\mathfrak{H}\simeq\mathbb{C}^{2s+1}$. Следуя этому предположению, мы получаем конфигурационное пространство $s$-спиновой цепочки, взяв $L$-кратное тензорное произведение локальных квантовых пространств, что приводит к пространству Фока
$$
\begin{equation}
H=\mathfrak{H}_1\otimes\cdots\otimes\mathfrak{H}_L\equiv \bigotimes_{i=1}^{L}\mathfrak{H}_i,\qquad\mathfrak{H}_i\simeq\mathfrak{H}.
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
В настоящей работе будем рассматривать однородные1 периодические интегрируемые спиновые цепочки со взаимодействием смежных узлов. Можно рассмотреть распространение псевдочастиц (магнонов) в спиновой цепочке. Некоторые наблюдаемые таких систем определяются через сохраняющиеся заряды. В этом контексте аналогом оператора импульса (сдвига) является $\mathbb{Q}_1\equiv P$, а заряд для двух узлов в модели взаимодействия смежных узлов соответствует гамильтониану $\mathbb{Q}_2\equiv H$. С другой стороны, квантовую интегрируемость системы также можно определить через соответствующий квантовый оператор – $R$-матрицу, которая удовлетворяет квантовому уравнению Янга–Бакстера (ЯБ) [1], [2]
$$
\begin{equation}
R_{12}(u,v)R_{13}(u,w)R_{23}(v,w)=R_{23}(v,w)R_{13}(u,w)R_{12}(u,v),
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
$$
\begin{equation}
R\colon\mathbb{V}\otimes\mathbb{V}\to\mathbb{V}\otimes\mathbb{V},\qquad R_{ij}\in\operatorname{End}(\mathbb{V}\otimes\mathbb{V}\otimes\mathbb{V}),
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
где действие оператора $R$ на узлах задается как
$$
\begin{equation}
R_{12}=R\otimes 1\kern-3.5pt 1 _{\mathbb{V}},\quad R_{23}= 1\kern-3.5pt 1 _{\mathbb{V}}\otimes R,\quad R_{13}=( 1\kern-3.5pt 1 _{\mathbb{V}}\otimes P).(R\otimes 1\kern-3.5pt 1 _{\mathbb{V}}).( 1\kern-3.5pt 1 _{\mathbb{V}}\otimes P),
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
$$
\begin{equation}
P[\mathbb{W}_1\otimes\mathbb{W}_2]\equiv\mathbb{W}_2\otimes\mathbb{W}_1,\qquad R_{12}(u.u)=P_{12},
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
где последнее соотношение в (1.5) влечет регулярность $R$-матрицы. Для некоторых классов интегрируемых систем существует способ упростить зависимость $R$-матрицы от спектральных параметров: можно считать, что она зависит от разности (или суммы) параметров, 1.2. Интегрируемая иерархия и буст-операторНа основе приведенного выше формализма удобно исследовать существование новых интегрируемых моделей с конкретными свойствами и решать эти модели с помощью различных методов [1], [3]–[6]. При этом становится возможным решить задачу классификации для заданной размерности $D$ (возможно, с дополнительными ограничениями, контролирующими свойства исследуемого интегрируемого класса [7], [8]). С точки зрения квантового уравнения ЯБ в двух последних задачах используется ограниченный анзац для $R$-матрицы, порождающий алгебраическую систему кубических уравнений, которую можно полностью решить только для отдельных классов моделей2. С другой стороны, используя интегрируемую иерархию, можно искать новые интегрируемые структуры. Более конкретно, можно применить разложение системы, которое следует из коммутативной иерархии интегрируемых зарядов. Это означает, что, вместо того чтобы рассматривать только $R$-матрицу и квантовое уравнение ЯБ, мы можем анализировать интегрируемые заряды, обладающие и отображением с гамильтонианом $\mathcal H$, и отображением с $R$-матрицей базовой модели. Как будет показано ниже, такой подход является единственным способом изучения секторов интегрируемости струны [9]–[12]. В этом контексте можно ввести общий анзац для $\mathcal H$ в подходящем представлении соответствующей алгебры симметрий [7]. Изначальный рецепт может быть сформулирован следующим образом:
$$
\begin{equation}
\mathcal Q_{ij}=\mathcal H_{ij}\equiv A_{\mu\nu}\sigma^\mu\otimes\sigma^\nu,
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
где через $\mathcal Q_{ij}$ обозначена локальная плотность интегрируемого заряда, действующая на два узла, и введен тензор вложения конечного ранга
$$
\begin{equation}
\sigma^\mu_k= 1\kern-3.5pt 1 \otimes\cdots\underbrace{{}\otimes\sigma^\mu\otimes{}}_k\cdots\otimes 1\kern-3.5pt 1 .
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
Как указано выше, в случае решеточных систем и спиновых цепочек величину $\mathcal Q_{ij}$ можно интерпретировать как второй заряд или гамильтониан системы. Параллельно локальные заряды можно определить через логарифмическую производную $R$-монодромии:
$$
\begin{equation}
\mathbb{Q}=\sum_{n=1}^L R_{n,n+1}^{-1}(0)\frac{d}{du}R_{n,n+1}\equiv\sum_n\mathcal{Q}_{n,n+1}
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
с полным зарядом $\mathbb{Q}$ и локальной плотностью ранга $r$, которая равна
$$
\begin{equation}
\mathbb{Q}_r\equiv\sum_n\mathcal{Q}_{n,n+1,\ldots,n+r-1},\qquad [\mathbb{Q}_r,\mathbb{Q}_s]=0.
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
Таким образом, коммутативность зарядов $\mathbb{Q}_r$ порождает коммутативную интегрируемую иерархию. Отсюда можно заметить, что при наличии коммутативной иерархии (1.10) и надлежащем выборе базиса генераторов алгебры симметрий получается алгебраическая система относительно коэффициентов (1.7). В то же время крайне важно иметь рецепт построения высших зарядов в интегрируемой иерархии. Рассматривая мастер-симметрии, можно показать, что башня сохраняющихся зарядов $\mathbb{Q}_r$, $r=2,3,\ldots,n$, получается рекуррентно с использованием буст-оператора $\mathcal B[\mathbb{Q}_2]$ [13]–[15] (см. рис. 1),
$$
\begin{equation}
\mathcal B[\mathbb{Q}_2]\equiv\sum_{k=-\infty}^\infty k\mathcal H_{k,k+1}\quad\Longrightarrow\quad \mathbb{Q}_{r+1}\simeq[\mathcal B[\mathbb{Q}_2],\mathbb{Q}_r],
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
где $\mathcal H_{k,k+1}$ – плотность гамильтониана. Отсюда получаем следующий алгоритм генерации зарядов:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathcal Q_2=\mathcal U^{-1}[\mathcal B,\mathcal U], \\ &\mathcal Q_3=\frac{i}{2}[\mathcal U^{-1}[\mathcal B,\mathcal U\mathcal Q_2]-\mathcal Q_2\mathcal Q_2]= \\ &\hphantom{\mathcal Q_3}=\frac{i}{2}[\,\underbrace{(\mathcal U^{-1}\mathcal B\mathcal U-\mathcal Q_2)}_{\mathcal B}\mathcal Q_2-\mathcal Q_2\mathcal B]= \frac{i}{2}[\mathcal B,\mathcal Q_2], \\ &\mathcal Q_4=\frac{i}{3}[\mathcal B,\mathcal Q_3], \\ &\kern19pt\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots, \\ &\mathcal Q_{r+1}=\frac{i}{r}[\mathcal B,\mathcal Q_r], \\ &\kern19pt\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
где $\mathcal U$ – оператор сдвига. Первый момент $\mathcal B[\mathcal Q_2]$ этой иерархии порождает всю иерархию, что напоминает лоренцевский буст для пространственных и временны́х трансляций [13] двумерной алгебры Пуанкаре [16], [17]. Строго говоря, буст-оператор $\mathcal B[\,{\cdot}\,]$ определен корректно на спиновых цепочках бесконечной длины, что противоречит нашей замкнутой спиновой системе. Однако порожденные оператором $\mathcal B$ сохраняющиеся заряды и их коммутаторы представляют собой операторы конечного ранга, которые для достаточно больших замкнутых спиновых цепочек допускают согласованную реализацию автоморфно индуцированных зарядов (см. приложение А). Еще одно важное замечание заключается в том, что в данной формулировке не учитываются ранги зарядов, превышающие длину спиновой цепочки, что привело бы к обертывающим взаимодействиям и потребовало бы асимптотического разрешения (аналогичные проблемы решаются с помощью термодинамического анзаца Бете [18]). В этом отношении буст-автоморфизм (1.11) обеспечивает последовательную генерацию высших зарядов в случае интегрируемых спиновых цепочек с периодическими граничными условиями. Коммутатор (1.10), вообще говоря, дает $(3^{r+s-1}-1)/2$ полиномиальных уравнений степени $r+s-2$ [14], [19]. Важно отметить, что существование первого коммутатора во всех изученных случаях оказалось достаточным для полного разложения гамильтониана. Однако аналитическое (рекуррентное) доказательство достаточности условия $[\mathbb{Q}_2,\mathbb{Q}_3]=0$ по-прежнему требует изучения [20]. 1.3. $R$-матричная обратная конструкцияСледующим важным шагом является построение $R$-матрицы для каждого ассоциированного порождающего гамильтониана $\mathcal H$ (класса), для этого нужно сначала рассмотреть разложение $R$-матрицы где $P$ – оператор перестановки. Если подставить $R$-матричный анзац в уравнение ЯБ, то потенциально можно рекуррентно решить уравнения для коэффициентов разложения, но фактически в ряде случаев нельзя определить правильную последовательность разложения. Вместо этого теорема Гамильтона–Кэли для (1.1) в двух измерениях ($\dim\mathfrak{H}_i=2$) утверждает, что для полного разложения $R$-матрицы достаточно рассмотреть разложение $R$-матрицы (1.13) в случае $R\equiv R( 1\kern-3.5pt 1 ,\mathcal H,\mathcal H^2,\mathcal H^3)$. С помощью этой конструкции можно найти все $\mathbb{C}^2$-интегрируемые $R$-матрицы. Для высших размерностей $\mathbb{C}^n$ и произвольной зависимости от спектральных параметров более сильный обобщенный подход мы представим в разделе 2.Кроме того, нам потребуется набор интегрируемых преобразований [7], [21], чтобы свести полное пространство решений к набору генераторов, которые представляют все различные интегрируемые классы. К необходимым и достаточным интегрируемым симметриям преобразований относятся следующие:
1.4. Деформированные $\mathfrak{sl}_2$-модели как кандидаты на роль квантовой алгебрыВ качестве быстрой проверки предложенной техники можно рассмотреть модели с двумерным локальным пространством $\mathbb{C}^2$ и общим анзацем для $\mathcal H$. Оказывается, что они не только показывают полное согласие с набором интегрируемых моделей, найденных из разложения квантового уравнения ЯБ в двумерном случае [22] (т. е. класс цепочек Гейзенберга, *-магниты, многовершинные модели и т. д.), но также позволяют найти новые интегрируемые модели с большим количеством параметров в $\mathfrak{sl}_2$-секторе. Некоторые из этих новых классов демонстрируют недиагонализируемость и нильпотентность гамильтониана $\mathcal H$, а другие порождают сохраняющиеся заряды с нетривиальными жордановыми блоками, что приводит к важным результатам и следствиям. Некоторые матрицы $R_X$ из новых сгенерированных классов $X$ включают в себя матрицу
$$
\begin{equation}
R_{\mathrm I}(u)=\begin{pmatrix} 1 & \frac{a_1(e^{a_5u}-1)}{a_5}& \frac{a_2(1-e^{-a_5 u})}{a_5} & \frac{a_1a_3+a_2a_4}{a_5^2}(\operatorname{ch}(a_5u)-1) \\ 0 & 0 & e^{-a_5u} &\frac{a_4(1-e^{-a_5u})}{a_5} \\ 0 & e^{a_5 u} & 0 &\frac{a_3(e^{a_5u}-1)}{a_5} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
или другие расширенные модели, которые в пределе параметрической редукции содержат как частный случай модель Кулиша–Столина3 [24]
$$
\begin{equation}
R_{\mathrm{VI}}(u)=(1-a_1u)(1+2a_1u) \begin{pmatrix} 1 & a_2u & a_2u & -a_2^2u^2(2a_1u+1) \\ 0 & \frac{2a_1u}{2a_1u+1} & \frac{1}{2a_1u+1} & -a_2 u \\ 0 & \frac{1}{2a_1u+1} & \frac{2a_1u}{2a_1u+1} & -a_2 u \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
Важно найти все основные деформации $\mathcal Y^*[\mathfrak{sl}_2]$ янгиана и связанные с ними квантовые группы. Самостоятельным важным вопросом является когомологическая классификация Белавина–Дринфельда квантовых симметрий новых моделей.
2. Автоморфизм в $A{d}S$-интегрируемости$AdS/\mathrm{CFT}$-интегрируемость [25], [9] предполагает согласие глобальных симметрий с обеих сторон соответствия, например, $\mathcal N=4$ суперконформная симметрия и изометрии суперпространства $AdS_5\times S^5$ описываются накрывающей супергруппой $\widetilde{PSU}(2,2|4)$. Интегрируемость соответствующей модели мирового листа ($\sigma$-модели) основана на супералгебре Ли $\mathfrak{psu}(2,2|4)$ и ее версиях с нарушением симметрии. В этом случае процесс рассеяния описывается $S$- или $R$-матрицей с произвольной зависимостью от спектрального параметра. 2.1. Автоморфизм в пространстве $AdS$Чтобы иметь возможность определить новые интегрируемые структуры в струнном интегрируемом секторе пространства $AdS$, нам необходимо разработать метод буст-автоморфизма для сохраняющихся операторов со спектральной зависимостью общего вида [12], которые удовлетворяют неаддитивному уравнению ЯБ (1.2). Такая незаданная зависимость от спектральных параметров является свойством моделей, возникающих при изучении $AdS$-интегрируемости и, в частности, модели спиновой цепочки. На уровне коммутативной иерархии рассуждения сохраняются в аналогичной форме, хотя требуется новая конструкция действия автоморфизма. При этом из коммутирующей башни новых зарядов $\mathbb{Q}_r$ можно получить нетривиальную систему ограничений. Можно доказать, что автоморфизм, представленный в приложении А, в этом случае [21], [12] приводит к соотношению
$$
\begin{equation}
\mathcal B[\mathbb{Q}_2]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} k\mathcal H_{k,k+1}(\theta)+\partial_{\theta},
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
порождающему задачу для новой иерархии
$$
\begin{equation}
\mathbb{Q}_{r+1}\equiv[\mathcal B[\mathbb{Q}_2],\mathbb{Q}_r],\qquad r>1,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
$$
\begin{equation}
[\mathbb{Q}_{r+1},\mathbb{Q}_2]=[[\mathcal B [\mathbb{Q}_2],\mathbb{Q}_r],\mathbb{Q}_2]+[d_{\theta}\mathbb{Q}_r,\mathbb{Q}_2]=0,
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
из которой следует нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В этом контексте мы рассмотрим тригонометрический и эллиптический секторы в модели спиновой цепочки в пространстве $AdS$ [9], [10], [26], [27]. В этом случае можно записать соответствующий общий анзац для гамильтониана:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal H=h_1 1\kern-3.5pt 1 &{}+h(\sigma_z\otimes 1\kern-3.5pt 1 - 1\kern-3.5pt 1 \otimes\sigma_z)+h_3\sigma_{+}\otimes\sigma_{-}+h_4\sigma_{-}\otimes\sigma_{+}+{} \nonumber\\ &{}+h_5(\sigma_z\otimes 1\kern-3.5pt 1 + 1\kern-3.5pt 1 \otimes\sigma_z)+h_6\sigma_z\otimes\sigma_z+h_7\sigma_{-}\otimes\sigma_{-}+h_8\sigma_{+}\otimes\sigma_{+}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
где $h_k$ – функции от спектрального параметра и $\sigma_\pm=(\sigma_x\pm i\sigma_y)/2$. 2.2. Системы типа СазерлендаЧтобы получить $R$-матрицу приведенным выше способом в предположении, что можно решить нелинейную дифференциальную систему, вытекающую из (2.3), рассмотрим алгебру $RTT$-типа и используем разложение уравнения ЯБ до первого порядка. Тогда можно связать спектральные параметры со спектральными отождествлениями в $R$-матрице, что приводит к системе дифференциальных уравнений для $R$-матриц
$$
\begin{equation}
\begin{cases} [R_{13}R_{23},\mathcal H_{12}(u)]=(\partial_uR_{13})R_{23}-R_{13}(\partial_uR_{23}), &\quad u_1=u_2\equiv u, \\ [R_{13}R_{12},\mathcal H_{23}(v)]=(\partial_vR_{13})R_{12}-R_{13}(\partial_vR_{12}), &\quad u_2=u_3\equiv v, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
которая оказывается достаточной для задания $R_{ij}=R_{ij}(u,v)$ (детали и доказательства см. в [12], [28], [29]). Система уравнений (2.5) отвечает редукции уравнения Сазерленда [30]. Общая схема нашего метода для новых моделей в пространстве $AdS$ показана на рис. 2. 3. Интегрируемые $A{d}S_2$- и $A{d}S_3$-фоныВ рамках п. 2.1, основанного на двумерных классах [21], [12], [29] с незаданной спектральной зависимостью, соотношение (2.4) может непротиворечивым образом возникать в пространствах $AdS_2\times S^2\times T^6$ и $AdS_3\times S^3\times\mathcal M^4$ благодаря своей структуре. В случае $AdS$-струны в модели спиновой цепочки мы рассматриваем рассеяние, при котором фермионное число остается неизменным. Важно, что операторы рассеяния в вышеупомянутых струнных фонах можно представить вложением $16\times 16$ соответствующих эллиптических киральных блоков вида (подробности см. в п. Б.1 приложения Б)
$$
\begin{equation}
R_{\text{8v}}= \begin{pmatrix} r_1 & 0 & 0 & r_8\\ 0 & r_2 & r_6 & 0\\ 0 & r_5 & r_3 & 0\\ r_7 & 0 & 0 & r_4 \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Для анализа $AdS_n$-интегрируемости представим операторы рассеяния в двухчастичном представлении как следующие комбинации рассеяния:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\mathcal O|\phi_a\phi_b\rangle\to\mathrm x_1|\phi_a\phi_b\rangle+\mathrm x_2|\psi_\alpha\psi_\beta\rangle, \\ &\mathcal O|\psi_\alpha\psi_\beta\rangle\to\mathrm x_3|\psi_\alpha\psi_\beta\rangle+\mathrm x_4|\phi_a\phi_b\rangle, \\ &\mathcal O|\phi_a\psi_\beta\rangle\to\mathrm y_1|\phi_a\psi_\beta\rangle+\mathrm y_2|\psi_\beta\phi_a\rangle, \\ &\mathcal O|\psi_\alpha\phi_b\rangle\to\mathrm y_3|\psi_\alpha\phi_b\rangle+\mathrm y_4|\phi_b\psi_\alpha\rangle, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
где в $\mathcal O$ подразумевается, что оператор рассеяния имеет соответствующую зависимость от параметров, например от $(u,v)$ для $S$- и $R$-матриц. Сохранение спина имеет место при $r_7\equiv 0$, $r_8\equiv 0$, поскольку бозонная пара не создает фермионную, и наоборот. В этом случае мы обнаружили четыре новые интегрируемые модели, которые имеют полностью или частично не заданную зависимость от спектральных параметров. Разделим их на два интегрируемых класса A и B. Для нашего настоящего анализа важен только класс B, поскольку он приводит к общим деформированным моделям, соответствующим сектору $AdS$ [12], мы будем называть их 6vB и 8vB (соответственно шести- и восьмивершинные). Эти модели выглядят особенно интересными с нескольких точек зрения, например имеют функциональные и параметрические деформационные свободы, удовлетворяют всем условиям интегрируемости, а также физическому свойству свободных фермионов [31], и многим другим. 3.1. Модель 6vBС дополнительной функциональной параметризацией версия модели 6vB для (3.1) вводится следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, r_1(u,v)=\frac{h_2(v)-h_1(u)}{h_2(u)-h_1(u)},\qquad r_2(u,v)=(h_2(u)-h_2(v))\mathfrak{X}(u)\mathfrak{Y}(u), \\ r_3(u,v)=\frac{h_1(u)-h_1(v)}{(h_2(u)-h_1(u))(h_2(v)-h_1(v))}\frac{1}{\mathfrak{X}(v)\mathfrak{Y}(v)}, \\ r_4(u,v)=\frac{h_2(u)-h_1(v)}{h_2(v)-h_1(v)}\frac{\mathfrak{X}(u)\mathfrak{Y}(u)}{\mathfrak{X}(v)\mathfrak{Y}(v)},\qquad r_5(u,v)=\frac{\mathfrak{Y}(u)}{\mathfrak{Y}(v)},\qquad r_6(u,v)=\frac{\mathfrak{X}(u)}{\mathfrak{X}(v)} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
и $r_7=0$, $r_8=0$, где $h_k$, $\mathfrak{X}$, $\mathfrak{Y}$ – неизвестные спектральные функции. Две последние функции играют роль, напоминающую о степени свободы, присутствующей в наборе интегрируемых преобразований из перечня в конце п. 1.3. Однако здесь $\mathfrak{X}$ и $\mathfrak{Y}$ появляются сами по себе и могут возникать независимо на уровне скручивания, что полезно при анализе вложения $AdS_3$-моделей. Все задействованные преобразования и свободные спектральные функции образуют непротиворечивый интегрируемый набор операций. 3.2. Модель 8vBВ случае, когда допустимы эллиптические деформации, мы находим восьмивершинную модель, согласованным образом возникающую на $AdS$-фоне. Составляющие матрицы $R_{\text{8vB}}(u,v)$ могут быть представлены как
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} r_1&=\Sigma(u,v)\biggl[\sin\eta_{+}\frac{ \operatorname{cn} }{ \operatorname{dn} }-\cos\eta_{+} \operatorname{sn} \biggr],&\qquad r_2&=-\Sigma(u,v)\biggl[\cos\eta_{-} \operatorname{sn} +\sin\eta_{-}\frac{ \operatorname{cn} }{ \operatorname{dn} }\biggr], \\ r_3&=-\Sigma(u,v)\biggl[\cos\eta_{-} \operatorname{sn} -\sin\eta_{-}\frac{ \operatorname{cn} }{ \operatorname{dn} }\biggr],&\qquad r_4&=\Sigma(u,v)\biggl[\sin\eta_{+}\frac{ \operatorname{cn} }{ \operatorname{dn} }+\cos\eta_{+} \operatorname{sn} \biggr], \\ r_5&=r_6=1,&\qquad r_7&=r_8=\chi \operatorname{sn} \frac{ \operatorname{cn} }{ \operatorname{dn} }, \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\chi$ – параметр деформации,
$$
\begin{equation*}
\Sigma(u,v)=\frac{1}{\sqrt{\sin\eta(u)\sin\eta(v)}},\qquad\eta_{\pm}=\frac{\eta(u)\pm\eta(v)}{2},
\end{equation*}
\notag
$$
а эллиптические функции $\operatorname{xn}\in\{\mathrm{cn},\mathrm{dn},\mathrm{sn}\}$ (см. п. Б.2 приложения Б) удовлетворяют равенствам
$$
\begin{equation}
\operatorname{xn}\equiv\operatorname{xn}(u-v,k^2),\qquad (k \operatorname{sn} )^2+ \operatorname{dn} ^2=1
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
с эллиптическим модулем $k$. 3.3. Редукция к пространствам $AdS_3$ и $AdS_2$Для полноты дуальности калибровочная теория/гравитация требуются интегрируемые струнные фоны различной размерности, что приводит к разной роли сохраняющейся суперсимметрии и различным свойствам интегрируемой модели. Фактически струнные интегрируемые модели можно рассматривать как модели факторпространств или косетов. В частности, при рассмотрении суперфакторпространств или суперкосетов $AdS_n\times S^n=\widehat G/H$ с суперизометрией $\widehat G$ интегрируемые струнные фоны формируются в соответствии со следующим правилом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, AdS_5\times S^5&\quad\longrightarrow\quad\frac{PSU(2,2|4)}{SO(1,4)\times SO(5)}, \\ AdS_3\times S^3&\quad\longrightarrow\quad\frac{PSU(1,1|2)\times PSU(1,1|2)}{SO(1,2)\times SO(3)}, \\ AdS_2\times S^2&\quad\longrightarrow\quad\frac{PSU(1,1|2)}{SO(1,1)\times SO(2)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь можно проанализировать, как найденные модели могут возникать в пространстве $AdS$ и какова связь с $AdS_2$- и $AdS_3$-интегрируемостью. 3.4. Пространство $AdS_3$В случае дуальности $AdS_3/CFT_2$, она задается фоном $AdS_3\times S^3\times\mathcal M^4$, при этом возникают две геометрии, в которых сохраняются 16 зарядов:
$$
\begin{equation*}
\begin{cases} \mathcal M^4=T^4&\text{c алгеброй}\quad\mathfrak{psu}(1,1|2)^2, \\ \mathcal M^4=S^3\times S^1&\text{c алгеброй}\quad \mathfrak{d}(2,1;\alpha)^2\sim\mathfrak{d}(2,1;\alpha)_L\oplus\mathfrak{d}(2,1;\alpha)_{R}\oplus\mathfrak{u}(1), \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\alpha $ связано с относительными радиусами сфер. Как отмечалось выше, соответствующая $R$-матрица имеет тригонометрический тип, и мы находим новую шестивершинную модель типа B, чтобы построить походящий гамильтониан для $AdS_3$. Для $AdS_3\times S^3\times T^4$ [32]–[34] существуют два возможных отображения из шести- и восьмивершинной моделей (см. п. В.1 приложения В). В частности, можно получить пространство $AdS_3$ с помощью непрерывного семейства деформаций: сдвигов спектральных функций при отображении из модели 6vB или однопараметрической эллиптической деформации модели 8vB. В этом случае $AdS_3\times S^3\times S^3\times S^1$ [35] получается из шестивершинной модели типа B (тригонометрической) путем соответствующего параметрического отождествления в пространстве Жуковского, что показано в п. В.2. Как известно$R$- и $S$-матрицы в случае $AdS_3\times S^3\times T^4$ можно построить из матриц для $AdS_3\times S^3\times S^3\times S^1$ в пределе $\alpha\to\{0,1\}$. Для этого в п. В.3 мы также устанавливаем $R$-матричные отображения. 3.5. Пространство $AdS_2$Модель $AdS_2\times S^2\times T^6$ [38] содержит суперкосет $\mathfrak{psu}$, переходящий в суперкосет $\frac{PSU(1,1|2)}{SO(1,1)\times SO(2)}$. Данная модель также обладает $\mathbb{Z}_4$-симметрией, $\mathbb{Z}_4\in\mathfrak{psu}(1,1|2)$, которая индуцирует классическую интегрируемость, но в этой конструкции отсутствует фиксация калибровки для $\kappa$-симметрии. Процесс рассеяния в этом фоне можно задать путем эллиптической деформации $R$-матрицы в спин-цепочечной картине. В данном случае новый тип восьмивершинной модели, допускающий однопараметрическую деформацию, представляет собой деформацию (массивного) $AdS_2\times S^2\times T^6$. Сплетающие соотношения и кроссинг-условияОба вышеуказанных класса согласованы со сплетающей унитарностью
$$
\begin{equation}
R^{\mathcal X\!}\!P{\kern0.9pt\overline{\vphantom{R}\kern5.6pt}\kern-7.2pt R\kern0.7pt}{}^{\bar{\mathcal X}}P=\mathfrak{B}^{\mathcal X} 1\kern-3.5pt 1 ,
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
где $R$ и $\mathfrak{B}$ – операторы от $(u,v)$, индекс $\mathcal X$ обозначает киральный сектор, а черта обозначает перестановку спектральных параметров и киральностей (затрагиваются только смешанные секторы). В то же время оказывается, что кроссинг-условия выполняются как на уровне блоков, так и на уровне полной $R$-матрицы. $R$-матрица шестивершинной деформации $AdS_3$-модели типа B удовлетворяет кроссинг-условию в силу соотношения
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathbb{C}_kR(u+\Delta_{\omega,1},v+\Delta_{\omega,2})^{\mathrm t_k}\mathbb{C}_k^{-1}=R(u,v)^{-1}, \\ \begin{cases} k=1,&\Delta_{\omega,1}=\omega,\quad \Delta_{\omega,2}=0, \\ k=2,&\Delta_{\omega,1}=0,\quad \Delta_{\omega, 2}=-\omega, \end{cases}\qquad \mathbb{C}_{AdS_3}^{\,\text{6vB}}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & i \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \end{pmatrix}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где индексом $k$ мы обозначаем соответствующее векторное пространство, $\mathrm t_k$ – транспонирование в $k$-м пространстве, $\omega$ – кроссинг-параметр. В случае восьмивершинной $AdS_2$-модели типа B получаем для бозон-фермионной $R$-матрицы соотношение
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathbb{C}_k R(u+\Delta_{\omega,1},v+\Delta_{\omega,2})^{\mathrm{st}_k}\mathbb{C}_k^{-1}=R(u,v)^{-1}, \\ \begin{cases} k=1,&\Delta_{\omega, 1}=\omega,\quad\Delta_{\omega, 2}=0, \\ k=2,&\Delta_{\omega, 1}=0,\quad\Delta_{\omega, 2}=-\omega, \end{cases} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
где супертранспонирование $\mathrm{st}_k$ применяется в $k$-пространстве и оператор сопряжения имеет вид
$$
\begin{equation*}
\mathbb{C}_{AdS_2}^{\text{8vB}}= \begin{pmatrix} \phantom{-}0 & 1 \\ -i & 0 \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Хотя это деформация $AdS_2$-струны, оператор сопряжения отличается от случая изученной ранее базовой модели. В изначальной модели матрица $\mathbb{C}_{AdS_2}$ отображала частицы в античастицы. Для восьмивершинной $AdS_2$-модели мы имеем суперотображение типа бозон${}\longleftrightarrow{}$фермион. Более подробное обсуждение см. в работах [31], [39], [29] и ссылках в них. 3.6. Условие свободных фермионовВажно отметить, что рассматриваемые классы также удовлетворяют алгебраическому интегрируемому условию вида
$$
\begin{equation}
\frac{[r_1r_4+r_2r_3-(r_5r_6+r_7r_8)]^2}{r_1r_2r_3r_4}=\mathfrak{c}_{\text{B}},
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
где $\mathfrak{c}_{\text{B}}$ представляет собой характеристическую постоянную,
$$
\begin{equation}
\begin{cases} \mathfrak{c}_{\text{B}}=0, &\text{условие свободных фермионов}, \\ \mathfrak{c}_{\text{B}}\neq 0, &\text{условие Бакстера}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{3.8}
$$
Можно заметить, что для $\mathfrak{c}_{\text{B}}\to 0$ фактически условие (3.7) сводится к полиному от свободных фермионов $r_1r_4+r_2r_3=r_5r_6+r_7r_8$ (детали см. в приложении Г). Было доказано, что свойство свободных фермионов можно реализовать на уровне алгебраического анзаца Бете не только для описанного выше класса B, но и для других $AdS$-фонов. Его применение позволяет значительно сократить вычисления в алгебраическом анзаце Бете и дает возможность в некоторых случаях получить трансфер-матрицы в компактном виде с помощью рекуррентных соотношений (см. приложение Г). 3.7. Безмассовый $AdS_3$-фонИспользуем $R$-матрицу для соответствующего сектора и будем работать в осцилляторном формализме, где в качестве аналога спектрального параметра вводится релятивистская переменная $\theta$. Важно отметить, что в ряде случаев (помимо моделей 6vB и 8vB) $\theta=\theta_1-\theta_2$, т. е. спектральная зависимость имеет разностный вид. В то же время все выражения будут справедливы и в нерелятивистском случае. В частности, можно показать, что для $AdS_3$-модели только с RR-потоком4, безмассовая $R$-матрица которой описывается вложенным анзацем Бете, трансфер-матрица $t$ приобретает следующий вид:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, t_N=\operatorname{str}_0 R_{01}(\theta_0-\theta_1)\ldots R_{0N}(\theta_0-\theta_N), \\ \begin{aligned} \, t_2 &=\frac{1-b_{01}b_{02}}{a_{01}a_{02}}(m_1 m_2-n_1n_2)+\frac{b_{01}-b_{02}}{a_{01}a_{02}}(m_1 n_2-n_1m_2)+c_1^\unicode{8224} c_2-c_1c_2^\unicode{8224}= \\ &=\frac{1}{a_{12}} 1\kern-3.5pt 1 -e^{-\theta_{12}/2} c_1^\unicode{8224} c_1-e^{\theta_{12}/2}c_2^\unicode{8224} c_2+c_1^\unicode{8224} c_2-c_1c_2^\unicode{8224}, \end{aligned}\\ c_1=\eta_1\cos\alpha-\eta_2\sin\alpha,\qquad c_2=\eta_1\sin\alpha+\eta_2\cos\alpha,\qquad \operatorname{ctg} 2\alpha=\operatorname{sh}\frac{\theta_{12}}{2}\in\mathbb{R}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь псевдовакуум $|\phi\rangle$ представляет собой псевдовакуум первого уровня и не является вакуумом Беренштейна–Mалдасены–Настасе $|Z\rangle$ [40]. При этом в случае смешанного RR-NSNS-потока можно получить следующее выражение:
$$
\begin{equation}
t_2^{\text{RR-NS}}=\mathfrak{a}+\mathfrak{b}\mathbb{N}_1+(\mathfrak{b}-2)\mathbb{N}_2+\mathfrak{c}\mathbb{N}_1\mathbb{N}_2,
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
где $\mathbb{N}_1$, $\mathbb{N}_2$ – операторы числа частиц и
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathfrak{a}&=\frac{e^{-\frac{1}{2}(2\theta_0+\theta_1+\theta_2)}(e^{2i\frac{\pi}{k}+2\theta_0}-e^{\theta_1+\theta_2})}{e^{2 i\frac{\pi}{k}}-1}, \\ \mathfrak{b}&=\frac{1+e^{i\frac{\pi}{k}}-e^{i\frac{\pi}{k}+\theta_0-\frac{\theta_1}{2}-\frac{\theta_2}{2}}-e^{\frac{1}{2}(-2\theta_0+\theta_1+\theta_2)}} {1+e^{i\frac{\pi}{k}}}, \\ \mathfrak{c}&=2i\operatorname{sh}\biggl(\theta_0-\frac{\theta_1}{2}-\frac{\theta_2}{2}\biggr)\operatorname{tg}\frac{\pi}{2k}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
3.8. Массивный $AdS_3$-фонСлучай массивного $AdS_3$ аналогичен безмассовой модели, что особенно отчетливо проявляется в редуцированной форме условия свободных фермионов, которая вытекает из условий на коэффициенты $R$-матрицы:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mathcal A\mathcal F+\mathcal B\mathcal G=\mathcal C^2,\qquad\mathcal C=\mathcal H, \\ \begin{aligned} \, R_{\text{m}AdS_3}&=\mathcal AE_{11}\otimes E_{11}+\mathcal B E_{11}\otimes E_{22}+\mathcal C E_{21}\otimes E_{12}-{} \\ &\quad-\mathcal F E_{22}\otimes E_{22}+\mathcal G E_{22}\otimes E_{11}-\mathcal H E_{12}\otimes E_{21}, \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
где $R_{\text{m}AdS_3}$ задается в базисе единичного оператора. Соотношения (3.11) фактически порождают условие свободных фермионов для массивной $AdS_3$-модели. По сравнению с безмассовым случаем различие отражается в различных $\alpha$, которые также можно параметризовать в базисе Жуковского как
$$
\begin{equation}
\operatorname{tg} 2\alpha=\frac{2\mathcal H}{\mathcal G -\mathcal B}= -2\biggl(\frac{x^{-}_p}{x^{+}_p}\,\frac{x^{+}_q}{x^{-}_q}\biggr)^{\!1/4}\!\!\! \frac{\sqrt{x^{-}_p-x^{+}_p}\sqrt{x^{-}_q- x^{+}_q}}{\sqrt{(x^{-}_p/x^{+}_p)}\,(x^{+}_p-x^{+}_q)-\sqrt{(x^{+}_q/x^{-}_q)}\,(x^{-}_p-x^{-}_q)}.
\end{equation}
\tag{3.12}
$$
Эта параметризация дает конечное нетривиальное значение в пределе Беренштейна–Mалдасены–Настасе (в физической окрестности).
4. Заключение и замечанияНами разработан метод, позволяющий находить новые интегрируемые модели и их деформации без прямого решения уравнения ЯБ. Чтобы получить результат, необходимо использовать симметрию автоморфизма, с помощью которой строятся сохраняющиеся заряды, и учитывать коммутативность интегрируемой иерархии. Применение интегрируемых преобразований к полученному пространству решений позволяет найти генераторы решений, а соответствующие $R$-матрицы находятся из $\mathcal H$ с помощью обратного подхода. Это приводит к новым интегрируемым моделям или некоторым новым расширениям известных моделей. Метод демонстрирует свою универсальность для периодических или бесконечных открытых систем, описываемых разнообразными алгебрами симметрий [29]. Для анализа $AdS$-интегрируемости мы рассмотрели общий восьмивершинный анзац неразностного вида, а также разработали технику буст-автоморфизма для интегрируемого сектора теории струн, применение которой приводит к нелинейной системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Были найдены новые обобщенные модели, которые допускают вложение известных интегрируемых моделей в пространства $AdS_2$, $AdS_3$ [12] и новые конструкции в $AdS_5$ [39], [29]. Такие модели подчиняются всем условиям интегрируемых симметрий для суперструн и допускают дальнейшие ограничения своей структуры, а также позволяют изучить многопараметрические $\sigma$-модели [41], их матрицы рассеяния и квантовые пределы. Приложение А. Разностные и неразностные конструкции автоморфной буст-симметрииВ этом приложении мы подробно рассматриваем алгебраическую структуру и аналитические свойства буст-автоморфизма на решетке и его реализацию для интегрируемых моделей, операторы рассеяния которых имеют произвольную зависимость от спектральных параметров (в том числе псевдоразностную). Буст-автоморфизм на решеткеПроведем анализ структуры буст-оператора для решеточных систем и посмотрим, как возникает условие автоморфизма [13], [15]. Известно, что свойство буст-автоморфизма как генератора иерархии основано на интегрируемых мастер-симметриях. Заметим, что полезным является $R\mathcal L\mathcal L$-соотношение по образцу метода квантовой обратной задачи рассеяния [4], [6], которое можно записать в виде
$$
\begin{equation}
R_{12}(v)\mathcal L_{10}(u+v)\mathcal L_{20}(u)=\mathcal L_{20}(u)\mathcal L_{10}(u+v)R_{12}(v).
\end{equation}
\tag{А.1}
$$
Теперь изучим регулярные точки $R$-матрицы. Для этого можно взять производную по одному из спектральных параметров (в данном случае по $v$, далее положив $v=0$), что после простых алгебраических выкладок дает
$$
\begin{equation}
i[\mathcal L_{10}\mathcal L_{20},\mathcal H_{12}]=\mathcal L_{10}\mathcal L'_{20} -\mathcal L_{10}'\mathcal L_{20},
\end{equation}
\tag{А.2}
$$
где $\mathcal L_{i0}\equiv\mathcal L_{i0}(u)$. Отсюда следует, что выполнены условия
$$
\begin{equation}
R_{12}^{}(0)=P_{12},\qquad R'_{j,j+1}(0)=d_uR_{j,j+1}^{}=(u)\big|_{u=0}
\end{equation}
\tag{А.3}
$$
и Теперь возьмем в (А.2) вместо пространств 1 и 2 пространства с номерами $k$ и $k+1$ для некоторого $k$,
$$
\begin{equation}
i[\mathcal L_{k,0}^{}\mathcal L_{k+1,0}^{},\mathcal H_{k,k+1}^{}]=\mathcal L_{k,0}^{}\mathcal L'_{k+1,0}-\mathcal L_{k,0}'\mathcal L_{k+1,0}^{},
\end{equation}
\tag{А.5}
$$
и умножим на монодромные дополнения слева и справа, так что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &i\prod_{j=1}^{k-1}\mathcal L_{0,j}[\mathcal L_{0,k}\mathcal L_{0,k+1},\mathcal H_{k,k+1}]\prod_{n=k+2}^{L}\mathcal L_{0,n}= \nonumber\\ &\qquad = \prod_{j=1}^{k-1}\mathcal L_{0,j}^{}\mathcal L_{0,k}^{}\mathcal L'_{0,k+1}\prod_{n=k+2}^{L}\mathcal L_{0,n}^{}- \prod_{j=1}^{k-1}\mathcal L_{0,j}^{}\mathcal L_{0,k}'\mathcal L_{0,k+1}^{}\prod_{n=k+2}^{L}\mathcal L_{0,n}^{}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{А.6}
$$
После переупорядочения монодромий имеем
$$
\begin{equation}
i\biggl[\,\prod_{j=1}^{L}\mathcal L_{0,j}^{},\mathcal H_{k,k+1}^{}\biggr]= \prod_{j=1}^{k}\mathcal L_{0,j}^{}\mathcal L'_{0,k+1}\prod_{n=k+2}^{L}\mathcal L_{0,n}^{}- \prod_{j=1}^{k-1}\mathcal L_{0,j}^{}\mathcal L_{0,k}'\prod_{n=k+1}^{L}\mathcal L_{0,n}^{}.
\end{equation}
\tag{А.7}
$$
Теперь умножим это равенство на $k$ и просуммируем по $k$ от $1$ до $L$, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, i\biggl[\,\prod_{j=1}^{L}\mathcal L_{0,j},&\sum_{k=1}^{L}k\mathcal H_{k,k+1}\biggr]= \nonumber\\ &=\sum_{k=1}^{L}k\prod_{j=1}^{k}\mathcal L_{0,j}^{}\mathcal L'_{0,k+1}\prod_{n=k+2}^{L}\mathcal L_{0,n}^{}- \sum_{k=1}^{L}k\prod_{j=1}^{k-1}\mathcal L_{0,j}^{}\mathcal L_{0,k}'\prod_{n=k+1}^{L}\mathcal L_{0,n}^{}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{А.8}
$$
Вспомним определение $\mathcal L$-монодромии и проанализируем сплетающую структуру правой части равенства (А.8):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, i\biggl[\,\sum_{k=1}^{L}k\mathcal H_{k,k+1}^{},T(u)\biggr]&= \sum_{k=1}^{L}k\prod_{j=1}^{k-1}\mathcal L_{0,j}^{}\mathcal L'_{0,k}\!\!\prod_{n=k+1}^{L}\!\!\mathcal L_{0,n}^{}- \sum_{k=1}^{L}k\prod_{j=1}^{k}\mathcal L_{0,j}^{}\mathcal L'_{0,k+1}\!\!\prod_{n=k+2}^{L}\!\!\mathcal L_{0,n}^{}= \nonumber\\ &=d_uT(u)+0\cdot\mathcal L_{0,1}'\prod_{j=2}^{L}\mathcal L_{0,j}^{}-L\cdot\prod_{j=1}^{L}\mathcal L_{0,j}^{}\mathcal L'_{0,L+1} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{А.9}
$$
c монодромией $T(u)$ и граничными членами, представленными в последней строке (А.9). Это выражение зависит от нашего выбора начального 1 и конечного $L$ узла спиновой цепочки. Рассматривая согласованный бесконечный предел, т. е. раздвигая границы как $-\infty\leftarrow 1$, $L\rightarrow+\infty$, получаем Как и ожидалось, граничные члены исчезают, и остается рекуррентная формула для буст-преобразования:
$$
\begin{equation}
i[\mathcal B,T]=\dot T,\qquad\mathcal B\equiv\sum_{k=-\infty}^{+\infty}k\mathcal H_{k,k+1}
\end{equation}
\tag{А.11}
$$
или где $\dot T\equiv d_uT(u)$. Формула (А.12) отвечает аналогу трансфер-матрицы $t(u)$. Заметим, что (А.11) есть не что иное, как дикретная форма5 (см. [15]) теоретико-полевой буст-симметрии [13] со стандартной схемой дискретизации $\int x\,dx\mapsto\sum_k k$. Неразностное обобщениеМожно рассмотреть обобщение буст-симметрии на случай, когда описывающие рассеяние $S$- и $R$-матрицы произвольным образом зависят от спектральных параметров. Для такого обобщения можно реализовать процедуру с шагами, близкими к описанным выше, и получить соответствующее выражение для буста. Более конкретно, напомним связанную дифференциальную структуру (2.5), которая получается с помощью дифференцирования $RTT$-соотношения и квантового уравнения ЯБ:
$$
\begin{equation}
[R_{13} R_{12},\mathcal H_{23}(v)]=R_{13}R_{12,v}-R_{13,v}R_{12},\qquad R_{ij}\equiv R_{ij}(u,v).
\end{equation}
\tag{А.13}
$$
Совершив сдвиги $1\to a$ (произвольный), $2\to k$, $3\to k+1$, обобщим эту формулу как
$$
\begin{equation}
[R_{a,k+1}R_{a,k},\mathcal H_{k,k+1}]=R_{a,k+1}R'_{a,k}-R'_{a,k+1}R_{a,k}.
\end{equation}
\tag{А.14}
$$
Тогда мы можем проанализировать $R$-монодромии с подходящим разложением в виде произведения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \prod_{j=L}^{k+2}&R_{a,j}[R_{a,k+1}R_{a,k},\mathcal H_{k,k+1}]\prod_{n=k-1}^1R_{a,n}= \nonumber\\ &=\prod_{j=L}^{k+2}R_{a,j} R_{a,k+1}R'_{a,k}\prod_{n=k-1}^1R_{a,n}-\prod_{j=L}^{k+2}R_{a,j}R'_{a,k+1}R_{a,k}\prod_{n=k-1}^1R_{a,n}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{А.15}
$$
Отсюда после переупорядочения произведения аналогично получаем
$$
\begin{equation}
\biggl[\,\prod_{j=L}^1 R_{a,j},\mathcal H_{k,k+1}\biggr]= \prod_{j=L}^{k+1}R_{a,j} R'_{a,k}\prod_{n=k-1}^1R_{a,n}-\prod_{j=L}^{k+2}R_{a,j} R'_{a,k+1}\prod_{n=k}^1R_{a,n}.
\end{equation}
\tag{А.16}
$$
Сразу можно заметить, что имеются внутренние взаимные сокращения, аналогичные (А.9). Умножим на $k$ и просуммируем так, чтобы получить буст:
$$
\begin{equation}
\biggl[\,\prod_{j=L}^1 R_{a,j},\sum_k k\mathcal H_{k,k+1}\biggr]= \sum_k k\prod_{j=L}^{k+1}R_{a,j} R'_{a,k}\prod_{n=k-1}^1R_{a,n}-\sum_k k\prod_{j=L}^{k+2}R_{a,j}R'_{a,k+1}\prod_{n=k}^1R_{a,n}.
\end{equation}
\tag{А.17}
$$
Теперь можно взять бесконечный предел $-\infty\to 1,L\to\infty $, соответственно задавая суммы, получаем
$$
\begin{equation}
\biggl[T_a,\sum_{k=-\infty}^{+\infty}k\mathcal H_{k,k+1}\biggr]=d_v T_a+ \underbrace{1\cdot\prod_{j=L}^2 R_{a,j} R'_{a,1}-L\cdot R'_{a,L+1}\prod_{n=L}^1 R_{a,n}}_{\lim_{\{1,L\}\to\mp\infty} R'_{a,L+1}\prod_{n=L}^1R_{a,n}\to L\cdot\prod_{j=L}^2R_{a,j}R'_{a,1}\,\Rightarrow 0}\kern-21pt.
\end{equation}
\tag{А.18}
$$
Можно заметить, что из-за периодичности замкнутой спиновой цепочки возникают граничные члены, которые должны быть коммутативными (граничные множители могут меняться местами, $L+1\mapsto 1$), однако, строго говоря, их отсутствие также гарантировано на бесконечности. Для конечных спиновых цепочек и локальных короткодействующих зарядов непротиворечивый унифицированный буст-автоморфизм записывается в виде
$$
\begin{equation}
[T_a,\mathcal B]=\dot T_a,\qquad T_a\equiv T_a(u,v),\quad\mathcal H_{k,k+1}\equiv\mathcal H_{k,k+1}(v),
\end{equation}
\tag{А.19}
$$
при этом для трансфер-матрицы $t$ мы получаем
$$
\begin{equation}
\biggl[t,\sum_{k=-\infty}^{+\infty}k\mathcal H_{k,k+1}\biggr]=\dot t,
\end{equation}
\tag{А.20}
$$
где $\dot t\equiv d_vt(u,v)$. Возмущение трансфер-матрицы $t$ дает
$$
\begin{equation}
\ln t(u,v)=\mathbb{Q}_1+\mathbb{Q}_2(u-v)+\frac{\mathbb{Q}_3}{2}(u-v)^2+\mathcal O[(u-v)^3],
\end{equation}
\tag{А.21}
$$
где $\mathbb{Q}_i\equiv\mathbb{Q}_i(v)$. Необходимо учитывать существование особых спектральных точек и разложение. Из автоморфной структуры буста с учетом (А.20) и (А.21) следует, что на каждом уровне рекурсии возникают следующие вклады:
$$
\begin{equation}
\mathbb{Q}_{r+1}=[\mathcal B,\mathbb{Q}_r(v)]+\alpha_1\,\partial_v\mathbb{Q}(v),\qquad r\geqslant 2,
\end{equation}
\tag{А.22}
$$
где начальное условие при $r=1$ фиксировано, но (А.22) применимо и в этом случае. Важно отметить, что можно построить аналог дальнодействующего буст-оператора, используя понятие билокальных зарядов [15], которые позволяют генерировать одевающие вклады в операторы (например, оператор дилатации в $\mathcal N=4$ суперсимметричной теории Янга–Миллса [14], [19]) и вычислить деформацию зарядов связанных спиновых цепочек на больших расстояниях, включая гамильтонианы $\mathcal Q_2=\mathcal H$.
Приложение Б. $A{d}S$-интегрируемые структуры и соотношенияБ.1. $AdS$-$R$-матрицаДля сравнения $AdS_n$-структур [9], [27], [44] и наших моделей нам потребуется разложение классов на киральные блоки, приводящее к непротиворечивой структуре. Начнем с регулярной $R$-матрицы, которая является строительным блоком для вложения $16\times 16$:
$$
\begin{equation}
R^{\mathcal X}(u,v)=\sigma \begin{pmatrix} r_1 & 0 & 0 & r_8 \\ 0 & r_2 & r_6 & 0 \\ 0 & r_5 & r_3 & 0 \\ r_7 & 0 & 0 & r_4 \\ \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{Б.1}
$$
где по сравнению с (3.1) мы допускаем умножение на произвольный скалярный множитель $\sigma$ —одевание6, а $\mathcal X$ указывает соответствующую киральность блока. Мы имеем четыре блока – два в чистом секторе (левый-левый (LL), правый-правый (RR) и два в смешанном (LR, RL). Также должна соблюдаться регулярность чистых блоков, т. е.
$$
\begin{equation}
R^{\text{LL}}(u,u)\sim P,\qquad R^{\text{RR}}(u,u)\sim P,
\end{equation}
\tag{Б.2}
$$
где $P$ – это обычно подходящий оператор перестановки размерностей. Можно показать, что для полного вложения $16\times 16$ [44]  все элементы имеют индексацию меткой кирального сектора, вытекающую из киральности соответствующего блока (Б.1). Полная $R$-матрица $16\times 16$ [29] содержит элементы $r_k^{\mathcal X}\equiv r_k^{\mathcal X}(u,v) $ с киральными секторами $\mathcal X\in\{\text{LL},\text{RR},\text{LR},\text{RL}\}$. Эти элементы должны удовлетворять квантовому уравнению ЯБ, и, следовательно, основные комбинации киральных блоков также удовлетворяют уравнениям
$$
\begin{equation}
R_{12}^{\mathrm x_1\mathrm x_2}(u,v)R_{13}^{\mathrm x_1\mathrm x_3}(u,w)R_{23}^{\mathrm x_2\mathrm x_3}(v,w)= R_{23}^{\mathrm x_2\mathrm x_3}(v,w)R_{13}^{\mathrm x_1\mathrm x_3}(z_1,z_3)R_{12}^{\mathrm x_1\mathrm x_2}(z_1,z_2),
\end{equation}
\tag{Б.3}
$$
где каждое пространство $\mathbb{V}$ натянуто на киральности $\mathrm x_i\in\{\text{L},\text{R}\}$, что приводит к восьми независимым квантовым уравнениям ЯБ для $R_{ij}^{\mathrm x_i\mathrm x_j}$. На основании вышеизложенного можно получить полную $R$-матрицу (или $S$-матрицу). Для этого необходимо найти все $r_k^{\mathcal X}$, точнее, $r_k^{\mathcal X}$ в смешанных секторах [39]. Чистые блоки будут служить входными данными для полного решения уравнений (Б.3). Отметим, что у нас осталось шесть независимых квантовых уравнений ЯБ, поскольку в случае, когда все киральности олинаковы (все равны $\text{L}$ или $\text{R}$) исходные уравнения ЯБ автоматически удовлетворяются. Тем самым естественно рассмотреть киральные комбинации $\mathrm x_1=\mathrm x_2=\text{L}$, $\mathrm x_3=\text{R}$ и аналогичные с перестановкой $\text{L}\leftrightarrow\text{R}$ и решать соответствующие уравнения ЯБ для $r_k^{\text{LR}}$ и $r_k^{\text{RL}}$ соответственно. Оставшиеся уравнения ЯБ используются для нахождения некоторых функций от одного параметра. После этого мы можем собрать полную $R$-матрицу из соответствующих матриц $r_k^{\mathcal X}$ и выполнить проверку квантового уравнения ЯБ. Б.2. Эллиптические функции и их свойстваВ этом пункте мы даем краткое описание аппарата эллиптических функций Якоби, их структуры и свойств, которые используются при анализе деформаций шести- и восьмивершинных $AdS_2$-, $AdS_3$-моделей. Эллиптические функции Якоби также требуются для новых деформаций, получающихся из решения дифференциальных систем, и для доказательства свойства свободных фермионов и других условий в теории струн. Эллиптические интегралыДвупериодическая мероморфная функция называется эллиптической функцией. Эллиптический интеграл – это любой интеграл вида где $A$, $B$, $C$, $D$ – полиномы от $x$, а $S$ – полином от $x$ третьей или четвертой степени. Эллиптические интегралы можно рассматривать как обобщение обратных тригонометрических функций.Эллиптический интеграл первого рода можно ввести как неполный эллиптический интеграл Лежандра
$$
\begin{equation}
F(\phi,k)=\int_{0}^{\phi}\frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\omega}}\,d\omega,\qquad 0\leqslant k^2\leqslant 1,\quad 0\leqslant\phi\leqslant\frac{\pi}{2},
\end{equation}
\tag{Б.5}
$$
где $k$ – эллиптический модуль. При $\phi=\pi/2$ эллиптический интеграл Лежандра называется полным. Аналогично эллиптический интеграл первого рода вводится как
$$
\begin{equation}
E(\phi, k)=\int_{0}^{\phi}\sqrt{1-k^2\sin^2\omega}\,d\omega.
\end{equation}
\tag{Б.6}
$$
Полезно определить функции четверти периода [43], которые задаются как полные эллиптические интегралы первого рода
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, K(k)&=\int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\omega}}\,d\omega, \\ iK'(k)&=i\int_{0}^{\pi/2}\frac{1}{\sqrt{1-k^{\prime\,2}\sin^2\omega}}\,d\omega,\qquad k+k'=1, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{Б.7}
$$
при этом $K(k)=K'(k')=K'(1-k)$ и $K,K'\in\mathbb{R}$. Функции $K$ и $iK'$ называются вещественным и мнимым периодами. Эллиптические функции Якоби в $pq$-обозначенияхОтождествим вершины прямоугольника $0$, $K$, $K+iK'$ и $iK'$ на комплексной плоскости c соответственно s, c, d, n (диаграмма Аргана). Соответствующие сдвиги внутри прямоугольника на $\alpha K$ и $i\beta K'$ (при $\alpha,\beta\lessgtr 0$) приводят к
$$
\begin{equation}
\begin{array}{c|c|c|c} \mathrm s & \mathrm c & \mathrm s & \mathrm c\\ \hline \mathrm n & \mathrm d & \mathrm n & \mathrm d\\ \hline \mathrm s & \mathrm c & \mathrm s & \mathrm c\\ \hline \mathrm n & \mathrm d & \mathrm n & \mathrm d \end{array}\;\;,
\end{equation}
\tag{Б.8}
$$
где любые различные $p,q\in\{\mathrm s,\mathrm c,\mathrm d,\mathrm n\}$ определяют эллиптическую функцию Якоби $pq(u)$, обладающую следующими свойствами:
В связи с эллиптическим интегралом первого рода эллиптические функции задаются следующим образом. Пусть
$$
\begin{equation}
u=\int_{0}^{\phi}\frac{1}{\sqrt{1-k^2\sin^2\omega}}\,d\omega,
\end{equation}
\tag{Б.9}
$$
где $\phi=\operatorname{am}(u)$ называется амплитудой. Тогда согласно общепринятому определению
$$
\begin{equation}
\operatorname{sn} {u}=\sin\phi,\qquad \operatorname{cn} {u}=\cos\phi,\qquad \operatorname{dn} {u}=\sqrt{1-k^2\sin^2\phi},
\end{equation}
\tag{Б.10}
$$
Аналогично любые эллиптические функции можно выразить через $\phi$. Кроме того, остальные функции $pq(u)$ можно определить как где $p,q,r\in\{\mathrm s,\mathrm c,\mathrm d,\mathrm n\}$ (для совпадающих букв функции тождественно равны единице). Имеем следующие свойства квадратов функций:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \operatorname{sn} ^2+ \operatorname{cn} ^2&=1,&\qquad k^2 \operatorname{cn} ^2+k^{\prime\,2}&= \operatorname{dn} ^2, \\ k^2 \operatorname{sn} ^2+ \operatorname{dn} ^2&=1,&\qquad \operatorname{cn} ^2+k^{\prime\,2} \operatorname{sn} ^2&= \operatorname{dn} ^2, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{Б.12}
$$
где $\mathrm{xn}\equiv\mathrm{xn}(u)$. Сдвиги на период задаются как
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \operatorname{sn} (u+K)&=\frac{ \operatorname{cn} (u)}{ \operatorname{dn} (u)},&\qquad \operatorname{sn} (u+2K)&=- \operatorname{sn} (u), \\ \operatorname{cn} (u+K)&=-\frac{k' \operatorname{sn} (u)}{ \operatorname{dn} (u)},&\qquad \operatorname{cn} (u+2K)&=- \operatorname{cn} (u), \\ \operatorname{dn} (u+K)&=\frac{k'}{ \operatorname{dn} (u)},&\qquad \operatorname{dn} (u+2K)&= \operatorname{dn} (u), \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{Б.13}
$$
а формулы для полупериода и удвоенного периода таковы:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \operatorname{sn} \biggl(\frac{K}{2}\biggr)&=(1+k')^{-1/2},&\qquad \operatorname{sn} (2u)&=\frac{2 \operatorname{sn} (u) \operatorname{cn} (u) \operatorname{dn} (u)}{1-k^2 \operatorname{sn} ^4(u)}, \\ \operatorname{cn} \biggl(\frac{K}{2}\biggr)&=\biggl(\frac{k'}{1+k'}\biggr)^{\!1/2},&\qquad \operatorname{cn} (2u)&=\frac{1-2 \operatorname{sn} ^2(u)+k^2 \operatorname{sn} ^4(u)}{1-k^2 \operatorname{sn} ^4(u)}, \\ \operatorname{dn} \biggl(\frac{K}{2}\biggr)&=k^{\prime\,1/2},&\qquad \operatorname{dn} (2u)&=\frac{1-2k^2 \operatorname{sn} ^2(u)+k^2 \operatorname{sn} ^4(u)}{1-k^2 \operatorname{sn} ^4(u)}. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{Б.14}
$$
Приложение В. Струнный сектор $A{d}S_3\times S^3\times\mathcal M^4$В этом разделе мы явно показываем, как задаются $AdS_3\times S^3\times T^4$ [44], [32], [34] и $AdS_3\times S^3\times S^3\times S^1$ [35], чтобы провести сравнительный анализ, совместный с деформациями моделей 6vB и 8vB. В первом случае мы приводим $S$-матрицы к $R$-матрицам так, что явно выполняются все квантовые условия (ниже $\gamma(p)$ соответствует $\eta(p)$ из [44], [32]–[35]). В.1. Случай $AdS_3\times S^3\times T^4$Используя $S$- и $R$-матрицы из работ [34], [44], получаем, что блоки имеют вид
$$
\begin{equation}
R^\chi=\zeta^\chi \begin{pmatrix} r_1^\chi & 0 & 0 & r_8^\chi \\ 0 & r_2^\chi & r_6^\chi & 0 \\ 0 & r_5^\chi & r_3^\chi & 0 \\ r_7^\chi & 0 & 0 & r_4^\chi \\ \end{pmatrix}, \qquad r_i^\chi\equiv r_i^\chi(p,q),\quad \zeta^\chi\equiv\zeta^\chi(p,q),
\end{equation}
\tag{В.1}
$$
где $\chi$ индексирует киральные секторы, $\chi\in\{\text{LL},\text{RR},\text{LR},\text{RL}\}$. Представим все четыре блока, из которых собирается полная $R$-матрица. Чистые блоки (LL, RR) имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, r_1^{\text{LL}}=-\sqrt{\frac{x^{-}(q)}{x^{+}(q)}\frac{x^{+}(p)}{x^{-}(p)}}\frac{x^{-}(p)-x^{+}(q)}{x^{-}(q)-x^{+}(p)},\qquad r_2^{\text{LL}}=\sqrt{\frac{x^{-}(q)}{x^{+}(q)}}\frac{x^{+}(p)-x^{+}(q)}{x^{+}(p)-x^{-}(q)}, \\ r_3^{\text{LL}}=\sqrt{\frac{x^{+}(p)}{x^{-}(p)}}\frac{x^{-}(p)-x^{-}(q)}{x^{+}(p)-x^{-}(q)},\qquad r_4^{\text{LL}}=-1,\qquad \\ r_5^{\text{LL}}=-\biggl(\frac{x^{-}(q)}{x^{+}(q)}\frac{x^{+}(p)}{x^{-}(p)}\biggr)^{\!1/4} \frac{x^{+}(q)-x^{-}(q)}{x^{+}(p)-x^{-}(q)}\frac{\gamma(p)}{\gamma(q)}, \\ r_6^{\text{LL}}=-\biggl(\frac{x^{-}(q)}{x^{+}(q)}\frac{x^{+}(p)}{x^{-}(p)}\biggr)^{\!1/4} \frac{x^{+}(p)-x^{-}(p)}{x^{+}(p)-x^{-}(q)}\frac{\gamma(q)}{\gamma(p)}; \\ r_1^{\text{RR}}=-\sqrt{\frac{x^{-}(q)}{x^{+}(q)}\frac{x^{+}(p)}{x^{-}(p)}}\frac{x^{-}(p)-x^{+}(q)}{x^{-}(q)-x^{+}(p)},\vphantom{r_1^{\bigg|}} \\ r_2^{\text{RR}}=\sqrt{\frac{x^{-}(q)}{x^{+}(q)}}\frac{x^{+}(p)-x^{+}(q)}{x^{+}(p)-x^{-}(q)},\qquad r_3^{\text{RR}}=\sqrt{\frac{x^{+}(p)}{x^{-}(p)}}\frac{x^{-}(p)-x^{-}(q)}{x^{+}(p)-x^{-}(q)}, \\ r_4^{\text{RR}}=-1,\qquad r_5^{\text{RR}}=-\biggl(\frac{x^{-}(q)}{x^{+}(q)}\frac{x^{+}(p)}{x^{-}(p)}\biggr)^{\!3/4}\frac{x^{+}(p)-x^{-}(p)}{x^{+}(p)-x^{-}(q)}\frac{\gamma(q)}{\gamma(p)}, \\ r_6^{\text{RR}}=-\biggl(\frac{x^{-}(p)}{x^{+}(p)}\frac{x^{+}(q)}{x^{-}(q)}\biggr)^{\!1/4}\frac{x^{+}(q)-x^{-}(q)}{x^{+}(p)-x^{-}(q)}\frac{\gamma(p)}{\gamma(q)}, \\ r_7^{\text{RR}}=0,\qquad r_8^{\text{RR}}=0.\vphantom{|^{\big|^*}} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Смешанные блоки (LR, RL) имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, r_1^{\text{LR}}=\sqrt{\frac{x^{+}(p)}{x^{-}(p)}\frac{x^{+}(q)}{x^{-}(q)}}\frac{1-x^{+}(p)x^{-}(q)}{1-x^{+}(p)x^{+}(q)},\qquad r_2^{\text{LR}}=\frac{x^{+}(p)}{x^{-}(p)}\sqrt{\frac{x^{+}(q)}{x^{-}(q)}}\frac{1-x^{-}(p)x^{-}(q)}{1-x^{+}(p)x^{+}(q)}, \\ r_3^{\text{LR}}=\sqrt{\frac{x^{+}(p)}{x^{-}(p)}},\qquad r_4^{\text{LR}}=-\frac{x^{+}(p)}{x^{-}(p)}\frac{1-x^{+}(q)x^{-}(p)}{1-x^{+}(p)x^{+}(q)},\qquad r_5^{\text{LR}}=0,\qquad r_6^{\text{LR}}=0, \\ \begin{aligned} \, r_7^{\text{LR}}&=\biggl(\frac{x^{+}(p)}{x^{-}(p)}\frac{x^{+}(q)}{x^{-}(q)}\biggr)^{\!3/4} \frac{x^{+}(q)-x^{-}(q)}{1-x^{+}(p)x^{+}(q)}\frac{\gamma(p)}{\gamma(q)}, \\ r_8^{\text{LR}}&=-\biggl(\frac{x^{-}(q)}{x^{+}(q)}\biggr)^{\!1/4} \biggl(\frac{x^{+}(p)}{x^{-}(p)}\biggr)^{\!3/4}\frac{x^{+}(p)-x^{-}(p)}{1-x^{+}(p)x^{+}(q)}\frac{\gamma(q)}{\gamma(p)}; \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, r_1^{\text{RL}}=\sqrt{\frac{x^{-}(p)}{x^{+}(p)}\frac{x^{-}(q)}{x^{+}(q)}}\frac{1-x^{+}(p)x^{-}(q)}{1-x^{-}(p)x^{-}(q)},\vphantom{r_1^{\bigg|}} \qquad r_2^{\text{RL}}=\frac{x^{-}(q)}{x^{+}(q)}\sqrt{\frac{x^{-}(p)}{x^{+}(p)}}\frac{1-x^{+}(p)x^{+}(q)}{1-x^{-}(p)x^{-}(q)}, \\ r_3^{\text{RL}}=\sqrt{\frac{x^{-}(q)}{x^{+}(q)}},\qquad r_4^{\text{RL}}=-\frac{x^{-}(q)}{x^{+}(q)}\frac{1-x^{+}(q)x^{-}(p)}{1-x^{-}(p)x^{-}(q)},\qquad r_5^{\text{RL}}=0,\qquad r_6^{\text{RL}}=0, \\ \begin{aligned} \, r_7^{\text{RL}}&=\biggl(\frac{x^{-}(q)}{x^{+}(q)}\biggr)^{\!3/4} \biggl(\frac{x^{+}(p)}{x^{-}(p)}\biggr)^{\!1/4}\frac{x^{+}(p)-x^{-}(p)}{1-x^{-}(p)x^{-}(q)}\frac{\gamma(q)}{\gamma(p)}, \\ r_8^{\text{RL}}&=-\biggl(\frac{x^{-}(p)}{x^{+}(p)}\frac{x^{-}(q)}{x^{+}(q)}\biggr)^{\!3/4} \frac{x^{+}(q)-x^{-}(q)}{1-x^{-}(p)x^{-}(q)}\frac{\gamma(p)}{\gamma(q)}. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Важно отметить, что эти результаты отличаются от формул, представленных в работах [34], [44]. В частности, чтобы приведенные выше блоки полностью лежали в пространстве Жуковского, необходимо отождествление Блоки (В.1) для всех $\gamma(p)$ удовлетворяют квантовому уравнию ЯБ, поэтому
$$
\begin{equation}
\gamma(p)=e^{\frac{ip}{4}}\sqrt{\frac{ih}{2}(x^{-}(p)-x^{+}(p))}.
\end{equation}
\tag{В.3}
$$
Таким образом, восстанавливается $R$-матрица из [44]. В.2. Случай $AdS_3\times S^3\times S^3\times S^1$Для случая $\mathcal M^4=S^3\times S^1$, который соответствует рассмотренному в [35], опять же необходимо перейти к блокам вида
$$
\begin{equation}
R^\chi=\rho^\chi\upsilon^\chi \begin{pmatrix} r_1^\chi & 0 & 0 & r_8^\chi \\ 0 & r_2^\chi & r_6^\chi & 0 \\ 0 & r_5^\chi & r_3^\chi & 0 \\ r_7^\chi & 0 & 0 & r_4^\chi \end{pmatrix}, \qquad \begin{aligned} \, r_i^\chi&\equiv r_i^\chi(p,q),\\ \rho^\chi&\equiv\rho^\chi(p,q),\\ \upsilon^\chi&\equiv\upsilon^\chi(p,q), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{В.4}
$$
где вновь $\chi\in\{\text{LL},\text{RR},\text{LR},\text{RL}\}$. Тогда в секторах LL и RR имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, r_1^{\text{LL}}=1,\qquad r_2^{\text{LL}}=\sqrt{\frac{x^{-}_{{\text L}}(p)}{x^{+}_{{\text L}}(p)}} \frac{x^{+}_{{\text L}}(p)-x^{+}_{{\text L}}(q)}{x^{-}_{{\text L}}(p)-x^{-}_{{\text L}}(q)},\qquad r_3^{\text{LL}}=\sqrt{\frac{x^{+}_{{\text L}}(q)}{x^{-}_{{\text L}}(q)}} \frac{x^{-}_{{\text L}}(p)-x^{-}_{{\text L}}(q)}{x^{-}_{{\text L}}(p)-x^{+}_{{\text L}}(q)}, \\ r_4^{\text{LL}}= \sqrt{\frac{x^{-}_{{\text L}}(p)}{x^{+}_{{\text L}}(p)} \frac{x^{+}_{{\text L}}(q)}{x^{-}_{{\text L}}(q)}} \frac{x^{-}_{{\text L}}(q)-x^{+}_{{\text L}}(p)}{x^{-}_{{\text L}}(p)-x^{+}_{{\text L}}(q)},\qquad r_5^{\text{LL}}=\sqrt{\frac{x^{-}_{{\text L}}(p)}{x^{+}_{{\text L}}(p)} \frac{x^{+}_{{\text L}}(q)}{x^{-}_{{\text L}}(q)}} \frac{x^{-}_{{\text L}}(q)-x^{+}_{{\text L}}(q)}{x^{-}_{{\text L}}(p)-x^{+}_{{\text L}}(q)} \frac{\gamma^{\text{L}}(p)}{\gamma^{\text{L}}(q)}, \\ r_6^{\text{LL}}= \frac{x^{-}_{{\text L}}(p)-x^{+}_{{\text L}}(p)}{x^{-}_{{\text L}}(p)-x^{+}_{{\text L}}(q)} \frac{\gamma^{\text{L}}(q)}{\gamma^{\text{L}}(p)},\qquad r_7^{\text{LL}}=0,\qquad r_8^{\text{LL}}=0; \\ r_1^{\text{RR}}=1,\qquad\vphantom{r_1^{\bigg|}} r_2^{\text{RR}}= \sqrt{\frac{x^{-}_{{\text R}}(p)}{x^{+}_{{\text R}}(p)}} \frac{x^{+}_{{\text R}}(p)-x^{+}_{{\text R}}(q)}{x^{-}_{{\text R}}(p)-x^{-}_{{\text R}}(q)},\qquad r_3^{\text{RR}}= \sqrt{\frac{x^{+}_{{\text R}}(q)}{x^{-}_{{\text R}}(q)}}\frac{x^{-}_{{\text R}}(p)-x^{-}_{{\text R}}(q)}{x^{-}_{{\text R}}(p)-x^{+}_{{\text R}}(q)}, \\ r_4^{\text{RR}}= \sqrt{\frac{x^{-}_{{\text R}}(p)}{x^{+}_{{\text R}}(p)}\frac{x^{+}_{{\text R}}(q)}{x^{-}_{{\text R}}(q)}} \frac{x^{-}_{{\text R}}(q)-x^{+}_{{\text R}}(p)}{x^{-}_{{\text R}}(p)-x^{+}_{{\text R}}(q)},\qquad r_5^{\text{RR}}=\frac{x^{-}_{{\text R}}(p)-x^{+}_{{\text R}}(p)}{x^{-}_{{\text R}}(p)-x^{+}_{{\text R}}(q)} \frac{\gamma^{\text{R}}(q)}{\gamma^{\text{R}}(p)}, \\ r_6^{\text{RR}}= \sqrt{\frac{x^{-}_{{\text R}}(p)}{x^{+}_{{\text R}}(p)}\frac{x^{+}_{{\text R}}(q)}{x^{-}_{{\text R}}(q)}} \frac{x^{-}_{{\text R}}(q)-x^{+}_{{\text R}}(q)}{x^{-}_{{\text R}}(p)-x^{+}_{{\text R}}(q)} \frac{\gamma^{\text{R}}(p)}{\gamma^{\text{R}}(q)},\qquad r_7^{\text{RR}}=0,\qquad r_8^{\text{RR}}=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
В секторах LR и RL
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, r_1^{\text{LR}}=\sqrt{\frac{x^{-}_{{\text L}}(p)}{x^{+}_{{\text L}}(p)}} \frac{1-x^{+}_{{\text L}}(p)x^{-}_{{\text R}}(q)}{1-x^{-}_{{\text L}}(p)x^{-}_{{\text R}}(q)},\qquad r_2^{\text{LR}}=1, \\ r_3^{\text{LR}}=\sqrt{\frac{x^{-}_{{\text L}}(p)}{x^{+}_{{\text L}}(p)}\frac{x^{-}_{{\text R}}(q)}{x^{+}_{{\text R}}(q)}} \frac{1-x^{+}_{{\text L}}(p)x^{+}_{{\text R}}(q)}{1-x^{-}_{{\text L}}(p)x^{-}_{{\text R}}(q)},\qquad r_4^{\text{LR}}=-\sqrt{\frac{x^{-}_{{\text R}}(q)}{x^{+}_{{\text R}}(q)}} \frac{1-x^{-}_{{\text L}}(p)x^{+}_{{\text R}}(q)}{1-x^{-}_{{\text L}}(p)x^{-}_{{\text R}}(q)}, \\ r_5^{\text{LR}}=0,\qquad r_6^{\text{LR}}=0, \\ r_7^{\text{LR}}=\sqrt{\frac{x^{-}_{{\text L}}(p)}{x^{+}_{{\text L}}(p)}} \frac{x_{{\text R}}^{+}(q)-x_{{\text R}}^{-}(q)}{1-x_{{\text L}}^{-}(p)x_{{\text R}}^{-}(q)} \frac{\gamma^{\text{ L}}(p)}{\gamma^{\text{R}}(q)},\qquad r_8^{\text{LR}}=-\sqrt{\frac{x^{-}_{{\text R}}(q)}{x^{+}_{{\text R}}(q)}} \frac{x_{{\text L}}^{+}(p)-x_{{\text L}}^{-}(p)}{1-x_{{\text L}}^{-}(p)x_{{\text R}}^{-}(q)} \frac{\gamma^{\text{ R}}(q)}{\gamma^{\text{L}}(p)};\\ \\ r_1^{\text{RL}}=\sqrt{\frac{x^{-}_{{\text R}}(p)}{x^{+}_{{\text R}}(p)}} \frac{1-x^{+}_{{\text R}}(p)x^{-}_{{\text L}}(q)}{1-x^{-}_{{\text R}}(p)x^{-}_{{\text L}}(q)},\qquad r_2^{\text{RL}}=1, \\ r_3^{\text{RL}}=\sqrt{\frac{x^{-}_{{\text R}}(p)}{x^{+}_{{\text R}}(p)}\frac{x^{-}_{{\text L}}(q)}{x^{+}_{{\text L}}(q)}} \frac{1-x^{+}_{{\text R}}(p)x^{+}_{{\text L}}(q)}{1-x^{-}_{{\text R}}(p)x^{-}_{{\text L}}(q)},\qquad r_4^{\text{RL}}=-\sqrt{\frac{x^{-}_{{\text L}}(q)}{x^{+}_{{\text L}}(q)}} \frac{1-x^{-}_{{\text R}}(p)x^{+}_{{\text L}}(q)}{1-x^{-}_{{\text R}}(p)x^{-}_{{\text L}}(q)}, \\ r_5^{\text{RL}}=0,\qquad r_6^{\text{RL}}=0, \\ r_7^{\text{RL}}=\sqrt{\frac{x^{-}_{{\text L}}(q)}{x^{+}_{{\text L}}(q)}} \frac{x_{{\text R}}^{+}(p)-x_{{\text R}}^{-}(p)}{1-x_{{\text R}}^{-}(p)x_{{\text L}}^{-}(q)} \frac{\gamma^{\text{ L}}(q)}{\gamma^{\text{R}}(p)},\qquad r_8^{\text{RL}}=-\sqrt{\frac{x^{-}_{{\text R}}(p)}{x^{+}_{{\text R}}(p)}} \frac{x_{{\text L}}^{+}(q)-x_{{\text L}}^{-}(q)}{1-x_{{\text R}}^{-}(p)x_{{\text L}}^{-}(q)} \frac{\gamma^{\text{ R}}(p)}{\gamma^{\text{L}}(q)}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть
$$
\begin{equation}
\upsilon(p,q)^{\text{LR}}= \biggl(\frac{x_{\text{L}}^{+}(p)}{x_{\text{L}}^{-}(p)}\biggr)^{-1/4} \biggl(\frac{x_{\text{R}}^{+}(q)}{x_{\text{R}}^{-}(q)}\biggr)^{-1/4}\, \frac{1-\frac{1}{x_{\text{L}}^{-}(p)x_{\text{R}}^{-}(q)}}{1-\frac{1}{x_{\text{L}}^{+}(p)x_{\text{R}}^{+}(q)}},
\end{equation}
\tag{В.5}
$$
такая же функция с индексом RL получается заменой $\text{L}\leftrightarrow\text{R}$, а в чистых секторах Можно показать, что соответствующие секторы для $\gamma $ и переменных Жуковского связаны между собой как
$$
\begin{equation}
\gamma^{\text{L}}(p+\omega)=i\frac{\gamma^{\text{R}}(p)}{x_{\text{R}}^{+}(p)},\qquad x_{\text{L}}^{\pm}(p+\omega)=\frac{1}{x_{\text{R}}^{\pm}(p)},
\end{equation}
\tag{В.7}
$$
где $p+\omega$ переходит в $\bar{p}$ из [35]. Формулы для сектора R получаются заменой $L\leftrightarrow R$. В.3. Случай $AdS_3\times S^3\times S^3\times S^1\mapsto AdS_3\times S^3\times T^4$Можно показать, что с помощью набора условий и отображений $R$-матрица в случае $AdS_3\times S^3\times T^4$ получается из $R$-матрицы для $AdS_3\times S^3\times S^3\times S^1$. Сначала необходимо переопределить переменные в пространстве Жуковского как
$$
\begin{equation}
x_{\text{L}}^{-}\mapsto x^{-},\qquad x_{\text{L}}^{+}\mapsto x^{+},\qquad\quad x_{\text{R}}^{-}\mapsto x^{-},\qquad x_{\text{R}}^{+}\mapsto x^{+}
\end{equation}
\tag{В.8}
$$
и задать $\gamma^{\text{L}}$, $\gamma^{\text{R}}$ в виде
$$
\begin{equation}
\gamma^{\text{L}}(p)=a\biggl(\frac{x^{+}(p)}{x^{-}(p)}\biggr)^{\!1/4}\gamma(p),\qquad \gamma^{\text{R}}(p)=a\biggl(\frac{x^{-}(p)}{x^{+}(p)}\biggr)^{\!1/4}\gamma(p),
\end{equation}
\tag{В.9}
$$
где $a=\text{const}$ и $\rho^\chi$ связано с $\zeta^\chi$ соотношениями
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \rho^{\text{LL}}(p,q)&=-\sqrt{\frac{x^{+}(p)}{x^{-}(p)}\frac{x^{-}(q)}{x^{+}(q)}}\frac{x^{-}(p)-x^{+}(q)}{x^{-}(q)-x^{+}(p)}\zeta^{\text{LL}}(p,q), \\ \rho^{\text{RR}}(p,q)&=-\sqrt{\frac{x^{+}(p)}{x^{-}(p)}\frac{x^{-}(q)}{x^{+}(q)}}\frac{x^{-}(p)-x^{+}(q)}{x^{-}(q)-x^{+}(p)}\zeta^{\text{RR}}(p,q), \\ \rho^{\text{LR}}(p,q)&=\frac{x^{+}(p)}{x^{-}(p)}\sqrt{\frac{x^{+}(q)}{x^{-}(q)}} \frac{1-x^{-}(p)x^{-}(q)}{1-x^{+}(p)x^{+}(q)}\frac{\zeta^{\text{LR}}(p,q)}{\upsilon^{\text{ LR}}(p,q)}, \\ \rho^{\text{RL}}(p,q)&=\sqrt{\frac{x^{-}(q)}{x^{+}(q)}}\frac{\zeta^{\text{RL}}(p,q)}{\upsilon^{\text{RL}}(p,q)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{В.10}
$$
Приложение Г. Свойства свободных фермионов: рекуррентные соотношения для $A{d}S_3$-$T$-матрицыПриведем рекуррентные формулы для трансфер-матрицы $t_N$ цепочки из $N$ узлов. В этих формулах не используется вспомогательная система уравнений Бете. Можно заметить, что матрица $R_{AdS_3}$ с RR-потоком имеет специальный вид:
$$
\begin{equation}
R_{0i}(\theta_0-\theta_i)=\operatorname{ch}\frac{\theta_{0i}}{2}\cdot(1-2\eta_{0i}^\unicode{8224}\eta_{0i})\equiv\operatorname{ch}\frac{\theta_{0i}}{2}\cdot(1-2 N_{0i});
\end{equation}
\tag{Г.1}
$$
здесь обозначениями $\eta_{0,i}$ и $\eta_{0,i}^{\unicode{8224}}$ подчеркнуто, что неоднородности присутствуют в узлах $0$ и $i$. Можно заметить, что при этом возникает нетривиальная структура $R$-матрицы. Для матрицы $t_N$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, t_N&=\prod_{i=1}^N\operatorname{ch}\frac{\theta_{0i}}{2}\cdot \operatorname{str}_0[1-2N_{01}]\ldots[1-2N_{0N}]= \nonumber\\ &=\prod_{i=1}^N\operatorname{ch}\frac{\theta_{0i}}{2}\times{} \nonumber\\ &\;\;\times\bigl(\langle 0_0|[1-2N_{01}]\ldots[1-2N_{0N}]|0_0\rangle-\langle 0_0|c_0[1-2N_{01}]\ldots[1-2N_{0N}]c^\unicode{8224}_0|0_0\rangle\bigl), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{Г.2}
$$
где $|0_{0}\rangle$ означает состояние $|\phi\rangle$ во вспомогательном пространстве с номером $0$. Очевидно, что для нахождения матрицы (Г.2) нам требуется найти
$$
\begin{equation}
\langle 0_0|N_{01}\ldots N_{0m}|0_0\rangle,\qquad \langle 0_0|c_0 N_{01}\ldots N_{0m}c^\unicode{8224}_0|0_0\rangle,\qquad m=\overline{1,N}.
\end{equation}
\tag{Г.3}
$$
Сначала покажем, что для данных элементов можно получить рекуррентные соотношения. На первом шаге из (Г.3) нам нужно определить элементы
$$
\begin{equation}
X_m\equiv\langle 0_0|N_{01}\ldots N_{0m}|0_0\rangle,\qquad Y_m\equiv\langle 0_0|N_{01}\ldots N_{0m}c_0^\unicode{8224}|0_0\rangle.
\end{equation}
\tag{Г.4}
$$
Мы видим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \langle 0_0&|N_{01}\ldots N_{0m}|0_0\rangle=\langle 0_0|N_{01}\ldots N_{0,m-1}\eta^\unicode{8224}_m\eta_m |0_0\rangle= \\ &=\langle 0_0|N_{01}\ldots N_{0,m-1}\eta^\unicode{8224}_m (\alpha_m c_0+\beta_m c_m)|0_0\rangle= \\ &=\beta_m\langle 0_0|N_{01}\ldots N_{0,m-1}(\alpha_m c_0^\unicode{8224}+\beta_m c_m^\unicode{8224})|0_0\rangle c_m= \\ &=\alpha_m\beta_m\langle 0_0|N_{01}\ldots N_{0,m-1}c_0^\unicode{8224}|0_0\rangle c_m+\beta_m^2\langle 0_0|N_{01}\ldots N_{0,m-1}|0_0\rangle n_m. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем
$$
\begin{equation}
\alpha_i\equiv\cos\alpha_{0i},\qquad\beta_i\equiv\sin\alpha_{0i},\qquad\operatorname{ctg} 2\alpha_{0i}=\operatorname{sh}\frac{\theta_{0i}}{2}.
\end{equation}
\tag{Г.5}
$$
В результате имеем рекуррентное соотношение для $X_m$:
$$
\begin{equation}
X_m^{}=\alpha_m^{}\beta_m^{}Y_{m-1}^{}c_m^{}\beta_m^2X_{m-1}^{}n_m^{}.
\end{equation}
\tag{Г.6}
$$
Аналогично, рассмотрев $\langle 0_0|c_0 N_{01}\ldots N_{0m}c^\unicode{8224}_0|0_0\rangle$, выводим рекуррентное соотношение для $Y_m$:
$$
\begin{equation}
Y_m^{}=\alpha_m^2Y_{m-1}^{}+\alpha_m^{}\beta_m^{}X_{m-1}^{}c^\unicode{8224}_m+\beta_m^2Y_{m-1}^{}n_m.^{}
\end{equation}
\tag{Г.7}
$$
Рекуррентные соотношения разрешаются как
$$
\begin{equation}
X_m^{}=x_{m-1}^{}\nu_m^{}+\sum_{i=1}^{m-1} X_{i-1}^{}\psi^\unicode{8224}_i\xi_{im}^{},\qquad m\geqslant 1,\qquad X_0=1,
\end{equation}
\tag{Г.8}
$$
и выражаются через блок-молекулы $\Gamma_{ij}=\psi^\unicode{8224}_i\xi_{ij}$ для данного $m$. Однако можно также записать универсальное выражение. После переопределения операторов и алгебры индексов система уравнений (Г.6) разрешается, и мы приходим к следующим уравнениям:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, X_m=&\prod_{i=0}^{m-1}\Omega_{2,i+1}+ \sum_{i=0}^{m-1}\Omega_{1,i+1}\biggl(\,\prod_{j=i}^{m-2}\Omega_{2,j+2}\biggr) \sum_{\mu=0}^{i-1}\Omega_{3,\mu+1}\biggl(\,\prod_{\nu=\mu}^{i-2}(\Omega_{4,\nu+2}+\Omega_{2,\nu+2})\biggr)X_{\mu}, \\ Y_m=&\sum_{i=0}^{m-1}\Omega_{3,i+1}\biggl(\,\prod_{j=i}^{m-2}(\Omega_{4,j+2}+\Omega_{2,j+2})\biggr) \biggl(\,\prod_{\alpha=0}^{i-1}\Omega_{2,\alpha+1}+ \sum_{\alpha=0}^{i-1}\Omega_{1,\alpha+1}\biggl(\,\prod_{\beta=\alpha}^{i-2}\Omega_{2,\beta+2}\biggr)Y_\alpha\biggr) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для $m\geqslant 0$, где
$$
\begin{equation*}
\Omega_{1,q}^{}=\alpha_q^{}\beta_q^{}c_q^{},\qquad \Omega_{2,q}^{}=\beta_q^2n_q^{},\qquad \Omega_{3,q}^{}=\alpha_q^{}\beta_q^{}c_q^{\unicode{8224}},\qquad \Omega_{4,q}^{}=\alpha_q^2,
\end{equation*}
\notag
$$
и при $m=0$ эти величины удовлетворяют начальным условиям, заданным теми же равенствами. Теперь вспомним, что при расчете (Г.2) остаются элементы вида
$$
\begin{equation}
Z_m^{}\equiv\langle 0_0^{}|c_0^{}N_{01}^{}\ldots N_{0m}^{}c_0^\unicode{8224}|0_0^{}\rangle,\qquad L_m^{}\equiv\langle 0_0^{}|c_0^{}N_{01}^{}\ldots N_{0m}^{}c_0^{}c_0^\unicode{8224}|0_0^{}\rangle,
\end{equation}
\tag{Г.9}
$$
которые имеют такую же, как выше, структуру с дополнительными операторами с обеих сторон. Действуя по аналогии, можно найти замкнутую систему рекуррентных уравнений для операторов $L_m$ и $Z_m$:
$$
\begin{equation}
\begin{cases} L_m^{}=\alpha_m^{}\beta_m^{}Z_{m-1}^{}c_m^{}+\beta_m^2L_{m-1}^{}n_m^{}, \\ Z_m^{}=\alpha_m^2Z_{m-1}^{}+\alpha_m^{}\beta_m^{}L_{m-1}^{}c_m^\unicode{8224}+\beta_m^2Z_{m-1}^{}n_m^{}. \end{cases}
\end{equation}
\tag{Г.10}
$$
Теперь мы можем решить эту систему, используя набор операторов $\Xi_{i,s}$, $i=\overline{1,4}$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, L_m&=\sum_{i=0}^{m-1}\Xi_{4,i+1}\prod_{j=i}^{m-2}\Xi_{3,j+2}\times{} \\ &\quad\times\biggl(\,\prod_{\alpha=0}^{i-1}(\Xi_{1,\alpha+1}+\Xi_{3,\alpha+1})+ \sum_{\beta=1}^{i-1}\Xi_{2,\beta+1}\prod_{\alpha=\beta}^{i-2}(\Xi_{1,\alpha+2}+\Xi_{3,\alpha+2})U_\beta\biggr), \\ Z_m&=\prod_{i=0}^{m-1}(\Xi_{1,i+1}+\Xi_{3,i+1})+{} \\ &\quad+\sum_{j=1}^{m-1}\Xi_{2,j+1}\biggl(\,\prod_{i=j}^{m-2}(\Xi_{1,i+2}+\Xi_{3,i+2})\biggr) \sum_{\mu=0}^{j-1}\Xi_{4,\mu+1}\biggl(\,\prod_{\nu=\mu}^{j-2}\Xi_{3,\nu+2}\biggr)Z_{\mu} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{Г.11}
$$
для $m\geqslant 0$, где
$$
\begin{equation*}
\Xi_{1,s}^{}=\alpha_s^2,\qquad\Xi_{2,s}^{}=\alpha_s^{}\beta_s^{}c_s^{\unicode{8224}},\qquad \Xi_{3,s}^{}=\beta_s^2n_s^{},\qquad\Xi_{4,s}^{}=\alpha_s^{}\beta_s^{}c_s^{}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рекуррентные соотношения в терминах блок-молекул применимы и для общего $m$. Фактически мы получили эффективный замкнутый способ генерации $t_N$. Очевидно, что эти комбинации операторов все равно необходимо упорядочить в некое компактное выражение типа разложения для (Г.2), что априори не очевидно. Уже при малых значениях $N$ операторная структура развивается нетривиально. Так, например, в случае $N=2$ имеем
$$
\begin{equation}
t_2=\operatorname{ch}\frac{\theta_{01}}{2}\operatorname{ch}\frac{\theta_{02}}{2}\bigl[1-2X_1-2\widetilde X_1+4X_2-(1-2Z_1-2\widetilde Z_1+4Z_2)\bigr],
\end{equation}
\tag{Г.12}
$$
где $\widetilde X_i=\langle 0_{0}|N_{0i}|0_{0}\rangle$, что вытекает из начальных условий и формул (Г.6), (Г.7). Далее получается матрица $t_3$,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, t_3&\propto 2\sum_{i=1}^3\alpha_i^2+ 4\bigl[\alpha_1^{}\beta_1^{}\alpha_2^{}\beta_2^{} \bigl(c_1^\unicode{8224} c_2^{}(1-2\beta_3^2n_3^{})-c_1^{}c_2^\unicode{8224}(1-2\alpha_3^2-2\beta_3^2n_3^{})\bigr)+{} \\ &\kern66pt +\alpha_1^{}\beta_1^{}\alpha_3^{}\beta_3^{} \bigl(c_1^\unicode{8224} c_3^{}(1-2\alpha_2^2-2\beta_2^2n_2^{})-c_1^{}c_3^\unicode{8224}(1-2\beta_2^2n_2^{})\bigr)+{} \\ &\kern66pt +\alpha_2^{}\beta_2^{}\alpha_3^{}\beta_3^{} \bigl(c_2^\unicode{8224} c_3^{}(1-2\beta_1^2n_1^{})-c_2^{}c_3^\unicode{8224}(1-2\alpha_1^2-2\beta_1^2n_1^{})\bigr)\bigr]-{} \\ &\quad -8\bigl[\beta_1^2\beta_2^2\beta_3^2n_1^{}n_2^{}n_3^{}- (\alpha_1^2+\beta_1^2n_1^{})(\alpha_2^2+\beta_2^2n_2^{})(\alpha_3^2+\beta_3^2n_3^{})\bigr]- \\ &\quad -4\bigl[(\alpha_1^2+\beta_1^2n_1^{})(\alpha_2^2+\beta_2^2n_2^{})+ (\alpha_1^2+\beta_1^2n_1^{})(\alpha_3^2+\beta_3^2n_3^{})+ (\alpha_2^2+\beta_2^2n_2^{})(\alpha_3^2+\beta_3^2n_3^{})\bigr], \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
и не существует универсального способа задать ее в терминах комбинаций $X$-операторов, начав с (Г.12). Такая структура требует либо определенной схемы группировки разложения, либо более эффективного рекуррентного аналитического решения для $t_N$. БлагодарностиЯ хотел бы поблагодарить Мариуса де Леу, Сергея Фролова, Алессандро Торриелли, Аркадия Цейтлина и Андрея Зотова за обсуждения. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Pri23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|