| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Классификация полудискретных уравнений гиперболического типа. Случай симметрий третьего порядка Р. Н. Гарифуллин Институт математики с вычислительным центром Уфимского федерального исследовательского центра РАН, Уфа, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923110119 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ этой работе исследуются полудискретные уравнения гиперболического типа где неизвестная функция $u_n(x)$ зависит от одной дискретной ($n$) и одной непрерывной ($x$) переменных. Здесь и ниже используется обозначение
$$
\begin{equation*}
u_{k,x}=\frac{du_{k}}{dx},\quad u_{k,xx}=\frac{d^2u_{k}}{dx^2},\quad u_{k,xxx}=\frac{d^3u_{k}}{dx^3},\quad u_{k,t}=\frac{du_{k}}{dt},\quad u_{k,\tau}=\frac{du_{k}}{d\tau}.
\end{equation*}
\notag
$$
Наиболее известным представителем этого класса является одевающая цепочка подробное исследование которой проведено в статье Веселова и Шабата [1]. Эта цепочка возникла как преобразование Беклунда для модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза Уравнение (3) можно рассматривать как высшую симметрию уравнения (2). По дискретному направлению высшая симметрия уравнения (2) имеет вид
$$
\begin{equation}
u_{n,\tau}=\frac{1}{u_{n+1}+u_{n}}-\frac{1}{u_{n}+u_{n-1}}
\end{equation}
\tag{4}
$$
и является известным дифференциально-разностным уравнением [2], [3]. В статье Ямилова [4] приведен ряд примеров троек уравнений типа (2)–(4). В недавней работе [5] был предложен метод построения высших симметрий уравнений вида (1). Было показано, что высшая симметрия в непрерывном направлении является эволюционным уравнением вида
$$
\begin{equation}
u_{n,t}=\frac{d^Nu_n}{dt^N}+F\biggl(x,u_n, \frac{du_n}{dt}, \dots, \frac{d^{N-1}u_n}{dt^{N-1}}\biggr).
\end{equation}
\tag{5}
$$
Такие уравнения называются уравнениями с постоянной сепарантой [6]. С другой стороны, полудискретное уравнение вида (1), совместное с уравнением вида (5), можно рассматривать как автопреобразование Беклунда. Поэтому уравнения (5) сами по себе также являются инегрируемыми уравнениями. Список таких уравнений порядков 3 и 5 был приведен в обзоре [6], в нем также подробно изложена история вопроса. Уравнения вида (5) при $N=3$ были классифицированы в работе [7]. В настоящей работе мы рассматриваем $S$-интегрируемые уравнения третьего порядка1 и для них ищем полудискретные уравнения вида (1). Список таких уравнений третьего порядка имеет вид
$$
\begin{equation}
u_t =u_{xxx}-\frac{1}{2}u_x^3-\frac23(b_1e^{2u}+b_2e^{-2u})u_x,
\end{equation}
\tag{9}
$$
$$
\begin{equation}
u_t =u_{xxx}-\frac{3u_xu_{xx}^2}{2(u_x^2+1)}+b_1(u_x^2+1)^{3/2}+b_2u_x^3,
\end{equation}
\tag{10}
$$
$$
\begin{equation}
u_t =u_{xxx}-\frac{3}{2}\frac{u^{2}_{xx}}{u_{x}}+\frac{Q(u)}{u_{x}},
\end{equation}
\tag{11}
$$
$$
\begin{equation}
u_{t} = u_{xxx}- \frac{3}{8}\frac{((Q(u)+u_x^2)_{x})^2}{u_x(Q(u)+u_x^2)}+\frac{1}{2} Q''(u)\,u_x,
\end{equation}
\tag{12}
$$
$$
\begin{equation}
u_t =u_{xxx}-\frac{3u_{xx}^2}{4u_x}+b_1u_x^{3/2}-3b_2^2u_x^2,\qquad b_1\ne0\quad \text{или}\quad b_2\ne0,
\end{equation}
\tag{14}
$$
где $ Q=b_{0}+b_{1} u+b_{2} u^{2}+b_{3} u^{3}+b_{4} u^{4}$ — произвольный многочлен, $b_i$ — произвольные постоянные. Приведенный список уравнений отличается от списка работы [6] переобозначением констант и уравнениями (11) и (12), которые приведены в точечно-эквивалентном виде без использования функции Вeйерштрасса. Известно, что при дробно-линейных преобразованиях многочлен $Q$ меняется по закону
$$
\begin{equation*}
\tilde{Q}(\tilde{u})=Q\biggl(\frac{z_1 \tilde{u}+z_2}{z_3 \tilde{u}+z_4}\biggr) (z_3 \tilde{u}+z_4)^4 (z_1 z_4-z_2 z_3)^{-2}.
\end{equation*}
\notag
$$
В зависимости от структуры кратных корней многочлен $Q$ может быть приведен преобразованием (15) и растяжениями $x$ и $t$ к одной из следующих канонических форм:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, Q(x)=x(x-1)(x-k),\qquad Q(x)=x(x-1),\qquad Q(x)=x^2,\\ Q(x)=x,\qquad Q(x)=1,\qquad Q(x)=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Использование $C$-интегрируемых уравнений приводит только к интегрируемым по Дарбу или линейным уравнениям гиперболического типа, которые представляют меньший интерес. Высшие симметрии в дискретном направлении являются уравнениями типа Вольтерра: Полный список интегрируемых уравнений такого типа получен в работе [3] (более подробное изложение см. в обзоре [2]).В настоящей работе ищутся только автономные по дискретной переменной $n$ уравнения вида (1) и соответственно используются только автомномные высшие симметрии (6)–(14). С одной стороны, это является упрощением задачи. С другой стороны, неизвестны неавтономные уравнения вида (1), совместные с дискретной высшей симметрией (возможно неавтономной) вида (16). Отметим, что полученные ответы содержат дополнительные произвольные константы, вместо этих констант можно брать функции, зависящие от $n$, при этом останется совместность с непрерывными высшими симметриями. В полностью диcкретном случае существуют автономные уравнения, у которых одна из высших симметрий имеет порядок 3 и является неавтономной, а высшая симметрия в другом направлении имеет бо́льший порядок (см. [8]–[10]). Подобные уравнения в настоящей работе не исследуются. Вопрос об их существовании остается открытым. 2. Метод исследованияИз требования совместности уравнений (1) и (5) получаем определяющее уравнение
$$
\begin{equation}
V_{n+1,x}=\frac{\partial f}{\partial u_{n,x}}V_{n,x}+\frac{\partial f}{\partial u_{n+1}}V_{n+1}+\frac{\partial f}{\partial u_{n}}V_n,
\end{equation}
\tag{17}
$$
где через $V_n$ обозначена правая часть уравнения (5) и используются обозначения
$$
\begin{equation*}
V_{n,x}=\frac{d}{dx}V_n,\qquad V_{n+1,x}=\frac{d}{dx}V_{n+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Если функция $f$, определяющая правую часть уравнения (1), известна, то из уравнения (17) можно найти правую часть высшей симметрии уравнения (5). Эта процедура подробно описана в работе [5]. Здесь же, наоборот, известна высшая симметрия, а само полудискретное уравнение не задано. Поэтому на функцию $f$ получается сложное нелинейное уравнение. Однако уравнение содержит дополнительные переменные, от которых не зависит функция $f$. Наличие этих переменных позволяет получать более простые дифференциальные следствия и определить неизвестную функцию $f$. 3. Результаты классификацииВ данном разделе приводятся найденные полудискретные уравнения и их высшие симметрии в дискретном направлении. Они сгруппированы по виду высшей симметрии в $x$-направлении. Верно следующее утверждение. Теорема 1. Если невырожденное нелинейное автономное уравнение (1) допускает непрерывную высшую симметрию в виде одного из уравнений (6)–(14), то оно имеет вид (S1)–(S14). Все уравнения списка (S1)–(S14) обладают дискретными высшими симметриями вида (16). Схема доказательства. Правые части уравнений (6)–(14) брались в качестве функции $V_n$ в определяющем уравнении (17). Для каждого из этих уравнений находились все возможные функции $f$ – правые части уравнений (1). Для полученных уравнений вида (1) находились дискретные симметрии. Ниже приводится список найденных полудискретных уравнений (для них используется специальная нумерация вида (S…)) и их дискретные высшие симметрии. Разные уравнения списка (6)–(14) разделяются с использованием символа $\bullet$. $\bullet$ Для уравнения (6) полудискретное уравнение имеет вид
$$
\begin{equation}
u_{n+1,x}+u_{n,x}=\sqrt{u_{n+1}+u_{n}+2a}(u_{n+1}-u_{n}),
\end{equation}
\tag{S1}
$$
$$
\begin{equation}
u_{n,\tau}=\frac{\sqrt{u_{n+1}+u_{n}+2a}-\sqrt{u_{n}+u_{n-1}+2a}}{\sqrt{u_{n+1}+u_{n}+2a}+\sqrt{u_{n}+u_{n-1}+2a}}.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Уравнение (18) – это уравнение (V9) при $P(y^2)=1$ из списка работы [2]. $\bullet$ Для уравнения (7) уравнение вида (1) и симметрия в дискретном направлении записываются в следующем виде:
$$
\begin{equation}
u_{n+1,x}+u_{n,x}=\sqrt{(u_{n+1}+u_{n})^2+2a}(u_{n+1}-u_{n}),
\end{equation}
\tag{S2}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u_{n,\tau}=\frac{R(u_{n+1},u_{n},u_{n-1})-R(u_{n+1},u_{n},u_{n+1})^{1/2}R(u_{n-1},u_{n},u_{n-1})^{1/2}}{a(u_{n+1}-u_{n-1})},\\ R(u,v,w)=(u+v)(v+w)+2a. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{19}
$$
Уравнение (19) – это уравнение (V4) из списка работы [2] при $\nu=-1$:
$$
\begin{equation}
u_{n+1,x}-u_{n,x}=\sqrt{(u_{n+1}-u_{n})^2+2a}(u_{n+1}+u_{n}),
\end{equation}
\tag{S3}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u_{n,\tau}=\frac{R(u_{n+1},u_{n},u_{n-1})-R(u_{n+1},u_{n},u_{n+1})^{1/2}R(u_{n-1},u_{n},u_{n-1})^{1/2}}{u_{n+1}-u_{n-1}},\\ R(u,v,w)=(u-v)(w-v)+2a. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{20}
$$
Уравнения (S2) и (S3), а также уравнения (19) и (20) связаны неавтономной точечной заменой $\tilde{u}_n=(-1)^nu_n$. Замечание 1. Одевающая цепочка (2) и ее высшая симметрия (4) получаются из (S2) и (19) в пределе $a\to 0$. Подобный предел в уравнении (S3) приводит к интегрируемому по Дарбу уравнению $\bullet$ Для уравнения (8) получаем
$$
\begin{equation}
u_{n+1,x}+u_{n,x}=-(u_{n+1}-u_{n})^2+a(u_{n+1}-u_{n})+a_1,
\end{equation}
\tag{S4}
$$
Уравнение (21) – это уравнение (V4) из списка работы [2] при $\nu=0,R(u,v,w)=1$, величина $c$ отвечает за точечную симметрию, константу $a$ можно сделать равной нулю за счет неавтономного преобразования $\tilde{u}_{n}=u_n+an/2$. $\bullet$ Для уравнения (9) имеются два случая в зависимости от параметров. 1. В случае $b_1 \neq 0$ или $b_2 \neq 0$ получаем две пары уравнений:
$$
\begin{equation}
u_{n+1,x}=-u_{n,x}+(e^{-u_{n+1}}\pm e^{-u_{n}})\sqrt{b_1e^{2u_{n+1}+2u_{n}}\pm 2ae^{u_{n+1}+u_n}+b_2},
\end{equation}
\tag{S5}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_{n,\tau}&=e^{-u_n}\frac{R(e^{u_{n+1}},e^{u_n},e^{u_{n-1}})-R_1(e^{u_{n+1}},e^{u_n})^{1/2}R_1(e^{u_{n-1}},e^{u_n})^{1/2}}{e^{u_{n+1}}-e^{u_{n-1}}},\\ &R(u,v,w)=b_1v^2uw\pm av(u+w)+b_2,\qquad R_1(v,u)=R(v,u,w). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{22}
$$
Уравнения с разными знаками связаны заменой $\tilde{u}_{n}=u_{n}+In\pi,\ \tilde x =(-1)^{n+1}x$ (здесь и ниже $I$ – мнимая единица, т. е. $I^2=-1$), которая в уравнении (9) приводит к замене $\tilde{t}=(-1)^{n+1}t$:
$$
\begin{equation}
u_{n+1,x}=u_{n,x}+(b_1^{1/2}\pm b_2^{1/2}e^{-u_{n+1}-u_{n}})\sqrt{e^{2u_{n+1}}\pm 2ae^{u_{n+1}+u_{n}}+e^{2u_n}},
\end{equation}
\tag{S6}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_{n,\tau}&=e^{-u_n}\frac{R(e^{u_{n+1}},e^{u_n},e^{u_{n-1}})-R_1(e^{u_{n+1}},e^{u_n})^{1/2}R_1(e^{u_{n-1}},e^{u_n})^{1/2}}{e^{u_{n+1}}-e^{u_{n-1}}},\\ &R(u,v,w)=v^2\pm a(u+w)+uw,\qquad R_1(v,u)=R(v,u,w). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{23}
$$
Уравнения с разными знаками связаны преобразованием $\tilde{u}_{n}=u_{n}+In\pi$, которое не изменяет уравнение (9). 2. При $b_1=b_2=0$ допускается еще одно дополнительное уравнение
$$
\begin{equation}
u_{n+1,x}=\pm u_{n,x}+a_1e^{(\pm u_{n}+u_{n+1})/2}+a_2 e^{-(\pm u_{n}+u_{n+1})/2},
\end{equation}
\tag{S7}
$$
$$
\begin{equation}
u_{n,\tau}=\frac{e^{u_{n+1}/2}-e^{u_{n-1}/2}}{e^{u_{n+1}/2}+e^{u_{n-1}/2}}.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Уравнения с разными знаками связаны заменой $\tilde{u}_n=(-1)^nu_n$, $a_1\leftrightarrow a_2$. $\bullet$ Для уравнения (10) полудискретное гиперболическое уравнение имеет вид
$$
\begin{equation}
\operatorname{arsh} u_{n+1,x}-a \operatorname{arsh} u_{n,x}=g(u_{n+1}+bu_{n}),
\end{equation}
\tag{S8}
$$
где параметры $a,b$ и функция $g(x)$ определяются из условий
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, a=\pm1,\qquad b=\pm1,\qquad b_1(a+1)=0,\\ g(x)=\ln(ab)+ \ln\frac{(y(x)+b_1+c)^2+2c(b_2-b_1)}{(y(x)+b_1-c)^2+2c(b_2+b_1)}, \\ y'=\frac{((y+b_1)^2+c(c+2b_2)-2cy)((y+b_1)^2+c(c+2b_2)+2cy)}{8c^{3/2}y}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{25}
$$
Высшая симметрия в дискретном направлении имеет вид
$$
\begin{equation}
u_{n,\tau}=h_1+\frac{h_2(1-b)-2ah_1(1+b)}{2y(u_{n+1}+bu_n)y^{-b}(u_n+bu_{n-1})-a(b+1)-a(1-b)(b_1^2+4b_2c+c^2)}.
\end{equation}
\tag{26}
$$
В зависимости от $a,b$ она имеет следующие представления. 1. При $a=1$, $b=1$ имеем $b_1=0$ и получаем уравнение (V9) из списка работы [2], так как уравнение на $y(x)$ имеет только четные степени неизвестной функции:
$$
\begin{equation}
u_{n,\tau}=h_1\frac{y(u_{n+1}+u_{n})-y(u_{n}+u_{n-1})}{y(u_{n+1}+u_{n})+y(u_{n}+u_{n-1})}.
\end{equation}
\tag{27}
$$
2. При $a=-1$, $b=1$ получаем уравнение (V10) из списка работы [2]:
$$
\begin{equation}
u_{n,\tau}=h_1\frac{y(u_{n+1}+u_{n})+y(u_{n}+u_{n-1})}{y(u_{n+1}+u_{n})-y(u_{n}+u_{n-1})}.
\end{equation}
\tag{28}
$$
3. При $a=\pm 1$, $b=-1$ получаем уравнение (V11) из списка работы [2]:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_{n,\tau}&=h_1+\frac{ah_2}{2(b_1^2+2b_2c+c^2)}\frac{(y_1(u_{n+1}-u_n)+1)(y_1(u_n-u_{n-1})+1)}{y_1(u_{n+1}-u_{n})+y_1(u_{n}-u_{n-1})},\\ y&=\frac{y_1-1}{y_1+1}\sqrt{-a(b_1^2+2b_2c+c^2)},\\ y_1^\prime&=(a+1)\frac{c(y_1^2+1)^2+8b_2y_1^2}{8c^{1/2}(1-y_1^2)}+(a-1)\times{}\\ &\qquad\times \frac{b_1^2(y_1^4+1)+b_1(y_1^4-1)\sqrt{b_1^2+2b_2c+c^2}+cb_2(y_1^2+1)^2+2c^2y_1^2}{4c^{3/2}(1-y_1^2)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{29}
$$
$\bullet$ Для уравнения Кричевера–Новикова (11) получаем полудискретное уравнение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_{n+1,x}u_{n,x}={}&a_1u_{n+1}^2u_{n}^2+a_2u_{n+1}u_{n}(u_{n+1}+u_{n})+{} \notag\\ &+a_3(u_{n+1}^2+u_{n}^2)+a_5u_{n+1}u_{n}+a_6(u_{n+1}+u_{n})+a_9, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{S9}
$$
коэффициенты уравнений связаны формулами
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, b_4&=-6a_1a_3+\frac{3a_2^2}{2},\qquad b_3=-6a_1a_6-6a_2a_3+3a_2a_5,\\ b_2&=-6a_2a_9-3a_2a_6-6a_3^2+\frac{3a_5^2}{2},\\ b_1&=-6a_2a_9-6a_3a_6+3a_5a_6,\qquad b_0=-6a_3a_9+\frac{3a_6^2}{2}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{30}
$$
Уравнение (S9) найдено в работе [11]. Его высшая симметрия в $n$-направлении является известной дискретизацией уравнения Кричевера–Новикова [2]:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_{n,\tau}&=\frac{R(u_{n+1},u_{n},u_{n-1})}{u_{n+1}-u_{n-1}},\qquad R(u,v,w)=2uw(a_1v^2+a_2v+a_3)+{} \\ &\quad+(u+w)(a_2v^2+a_5v+a_6)+2a_3v^2+2a_6v+2a_9. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{31}
$$
$\bullet$ Для уравнения (12) имеются разные варианты в зависимости от функции $Q(x)$. При $Q(x)=0$ уравнение (12) совпадает с уравнением (13), которое описано ниже. При $\mathbb{Q}(x)\neq 0$ все полудискретные уравнения записываются в виде
$$
\begin{equation}
\operatorname{arsh}\frac{u_{n+1,x}}{\sqrt{Q(u_{n+1})}}-a\operatorname{arsh}\frac{u_{n,x}}{\sqrt{Q(u_{n})}}=\operatorname{arch}\frac{aA(u_{n+1},u_{n})}{\sqrt{Q(u_{n+1})}\sqrt{Q(u_{n})}},\qquad a=\pm1.
\end{equation}
\tag{S10}
$$
Почти все дискретные симметрии имеют представление
$$
\begin{equation}
u_{n,\tau}=\frac{R(u_{n-1},u_{n},u_{n+1})+\nu R(u_{n-1},u_{n},u_{n-1})^{1/2}R(u_{n+1},u_{n},u_{n+1})^{1/2}}{u_{n+1}-u_{n-1}}.
\end{equation}
\tag{32}
$$
Для таких представлений функции $A$ и $R$ являются полиномиальными. Выпишем их для пяти канонических форм полинома $Q(x)$.
$\bullet$ Уравнения (13) можно рассматривать как частный случай уравнения (12), поэтому ответ содержится в формуле (S9):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_{n,\tau}&=\frac{h_1(au_{n+1}u_n+bu_{n+1}+cu_n+d)(au_{n}u_{n-1}+bu_{n}+cu_{n-1}+d)}{a(b-c)u_{n+1}u_{n-1}+(b^2-ad)u_{n+1}-(c^2-ad)u_{n-1}+d(b-c)}+{} \\ &\quad+h_2(au_{n}^2+(b+c)u_{n}+d). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{48}
$$
Эти уравнения в переменной
$$
\begin{equation*}
v_n=\frac{2au_n-A+b+c}{2au_n+A+b+c}\biggl(\frac{A+b-c}{A-b+c}\biggr)^n,\qquad A=\sqrt{(b+c)^2-4ad},
\end{equation*}
\notag
$$
имеют наиболее простой вид:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, v_{n+1,x}v_{n,x}&=(v_{n+1}+v_{n})^2(bc-ad),\\ v_{n,\tau}&=h_1\frac{(v_{n+1}+v_{n})(v_{n}+v_{n-1})}{v_{n+1}-v_{n-1}}+h_2Av_n, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{49}
$$
а также интегрируемые по Дарбу уравнения
$$
\begin{equation}
u_{n+1,x}=u_{n,x}A(u_{n+1,0},u_{n,0}),\qquad A_y(z,y)+A(z,y)A_z(z,y)=0,
\end{equation}
\tag{S12}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, W_1&=A(u_{n+1},u_{n}),\qquad \frac{d}{dx}W_1=0,\\ W_2&=\frac{u_{n,xx}}{u_{n,x}},\qquad TW_2=W_2, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{50}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u_{n+1,x}=\frac{u_{n,x}}{(A(u_{n+1},u_{n})u_{n}+g(A(u_{n+1},u_{n})))^2},\\ A_y(z,y)+\frac{A_z(z,y)}{(A(z,y)z+g(A(z,y)))^2}=0, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{S13}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, W_1&=A(u_{n+1},u_{n}),\qquad \frac{d}{dx}W_1=0,\\ W_2&=2\frac{u_{n,xxx}}{u_{n,x}}-3\frac{u_{n,xx}^2}{u_{n,x}^2},\qquad TW_2=W_2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{51}
$$
Такие уравнения были найдены в работе [12]. $\bullet$ Для уравнения (14) ответы существуют лишь при $b_1=0$ и имеют вид
$$
\begin{equation}
\sqrt{u_{n+1,x}}\pm\sqrt{u_{n,x}}=\pm b_2\sqrt{(u_{n}-u_{n+1}+a)^2-b},
\end{equation}
\tag{S14}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u_{n,\tau}&=h_1\frac{R(u_{n-1},u_{n},u_{n+1})-\sqrt{R_1(u_{n-1},u_{n})}\sqrt{R_1(u_{n+1},u_{n})}}{u_{n+1}-u_{n-1}-2a}+h_2,\\ R(v,u,w)&=(u-v-a)(u-w+a)-b,\qquad R_1(v,u)=R(v,u,v). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{52}
$$
Константу $a$ можно убрать неавтономным преобразованием $\tilde u_n=u_n+an$.
4. Обсуждение результатовРяд примеров, полученных в предыдущем разделе, можно представить в одной из следующих форм:
$$
\begin{equation}
\frac{d}{dx}\psi(u_{n+1},u_{n})=\varphi(u_{n+1},u_{n})
\end{equation}
\tag{53}
$$
или Например, в виде (53) можно записать уравнения (S1)–(S7), а в виде (54) – уравнения (S2), (S3) при $a=0$ и уравнения (S6), (S7) при $a=\pm \sqrt{c_1c_2}$ и $a=\pm1$ соответственно. Уравнения вида (S10) также можно представить в таком виде при специальном выборе параметров (когда функция $R(v,u,v)$ является полным квадратом). Некоторые из уравнений допускают оба представления. Для уравнений вида (53) и (54) можно ввести замены переменных, обратимые на решениях. Так, для уравнения (53) можно обозначить тогда в силу (53) имеем В случаях, когда существует обратная замена
$$
\begin{equation*}
u_{n}=\tilde\psi(v_{n,x},v_{n}),\qquad u_{n+1}=\tilde\varphi(v_{n,x},v_{n}),
\end{equation*}
\notag
$$
на новую функцию $v_n$ получаем полудискретное уравнение вида (54):
$$
\begin{equation*}
\tilde\psi(v_{n+1,x},v_{n+1})= \tilde\varphi(v_{n,x},v_{n}).
\end{equation*}
\notag
$$
Видно, что аналогичным образом можно строить замены, приводящие уравнения вида (54) к уравнениям вида (53). Замены такого вида рассматривались ранее в работах [4], [13], [14]. При таких заменах высшие симметрии также пересчитываются [4]. Поэтому часть из перечисленных уравнений содержится в работе [4], в частности уравнения вида (S10) в случаях, когда функция $R(v,u,v)$ является полным квадратом. Остальные уравнения, кроме (S9), скорее всего, являются новыми, в частности уравнения (S8), (S10), (S14) в ситуациях общего положения. БлагодарностиАвтор статьи выражает благодарность анонимному рецензенту за критические замечания и ценные советы. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Gar23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|