| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Об альтернативной стратификации узлов Е. Н. Ланинаab, А. В. Пополитовabc, Н. С. Целоусовab a Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), Московская обл., Долгопрудный, Россия b Национальный исследовательский центр "Курчатовский институт", Москва, Россия c Институт проблем передачи информации им. А. А. Харкевича Российской академии наук, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923070024 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеИзучение представлений узлов является центральной темой теории узлов, особенно интересны так называемые универсальные представления, при помощи которых можно задать все узлы. К ним относятся представление в виде минимальной косы, представление Морса, дуговое представление и многие другие. Однако, например, арборесцентные узлы не являются универсальными, так как произвольный узел не может быть представлен как арборесцентный. Различные представления узлов полезны для разных целей. Например, представление в виде кос позволяет вычислять инварианты квантовых узлов по алгоритму Решетихина–Тураева [1]–[14]. Полиномы ХОМФЛИ для арборесцентных узлов легче рассчитывать в терминах матриц $S$ и $T$ модулярного преобразования и сопряженных им матриц [15]–[19]. В настоящей статье мы исследуем классические вопросы теории узлов, используя так называемое решеточное представление узлов, которое определено на квадратной решетке размера $(2n+1)\times(2n+1)$. В каждом узле решетки находится пересечение одного из двух типов, которые мы обозначаем как $\,{+}\,$ и $\,{-}\,$. Ранее было доказано, что каждый узел имеет хотя бы одну решеточную диаграмму [20], т. е. такое представление универсально. Более того, каждый решеточный узел в решетке фиксированного размера также может быть реализован внутри любой решетки большего размера. Таким образом, мы можем ввести представление узлов с помощью решеточных диаграмм (см. раздел 2). Множество $\mathbb{K}$ всех узлов бесконечно, и для работы с этой бесконечностью множество $\mathbb{K}$ обычно стратифицируется (разбивается) на конечные подмножества $\mathbb{K}_n$, $n=1,2,\ldots{}$, по величине некоторого простого инварианта узла. Обычно используется разбиение по количеству пересечений, т. е. по минимальному количеству пересечений среди всех представлений заданного узла. Узлы с небольшими числами пересечений собраны в знаменитой таблице Рольфсена (см., например, [21]). После выбора стратификации множества узлов $\mathbb{K}$ можно задать вопрос: как эта стратификация взаимодействует с каким-либо другим разбиением множества узлов на классы? Скажем, какова асимптотика отношения количеств узлов из разных классов (для этого разбиения) в страте $\mathbb{K}_n$ при $n\to\infty$? Например, по известной теореме У. Тёрстона все узлы делятся на три типа: торические, сателлитные и гиперболические. Для классификации узлов по числу пересечений $n$ было доказано, что гиперболические узлы не доминируют при $n\to\infty$, и преобладают узлы-сателлиты [22]. Однако этот результат довольно неожиданный, поскольку на основе численных данных для малых $n$ долгое время считалось, что гиперболические узлы доминируют при больших числах пересечений согласно известной гипотезе (см. [23], с. 119). Также было получено, что количество простых узлов растет экспоненциально по $n$ [24]. Если мы задаем альтернативную стратификацию узлов, можно поставить вопрос: являются ли эти неинтуитивные утверждения стабильными/чувствительными по отношению к изменению стратификации? В частности, какой тип узлов будет преобладать, если мы классифицируем узлы по минимальному размеру соответствующей им решеточной диаграммы? Каково будет распределение узлов, реализованных на решетке фиксированного размера? В этом коротком тексте мы получаем некоторые теоретические ограничения на количество различных типов узлов в решетке фиксированного размера (см. раздел 4) и представляем результаты вычислений на компьютере, чтобы ответить на поставленные вопросы (см. раздел 5). Результаты работы следующие. Во-первых, мы находим оценки сверху и снизу для количества узлов с заданным числом пересечений, которые могут быть реализованы внутри решетки фиксированного размера (раздел 4). Во-вторых, мы подтверждаем наши оценки численными расчетами количества узлов, которые можно получить из решетчатых диаграмм размера $3\times 3$ и $5\times 5$ (п. 5.1). Кроме того, мы находим количество тривиальных узлов и узлов с числом пересечений больше десяти внутри больших решеток (п. 5.2). Решеточные диаграммы также интересны тем, что они связывают теорию узлов и статистические модели. Связь между теорией узлов и статистической механикой была впервые была отмечена в работе Воана Джонса [25]. В этой работе была установлена связь между полиномами Джонса и моделью Поттса. Позже Джонс разработал метод вычисления полиномов ХОМФЛИ с помощью вершинных моделей. Этот метод также применялся Тураевым для полиномов Кауфмана [26]. Связь между теорией узлов и статистической механикой была формализована и расширена Джонсом [27] с использованием спиновых моделей. Связь точно решаемых статистических моделей с теорией узлов интересна тем, что ее использование может привести к новым результатам как в доказательстве математических теорем в теории узлов (например, при решении вопроса о доминировании узлов-сателлитов [22]), так и в поиске новых инвариантов узлов и более простых методов вычисления известных инвариантов. Мы надеемся продвинуться в этом направлении, основываясь на хорошо разработанной теории интегрируемых моделей статистической физики [28], [29]. 2. Основные теоремыВ этом разделе мы вводим некоторые основные факты о решеточных диаграммах, на которые будем опираться в дальнейшем. Подробные пояснения можно найти в недавней статье [20]. Определение 1. Решеточная диаграмма $L_n$ представляет собой замкнутую кривую, которая имеет $2n+1$ горизонтальных отрезков, $2n+1$ вертикальных и $(2n+1)^2$ точек пересечения. В работе [20] решеточные диаграммы называются прихваточными кривыми или просто прихватками. Решеточные узлы изучались Гросбергом и Нечаевым [30], [31], которые нашли количество тривиальных узлов, реализуемых такими диаграммами, cвязав узлы с моделью Поттса из статистической механики. Решеточный узел получается из решеточной диаграммы путем разрешения каждого пересечения одним из двух способов, которые мы обозначаем как $\,{+}\,$ и $\,{-}\,$. Примеры решеточных узлов, происходящих из диаграмм $L_1$, $L_2$ и $L_3$, показаны на рис. 1. Теорема 2. Все решеточные узлы, получающиеся из диаграммы $L_n$, также могут быть получены из диаграммы $L_{n+1}$. На основе этих двух теорем можно ввести соответствующую классификацию узлов: стратифицировать узлы по минимальному размеру решеточных диаграмм, из которых они получены. 3. Как можно различать узлы?Главный вопрос, который нас интересует: какие типы узлов получаются из решеточной диаграммы $L_n$? Для ответа на этот вопрос сначала обсудим, как можно различать решеточные узлы. 3.1. Движения РейдемейстераСамый простой, но трудоемкий способ – воспользоваться теоремой Рейдемейстера. Теорема 3. Два узла $\mathcal K_1$ и $\mathcal K_2$ эквивалентны, если существует последовательность движений Рейдемейстера (см. рис. 2), переводящая одну проекцию в другую. Эта теорема позволяет получить из решеточного узла такие же узлы, но внутри решеток большего размера. Мы используем этот подход для получения теоретических оценок количества различных типов узлов (см. раздел 4). 3.2. Полином ДжонсаНа практике узлы можно различать с помощью специальных функций – инвариантов узлов. Определение 2. Инвариант узла $I(\mathcal K)$ – это функция узла $\mathcal K$, которая принимает одно и то же значение на эквивалентных узлах: В нашем исследовании мы используем следующее свойство инвариантов узлов:
$$
\begin{equation}
\mathcal K_1\neq\mathcal K_2\quad \Longrightarrow\quad I(\mathcal K_1)\neq I(\mathcal K_2).
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
В литературе известно множество различных инвариантов узлов, нас интересуют полиномиальные инварианты, так как их можно эффективно вычислять с помощью специальных компьютерных программ. Один из самых известных полиномиальных инвариантов узла – это полином Джонса $J^{\mathcal K}$,
$$
\begin{equation}
J^{\mathcal K}\colon\mathcal K\to\mathbb{Z}[q,q^{-1}],
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
который для узла $\mathcal K$ возвращает полином Лорана $J^{\mathcal K}(q)$. Приведем примеры полиномов Джонса для нескольких узлов с малым числом пересечений:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J^{0_1}&=1,\\ J^{3_1}&=q^2+q^6-q^8, \\ J^{4_1}&=1 -q^2-q^{-2}+q^4+q^{-4}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Мы рассматриваем редуцированный или нормированный полином Джонса, поэтому его значение для тривиального узла равно $1$, а не $q+q^{-1}$. Полином Джонса является очень хорошим инструментом для различения узлов с небольшим количеством пересечений. Он различает все узлы в таблице Рольфсена с числом пересечений до девяти включительно. Первый пример узлов, которые нельзя различить с помощью полинома Джонса, имеет вид Полином Джонса обладает рядом специфических свойств:
В наших вычислениях мы опираемся на свойства (3.8) и (3.7). Полином Джонса имеет несколько эквивалентных определений и подходов к вычислению. В наших расчетах мы используем формулу суммирования по состояниям или алгоритм Хованова [32], [33], который связан с быстро развивающейся теорией гомологий узлов. Кратко опишем этот алгоритм, чтобы пояснить его полезность для различения решеточных узлов. По заданной диаграмме узла выписываются все сглаживания узла (каждое пересечение можно заменить либо 0-, либо 1-сглаживанием); они становятся вершинами так называемого куба Хованова. Каждому сглаживанию узлов соответствует слагаемое $(-1)^r q^r(q+q^{-1})^k$, где $r$ – число 1-сглаживаний, а $k$ – число компонент сглаживания узла. Затем суммируются вклады каждого сглаживания узла, и полученный полином умножается на $(-1)^{n_{-}}q^{n_{+}-2n_{-}}(q+q^{-1})^{-1}$, где $n_{-}$ – количество пересечений типа $\,{-}\,$, а $n_{+}$ – количество пересечений типа $\,{+}\,$. Этот алгоритм становится понятным на примере трилистника (см. рис. 3). Замечание 1. Кубы Хованова одинаковы для всех решеточных узлов, происходящих из решеточной диаграммы одного и того же фиксированного размера. Этот факт позволяет эффективно вычислять полиномы Джонса для решеточных узлов. А именно, нужно построить куб Хованова для решетки фиксированного размера только один раз, а затем, чтобы получить полиномы Джонса для всех решеточных узлов внутри решетки заданного размера, алгоритм Хованова надо начинать с каждой вершины куба по очереди. Именно так работает наша компьютерная программа из п. 5.1. 4. Верхняя и нижняя оценки количества узловДля любых $n>k$ узлы, реализуемые на решетке размера $(2k+1)\times(2k+1)$, можно получить и на решетке размера $(2n+1)\times(2n+1)$. Таким образом, мы вводим еще одну классификацию узлов, аналогичную таблице Рольфсена. А именно, каждый узел нумеруется двумя числами: $m$ и $l_m$. Число $m$ соответствует минимальному размеру решетки $(2m+1)\times(2m+1)$, с помощью которой можно представить данный узел. Число $l_m$ перечисляет различные узлы, которые можно представить в виде решеточных при фиксированном $m$. Например, для тривиального узла имеем $m=0$, $l_0=1$, а для трилистника $m=1$, $l_1=1$. Мы хотим знать, какие узлы доминируют (т. е. имеют больше представлений) в решетке фиксированного размера. В недавней статье [22] было доказано, что гиперболические узлы с числом пересечений не больше $n$ не доминируют при $n\to\infty$ при стандартной стратификации узлов, и утверждалось, что преобладают сателлитные узлы. Изменится ли поведение, если классифицировать узлы по размерам решеток? В этом разделе мы оцениваем, сколько различных узлов можно встретить внутри решетки фиксированного размера. А именно, мы устанавливаем связь между введенной стратификацией по решеточным диаграммам и таблицей Рольфсена. Другими словами, мы отвечаем на вопрос о том, сколько узлов $n_m$, заданных в таблице Рольфсена, происходят из решеточной диаграммы $L_k$. Чтобы оценить количество различных решеточных узлов, мы разделили задачу на две части: 1) в п. 4.1 мы оцениваем, сколько раз решетка размера $(2k+1)\times(2k+1)$ присутствует внутри решетки размера $(2n+1)\times(2n+1)$ для $n>k$; 2) в п. 4.2 мы определяем, какие узлы, классифицированные по таблице Рольфсена, можно найти в решетке размера $(2k+1)\times(2k+1)$. Это позволяет нам исключить тривиальный комбинаторный вклад и учитывать только различные узлы. 4.1. Вложение решетокЧтобы выяснить, сколькими способами можно вложить фиксированную решетку размера $(2k+1)\times(2k+1)$ в решетку большего размера $(2n+1)\times(2n+1)$, мы “развязываем” большую решетку до решетки меньшего размера. Петлю, которая пересекается с $m$ нитями, можно вытянуть $2^m$ способами, так что на каждой отдельной нити будет один и тот же тип пересечений. Примеры представлены на рис. 4. Таким образом, чтобы получить решетку размера $(2k+1)\times(2k+1)$ из решетки размера $(2n+1)\times(2n+1)$, мы делаем три шага. 1. Вытягиваем $k$ горизонтальных и $k$ вертикальных петель, принадлежащих решетке размера $(2k+1)\times(2k+1)$. Это можно сделать $2^{2(n-k)\cdot 2k}$ способами. 2. Затем вытягиваем $n-k$ вертикальных петель, получаем $2^{2(n-k+1)(n-k)}$ вариантов, примеры приведены на рис. 5. 3. На последнем шаге мы получаем тривиальную петлю, поэтому соответствующие пересечения могут быть произвольными. Таким образом, мы получаем еще $2^{2(n-k)}$ способов. На самом деле после первого шага можно распутать оставшуюся часть решетки, начиная с $n-k$ горизонтальных петель. Эта возможность появляется, если $n-k>1$. Подчеркнем, что следует исключить варианты, полученные на предыдущих этапах. 2’. Вытянем $n-k$ горизонтальных петель. Таким образом, мы дополнительно получаем $2^{(n-k+2)(n-k)}$ вариантов. 3’. Вытянем $n-k$ вертикальных петель $2^{2(n-k)}$ способами. Положение решетки размера $(2k+1)\times(2k+1)$ внутри решетки размера $(2n+1)\times(2n+1)$ можно задать $(n-k+1)\times (n-k+1)$ способами, а количество вышеописанных вариантов вытягивания петель остается прежним, даже если решетка размера $(2k+1)\times(2k+1)$ не лежит на границе решетки размера $(2n+1)\times (2n+1)$ (в качестве примера см. рис. 6). Здесь важно, чтобы решетку размера $(2k+1)\times(2k+1)$ нельзя было развязать до решетки меньшего размера, поскольку в противном случае мы учтем несколько раз способы преобразования большего решеточного узла в меньший. В данном анализе мы не рассматриваем случаи, когда полученный меньший решеточный узел расщепляется на несколько частей, разделенных в большей решетке. Таким образом, мы получаем следующую лемму. Лемма 1. Общее количество решеток размера $(2k+1)\times(2k+1)$ внутри решетки размера $(2n+1)\times(2n+1)$ превосходит число 4.2. Узлы внутри решетокЧтобы узнать, сколько узлов с фиксированным числом пересечений можно вложить в решетку размера $(2n+1)\times(2n+1)$, нужно выяснить, какие числа пересечений разрешены в решетке с фиксированным размером. Можно доказать, что в решетке размера $(2k+1)\times(2k+1)$ существуют узлы с нечетным числом пересечений, не превосходящим $(2+1)^2-2$. А именно, легко найти самый большой узел – это бесконечный узел с числом пересечений $(2k+1)^2-2$. Чтобы получить другие узлы, петли бесконечного узла можно вытягивать, оставляя чередование оставшихся пересечений. На рис. 7 приведен пример (каждый шаг удаляет два пересечения, оставляя оставшийся узел альтернированным). Заметим, что согласно теореме о том, что все узлы, реализованные в меньшей решетке, могут быть реализованы и в большей, нет необходимости получать узлы с меньшим числом пересечений. Таким образом, в силу того что нужно просто вложить неразвязываемую решетку размера $(2k+1)\times(2k+1)$ в решетку $(2n+1)\times(2n+1)$, для количества соответствующих узлов получаем следующую лемму. Лемма 2. Количество узлов (обозначим его как $\sigma_k^n$) с числами пересечений (при $k=1$ узел с числом пересечений, равным единице, является тривиальным узлом и должен быть отброшен) в решетке размера $(2n+1)\times(2n+1)$ можно оценить снизу числом $(\sigma_k^n)_{\min}$ вложений решеток, заданным в (4.1). Получим теперь оценку сверху. Как мы установили, количество узлов с нечетными номерами пересечений от $(2k-1)^2$ до $(2k+1)^2-2$ внутри решетки размера $(2n+1)\times(2n+1)$ удовлетворяет оценке $\sigma_k^n\geqslant(\sigma_k^n)_{\min}$, где $(\sigma_k^n)_{\min}$ задано в (4.1). Количество различных типов узлов внутри неразвязываемой решетки размера $(2k+1)\times(2k+1)$ не меньше $8k$ при $k>1$, не меньше $6$ при $k=1$ и не меньше $1$ при $k=0$, поэтому их общая сумма равна
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Sigma_k^n&\geqslant(\Sigma_k^n)_{\min}=8k(n-k+1)^2[2^{2(n-k)(n+k+2)}+{} \\ &\kern128pt +2^{(n-k)(n+3k+4)}(1-\delta_{n-k,1}-\delta_{n-k,0})],\quad k>1, \\ \Sigma_1^n&\geqslant(\Sigma_1^n)_{\min}=6n^2[2^{2(n-1)(n+3)}+2^{(n-1)(n+7)}(1-\delta_{n,2}-\delta_{n,1})], \\ \Sigma_0^n&\geqslant(\Sigma_0^n)_{\min}=(\sigma_0^n)_{\min}=(n+1)^2[2^{2n(n+2)}+2^{n(n+4)}(1-\delta_{n,1}-\delta_{n,0})]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Заметим, что в случае $k>0$ мы учитываем зеркальные узлы, так что количество узлов с фиксированным числом пересечений удваивается. В решетке размера $(2n+1)\times(2n+1)$ содержится всего $2^{(2n+1)^2}$ узлов, так как каждое пересечение можно разрешить любым из двух возможных вариантов. Итак, чтобы получить верхнюю границу количества узлов с фиксированным числом пересечений, нам нужно из общего количества $2^{(2n+1)^2}$ всех узлов вычесть минимальное количество узлов со всеми другими возможными числами пересечений. В результате имеем
$$
\begin{equation}
\sigma_k^n\leqslant 2^{(2n+1)^2}-\sum_{i=0}^n(\Sigma_i^n)_{\min}+(\sigma_k^n)_{\min}.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
Подводя итог, мы получаем следующую теорему. Теорема 4. Количество $\sigma_k^n$ узлов с числом пересечений (при $k=1$ узел с числом пересечений, равным единице, является тривиальным и должен быть отброшен) в решетке размера $(2n+1)\times(2n+1)$ удовлетворяет следующим ограничениям: Замечание 3. Согласно нашему анализу, если существуют узлы с четными номерами пересечений $(2k-1)^2+1,(2k-1)^2+3,\dots,(2k+1)^2-3$ (при $k=1$ узел с числом пересечений, равным двум, является тривиальным и его необходимо отбросить), то их количество также удовлетворяют приведенным выше оценкам (4.4). Приведем несколько примеров:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, 256&\leqslant\sigma_0^1\leqslant 506,\\ 1&\leqslant\sigma_1^1\leqslant 252,\\ 626\,688&\leqslant \sigma_0^2\leqslant 2^{25}-6144,\\ 1024&\leqslant \sigma_1^2\leqslant 2^{25}-631\,824,\\ 1&\leqslant \sigma_2^2\leqslant 2^{25}-632\,847. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Здесь $\sigma_0^1$ – количество тривиальных узлов внутри решетки размера $3\times 3$, а $\sigma_1^1$ – количество других узлов внутри решетки размера $3\times 3$. Через $\sigma_0^2$ обозначено количество тривиальных узлов внутри решетки размера $5\times 5$, через $\sigma_1^2$ – количество узлов с числами пересечений $3$, $5$, $7$ и $4$, $6$ (если они появляются), через $\sigma_2^2$ – количество узлов с номерами пересечений $2n+1$, $n=4,\ldots,11$, и $2n$, $n=5,\ldots,11$ (если они появляются). Из оценок (4.4) также видно, что для любого $n$ преобладают тривиальные узлы.
5. Вычисления на компьютереЧтобы проверить наши оценки (4.4), мы вычисляем полиномы Джонса для малых узлов решетки. Полиномы Джонса являются хорошим инструментом для различения малых узлов. Первым примером узлов с одинаковыми полиномами Джонса является $J^{5_1}(q)=J^{10_{132}}(q)$, и подобные совпадения становятся существенными для узлов с десятью и более пересечениями. 5.1. Узлы внутри решеток размера $3\times3$ и $5\times5$Мы написали компьютерную программу, которая вычисляет полином Джонса решеточных узлов с помощью формулы суммирования по состояниям (см. п. 3.2). Сначала мы нашли, какие типы узлов содержит решетка размера $3\times3$, и их количество. Компьютерная программа дала нам десять различных полиномов Джонса. Сравнивая их с полиномами Джонса для узлов с числом пересечений меньше семи (с использованием атласа узлов [34]) и применяя свойство (3.7), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, J^{0_1}(q)&=1, \\ J^{3_1}(q)&=J^{3_1^{\mathrm{mir}}}(q^{-1})=q^2+q^6-q^8, \\ J^{4_1}(q)&=1 -q^2-q^{-2}+q^4+q^{-4}, \\ J^{5_2}(q)&=J^{5_2^{\mathrm{mir}}}(q^{-1})=q^2-q^4+2 q^6-q^8+q^{10}-q^{12}, \\ J^{6_1}(q)&=J^{6_1^{\mathrm{mir}}}(q^{-1})=q^{-4}-q^{-2}+2-2q^2+q^4-q^6+q^8, \\ J^{7_4}(q)&=J^{7_4^{\mathrm{mir}}}(q^{-1})=q^2-2q^4+3 q^6-2q^8+3q^{10}-2q^{12}+q^{14}-q^{16}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Результаты представлены в табл. 1. Заметим, что количество узлов соответствует нашим оценкам (4.5). В решетке размера $3\times3$ имеются $2^9=512$ узлов. Доля тривиальных узлов составляет $0.609$. Преобладают торические узлы, их доля составляет $0.766$. Таблица 1.Количество узлов в решетке размера $3\times 3$. В строке “тип” H обозначает гиперболический узел, а T – торический. Если количество узлов разбито на сумму двух равных чисел, то соответствующий узел не является амфикиральным, так что узел и его зеркальное отображение отличаются.
Внутри решетки размера $5\times 5$ существует гораздо больше различных узлов. Мы вычислили $13\,829$ различных полиномов Джонса (с точностью до замены $q\to q^{-1}$). Таким образом, внутри данной решетки содержится не менее $13\,829$ различных узлов. В табл. 2 мы записали типы и количество узлов с числом пересечений меньше или равным девяти. Вновь отметим, что количество узлов соответствует нашим оценкам (4.5). Таблица 2.Количество узлов в решетке размера $5\times 5$ с числом пересечений не больше девяти (чтобы сократить таблицу, мы не различаем узлы и их зеркальные отображения).
Нам удалось идентифицировать только узлы с числом пересечений менее двенадцати, так как известные базы данных [21], [34] содержат полиномы Джонса только для таких узлов. Таким образом, мы не можем найти доли гиперболических и сателлитных узлов. Доля тривиальных узлов составляет $0.151$, и они преобладают. Количество узлов с числом пересечений не больше девяти показаны на рис. 8. 5.2. Доля тривиальных узловВыше мы представили результаты полных численных экспериментов с решетками размера $3\times 3$ и $5\times 5$. Для перехода к решеткам большего размера необходимо сделать два ограничения (иначе требуемые численные вычисления становятся непосильными даже для современных компьютеров). • Ограничиваем область поиска: переключаемся с обнаружения всех возможных узлов на обнаружение только тривиальных узлов и узлов вне стандартной таблицы Рольфсена (т. е. с минимальным числом пересечений более десяти). Как уже упоминалось выше, это делается с помощью вычисления полинома Джонса, поэтому из-за неизбежных совпадений на различающихся узлах результатом для больших узлов будет оценка сверху. Эта оптимизация резко снижает требования к памяти, поскольку мы не отслеживаем все различные узлы. • Уменьшаем точность: вместо того чтобы честно перебирать все узлы на заданной решетке, будем генерировать (разумно) большое количество случайных узлов на этой решетке (методом типа метода Монте-Карло). Из этой выборки можно получить оценку доли тривиальных узлов, но не точное общее количество. С помощью этой оптимизации можно ограничить время вычислений любым (разумным) желаемым значением. В результате мы получили оценки количества тривиальных узлов и узлов с числом пересечений больше десяти на заданной решетке (см. табл. 3). Мы видим, что: 1) эти числа согласуются (по модулю неточностей метода случайной выборки и совпадений полиномов Джонса) с теоретическими оценками (4.4) и с числовыми значениями для полной итерации (см. табл. 1 и 2); 2) похоже, что доля тривиальных узлов экспоненциально убывает, это подтверждает оценки (асимптотического среднего поля) Гросберга и Нечаева [30], [31]; 3) количество не рольфсеновских (с минимальным числом пересечений больше десяти) узлов в прямоугольной сетке (экспоненциально) быстро приближается к единице, т. е. задача нахождения узлов с небольшим количеством пересечений на большой сетке оказывается экспоненциально сложной с точки зрения вычислений; это также согласуется с нашими теоретическими оценками (4.4), которые предсказывают экспоненциальный рост количества узлов с большим числом пересечений. Последствия этого факта будут изучены в будущих исследованиях. Таблица 3.Количество тривиальных узлов и узлов с числом пересечений больше десяти.
6. Заключение и обсуждениеВ этой статье мы ответили на классические вопросы теории узлов, касающиеся введенной стратификации на основе решеточных диаграмм. А именно, мы получили следующие результаты.
Чтобы выяснить, какой тип узлов преобладает при большом размере решетки, нужно понять, как можно эффективно вычислять инварианты узлов, которые различают гиперболические, торические и сателлитные узлы. С ростом размера решетки появляется больше узлов, которые нельзя различить, используя полином Джонса. Более того, для полинома Джонса даже не доказано, различает ли он тривиальные узлы. Более эффективный метод – использовать полином Хованова [33], [32], являющийся категорификацией полинома Джонса, так как существует теорема о том, что полином Хованова детектирует тривиальный узел [35]. Более того, он различает больше узлов. Однако вычислять полином Хованова гораздо сложнее, и разработка простого метода его вычисления для решеточных узлов представляет собой отдельную творческую задачу. БлагодарностиМы хотели бы поблагодарить А. Малютина и Ю. Белоусова за полезные обсуждения. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{LanPopTse23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|