| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Влияние винеровского процесса на решения потенциального уравнения Ю–Тоды–Сасы–Фукуямы для двуслойной жидкости Ф. М. Аль-Аскар Department of Mathematical Science, College of Science, Princess Nourah bint Abdulrahman University, Riyadh, Saudi Arabia
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923110077 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеНелинейные волновые явления наблюдаются во многих научных областях, таких как гидродинамика, химическая физика, физика плазмы и волоконная оптика. Для объяснения этих волновых явлений решающее значение имеют нелинейные эволюционные уравнения, и, следовательно, необходимо находить их решения. В последние годы появилось множество подходов к решению нелинейных эволюционных уравнений: метод $(G'/G)$-разложения [1], [2], эллиптических функций Якоби [3], tanh-sech-метод [4], [5], метод отображения [6], $\exp(-\phi(\varsigma))$-разложения [7], метод вспомогательных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) Риккати–Бернулли [8], метод возмущений [9], [10], метод расширенной вспомогательной функции [11], метод Хироты [12] и т. д. В более общих случаях для анализа физических, биологических, химических и других систем, которые подвержены случайным воздействиям, используются стохастические уравнения в частных производных (СДУЧП). За последние несколько десятилетий было проведено множество исследований и подчеркнута важность включения случайности в модели сложных систем. Использование СДУЧП для анализа сложных процессов расширяется во многих областях, включая материаловедение, финансы, информационные системы, биофизику, машиностроение и электротехнику, теорию конденсированных сред и математическое моделирование физических систем [13], [14]. Недавно были получены точные решения для некоторых СДУЧП (см., например, [15]–[18]). В настоящей работе мы рассматриваем ($3+1$)-мерное стохастическое потенциальное уравнение Ю–Тоды–Сасы–Фукуямы (stochastic potential-Yu–Toda–Sasa–Fukuyama equation, SPYTSFE), которое определяется мультипликативным винеровским процессом:
$$
\begin{equation}
-4\mathcal U_{xt}+\mathcal U_{xxxz}+4\mathcal U_x\mathcal U_{xz}+2\mathcal U_{xx}\mathcal U_z\mathcal+3\mathcal U_{yy}=-16 \gamma\mathcal U_x\mathcal G_t,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $\mathcal U(x,y,z,t)$ – аналитическая функция, описывающая межфазную волну в двуслойной жидкости, $\mathcal G=G(t)$ – винеровский процесс, $\mathcal U_x\mathcal G_t$ – это мультипликативный шум в смысле Ито, $\mathcal G_t=\partial\mathcal G/\partial t$, а $\gamma$ определяет интенсивность шума. Винеровский процесс $\{\mathcal G(\tau)\}_{\tau\geqslant 0}$ – это случайный процесс, удовлетворяющий следующим условиям: $\mathcal G(t)$ непрерывен при $t\geqslant 0$, $ \mathcal G(0)=0$, приращения процесса $\mathcal G(\tau_2)-\mathcal G(\tau_1)$ при $\tau_1<\tau_2$ имеют гауссово распределение и независимы. Уравнение (1) с $\gamma=0$ было введено в работах [19], [20]. Обычно оно используется для изучения солитонов и нелинейных волн в средах с дисперсией, в физике плазмы и гидродинамике. Многие ученые исследовали различные аналитические решения уравнения (1) при $\gamma=0$, применяя билинейные преобразования Беклунда [21], подход гомоклинического теста [22], [23], метод однородного баланса [20], билинейный метод Хироты [24], [25], метод проективного уравнения Риккати [26], прямой метод [27] и метод $(G'/G)$-разложения [28]. При этом решения стохастического уравнения (1) до сих пор не рассматривались. Цель нашей статьи – получение точных стохастических решений SPYTSFE (1). Для этого мы используем два подхода: метод вспомогательных ОДУ Риккати–Бернулли и вариационный метод Хe. Стохастический член в уравнении (1) делает полученные решения очень полезными для описания различных важных физических процессов. Кроме того, мы предлагаем большое количество графиков, рассчитанных в среде MATLAB, показывающих, как влияет шум на решение SPYTSFE (1). Вкратце статья устроена следующим образом. В разделе 2 выводится волновое уравнение для SPYTSFE (1). Получение точных решений SPYTSFE находится в центре внимания раздела 3. В разделе 4 мы исследуем, как винеровский процесс влияет на решения SPYTSFE. Наконец, выводы изложены в разделе 5. 2. Волновое уравнение для SPYTSFEЧтобы вывести волновое уравнение для SPYTSFE (1), применим волновое преобразование
$$
\begin{equation}
\mathcal U(x,y,z,t)=\mathcal Z(\theta) e^{4\gamma\mathcal G(t)-8\gamma^2t},\qquad \theta=\theta_1x+\theta_2y+\theta_3z+\theta_4t,
\end{equation}
\tag{2}
$$
где функция $\mathcal Z$ детерминированная, $\theta_1$, $\theta_2$, $\theta_3$ и $\theta_4$ – неопределенные постоянные. Мы видим, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \begin{alignedat}{3} \mathcal U_x&=\theta_1\mathcal Z'e^{4\gamma\mathcal G(t)-8\gamma^2t},&\qquad \mathcal U_z&=\theta_3\mathcal Z'e^{4\gamma\mathcal G(t)-8\gamma^2t}, \\ \mathcal U_{xz}^{}&=\theta_1^{}\theta_3\mathcal Z''e^{4\gamma\mathcal G(t)-8\gamma^2t},&\qquad \mathcal U_{xx}^{}&=\theta_1^2\mathcal Z''e^{4\gamma\mathcal G(t)-8\gamma^2t}, \\ \mathcal U_{yy}^{}&=\theta_2^2\mathcal Z''e^{4\gamma\mathcal G(t)-8\gamma^2t},&\qquad \mathcal U_{xxxz}^{}&=\theta_3^{}\theta_1^3\mathcal Z''''e^{4\gamma\mathcal G(t)-16\gamma t}, \end{alignedat}\\ \mathcal U_{xt}=[\theta_1\theta_4\mathcal Z''+4\gamma\theta_1\mathcal Z'\mathcal G_t]e^{4\gamma\mathcal G(t)-8\gamma^2t}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3}
$$
Подставив эти уравнения в (1), получаем
$$
\begin{equation}
(3\theta_2^2-4\theta_1^{}\theta_4^{})\mathcal Z''+ \theta_3^{}\theta_1^3\mathcal Z''''+ 6\theta_3^{}\theta_1^2\mathcal Z'\mathcal Z''e^{4\gamma\mathcal G(t)-8\gamma^2t}=0.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Взяв математическое ожидание от обеих частей равенства, приходим к уравнению
$$
\begin{equation}
(3\theta_2^2-4\theta_1^{}\theta_4^{})\mathcal Z''+\theta_3^{}\theta_1^3\mathcal Z''''+ 6\theta_3^{}\theta_1^2\mathcal Z'\mathcal Z''e^{-8\gamma^2t}\mathbb{E}e^{4\gamma\mathcal G(t)}=0.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Поскольку $\mathcal G(t)$ – белый шум, имеем $\mathbb{E}e^{4\gamma\mathcal G(t)}=e^{8\gamma^2t}$. Тогда уравнение (5) принимает вид
$$
\begin{equation}
\ell_1\mathcal Z''+\mathcal Z''''+2\ell_2\mathcal Z'\mathcal Z''=0,
\end{equation}
\tag{6}
$$
где
$$
\begin{equation}
\ell_1=\frac{3\theta_2^2-4\theta_1^{}\theta_4^{}}{\theta_3^{}\theta_1^3}\qquad\ell_2^{}=\frac{3}{\theta_1}.
\end{equation}
\tag{7}
$$
Интегрирование уравнения (6) дает
$$
\begin{equation}
\mathcal Z'''+\ell_1\mathcal Z'+\ell_2(\mathcal Z')^2=0,
\end{equation}
\tag{8}
$$
где мы опустили постоянную интегрирования.
3. Точные решения SPYTSFEДля получения решений волнового уравнения (8) мы применяем метод вспомогательных ОДУ Риккати–Бернулли (Riccati–Bernoulli sub-ODE, RBSODE) и вариационный метод Хе. После этого мы находим решения SPYTSFE (1). 3.1. Метод RBSODEУравнение Риккати–Бернулли имеет вид [8] где $s$, $r$, $p$ – постоянные. Следовательно,
$$
\begin{equation}
\mathcal Z'''=6s^3\mathcal Z^4+12rs^2\mathcal Z^3+(8ps^2+7sr^2)\mathcal Z^2+(r^3+8rsp)\mathcal Z+(r^2+2sp^2).
\end{equation}
\tag{10}
$$
Подставим (9) и (10) в (8), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, (6s^3+s^2\ell_2)\mathcal Z^4 &{}+(12rs^2+2rs\ell_2)\mathcal Z^3+ (8ps^2+7sr^2+s\ell_1+2ps\ell_2+r^2\ell_2)\mathcal Z^2+{} \\ &{}+(r^3+8rsp+r\ell_1+2pr\ell_2)\mathcal Z+(r^2+2sp^2+p\ell_1+p^2\ell_2)=0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Приравнивая коэффициенты при всех $\mathcal Z^k$ к нулю, получаем систему уравнений
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, 6s^3+s^2\ell_2=0,\qquad 12rs^2+2rs\ell_2=0, \\ 8ps^2+7sr^2+s\ell_1+2ps\ell_2+r^2\ell_2=0,\qquad r^3+8rsp+r\ell_1+2pr\ell_2=0, \\ r^2+2sp^2+p\ell_1+p^2\ell_2=0. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Ее решения имеют вид
$$
\begin{equation}
s=-\frac{\ell_2}{6},\qquad r=0,\qquad p=-\frac{3\ell_1}{2\ell_2}.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Теперь перепишем уравнение (9) как Для разных значений $p$ и $s$ получаем следующие семейства решений. Семейство 1. Если $ps>0$, то решения уравнения (9) записываются как
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{alignedat}{3} \mathcal Z_1(\theta)&=\sqrt{\frac{p}{s}}\operatorname{tg}(\sqrt{ps}\theta),&\quad\;\; \mathcal Z_2(\theta)&=-\sqrt{\frac{p}{s}}\operatorname{ctg}(\sqrt{ps}\theta), \\ \mathcal Z_3(\theta)&=\sqrt{\frac{p}{s}}\bigl(\operatorname{tg}(\sqrt{4ps}\theta)\pm\sec(\sqrt{4ps}\theta)\bigr),&\quad\;\; \mathcal Z_4(\theta)&=-\sqrt{\frac{p}{s}}\bigl(\operatorname{ctg}(\sqrt{4ps}\theta)\pm\csc(\sqrt{4ps}\theta)\bigr), \\ \mathcal Z_5(\theta)&=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{p}{s}}\biggl(\operatorname{tg}\frac{\sqrt{ps}\theta}{2}-\operatorname{ctg}\frac{\sqrt{ps}\theta}{2}\biggr),&\quad\;\; \mathcal Z_6(\theta)&=\sqrt{\frac{p}{s}}\biggl(\frac{\sin(\sqrt{4ps}\theta)}{\sin(\sqrt{4ps}\theta)\pm 1}\biggr), \end{alignedat}\\ \mathcal Z_7(\theta)=2\sqrt{\frac{p}{s}} \biggl(\frac{\sin(\sqrt{ps}\theta/2)\cos(\sqrt{ps}\theta/2)}{2\cos^2(\sqrt{ps}\theta/2)-1}\biggr). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем решения SPYTSFE (1), выражающиеся через тригонометрические функции:
$$
\begin{equation}
\mathcal U_1(x,y,z,t) =\sqrt{\frac{p}{s}} \operatorname{tg}(\sqrt{ps}\theta)e^{4\gamma\mathcal G(t)-8\gamma^2t},
\end{equation}
\tag{13а}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal U_2(x,y,z,t) =-\sqrt{\frac{p}{s}}\operatorname{ctg}(\sqrt{ps}\theta)e^{4\gamma\mathcal G(t)-8\gamma^2t},
\end{equation}
\tag{13б}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal U_3(x,y,z,t) =\sqrt{\frac{p}{s}} \bigl(\operatorname{tg}(\sqrt{4ps}\theta)\pm\sec(\sqrt{4ps}\theta)\bigr)e^{4\gamma\mathcal G(t)-8\gamma^2t},
\end{equation}
\tag{13в}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal U_4(x,y,z,t) =-\sqrt{\frac{p}{s}} \bigl(\operatorname{ctg}(\sqrt{4ps}\theta)\pm\csc(\sqrt{4ps}\theta)\bigr)e^{4\gamma\mathcal G(t)-8\gamma^2t},
\end{equation}
\tag{13г}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal U_5(x,y,z,t) =\frac{1}{2}\sqrt{\frac{p}{s}} \biggl(\operatorname{tg}\frac{\sqrt{ps}\theta}{2}-\operatorname{ctg}\frac{\sqrt{ps}\theta}{2}\biggr)e^{4\gamma\mathcal G(t)-8\gamma^2t},
\end{equation}
\tag{13д}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal U_6(x,y,z,t) =\sqrt{\frac{p}{s}} \biggl(\frac{\sin(\sqrt{4ps}\theta )}{\sin(\sqrt{4ps}\theta)\pm 1}\biggr) e^{4\gamma\mathcal G(t)-8\gamma^2t},
\end{equation}
\tag{13е}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal U_7(x,y,z,t) =2\sqrt{\frac{p}{s}} \biggl(\frac{\sin(\sqrt{ps}\theta/2)\cos(\sqrt{ps}\theta/2)}{2\cos^2(\sqrt{ps}\theta/2)-1}\biggr) e^{4\gamma\mathcal G(t)-8\gamma^2t}.
\end{equation}
\tag{13ж}
$$
Здесь и далее $\theta=\theta_1x+\theta_2y+\theta_3z+\theta_4t$. Семейство 2. Если $ps<0$, то решения уравнения (9) записываются как
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \mathcal Z_8(\theta)=-\sqrt{\frac{-p}{s}}\operatorname{th}(\sqrt{-ps}\theta),\qquad \mathcal Z_9(\theta)=-\sqrt{\frac{-p}{s}}\operatorname{cth}(\sqrt{-ps}\theta), \\ \begin{aligned} \, \mathcal Z_{10}(\theta)&=-\sqrt{\frac{-p}{s}}\biggl(\operatorname{th}(\sqrt{-4ps}\theta )\pm i\operatorname{sch}(\sqrt{-4ps}\theta)\biggr), \\ \mathcal Z_{11}(\theta)&=-\sqrt{\frac{-p}{s}}\bigl(\operatorname{cth}(\sqrt{-4ps}\theta)\pm\operatorname{csch}(\sqrt{-4ps}\theta)\bigr), \\ \mathcal Z_{12}(\theta)&=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-p}{s}} \biggl(\operatorname{th}\frac{\sqrt{-ps}\theta}{2}+\operatorname{cth}\frac{\sqrt{-ps}\theta}{2}\biggr), \\ \mathcal Z_{13}(\theta)&=\sqrt{\frac{-p}{s}} \biggl(\frac{\operatorname{sh}(\sqrt{-4ps}\theta)}{\operatorname{ch}(\sqrt{-4ps}\theta)\pm 1}\biggr), \\ \mathcal Z_{14}(\theta)&=2\sqrt{\frac{-p}{s}} \biggl(\frac{\operatorname{sh}(\sqrt{-ps}\theta/2)\operatorname{ch}(\sqrt{-ps}\theta/2)}{2\operatorname{ch}^2(\sqrt{-ps}\theta/2)-1}\biggr). \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем решения SPYTSFE (1), выражающиеся через гиперболические функции:
$$
\begin{equation}
\mathcal U_8(x,y,z,t) =-\sqrt{\frac{-p}{s}}\operatorname{th}(\sqrt{-ps}\theta)e^{4\gamma\mathcal G(t)-8\gamma^2t},
\end{equation}
\tag{14а}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal U_9(x,y,z,t) =-\sqrt{\frac{-p}{s}}\operatorname{cth}(\sqrt{-ps}\theta)e^{4\gamma\mathcal G(t)-8\gamma^2t},
\end{equation}
\tag{14б}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal U_{10}(x,y,z,t) =-\sqrt{\frac{-p}{s}} \bigl(\operatorname{th}(\sqrt{-4ps}\theta)\pm i\operatorname{sch}(\sqrt{-4ps}\theta)\bigr) e^{4\gamma\mathcal G(t)-8\gamma^2t},
\end{equation}
\tag{14в}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal U_{11}(x,y,z,t) =-\sqrt{\frac{-p}{s}} \bigl(\operatorname{cth}(\sqrt{-4ps}\theta)\pm\operatorname{csch}(\sqrt{-4ps}\theta)\bigr) e^{4\gamma\mathcal G(t)-8\gamma^2t},
\end{equation}
\tag{14г}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal U_{12}(x,y,z,t) =-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{-p}{s}} \biggl(\operatorname{th}\frac{\sqrt{-ps}\theta}{2}+\operatorname{cth}\frac{\sqrt{-ps}\theta}{2}\biggr) e^{4\gamma\mathcal G(t)-8\gamma^2t},
\end{equation}
\tag{14д}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal U_{13}(x,y,z,t) =\sqrt{\frac{-p}{s}} \biggl(\frac{\operatorname{sh}(\sqrt{-4ps}\theta)}{\operatorname{ch}(\sqrt{-4ps}\theta)\pm 1}\biggr) e^{4\gamma\mathcal G(t)-8\gamma^2t},
\end{equation}
\tag{14е}
$$
$$
\begin{equation}
\mathcal U_{14}(x,y,z,t) =2\sqrt{\frac{-p}{s}} \biggl(\frac{\operatorname{sh}(\sqrt{-ps}\theta/2)\operatorname{ch}(\sqrt{-ps}\theta/2)}{2\operatorname{ch}^2(\sqrt{-ps}\theta/2)-1}\biggr) e^{4\gamma\mathcal G(t)-8\gamma^2t}.
\end{equation}
\tag{14ж}
$$
Семейство 3. Если $p=0$, $s\neq 0$, то решение уравнения (9) есть $\mathcal Z(\theta)=-1/s\theta$. Отсюда получаем решение SPYTSFE (1), выражающееся через рациональную функцию:
$$
\begin{equation}
\mathcal U_{15}(x,y,z,t)=-\frac{1}{s\theta}\,e^{4\gamma\mathcal G(t)-8\gamma^2t}.
\end{equation}
\tag{15}
$$
3.2. Вариационный метод ХеИспользуя вариационный формализм, предложенный Хе [29]–[31], введем следующий функционал:
$$
\begin{equation}
\mathbb{J}(\mathcal Z)=\int_{0}^{\infty} \biggl(\frac{1}{2}(\mathcal Z'')^2-\frac{1}{2}\ell_1(\mathcal Z')^2+\frac{1}{3}\ell_2(\mathcal Z')^3\biggr)d\theta.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Следуя работе [32], предположим, что решение уравнения (6) имеет вид
$$
\begin{equation}
\mathcal Z(\theta)=\mathcal K\operatorname{sch}\theta,
\end{equation}
\tag{17}
$$
где $\mathcal K$ – неопределенная постоянная. Поставим это выражение в (16), получим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathbb{J}&=\frac{1}{2}\mathcal K^2\int_{0}^{\infty} [\operatorname{sch}^2\theta\operatorname{th}^4\theta+\operatorname{sch}^4\theta\operatorname{th}^2\theta+\operatorname{sch}^{6}\theta-{} \\ &\kern56pt -\ell_1\operatorname{sch}^2\theta\operatorname{th}^2\theta+\frac{2}{3}\ell_2\mathcal K\operatorname{sch}^3\theta\operatorname{th}^3\theta]\,d\theta= \\ &=\frac{1}{2}\mathcal K^2\int_{0}^{\infty} \biggl(\operatorname{sch}^2\theta-\ell_1\operatorname{sch}^2\theta\operatorname{th}^2\theta+ \frac{2}{3}\ell_2\mathcal K\operatorname{sch}^3\theta\operatorname{th}^3\theta\biggr)d\theta= \\ &=\frac{\mathcal K^2}{2}-\ell_1\frac{\mathcal K^2}{6}-\frac{2}{45}\ell_2\mathcal K^3. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Потребуем, чтобы функционал $\mathbb{J}$ был постоянным по $\mathcal K$, т. е.
$$
\begin{equation}
\frac{\partial \mathbb{J}}{\partial \mathcal K}=\biggl(1-\frac{1}{3}\ell_1\biggr)\mathcal K-\frac{2}{15}\ell_2\mathcal K^2=0.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Решая это уравнение, имеем Следовательно, решение уравнения (6) записывается как
$$
\begin{equation*}
\mathcal Z(\theta)=\frac{15-5\ell_1}{6\ell_2}\operatorname{sch}\theta.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда получаем решение SPYTSFE (1)
$$
\begin{equation}
\mathcal U(x,y,z,t)= \frac{15-5\ell_1}{6\ell_2}\operatorname{sch}\theta\,e^{4\gamma\mathcal G(t)-8\gamma^2t}.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Аналогично получаем для уравнения (6)
$$
\begin{equation*}
\mathcal Z(\theta)=\mathcal N\operatorname{sch}\theta\operatorname{th}^2\theta.
\end{equation*}
\notag
$$
Повторив приведенную выше процедуру, приходим к Таким образом, решение SPYTSFE (1) записывается как
$$
\begin{equation}
\mathcal U(x,y,z,t)=\frac{11(1199-213\ell_1)}{1456\ell_2}\operatorname{sch}\theta\,\operatorname{th}^2\theta\,e^{4\gamma\mathcal G(t)-8\gamma^2t}.
\end{equation}
\tag{20}
$$
4. Влияние винеровского процессаТеперь исследуем влияние винеровского процесса на полученные нами решения SPYTSFE (1). Рассмотрим решения (20), (14а) и (19) и зафиксируем параметры $\theta_1=1$, $\theta_2=-\theta_3=1$, $\theta_4=-2$, $y=z=1$, $x\in[0,4]$ и $t\in[0,4]$. На рис. 1а–1в представлены трехмерные графики решения (20) для $\gamma=0,\,1,\,2$; на рис. 1г изображены двумерные графики зависимости $x(t)$ при тех же $\gamma$. На рис. 2а–2в представлены трехмерные графики решения (14а) для $\gamma=0,\,1,\,2$; на рис. 2г изображены двумерные графики зависимости $x(t)$ при тех же $\gamma$. На рис. 3а–3в представлены трехмерные графики решения (19) для $\gamma=0,\,1,\,2$; на рис. 3г изображены двумерные графики зависимости $x(t)$ при тех же $\gamma$. Из рисунков 1–3 видно, что при исчезновении шума (т. е. при $\gamma=0$) существует несколько типов решений, таких как темные, яркие, периодические солитоны, кинки и др. Когда появляется шум и его интенсивность увеличивается, после небольшого переходного периода поверхность становится намного более плоской, что подтверждают двумерные графики. Это означает, что винеровский процесс влияет на решения SPYTSFE, при этом решения стабилизируются, стремясь к нулю. 5. ЗаключениеВ представленной работе мы рассмотрели стохастическое потенциальное уравнение Ю–Тоды–Сасы–Фукуямы с шумом, задающимся мультипликативным винеровским процессом. Мы получили решения этого уравнения, выражающиеся через тригонометрические, гиперболические и рациональные функции, применив метод вспомогательных ОДУ Риккати–Бернулли и вариационный метод Хе. Найденные решения могут быть использованы для объяснения широкого спектра интересных физических явлений при изучении нелинейных волн и солитонов в средах с дисперсией, физике плазмы и гидродинамике. Мы построили двух- и трехмерные графики некоторых решений, чтобы продемонстрировать влияние винеровского процесса на аналитические решения уравнения. В следующей работе мы намерены изучить уравнение (1) с аддитивным шумом. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Al-23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|