| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Геометрия группы Ли. Инвариантные метрики и динамические системы, двойственная алгебра и их приложения в групповом анализе одномерного кинетического уравнения А. В. Боровскихab a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, Москва, Россия b Научно-образовательный математический центр Северо-Осетинского государственного университета им. К. Л. Хетагурова, Владикавказ, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923100082 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеРассмотрение группы Ли как геометрического объекта имеет почти столетнюю историю: классическим исследованием, посвященным этой идее, является работа Картана [1] (см. также [2], [3]). Эти исследования связаны с приписыванием геометрического смысла групповым характеристикам. Так, структурные константы $C_{ij}^k$ соответствующей алгебры Ли полагаются компонентами связности $\Gamma_{ij}^k$, что дает “связность с кручением”, а траектории (орбиты) однопараметрических подгрупп и их образов при действии группы – геодезическими, которые порождают “связность без кручения”, порождаемую при определенных условиях метрикой с тензором $g_{ij}=C_{il}^hC_{hj}^l$. Однако оказывается, что на группе имеет смысл задавать и совершенно иные геометрические структуры, которые, с одной стороны, полезны с точки зрения теории дифференциальных уравнений, а с другой – задают совсем иное, чем у Картана, отношение между группой и геометрией. Поводом для настоящей работы оказалась групповая классификация одномерного кинетического уравнения [4] где $t$ – время, $x$ – пространственная координата, $c$ – скорость, $f$ – фазовая плотность распределения частиц, $F=F(t,x,c)$ – внешнее силовое поле. Уравнение (1) описывает эволюцию фазовой плотности распределения (т. е. распределения по пространству и по скоростям) частиц, двигающихся в соответствии со вторым законом НьютонаКлассификация была выполнена в связи с исследованием возможности перехода от кинетических уравнений к уравнениям сплошной среды с использованием для замыкания моментной системы групповых соображений [5]. Приведем эту классификацию. Как принято в групповом анализе, все семейство уравнений (1) (отличающихся друг от друга внешним силовым полем $F=F(t,x,c)$) расслаивается на классы эквивалентных между собой уравнений, и, поскольку группы симметрий эквивалентных уравнений изоморфны, в классификации указываются только представители этих классов. В нашем случае класс эквивалентных уравнений – это орбита группы диффеоморфизмов пространства переменных $(t,x)$ и отвечающих им преобразований остальных величин ($c$, $f$ и $F$). Теорема 1 ( [4], теоремы 2, 3). I. Алгебра Ли группы симметрий уравнения (1), сохраняющая систему соотношений (2), соотношения $dt=dx=0$ и форму $(1-c\theta_x-{F}\theta_c)f\,dx\,dc$, имеет вид $\Xi=\tau\partial_t+\xi\partial_x+\gamma\partial_c+\eta\partial_f$, где функции $\tau$, $\xi$, $\gamma$ и $\eta$ определяются соотношениями и удовлетворяют уравнению II. Полученная алгебра конечномерна для любой функции $F(t,x,c)$. III. Конечномерные нетривиальные алгебры (3), удовлетворяющие уравнению (4), имеются для функций $F(t,x,c)$ классов, представители которых приведены в табл. 1. В каждом случае предполагается, что функция $F$ не лежит в предыдущем классе. IV. Для остальных ${F}(t,x,c)$ уравнение (4) не имеет других решений $\tau(t,x)$, $\xi(t,x)$, кроме тривиальных. Таблица 1.Представители классов функций ${F}$, для которых уравнение (4) имеет в качестве решения нетривиальную алгебру ($A$ – произвольная константа, $G(\cdot)$ и $\Phi(\cdot\,,\cdot)$ – произвольные функции).
Полнота группового анализа семейства дифференциальных уравнений состоит в том, чтобы не просто найти группы симметрий, но и установить связи полученной классификации с геометрическими, физическими и аналитическими свойствами соответствующих уравнений. В настоящей работе мы обсуждаем только геометрический аспект. Для уравнения с $F=0$ геометрический смысл очевиден: траектории частиц – линии, определяемые соотношениями (2), – являются прямыми линиями в пространстве $(t,x)$, и соответствующая группа симметрий – это группа проективных преобразований плоскости, оставляющих семейство прямых линий инвариантным. Что же касается уравнений с трехмерной группой симметрий (они в табл. 1 обозначены номерами II.$*$), то для них геометрическая интерпретация полученной классификации оказывается уже менее очевидной. С одной стороны, невооруженным глазом видно, что алгебра II.4 – это алгебра $\mathfrak{so}_3$ (в проективном представлении), т. е. мы имеем дело с группой движений на двумерной сфере, а алгебра II.3 – это алгебра Ли группы движений плоскости Лобачевского (тоже в проективном представлении). Таким образом, геометрический смысл тут явно присутствует. С другой стороны, для остальных алгебр какая-то внятная геометрия в пространстве переменных $(t,x)$ не просматривается, хотя эти алгебры тоже являются трехмерными, и, вообще говоря, уравнения с одинаковой размерностью группы симметрий должны быть достаточно равноправны и с геометрической точки зрения. Разрешить этот парадокс удается, если изменить точку зрения с двумерной на трехмерную и посмотреть, не связаны ли данные алгебры с какой-то геометрией в пространстве переменных $(t,x,c)$, а не только $(t,x)$? Но тогда нужно каким-то образом задать метрику уже в трехмерном пространстве. Способ такого задания был подсказан тем фактом, что группы, которые мы рассматриваем, тоже трехмерны и действуют на пространстве переменных $(t,x,c)$ транзитивно (если не считать отдельных плоскостей), и поэтому это пространство можно считать реализацией самой группы. А тогда оказывается, что речь идет о метрике, заданной на самой группе. Понятно, что метрика, заданная на группе, должна быть с этой группой согласована, а поскольку группа на самой себе действует транзитивно, то естественным способом согласования можно считать инвариантность метрики относительно преобразований группы. Таким образом, эта группа должна быть группой движений соответствующей метрики. Метрики, удовлетворяющие этим условиям, имеют достаточно ясное и прозрачное описание – они являются квадратичными формами от набора инвариантных относительно той же группы дифференциальных форм первого порядка. Наличие такого представления позволяет явно вычислить коэффициенты Кристоффеля, выписать уравнения Френе и найти кривизны и кручения траекторий частиц для каждой из функций семейства II.$*$ (пример таких вычислений для случая алгебры $\mathfrak{so}_3$ приведен в приложении). Оказывается, что для всех перечисленных в формулировке теоремы 1 уравнений, имеющих трехмерную группу симметрий, траектории (линии, определяемые соотношениями (2)) имеют и постоянную кривизну, и постоянное кручение (т. е. являются в определенном смысле “спиралями”). В настоящей работе мы выясняем, что стоит за указанным феноменом. 2. Групповая метрикаПусть $G$ – $n$-мерная группа, реализованная как множество в пространстве $\mathbb{R}^n$, соответствующие переменные мы будем обозначать через $x=(x^1,\dots,x^n)$; пусть $\{\Xi_\alpha=\xi_\alpha^i\partial_i(x)\}_{\alpha=1}^n$ – базис соответствующей порождающей алгебры. Теорема 2. Множество метрик $g_{ij}(x)\,dx^i\,dx^j$, заданных на группе $G$ и остающихся инвариантными при действии этой группы, образует линейное пространство размерности $n(n+1)/2$. Доказательство. Условие инвариантности метрики относительно однопараметрической группы с порождающим оператором $\Xi=\xi^i(x)\partial_i$ задается уравнениями Киллинга: или
Соответственно для совокупности операторов $\Xi_\alpha$ мы получаем набор уравнений
$$
\begin{equation}
\Xi_\alpha g_{ij} +g_{ik}\partial_j \xi_\alpha^k +g_{kj}\partial_i\xi_\alpha^k=0,\qquad \alpha,i,j=1,\dots,n.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Это обычная система линейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно функций $g_{ij}(x)$. Каждая из этих функций зависит от $n$-мерного вектора $x$, т. е. от $n$ скалярных переменных $x^i$, уравнений для каждой функции тоже $n$ (они занумерованы индексом $\alpha$), поэтому, для того чтобы система была разрешима, достаточно проверить, что коммутатор любых двух уравнений дает уравнение, являющееся следствием исходных. Вычислим $[\Xi_\alpha,\Xi_\beta]g_{ij}$ исходя из уравнений (5):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [\Xi_\alpha,\Xi_\beta]g_{ij}&=(\Xi_\alpha\Xi_\beta -\Xi_\beta\Xi_\alpha)g_{ij}= -\Xi_\alpha(g_{ik}\partial_j \xi^k_\beta+g_{kj}\partial_i\xi^k_\beta) +\Xi_\beta (g_{ik}\partial_j \xi^k_\alpha +g_{kj}\partial_i\xi^k_\alpha)={} \\ &=-(\Xi_\alpha g_{ik})\partial_j \xi^k_\beta -g_{ik}(\Xi_\alpha \partial_j \xi^k_\beta) -(\Xi_\alpha g_{kj})\partial_i\xi^k_\beta -g_{kj}(\Xi_\alpha \partial_i\xi^k_\beta)+{} \\ &\quad\,+(\Xi_\beta g_{ik})\partial_j \xi^k_\alpha +g_{ik}(\Xi_\beta \partial_j \xi^k_\alpha) +(\Xi_\beta g_{kj})\partial_i\xi^k_\alpha +g_{kj}(\Xi_\beta \partial_i\xi^k_\alpha) ={} \\ &= g_{il}\partial_k \xi^l_\alpha\partial_j \xi^k_\beta +g_{lk}\partial_i\xi^l_\alpha\partial_j \xi^k_\beta -g_{il}(\xi_\alpha^k\partial_k) \partial_j \xi^l_\beta+ g_{kl}\partial_j \xi^l_\alpha \partial_i\xi^k_\beta +g_{lj}\partial_k\xi^l_\alpha\partial_i\xi^k_\beta -{} \\ &\quad-g_{lj}(\xi_\alpha^k\partial_k) \partial_i\xi^l_\beta- g_{il}\partial_k \xi^l_\beta \partial_j \xi^k_\alpha -g_{lk}\partial_i\xi^l_\beta \partial_j \xi^k_\alpha +g_{il}(\xi_\beta^k\partial_k) \partial_j \xi^l_\alpha-{} \\ &\quad-g_{kl}\partial_j\xi^l_\beta\partial_i\xi^k_\alpha-g_{lj}\partial_k\xi^l_\beta\partial_i\xi^k_\alpha +g_{lj}(\xi_\beta^k\partial_k)\partial_i\xi^l_\alpha. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно видеть, что члены с $g_{kl}$ уничтожаются, а члены с $g_{il}$ и с $g_{lj}$ группируются, причем суммы вида $\partial_j \xi^k_\beta\cdot \partial_k \xi^l_\alpha+ \xi_\beta^k\partial_k\partial_j \xi^l_\alpha$ сворачиваются в производную $\partial_j(\Xi_\beta\xi^l_\alpha)$, поэтому
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, [\Xi_\alpha,\Xi_\beta]g_{ij}&= g_{il}(\partial_k \xi^l_\alpha\partial_j \xi^k_\beta -(\xi_\alpha^k\partial_k) \partial_j \xi^l_\beta -\partial_k\xi^l_\beta \partial_j \xi^k_\alpha +(\xi_\beta^k\partial_k) \partial_j \xi^l_\alpha)+{} \\ &\quad+g_{lj}(\partial_k\xi^l_\alpha\partial_i\xi^k_\beta -(\xi_\alpha^k\partial_k) \partial_i\xi^l_\beta -\partial_k\xi^l_\beta\partial_i\xi^k_\alpha +(\xi_\beta^k\partial_k)\partial_i\xi^l_\alpha) ={} \\ &= g_{il}\partial_j(\xi_\beta^k\partial_k \xi^l_\alpha -\xi_\alpha^k\partial_k \xi^l_\beta) +g_{lj}\partial_i(\xi_\beta^k\partial_k\xi^l_\alpha -\xi_\alpha^k\partial_k\xi^l_\beta)={} \\ &= g_{il}\partial_j C_{\beta\alpha}^\gamma\xi^l_\gamma +g_{lj}\partial_i C_{\beta\alpha}^\gamma\xi^l_\gamma= C_{\beta\alpha}^\gamma (g_{il}\partial_j \xi^l_\gamma +g_{lj}\partial_i \xi^l_\gamma) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
(в силу соотношений коммутации $[\Xi_\alpha,\Xi_\beta]=C_{\alpha\beta}^\gamma \Xi_{\gamma}$ и первая, и вторая скобки в предпоследней строке равны $C_{\beta\alpha}^\gamma\xi^l_\gamma$).
Таким образом, с одной стороны, коммутатор $[\Xi_\alpha,\Xi_\beta]g_{ij}$ равен $C_{\alpha\beta}^\gamma \Xi_{\gamma}g_{ij}$, с другой – полученному нами выражению, и условие совместности уравнений (5) имеет вид
$$
\begin{equation*}
C_{\alpha\beta}^\gamma \Xi_{\gamma}g_{ij}= C_{\beta\alpha}^\gamma (g_{il}\partial_j \xi^l_\gamma +g_{lj}\partial_i \xi^l_\gamma),
\end{equation*}
\notag
$$
которое выполняется тождественно, так как является прямым следствием этих уравнений.
Итак, система уравнений Киллинга является замкнутой, и ее решение определяется набором из $n(n+1)/2$ (ввиду симметрии $g_{ij}$) констант – значений функций $g_{ij}$ в некоторой заданной фиксированной точке. Теорема доказана. Теорема 3. Пусть $G$ – группа Ли размерности $n$, алгебра Ли которой имеет базис $\Xi_\alpha=\xi_\alpha^i(x)\partial_i$ и структурные константы $C_{\alpha\beta}^\gamma$. На этой группе существует ровно $n$ линейных дифференциальных форм, инвариантных относительно этой алгебры. Следствие 1. Все метрические формы из формулировки теоремы 2, инвариантные относительно алгебры, имеют вид квадратичной формы $ds^2=q_{\alpha\beta}\omega^\alpha\omega^\beta$ от линейных дифференциальных форм $\omega^\alpha=\omega^\alpha_idx^i$, $\alpha=1,\dots,n$, с постоянными коэффициентами $q_{\alpha\beta}$. Действительно, все такие метрические формы будут инвариантны относительно группы, а с другой стороны, они образуют пространство именно той размерности, которая указывалась в теореме 2, поэтому они исчерпывают все множество инвариантных метрик. Доказательство теоремы 3 хорошо известно (см., например, [1]), но мы приведем его для полноты изложения. Доказательство. Пусть $\omega=\omega_i(x)\,dx^i$ – некоторая дифференциальная форма на группе $G$. Условие инвариантности этой формы относительно оператора $\Xi=\xi^j(x)\partial_j$ имеет вид что дает для набора операторов $\Xi_\alpha$ систему линейных дифференциальных уравнений с частными производными относительно каждой из $n$ неизвестных функций $\omega_i$. Для того чтобы она имела ровно $n$ линейно независимых решений, необходимо и достаточно, чтобы она была совместна.
Коммутатор уравнений (6) дает в правой части ноль, а в левой части – выражение
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Xi_\alpha(\Xi_\beta\omega_i)&-\Xi_\beta(\Xi_\alpha\omega_i) +\Xi_\alpha(\omega_j\partial_i\xi_\beta^j)- \Xi_\beta(\omega_j\partial_i\xi_\alpha^j)={} \\ &=[\Xi_\alpha,\Xi_\beta]\omega_i +\partial_i\xi_\beta^j\Xi_\alpha\omega_j- \partial_i\xi_\alpha^j\Xi_\beta\omega_j +\omega_j\Xi_\alpha\partial_i\xi_\beta^j- \omega_j\Xi_\beta\partial_i\xi_\alpha^j ={} \\ &=-C_{\alpha\beta}^\gamma \omega_j\partial_i\xi_\gamma^j -\omega_j\partial_i\xi_\beta^k\partial_k\xi_\alpha^j +\omega_j\partial_i\xi_\alpha^k\partial_k\xi_\beta^j +\omega_j\Xi_\alpha\partial_i\xi_\beta^j- \omega_j\Xi_\beta\partial_i\xi_\alpha^i ={} \\ &=\omega_j\partial_i(-C_{\alpha\beta}^\gamma \xi_\gamma^j -\Xi_\beta\xi_\alpha^j+\Xi_\alpha\xi_\beta^j)=0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
так как в скобках в последней строке мы получаем ноль в силу соотношений коммутации. Таким образом, коммутатор уравнений дает тождество, полученные нами уравнения совместны и имеют ровно $n$ линейно независимых решений. Теорема доказана. Теорема 4. Для перечисленных в теореме 1 случаев метрические формы в пространстве переменных $(t,x,c)$, инвариантные относительно алгебр II.1–II.4, приведенных в табл. 1, имеют вид, представленный в табл. 2. Доказательство теоремы 4 состоит в проверке того, что для соответствующих операторов и дифференциальных форм выполнено соотношение (6). 3. Двойственная алгебраОбозначим через $\omega_\alpha^i$ матрицу, обратную к $\omega^\alpha_i$; использование латинских индексов, нумерующих координаты на группе, и греческих индексов, нумерующих операторы алгебры и дифференциальные формы, позволяет не вводить новые буквы для обратных матриц. Соотношения (6), переписанные в терминах матрицы $\omega_\alpha^i$, имеют вид
$$
\begin{equation*}
\Xi_\alpha\omega^k_\gamma-\omega^i_\gamma\partial_i\xi_\alpha^k(x)=0,
\end{equation*}
\notag
$$
в котором трудно не узнать коммутатор: достаточно ввести дифференциальные операторы $\Omega_\gamma=\omega_\gamma^i\partial_i$, как полученное соотношение принимает вид Таблица 2.Алгебры Ли в пространстве переменных $(t,x,c)$ и соответствующие им метрические формы ($Q(\,\cdot\,,\,\cdot\,,\,\cdot\,)$ – квадратичная форма с постоянными коэффициентами от дифференциальных форм, стоящих в аргументах).
Поскольку уравнение
$$
\begin{equation}
\Xi_\alpha\omega^k-\omega^i\partial_i\xi_\alpha^k(x)=0
\end{equation}
\tag{8}
$$
имеет $n$-мерное пространство решений (доказательство этого факта почти дословно повторяет рассуждения теоремы 3), множество дифференциальных операторов $\Omega$, удовлетворяющих условию $[\Xi_\alpha,\Omega]=0$ (для всех $\alpha=1,\dots,n$), представляет собой $n$-мерное пространство. Поскольку из тождества Якоби следует, что для любых $\Omega_\beta$ и $\Omega_\gamma$, принадлежащих этому пространству, их коммутатор также принадлежит этому пространству:
$$
\begin{equation*}
[\Xi_\alpha,[\Omega_\beta,\Omega_\gamma]]=-[\Omega_\gamma,[\Xi_\alpha,\Omega_\beta]]-[\Omega_\beta,[\Omega_\gamma,\Xi_\alpha]]=0,
\end{equation*}
\notag
$$
рассматриваемое множество решений системы уравнений $[\Xi_\alpha,\Omega]=0$ оказывается алгеброй. Определение 1. Алгебру, которая образована решениями $\Omega$ системы уравнений $[\Xi_\alpha,\Omega]=0$, мы назовем двойственной к алгебре, образованной операторами $\Xi_\alpha$. Замечание 1. Двойственная алгебра не совпадает с исходной даже с точностью до линейных преобразований базиса (из определения следует, что это возможно только для коммутативной алгебры). Для иллюстрации можно отметить, что для первой алгебры из теоремы 4 двойственная алгебра имеет вид $c^{1-\lambda}\partial_t$, $c^{2-\lambda}\partial_x$, $c\partial_c$. Структурные константы этой алгебры такие же, как для исходной. Исходная алгебра превращается в двойственную заменой переменных $\bar t=-tc^{1-\lambda}$, $\bar x=-xc^{2-\lambda}$, $\bar c=1/c$. Замечание 2. Инвариантные относительно $\Xi_\alpha$ формы $\omega^\beta$ являются формами Маурера–Картана для алгебры с базисом $\Omega_\beta$. Аналогично формы Маурера–Картана алгебры с базисом $\Xi_\alpha$ оказываются инвариантными относительно $\Omega_\beta$, так что здесь действительно наблюдается определенная двойственность. Теорема 5. Пусть $C_{\alpha\beta}^{*\gamma}$ – структурные константы алгебры $\Omega$. Тогда имеют место соотношения Доказательство. Умножим закон коммутации для алгебры $\Omega$
$$
\begin{equation*}
\omega_\alpha^k\partial_k\omega_\beta^l-\omega_\beta^k\partial_k\omega_\alpha^l=C_{\alpha\beta}^{*\sigma}\omega_\sigma^l
\end{equation*}
\notag
$$
на $\omega^\alpha_i\omega^\beta_j\omega^\gamma_l$. Получим
$$
\begin{equation*}
\omega^\beta_j\omega^\gamma_l\partial_i\omega_\beta^l -\omega^\alpha_i\omega^\gamma_l\partial_j\omega_\alpha^l=C_{\alpha\beta}^{*\gamma}\omega^\alpha_i\omega^\beta_j.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $\omega^\beta_j\omega_\beta^l=\delta_j^l$, $\omega^\beta_j\partial_i\omega_\beta^l=-\omega_\beta^l\partial_i\omega^\beta_j$, первое слагаемое в полученной формуле оказывается равным $-\omega^\gamma_l\omega_\beta^l\partial_i\omega^\beta_j=-\partial_i\omega^\gamma_j$. Аналогично второе слагаемое оказывается равным $\partial_j\omega^\gamma_i$, и в итоге мы получаем формулу (9). 4. Инвариантные кривые и их нормировкаПусть
$$
\begin{equation}
\frac {dx^1}{\phi^1(x)}=\dots=\frac {dx^n}{\phi^n(x)}
\end{equation}
\tag{10}
$$
– уравнение семейства кривых, инвариантного относительно группы $G$. Условие инвариантности линий (10) относительно оператора $\Xi$ (мы пока, имея дело с конкретным оператором, индекс $\alpha$ будем опускать) $\Xi\frac{dx^i}{\phi^i(x)}=\Xi\frac{dx^j}{\phi^j(x)}$ имеет вид (здесь индексы $i$ и $j$ фиксированы)
$$
\begin{equation*}
\frac{\Xi\phi^i\,dx^i-\phi^i\partial_k\xi^i\,dx^k}{(\phi^i)^2}=\frac{\Xi\phi^j\,dx^j-\phi^j\partial_k\xi^j\,dx^k}{(\phi^j)^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Заменяя с использованием (9) слева $\phi^i\,dx^k$ на $\phi^k\,dx^i$, а справа $\phi^j\,dx^k$ на $\phi^k\,dx^j$ и сокращая на $\frac{dx^i}{\phi^i(x)}=\frac{dx^j}{\phi^j(x)}$, получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{\Xi\phi^i-\phi^k\,\partial_k\xi^i}{\phi^i}=\frac{\Xi\phi^j-\phi^k\,\partial_k\xi^j}{\phi^j}.
\end{equation*}
\notag
$$
Выражение слева зависит только от индекса $i$, выражение справа – только от индекса $j$, а поскольку эти индексы меняются независимо, общее значение этих выражений не зависит от индекса вообще. Обозначив это общее значение через $h(x)$, получим Пусть теперь $\omega=\omega_i\,dx^i$ – дифференциальная форма, инвариантная относительно $\Xi$, что выражается условием (6) Рассмотрим функцию $\lambda(x)=\phi^i\omega_i$ и выясним действие на нее оператора $\Xi$:
$$
\begin{equation*}
\Xi\lambda(x)=(\Xi\phi^i)\omega_i+\phi^i\Xi\omega_i= (\phi^k\,\partial_k\xi^i+h(x)\phi^i)\omega_i-\phi^i\omega_k\,\partial_i\xi^k=h(x)\phi^i\omega_i=h(x)\lambda(x).
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку $h(x)$ определяется только функциями $\phi^i$ и оператором $\Xi$, полученное равенство не зависит от выбора дифференциальной формы $\omega$ – оно одно и то же для всех $\omega^\alpha$. Рассматривая теперь всю совокупность равенств
$$
\begin{equation*}
\Xi_\alpha\lambda(x)=h_\alpha(x)\lambda(x), \qquad \alpha=1,\dots,n,
\end{equation*}
\notag
$$
мы получим полную систему уравнений, из которых функция $\lambda(x)$ находится однозначно, с точностью до константы. Таким образом, если обозначить через $\mu(x)$ некоторое ненулевое решение этой системы, то где $\lambda^\alpha$ – некоторые константы. В силу равенства (11) для исходной кривой имеем
$$
\begin{equation*}
ds^2\!=\!q_{\alpha\beta}\omega_i^\alpha\omega_j^\beta\, dx^i\,dx^j=\frac{(dx^1)^2}{(\phi^1)^2}q_{\alpha\beta}\omega_i^\alpha\omega_j^\beta\phi^i\phi^j=\frac{(dx^1)^2}{(\phi^1)^2}q_{\alpha\beta}\lambda^\alpha\lambda^\beta\mu^2(x)=Q\frac{(dx^1)^2}{(\phi^1)^2}\mu^2(x),
\end{equation*}
\notag
$$
где введено обозначение $Q=q_{\alpha\beta}\lambda^\alpha\lambda^\beta$. Соответственно для натуральной параметризации кривой имеем Нетрудно заметить, что система равенств
$$
\begin{equation*}
\frac{dx^1}{\phi^1(x)/\mu(x)} =\dots= \frac{dx^n}{\phi^n(x)/\mu(x)}
\end{equation*}
\notag
$$
эквивалентна исходным уравнениям кривой (10), поэтому можно без ограничения общности считать, что мы изначально уже имели функции $\phi^i(x)$, нормированные так, что соответствующая функция $\mu(x)\equiv 1$. Тогда, во-первых, во-вторых, единичный касательный вектор $\tau=(\tau^i)$ к кривой (10) имеет вид а в-третьих, для каждой дифференциальной формы $\Omega^\alpha=\omega^\alpha_i\,dx^i$ и поэтому на касательном векторе $\tau$ соответствующая линейная форма оказывается постоянной:
$$
\begin{equation}
\omega^\alpha_i\tau^i=\frac{\lambda^\alpha}{\sqrt{Q}}.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Соотношения (12) и (13) оказываются очень важными. С одной стороны, соотношение (12) после умножения на обратную матрицу $\omega^i_\alpha$ приобретает вид $\phi^i=\lambda^\alpha\omega^i_\alpha$, т. е. вектор $\phi=(\phi^i)$ является линейной комбинацией векторных полей, порождающих двойственную алгебру $\Omega$. А значит, изучаемые нами траектории, инвариантные относительно алгебры $\Xi$, являются траекториями однопараметрической подгруппы, порожденной оператором из двойственной алгебры. С другой стороны, формулы Френе для всех перечисленных в теореме 4 алгебр (и простейших квадратичных форм в виде суммы квадратов) показывают, что линейные формы с коэффициентами $\omega^\alpha_i$ являются константами не только на касательном векторе (что, собственно, и записано в формуле (13)), но и на нормали, и на бинормали! А это означает, что в формулах Френе, связывающих касательной вектор, нормаль и бинормаль, фактически скрыто некое линейное преобразование с постоянной матрицей. Вот это преобразование мы и постараемся отыскать. 5. Формулы Френе для инвариантных кривыхЗапишем уравнения Френе в виде
$$
\begin{equation}
\frac{d\tau_N^k}{ds}+\Gamma_{ij}^k\tau_N^i\tau_1^j=-\varkappa_{N-1}\tau_{N-1}^k+\varkappa_N\tau_{N+1}^k,
\end{equation}
\tag{14}
$$
где $\tau_N=(\tau_N^k)$ – репер Френе, занумерованный индексом $N=1,\dots,n$ (обозначенным прописной буквой, чтобы не путать с индексами, по которым осуществляется суммирование по тензорным правилам), $\varkappa_{N}$ – соответствующие кривизны, $\Gamma_{ij}^k$ – символы Кристоффеля. Обозначим $\lambda_N^\alpha=\omega^\alpha_i\tau_N^i$. Теорема 6. В терминах величин $\lambda_N^\alpha$ система Френе имеет вид где $H_{\alpha\beta}^\gamma$ – постоянные, определяемые формулой $C^{*\gamma}_{\alpha\beta}$ – структурные константы алгебры с базисом $\Omega_\alpha$. Следствие 2. Для всех инвариантных кривых все кривизны и все величины $\lambda_N^\alpha$ являются постоянными. Следствие 3. Для любой функции $F$ и любой квадратичной формы $Q$ из формулировки теоремы 4 траектории частиц, определяемые соотношениями (2), являются в соответствующей метрике кривыми, имеющими постоянную кривизну и постоянное кручение. Действительно, выражая из (15) вектор $\varkappa_N\lambda^\gamma_{N+1}$ через предыдущие, получаем по индукции, во-первых, что он является постоянным, а во-вторых, что его длина, определяемая квадратичной формой с постоянными коэффициентами $q^{\alpha\beta}$, тоже является постоянной, а это и есть $\varkappa_N$. Отсюда делением этого вектора на его длину получаем, что и единичный вектор $\lambda^\gamma_{N+1}$ тоже является постоянным. Доказательство теоремы 6. Умножая уравнения Френе (14) на $\omega^\gamma_k$, получаем
$$
\begin{equation*}
\omega^\gamma_k\frac{d\tau_N^k}{ds}+\omega^\gamma_k \Gamma_{ij}^k\tau_N^i\tau_1^j=-\varkappa_{N-1}\omega^\gamma_k\tau_{N-1}^k+\varkappa_N\omega^\gamma_k\tau_{N+1}^k.
\end{equation*}
\notag
$$
В правой части величины $\lambda^\gamma_N$ получаются непосредственно, а в левой части мы выделим производную от $\lambda^\gamma_N$
$$
\begin{equation*}
\frac{d\lambda^\gamma_N}{ds}-\frac{d\omega^\gamma_k}{ds}\tau_N^k +\omega^\gamma_k \Gamma_{ij}^k\tau_N^i\tau_1^j=-\varkappa_{N-1}\lambda^\gamma_{N-1}+\varkappa_N\lambda^\gamma_{N+1}
\end{equation*}
\notag
$$
и выразим $\tau^k_N$ через $\lambda^\alpha_N$ с помощью обратной матрицы $\omega_\alpha^k$:
$$
\begin{equation*}
\frac{d\lambda^\gamma_N}{ds} -\partial_i\omega^\gamma_k\omega_\alpha^k\omega_\beta^i\lambda_N^\alpha\lambda_1^\beta +\omega^\gamma_k \Gamma_{ij}^k\omega_\alpha^i\omega_\beta^j\lambda_N^\alpha\lambda_1^\beta=-\varkappa_{N-1}\lambda^\gamma_{N-1}+\varkappa_N\lambda^\gamma_{N+1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначив
$$
\begin{equation}
H_{\alpha\beta}^\gamma=(\omega^\gamma_k \Gamma_{ij}^k-\partial_j\omega^\gamma_i)\omega^i_\alpha\omega^j_\beta,
\end{equation}
\tag{17}
$$
мы фактически получаем формулу (15).
Покажем, что величина $H_{\alpha\beta}^\gamma$ является постоянной. Вычислим ее, подставив в формулу (17) выражения
$$
\begin{equation*}
\Gamma_{ij}^k=\frac{1}{2} g^{kl}(\partial_ig_{lj}+\partial_jg_{il}-\partial_lg_{ij}), \qquad g_{ij}(x)=q_{\mu\nu}\omega^\mu_i\omega^\nu_j,\qquad g^{kl}(x)=q^{\alpha\beta}\omega_\alpha^k\omega_\beta^l.
\end{equation*}
\notag
$$
Получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_{\alpha\beta}^\gamma&=\frac 12 q^{\rho\sigma}\omega^\gamma_k\omega_\rho^k\omega_\sigma^l (q_{\mu\nu}\partial_i\omega^\mu_l\omega^\nu_j +q_{\mu\nu}\omega^\mu_l\partial_i\omega^\nu_j +q_{\mu\nu}\partial_j\omega^\mu_i\omega^\nu_l +q_{\mu\nu}\omega^\mu_i\partial_j\omega^\nu_l-{} \\ &\quad-q_{\mu\nu}\partial_l\omega^\mu_i\omega^\nu_j -q_{\mu\nu}\omega^\mu_i\partial_l\omega^\nu_j) \omega^i_\alpha\omega^j_\beta-\partial_j\omega^\gamma_i\omega^i_\alpha\omega^j_\beta={} \\ &=\frac 12 ( q^{\gamma\sigma}q_{\mu\beta}\omega^i_\alpha\omega_\sigma^l \partial_i\omega^\mu_l +\omega^i_\alpha\omega^j_\beta\partial_i\omega^\gamma_j +\omega^i_\alpha\omega^j_\beta\partial_j\omega^\gamma_i +q^{\gamma\sigma}q_{\alpha\nu}\omega^j_\beta\omega_\sigma^l \partial_j\omega^\nu_l-{} \\ &\quad-q^{\gamma\sigma}q_{\mu\beta}\omega^i_\alpha\omega_\sigma^l \partial_l\omega^\mu_i- q^{\gamma\sigma}q_{\alpha\nu}\omega^j_\beta\omega_\sigma^l \partial_l\omega^\nu_j)-\partial_j\omega^\gamma_i\omega^i_\alpha\omega^j_\beta={} \\ &= \frac 12 (q^{\gamma\sigma}q_{\mu\beta}\omega^i_\alpha\omega_\sigma^l \partial_i\omega^\mu_l +\omega^i_\alpha\omega^j_\beta\partial_i\omega^\gamma_j -\omega^i_\alpha\omega^j_\beta\partial_j\omega^\gamma_i +q^{\gamma\sigma}q_{\alpha\nu}\omega^j_\beta\omega_\sigma^l \partial_j\omega^\nu_l-{} \\ &\quad-q^{\gamma\sigma}q_{\mu\beta}\omega^i_\alpha\omega_\sigma^l \partial_l\omega^\mu_i - q^{\gamma\sigma}q_{\alpha\nu}\omega^j_\beta\omega_\sigma^l \partial_l\omega^\nu_j). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Объединяя слагаемые попарно (первое с пятым, второе с третьим и четвертое с шестым) и пользуясь формулой (9), получаем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, H_{\alpha\beta}^\gamma &=-\frac 12 ( q^{\gamma\sigma}q_{\mu\beta}\omega^i_\alpha\omega_\sigma^l C_{\alpha'\beta'}^{*\mu}\omega_i^{\alpha'}\omega_l^{\beta'} +\omega^i_\alpha\omega^j_\beta C_{\alpha'\beta'}^{*\gamma}\omega_i^{\alpha'}\omega_j^{\beta'} +q^{\gamma\sigma}q_{\alpha\nu}\omega^j_\beta\omega_\sigma^l C_{\alpha'\beta'}^{*\nu}\omega_j^{\alpha'}\omega_l^{\beta'})={} \\ &=-\frac 12 (q^{\gamma\sigma}q_{\mu\beta} C_{\alpha\sigma}^{*\mu}+C_{\alpha\beta}^{*\gamma}+q^{\gamma\sigma}q_{\alpha\nu}C_{\beta\sigma}^{*\nu}). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Мы получили формулу (16). Теорема доказана. 6. ЗаключениеКак мы видим, задание на группе Ли геометрии, инвариантной относительно самой этой группы, оказалось достаточно полезным: это позволило получить геометрическую интерпретацию процессов, описываемых уравнением (1), когда его группа симметрий трехмерна. При этом мы обнаружили достаточно интересную двойственность между алгебрами Ли, действующими на одной и той же группе. Она состоит в том, что траектории однопараметрических групп одной алгебры являются, во-первых, инвариантными для другой алгебры, а во-вторых, в любой метрике, инвариантной относительно другой алгебры, являются “спиралями” – все их кривизны постоянны. Этот взгляд на траектории однопараметрических групп, безусловно, существенно отличается от взгляда, использованного Картаном, который видел в этих траекториях геодезические, т. е. “прямые”. Какова связь между геометриями, в одной из которых линии являются спиралями, а в другой – прямыми, пока не очень понятно. Этот вопрос интересен, хотя и выходит за рамки и настоящей работы, и научных интересов автора. Другой вопрос, который возник в связи с полученными результатами, – о связи структурных констант двойственных между собой алгебр $\Xi_\alpha$ и $\Omega_\alpha$, он для автора тоже пока остается непроясненным. Формально $C_{\alpha\beta}^{*\gamma}=C_{\mu\nu}^\sigma A_\alpha^\mu A_\beta^\nu B^\gamma_\sigma$, где $A_\alpha^\mu=\xi_i^\mu\omega^i_\alpha$, $B^\gamma_\sigma=\xi_\sigma^i\omega^\gamma_i$. Пользуясь тем, что $\Xi_\alpha A_\beta^\gamma=-C_{\alpha\sigma}^\gamma A_\beta^\sigma$ и $\Xi_\alpha B_\beta^\gamma=C_{\alpha\beta}^\sigma B_\sigma^\gamma$, можно получить в силу тождества Якоби, что $\Xi_\rho C_{\alpha\beta}^{*\gamma}=0$ для всех $\rho$. Это подтверждает, что эта связь действительно дает нам постоянные. Но почему это такая же алгебра, как исходная (а именно так получается на конкретных примерах), пока остается загадкой. ПриложениеПроиллюстрируем описанные в работе результаты на алгебре $\mathfrak{so}_3$, для которой мы воспользуемся конформным представлением
$$
\begin{equation*}
\Xi_1=(t^2-x^2+1)\partial_t+2tx\partial_x, \qquad \Xi_2=2tx\partial_t+(x^2-t^2+1)\partial_x,\qquad \Xi_3=x\partial_t-t\partial_x.
\end{equation*}
\notag
$$
Ее продолжение в пространство переменных $(t,x,c)$, удовлетворяющее условию инвариантности соотношения $dx=c\,dt$ (как в теореме 1), имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Xi_1=(t^2-x^2+1)\partial_t+2tx\partial_x+2x(1+c^2)\partial_c, \\ \Xi_2=2tx\partial_t+(x^2-t^2+1)\partial_x-2t(1+c^2)\partial_c,\\ \Xi_3=x\partial_t-t\partial_x-(1+c^2)\partial_c. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Семейство метрик, инвариантных относительно этой алгебры, имеет вид $ds^2=G(\omega^1,\omega^2,\omega^3)$, где $G$ – квадратичная форма, а $\omega^\alpha$ – дифференциальные формы
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \omega^1=\frac{dx-c\,dt}{\sqrt{1+c^2}(x^2+t^2+1)},\qquad \omega^2=\frac{dt+c\,dx}{\sqrt{1+c^2}(x^2+t^2+1)},\\ \omega^3=\frac{2x\,dt-2t\,dx}{x^2+t^2+1}+\frac{dc}{1+c^2}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
инвариантные относительно алгебры $\mathfrak{so}_3$. Коэффициенты этих дифференциальных форм образуют матрицу
$$
\begin{equation*}
\omega_i^\alpha=\begin{pmatrix} -\dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}(x^2+t^2+1)} &\dfrac{1}{\sqrt{1+c^2}(x^2+t^2+1)}&0 \\ \dfrac{1}{\sqrt{1+c^2}(x^2+t^2+1)} & \dfrac{c}{\sqrt{1+c^2}(x^2+t^2+1)}&0\\ \dfrac{2x}{x^2+t^2+1}&-\dfrac{2t}{x^2+t^2+1}&\dfrac{1}{1+c^2} \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
обратная матрица к которой
$$
\begin{equation*}
\omega_\alpha^i=\begin{pmatrix} -\dfrac{c(x^2+t^2+1)}{\sqrt{1+c^2}} &\dfrac{(x^2+t^2+1)}{\sqrt{1+c^2}}&0 \\ \dfrac{(x^2+t^2+1)}{\sqrt{1+c^2}} & \dfrac{c(x^2+t^2+1)}{\sqrt{1+c^2}}&0\\ 2(t+cx)\sqrt{1+c^2}&-2(x-ct)\sqrt{1+c^2}&1+c^2 \end{pmatrix}
\end{equation*}
\notag
$$
определяет операторы двойственной алгебры
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \Omega_1=\frac{(t^2+x^2+1)(\partial_x-c\partial_t)+2(t+cx)(1+c^2)\partial_c}{\sqrt{1+c^2}}, \\ \Omega_2=\frac{(t^2+x^2+1)(\partial_t+c\partial_x)-2(x-ct)(1+c^2)\partial_c}{\sqrt{1+c^2}},\qquad \Omega_3=(1+c^2)\partial_c \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
со структурными константами $C_{12}^{*3}=-4$, $C_{23}^{*1}=-1$, $C_{31}^{*2}=-1$ (они могут быть приведены к каноническим константам, если поменять ролями первый и третий операторы и разделить “длинные” операторы на 2). В качестве конкретной метрики мы возьмем квадратичную форму с простой суммой квадратов ($q_{\alpha\beta}=\delta_{\alpha\beta}$, $\delta$ – символ Кронекера) от указанных дифференциальных форм, что дает
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, ds^2&=\frac{(1+4x^2)\,dt^2}{(x^2+t^2+1)^2}+\frac{(1+4t^2)\,dx^2}{(x^2+t^2+1)^2}+\frac{dc^2}{(1+c^2)^2}-{}\\ &\quad-\frac{8tx\,dt\,dx}{(x^2+t^2+1)^2}+\frac{4x\,dt\,dc}{(x^2+t^2+1)(1+c^2)}-\frac{4t\,dx\,dc}{(x^2+t^2+1)(1+c^2)}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Рассмотрим теперь динамическую систему, которая инвариантна относительно алгебры $\mathfrak{so}_3$, и которая задается уравнениями
$$
\begin{equation*}
dx=c\,dt,\qquad dc=F\,dt,\qquad F(t,x,c) =\frac{A(c^2+1)^{3/2}-2(c^2+1)(x-ct)}{x^2+t^2+1}
\end{equation*}
\notag
$$
(это с точностью до диффеоморфизма случай IV из теоремы 1, мы просто поменяли систему координат, в которой алгебра $\mathfrak{so}_3$ имеет проективное представление на систему координат, в которой эта алгебра имеет конформное представление). С геометрической точки зрения это семейство кривых в пространстве $(t,x,c)$, и для этих кривых
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, ds=Q\frac{\sqrt{1+c^2}}{x^2+t^2+1}\,dt,\qquad Q=\sqrt{1+A^2},\\ \frac{dt}{ds}=\frac {x^2+t^2+1}{Q\sqrt{1+c^2}},\qquad \frac{dx}{ds}=\frac {c(x^2+t^2+1)}{Q\sqrt{1+c^2}}, \qquad \frac{dc}{ds}=\frac AQ (c^2+1)-\frac 2Q\sqrt{c^2+1}(x-ct), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
так что единичный касательный вектор к кривой $\tau$ равен
$$
\begin{equation*}
\tau=\frac 1Q\biggl(\frac {x^2+t^2+1}{\sqrt{1+c^2}}, \frac {c(x^2+t^2+1)}{\sqrt{1+c^2}},A(c^2+1)-2\sqrt{c^2+1}(x-ct)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно проверить, что $\omega^1_i\tau^i=0$, $\omega^2_i\tau^i=1/Q$, $\omega^3_i\tau^i=A/Q$, так что линейные формы $\omega^\alpha$ на касательном векторе действительно остаются постоянными. Вычисление по формулам Френе дает для кривизны величину $k=3|A|/Q^2$ и нормаль
$$
\begin{equation*}
n=\biggl(\frac{c(x^2+t^2+1)}{\sqrt{1+c^2}}, -\frac {(x^2+t^2+1)}{\sqrt{1+c^2}},-2(t+cx)\sqrt{c^2+1}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
кручение $\varkappa=|2-A^2|/Q^2$ и бинормаль
$$
\begin{equation*}
b=\frac{1}{Q}\biggl(A\frac {x^2+t^2+1}{\sqrt{1+c^2}}, A\frac {c(x^2+t^2+1)}{\sqrt{1+c^2}},-(c^2+1)-2A\sqrt{c^2+1}(x-ct)\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Как видно, на нормали линейные формы $\omega^\alpha$ принимают значения $-1$, $0$ и $0$, а на бинормали – соответственно $0$, $A/Q$, $-1/Q$. Что получится, если вместо всех этих вычислений применить формулу (15)? Для выбранной нами метрики выполняется
$$
\begin{equation*}
H_{\alpha\beta}^\gamma=-\frac 12 [C^{*\gamma}_{\alpha\beta}+ C^{*\beta}_{\alpha\gamma}+C^{*\alpha}_{\beta\gamma}]
\end{equation*}
\notag
$$
(формула асимметрична, так и должно быть). Поскольку для двойственной алгебры, как мы указывали, $C_{12}^{*3}=-4$, $C_{23}^{*1}=-1$, $C_{31}^{*2}=-1$, величины $H_{\alpha\beta}^\gamma$ будут ненулевыми только в том случае, когда все три индекса различны:
$$
\begin{equation*}
H_{12}^3=2,\qquad H_{21}^3=-2,\qquad H_{23}^1=-1,\qquad H_{32}^1=-2,\qquad H_{31}^2=2,\qquad H_{13}^2=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Если ввести матрицу $H=H_{\alpha\beta}^\gamma \lambda_1^\beta$, где $\lambda_1^\beta=\omega^\beta_i\tau^i$, $\lambda_1=\frac 1Q(0,1,A)$, то формула (15) запишется в гораздо более простом виде:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \varkappa_N\lambda_{N+1}=\frac{d\lambda_N}{ds}+H\lambda_N+\varkappa_{N-1}\lambda_{N-1}, \\ H=\begin{pmatrix} 0&H^1_{23}\lambda_1^3&H^1_{32}\lambda_1^2\\ H^2_{13}\lambda_1^3&0&H^2_{31}\lambda_1^1\\ H^3_{12}\lambda_1^2&H^3_{21}\lambda_1^1&0 \end{pmatrix}=\frac 1Q \begin{pmatrix} 0&-A&-2\\ A&\hphantom{-}0&\hphantom{-}0\\ 2&\hphantom{-}0&\hphantom{-}0 \end{pmatrix}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда
$$
\begin{equation*}
k\lambda_2=H\lambda_1=\frac 1Q \begin{pmatrix} 0&-A&-2\\ A&\hphantom{-}0&\hphantom{-}0\\ 2&\hphantom{-}0&\hphantom{-}0 \end{pmatrix} \frac 1Q \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ A \end{pmatrix}=\frac 1{Q^2} \begin{pmatrix} -3A\\ 0\\ 0 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
соответственно $k=\operatorname{sgn}A|k\lambda_2|=3A/Q^2$, $\lambda_2=(-1,0,0)$;
$$
\begin{equation*}
\varkappa\lambda_3=H\lambda_2+k\lambda_1=\frac 1Q \begin{pmatrix} 0&-A&-2\\ A&\hphantom{-}0&\hphantom{-}0\\ 2&\hphantom{-}0&\hphantom{-}0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1\\ \hphantom{-}0\\ \hphantom{-}0 \end{pmatrix} +\frac {3A}{Q^3} \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ A \end{pmatrix} =\frac {2-A^2}{Q^3} \begin{pmatrix} \hphantom{-}0\\ \hphantom{-}A\\ -1 \end{pmatrix},
\end{equation*}
\notag
$$
откуда получаем $\varkappa=(2-A^2)/Q^2$, $\lambda_3=\frac 1Q(0,A,-1)$. Таким образом, мы получили в точности тот же результат, который дают прямые вычисления (занимающие в самом кратком виде пять страниц текста). Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bor23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|