| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) О классификации нелинейных интегрируемых трехмерных цепочек при помощи характеристических алгебр Ли И. Т. Хабибуллин, А. Р. Хакимова Институт математики с вычислительным центром Уфимского федерального исследовательского центра РАН, Уфа, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923100094 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеТеория интегрируемости является важной составляющей современной математической физики. К настоящему времени задача исчерпывающего описания интегрируемых представителей для широкого класса нелинейных непрерывных и дискретных моделей размерности $1+1$, наиболее интересных с точки зрения приложений, близка к завершению. При решении этой задачи успешно использовались классификационные алгоритмы, основанные на симметрийном подходе [1]–[6]. Для классификации уравнений с тремя и более независимыми переменными метод симметрий не подходит из-за проблем с нелокальностями. Кратко обсудим наиболее популярные методы классификации интегрируемых моделей в трехмерном пространстве. Метод классификации трехмерных уравнений, основанный на существовании гидродинамических редукций, является одним из наиболее востребованных специалистами по математической физике. Он создавался, апробировался и использовался в серии работ [7]–[12]. Метод классификации трехмерных интегрируемых цепочек, использующий идею совместности, был разработан в статьях [13], [14]. Существуют и альтернативные подходы к изучению и классификации уравнений в трехмерном пространстве (см., например, работы [15]–[17] и ссылки в них). В настоящей работе продолжается исследование задачи классификации нелинейных цепочек вида
$$
\begin{equation}
u^j_{n+1,x}=u^j_{n,x}+f(u^{j+1}_{n},u^{j}_n,u^j_{n+1 },u^{j-1}_{n+1}),\qquad \frac{\partial f}{\partial u^{j+1}_{n}}\neq 0,\qquad \frac{\partial f}{\partial u^{j-1}_{n+1}}\neq 0,
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
линейных по производным $u^j_{n,x}=\frac{d}{dx}u^j_n$, начатое в работе [18]. В уравнении (1.1) искомая функция $u^j_n(x)$ зависит от трех аргументов: непрерывной переменной $x$ и дискретных переменных $n$ и $j$. Здесь $f$ предполагается аналитической функцией, заданной в некоторой области пространства $C^4$. Наш подход к задаче классификации интегрируемых цепочек в трехмерном пространстве основан на следующем любопытном наблюдении. Известные примеры интегрируемых уравнений с тремя независимыми переменными, когда хотя бы одна из переменных является дискретной, допускают редукции в виде интегрируемых в смысле Дарбу систем уравнений гиперболического типа с двумя независимыми переменными. Эти редукции получаются в результате наложения граничных условий типа обрыва по дискретному аргументу (см., например, [19]–[21]). В работах [22], [23] такое свойство интегрируемых трехмерных цепочек было успешно использовано при классификации цепочек с одной дискретной и двумя непрерывными переменными. В работе [18] мы адаптировали алгебраический метод классификации на случай цепочек вида (1.1) с одной непрерывной и двумя дискретными независимыми переменными. Мы предполагаем, что существуют функции $f^{-N_2}$ и $f^{N_1}$ такие, что система дифференциально-разностных уравнений гиперболического типа следующего вида:
$$
\begin{equation}
u^j_{n+1,x}=u^j_{n,x}+f^{j}_n, \qquad -N_2\leqslant j\leqslant N_1,
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, f^{-N_2}_n&=f^{-N_2}(u^{-N_2+1}_{n},u^{-N_2}_n,u^{-N_2}_{n+1 }),\\ f^j_{n}&=f(u^{j+1}_{n},u^{j}_n,u^j_{n+1 },u^{j-1}_{n+1}), \qquad\quad -N_2+1\leqslant j\leqslant N_1-1,\\ f^{N_1}_n&=f^{N_1}(u^{N_1}_n,u^{N_1}_{n+1 }, u^{N_1-1}_{n+1}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
интегрируема по Дарбу для любой пары неотрицательных чисел $N_1$, $N_2$. Тогда цепочки (1.1), соответствующие найденным функциям $f=f(u^{j+1}_{n},u^{j}_n,u^j_{n+1 },u^{j-1}_{n+1})$, предположительно будут интегрируемыми. Напомним, что система уравнений (1.2) является интегрируемой в смысле Дарбу, если она допускает полные наборы характеристических интегралов по каждому из характеристических направлений $x$ и $n$. Понятие характеристического интеграла дифференциального уравнения гиперболического типа впервые было введено в работе Дарбу [24]. Эффективный алгебраический критерий интегрируемости системы гиперболических уравнений был предложен Шабатом (см. [25]–[27]): конечномерность характеристической алгебры по каждому из характеристических направлений является необходимым и достаточным условием интегрируемости в смысле Дарбу системы гиперболических уравнений. Теория интегрируемости по Дарбу полностью переносится на системы дифференциально-разностных и чисто дискретных уравнений [28]–[33]. В работе [18] было доказано, что необходимым условием конечномерности алгебры $L_x$ системы (1.2) по направлению $x$ является выполнение равенства
$$
\begin{equation}
P(Z_k)f(u^{1}_{n},u^{0}_n,u^0_{n+1 },u^{-1}_{n+1})=0,\qquad k=-1,0,1,
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
где операторы $Z_k$ имеют следующий вид:
$$
\begin{equation*}
Z_{-1}=\frac{\partial}{\partial u^{-1}_n},\qquad Z_{0}=\frac{\partial}{\partial u^{0}_n}+ \frac{\partial}{\partial u^{0}_{n+1}},\qquad Z_{1}=\frac{\partial}{\partial u^{1}_n},
\end{equation*}
\notag
$$
а $P(\lambda)$ – некоторый многочлен с постоянными коэффициентами
$$
\begin{equation}
P(\lambda)=\lambda^M+a_1\lambda^{M-1}+ \cdots +a_{M-1}\lambda
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
с нулевым свободным членом. Далее предполагается, что $P(\lambda)$ – многочлен наименьшей степени, удовлетворяющий условиям (1.3). Задача об описании класса функций $f$, для которых система (1.2) является интегрируемой по Дарбу, естественным образом распадается на четыре варианта:
$$
\begin{equation*}
u^j_{n+1,x}=u^j_{n,x}+k_1e^{u^{j-1}_{n+1}}+ e^{u^j_{n}}+ e^{u^{j}_{n+1}}+ k_2e^{u^{j+1}_{n}},
\end{equation*}
\notag
$$
где $k_1$, $k_2$ – некоторые постоянные. Причем при $k_1=k_2=-1$ получаем известную интегрируемую цепочку, найденную ранее в работе [28]. В настоящей работе мы исследуем случай 2. Случаи 3 и 4 остаются неизученными с точки зрения классификации по признаку интегрируемых по Дарбу редукций. Несколько примеров интегрируемых цепочек, соответствующих случаю 3, можно найти в работе [12]. Примеры цепочек с функцией $f$, соответствующей случаю 4, авторам неизвестны. Основной результат работы представлен в теоремах 8 и 9. В теореме 8 утверждается, что если цепочка (1.1) с функцией $f$, заданной в виде (2.1), интегрируема в смысле определения 1, то $f$ принадлежит одному из трех классов, содержащих неопределенные константы. В разделе 3 детально обсуждается один из этих классов, в котором выделяются два подкласса. Представители одного из подклассов зависят от двух целочисленных параметров, в то время как цепочки из второго подкласса зависят от одного комплексного параметра (см. теорему 9). В разделе 4 предъявлены три конкретные цепочки, для двух из них показано, что характеристические алгебры по направлению $x$ имеют конечные размерности, третья цепочка является интегрируемой. Она совпадает с цепочкой Адлера (см. [34]) с точностью до поворота координатных осей. Для завершения классификации необходимо исследовать полученные цепочки с помощью характеристической алгебры по дискретному направлению $n$. 2. Классификационная задачаНетрудно проверить, что общее решение $f$ системы (1.3) при условии $P(\lambda)=\lambda^2$ представимо в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, f(u^1_n, u^0_n, u^{0}_{n+1}, u^{-1}_{n+1})&=A_0u^1_nu^0_nu^{-1}_{n+1}+A_1u^0_nu^{-1}_{n+1}+A_2u^1_nu^0_n+{} \notag \\ &\quad+A_3u^1_nu^{-1}_{n+1}+A_4u^1_n+A_5u^0_n+A_6u^{-1}_{n+1}+A_7, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где коэффициенты $A_i=A_i(\tau_n)$ являются произвольными функциями от переменной $\tau_n=u^0_n-u^{0}_{n+1}$. Основная цель работы состоит в выводе необходимых условий на эти функции из предположения о конечномерности характеристической алгебры $L_x$ системы (1.2) по направлению $x$. Ниже мы обсудим определение и некоторые свойства этой алгебры. 2.1. Характеристическая алгебра по направлению $x$Напомним, что характеристическая алгебра $L_x$ системы (1.2) по направлению $x$ определяется как алгебра Ли–Райнхарта [35] над кольцом локально-аналитических функций от динамических переменных, порожденная набором векторных полей, называемых характеристическими операторами (см. [18]):
$$
\begin{equation}
X_j =\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial u^j_{n+k}}, \qquad j=-N_2,-N_2+1,\ldots,N_1,
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
$$
\begin{equation}
Y =\sum_{j=-N_2}^{N_1}\biggl(f^j_{n}\frac{\partial}{\partial u^j_{n+1}}-f^j_{n-1}\frac{\partial}{\partial u^j_{n-1}}+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\quad+(f^j_{n}+f^j_{n+1})\frac{\partial}{\partial u^j_{n+2}}-(f^j_{n-1}+f^j_{n-2})\frac{\partial}{\partial u^j_{n-2}}+\cdots\biggr).
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
Отображение, действующее по правилу является автоморфизмом алгебры $L_x$ (см. [27]). Для образующих алгебры имеем равенства
$$
\begin{equation}
D_nX_jD^{-1}_n=X_j, \qquad D_nYD^{-1}_n=Y-\sum_{j=-N_2}^{N_1}f^j_nX_j.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Условие конечномерности алгебры $L_x$ является необходимым и достаточным условием существования полного набора $x$-интегралов системы (1.2). Поэтому, для того чтобы система (1.2) была интегрируема в смысле Дарбу, необходимо, чтобы алгебра $L_x$ имела конечную размерность. Этот факт лежит в основе классификационного алгоритма, которым мы пользуемся при уточнении вида функции (2.1). Для того чтобы цепочка (1.1) с функцией $f$, заданной в виде (2.1), допускала вырожденные обрывы с обеих сторон, необходимо, чтобы она имела стационарное решение вида $u^j_n(x)=0$. Это налагает определенные ограничения на коэффициенты $A_i(\tau_n)$, они должны быть непрерывны в нуле, и, кроме того, требуется, чтобы $A_i(0)=0$. С учетом этого предположения система (1.2) принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u^{N_1}_{n+1,x}&=u^{N_1}_{n,x}+A_1(\tau^{N_1}_n)u^{N_1}_nu^{N_1-1}_{n+1}+A_5(\tau^{N_1}_n)u^{N_1}_n+A_6(\tau^{N_1}_n)u^{N_1-1}_{n+1}+A_7(\tau^{N_1}_n),\\ u^{j}_{n+1,x}&=u^{j}_{n,x}+f^j_n,\\ u^{-N_2}_{n+1,x}&=u^{-N_2}_{n,x}+A_2(\tau^{-N_2}_n)u^{-N_2+1}_nu^{-N_2}_{n}+{}\\ & \quad+A_4(\tau^{-N_2}_n)u^{-N_2+1}_n+A_5(\tau^{-N_2}_n)u^{-N_2}_{n}+A_7(\tau^{-N_2}_n), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
где $f^j=f(u^{j+1}_n, u^j_n, u^j_{n+1}, u^{j-1}_{n+1})$, а функция $f$ задана в (2.1). Ниже мы будем пользоваться следующим определением. Определение 1. Будем называть цепочку (1.1), (2.1) интегрируемой, если характеристические алгебры системы (2.6) по направлениям $n$ и $x$ имеют конечную размерность для любого выбора $N_1\geqslant 0$ и $N_2\geqslant 0$. 2.2. Поиск функции $A_0$Цель настоящего раздела состоит в определении функции $A_0(\tau)$. Имеет место следующая Теорема 1. Если $\dim L_x < \infty$, то функция $A_0(\tau)$ имеет вид где $c_0$ – некоторая постоянная. Доказательство. Сосредоточимся на подалгебре алгебры $L_x$, порожденной операторами1 Рассмотрим последовательность кратных коммутаторов этих операторов:
$$
\begin{equation}
T_1=[T,T_0], \quad T_2=[T,T_1], \quad\ldots, \quad T_{k+1}=[T,T_k], \quad k\geqslant0.
\end{equation}
\tag{2.9}
$$
Автоморфизм (2.4) алгебры $L_x$ является полезным инструментом при изучении последовательностей. Пользуясь формулами (2.5), легко вывести следующие соотношения:
$$
\begin{equation*}
D_nTD^{-1}_n=T-(A_0u_n^0+A_3)T_0,\qquad D_nT_1D^{-1}_n=T_1+A_0T_0.
\end{equation*}
\notag
$$
Можно проверить, что для $k\geqslant 2$ оператор $D_nT_kD^{-1}_n$ выражается не только через элементы последовательности (2.9), но и через операторы, полученные применением степеней оператора $\mathrm{ad}_{T_0}$, действующего по правилу $\mathrm{ad}_{T_0}Z=[T_0,Z]$. Поэтому мы расширим последовательность (2.9) следующим образом. Введем мультииндекс $\alpha=(k,0,i_1,i_2,\ldots,i_{r-1},i_r)$, где $k$ – некоторое натуральное число, переменная $i_j$ для любого $j$ принимает одно из двух значений $0$ или $1$. Мультииндекс присваивается оператору согласно формуле
$$
\begin{equation}
T_\alpha= \begin{cases} [T_0,T_{k,0,i_1,i_2,\ldots,i_{r-1}}], &\text{если}\quad i_r=0,\\ [T,T_{k,0,i_1,i_2,\ldots,i_{r-1}}], &\text{если}\quad i_r=1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.10}
$$
Мы частично упорядочим множество операторов, пронумерованных мультииндексом, введением функции
$$
\begin{equation}
m(\alpha)= \begin{cases} k, &\text{если}\quad \alpha=k,\\ k, &\text{если}\quad \alpha=k,0,\\ k+i_1+i_2+\cdots+i_r, &\text{если}\quad \alpha=(k,0,i_1,i_2,\ldots,i_{r-1},i_r). \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.11}
$$
Опишем действие автоморфизма (2.4) на элементы последовательности операторов (2.10). Легко можно проверить следующую формулу:
$$
\begin{equation*}
D_nT_kD^{-1}_n=T_k+A_0T_{k-1}-(A_0u_n^0+A_3)\sum_{m(\beta)=k-1}T_{\beta}+\sum_{m(\beta)\leqslant k-2}\eta(k,\beta)T_{\beta}, \quad k\geqslant2.
\end{equation*}
\notag
$$
Для операторов $T_\alpha$, не принадлежащих последовательности (2.9), имеем
$$
\begin{equation*}
D_nT_\alpha D^{-1}_n=T_\alpha+\sum_{m(\beta)\leqslant m(\alpha)-1}\eta(\alpha,\beta)T_{\beta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Построим базис $P$ в линейном пространстве, порожденном элементами последовательности кратных коммутаторов операторов $T_0$, $T$. Для этого выполним следующие действия.
В силу конечномерности рассматриваемой алгебры Ли–Райнхарта начиная с некоторого натурального $N$ оператор $T_{N+1}$ линейно выражается через операторы $T_\beta$, для которых $m(\beta)\leqslant N$: По построению для $T_\gamma \notin P$, $m(\gamma)\leqslant N$, имеем также представление Далее нам понадобится следующая лемма.Лемма 1. Для любого векторного поля $T_\alpha \notin P$, $m(\alpha)=N$ в представлении коэффициент $\mu(\alpha,N)$ является константой. Доказательство. Применим к последнему равенству оператор сопряжения и получим С другой стороны, имеем Сравнивая в этих двух представлениях коэффициенты при $T_N$, находим $\mu(\alpha,N)=D_n(\mu(\alpha,N))$, откуда следует, что $\mu(\alpha,N)$ является постоянной. Лемма доказана. Продолжим доказательство теоремы 1. Подействуем на разложение (2.12) автоморфизмом (2.4) и получим слева
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, T_{N+1}&+A_0T_{N}-(A_0u_n^0+A_3)\sum_{m(\beta)=N}T_{\beta}+\sum_{m(\beta)\leqslant N-1}\eta(N+1,\beta)T_{\beta}={}\\ &=\mu(N+1,N)T_N+\sum_{T_\beta\in P, m(\beta)\leqslant N}\mu(N+1,\beta)T_\beta+A_0T_{N}-{}\\ &\quad-(A_0u_n^0+A_3)\sum_{m(\beta)=N}T_{\beta}+\sum_{m(\beta)\leqslant N-1}\eta(N+1,\beta)T_{\beta}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а справа соответственно
$$
\begin{equation*}
D_n(\mu(N+1,N))(T_N+\cdots)+\sum_{T_\beta\in P, m(\beta)\leqslant N-1}D_n(\mu(N+1,\beta))(T_\beta+\cdots).
\end{equation*}
\notag
$$
Сравнивая коэффициенты при операторе $T_N$ справа и слева, приходим к равенству Поскольку в (2.13) функции $A_0$ и $A_3$ зависят только от разности $u_n^0-u_{n+1}^0$, то очевидно, что коэффициент $\mu=\mu(N+1,N)$ может зависеть только от $u_n^0$. Исследуем уравнение (2.13) на искомую функцию $\mu=\mu(u_n^0)$:
$$
\begin{equation}
\mu(u_{n+1}^0)-\mu(u_n^0)=A_0(u^0_n-u^0_{n+1})-c(A_0(u^0_n-u^0_{n+1})u_n^0+A_3(u^0_n-u^0_{n+1})).
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
Дифференцируя равенство (2.14) сначала по $u_{n+1}^0$, а затем по $u_{n}^0$, получим дифференциальные уравнения
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \mu'(u_{n+1}^0)=-A_0'(u^0_n-u^0_{n+1})+c(A_0'(u^0_n-u^0_{n+1})u_n^0+A_3'(u^0_n-u^0_{n+1})), \\ 0=-A_0''(u^0_n-u^0_{n+1})+cA_0''(u^0_n-u^0_{n+1})u_n^0+c(A_0'(u^0_n-u^0_{n+1})+A_3''(u^0_n-u^0_{n+1})). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2.15}
$$
Отсюда следует, что должны выполняться равенства
$$
\begin{equation*}
A_0''(u^0_n-u^0_{n+1})=0,\qquad c(A_0'(u^0_n-u^0_{n+1})+A_3''(u^0_n-u^0_{n+1}))=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Решая первое из уравнений, находим где $c_0$ и $c_{0,0}$ – некоторые константы. Если $c\neq 0$, то из второго уравнения находим функцию $A_3$:
$$
\begin{equation*}
A_3(u^0_n-u^0_{n+1})=-\frac{c_0}{2}(u^0_n-u^0_{n+1})^2+c_{3,1}(u^0_n-u^0_{n+1})+c_{3,0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Найденные выражения для $A_0$ и $A_3$ подставим в первое из уравнений (2.15) и получим условие
$$
\begin{equation*}
\mu'(u_{n+1}^0)=-c_0+cc_0u_n^0+c(-c_0(u^0_n-u^0_{n+1})+c_{3,1}),
\end{equation*}
\notag
$$
из которого следует, что
$$
\begin{equation*}
\mu(u_{n+1}^0)=\frac{cc_0}{2}(u_{n+1}^0)^2+(cc_{3,1}-c_0)u_{n+1}^0+k,
\end{equation*}
\notag
$$
где $k$ – некоторая постоянная. Подставляя найденные функции в равенство (2.14), после несложных преобразований приходим к соотношению Отсюда в силу сделанного выше предположения о том, что $c\neq 0$, получим $c_{0,0}=0$ и $c_{3,0}=0$. Следовательно, искомые функции имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, A_0(u^0_n-u^0_{n+1})&=c_0(u^0_n-u^0_{n+1}), \\ A_3(u^0_n-u^0_{n+1})&=-\frac{c_0}{2}(u^0_n-u^0_{n+1})^2+c_{3,1}(u^0_n-u^0_{n+1}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Остается исследовать случай $c=0$. В этом случае равенство (2.14) принимает вид Исследуем это уравнение, следуя схеме, использованной выше, и найдем $A_0(u^0_n-u^0_{n+1})=c_0(u^0_n-u^0_{n+1})$, при этом никаких условий на функцию $A_3(u^0_n-u^0_{n+1})$ не получается. Окончательно имеем Теорема доказана.2.3. Уточнение функций $A_1$, $A_2$ и $A_5$Налагая на цепочку (1.1), (2.1) вырожденные условия обрыва $u^{-1}_n=0$ и $u^{2}_n=0$, получаем систему двух уравнений
$$
\begin{equation}
\begin{cases} u^0_{n+1,x}=u^0_{n,x}+A_2u^1_nu^0_n+A_4u^1_n+A_5u^0_n+A_7,\\ u^1_{n+1,x}=u^1_{n,x}+\bar{A}_1u^1_nu^{0}_{n+1}+\bar{A}_5u^1_n+\bar{A}_6u^{0}_{n+1}+\bar{A}_7, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
где $A_i=A_i(u^0_n-u^0_{n+1})$, $\bar{A}_i=A_i(u^1_n-u^1_{n+1})$. При таких условиях обрыва характеристические операторы $X_0$, $X_1$ и $Y$ имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, X_0&=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}\frac{\partial}{\partial u^0_k}, \qquad X_1=\sum^{+\infty}_{k=-\infty}\frac{\partial}{\partial u^1_k},\\ Y&=f\frac{\partial}{\partial u^0_1}+g\frac{\partial}{\partial u^1_1}+(f+f_1)\frac{\partial}{\partial u^0_2}+(g+g_1)\frac{\partial}{\partial u^1_2}-{}\\ &\quad-f_{-1}\frac{\partial}{\partial u^0_{-1}}+g_{-1}\frac{\partial}{\partial u^1_{-1}}-(f_{-1}+f_{-2})\frac{\partial}{\partial u^0_{-2}}-(g_{-1}+g_{-2})\frac{\partial}{\partial u^1_{-2}}+\cdots, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} f=A_2u^1_nu^0_n+A_4u^1_n+A_5u^0_n+A_7,&\qquad g=\bar{A}_1u^1_nu^{0}_{n+1}+\bar{A}_5u^1_n+\bar{A}_6u^{0}_{n+1}+\bar{A}_7,\\ f_i=D_n^if,&\qquad g_i=D_n^ig. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Ниже нам понадобятся операторы
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Y_0&=[X_0,Y]=(A_2u^1_n+A_5)\frac{\partial}{\partial u^0_1}+(\bar{A}_1u^1_n+\bar{A}_6)\frac{\partial}{\partial u^1_1}+\cdots,\\ Y_{0,1}&=[X_1,Y_0]=A_2u^1_n\frac{\partial}{\partial u^0_1}+\bar{A}_1\frac{\partial}{\partial u^1_1}+\cdots. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пользуясь этими операторами, построим последовательность операторов, лежащих в характеристической алгебре системы (2.16):
$$
\begin{equation}
T=Y_0,\quad T_0=Y_{0,1}, \quad T_1=[T,T_0], \quad T_2=[T,T_1], \quad \ldots\,.
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
На элементы этой последовательности автоморфизм характеристической алгебры действует следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_nX_0D^{-1}_n&=X_0, \qquad D_nX_1D^{-1}_n=X_1, \qquad D_nYD^{-1}_n=Y-fX_0-gX_1,\\ D_nTD^{-1}_n&=T-(A_2u^1_n+A_5)X_0-(\bar{A}_1u^1_n+\bar{A}_6)X_1,\\ D_nT_0D^{-1}_n&=T_0-A_2X_0-\bar{A}_1X_1,\\ D_nT_1D^{-1}_n&=T_1-\bar{A}_1T_0+b_{1,1}X_0+b_{2,1}X_1,\\ D_nT_2D^{-1}_n&=T_2-\bar{A}_1T_1+T(\bar{A}_1)T_0-b_{2,1}T_0-(A_2u^1_n+A_5)[X_0,T_1]-{}\\ &\quad-(\bar{A}_1u^1_n+\bar{A}_6)[X_1,T_1]+b_{1,2}X_0+b_{2,2}X_1, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
b_{1,1}=-T(A_2)+T_0(A_2u^1_n+A_5)-\bar{A}_1A_2, \qquad b_{2,1}=-T(\bar{A}_1)+T_0(\bar{A}_1u^1_n+\bar{A}_6)-(\bar{A}_1)^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Можно показать, что операторы последовательности коммутируют с $X_0$, т. е. $[X_0,T_k]=0$ при $k\geqslant1$. А коммутирование $T_k$ с $X_1$ приводит к операторам, вообще говоря, не выражающимся через элементы последовательности (2.17). Поэтому, для того чтобы получить замкнутую относительно действия автоморфизма последовательность, необходимо дополнить (2.17) операторами, пронумерованными мультииндексами. По аналогии с предыдущим разделом определим мультииндекс $\alpha=(k,0,i_1,i_2,\ldots,i_{r-1},i_r)$ по правилу
$$
\begin{equation}
T_\alpha= \begin{cases} [X_1,T_{k,0,i_1,i_2,\ldots,i_{r-1}}], &\text{если}\quad i_r=0,\\ [T,T_{k,0,i_1,i_2,\ldots,i_{r-1}}], &\text{если}\quad i_r=1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Опишем действие автоморфизма на операторы $T_\alpha$:
$$
\begin{equation*}
D_nT_\alpha D^{-1}_n=T_\alpha+\sum_{m(\beta)\leqslant m(\alpha)-1}\eta(\alpha,\beta)T_{\beta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $m(\beta)$ определена в (2.11). Для элементов последовательности (2.17) действие автоморфизма определяется равенством
$$
\begin{equation*}
D_nT_kD^{-1}_n=T_k-\bar{A}_1T_{k-1}-(\bar{A}_1u^1_n+\bar{A}_6)\sum_{m(\beta)=k-1}T_{\beta}+\sum_{m(\beta)\leqslant k-2}\eta(k,\beta)T_{\beta}.
\end{equation*}
\notag
$$
Теорема 2. Если характеристическая алгебра системы (2.16) имеет конечную размерность, то где $c_1$, $c_2$, $c_5$, $c_7$ – некоторые постоянные. Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 1, поэтому мы дадим его схематично. При доказательстве того, что $A_1(\tau)=c_1\tau$, мы используем расширенную последовательность, полученную объединением последовательностей (2.17) и (2.18). Для доказательства равенства $A_2(\tau)=c_2\tau$ мы строим аналогичные последовательности, беря в качестве $T$ и $T_0$ операторы $Y_1=[X_1,Y]$ и $Y_{0,1}=[X_0,Y_1]$. Для уточнения вида функции $A_5$ воспользуемся редукцией цепочки (1.1), (2.1): полученной наложением вырожденных граничных условий $u^{-1}_n=0$ и $u^{1}_n=0$. Класс уравнений вида $u_{n+1,x}=u_{n,x}+f(u_n,u_{n+1})$, являющихся интегрируемыми по Дарбу, описан в работах [29], [30]. Из результатов этих работ вытекает, что уравнение (2.19) должно иметь вид
$$
\begin{equation*}
u_{n+1,x}=u_{n,x}+\frac{c_5}{2}(u^2_n-u^2_{n+1})+c_7(u_n-u_{n+1}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $c_5$, $c_7$ – постоянные параметры. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
A_5=c_5(u_n-u_{n+1}),\qquad A_7=-\frac{c_5}{2}(u_n-u_{n+1})^2+c_7(u_n-u_{n+1}).
\end{equation*}
\notag
$$
2.4. Замена переменных в характеристических векторных поляхДля упрощения структуры характеристических операторов перейдем от стандартного набора динамических переменных $\{ u^j_k\}$ к новым переменным $\{ \tau ^j_k, \bar u^j_0\}$, полагая $\tau ^j_k=u^j_k-u^j_{k+1}$, $\bar u^j_0= u^j_0$. Тогда операторы дифференцирования преобразуются по правилу
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial u^j_0}=\frac{\partial}{\partial \bar u^j_0}+\frac{\partial}{\partial \tau^j_0}-\frac{\partial}{\partial \tau^j_{-1}},
\end{equation*}
\notag
$$
а также при $k\neq 0$
$$
\begin{equation*}
\frac{\partial}{\partial u^j_k}=\frac{\partial}{\partial \tau^j_k}-\frac{\partial}{\partial \tau^j_{k-1}}.
\end{equation*}
\notag
$$
В результате характеристические операторы принимают более простой компактный вид:
$$
\begin{equation*}
Y=\sum_{j=-N_2}^{N_1}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}f^j_{n}\frac{\partial}{\partial \tau^j_{n}}, \qquad X_j=\frac{\partial}{\partial u^j_{0}}, \quad j=-N_2,-N_2+1,\ldots,N_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь и всюду ниже мы опускаем черту над $u^j_0$. Положим $Y_j:=[X_j,Y]$ и сосредоточимся на подалгебре $L'_x$ характеристической алгебры, порожденной операторами $\{ Y_j\}^{N_1}_{j=-N_2}$. Оператор $Y_j$ имеет следующий явный вид:
$$
\begin{equation}
Y_j=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}X_j(f^{j-1}_{k})\frac{\partial}{\partial \tau^{j-1}_{k}}+ X_j(f^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial \tau^{j}_{k}}+ X_j(f^{j+1}_{k})\frac{\partial}{\partial \tau^{j+1}_{k}}.
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Предполагается, что в представлении (2.20) функции $f^j_k=f(u^{j+1}_{k},u^{j}_k,u^j_{k+1 },u^{j-1}_{k+1})$ переписаны в новых переменных с учетом равенств
$$
\begin{equation*}
u^j_k=\begin{cases} u^j_0-\sum_{m=0}^{k-1}\tau^{j}_{m}& \text{для} \quad k>0,\\ u^j_0+\sum_{m=-1}^{k}\tau^{j}_{m}& \text{для} \quad k<0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Формулу (2.20) приведем к следующему виду, собрав коэффициенты при независимых переменных $u^{j-1}_0$, $u^j_0$, $u^{j+1}_0$ и т. д.:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Y&=u^{j-2}_0u^{j-1}_0S_0^{j-1}+u^{j-1}_0u^{j+1}_0S_0^{j+1}+u^{j+1}_0u^{j+2}_0S_0^{j+1}+{} \\ &\quad+u^{j-2}_0S_0^{j-1}+u^{j+2}_0S_1^{j+1}+u^{j-1}_0S_2^{j}+u^{j+1}_0S_2^{j+1}+S_3^j, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $S^j_m$ – преобразованные операторы, имеющие громоздкие выражения. После некоторого упрощения, связанного с заменой $\tau^j_k=e^{w^j_k}$, они приводятся к виду
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S^j_0&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_0 \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\qquad S^j_1=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_0 \tilde \rho^j_k\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+\tilde A_3(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}, \\ S^j_2&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_2\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}} +c_1\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+ c_0\tilde \rho^{j-2}_{k+1}\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+ c_0 \tilde \rho^{j+1}_k\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}, \\ S_3^j&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_5 \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}} +c_2 \tilde \rho^{j-1}_k\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+ \tilde A_4(w^{j-1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}} + c_0 \tilde \rho^{j-1}_k \tilde \rho^{j-2}_{k+1}\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+{}\\ &\quad+\tilde A_3(w^{j-1}_{k})\tilde \rho^{j-2}_{k+1}\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+ c_0 \tilde \rho^{j+1}_k \tilde \rho^{j-1}_{k+1}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}} + c_1 \tilde \rho^{j-1}_{k+1}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+ c_2 \tilde \rho^{j+1}_k \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+{}\\ &\quad+\tilde A_6(w^{j+1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}+c_0 \tilde \rho^{j+1}_k \tilde \rho^{j+2}_k \frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}+{}\\ &\quad+c_1\tilde \rho^{j+1}_k \frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}+ \tilde A_3(w^{j+1}_{k})\tilde \rho^{j+2}_k \frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
где $\tilde A_s(w^j_k)=A_s(e^{w^j_k})e^{-w^j_k}$ для $s=3,4,6$, функция $\tilde \rho^{j}_i$ имеет представление
$$
\begin{equation}
\tilde \rho^{j}_i= \begin{cases} -e^{w^j_0}-e^{w^j_1}-e^{w^j_2}-\cdots-e^{w^j_{i-1}}, & i\geqslant1,\\ 0, & i=0, \\ e^{w^j_{-1}}+e^{w^j_{-2}}+e^{w^j_{-3}}+\cdots+e^{w^j_{i}}, & i\leqslant -1. \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
Здесь $-N_2+1\leqslant j \leqslant N_1-1$. Воспользовавшись условием конечномерности построенной выше подалгебры $L'_x$ характеристической алгебры, можно доказать следующее утверждение, уточняющее вид искомой функции $f$. Доказательство. Предположим противное, т. е. пусть $c_0\neq 0$. Рассмотрим операторы
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W_0&=[S_0^{j+2},S_2^{j+1}]=c_0^2\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\tilde \rho^{j+2}_k\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}},\\ W_1&=[S_0^{j+1},S_2^{j}]=c_0^2\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\tilde \rho^{j+1}_k\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Построим последовательность кратных коммутаторов этих операторов:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W_2&=[W_0,W_1]=c_0^4\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\tilde\rho^{j+2}_k \tilde\rho^{j+1}_k\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\\ W_3&=[W_0,W_2]=c_0^6\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(\tilde\rho^{j+2}_k)^2 \tilde\rho^{j+1}_k\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\\ &\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots,\\ W_N&=[W_0,W_{N-1}]=c_0^{2N}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(\tilde\rho^{j+2}_k)^{N-1} \tilde\rho^{j+1}_k\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Легко проверить, что линейная оболочка, натянутая на элементы этой последовательности, имеет бесконечную размерность. Действительно, для набора операторов $W_1$, $W_2$, …, $W_N$ определитель части матрицы коэффициентов
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} c_0^2\tilde\rho^{j+1}_0 & c_0^2\tilde\rho^{j+1}_1 & \ldots & c_0^2\tilde\rho^{j+1}_{N-1}\\ c_0^4\tilde\rho^{j+1}_0\tilde\rho^{j+2}_0 & c_0^4\tilde\rho^{j+1}_1\tilde\rho^{j+2}_1 & \ldots & c_0^4\tilde\rho^{j+1}_{N-1}\tilde\rho^{j+2}_{N-1}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ c_0^{2N}\tilde\rho^{j+1}_0(\tilde\rho^{j+2}_0)^{N-1} & c_0^{2N}\tilde\rho^{j+1}_1(\tilde\rho^{j+2}_1)^{N-1} & \ldots & c_0^{2N}\tilde\rho^{j+1}_{N-1}(\tilde\rho^{j+2}_{N-1})^{N-1} \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
отличен от нуля при $c_0\neq 0$, поскольку он сводится к определителю Вандермонда. Поэтому наше предположение, что $c_0\neq 0$, неверно. Теорема доказана. Условие $c_0=0$ заметно упрощает набор операторов (2.21):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S^j_1&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \tilde A_3(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\qquad S^j_2=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_2\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}} +c_1\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\\ S_3^j&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_5 \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}} +c_2 \tilde \rho^{j-1}_k\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+ \tilde A_4(w^{j-1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+\tilde A_3(w^{j-1}_{k})\tilde \rho^{j-2}_{k+1}\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+{}\\ &\quad+ c_1 \tilde \rho^{j-1}_{k+1}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+c_2 \tilde \rho^{j+1}_k \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+\tilde A_6(w^{j+1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}+{}\\ &\quad+c_1\tilde \rho^{j+1}_k \frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}+ \tilde A_3(w^{j+1}_{k})\tilde \rho^{j+2}_k \frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Основная цель наших построений ниже состоит в отыскании наиболее простых операторов в $L_x$ с тем, чтобы вывести эффективные условия на искомую функцию $f$ из конечномерности алгебры. Оператор $R^j_0=c_2S^j_2-c_1S^{j+1}_2\in L_x$, очевидно, имеет следующий простой вид:
$$
\begin{equation}
R^j_0=c_2^2\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}-c_1^2\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}.
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
Ниже нам понадобятся операторы $R^j_1:=[R^j_0,S^{j-1}_3]$ и $R^j_2:=[R^j_0,S^{j+1}_3]$, которые также имеют простые явные выражения
$$
\begin{equation*}
R^j_1=c_1^2\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\tilde A_3(w^{j}_{k})\tilde \rho^{j+1}_k \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\qquad R^j_2=c_2^2\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\tilde A_3(w^{j}_{k})\tilde \rho^{j-1}_{k+1} \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что выполняются неравенства $c_1\neq0$, $c_2\neq0$, и построим новый оператор $\bar{S}^j_3=S^j_3-R^{j+1}_1/c_1^2-R^{j-1}_2/c_2^2$. Дадим его явный вид:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bar{S}_3^j&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_5 \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}} +c_2 \tilde \rho^{j-1}_k\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+ \tilde A_4(w^{j-1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+ c_1 \tilde \rho^{j-1}_{k+1}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+{}\\ &\quad+c_2 \tilde \rho^{j+1}_k \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+\tilde A_6(w^{j+1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}+c_1\tilde \rho^{j+1}_k \frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оператор $\bar{S}_3^j$ нуждается в дальнейшем упрощении. Рассмотрим коммутаторы $\bar{W}^j=[S^j_2,\bar{S}^{j+1}_3]$, $\bar{H}^j=[S^j_2,\bar{S}^{j-1}_3]$, которые представимы в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \bar{W}^j&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_2 \tilde \rho^{j}_k\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+\tilde A_4'(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+ c_1 \tilde \rho^{j}_{k+1}\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}},\\ \bar{H}^j&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_2 \tilde \rho^{j}_k \frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+\tilde A_6'(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+c_1\tilde \rho^{j}_k \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.24}
$$
Итогом наших построений являются следующие два оператора из $L_x$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \bar{Q}^j&=\frac{1}{c_1}[S^j_2,\bar{W}^j]-\bar{W}^j=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(\tilde A_4''(w^{j}_{k})-\tilde A_4'(w^{j}_{k}))\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\\ \tilde{Q}^j&=\frac{1}{c_1}[S^j_2,\bar{H}^j]-\bar{H}^j=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(\tilde A_6''(w^{j}_{k})-\tilde A_6'(w^{j}_{k}))\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Оба эти оператора имеют вид $Q^j=\sum_k q(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}$. Сначала мы найдем возможные варианты функции $q(w)$ при условии конечномерности алгебры $L_x$, затем по найденным $q(w)$ определим возможные значения искомых функций $\tilde A_4(w)$ и $\tilde A_6(w)$, воспользовавшись равенствами $q(w)=\tilde A_4''(w)-\tilde A_4'(w)$ и $q(w)=\tilde A_6''(w)-\tilde A_6'(w)$. Теорема 4. Если алгебра Ли–Райнхарта, порожденная операторами имеет конечную размерность, то функция $q(w)$ представима в одной из следующих форм: где $k_{i,j}$ – некоторые постоянные. Доказательство теоремы можно найти в работе [29]. Теорема 5. Пусть $q(w)=k_{0,1}+k_{1,1}w+k_{2,1}w^2$ и алгебра Ли–Райнхарта, порожденная операторами Доказательство. Оператор $Q^j$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
Q^j=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} (k_{0,1}+k_{1,1}w^{j}_{k}+k_{2,1}(w^{j}_{k})^2)\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим операторы следующего вида:
$$
\begin{equation*}
[S^j_2,Q^j]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} (k_{1,1}+2k_{2,1}w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}, \qquad [S^j_2,[S^j_2,Q^j]]=2k_{2,1}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку эти операторы принадлежат алгебре $L_x$, то при выполнении условия $k_{2,1}\neq 0$ операторы
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}, \qquad \sum_{k=-\infty}^{+\infty} w^{j}_{k}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}, \qquad \sum_{k=-\infty}^{+\infty} (w^{j}_{k})^2\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}
\end{equation*}
\notag
$$
также лежат в $L_x$. Рассмотрим последовательность операторов
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P^j_0&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} w^{j}_{k}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\\ P^j_1&=[P^j_0,\bar{H}^j]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_2w^{j}_{k}\tilde{\rho}^{j}_{k}\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+\sum_{k=-\infty}^{+\infty} F_1(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\\ P^j_2&=[P^j_0,P^j_1]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_2(w^{j}_{k})^2\tilde{\rho}^{j}_{k}\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+\sum_{k=-\infty}^{+\infty} F_2(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $F_1(w^{j}_{k})$ и $F_2(w^{j}_{k})$ – некоторые функции, явный вид которых мы не уточняем. Нетрудно проверить, что в общем случае оператор $P^j_m=[P^j_0,P^j_{m-1}]$ имеет вид Ясно, что линейная оболочка векторных полей $\sum_{k=-\infty}^{+\infty} (w^{j}_{k})^m\tilde{\rho}^{j}_{k}\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}$, являющихся проекциями операторов $P^j_m$, образует при $1\leqslant m <\infty$ бесконечномерное пространство. Следовательно, предположение о том, что $k_{2,1}\neq 0$, неверно. Поэтому $k_{2,1}=0$. Аналогично можно доказать, что $k_{1,1}=0$. В итоге получаем $q(w)=k_{0,1}$. Теорема доказана. Полагая $q(w)=\tilde A_4''(w)-\tilde A_4'(w)$ и воспользовавшись теоремами 4 и 5, приходим к дифференциальному уравнению на искомую функцию $\tilde A_4(w)$: $\tilde A_4''(w)-\tilde A_4'(w)=k_4$, решение которого имеет вид Аналогично можно показать, что Исследуем случай 2 из теоремы 4. Теорема 6. Предположим, что алгебра Ли–Райнхарта, порожденная операторами Доказательство. Из очевидных равенств
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &[S^j_2,Q^j]=\lambda k_{1,2}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{\lambda w^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}-\lambda k_{2,2}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{-\lambda w^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\\ &[S^j_2,[S^j_2,Q^j]]=\lambda^2 k_{1,2}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{\lambda w^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+\lambda^2 k_{2,2}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{-\lambda w^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
следует, что операторы
$$
\begin{equation*}
Q_\lambda = k_{1,2}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{\lambda w^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}, \qquad Q_{-\lambda} = k_{2,2}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{-\lambda w^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}
\end{equation*}
\notag
$$
лежат в $L_x$. Рассмотрим последовательность операторов
$$
\begin{equation*}
Q_\lambda, \quad Q_1=[Q_\lambda,\bar{H}^j], \quad Q_2=[Q_\lambda,Q_1], \quad Q_3=[Q_\lambda,Q_2], \quad \ldots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Для этих операторов легко найти явное представление:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_1&=k_{1,2}c_2\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{\lambda w^{j}_{k}}\tilde{\rho}^j_k\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+\sum_{k=-\infty}^{+\infty} F_1(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\\ Q_2&=k^2_{1,2}c_2(\lambda+1)\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{2\lambda w^{j}_{k}}\tilde{\rho}^j_k\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+\sum_{k=-\infty}^{+\infty} F_2(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\\ &\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots,\\ Q_m&=k^m_{1,2}c_2(\lambda+1)(2\lambda+1)\ldots((m-1)\lambda+1)\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{m\lambda w^{j}_{k}}\tilde{\rho}^j_k\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+{} \\ &\quad+\sum_{k=-\infty}^{+\infty} F_m(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для того чтобы последовательность $Q_\lambda$, $Q_1$, $Q_2$, $\ldots$ имела конечную размерность, необходимо, чтобы для некоторого целого $m_1>0$ выполнялось равенство $m_1\lambda+1=0$ или $k_{1,2}=0$. Заменяя $\lambda \mapsto -\lambda$, из этих же соображений находим, что для некоторого $m_2>0$ должно выполняться $m_2\lambda-1=0$ или $k_{2,2}=0$. В итоге получаем, что функция $q(w)$ может иметь одно из следующих представлений: где $m_1$, $m_2$ – целые положительные числа. Фактически должно выполняться одно из двух условий: где $k_{0,2}$ и $k_3$ – некоторые постоянные, а $m$ – целое положительное число. Теорема доказана. Воспользуемся теоремой 6 для уточнения функций $\tilde A_4(w)$ и $\tilde A_6(w)$. В силу сказанного выше имеем уравнения
$$
\begin{equation*}
\tilde A_4''(w)-\tilde A_4'(w)=k_{0,2}+k_3e^{-w/m}, \qquad \tilde A_6''(w)-\tilde A_6'(w)=\bar{k}_{0,2}+\bar{k}_3e^{-w/\bar{m}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Их решения имеют вид
$$
\begin{equation}
\tilde A_4(w) =r_0+r_1e^w-k_{0,2}w+\frac{m^2}{m+1}k_3e^{-w/m},
\end{equation}
\tag{2.27}
$$
$$
\begin{equation}
\tilde A_6(w) =\bar{r}_0+\bar{r}_1e^w-\bar{k}_{0,2}w+\frac{\bar{m}^2}{\bar{m}+1}\bar{k}_3e^{-w/\bar{m}}.
\end{equation}
\tag{2.28}
$$
В дальнейшем мы будем пользоваться представлениями (2.27) и (2.28) для функций $\tilde A_4(w)$ и $\tilde A_6(w)$, поскольку ранее найденные представления (2.25) и (2.26) являются частными случаями (2.27) и (2.28). Доказательство. Воспользуемся ранее введенным оператором $\bar W^j$, переписав его с учетом конкретного представления (2.27) искомой функции $\tilde A_4(w)$:
$$
\begin{equation*}
\bar W^j=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \biggl(c_2 \tilde \rho^{j}_k+ r_1e^{w^{j}_{k}}- k_{0,2}-\frac{m}{m+1} k_3e^{-w^{j}_{k}/m} \biggr) \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}} +c_1 \tilde \rho^{j}_{k+1} \frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Вычислим коммутатор операторов $S^j_2\in L_x$ и $\bar Q^j\in L_x$, имея в виду уточненное представление оператора $\bar Q^j=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} (k_{0,2}+ k_3e^{-w^{j}_{k}/m}) \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}$ Но тогда очевидно, что оператор $\sum_{k=-\infty}^{+\infty} k_{0,2} \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}$, а также оператор тоже лежат в $L_x$.
Рассмотрим теперь последовательность операторов в $L_x$, заданную в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, W^j,\,\,\, W^{j-1}, \,\,\, W^j_1=[W^{j-1},W^j], \,\,\, W^j_2=[W^{j-1},W^j_1], \,\,\, W^j_3=[W^{j-1},W^j_2], \,\, \dots\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.30}
$$
Выясним, как действует автоморфизм (2.4) на элементы последовательности. Для этого нам понадобятся следующие простые соотношения:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, D_nW^jD^{-1}_n=W^j+e^{w^{j}_{0}}S_2^{j+1}, \qquad [S_2^j, W^j]=c_1W^j,\\ [S_2^j, W^{j-1}]=c_2W^{j-1}, \qquad [S_2^j, W^j_m]=(mc_2+c_1)W^j_m \quad \text{при}\quad m\geqslant1, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
при помощи которых можно показать, что имеют место равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_nW^j_1D^{-1}_n&=W^j_1+c_1e^{w^{j-1}_{0}}W^{j},\\ D_nW^j_2D^{-1}_n&=W^j_2+(2c_1+c_2)e^{w^{j-1}_{0}}W^{j}_1+c_1(r_1+c_1+c_2)e^{w^{j-1}_{0}}W^{j},\\ D_nW^j_3D^{-1}_n&=W^j_3+3(c_1+c_2)e^{w^{j-1}_{0}}W^{j}_2+(c_2(2c_1+c_2)+ (3c_1+c_2)(r_1+c_1+c_2))\times{}\\ &\quad\times e^{2w^{j-1}_{0}}W^{j}_1+c_1(c_1+c_2+r_1)(c_1+2r_1+c_2)e^{3w^{j-1}_{0}}W^{j}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В общем случае имеем
$$
\begin{equation*}
D_nW^j_mD^{-1}_n=W^j_m+\biggl(mc_1+\frac{m(m-1)}{2}c_2\biggr)e^{w^{j-1}_{0}}W^{j}_{m-1}+\cdots, \quad m\geqslant 2,
\end{equation*}
\notag
$$
где многоточием обозначена линейная комбинация младших членов последовательности.
Поскольку $L_x$ имеет конечную размерность, существует такое целое число $M\geqslant 1$, что имеет место представление Применим автоморфизм (2.4) к обеим частям последнего равенства и упростим результат с помощью приведенных выше формул. В итоге придем к соотношению
$$
\begin{equation*}
\lambda W^j_M+\biggl((M+1)c_1+\frac{M(M+1)}{2}c_2\biggr)e^{w^{j-1}_{0}}W^j_M=D_n(\lambda)W^j_M+\cdots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Сравнивая коэффициенты при операторе $W^j_M$, получим уравнение на $\lambda$
$$
\begin{equation*}
D_n(\lambda)-\lambda=\biggl((M+1)c_1+\frac{M(M+1)}{2}c_2\biggr)e^{w^{j-1}_{0}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Функция $\lambda$ может зависеть только от конечного числа динамических переменных, поэтому полученное равенство может выполняться лишь в том случае, когда правая часть уравнения равна нулю. Отсюда следует условие на параметры при $M\geqslant 1$
Случай $M=0$, т. е. когда выполняется равенство
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, W^j_{1}=\lambda W^j+\nu S_2^{j+1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.33}
$$
следует рассмотреть отдельно. Под действием автоморфизма равенство (2.33) преобразуется к виду
$$
\begin{equation*}
\lambda W^j+\nu S^{j+1}_2+c_1e^{w^{j-1}_{0}}W^j=D_n(\lambda)(W^j+e^{w^{j}_{0}}S^{j+1}_2)+D_n(\nu) S^{j+1}_2.
\end{equation*}
\notag
$$
Сравнивая коэффициенты при независимых операторах $W^j$ и $S^{j+1}_2$, получаем уравнения
$$
\begin{equation*}
D_n(\lambda)-\lambda=c_1e^{w^{j-1}_{0}}, \qquad D_n(\nu)-\nu=-D_n(\lambda)e^{w^{j}_{0}},
\end{equation*}
\notag
$$
из которых следует, что
$$
\begin{equation}
c_1=0, \qquad \lambda=0, \qquad \nu=\mathrm{const}.
\end{equation}
\tag{2.34}
$$
Схему рассуждений, предложенную выше, можно применить еще раз, заменив оператор $W^j$ оператором
$$
\begin{equation}
H^j=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_2 \tilde \rho^{j+1}_k \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}} +(\bar{r}_1e^{w^{j+1}_{k}} + c_1 \tilde \rho^{j+1}_k) \frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}},
\end{equation}
\tag{2.35}
$$
который также лежит в $L_x$, в чем нетрудно убедиться, используя те же соображения, что и в случае $W^j$, заменив $\bar W^j$ на $\bar H^j$ (см. формулу (2.34)). В этом случае вместо (2.30) мы воспользуемся последовательностью следующего вида:
$$
\begin{equation}
H^{j+1},\quad H^{j}, \quad H^j_1=[H^{j+1},H^j], \quad H^j_2=[H^{j+1},H^j_1], \quad H^j_3=[H^{j+1},H^j_2], \quad \dots\,.
\end{equation}
\tag{2.36}
$$
Опуская подробное изложение всей конструкции, мы приведем только выводы. Если последовательность обрывается на первом шаге, получаем $c_2=0$; если последовательность обрывается на шаге с номером $N\geqslant2$, приходим к равенству Комбинируя эти условия с полученными ранее (см. (2.32), (2.34)), сделаем вывод, что должна реализоваться одна из следующих возможностей:
Предположим, что имеет место случай 2. Поскольку $N=1$, имеем представление из которого, подействовав автоморфизмом (2.4), можно получить соотношение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \lambda H^j_1&+\mu H^j+\eta S_2^{j+1}+c_2(\bar{r}_1-c_2)e^{2w^{j+2}_0}H^j+c_2(\bar{r}_1-c_2)e^{2w^{j+2}_0+w^{j+1}_0}S_2^{j+1}={}\\ &=D_n(\lambda)(H_1^j+c_2e^{w^{j+2}_0}H^j+c_2e^{w^{j+2}_0+w^{j+1}_0}S_2^{j+1})+{}\\ &\quad+D_n(\mu)(H^j+e^{w^{j+1}_0}S_2^{j+1})+D_n(\eta)S_2^{j+1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сравним коэффициенты при независимых операторах и получим следующие уравнения:
$$
\begin{equation*}
H^j_2=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_2^2\tilde \rho^{j+2}_k\tilde \rho^{j+1}_k(e^{w^{j+2}_k}-\tilde \rho^{j+2}_k) \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\qquad S_2^{j+1}=c_2\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+c_1\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}},
\end{equation*}
\notag
$$
поэтому случай “б” не реализуется, если хотя бы одно из чисел $c_1$ и $c_2$ отлично от нуля.
Аналогично проверяется, что случай 4 также не реализуется. Остается проверить случай 3: $N=2$, $M=2$, $c_1=-c_2$. Поскольку имеет место равенство
$$
\begin{equation*}
D_nW^j_3D^{-1}_n=W^j_3-c_2(c_2+2r_1)e^{2w^{j-1}_{0}}W^{j}_1-2c_2r_1^2e^{3w^{j-1}_{0}}W^{j},
\end{equation*}
\notag
$$
случаю 3 соответствует разложение
$$
\begin{equation*}
W^j_3=\lambda W^j_2+\mu W^{j}_1+\eta W^{j}+\theta S_2^{j+1},
\end{equation*}
\notag
$$
из которого в силу (2.4) получаем соотношение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_n(&\lambda)(W_2^j-c_2e^{w_0^{j-1}}W^{j}_1-c_2r_1e^{2w^{j-1}_{0}}W^{j})+D_n(\mu)(W^{j}_1-c_2e^{w^{j-1}_{0}}W^{j})+{}\\ &+D_n(\eta)(W^j+e^{w^j_0}S_2^{j+1})+D_n(\theta) S_2^{j+1}=\lambda W^j_2+\mu W^{j}_1+\eta W^{j}+\theta S_2^{j+1}-{}\\ &-c_2(c_2+2r_1)e^{2w^{j-1}_{0}}W^{j}_1-2c_2r_1^2e^{3w^{j-1}_{0}}W^{j}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сравнивая коэффициенты при независимых операторах, получим уравнения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &D_n(\lambda)-\lambda=0,\\ &D_n(\mu)-\mu=D_n(\lambda)c_2e^{w_0^{j-1}}-c_2(c_2+2r_1)e^{2w^{j-1}_{0}},\\ &D_n(\eta)-\eta=D_n(\lambda)c_2r_1e^{2w^{j-1}_{0}}+D_n(\mu)c_2e^{w^{j-1}_{0}}-2c_2r_1^2e^{3w^{j-1}_{0}},\\ &D_n(\theta)-\theta=-D_n(\eta)e^{w^j_0}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Из этих уравнений находим соответственно Отсюда видно, что случай 3 реализуется только в том случае, когда $c_2=0$. Но тогда и $c_1=0$. Теорема доказана. 2.5. Уточнение функций $A_3$, $A_4$ и $A_6$Выше было показано, что часть функций в (2.1) равна нулю, в результате чего функция $f$ принимает вид
$$
\begin{equation}
f(u^1_n, u^0_n, u^{0}_{n+1}, u^{-1}_{n+1})=A_3(\tau)u^1_nu^{-1}_{n+1}+A_4(\tau)u^1_n+ A_5(\tau)u^0_n+A_6(\tau)u^{-1}_{n+1}+A_7(\tau),
\end{equation}
\tag{2.38}
$$
где $\tau=u^0_n-u^{0}_{n+1}$, причем $A_3(\tau)$, $A_4(\tau)$, $A_6(\tau)$ остаются неизвестными функциями, в то время как функции $A_5(\tau)=c_5\tau$ и $A_7(\tau)=-c_5\tau^2/2+c_7\tau$ уже определены с точностью до констант. При этом подалгебра $L'_x$ характеристической алгебры $L_x$, введенная в п. 2.4, порождается операторами
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S^j_1&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \tilde A_3(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}, \qquad -N_2\leqslant j\leqslant N_1,\\ S_3^j&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_5 \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+\tilde A_4(w^{j-1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+\tilde A_3(w^{j-1}_{k})\tilde \rho^{j-2}_{k+1}\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+{}\\ &\quad+\tilde A_6(w^{j+1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}+ \tilde A_3(w^{j+1}_{k})\tilde \rho^{j+2}_k \frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.39}
$$
Рассмотрим последовательность, порожденную кратными коммутаторами операторов $S^j_3$ и $S^{j+1}_1$:
$$
\begin{equation}
R_1=[S^j_3,S^{j+1}_1], \quad R_2=[S^j_3,R_1], \quad R_3=[S^j_3,R_2], \quad \ldots\,.
\end{equation}
\tag{2.40}
$$
Легко проверить, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_1&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_5\tilde A'_3(w^{j+1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}, \\ R_2&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_5\tilde A''_3(w^{j+1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}, \\ &\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots,\\ R_m&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_5\tilde A^{(m)}_3(w^{j+1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В силу конечномерности характеристической алгебры $L_x$ для некоторого $M$ оператор $R_{M+1}$ должен линейно выражаться через операторы $S_1^{j+1}$, $R_1$, $R_2$, …, $R_M$, которые являются линейно независимыми:
$$
\begin{equation}
R_{M+1}=\lambda_MR_M+\lambda_{M-1}R_{M-1}+\cdots+\lambda_1R_1+\lambda_0S^{j+1}_1.
\end{equation}
\tag{2.41}
$$
Отметим, что автоморфизм (2.4) переводит операторы последовательности (2.40) в себя. Применим автоморфизм к (2.41) и получим
$$
\begin{equation}
R_{M+1}=D_n(\lambda_M)R_M+D_n(\lambda_{M-1})R_{M-1}+\cdots+D_n(\lambda_1)R_1+D_n(\lambda_0)S^{j+1}_1.
\end{equation}
\tag{2.42}
$$
Отсюда ясно, что коэффициенты $\lambda_j$ постоянны. Переходя к координатным представлениям операторов, легко показать, что $\tilde A_3(w)$ является квазиполиномом, который можно уточнить, пользуясь леммой 6 работы [29], и доказать, что функция $\tilde A_3(w)$ имеет одну из следующих двух форм:
$$
\begin{equation}
\tilde A_3(w) =c_{3,0}+c_{3,1}e^{\lambda w}+c_{3,2}e^{-\lambda w},
\end{equation}
\tag{2.44}
$$
где $c_{i,j}$ – некоторые постоянные. Рассмотрим сначала более подробно случай (2.43). Лемма 2. Если $\tilde A_3(w)$ имеет вид (2.43), то справедливо равенство $\tilde A_3(w)\equiv0$. Доказательство. С учетом формулы (2.43) оператор $S^j_1$ представляется в виде Легко показать, взяв кратные коммутаторы операторов $S^j_3$ и $S^j_1$, что при выполнении условия $c_{3,2}\neq 0$ операторы $\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}$, $\sum_{k=-\infty}^{+\infty} w^{j}_{k}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}$ и $\sum_{k=-\infty}^{+\infty} (w^{j}_{k})^2\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}$ лежат в $L_x$.
Рассмотрим последовательность операторов, заданных в виде
$$
\begin{equation*}
Q^{j+3}, \quad P^j, \quad P^j_1=[Q^{j+3}, P^j], \quad P^j_2=[Q^{j+3}, P^j_1], \quad \ldots\,,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &Q^{j+3}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} w^{j+3}_{k}\frac{\partial}{\partial w^{j+3}_{k}},\\ &P^j=\mathrm{ad}^2_{S^{j+1}_3}S^{j}_3-c_{3,2}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{\partial}{\partial w^{j+2}_{k}}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \tilde A''_6(w^{j+2}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j+2}_{k}}+c_{3,2}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \tilde \rho^{j+3}_k \frac{\partial}{\partial w^{j+2}_{k}}, \\ &P^j_1=c_{3,2}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} w^{j+3}_{k}\tilde \rho^{j+3}_k \frac{\partial}{\partial w^{j+2}_{k}},\\ &P^j_2=P^j_1+c_{3,2}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} (w^{j+3}_{k})^2\tilde \rho^{j+3}_k \frac{\partial}{\partial w^{j+2}_{k}},\\ &P^j_3=3P^j_2-2P^j_1+c_{3,2}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} (w^{j+3}_{k})^3\tilde \rho^{j+3}_k \frac{\partial}{\partial w^{j+2}_{k}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По индукции можно доказать, что оператор вида $c_{3,2}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(w^{j+3}_{k})^m\tilde \rho^{j+3}_k \frac{\partial}{\partial w^{j+2}_{k}}$ лежит в $L_x$. Если $c_{3,2}\neq 0$, то линейная оболочка всех таких операторов имеет бесконечную размерность, что противоречит условию конечномерности алгебры $L_x$. Следовательно, $c_{3,2}=0$. Аналогично можно проверить, что $c_{3,1}=0$.
Докажем методом от противного, что $c_{3,0}=0$. Пусть $c_{3,0}\neq 0$, тогда операторы
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, R^j&=[S^{j+1}_1,S^{j-1}_3]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_{3,0}\rho^{j+1}_k \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\\ \bar{R}^j&=[S^{j-1}_1,S^{j+1}_3]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_{3,0}\rho^{j-1}_{k+1} \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.45}
$$
принадлежат $L_x$. Рассмотрим последовательность их кратных коммутаторов:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R^j_1&=[R^{j-1},\bar{R}^j]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_{3,0}^2\rho^{j}_k\rho^{j-1}_{k+1} \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}-\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_{3,0}^2\rho^{j}_k\rho^{j-1}_{k+1} \frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}},\\ R^j_2&=[R^{j-1},R^j_1]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_{3,0}^3(\rho^{j}_k)^2\rho^{j-1}_{k+1} \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}-2\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_{3,0}^3(\rho^{j}_k)^2\rho^{j-1}_{k+1} \frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
для $m\geqslant 3$ имеем Если $c_{3,0}\neq 0$, легко показать, пользуясь формулой Вандермонда, что эта последовательность бесконечномерна, поэтому $c_{3,0}=0$. Лемма доказана. Согласно лемме 2 подалгебра $L'_x$ порождена семейством операторов
$$
\begin{equation*}
S_3^j=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\biggl( c_5 \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+\tilde A_4(w^{j-1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+\tilde A_6(w^{j+1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}\biggr), \quad -N_2\leqslant j\leqslant N_1.
\end{equation*}
\notag
$$
Возьмем операторы $S^j_3$ и $S^{j+1}_3$ и рассмотрим последовательность их кратных коммутаторов:
$$
\begin{equation*}
S_3^j, \quad S^{j+1}_3, \quad R_1=[S_3^j,S^{j+1}_3], \quad R_2=[S_3^j,R_1], \quad \ldots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Они имеют следующее явное представление:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_1&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_5 \tilde A'_4(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}-\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_5\tilde A'_6(w^{j+1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}},\\ R_2&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c^2_5 \tilde A''_4(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+\sum_{k=-\infty}^{+\infty} F_2(w^{j+1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}},\\ &\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots,\\ R_m&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c^m_5 \tilde A^{m}_4(w^{j}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+\sum_{k=-\infty}^{+\infty} F_m(w^{j+1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда можно вывести, что функция $\tilde A_4(w)$ является квазимногочленом, для определения структуры которого можно воспользоваться схемой, изложенной в работе [29] (см. лемму 6 в указанной работе), и показать, что $\tilde A_4(w)$ принадлежит одному из следующих классов:
$$
\begin{equation}
\tilde A_4(w) =c_{4,0}+c_{4,1}e^{\lambda w}+c_{4,2}e^{-\lambda w}.
\end{equation}
\tag{2.47}
$$
Аналогично, рассматривая последовательность операторов
$$
\begin{equation*}
S_3^{j+1}, \quad S^{j}_3, \quad \bar{R}_1=[S^{j+1}_3,S_3^j], \quad \bar{R}_2=[S^{j+1}_3,\bar{R}_1], \quad \ldots\, ,
\end{equation*}
\notag
$$
можно убедиться, что функция $\tilde A_6(w)$ имеет одну из следующих форм:
$$
\begin{equation}
\tilde A_6(w) =c_{6,0}+c_{6,1}e^{\lambda w}+c_{6,2}e^{-\lambda w}.
\end{equation}
\tag{2.49}
$$
Наметим схему доказательства утверждения, что функции $\tilde A_4(w)$ и $\tilde A_6(w)$ либо одновременно полиномиальны, либо экспоненциальны. Предположим, что $\tilde A_4(w)$ имеет вид (2.46), а $\tilde A_6(w)$ – вид (2.49). Воспользуемся операторами
$$
\begin{equation*}
S_3^j=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\biggl( c_5 \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+\tilde A_4(w^{j-1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+\tilde A_6(w^{j+1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
с верхними индексами $j$ и $j+2$. Легко видеть, что
$$
\begin{equation*}
Q=[S_3^{j+2},S_3^j]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \bigl(\tilde A_4(w^{j+1}_{k})\tilde A'_6(w^{j+1}_{k})-\tilde A'_4(w^{j+1}_{k})\tilde A_6(w^{j+1}_{k})\bigr)\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Пусть задана последовательность
$$
\begin{equation*}
Q, \quad Q_1=[S_3^{j+2},Q], \quad Q_2=[S_3^{j+2},Q_1], \quad \ldots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Можно проверить, что коэффициент при $\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}$ в выражении для оператора $Q_m$ имеет вид $P_m(w^{j+1}_{k})e^{\lambda w^{j+1}_{k}}$, где $P_m(w^{j+1}_{k})$ – полином, степень $r_m$ которого неограниченно возрастает по $m$. Поэтому эти операторы являются линейно независимыми. Нетрудно показать, что в (2.47) и (2.49) параметр $\lambda$ имеет одно и то же значение. Теперь рассмотрим случай (2.44). Лемма 3. Если функция $\tilde A_3(w)$ имеет вид (2.44), то где $c_{3}$ совпадает с одной из двух констант $c_{3,1}$ и $c_{3,2}$, $m>0$ – целое число. Доказательство. Построим новые операторы
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_\lambda&=\frac{1}{2\lambda^2}(\lambda\, \mathrm{ad}_{S_3^{j}}S_1^{j}+\mathrm{ad}^2_{S_3^{j}}S_1^{j})=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_{3,1}e^{\lambda w^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\\ Q_{-\lambda}&=-\frac{1}{2\lambda^2}(\lambda\, \mathrm{ad}_{S_3^{j}}S_1^{j}-\mathrm{ad}^2_{S_3^{j}}S_1^{j})=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_{3,2}e^{-\lambda w^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $S_1^{j}$ и $S_3^{j}$ имеют вид (2.39). Возьмем последовательность операторов вида
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathrm{ad}_{Q_\lambda}S_3^{j-2}&=c_{3,1}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\tilde A_3(w^{j-1}_{k})\tilde{\rho}^j_ke^{\lambda w^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}},\\ \mathrm{ad}^2_{Q_\lambda}S_3^{j-2}&=c^2_{3,1}(\lambda+1)\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\tilde A_3(w^{j-1}_{k})\tilde{\rho}^j_ke^{2\lambda w^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}},\\ \mathrm{ad}^3_{Q_\lambda}S_3^{j-2}&=c^3_{3,1}(\lambda+1)(2\lambda+1)\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\tilde A_3(w^{j-1}_{k})\tilde{\rho}^j_ke^{3\lambda w^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}},\\ &\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots,\\ \mathrm{ad}^m_{Q_\lambda}S_3^{j-2}&=c^m_{3,1}(\lambda+1)(2\lambda+1)\cdots((m-1)\lambda+1)\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\tilde A_3(w^{j-1}_{k})\tilde{\rho}^j_ke^{m\lambda w^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\lambda\neq 0$, эта последовательность может оборваться только за счет обращения в нуль сомножителя $c_{3,1}(m\lambda+1)$. Поэтому если $c_{3,1}\neq 0$, то $\lambda=-1/m$, где $m$ – целое положительное число.
Аналогично, рассматривая кратные коммутаторы операторов $Q_{-\lambda}$ и $S_3^{j-2}$, мы приходим к условию $c_{3,2}(\bar{m}\lambda-1)=0$, из которого в силу $c_{3,2}\neq 0$ находим $\lambda=1/\bar{m}$, где $\bar{m}>0$ – целое число. Сравнивая найденные условия, приходим к трем возможным вариантам:
$$
\begin{equation*}
1) \quad c_{3,1}=0, \quad c_{3,2}=0; \qquad 2) \quad c_{3,1}=0, \quad \lambda=\frac{1}{\bar{m}}; \qquad 3) \quad c_{3,2}=0, \quad \lambda=-\frac{1}{m}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из первого варианта следует, что $\tilde A_3(w)=c_{3,0}$. Этот случай был рассмотрен ранее (см. лемму 2), было показано, что тогда $\tilde A_3(w)=0$. Объединим второй и третий случаи, представив $\tilde A_3(w)$ в виде Покажем, что константа $c_{3,0}$ равна нулю. Для этого, предполагая, что $c_{3,0}\neq 0$, введем в рассмотрение несколько операторов из $L'_x$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R^j&=S_1^{j}-\frac{m}{c_5}[S_3^{j},S_1^{j}]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_{3,0}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}} \in L'_x, \\ P^j&=m[R^{j+1},[R^{j+2},S_3^{j}]]+c_{3,0}[R^{j+2},S_3^{j}]=c_{3,0}^3\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\tilde{\rho}^{j+2}_k\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}},\\ Q^j&=m[R^{j-1},[R^{j-2},S_3^{j}]]+c_{3,0}[R^{j-2},S_3^{j}]=c_{3,0}^3\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\tilde{\rho}^{j-2}_{k+1}\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Пара операторов $P^{j-1}$, $Q^{j+1}$ в точности совпадает с парой операторов $R^j$, $\bar{R}^j$ (см. формулу (2.45)), рассмотренных при доказательстве леммы 2. Там же было доказано, что последовательность кратных коммутаторов этих операторов линейно независима, если $c_{3,0}\neq0$, что противоречит условию конечномерности алгебры $L_x$. Полученное противоречие убеждает в том, что $c_{3,0}=0$. Лемма доказана. Найдем функции $\tilde A_4(w)$ и $\tilde A_6(w)$ в том случае, когда $\tilde A_3(w)$ имеет вид (2.50). Перейдем к новым переменным, полагая тогда операторы $S_1^{j}$ и $S_3^{j}$ принимают вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S^j_1&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{c_3}{m}\frac{\partial}{\partial y^{j}_{k}},\\ S_3^j&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \biggl(\frac{c_5}{m} y^{j}_{k}\frac{\partial}{\partial y^{j}_{k}}+\bar A_4(y^{j-1}_{k})\frac{\partial}{\partial y^{j-1}_{k}}+\frac{c_3}{m}\bar \rho^{j-2}_{k+1}\frac{\partial}{\partial y^{j-1}_{k}}+\\ &\quad+\bar A_6(y^{j+1}_{k})\frac{\partial}{\partial y^{j+1}_{k}}+ \frac{c_3}{m}\bar \rho^{j+2}_k \frac{\partial}{\partial y^{j+1}_{k}}\biggr), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\bar A_i(y)=\frac{y}{m}\tilde{A}_i(m\log y)$, функция $\bar{\rho}^j_i$ получается из (2.22) заменой $e^{w^{j}_{k}}$ на $(y^j_k)^m$. Рассматривая две последовательности кратных коммутаторов операторов $S_1^{j}$ и $S_3^{j}$ вида $\mathrm{ad}^{s}_{S^j_1}S_3^{j+1}$ и $\mathrm{ad}^{s}_{S^j_1}S_3^{j-1}$, $s\geqslant1$, можно показать, что пара функций $(\bar A_4(y),\bar A_6(y))$ может совпадать лишь с одним из следующих вариантов (1a, 1b) либо (2a, 2b):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &1\mathrm{a}) \quad \bar A_4(y)=\bar{c}_{4,0}+\bar{c}_{4,1}y+\bar{c}_{4,2}y^2,\\ &2\mathrm{a}) \quad \bar A_4(y)=\bar{c}_{4,0}+\bar{c}_{4,1}e^{\lambda y}+\bar{c}_{4,2}e^{-\lambda y}, \quad \lambda\neq0,\\ &1\mathrm{b}) \quad \bar A_6(y)=\bar{c}_{6,0}+\bar{c}_{6,1}y+\bar{c}_{6,2}y^2,\\ &2\mathrm{b}) \quad \bar A_6(y)=\bar{c}_{6,0}+\bar{c}_{6,1}e^{\lambda y}+\bar{c}_{6,2}e^{-\lambda y}, \quad \lambda\neq0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\bar{c}_{i,j}$ – некоторые постоянные. В случае (2a, 2b) параметры $\bar{c}_{4,1}$, $\bar{c}_{4,2}$, $\bar{c}_{6,1}$ и $\bar{c}_{6,2}$ равны нулю. Действительно, воспользовавшись операторами $S_1^{j}$ и $S_3^{j+1}$, можно показать, что операторы вида
$$
\begin{equation*}
Q_\lambda=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\bar{c}_{4,1}e^{\lambda y^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial y^{j}_{k}}, \qquad Q_{-\lambda}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\bar{c}_{4,2}e^{-\lambda y^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial y^{j}_{k}}
\end{equation*}
\notag
$$
лежат в алгебре $L_x$. Исследуем последовательность кратных коммутаторов $S_3^{j}$ и $Q_\lambda$ следующего вида:
$$
\begin{equation*}
Q_1=[S_3^{j},Q_\lambda], \quad Q_2=[S_3^{j},Q_1], \quad Q_3=[S_3^{j},Q_2], \quad \ldots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Легко проверить, что выполняются соотношения
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_1&=\bar{c}_{4,1}\frac{c_5}{m}\lambda\sum_{k=-\infty}^{+\infty} y^{j}_{k}e^{\lambda y^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial y^{j}_{k}}-\frac{c_5}{m}Q_\lambda, \\ Q_2&=\bar{c}_{4,1}\biggl(\frac{c_5}{m}\biggr)^2(\lambda)^2\sum_{k=-\infty}^{+\infty} (y^{j}_{k})^2e^{\lambda y^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial y^{j}_{k}}-\frac{c_5}{m}Q_1, \quad \ldots\,. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
По индукции можно показать, что в общем случае справедливо равенство
$$
\begin{equation*}
Q_M=\bar{c}_{4,1}\biggl(\frac{c_5}{m}\biggr)^M(\lambda)^M\sum_{k=-\infty}^{+\infty} (y^{j}_{k})^Me^{\lambda y^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial y^{j}_{k}}+\sum_{i=0}^{M-1}r_{M,i}Q_i,
\end{equation*}
\notag
$$
где $Q_0:=Q_\lambda$, а сомножители $r_{M,i}$ – некоторые постоянные. Поскольку последовательность операторов
$$
\begin{equation*}
\bar{Q}_M=\bar{c}_{4,1}\biggl(\frac{c_5}{m}\biggr)^M(\lambda)^M\sum_{k=-\infty}^{+\infty} (y^{j}_{k})^Me^{\lambda y^{j}_{k}}\frac{\partial}{\partial y^{j}_{k}},
\end{equation*}
\notag
$$
лежащих в $L_x$, имеет бесконечную размерность, приходим к противоречию, так как $\dim L_x<\infty$. Следовательно, наше предположение о том, что $\bar{c}_{4,1}\neq 0$, неверно. Поэтому $\bar{c}_{4,1}=0$. Аналогично можно показать, что $\bar{c}_{6,1}=0$, $\bar{c}_{4,2}=0$, $\bar{c}_{6,2}=0$. Таким образом, в случае (2a, 2b) имеем $\bar A_4(y)=\bar{c}_{4,0}$ и $\bar A_6(y)=\bar{c}_{6,0}$. Рассмотрим теперь случай (1a, 1b). Вернемся к переменным $w$, полагая $y=e^{w/m}$. Тогда найденные функции $\bar A_4(y)$, $\bar A_6(y)$ перепишутся в виде
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &1\mathrm{a}) \quad \tilde{A}_4(w)=c_{4,0}+c_{4,1}e^{-w/m}+c_{4,2}e^{w/m},\\ &1\mathrm{b}) \quad \tilde{A}_6(w)=c_{6,0}+c_{6,1}e^{-w/m}+c_{6,2}e^{w/m}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а операторы $S_1^{j}$ и $S_3^{j}$ в терминах $w$ примут вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S^j_1&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_3e^{- w^{j}_{k}/m}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\\ S_3^j&=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\biggl( c_5 \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+\tilde A_4(w^{j-1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+c_3e^{- w^{j-1}_{k}/m}\tilde \rho^{j-2}_{k+1}\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+{}\\ &\quad+\tilde A_6(w^{j+1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}+ c_3e^{- w^{j+1}_{k}/m}\tilde \rho^{j+2}_k \frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Покажем, что $c_{4,2}=0$. Легко убедиться, что
$$
\begin{equation*}
[S^{j-1}_1,S^j_3]=\frac{c_3}{m}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}(2c_{4,2}+c_{4,0}e^{- w^{j-1}_{k}/m})\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда ясно, что при $c_{4,2}\neq 0$ оператор $S^j_0=\sum_k\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}$ лежит в алгебре $L_x$. Легко проверить, что выполняются равенства
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P^j&=[S^{j-1}_0,S^{j+1}_3]=c_3\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{- w^{j}_{k}/m}\tilde \rho^{j-1}_{k+1}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}},\\ R^j&=[S^{j+1}_0,S^{j-1}_3]=c_3\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{- w^{j}_{k}/m}\tilde \rho^{j+1}_{k}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Вычитая из $S_3^j$ линейную комбинацию полученных операторов с подходящими значениями $j$, получим, что оператор
$$
\begin{equation*}
Q^j=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \biggl(c_5 \frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}+\tilde A_4(w^{j-1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}+\tilde A_6(w^{j+1}_{k})\frac{\partial}{\partial w^{j+1}_{k}}\biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
также лежит в алгебре $L_x$. Построим новый оператор
$$
\begin{equation*}
Q_\lambda=\frac{m}{2}[S^{j}_0,Q^{j+1}]+\frac{m^2}{2}[S^{j}_0,[S^{j}_0,Q^{j+1}]]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_{4,2}e^{ w^{j}_{k}/m}\frac{\partial}{\partial w^{j}_{k}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим последовательность кратных коммутаторов вида
$$
\begin{equation*}
Q_\lambda, \quad R^{j-1}, \quad R_1=[Q_\lambda,R^{j-1}], \quad R_2=[Q_\lambda,R_1], \quad \ldots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Найдем явные представления для этих операторов:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, R_1&=c_3c_{4,2}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{w^{j}_{k}/m}e^{- w^{j-1}_{k}/m}\tilde{\rho}^j_k\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}, \\ R_2&=c_3c^2_{4,2}\biggl(\frac{1}{m}+1\biggr)\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{2 w^{j}_{k}/m}e^{- w^{j-1}_{k}/m}\tilde{\rho}^j_k\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
В общем случае имеем
$$
\begin{equation*}
R_M=c_3c^M_{4,2}\biggl(\frac{1}{m}+1\biggr)\biggl(\frac{2}{m}+1\biggr)\cdots\biggl(\frac{M-1}{m}+1\biggr)\sum_{k=-\infty}^{+\infty} e^{M w^{j}_{k}/m}e^{- w^{j-1}_{k}/m}\tilde{\rho}^j_k\frac{\partial}{\partial w^{j-1}_{k}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $m\geqslant 1$, линейная оболочка элементов этой последовательности имеет бесконечную размерность, если $c_{4,2}\neq0$, поэтому $c_{4,2}=0$. Аналогично можно показать, что $c_{6,2}=0$. Следовательно, в случае (1a, 1b) функции $\tilde{A}_4(w)$ и $\tilde{A}_6(w)$ имеют вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \tilde{A}_4(w)&=c_{4,0}+c_{4,1}e^{-w/m},\\ \tilde{A}_6(w)&=c_{6,0}+c_{6,1}e^{-w/m}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Подведем итог рассуждениям, сформулируем его в виде теоремы. Теорема 8. Если цепочка (1.1), (2.1) интегрируема в смысле определения 1, то функция (2.1) В результате рассматриваемая классификационная задача свелась к уточнению значений постоянных параметров в случаях 1–3 теоремы 8. 3. Дальнейший анализ цепочек класса 1 из теоремы 8Цель настоящего раздела состоит в дальнейшем уточнении вида искомой функции (2.51), принадлежащей классу 1 из теоремы 8. Для этого мы воспользуемся наиболее простой нетривиальной редукцией цепочки (1.1), (2.1) размерности 2:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, u^0_{n+1,x}&=u^0_{n,x}+f(u^{1}_{n},u^{0}_n,u^0_{n+1}),\\ u^1_{n+1,x}&=u^1_{n,x}+f(u^{1}_n,u^1_{n+1},u^{0}_{n+1}), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
которая получена в результате наложения на цепочку вырожденных условий обрыва $u^{-1}_n\equiv 0$, $u^{2}_n\equiv 0$. Эта система в силу (2.51), очевидно, принимает вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, -\tau^0_{n,x}&=A_4(\tau^0_n)(u^{1}_0+\rho^1_n)+A_5(\tau^0_n)(u^{0}_0+\rho^0_n)+A_7(\tau^0_n),\\ -\tau^1_{n,x}&=A_5(\tau^1_n)(u^{1}_0+\rho^1_n)+A_6(\tau^1_n)(u^{0}_0+\rho^0_{n+1})+A_7(\tau^1_n), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\tau^0_n=u^{0}_n-u^0_{n+1}$, $\tau^1_n=u^{1}_n-u^1_{n+1}$, функция $\rho^i_k$ задана в (2.22). В качестве классификационного критерия, как и выше, берется условие конечномерности характеристической алгебры Ли–Райнхарта $L_x$, которая в этом случае порождается следующими тремя операторами: $\bar{X}_0=\frac{\partial}{\partial u^0_0}$, $\bar{X}_1=\frac{\partial}{\partial u^1_0}$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Y&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(A_4(\tau^0_n)(u^{1}_0+\rho^1_n)+A_5(\tau^0_n)(u^{0}_0+\rho^0_n)+A_7(\tau^0_n))\frac{\partial}{\partial \tau^0_n}+{}\\ &\quad+\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(A_5(\tau^1_n)(u^{1}_0+\rho^1_n)+A_6(\tau^1_n)(u^{0}_0+\rho^0_{n+1})+A_7(\tau^1_n))\frac{\partial}{\partial \tau^1_n}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Легко заметить, что из конечномерности алгебры $L_x$ следует конечномерность алгебры $L'_x$, порожденной операторами
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_0&=[\bar{X}_0,Y]=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}A_5(\tau^0_n)\frac{\partial}{\partial \tau^0_n}+\sum_{n=-\infty}^{+\infty}A_6(\tau^1_n)\frac{\partial}{\partial \tau^1_n},\\ S_1&=[\bar{X}_1,Y]=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}A_4(\tau^0_n)\frac{\partial}{\partial \tau^0_n}+\sum_{n=-\infty}^{+\infty}A_5(\tau^1_n)\frac{\partial}{\partial \tau^1_n},\\ S&=Y-u^0_0S_0-u^1_0S_1=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}(A_4(\tau^0_n)\rho^1_n+A_5(\tau^0_n)\rho^0_n+A_7(\tau^0_n))\frac{\partial}{\partial \tau^0_n}+{}\\ &\quad+\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(A_5(\tau^1_n)\rho^1_n+A_6(\tau^1_n)\rho^0_{n+1}+A_7(\tau^1_n))\frac{\partial}{\partial \tau^1_n}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для удобства перейдем в этих операторах к переменным $w=\ln \tau$:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_0&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\tilde{A}_5(w^0_n)\frac{\partial}{\partial w^0_n}+\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\tilde{A}_6(w^1_n)\frac{\partial}{\partial w^1_n},\\ S_1&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\tilde{A}_4(w^0_n)\frac{\partial}{\partial w^0_n}+\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\tilde{A}_5(w^1_n)\frac{\partial}{\partial w^1_n},\\ S&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(\tilde{A}_4(w^0_n)\tilde{\rho}^1_n+\tilde{A}_5(w^0_n)\tilde{\rho}^0_n+A_7(w^0_n))\frac{\partial}{\partial w^0_n}+{}\\ &\quad+\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(\tilde{A}_5(w^1_n)\tilde{\rho}^1_n+\tilde{A}_6(w^1_n)\tilde{\rho}^0_{n+1}+A_7(w^1_n))\frac{\partial}{\partial w^1_n}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Доказательство. Учитывая, что функция $f$ принадлежит классу 1 из теоремы 8, найдем кратные коммутаторы
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathrm{ad}^3_{S_1}S_0&=c_5\sum_{n=-\infty}^{+\infty}(4c_{4,0}c_{4,2}-c^2_{4,1})(2c_{4,2}w^0_n+c_{4,1})\frac{\partial}{\partial w^0_n},\\ \mathrm{ad}_{S_0}\,\mathrm{ad}^3_{S_1}S_0&=c^2_5\sum_{n=-\infty}^{+\infty}2c_{4,2}(4c_{4,0}c_{4,2}-c^2_{4,1})\frac{\partial}{\partial w^0_n}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Если нарушается первое условие леммы, т. е. $c_{4,2}(4c_{4,0}c_{4,2}-c^2_{4,1})\neq 0$, то операторы $Q_1:=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{\partial}{\partial w^0_n}$ и $Q_2:=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}w^0_n\frac{\partial}{\partial w^0_n}$ лежат в $L_x$. Тогда, как легко заметить, операторы $\mathrm{ad}^m_{Q_2}S$ допускают простое явное представление. Для $m=1,2$ имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathrm{ad}_{Q_2}S&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F^1_n\frac{\partial}{\partial w^0_n}+\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\tilde{A}_6(w^1_n)\tilde{\rho}^0_{n+1}w^0_n\frac{\partial}{\partial w^1_n},\\ \mathrm{ad}^2_{Q_2}S&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F^2_n\frac{\partial}{\partial w^0_n}+\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\tilde{A}_6(w^1_n)\tilde{\rho}^0_{n+1}((w^0_n)^2+w^0_n)\frac{\partial}{\partial w^1_n}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
а при $m\geqslant 3$ где $F_n^m$ – некоторая функция, явный вид которой мы не уточняем. Ясно, что линейная оболочка семейства операторов $\mathrm{ad}^m_{Q_2}S$ имеет бесконечную размерность, поэтому $\dim L_x=\infty$. Вторая часть леммы доказывается аналогично. Лемма 5. Пусть выполнены условия (3.1). Тогда для конечномерности алгебры $L_x$, порожденной операторами $S_0$, $S_1$, $S$, необходимо, чтобы параметры $c_{4,1}$, $c_{4,2}$, $c_{6,1}$ и $c_{6,2}$ удовлетворяли равенствам Схема доказательства. При выполнении (3.1) возникают семь непересекающихся наборов условий:
$$
\begin{equation*}
S_0, \quad S, \quad [S_0,S], \quad [S_0,[S_0,S]], \quad [S_0,[S_0,[S_0,S]]], \quad \ldots,
\end{equation*}
\notag
$$
которая содержит бесконечное множество линейно независимых элементов. Ниже нам понадобится следующий дискретный вариант леммы Шабата (см. книгу [27]). Лемма 6. Предположим, что векторное поле вида где для всех $j=1,2,\dots N$ выполнено условие $ a^j_0=0$, удовлетворяет соотношению с некоторым множителем $h$, тогда $K=0$. Доказательство леммы 6 можно найти в работе [21]. Имеет место следующая теорема. Теорема 9. Предположим, что цепочка (1.1), (2.1) интегрируема в смысле определения 1 и принадлежит классу 1 из теоремы 8. Тогда если выполнено условие то цепочка точечными заменами приводится к виду Доказательство. Пусть сначала выполняется условие (3.2). Уточним постоянные $c_{4,0}$ и $c_{6,0}$. В силу леммы 5 операторы $S_0$, $S_1$, $S$ принимают вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, S_0&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_5\frac{\partial}{\partial w^0_n}+\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_{6,0}\frac{\partial}{\partial w^1_n},\qquad S_1=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_{4,0}\frac{\partial}{\partial w^0_n}+\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_5\frac{\partial}{\partial w^1_n},\\ S&=\sum^{+\infty}_{n=-\infty}\biggl(c_{4,0}\tilde{\rho}^1_n+c_5\tilde{\rho}^0_n-\frac{c_5}{2}e^{w^0_n}+c_7\biggr)\frac{\partial}{\partial w^0_n}+{}\\ &\quad+\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\biggl(c_5\tilde{\rho}^1_n+c_{6,0}\tilde{\rho}^0_{n+1}-\frac{c_5}{2}e^{w^1_n}+c_7\biggr)\frac{\partial}{\partial w^1_n}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Заметим, что при выполнении условия (3.2) можно рассматривать операторы вида
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P&=\frac{1}{c_{4,0}(c_5-c_{4,0})}(c_5[S_1,S]-[S_1,[S_1,S]]), \\ Q&=\frac{1}{c_{6,0}(c_5-c_{6,0})}(c_5[S_0,S]-[S_0,[S_0,S]]), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
поскольку постоянные $c_{4,0}$ и $c_{6,0}$ отличны от нуля по условию задачи (см. (1.1)). Операторы $P$ и $Q$ удобны тем, что они допускают сравнительно простое координатное представление
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, P&=c_5\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\biggl(\tilde{\rho}^0_n-\frac{1}{2}e^{w^0_n}\biggr)\frac{\partial}{\partial w^0_n}+c_{6,0}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\tilde{\rho}^0_{n+1}\frac{\partial}{\partial w^1_n}, \\ Q&=c_{4,0}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\tilde{\rho}^1_{n}\frac{\partial}{\partial w^0_n}+c_5\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\biggl(\tilde{\rho}^1_n-\frac{1}{2}e^{w^1_n}\biggr)\frac{\partial}{\partial w^1_n}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим следующую бесконечную последовательность операторов:
$$
\begin{equation*}
Q, \quad P, \quad Q_1=[Q,P], \quad Q_2=[Q,Q_1], \quad Q_3=[Q,Q_2], \quad \ldots\,.
\end{equation*}
\notag
$$
Выясним действие автоморфизма (2.4) на элементы этой последовательности:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_nQD^{-1}_n&=Q+e^{w^1_0}S_1, \qquad D_nPD^{-1}_n=P+e^{w^0_0}S_0, \\ D_nS_0D^{-1}_n&=S_0, \qquad D_nS_1D^{-1}_n=S_1,\\ D_nQ_1D^{-1}_n&=Q_1+c_{4,0}e^{w^1_0}P-c_{6,0}e^{w^0_0}Q+c_{4,0}e^{w^1_0+w^0_0}S_0,\\ D_nQ_2D^{-1}_n&=Q_2+(c_5+2c_{4,0})e^{w^1_0}Q_1+c_{4,0}\biggl(\frac{c_5}{2}+c_{4,0}\biggr)e^{2w^1_0}P-{}\\ &\quad-c_{6,0}(c_5+2c_{4,0})e^{w^1_0+w^0_0}Q+c_{4,0}\biggl(\frac{c_5}{2}+c_{4,0}\biggr)e^{2w^1_0+w^0_0}S_0,\\ D_nQ_3D^{-1}_n&=Q_3+3(c_5+c_{4,0})e^{w^1_0}Q_2+3\biggl(\frac{c_5}{2}+c_{4,0}\biggr)(c_5+c_{4,0})e^{2w^1_0}Q_1+{}\\ &\quad+c_{4,0}\biggl(\frac{c_5}{2}+c_{4,0}\biggr)(c_5+c_{4,0})e^{3w^1_0}P-3c_{6,0}\biggl(\frac{c_5}{2}+c_{4,0}\biggr)(c_5+c_{4,0})\times{}\\ &\quad\quad\quad\times e^{2w^1_0+w^0_0}Q+c_{4,0}\biggl(\frac{c_5}{2}+c_{4,0}\biggr)(c_5+c_{4,0})e^{3w^1_0+w^0_0}S_0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Можно доказать по индукции, что в общем случае $m\geqslant2$ автоморфизм алгебры действует как
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, D_nQ_mD^{-1}_n&=Q_m+\alpha_{m,1}e^{w^1_0}Q_{m-1}+\alpha_{m,2}e^{2w^1_0}Q_{m-2}+\cdots+\alpha_{m,m-1}e^{(m-1)w^1_0}Q_{1}+{}\\ &\quad+\alpha_{m,m}e^{mw^1_0}P+\alpha_{m,m+1}e^{(m-1)w^1_0+w^0_0}Q+\alpha_{m,m+2}e^{mw^1_0+w^0_0}S_0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где все коэффициенты $\alpha_{m,j}$ постоянны. При этом первый из них имеет вид
$$
\begin{equation}
\alpha_{m,1}=m\biggl((m-1)\frac{c_5}{2}+c_{4,0}\biggr).
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
В силу конечномерности алгебры $L_x$ существует такой номер $M$, что операторы $Q_M$, $Q_{M-1}$, …, $Q_1$, $Q$, $P$, $S_0$, $S_1$ линейно независимы, а оператор $Q_{M+1}$ выражается в виде
$$
\begin{equation}
Q_{M+1}=\lambda_1Q_{M}+\lambda_2Q_{M-1}+\cdots+\lambda_MQ_{1}+\lambda_{M+1}P+\lambda_{M+2}Q+\lambda_{M+3}S_0+\lambda_{M+4}S_1.
\end{equation}
\tag{3.6}
$$
Применив к равенству (3.6) автоморфизм, получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \lambda_1Q_{M}&+\lambda_2Q_{M-1}+\lambda_3Q_{M-2}+\cdots+\lambda_{M+4}S_1+\alpha_{M+1,1}e^{w^1_0}Q_{M}+{} \notag\\ &\quad+\alpha_{M+1,2}e^{2w^1_0}Q_{M-1}+\cdots+\alpha_{M+1,M+3}e^{(M+1)w^1_0+w^0_0}S_0={} \notag\\ &=D_n(\lambda_1 )(Q_M+\alpha_{M,1}e^{w^1_0}Q_{M-1}+\alpha_{M,2}e^{2w^1_0}Q_{M-2}+\cdots)+{} \notag\\ &\quad+D_n(\lambda_2)(Q_{M-1}+\alpha_{M-1,1}e^{w^1_0}Q_{M-2}+\cdots)+\cdots+D_n(\lambda_{M+4})S_1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
Сравнивая коэффициенты при независимых операторах, получим систему уравнений для определения коэффициентов $\lambda_i$. Имеем
$$
\begin{equation*}
Q_{M}: \quad D_n(\lambda_1)-\lambda_1=\alpha_{M+1,1}e^{w^1_0},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда сразу вытекает, что $\lambda_1=\mathrm{const}$, $\alpha_{M+1,1}=0$, или в силу (3.5) Далее находим
$$
\begin{equation*}
Q_{M-1}: \quad D_n(\lambda_2)-\lambda_2=\alpha_{M+1,2}e^{2w^1_0}-\lambda_1\alpha_{M,1}e^{w^1_0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда имеем $\lambda_2=\mathrm{const}$, $\alpha_{M+1,2}=0$, $\lambda_1\alpha_{M,1}=0$. Далее
$$
\begin{equation*}
Q_{M-2}: \quad D_n(\lambda_3)-\lambda_3=\alpha_{M+1,3}e^{3w^1_0}-\lambda_1\alpha_{M,2}e^{2w^1_0}-\lambda_2\alpha_{M-1,1}e^{w^1_0}.
\end{equation*}
\notag
$$
В итоге находим $\lambda_3=\mathrm{const}$, $\alpha_{M+1,3}=0$, $\lambda_1\alpha_{M,2}=0$, $\lambda_2\alpha_{M-1,1}=0$.
Далее, сравнивая коэффициенты при всех остальных независимых операторах, получаем, что для $\forall i$ $\alpha_{M+1,i}=0$, $\lambda_1\alpha_{M,i}=0$, $\lambda_k\alpha_{M-k+1,i}=0$. Отсюда следует, что Покажем, что из равенства (3.9) следует, что $Q_{M+1}=0$. С этой целью более детально исследуем явное координатное представление операторов последовательности. Для нескольких первых элементов имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, Q_1&=c_{4,0}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\tilde{\rho}^1_n\biggl(c_5\tilde{\rho}^0_n-\frac{c_5}{2}e^{w^0_n}-c_{6,0}\tilde{\rho}^0_{n+1}\biggr)\frac{\partial}{\partial w^0_n}+{}\\ &\quad+c_{6,0}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\tilde{\rho}^0_{n+1}\biggl(c_{4,0}\tilde{\rho}^1_n-c_5\tilde{\rho}^1_n+\frac{c_5}{2}e^{w^1_n}\biggr)\frac{\partial}{\partial w^1_n},\\ Q_2&=c_{4,0}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\tilde{\rho}^1_n\biggl(\biggl(c_5\tilde{\rho}^0_n-\frac{c_5}{2}e^{w^0_n}-c_{6,0}\tilde{\rho}^0_{n+1}\biggr)\biggl(c_{4,0}\tilde{\rho}^1_n+c_5\tilde{\rho}^1_n-\frac{c_5}{2}e^{w^1_n}\biggr)-{} \\ &\quad-c_{6,0}\tilde{\rho}^0_{n+1}\biggl(c_{4,0}\tilde{\rho}^1_n-c_5\tilde{\rho}^1_n+\frac{c_5}{2}e^{w^1_n}\biggr)\biggr)\frac{\partial}{\partial w^0_n}+{}\\ &\quad+c_{4,0}c_{6,0}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\tilde{\rho}^1_n\tilde{\rho}^0_{n+1}\biggl(c_{4,0}\tilde{\rho}^1_n-c_5\tilde{\rho}^1_n+\frac{c_5}{2}e^{w^1_n}\biggr)\frac{\partial}{\partial w^1_n}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Для общего случая $m\geqslant2$ справедливо представление
$$
\begin{equation*}
Q_m=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\tilde{\rho}^1_n\biggl(F_n^m\frac{\partial}{\partial w^0_n} + G_n^m\frac{\partial}{\partial w^1_n}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
где $F^m_n$, $G^m_n$ – некоторые гладкие функции. При $m=2$ это легко следует из явной формулы. При $m>2$ это можно доказать по индукции, пользуясь тем, что оператор $\frac{\partial}{\partial w^j_n}$ переводит $\rho^1_n$ либо в нуль, либо в $\rho^1_n$.
Характерная деталь всех этих формул начиная с $Q_2$ состоит в том, что коэффициенты при операторах дифференцирования вида $\frac{\partial}{\partial w^0_0}$ и $\frac{\partial}{\partial w^1_0}$ равны нулю, поскольку $\rho^1_0=0$. Тогда в силу леммы 6 из равенства (3.9) немедленно вытекает, что $Q_{M+1}=0$ при $M\geqslant 2$. Следовательно, линейное пространство над кольцом функций от динамических переменных, натянутое на элементы рассматриваемой последовательности, имеет конечную размерность тогда и только тогда, когда выполняется равенство (3.8), выражающее связь между параметрами $c_{4,0}$ и $c_5$. Применяя аналогичные рассуждения к последовательности операторов
$$
\begin{equation*}
Q, \quad P, \quad P_1=[P,Q], \quad P_2=[P,P_1], \quad P_3=[P,P_2], \quad \ldots\,,
\end{equation*}
\notag
$$
можно показать, что из конечномерности алгебры $L_x$ вытекает равенство
$$
\begin{equation}
c_{6,0}=-\frac{1}{2}c_5\bar M, \qquad \bar M\geqslant 1.
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
Формулы (3.8) и (3.10) устанавливают связь между константами цепочки (1.1), (2.51). В результате этого цепочка существенно упрощается и при помощи замен переменных легко приводится к виду (3.3).
Пусть теперь условие (3.2) нарушается. Тогда цепочка имеет вид
$$
\begin{equation*}
u^j_{n+1,x}= u^j_{n,x}+(u^j_n-u^j_{n+1})\biggl(\frac{1}{2}c_5u^j_n+\frac{1}{2}c_5u^j_{n+1}+c_{4,0}u^{j+1}_n+c_{6,0} u^{j-1}_{n+1}\biggr)+c_7(u^j_n-u^j_{n+1}),
\end{equation*}
\notag
$$
где предполагается, что выполняется хотя бы одно из условий $c_{4,0}=c_5$, $c_{6,0}=c_5$. Ясно, что точечными заменами эту цепочку можно привести к виду (3.4). 4. Обсуждение конкретных примеровНайденные в теореме 8 классы 2 и 3, а также цепочки (3.3) и (3.4), полученные в результате дальнейшей работы с классом 1, нуждаются в дополнительном исследовании с привлечением характеристической алгебры по дискретному направлению. Однако уже на этом этапе нам удалось обнаружить довольно интересные примеры. Пример 1. Полагая $C_{4}=C_{6}=2$ в (3.4), приходим к цепочке Пример 2. Наиболее интересной является цепочка, соответствующая выбору $M=\bar M=1$ в представлении (3.3): Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{HabKha23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|