| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Ф. М. Мухамедовabc, М. М. Рахматуллаевdc, А. М. Тухтабаевd, Р. Мамаджоновd a Department of Mathematical Sciences, College of Science, United Arab Emirates University, Abu Dhabi, United Arab Emirates b AKFA University, Ташкент, Узбекистан c Институт математики имени В. И. Романовского Национальной академии наук Узбекистана, Ташкент, Узбекистан d Наманганский государственный университет, Наманган, Узбекистан
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923080123 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеХорошо известно, что в классической (строгой) статистической механике, которая базируется на подходе, связанном с теорией меры [1], описание множества мер Гиббса для заданной модели является основным предметом исследования. Эта схема опирается на аксиоматику теории вероятностей, предложенную Колмогоровым [2]. Однако существует и другая вероятностная структура, а именно $p$-адическая вероятность, недавно появившаяся в теоретической физике [3], [4]. Такие $p$-адические вероятности естественным образом возникают в физических моделях, например в модели $p$-адической струны, предложенной Воловичем [5] (дополнительные приложения см. в [6]–[10]). Мы также отсылаем читателя к статьям [11], [12], из которых можно узнать о недавнем прогрессе в развитии этой тематики. Фактически $p$-адическая вероятность основана на одном из двух подходов: 1) переменные являются $p$-адическими, но функции принимают значения в $\mathbb{C}$; 2) как переменные, так и функции принимают $p$-адические значения. Модели $p$-адической физики, относящиеся к первому типу, и их связь с традиционной теорией вероятностей на локально компактных (в особенности вполне несвязных) группах обсуждались в [13]–[18]. Модели, относящиеся ко второму типу, являются более сложными, и в них наблюдаются нетривиальные явления. Именно со вторым типом моделей мы будем иметь дело в настоящей статье. В этом случае вероятности (по их физическому происхождению) принадлежат полю $\mathbb{Q}_p$ $p$-адических чисел [19]. Строгое изложение теории $p$-адических вероятностей можно найти в монографиях [20], [21]. Отметим, что статистическая интерпретация такого рода вероятностей была дана в работе [4]. Значительный прогресс теории $p$-адических случайных процессов [22], [23] привел к исследованию проблем фазового перехода в $p$-адических моделях статистической механики (см. также [24]). В рамках этого подхода, если в модели существуют хотя бы две $p$-адические меры Гиббса, то в ней может произойти фазовый переход. Поэтому необходимо исследовать множество таких $p$-адических мер. В настоящей статье мы изучаем обобщенные меры Гиббса для $p$-адической модели Изинга с внешним полем на дереве Кэли. В реальных условиях эта модель имеет широкое теоретическое и практическое применение во многих областях [25], [26]. Заметим, что множество $p$-адических мер Гиббса для $p$-адической модели Изинга без внешнего поля рассматривалось в работах [27]–[33]. Мы изучаем фазовый переход в модели, которая ранее не исследовалась, используя обобщенные $p$-адические меры Гиббса. Проблема существования фазового перехода в различных моделях на иерархических деревьях исследовалась с использованием техники ренормализационной группы (РГ) [26]. Этот подход в основном опирается на построение иерархической решетки, простейшие модели управляются $p$-адическими рациональными функциями [34]–[36]. В работах [31], [37]–[40] была выявлена важная связь между фазовым переходом и хаотическим поведением РГ в $p$-адических моделях Изинга и Поттса. Подчеркнем, что если ограничиться $p$-адическими мерами Гиббса для $p$-адической модели Изинга, то никаких фазовых переходов не происходит, т. е. такая мера всегда единственна [29], [41], [42]. В связи с этим недавно в работах [30], [43]–[45] для $p$-адической модели Изинга (без внешнего поля) на дереве Кэли изучались трансляционно-инвариантные обобщенные $p$-адические меры Гиббса. В работах [31], [46] было показано, что РГ имеет хаотическое поведение, и это при определенных условиях приводит к обширному множеству периодических $p$-адических мер Гиббса модели Изинга на полубесконечном дереве Кэли. Однако полученный результат не дает никакой информации об ограниченности таких мер. В настоящей статье мы изучаем $G_k^{(2)}$-периодические $p$-адические обобщенные меры Гиббса для $p$-адической модели Изинга с внешним полем на дереве Кэли второго порядка. Чтобы найти такие меры, мы ищем в явном виде 2-периодические решения функционального уравнения. Это позволяет установить ограниченность периодических мер и, следовательно, обнаружить фазовый переход. 2. Предварительные замечанияВ этом разделе мы напоминаем некоторые определения из $p$-адического анализа и вводим необходимые обозначения. 2.1. $p$-Адические числаПусть $\mathbb{Q}$ – поле рациональных чисел. Для фиксированного простого числа $p$ каждое рациональное число $x\neq 0$ может быть представлено в виде $x=p^r\frac{n}{m}$, где $r,n\in\mathbb {Z}$, $m$ – натуральное число, а $n$ и $m$ взаимно просты с числом $p$. $p$-Адическая норма числа $x$ задается выражением
$$
\begin{equation*}
|x|_p=\begin{cases} p^{-r}, &\text{если}\;\, x\neq 0,\\ 0, &\text{если}\;\, x=0. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Эта норма является неархимедовой и удовлетворяет так называемому сильному неравенству треугольника Пополнение поля $\mathbb{Q}$ по $p$-адической норме дает поле $\mathbb{Q}_p$ $p$-адических чисел. Любое $p$-адическое число $x\neq 0$ единственным образом представляется в каноническом виде
$$
\begin{equation}
x={p^{\operatorname{ord}_p x}}(x_0+x_1p+x_2p^2+\cdots),
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $\operatorname{ord}_p x\in\mathbb{Z}$, а целые числа $x_j$ удовлетворяют условиям $x_0\neq 0$, $x_j\in\{0,1,\ldots, p-1\}$ для $j\in\mathbb N$. Тогда $|x|_p={p^{-\operatorname{ord}_p x}}$. Подробные сведения о $p$-адическом анализе можно найти, например, в книгах [47], [16]. Напомним, что число $m\in\mathbb{Z}$ называется квадратичным вычетом по модулю $p$, если конгруэнтное уравнение $x^2\equiv m\,( \operatorname{mod}\, p)$ имеет решение $x\in\mathbb{Z}$. Лемма 2.1 [16]. Уравнение $x^2=a$, где имеет решение $x\in\mathbb Q_p$, если и только если выполнены следующие условия: $\operatorname{ord}_p a$ – четное число и $a_0$ – квадратичный вычет по модулю $p$ для $p\neq 2$ или $a_1=a_2=0$ для $p=2$. В работе [48] были введены упрощающие вычисления символы $O$ и $o$, а именно, для $p$-адического числа $x$ через $O[x]$ обозначается $p$-адическое число с нормой $p^{-\operatorname{ord}_p x}$, т. е. $|x|_p=|O(x)|_p$. Через $o[x]$ обозначается $p$-адическое число, норма которого строго меньше $p^{-\operatorname{ord}_p x}$, т. е. $|o(x)|_p<|x|_p$. Свойства этих символов приведены в [48]. Для каждого $a\in\mathbb{Q}_p$ и $r>0$ положим Напомним, что $\mathbb{Z}_p=\{x\in\mathbb{Q}_p\colon|x|_p\leqslant 1\}$ и $\mathbb Z_p^*=\{x\in\mathbb Q_p\colon\ |x|_p=1\}$ – это множества $p$-адических целых чисел и $p$-адических единиц.Пусть $x^{(0)}$ – неподвижная точка аналитической функции $f(x)$, т. е. $f(x^{(0)})=x^{(0)}$. Обозначим как $\operatorname{Fix}(f)$ множество всех неподвижных точек функции $f(x)$, а через $\operatorname{Per}_2(f)$ – множество всех неподвижных точек функции $f(f(x))$, которые не принадлежат $\operatorname{Fix}(f)$. Пусть $\lambda=\frac{df}{dx}(x^{(0)})$. Неподвижная точка $x^{(0)}$ называется притягивающей, если $0\leqslant|\lambda|_p<1$, нейтральной, если $|\lambda|_p=1$, и отталкивающей, если $|\lambda|_p>1$. $p$-Адическая экспонента задается как ряд который сходится для любого $x\in B_1(0)$ при $p\neq 2$ и для любого $x\in B_{1/2}(0)$ при $p=2$. Пусть
$$
\begin{equation*}
\mathcal E_p=\{x\in\mathbb{Q}\colon |x-1|_p<p^{-1/(p-1)}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Это множество есть образ $p$-адической экспоненты [47]. В дальнейшем мы будем часто использовать, не ссылаясь на литературу, следующий хорошо известный факт. Лемма 2.2 [47]. Множество $\mathcal E_p$ обладает следующими свойствами: • $\mathcal E_p$ является группой по умножению; • для любых $a,b\in\mathcal E_p$ справедливо неравенство $|a-b|_p<1$; • если $a,b\in\mathcal E_p$, то $|a+b|_p<1$ при $p=2$ и $|a+b|_p=1$ при $p>2$. 2.2. $p$-Адическая мераПусть $(X,\mathcal B)$ – измеримое пространство, $\mathcal B$ – алгебра подмножеств множества $X$. Функция $\mu\colon\mathcal B\to\mathbb{Q}_p$ называется $p$-адической мерой, если для любых $A_1,\ldots,A_n\in\mathcal B$, таких что $A_i\cap A_j=\varnothing$ при $i\neq j$,
$$
\begin{equation*}
\mu\biggl(\,\bigcup_{j=1}^{n} A_j\biggr)=\sum_{j=1}^{n}\mu(A_j).
\end{equation*}
\notag
$$
$p$-Адическая мера называется вероятностной мерой, если $\mu(X)=1$. Одним из важных свойств меры (которое было введено уже в первой теории неархимедова интегрирования Монна–Спрингера [21]) является ограниченность: $p$-адическая вероятностная мера $\mu$ называется ограниченой, если В частном случае условие ограниченности само по себе обеспечивает плодотворную теорию интегрирования (см., например, монографию [21]). Заметим, что, вообще говоря, $p$-адическая вероятностная мера не обязательно должна быть ограниченной [23], [47]. 2.3. Дерево КэлиДерево Кэли $\Gamma^k$ порядка $k\geqslant 1$ – это бесконечное дерево, т. е. граф без циклов, из каждой вершины которого выходит ровно $k+1$ ребер. Обозначим через $V$ множество вершин, а через $L$ – множество ребер дерева Кэли $\Gamma^k$. Две вершины $x$ и $y$ называются ближайшими соседями, если существует соединяющее их ребро $l\in L$, тогда мы пишем $l=\langle x,y\rangle$. Зафиксируем вершину $x_0$ дерева Кэли $\Gamma^k$ и для данной вершины $x$ обозначим через $|x|$ количество ребер в кратчайшем пути, соединяющем $x_0$ и $x$. Для двух вершин $x$ и $y$ обозначим через $d(x,y)$ количество ребер в кратчайшем пути из $x$ в $y$. Мы пишем $x\leqslant y$, если $x$ принадлежит кратчайшему пути из $x_0$ в $y$, и $x<y$, если $x\leqslant y$ и $x\neq y$. Если $x\leqslant y$ и $|y|=|x|+1$, то мы пишем $x\rightarrow y$. Назовем вершину $x_0$ корнем дерева Кэли. Введем множества
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, W_n=\{x\in V\colon|x|=n\},\qquad V_n=\{x\in V\colon|x|\leqslant n\}, \\ L_n=\{l=\langle x,y\rangle\in L\colon x,y\in V_n\}, \\ S(x)=\{y\in V\colon x\rightarrow y\},\qquad S_1(x)=\{y\in V\colon d(x,y)=1\}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Множество $S(x)$ называется множеством прямых потомков вершины $x$. Пусть $G_k$ – прямое произведение $k+1$ циклических групп второго порядка с образующими $a_1,a_2,\ldots,a_{k+1}$. Существует взаимно однозначное соответствие между множеством $V$ вершин дерева Кэли $\Gamma^k$ и группой $G_k$ [49]. Пусть $K$ – подгруппа в $G_k$, $k\geqslant 1$. Мы говорим, что функция является $K$-периодической, если $z_{yx}=z_x$ для всех $x\in G_k$ и $y\in K$. $G_k$-периодическая функция $z$ называется трансляционно-инвариантной.3. ${p}$-Адические обобщенные меры Гиббса для ${p}$-адической модели Изинга с внешним полемПусть вершинам дерева $\Gamma^k=(V,L)$ сопоставляются элементы пространства состояний $\Phi=\{-1,1\}$. Конфигурация $\sigma$ на $V$ определяется как произвольная функция $x\in V\mapsto\sigma(x)\in\Phi$; аналогичным образом определяются конфигурации $\sigma_n$ и $\omega_{[n]}$ на $V_n$ и $W_n$ соответственно. Множество всех конфигураций на $V$ (на $V_n$, $W_n$) совпадает с $\Omega=\Phi^V$ (соответственно с $\Omega_{V_n}=\Phi^{V_n}$, $ \Omega_{W_n}=\Phi^{W_n}$). Видно, что $\Omega_{V_n}=\Omega_{V_{n-1}}\times\Omega_{W_n}$. Используя это равенство, определим для конфигураций $\sigma_{n-1}\in\Omega_{V_{n-1}}$ и $\omega_{[n]}\in\Omega_{W_n}$ их конкатенацию как
$$
\begin{equation*}
(\sigma_{n-1}\vee\omega_{[n]})(x)=\begin{cases} \sigma_{n-1}(x), &\text{если}\;\, x\in V_{n-1}, \\ \omega_{[n]}(x), &\text{если}\;\, x\in W_n. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Очевидно, что $\sigma_{n-1}\vee\omega_{[n]}\in\Omega_{V_n}$. Гамильтониан $p$-адической модели Изинга с внешним полем задается как
$$
\begin{equation}
H_n(\sigma)=J\sum_{\langle x,y\rangle\in L}\sigma(x)\sigma(y)+\alpha\sum_{x\in V}\sigma(x),\qquad\sigma\in\Omega_{V_n},
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
где постоянные $J,\alpha\in B_1(0)$ при $p\geqslant 3$ и $J,\alpha\in B_{1/2}(0)$ при $p=2$. Построим $p$-адические обобщенные меры Гиббса для модели (3.1) на $\Gamma^k$. Пусть
$$
\begin{equation*}
h\colon x\in V\setminus\{x^{(0 )}\}\to h_x\in \mathbb{Q}_p\backslash\{0\}
\end{equation*}
\notag
$$
есть некоторая функция. Рассмотрим $p$-адическую вероятностную меру $\mu^{(n)}_h$ на $\Omega_{V_n}$, определяемую формулой
$$
\begin{equation}
\mu^{(n)}_h(\sigma)=\frac{1}{Z_n^{(h)}}\exp\{H_n(\sigma)\}\prod_{x\in W_n}h_x^{\sigma(x)}.
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Здесь $Z_n^{(h)}$ – нормировочный множитель или статистическая сумма,
$$
\begin{equation}
Z_n^{(h)}=\sum_{\sigma\in\Omega_{V_n}}\exp\{H_n(\sigma)\}\prod_{x\in W_n}h_x^{\sigma(x)}.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Говорят, что $p$-адическое вероятностное распределение $\mu_h^{(n)}$ является согласованным, если для всех $n\geqslant 1$ и любых ${\sigma_{n-1}}\in\Omega_{V_{n-1}}$
$$
\begin{equation}
\sum_{\varphi \in {\Omega_{{W_n}}}} {\mu _h^{(n)}({\sigma_{n-1}} \vee \varphi)=\mu_h^{(n-1)}({\sigma_{n-1}})}.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
В дальнейшем мы всегда рассматриваем измеримое пространство $(\Omega,\mathcal B)$, где $\mathcal B$ – алгебра подмножеств, образованная всеми цилиндрами с конечными основаниями. В этом случае в силу $p$-адического аналога теоремы Колмогорова [24] существует единственная мера $\mu_h$ на $(\Omega,\mathcal B)$, такая что $\mu_h(\{\sigma|_{V_n}\equiv\sigma_n\})=\mu_h^{(n)}(\sigma_n)$ для всех $n$ и любых $\sigma_n\in\Omega_{V_n}$. Предельная $p$-адическая мера, порожденная (3.2), называется $p$-адической обобщенной мерой Гиббса. Если $h_x\in\mathcal E_p$ для всех $x\in V$, то соответствующая мера называется $p$-адической мерой Гиббса [28]. Отметим, что все $p$-адические меры Гиббса являются $p$-адическими обобщенными мерами Гиббса, но обратное неверно. Подчеркнем также, что такая обобщенная мера Гиббса, вообще говоря, конечно-аддитивна. При этом семейство $\sigma$-аддитивных $p$-адических мер, как правило, довольно скудное (такие меры представляют собой суммы $\delta$-функций) [21]. Для данного гамильтониана $H$ обозначим множество всех $p$-адических обобщенных мер Гиббса, ассоциированных с функциями $h=\{h_x,\,x\in V\}$, через $G\mathcal G(H)$. Если существуют по крайней мере две различные $p$-адические обобщенные меры Гиббса $\mu,\nu\in G\mathcal G(H)$, такие что $\mu$ ограничена, а $\nu$ неограничена, то мы говорим, что в нашей модели происходит фазовый переход. Более того, если существует последовательность множеств $\{A_n\}$ такая, что $A_n\in\Omega_{V_n}$ и при этом $|\mu(A_n)|_p\to 0$, $|\nu(A_n)|_p\to\infty$ при $n\to\infty$, то говорят, что происходит сильный фазовый переход. Следующее утверждение [29] обеспечивает условие совместности для меры (3.2). Теорема 3.1. Последовательность мер $\{\mu_h^{(n)}(\sigma_n)\}$ удовлетворяет условию совместности (3.4), если и только если для любого $x\in V$ выполнено следующее равенство: где Замечание. В случае $\theta\in\mathcal E_p$ и $\eta=1$ предельные свойства рекуррентного соотношения (3.5) были исследованы в [41], [24]. 4. Трансляционно-инвариантная обобщенная мера Гиббса ${p}$-адической модели Изинга с внешним полемИсследуем трансляционно-инвариантные решения уравнения (3.5). Требуется решить следующее уравнение:
$$
\begin{equation}
h^*=\eta^{k+1}\biggl(\frac{\theta h^*+1}{h^*+\theta}\biggr)^{\!k}.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Введем обозначение
$$
\begin{equation}
f_{\eta,\theta,k}(u)=\eta^{k+1}\biggl(\frac{\theta u+1}{u+\theta}\biggr)^{\!k}.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Изучим некоторые свойства неподвижных точек функции $f_{\eta,\theta,k}$. Теорема 4.1. Пусть $p\geqslant 3$, функция $f_{\eta,\theta,k}$ задана в (4.2) и $h^*$ – ее произвольная неподвижная точка. Тогда имеют место следующие свойства неподвижной точки: 1) $f_{\eta,\theta,k}(\mathcal E_p)\subset\mathcal E_p$, и существует единственная неподвижная точка $h^*\in\mathcal E_p$; 2) $\operatorname{Fix}(f_{\eta,\theta,k})\subset\mathbb Z_p^*$; 3) если $|k|_p<|\theta^2-1|_p$ или $h^*\in\mathcal E_p$, то неподвижная точка $h^*$ притягивающая; 4) если $|\theta^2-1|_p<|k|_p<1$ или $|k|_p=1$, то $h^*\notin\mathcal E_p$ и точка $h^*$ отталкивающая; 5) если $|\theta^2-1|_p=|k|_p$, то неподвижная точка $h^*$ является нейтральной. Доказательство. 1. Доказательство этого утверждения приведено в [29].
2. Возьмем произвольное число $x\in\mathbb Q_p$, такое что $|x|_p\neq 1$. Сначала предположим, что $|x|_p<1$. Тогда вследствие сильного неравенства треугольника получаем, что $|\theta x+1|_p=1$ и $|x+\theta|_p=1$. Следовательно, $|f_{\eta,\theta,k}(x)|_p=1$, откуда следует, что $f_{\eta,\theta,k}(x)\neq x$. Теперь предположим, что $|x|_p>1$. Снова используя сильное неравенство треугольника, мы получаем, что $|x+\theta|_p=|x|_p$ и $|\theta x+1|_p=|x|_p$. Отсюда $|f_{\eta,\theta,k}(x)|_p=1<|x|_p$. Следовательно, $f_{\eta,\theta,k}(x)\neq x$. Таким образом, мы показали, что $\operatorname{Fix}(f_{\eta,\theta,k})\cap(\mathbb Q_p\setminus\mathbb Z_p^*)=\varnothing$. Это означает, что
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Fix}(f_{\eta,\theta,k}^{})\subset\mathbb Z_p^*.
\end{equation*}
\notag
$$
3–5. Рассмотрим производную функции $f_{\eta,\theta,k}$ в точке $h^*$:
$$
\begin{equation*}
f'_{\eta,\theta,k}(h^*)=k\eta^{k+1}\biggl(\frac{\theta h^*+1}{h^*+\theta}\biggr)^{\!k}\frac{\theta^2-1}{(h^*+\theta)(\theta h^*+1)},
\end{equation*}
\notag
$$
иначе говоря,
$$
\begin{equation}
f'_{\eta,\theta,k}(h^*)=k\eta^{k+1} h^*\frac{\theta^2-1}{(h^*+\theta)(\theta h^*+1)}.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Используя уравнение (4.1) и включение $\operatorname{Fix}(f_{\eta,\theta,k})\subset\mathbb Z_p^*$, имеем $|h^*+\theta|_p=|\theta h^*+1|_p.$ Формула (4.3) дает
$$
\begin{equation}
|f'_{\eta,\theta,k}(h^*)|_p=|k|_p\frac{|\theta^2-1|_p}{|h^*+\theta|_p^2}.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Очевидно, что $|h^*+\theta|_p\leqslant 1$.
Пусть $|h^*+\theta|_p=1$. Из сильного неравенства треугольника получаем
$$
\begin{equation*}
|(h^*+\theta)-(\theta h^*+1)|_p=|\theta-1|_p|h-1|_p<1.
\end{equation*}
\notag
$$
Это означает, что $h^*+\theta\equiv\theta h^*+1\,( \operatorname{mod}\, p)$, т. е. $\frac{\theta h^*+1}{h^*+\theta}\in\mathcal E_p$. Следовательно,
$$
\begin{equation*}
h^*=\eta^{k+1}\biggl(\frac{\theta h^*+1}{h^*+\theta}\biggr)^{\!k}\in\mathcal E_p.
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае неподвижная точка $h^*$ единственна (см. п. 1). В силу соотношения (4.4) получаем, что $h^*$ – притягивающая неподвижная точка.
Пусть $0<|h^*+\theta|_p<1$. Перепишем (4.1) как
$$
\begin{equation}
h^*-\eta^{k+1}\biggl(\theta+\frac{1-\theta^2}{h^*+\theta}\biggr)^{\!k}=0
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
и рассмотрим два случая.
Пусть $0<|h^*+\theta|_p<|\theta^2-1|_p<1$. Используя формулу (4.5), получаем или $\theta=1$, что невозможно. Пусть теперь $0<|\theta^2-1|_p<|h^*+\theta|_p<1$. Тогда формула (4.5) дает $h^*-\eta^{k+1}(\theta+o[1])^k=0$ или $h^*\in\mathcal E_p$. Поэтому $|h^*+\theta|_p\,{=}\,1$, что противоречит сделанному предположению. В обоих рассмотренных случаях получаем, что $|h^*+\theta|_p=|\theta^2-1|<1$. С учетом (4.4) имеем равенство
$$
\begin{equation}
|f'_{\eta,\theta,k}(h^*)|_p=\frac{|k|_p}{|\theta^2-1|_p},
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
из которого вытекают следующие соотношения:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{3} &|f'_{\eta,\theta,k}(h^*)|_p>1,&\quad &\text{если}\;\;|k|_p=1, \\ &|f'_{\eta,\theta,k}(h^*)|_p=1,&\quad &\text{если}\;\;|\theta^2-1|_p=|k|_p; \\ &|f'_{\eta,\theta,k}(h^*)|_p<1,&\quad &\text{если}\;\;|k|_p<|\theta^2-1|_p; \\ &|f'_{\eta,\theta,k}(h^*)|_p>1,&\quad &\text{если}\;\;|\theta^2-1|_p<|k|_p<1. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда немедленно получаем утверждения теоремы. Следствие 4.1. Пусть $p\geqslant 3$, функция $f_{\eta,\theta,k}$ задана в (4.2) и $h^*$ – ее произвольная неподвижная точка. Тогда имеют место следующие свойства: 1) $|h^*|_p=1$; 2) $h^*\in\mathcal E_p$, если и только если $|h^*+\theta|_p=1$; 3) $|h^*+\theta|_p=|\theta h^*+1|_p$; 4) если $h^*\notin\mathcal E_p$, то $|h^*+\theta|_p=|\theta^2-1|_p$. Теорема 4.2 [29]. Пусть $p\geqslant 3$. Тогда для модели Изинга с внешним полем существует единственная трансляционно-инвариантная ограниченная $p$-адическая мера Гиббса. В силу последней теоремы в дальнейшем будем искать обобщенные $p$-адические меры Гиббса. Для простоты ограничимся случаем $k=2$. В этом случае уравнение (4.1) имеет вид
$$
\begin{equation}
h^*=\eta^3\biggl(\frac{h^*\theta+1}{h^*+\theta}\biggr)^{\!2}
\end{equation}
\tag{4.7}
$$
или, эквивалентно,
$$
\begin{equation}
(h^*)^3+(2\theta-\theta^2 \eta^3)(h^*)^2+(\theta^2-2\theta \eta^3)h^*-\eta^3=0.
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
Положим тогда уравнение (4.8) сведется к где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, a&=-\frac{1}{3}(2\theta-\theta^2\eta^3)^2+\theta^2-2\theta \eta^3, \\ b&=-\frac{2}{27}(2\theta-\theta^2 \eta^3)^3+\frac{1}{3}(\theta^2-2\theta \eta^3)(2\theta-\theta^2 \eta^3)+\eta^3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это уравнение подробно изучалось в работе [50]. Прежде чем формулировать соответствующий результат, введем обозначение
$$
\begin{equation*}
D=-4(a|a|_p)^3-27(b|b|_p)^2\neq 0,\qquad D=\frac{D^*}{|D|_p}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $D^*\in\mathbb{Z}^*_p$, $D^*=d_0+d_1p+\cdots{}$. Теорема 4.3 [50]. Пусть простое число $p>3$. Обозначим как $N$ число решений уравнения (4.9) в $\mathbb{Q}_p$. Тогда Проверим, как работает эта теорема в нашем случае. В силу того, что $p>3$, $\theta,\eta\in\mathcal E_p$, получаем $|a|_p=|b|_p=1$, при этом
$$
\begin{equation*}
D=\eta^3(\theta-1)^2(\theta+1)^2(-4\theta^3\eta^6+\theta^4\eta^3+18\theta^2\eta^3-4\theta^3-27\eta^3),\qquad |D|_p=|\theta-1|_p^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
0<|D|_p <1,\qquad 2|\operatorname{ord}_p|D|_p,\qquad {D^*=D|D|_p=|\theta-1|_p^2(\theta-1)^2(-64+o[1])}.
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что $|\theta-1|_p=p^{-s}$, т. е. $\theta=1+\theta_sp^s+\theta_{s+1}p^{s+1}+\cdots{}$, $\theta_s\neq 0$. Тогда $D^* =-64\theta_s^2+0[1]$. Это означает, что $d_{0}=-64\theta_s^2$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, d_{0}^{(p-1)/2}&\equiv(-64\theta_s^2)^{(p-1)/2}\,( \operatorname{mod}\, p)\equiv (-1)^{(p-1)/2}(8\theta_s)^{p-1}\,( \operatorname{mod}\, p)\equiv{} \\ &\equiv(-1)^{(p-1)/2}\,( \operatorname{mod}\, p). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда мы заключаем, что в теореме 4.3 выполнено только одно из следующих условий:
$$
\begin{equation}
|a|_p^3=|b|_p^2,\qquad 0<|D|_p<1,\qquad 2|\operatorname{ord}_pD,\qquad d_0^{\,(p-1)/2}\equiv 1\,( \operatorname{mod}\, p)
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
или
$$
\begin{equation}
|a|_p^3=|b|_p^2,\qquad 0<|D|_p<1,\qquad 2|\operatorname{ord}_pD,\qquad d_0^{\,(p-1)/2}\not\equiv 1\,( \operatorname{mod}\, p).
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Любое простое $p\geqslant 3$ можно представить в виде $p\equiv 1\,( \operatorname{mod}\, 4)$ или $p\equiv 3\,( \operatorname{mod}\, 4)$. Используя соотношения (4.11), (4.12) вместе с теоремой 4.3, получаем следующий результат. Теорема 4.4. Пусть $p>3$. Пусть $N_1$ – число трансляционно-инвариантных обобщенных мер Гиббса для $p$-адической модели Изинга с внешним полем на дереве Кэли второго порядка. Тогда Здесь $|A|$ – мощность множества $A$. В работе [46] мы исследовали хаотическое поведение функции $f_{\theta,\eta,2}$. Из теоремы 4.4 следует, что если $p\equiv 1\,( \operatorname{mod}\, 4)$, то функция $f_{\theta,\eta,2}$ имеет три неподвижные точки $x_0$, $x_1$, $x_2$, причем $x_0$ принадлежит множеству $\mathcal E_p$ (см. теорему 4.1) и является притягивающей. Остальные неподвижные точки отталкивающие. Введем обозначение Теперь, применяя теорему 5.7 из работы [46], получаем следующий результат. Теорема 4.5. Предположим, что $|\eta-1|_p<|\theta-1|_p$ и $p\equiv 1\,( \operatorname{mod}\, 4)$. Пусть функция $f_{\theta,\eta,2}\colon X\rightarrow\mathbb{Q}_p$ задана в (4.2). Тогда динамика $(J_{f_{\theta,\eta,2}},f_{\theta,\eta,2},|\,{\cdot}\,|_p)$, где $J_{f_{\theta,\eta,2}}$ – множество Жюлиа функции $f_{\theta,\eta,2}$, изометрически сопряжена сдвиговой динамике $(\{1,2\}^{\mathbb{N}},\sigma)$, где $\sigma(x_n)=x_{n+1}$ и Из этой теоремы следует, что для каждого $n\in\mathbb{N}$ функция $f_{\theta,\eta,2}$ имеет $n$-периодические точки, при этом если $|\eta-1|_p<|\theta-1|_p$, то множество всех таких точек плотно в $J_{f_{\theta,\eta,2}}$. Более того, из теоремы следует, что множество $p$-адических обобщенных мер Гиббса для $p$-адической модели Изинга с внешним полем чрезвычайно обширно. Однако было бы интересно узнать, есть ли у функции периодические точки, когда указанное условие не выполняется. В следующем разделе мы найдем 2-периодические точки функции (4.2). 5. $G_{{k}}^{(2)}$-периодическая обобщенная мера Гиббса ${p}$-адической модели Изинга с внешним полемВ этом разделе мы ограничимся деревом Кэли второго порядка, т. е. рассмотрим случай $k=2$, и построим $G_2^{(2)}$-периодические обобщенные меры Гиббса для $p$-адической модели Изинга с внешним полем. Пусть $G_2^{(2)}$ – подгруппа в $G_2$, состоящая из всех слов четной длины,
$$
\begin{equation*}
G_2^{(2)}=\{{x\in {G_2}\colon |x|-\text{ четное число}}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Фактически $G_2^{(2)}$ – нормальная подгруппа индекса два [49], т. е.
$$
\begin{equation*}
G_2/G_2^{(2)}=\{G_2^{(2)},\,G_2\backslash G_2^{(2)}\}.
\end{equation*}
\notag
$$
Будем искать $G_2^{(2)}$-периодические решения уравнения (3.5),
$$
\begin{equation}
\hat h_1=f_{\theta,\eta,2}(h_2),\qquad \hat h_2=f_{\theta,\eta,2}(h_1),
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
где, как и ранее,
$$
\begin{equation}
f_{\theta,\eta,2}(h)=\eta^3\biggl(\frac{\theta h+1}{h+\theta}\biggr)^{\!2}.
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Чтобы найти $G_2^{(2)}$-периодические меры, не являющиеся трансляционно-инвариантными, нам необходимо решить следующее уравнение:
$$
\begin{equation}
\frac{f_{\theta,\eta,2}(f_{\theta,\eta,2}(h))-h}{f_{\theta,\eta,2}(h)-h}=0.
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
Это уравнение вместе с (4.8) дает
$$
\begin{equation}
\theta^2(\theta\eta^3+1)^2h^2+(2\theta^3\eta^6+(\theta^4+4\theta^2-1)\eta^3+2\theta^3)h+\theta^2(\eta^3+\theta)^2=0.
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
Ясно, что решение уравнения (5.4) имеет вид
$$
\begin{equation}
h_{1,2}=\frac{-(2\theta^3\eta^6+(\theta^4+4\theta^2-1)\eta^3+2\theta^3)\pm\eta(\theta^2-1)\sqrt{\Delta(\theta, \eta)}}{2\theta^2(\theta\eta^3+1)^2},
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
где $\Delta(\theta, \eta)=-\eta(4\theta^3\eta^6+3\theta^4\eta^3+6\theta^2\eta^3+4\theta^3-\eta^3)$. Очевидно, что решение $h_{1,2}$ существует в $\mathbb Q_p$, если и только если $\sqrt{\Delta(\theta,\eta)}$ существует в $\mathbb Q_p$. Теорема 5.1. Пусть $N_2$ – число $G_k^{(2)}$-периодических обобщенных мер Гиббса, не являющихся трансляционно-инвариантными, для $p$-адической модели Изинга с внешним полем. Тогда Доказательство. Поскольку $\theta,\eta\in\mathcal E_p$, мы можем записать $\Delta(\theta, \eta)=-16+o[1]$. В силу леммы 2.1 получаем, что $\sqrt{\Delta(\theta, \eta)}$ существует в $\mathbb Q_p$, если и только если конгруэнтное уравнение $x^2\equiv{-1}\,( \operatorname{mod}\, p)$ имеет решение $x\in\mathbb{Z}$. Это уравнение разрешимо, если и только если $p\equiv1\,( \operatorname{mod}\, 4)$ (см. [51]).
6. Ограниченность ${p}$-адических обобщенных мер Гиббса и фазовые переходыВ этом разделе мы изучаем ограниченность обобщенных $p$-адических мер Гиббса. Нам понадобится следующий вспомогательный факт. Лемма 6.1 [52]. Пусть $h$ – решение уравнения (3.5), а $\mu_h$ – соответствующая $p$-адическая обобщенная мера Гиббса для модели Изинга (3.1). Тогда статистическая сумма удовлетворяет уравнению где и $a_h(x)\in\mathbb Q_p$ удовлетворяет равенству Используя эту лемму, получаем следующий результат. Лемма 6.2. Пусть $h^*$ – трансляционно-инвариантное решение уравнения (3.5). Тогда Доказательство. Как следствие леммы 6.1 с учетом (4.1) получаем
$$
\begin{equation*}
|a|_p=\frac{1}{|h^*|_p^k}\,|\theta h^*+1|_p^k\,|\theta+h^*|_p^k,\qquad |A_{h^*,n-1}|_p=\frac{1}{|h^*|_p^{k^n}}\,|\theta h^*+1|_p^{k^n}|\theta+h^*|_p^{k^n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |Z_n^{(h^*)}|_p&=\prod_{i=1}^{n-1}|A_{h^*,i}|_p\,|Z_1^{(h^*)}|_p= \\ &=\frac{1}{|h^*|_p^{\frac{k^{n+1}-k^2}{k-1}}}\,|\theta h^*+1|_p^{\frac{k^{n+1}-k^2}{k-1}}\, |\theta+h^*|_p^{\frac{k^{n+1}-k^2}{k-1}}|Z_1^{(h^*)}|_p= \\ &=\frac{1}{|h^*|_p^{\frac{k(k^{n}-k-1)+1}{k-1}}}\,| h^*+\theta|_p^{\frac{2(k^{n+1}-k^2)}{k-1}}\,|Z_1^{(h^*)}|_p. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым лемма доказана. Теорема 6.1. Пусть $p\geqslant 3$ и $h^*$ – трансляционно-инвариантное решение уравнения (3.5). Соответствующая трансляционно-инвариантная обобщенная $p$-адическая мера Гиббса $\mu_{h^*}$ ограничена тогда и только тогда, когда $h^*\in\mathcal E_p$. Доказательство. Пусть $h^*\in\mathcal E_p$. Тогда по теореме 4.2 мера $\mu_{h^*}$ ограничена.
Пусть $h^*\notin\mathcal E_p$. Используя выражение (3.3) и следствие 4.1, имеем
$$
\begin{equation*}
|Z_1^{(h^*)}|_p=|\eta^{k+1}(\theta h^*+1)^{k+1}+(h^*+\theta)^{k+1}|_p<1.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, используя формулу (3.2) вместе с (6.4) и следствие 4.1, находим, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\mu^{(n)}_{h^*}(\sigma)|_p&=\bigg|\frac{1}{Z_n^{(h^*)}}\exp\{H_n(\sigma)\}\prod_{x\in W_n}(h^*_x)^{\sigma(x)}\bigg|_p= \\ &=|Z_n^{(h^*)}|_p^{-1}= |h^*|_p^{\frac{k(k^{n}-k-1)+1}{k-1}}\,| h^*+\theta|_p^{-\frac{2(k^{n+1}-k^2)}{k-1}}|Z_1^{(h^*)}|_p^{-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это дает что завершает доказательство. Лемма 6.3. Пусть $h_{1,2}$ – две периодические точки функции $f_{\theta,\eta,2}$. Тогда имеют место следующие утверждения. 1. Если $n$ – нечетное число, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |Z_n^{(h_1,h_2)}|_p&=\frac{1}{|h_1|_p^{\frac{k^2(k^{n-1}-2)+1}{k^2-1}}}\, \frac{1}{|h_2|_p^{\frac{k^2(k^{n}-k-1)+1}{k^2-1}}}\times \notag\\ &\quad\times|\theta+h_1|_p^{\frac{2(k^{n+1}-k^2)}{k^2-1}}\, |\theta+h_2|_p^{\frac{2(k^{n+2}-k^3)}{k^2-1}}\,|Z_1^{(h_1, h_2)}|_p. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.5}
$$
2. Если $n$ – четное число, то
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |Z_n^{(h_1,h_2)}|_p&=\frac{1}{|h_1|_p^{\frac{k^2(k^{n}-2)+1}{k^2-1}}}\, \frac{1}{|h_2|_p^{\frac{k^2(k^{n-1}-k-1)+1}{k^2-1}}}\times{} \notag\\ &\quad\times|\theta+h_1|_p^{\frac{2(k^{n+2}-k^2)}{k^2-1}}\, |\theta+h_2|_p^{\frac{2(k^{n+1}-k^3)}{k^2-1}}\,|Z_1^{(h_1, h_2)}|_p. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6.6}
$$
Доказательство. Пусть $h_{1,2}$ – $G_2^{(2)}$-периодические решения уравнения (5.1), не являющиеся трансляционно-инвариантными. Введем функцию
$$
\begin{equation*}
h_x=\begin{cases} h_1, &\text{если}\;\, |x|-\text{нечетное число}, \\ h_2, &\text{если}\;\, |x|-\text{четное число}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
Это означает, что
$$
\begin{equation*}
h_x=\begin{cases} h_1, & \text{если}\;\, n- \text{нечетное число}, \\ h_2, &\text{если}\;\, n-\text{четное число}. \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
По лемме 6.1 получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |a|_p&=\begin{cases} \dfrac{1}{|h_2|_p^k}\,|\theta h_2+1|_p^k\;|\theta+h_2|_p^k, & \text{если}\;\, n-\text{нечетное число}, \\ \dfrac{1}{|h_1|_p^k}\,|\theta h_1+1|_p^k\;|\theta+h_1|_p^k, &\text{если}\;\, n-\text{четное число}, \end{cases} \\ |A_{(h_1, h_2),n-1}|_p&=\begin{cases} \dfrac{1}{|h_2|_p^{k^n}}\,|\theta h_2+1|_p^{k^n}\,|\theta+h_2|_p^{k^n}, & \text{если}\;\, n-\text{нечетное число}, \\ \dfrac{1}{|h_1|_p^{k^n}}\,|\theta h_1+1|_p^{k^n}\,|\theta+h_1|_p^{k^n}, &\text{если}\;\, n-\text{четное число}. \end{cases} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что число $n$ нечетное. Тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |Z_n^{(h_1, h_2)}|_p&=\prod_{i=1}^{n-1}|A_{h,i}|_p\,|Z_1^{(h_1, h_2)}|_p= \\ &=\frac{1}{|h_1|_p^{\frac{k^{n+1}-k^2}{k^2-1}}}\,\frac{1}{|h_2|_p^{\frac{k^{n+2}-k^3}{k^2-1}}}\, |\theta h_1+1|_p^{\frac{k^{n+1}-k^2}{k^2-1}}\,|\theta h_2+1|_p^{\frac{k^{n+2}-k^3}{k^2-1}}\times{} \\ &\quad \times|\theta+h_1|_p^{\frac{k^{n+1}-k^2}{k^2-1}}\,|\theta+h_2|_p^{\frac{k^{n+2}-k^3}{k^2-1}}\,|Z_1^{(h_1, h_2)}|_p. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно,
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |Z_n^{(h_1, h_2)}|_p&= \frac{1}{|h_1|_p^{\frac{k^2(k^{n-1}-2)+1}{k^2-1}}}\, \frac{1}{|h_2|_p^{\frac{k^2(k^{n}-k-1)+1}{k^2-1}}}\times{} \\ &\quad\times|\theta+h_1|_p^{\frac{2(k^{n+1}-k^2)}{k^2-1}}\, |\theta+h_2|_p^{\frac{2(k^{n+2}-k^3)}{k^2-1}}\,|Z_1^{(h_1, h_2)}|_p. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что число $n$ четное. Используя те же рассуждения, получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |Z_n^{(h_1,h_2)}|_p&= \frac{1}{|h_1|_p^{\frac{k^2(k^{n}-2)+1}{k^2-1}}}\, \frac{1}{|h_2|_p^{\frac{k^2(k^{n-1}-k-1)+1}{k^2-1}}}\times{} \\ &\quad\times|\theta+h_1|_p^{\frac{2(k^{n+2}-k^2)}{k^2-1}}\, |\theta+h_2|_p^{\frac{2(k^{n+1}-k^3)}{k^2-1}}\,|Z_1^{(h_1, h_2)}|_p. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Это завершает доказательство. Установленный результат позволяет доказать ограниченность периодических мер Гиббса. Теорема 6.2. Предположим, что $p\equiv 1\,( \operatorname{mod}\, 4)$. Пусть $h_{1,2}$ – 2-периодические точки функции $f_{\theta,\eta,2}$. Тогда соответствующая обобщенная $p$-адическая мера Гиббса $\mu_{h_{1,2}}$ неограничена. Доказательство. Поскольку $h_{1,2}$ – 2-периодические решения уравнения (3.5), они имеют вид (5.5).
Учтем, что $p>3$ и $\theta,\eta\in\mathcal E_p$, тогда мы можем записать равенства $\eta=1+o[1]$, $\theta=1+o[1]$, подставляя которые в (5.5), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |h_{1,2}|_p&=\bigg|\frac{-8+o[1]}{2(4+o[1])}\bigg|_p=1, \\ |h_{1,2}+\theta|_p&=\bigg|\frac{-8+o[1]}{2(4+o[1])}+(1+o[1])\bigg|_p<1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, $h_{1,2}=-1+o[1]$. В силу того, что $p\equiv 1\,( \operatorname{mod}\, 4)$ и $\eta\in\mathcal E_p$, имеем $\sqrt{\eta},\sqrt{h_1},\sqrt{h_2}\in\mathbb Q_p$. Отсюда, используя соотношение
$$
\begin{equation*}
Z_1^{(h_1,h_2)}=h_1^{-3/2}(\eta^3h_1^{3/2}+1)(h_1+\theta)^3,
\end{equation*}
\notag
$$
находим, что $|Z_1^{(h_1, h_2)}|_p<1$. По лемме 6.3 (как для четного, так и для нечетного $n$) получаем, что Из соотношений (3.2), (6.7) следует, что Теорема доказана. Теоремы 6.1 и 6.2 влекут следующий результат. Теорема 6.3. Если $p\equiv 1\,( \operatorname{mod}\, 4)$ то в модели Изинга с внешним полем происходит фазовый переход. 7. ЗаключениеТрансляционно-инвариантные обобщенные $p$-адические меры Гиббса для $p$-адической модели Изинга (без внешнего поля) на дереве Кэли были исследованы в [30], [44], [45]. При этом было установлено хаотическое поведение ренормированной динамической системы, что при определенных условиях привело к обширному множеству периодических $p$-адических мер Гиббса для указанной модели. Однако этот результат не дает никакой информации об ограниченности $p$-адических мер. В настоящей работе мы рассмотрели более общую модель, а именно $p$-адическую модель Изинга с внешним полем на дереве Кэли второго порядка. Если $|\eta-1|_p<|\theta-1|_p$ и $p\equiv 1\,( \operatorname{mod}\, 4)$, то эта модель также проявляет хаотическое поведение. Оказалось, что для $p\equiv 1\,( \operatorname{mod}\, 4)$ можно установить существование 2-периодических решений РГ и без наложения условия $|\eta-1|_p<|\theta- 1|_p$. Это также позволило показать существование фазового перехода. Если отбросить условие $|\eta-1|_p<|\theta-1|_p$, то проблема обширности множества периодических обобщенных $p$-адических мер Гиббса все еще остается открытой. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{MukRahTuk23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|