| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Обобщение старшего ранга 11-вершинной рациональной К. Р. Аталиковab, А. В. Зотовab a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Москва, Россия b Национальный исследовательский центр "Курчатовский институт", Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923080019 
Реферативные базы данных:
   1. Введение$R$-матрицаКвантовая $R$-матрица является решением квантового уравнения Янга–Бакстера [1]–[3]:
$$
\begin{equation}
R_{12}^\hbar R_{13}^\hbar R_{23}^\hbar =R_{23}^\hbar R_{13}^\hbar R_{12}^\hbar,\qquad R^\hbar_{ab}=R^\hbar_{ab}(z_a-z_b).
\end{equation}
\tag{1.1}
$$
Это фундаментальный объект в исследованиях квантовых точно решаемых моделей, основанных на RTT-соотношениях и методе анзаца Бете. Он также появляется в различных областях математики, теоретической и математической физики. В данной работе мы используем $R$-матрицы в фундаментальном представлении группы Ли $\text{GL}(N,\mathbb C)$, т. е. $R$-матрица $R^\hbar_{12}(z)$ – матричнозначная функция в пространстве $\operatorname{Mat}(N,\mathbb C)^{\otimes 2}$ от двух комплексных переменных ($\hbar$ – постоянная Планка, $z$ – спектральный параметр). $R$-матрица имеет вид
$$
\begin{equation}
R_{12}^\hbar(z)=\sum_{i,j,k,l=1}^N R_{ij,kl}(\hbar,z)E_{ij}\otimes E_{kl},
\end{equation}
\tag{1.2}
$$
где набор матриц $E_{ij}$ является стандартным матричным базисом в пространстве $\operatorname{Mat}(N,\mathbb C)$: $(E_{ij})_{ab}=\delta_{ia}\delta_{jb}$. Индексы $12$ означают номера тензорных компонент, в которых $R$-матрица нетривиально действует как линейный оператор. Уравнение (1.1) записывается в пространстве $\operatorname{Mat}(N,\mathbb C)^{\otimes 3}$. Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, R_{12}^\hbar(z)&=\sum_{i,j,k,l=1}^NR_{ij,kl}(\hbar,z)1_N\otimes E_{ij}\otimes E_{kl}, \\ R_{13}^\hbar(z)&=\sum_{i,j,k,l=1}^NR_{ij,kl}(\hbar,z)E_{ij}\otimes 1_N\otimes E_{kl} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.3}
$$
и аналогично для $R_{23}^\hbar(z)$, где $1_N$ – единичная матрица размера $N\times N$. Под перестановкой индексов $12\to 21$ понимается действие оператора перестановки $P_{12}$:
$$
\begin{equation}
R_{21}^\hbar(z)=\sum_{i,j,k,l=1}^NR_{ij,kl}(\hbar,z)E_{kl}\otimes E_{ij} =P_{12}R_{12}^\hbar(z)P_{12},\qquad P_{12}=\sum_{i,j=1}^N E_{ij}\otimes E_{ji}.
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Свойства и нормировкаКвантовое уравнение Янга–Бакстера (1.1) дает набор уравнений на функции $R_{ij,kl}(\hbar,z)$. Заметим, что уравнение (1.1) определяет $R$-матрицу с точностью до умножения на произвольную функцию. Эта неоднозначность может быть устранена различными способами в зависимости от дополнительных свойств $R$-матрицы. В этой статье мы рассматриваем $R$-матрицы, обладающие также свойством унитарности
$$
\begin{equation}
R_{12}^\hbar(z)R_{21}^\hbar(-z)=f(\hbar,z)1_N\otimes 1_N,
\end{equation}
\tag{1.5}
$$
где $f(\hbar,z)$ – некоторая функция, и свойством антисимметричности Для унитарных $R$-матриц традиционным выбором функции $f(\hbar,z)$ является тождественная единица, но мы фиксируем нормировку иначе1:
$$
\begin{equation}
f(\hbar,z)=\frac{1}{\hbar^2}-\frac{1}{z^2} =\phi(\hbar,z)\phi(\hbar,-z),\qquad \phi(\hbar,z)=\frac{1}{\hbar}+\frac{1}{z}.
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
Тем самым функцию $\phi(\hbar,z)$ можно рассматривать как $\text{GL}_1$ $R$-матрицу, или, иначе говоря, $\text{GL}_N$ $R$-матрица является матричным аналогом функции $\phi(\hbar,z)$. Другим важным свойством является классический предел. Это разложение $R$-матрицы вблизи $\hbar=0$:
$$
\begin{equation}
R^\hbar_{12}(z)=\frac{1}{\hbar}\,1_N\otimes 1_N+r_{12}(z)+\hbar m_{12}(z)+O(\hbar^2).
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
Первым нетривиальным коэффициентом разложения является классическая $r$-матрица $r_{12}(z)$. Из (1.1) легко получить классическое уравнение Янга–Бакстера
$$
\begin{equation}
[r_{12}(z_1-z_2),r_{13}(z_1-z_3)]+[r_{12}(z_1-z_2),r_{23}(z_2-z_3)] +[r_{13}(z_1-z_2),r_{23}(z_2-z_3)]=0.
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
Локальное разложение $R_{12}^\hbar(z)$ вблизи $z=0$ определяется условием $R$-матрица Янга и ее деформацияПростейшим примером $R$-матрицы, удовлетворяющей всем перечисленным выше свойствам, является рациональная $R$-матрица Янга
$$
\begin{equation}
R_{12}^{\text{Yang},\hbar}(z)=\frac{1_N\otimes 1_N}{\hbar}+\frac{P_{12}}{z}.
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
В случае $N=2$ это широко известная 6-вершинная $XXX$ $R$-матрица, нормированная, как в (1.7):
$$
\begin{equation}
R_{12}^{\text{6v},\hbar}(z)=\begin{pmatrix} 1/\hbar+1/z &0 &0 &0 \\ 0 &1/\hbar &1/z &0 \\ 0 &1/z &1/\hbar &0 \\ 0 &0 &0 &1/\hbar+1/z \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
Чередник [4] заметил, что $\text{GL}_2$ $R$-матрица (1.12) обладает следующей 11-вершинной деформацией:
$$
\begin{equation}
R_{12}^{\text{11v},\hbar}(z)=\begin{pmatrix} 1/\hbar+1/z &0 &0 &0 \\ -z-\hbar &1/\hbar &1/z &0 \\ -z-\hbar &1/z &1/\hbar &0 \\ -z^3-\hbar^3-2z^2\hbar-2z\hbar^2 &z+\hbar &z+\hbar &1/\hbar+1/z \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{1.13}
$$
Данная $R$-матрица также удовлетворяет всем упомянутым выше уравнениям и свойствам. Соответствующие квантовые интегрируемые спиновые цепочки обсуждались в работах [5], [6]. В работе [7] было показано, что 11-вершинная $R$-матрица получается из эллиптической $R$-матрицы Бакстера с помощью специальной предельной процедуры. Также был предложен алгоритм вычисления обобщений (1.13) на случай старшего ранга, основанный на предельной процедуре, примененной к $\text{GL}_N$ эллиптической $R$-матрице Бакстера–Белавина. Явный вид для $R$-матрицы в общем случае $\text{GL}_N$ был получен в работе [8] с помощью классического аналога преобразования IRF-Vertex, связывающего рациональную $N$-частичную модель Руйсенарса–Шнайдера и релятивистский волчок на группе Ли $\text{GL}_N$. Аналогичным образом соответствующая классическая $r$-матрица вычислялась в работе [9] с использованием калибровочной эквивалентности рациональной модели Калоджеро–Мозера и некоторой интегрируемой модели рационального волчка. Явные формулы, полученные в [9], [8], довольно сложны (подробнее см. приложение). Эту 11-вершинную $R$-матрицу (а также ее обобщение старшего ранга) можно рассматривать как деформацию $R$-матрицы Янга в следующем смысле:
$$
\begin{equation}
\lim_{\epsilon\to 0}\epsilon R_{12}^{\text{11v},\hbar\epsilon}(z\epsilon) =R_{12}^{\text{Yang},\hbar}(z).
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
Заметим, что до сих пор мы обсуждали $R$-матрицы, зависящие от разности спектральных параметров, $R^\hbar_{ab}(z_a,z_b)=R^\hbar_{ab}(z_a-z_b)$. Все уравнения и условия могут быть распространены и на случай $R^\hbar_{ab}(z_a,z_b)\neq R^\hbar_{ab}(z_a-z_b)$. В таком виде ответ для $\text{GL}_N$ рациональной $R$-матрицы был получен в работах [10] при изучении векторных расслоений на каспидальной кубической кривой. Предположительно ответ из работ [10] калибровочно эквивалентен $R$-матрице $R^\hbar_{ab}(z_a-z_b)$ из работ [7], [8]. Динамические $R$-матрицыВсе упомянутые выше $R$-матрицы являются матрицами вершинного типа. Другой широкий класс $R$-матриц относится к типу IRF [11], [12]. Соответствующие $R$-матрицы называются динамическими ($R$-матрицы вершинного типа также называются нединамическими), поскольку они зависят от дополнительных (динамических) параметров $q_1,\dots,q_N$. Такие $R$-матрицы удовлетворяют квантовому динамическому уравнению Янга–Бакстера (или уравнению Жерве–Невё–Фельдера) [13]
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &R^\hbar_{12}(z_1-z_2\mid q-\hbar^{(3)})R^\hbar_{13}(z_1-z_3\mid q) R^\hbar_{23}(z_2-z_3\mid q-\hbar^{(1)})= \notag \\ &\qquad=R^\hbar_{23}(z_2-z_3\mid q)R^\hbar_{13}(z_1-z_3\mid q -\hbar^{(2)})R^\hbar_{12}(z_1-z_2\mid q), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.15}
$$
где сдвиги динамических переменных $q$ выполняются по следующему правилу:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, R^\hbar_{12}(z_1,z_2\mid q+\hbar^{(3)}) =P_3^\hbar R^\hbar_{12}(z_1,z_2\mid q)P_3^{-\hbar}, \\ P_3^\hbar=\sum_{k=1}^N1\otimes 1\otimes E_{kk} \exp\biggl(N\hbar\,\frac{\partial}{\partial q_k}\biggr). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{1.16}
$$
Множитель $N$ в операторе сдвига обусловлен нашим специальным выбором нормировки переменных. Некоторые динамические и нединамические $R$-матрицы связаны так называемым преобразованием IRF-Vertex [11], [12]:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &R^{\text{Vertex},\hbar}_{12}(z_1-z_2)= \notag \\ &\qquad=g_2(z_2,q)g_1(z_1,q-\hbar^{(2)}) R^{\text{Dynam}}_{12}(\hbar,z_1-z_2\mid q) g^{-1}_2(z_2,q-\hbar^{(1)})g_1^{-1}(z_1,q), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.17}
$$
где $g(z,q)\in\operatorname{Mat}(N,\mathbb C)$ – специальная матрица, осуществляющая преобразование IRF-Vertex, и
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} g_1(z_1,q)&=g(z_1,q)\otimes 1_N,&\qquad g_2(z_2,q)&=1_N\otimes g(z_2,q), \\ g_1(z_1,q-\hbar^{(2)})&=P_2^{-\hbar}g_1(z_1,q)P_2^\hbar,&\qquad g_2(z_2,q-\hbar^{(1)})&=P_1^{-\hbar}g_2(z_2,q)P_1^\hbar \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{1.18}
$$
с $P_i^\hbar$, определенным в (1.16). Соотношение (1.17) можно рассматривать как квантовое калибровочное преобразование. Правая часть соотношения не зависит от $q_1,\dots,q_N$, в то время как все матричные сомножители в правой части соотношения зависят от динамических переменных. Кроме того, матрицы калибровочного преобразования зависят либо от $z_1$, либо от $z_2$, а результат зависит только от разности спектральных параметров $z_1-z_2$. Полудинамические $R$-матрицыДругой интересный класс $R$-матриц был введен Арутюновым, Чеховым и Фроловым в работе [14] (см. также [15], [16]). Эти $R$-матрицы (их назвали полудинамическими) также зависят от динамических параметров $q_1,\dots,q_N$, но уравнение Янга–Бакстера для них иное:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &R^\hbar_{12}(z_1,z_2\mid q)R^\hbar_{13}(z_1-\hbar,z_3-\hbar\mid q) R^\hbar_{23}(z_2,z_3\mid q)= \notag \\ &\qquad=R^\hbar_{23}(z_2-\hbar,z_3-\hbar\mid q)R^\hbar_{13}(z_1,z_3\mid q) R^\hbar_{12}(z_1-\hbar,z_2-\hbar\mid q). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.19}
$$
Аналог соотношения IRF-Vertex (1.17) в этом случае достаточно прост (см. [16]):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &R^{\text{Vertex},\hbar}_{12}(z_1-z_2)= \notag \\ &\qquad=g_2(z_2,q)g_1(z_1+\hbar,q)R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q) g_2^{-1}(z_2+\hbar,q)g_1^{-1}(z_1,q). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.20}
$$
Заметим, что, в отличие от динамической $R$-матрицы, полудинамическая матрица не зависит от разности спектральных параметров2. Сравнивая правые части (1.17) и (1.20), заключаем, что
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q)= g_1^{-1}(z_1+\hbar,q)g_1(z_1,q-\hbar^{(2)})\times{} \notag \\ &\qquad\quad{}\times R^{\text{Dynam}}_{12}(\hbar,z_1-z_2\mid q) g^{-1}_2(z_2,q-\hbar^{(1)})g_2(z_2+\hbar,q). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.21}
$$
Ассоциативное уравнение Янга–БакстераОпределенный класс $R$-матриц вершинного типа удовлетворяет квадратичному соотношению, известному как ассоциативное уравнение Янга–Бакстера [17]:
$$
\begin{equation}
R^\hbar_{12}R^\eta_{23}=R^\eta_{13}R^{\hbar-\eta}_{12} +R^{\eta-\hbar}_{23}R^\hbar_{13},\qquad R^x_{ab}=R^x_{ab}(z_a-z_b).
\end{equation}
\tag{1.22}
$$
Более точно, решения квантового уравнения Янга–Бакстера не всегда удовлетворяют (1.22). И наоборот, не все решения ассоциативного уравнения Янга–Бакстера удовлетворяют (1.1). Однако если рассматривать решения уравнения (1.22) с дополнительными свойствами (1.5), (1.6), то такой линейный оператор $R_{12}^\hbar(z)$ действительно удовлетворяет квантовому уравнению Янга–Бакстера (1.1), т. е. действительно является квантовой $R$-матрицей. Простое доказательство этого факта можно найти в работе [18]. Таким образом, кососимметричное и унитарное решение уравнения (1.22) в фундаментальном представлении группы Ли $\text{GL}_N$ представляет собой квантовую $R$-матрицу. Найденная в [10] рациональная $R$-матрица (где $R^\hbar_{ab}(z_a,z_b)\ne R^\hbar_{ab}(z_a-z_b)$) по построению также удовлетворяет аналогу (1.22) для $R$-матриц, не зависящих от разности спектральных параметров. Отметим также, что некоторый класс рациональных $R$-матриц удовлетворяет неоднородному ассоциативному уравнению Янга–Бакстера [19]. Насколько нам известно, аналог ассоциативного уравнения Янга–Бакстера для динамических $R$-матриц неизвестен. Однако для полудинамических $R$-матриц такое уравнение известно [16]:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &R^\hbar_{12}(z_1+\eta,z_2+\eta)R^\eta_{23}(z_2+\hbar,z_3+\hbar)= \notag \\ &\qquad=R^\eta_{13}(z_1+\hbar,z_3+\hbar)R_{12}^{\hbar-\eta}(z_1+\eta,z_2+\eta)+{} \notag \\ &\qquad\quad{}+R^{\eta-\hbar}_{23}(z_2+\hbar,z_3+\hbar)R^\hbar_{13}(z_1+\eta,z_3+\eta), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.23}
$$
где $R^\hbar_{ab}(z_1,z_2)=R^{\text{Semi-dynam}}_{ab}(\hbar,z_1,z_2\mid q)$. Цель работыВ этой статье обсуждается 11-вершинная $R$-матрица (1.13) и ее обобщение старшего ранга. В разделе 2 рассмотрены свойства матрицы $g(z,q)$ из (1.17), (1.20) в рациональном случае на основе результатов [9]. Соотношения IRF-Vertex (1.17), (1.20), (1.21) известны в эллиптическом и (частично) тригонометрическом случаях, но неизвестны для рационального случая. В разделе 3 мы рассматриваем динамические и полудинамические рациональные $R$-матрицы и доказываем соотношение (1.21). Применяя преобразование IRF-Vertex (1.20), мы получили рациональную $\text{GL}_N$ $R$-матрицу вершинного типа в новой форме. Эта новая форма позволяет доказать ряд важных свойств. В разделе 4 для рациональной $R$-матрицы вершинного типа доказано ассоциативное уравнение Янга–Бакстера (1.22). Также доказаны унитарность (1.5), кососимметричность (1.6) и симметричность аргументов. Наше исследование мотивировано различными приложениями указанных $R$-матриц к построению классических и квантовых интегрируемых систем [20], [21], включая $(1+1)$-мерные теории поля [22]. 2. Рациональная матрица преобразования IRF-VertexПусть $q_1,\dots,q_N$ – набор $\mathbb C$-значных переменных и
$$
\begin{equation}
\bar q_j=q_{j}-\frac1N\sum_{k=1}^N q_k,\qquad \sum_{k=1}^N {\bar q}_k=0.
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
Следуя [1], определим матрицу $g(z)\in\operatorname{Mat}(N,\mathbb C)$:
$$
\begin{equation}
g(z)=g(z,q_1,\dots,q_N)=\Xi(z,q)D^{-1}(q),\qquad \Xi(z,q),D(q)\in\operatorname{Mat}(N,\mathbb C),
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
где
$$
\begin{equation}
\Xi_{ij}(z,q)=(z+\bar q_j)^{\varrho(i)},\qquad D_{ij}(q)=\delta_{ij}\prod_{k\ne i}^N(q_i-q_k)
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
с
$$
\begin{equation}
\varrho(i)=\begin{cases} i-1, &1\leqslant i\leqslant N-1, \\ N, &i=N, \end{cases}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
т. е.
$$
\begin{equation}
\Xi(z,q)=\begin{pmatrix} 1 &1 &\dots &1 \\ z+\bar q_1 &z+\bar q_2 &\dots &z+\bar q_N \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ (z+\bar q_1)^{N-2} &(z+\bar q_2)^{N-2} &\dots &(z+\bar q_N)^{N-2} \\ (z+\bar q_1)^N &(z+\bar q_2)^N &\dots &(z+\bar q_N)^N \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
Определенная выше матрица $\Xi$ обладает следующими свойствами. Свойство 2. Матрица, обратная к $\Xi(z,q)$. Определим набор элементарных симметричных функций от $N$ переменных $x_1,\dots,x_N$: Свойство 3. Вырождение в $z=0$. Из (2.6) следует, что $g(z,q)$ вырождена при $z=0$. Следовательно, матрица $g(0,q)$ должна иметь нетривиальное ядро. Это ядро одномерно. Оно генерируется вектор-столбцом $a$ со всеми элементами, равными $1$: Свойство 4. Факторизация. Определим матрицу 3. IRF-Vertex соотношения и обобщения старшего ранга для 11-вершинной $R$-матрицы3.1. Динамические и полудинамические $R$-матрицыДинамическая рациональная $\text{GL}_N$ $R$-матрица имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &R^{\text{Dynam}}_{12}(\hbar,z_1-z_2\mid q) =\sum_{i\ne j}^N\biggl(\frac{1}{z_1-z_2}+\frac{N}{q_j-q_i}\biggr)E_{ij}\otimes E_{ji}+{} \notag \\ &\quad{}+\sum_{i\ne j}^N \biggl(\frac{1}{\hbar}+\frac{N}{q_i-q_j}\biggr)E_{ii}\otimes E_{jj}+\biggl(\frac{1}{z_1-z_2}+\frac{1}{\hbar}\biggr) \sum_{i=1}^NE_{ii}\otimes E_{ii}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.1}
$$
Прямое вычисление показывает, что она удовлетворяет квантовому динамическому уравнению Янга–Бакстера (1.15). Эта $R$-матрица также обладает свойствами антисимметрии (1.6) и унитарности (1.5). Здесь и далее будем пользоваться полудинамической $\text{GL}_N$ рациональной $R$-матрицей:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q) =\sum_{i\ne j}^N \biggl(\frac{1}{z_1-z_2}+\frac{N}{q_j-q_i}\biggr)E_{ij}\otimes E_{ji}+{} \notag \\ &\quad{}+\sum_{i\ne j}^N \biggl(\frac{1}{\hbar}+\frac{N}{q_j-q_i}\biggr)E_{ii}\otimes E_{jj}-{} \notag \\ &\quad{}-\sum_{i\ne j}^N \biggl(\frac{1}{z_1+\hbar}+\frac{N}{q_j-q_i}\biggr)E_{ij}\otimes E_{jj} +\sum_{i\ne j}^N\biggl(\frac{1}{z_2}+\frac{N}{q_j-q_i}\biggr)E_{jj}\otimes E_{ij}+{} \notag \\ &\quad{}+\biggl(\frac{1}{z_1-z_2}+\frac{1}{z_2}+\frac{1}{\hbar} -\frac{1}{z_1+\hbar}\biggr)\sum_{i=1}^NE_{ii}\otimes E_{ii}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.2}
$$
Также прямым вычислением проверяется, что она удовлетворяет квантовому полудинамическому уравнению Янга–Бакстера (1.19). Свойства антисимметрии и унитарности имеют следующий вид:
$$
\begin{equation}
R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q) =-R^{\text{Semi-dynam}}_{21}(-\hbar,z_2+\hbar,z_1+\hbar\mid q),
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
$$
\begin{equation}
R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q) R^{\text{Semi-dynam}}_{21}(\hbar,z_2,z_1\mid q) =f(\hbar,z_1-z_2)1_N\otimes 1_N.
\end{equation}
\tag{3.4}
$$
Далее обсудим связь между динамическими и полудинамическими $R$-матрицами (3.1) и (3.2). Теорема 1. $R$-матрицы (3.1) и (3.2) связаны следующим твистом: Первая часть утверждения (3.5)–(3.7) является рациональной версией аналогичного, но более общего эллиптического соотношения из работы [14]. Вторая часть утверждения (3.8) выводится из (2.15), (2.16). 3.2. Вывод вершинной $R$-матрицы из преобразования IRF-VertexСвойства калибровочно преобразованной полудинамической $R$-матрицыМы собираемся вычислить вершинную $R$-матрицу, используя полудинамическую $R$-матрицу (3.2) и правую часть соотношения IRF-Vertex (1.20). Прежде всего нужно доказать, что выражение
$$
\begin{equation}
g_2(z_2,q)g_1(z_1+\hbar,q)R^{\text{Semi-dynam}}_{12} (\hbar,z_1,z_2\mid q)g_2^{-1}(z_2+\hbar,q)g_1^{-1}(z_1,q)
\end{equation}
\tag{3.9}
$$
с матрицей $g(z,q)$ (2.2) не зависит от динамических параметров $q_1,\dots,q_N$. Предложение 1. Выражение (3.9) с полудинамической $R$-матрицей (3.2) и матрицей калибровочного преобразования (2.2) не зависит от $q_1,\dots, q_N$. Доказательство. Зафиксируем некоторый индекс $n$: $1\leqslant n\leqslant N$. Определим матрицы
$$
\begin{equation}
l^{(n)}(z,q)=g^{-1}(z,q)\,\partial_{q_n}g(z,q)\in\operatorname{Mat}(N,\mathbb C)
\end{equation}
\tag{3.10}
$$
и
$$
\begin{equation}
l(z,q)=g^{-1}(z,q)\,\partial_zg(z,q)\in\operatorname{Mat}(N,\mathbb C).
\end{equation}
\tag{3.11}
$$
Последняя матрица легко вычисляется из (2.15), (2.16), поскольку Это дает
$$
\begin{equation}
l_{ij}(z,q)=\delta_{ij} \biggl(\frac{1}{Nz}+\sum_{k\colon k\ne j}^N\frac{1}{q_i-q_k}\biggr) +(1-\delta_{ij})\biggl(\frac{1}{Nz}-\frac{1}{q_i-q_j}\biggr).
\end{equation}
\tag{3.13}
$$
Учитывая вид зависимости матрицы $g(z,q)$ от ее переменных (2.2), (2.3), мы также получаем явное выражение для $l^{(n)}(z,q)$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, l^{(n)}_{ij}(z,q)=\frac{N-1}{N}\delta_{jn}l_{ij}(z,q) -\frac{1}{N}(1-\delta_{jn})l_{ij}(z,q) -\delta_{ij}\,\frac{\partial_{q_n}D_{ii}(q)}{D_{ii}(q)}, \\ \frac{\partial_{q_n}D_{ii}(q)}{D_{ii}(q)} =\frac{1-\delta_{in}}{q_n-q_i} +\delta_{in}\sum_{k\colon k\ne i}^N\frac{1}{q_i-q_k}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.14}
$$
Вычислим производную выражения (3.9) по $q_n$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &g_2(z_2,q)g_1(z_1+\hbar,q) \bigl[\partial_{q_n}R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q)+{} \notag \\ &\quad{}+l^{(n)}_1(z_1+\hbar,q) R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q)+{} \notag \\ &\quad{}+l^{(n)}_2(z_2,q)R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q)- R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q)l^{(n)}_2(z_2+\hbar,q)-{} \notag \\ &\quad{}-R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q)l^{(n)}_1(z_1,q)\bigr] g_2^{-1}(z_2+\hbar,q)g_1^{-1}(z_1,q). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.15}
$$
Прямое вычисление показывает, что выражение в квадратных скобках в (3.15) равно нулю. Предложение 2. Выражение (3.9) с полудинамической $R$-матрицей (3.2) и матрицей калибровочного преобразования (2.2) зависит только от разности спектральных параметров $z_1-z_2$. Доказательство. Это утверждение доказывается аналогично предыдущему. Вычислим производную $\partial_{z_1}+\partial_{z_2}$ выражения (3.9):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &g_2(z_2,q)g_1(z_1+\hbar,q)\bigl[(\partial_{z_1}+\partial_{z_2}) R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q)+{} \notag \\ &\quad{}+l_1(z_1+\hbar,q)R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q)+{} \notag \\ &\quad{}+l_2(z_2,q)R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q)- R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q)\,l_2(z_2+\hbar,q)-{} \notag \\ &\quad{}-R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q)l_1(z_1,q)\bigr] g_2^{-1}(z_2+\hbar,q)g_1^{-1}(z_1,q), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.16}
$$
где $l(z,q)$ – матрица (3.11)–(3.13). Непосредственно проверяется, что выражение внутри квадратных скобок в (3.16) обращается в нуль. Обратим внимание, что выражение (3.9) является квантовой $R$-матрицей вершинного типа. Доказательство. Действительно, из предложения 2 следует, что выражение (3.9) эквивалентно записывается в виде
$$
\begin{equation}
g_2(z_2-\hbar,q)g_1(z_1,q)R^{\text{Semi-dynam}}_{12} (\hbar,z_1-\hbar,z_2-\hbar\mid q)g_2^{-1}(z_2,q)g_1^{-1}(z_1-\hbar,q).
\end{equation}
\tag{3.17}
$$
Подставив $R_{ab}^\hbar(z_a-z_b)$ в (1.1) в виде (3.9) или (3.17), получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &R_{12}^\hbar(z_1-z_2)R_{13}^\hbar(z_1-z_3)R_{23}^\hbar(z_2-z_3) =g_1(z_1+\hbar,q)\, g_2(z_2,q)\, g_3(z_3-\hbar,q)\times{} \notag \\ &\quad{}\times\underline{R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q) R^{\text{Semi-dynam}}_{13}(\hbar,z_1-\hbar,z_3-\hbar\mid q) R^{\text{Semi-dynam}}_{23}(\hbar,z_2,z_3\mid q)}\times{} \notag \\ &\quad{}\times g_1^{-1}(z_1-\hbar,q)\,g_2^{-1}(z_2,q)\,g_3^{-1}(z_3+\hbar,q), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.18}
$$
где подчеркнутое выражение – это левая часть соотношения (1.19). Выполняя аналогичное вычисление для правой части (1.1) и используя полудинамическое уравнение Янга–Бакстера (1.19), заключаем, что уравнение (1.1) выполняется. В итоге мы доказали следующее утверждение. Теорема 2. Выражение (3.9) представляет собой квантовую $R$-матрицу вершинного типа, зависящую от разности спектральных параметров. Явный вид рациональной $R$-матрицы вершинного типаПреобразуем полудинамическую $R$-матрицу (3.2):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q) =\sum_{i,j=1}^N\biggl(\frac{E_{ij}\otimes E_{ji}}{z_1-z_2} +\frac{E_{ii}\otimes E_{jj}}{\hbar} -\frac{E_{ij}\otimes E_{jj}}{z_1+\hbar} +\frac{E_{jj}\otimes E_{ij}}{z_2}\biggr)+{} \notag \\ &\quad{}+N\sum_{i\ne j}^N \biggl(\frac{E_{ij}\otimes E_{ji}}{q_j-q_i} +\frac{E_{ii}\otimes E_{jj}}{q_j-q_i} -\frac{E_{ij}\otimes E_{jj}}{q_j-q_i} +\frac{E_{jj}\otimes E_{ij}}{q_j-q_i}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.19}
$$
Тогда выражение (3.9) принимает вид
$$
\begin{equation}
R^\hbar_{12}(z_1-z_2)=\sum_{a,b,c,d=1}^N R^\hbar_{ab,cd}(z_1-z_2)E_{ab}\otimes E_{cd},
\end{equation}
\tag{3.20}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &R^\hbar_{ab,cd}(z_1-z_2)= \sum_{i,j=1}^N \biggl(\frac{g_{ai}(z_1+\hbar)g_{cj}(z_2)g^{-1}_{jb}(z_1)g^{-1}_{id}(z_2+\hbar)}{z_1-z_2}+{} \notag \\ &\quad{}+\frac{g_{ai}(z_1+\hbar)g_{cj}(z_2)g^{-1}_{ib}(z_1)g^{-1}_{jd}(z_2+\hbar)}{\hbar}-{} \frac{g_{ai}(z_1+\hbar)g_{cj}(z_2)g^{-1}_{jb}(z_1)g^{-1}_{jd}(z_2+\hbar)} {z_1+\hbar}+{} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\quad{}+\frac{g_{aj}(z_1+\hbar)g_{ci}(z_2)g^{-1}_{jb}(z_1)g^{-1}_{jd}(z_2+\hbar)} {z_2}\biggr)+{} \notag \\ &\quad{}+N\sum_{i\ne j}^N \biggl(\frac{g_{ai}(z_1+\hbar)g_{cj}(z_2)g^{-1}_{jb}(z_1)g^{-1}_{id}(z_2+\hbar)}{q_j-q_i}+{} \notag \\ &\quad{}+\frac{g_{ai}(z_1+\hbar)g_{cj}(z_2)g^{-1}_{ib}(z_1)g^{-1}_{jd}(z_2+\hbar)}{q_j-q_i}-{} \frac{g_{ai}(z_1+\hbar)g_{cj}(z_2)g^{-1}_{jb}(z_1)g^{-1}_{jd}(z_2+\hbar)}{q_j-q_i}+{} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\quad{}+\frac{g_{aj}(z_1+\hbar)g_{ci}(z_2)g^{-1}_{jb}(z_1)g^{-1}_{jd}(z_2+\hbar)} {q_j-q_i}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.21}
$$
Выражения для матрицы $g(z)$ и обратной к ней матрицы имеют вид (2.2), (2.3) и (2.12) соответственно. Пример 1. Поскольку $R^\hbar_{ab,cd}(z_1-z_2)$ не зависит от $q_1,\dots,q_N$, мы можем зафиксировать эти переменные любым возможным способом. Например, положим Кроме того, $R^\hbar_{ab,cd}(z_1-z_2)$ зависит только от разности $z_1-z_2$. Эту свободу можно зафиксировать разными способами. Например, Введем набор функций и набор чисел Благодаря (2.12) получаем
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{2} s_{kj}(z)&=(-1)^{\varrho(j)} \biggl(\frac{2\sigma_{\varrho(j)}({y})}{Nz} -\overset{k}{\sigma}_{\varrho(j)}({y})\biggr),&\qquad y_j&=\frac{z}{2}+j-\frac{N+1}{2}, \\ t^\hbar_{kj}(z)&=(-1)^{\varrho(j)} \biggl(\frac{2\sigma_{\varrho(j)}({v})}{N(-z+2\hbar)} -\overset{k}{\sigma}_{\varrho(j)}({v})\biggr),&\qquad v_j&=-\frac{z}{2}+\hbar+j-\frac{N+1}{2}. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{3.26}
$$
Тогда (3.21) принимает следующий вид:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, R^\hbar_{ab,cd}(z)&=\sum_{i,j=1}^N \biggl(\frac{(z/2+\hbar+\bar q_i)^{\rho(a)}(-z/2+{\bar q}_j)^{\rho(c)}}{d_id_j}\times{} \notag \\ &\qquad\qquad{}\times\biggl[\frac{s_{jb}(z)t^\hbar_{id}(z)}{z} +\frac{s_{ib}(z)t^\hbar_{jd}(z)}{\hbar} -\frac{2s_{jb}(z)t^\hbar_{jd}(z)}{z+2\hbar}\biggr]-{} \notag \\ &\qquad\qquad{}-\frac{(z/2+\hbar+{\bar q}_j)^{\rho(a)}(-z/2+\bar q_i)^{\rho(c)}}{d_id_j} \frac{2s_{jb}(z)t^\hbar_{jd}(z)}{z}\biggr)+{} \notag \\ &\quad{}+N\sum_{i\ne j}^N \biggl(\frac{(z/2+\hbar+\bar q_i)^{\rho(a)}(-z/2+{\bar q}_j)^{\rho(c)}}{d_id_j(j-i)}\times{} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad{}\times[s_{jb}(z)t^\hbar_{id}(z) +s_{ib}(z)t^\hbar_{jd}(z)-s_{jb}(z)t^\hbar_{jd}(z)]+{} \notag \\ &\qquad\qquad\qquad{}+\frac{(z/2+\hbar+\bar q_j)^{\rho(a)}(-z/2+\bar q_i)^{\rho(c)}}{d_id_j} \frac{s_{jb}(z)t^\hbar_{jd}(z)}{j-i}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.27}
$$
Пример 2. Конечно, переменные $z_1$, $z_2$ (и $q_1,\dots,q_N$) можно зафиксировать иначе. Рассмотрим следующий выбор: $z_1=z$, $z_2=0$. Так как $R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q)$ имеет простой полюс по переменной $z_2$ в $z_2=0$, следует внимательно рассмотреть выражение (3.9) вблизи $z_2=0$. Полудинамическая $R$-матрица имеет следующее разложение: Аналогичное представление существует и для тригонометрических и эллиптических $R$-матриц. 3.3. Совпадение старой и новой форм рациональной $R$-матрицыЗдесь мы объясним, почему выражение (3.21) совпадает с выражением (A.1). Прямое доказательство является довольно сложным. Для конечного $N$ это можно сделать с помощью компьютерных вычислений (мы сделали это для $N=2,\dots,6$). Для произвольного $N$ мы докажем совпадение, используя тот факт, что выражение (A.1) было получено в работе [8] через классический аналог соотношения IRF-Vertex (калибровочная эквивалентность классических матриц Лакса). Связь между классическими и квантовыми соотношениями IRF-Vertex была объяснена в работе [23] для эллиптических моделей. Ниже мы используем аналогичный подход. Чтобы различать (3.21) и (A.1), обозначим выражение (A.1) как $\widetilde R^\hbar_{12}(z)$. Кратко напомним идею вывода (A.1). Свойство факторизации (2.16) позволяет записать матрицу Лакса классической модели Руйсенарса–Шнайдера в виде где $P=\operatorname{diag}(p_1,\dots,p_N)\in\operatorname{Mat}(N,\mathbb C)$ – диагональная матрица импульсов. Переменные $q_1,\dots,q_N$ играют роль координат частиц. Выполним калибровочное преобразование
$$
\begin{equation}
L^{\text{top}}(z)=g(z,q)L^{\text{RS}}(z)g^{-1}(z,q) =g(z+\eta,q)e^P g^{-1}(z,q)
\end{equation}
\tag{3.35}
$$
и вычислим вычет полученного выражения:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S=S(p,q,\eta)&=\operatorname*{Res}_{z=0}L^{\text{top}}(z) =g(\eta,q)e^P\breve g(0,q)\in\operatorname{Mat}(N,\mathbb C), \\ \breve g(0,q)&=\operatorname*{Res}_{z=0}g^{-1}(z). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.36}
$$
Основное наблюдение состоит в том, что $L^{\text{top}}(z)$ (3.35) представляется в следующем виде3:
$$
\begin{equation}
L^{\text{top}}(z)=\operatorname{tr}_2(\widetilde R^\eta_{12}(z)S_2),\qquad S_2=1_N\otimes S,
\end{equation}
\tag{3.37}
$$
где $\operatorname{tr}_2$ – след по второй тензорной компоненте, а $\widetilde R^\eta_{12}(z)$ не зависит от переменных $p_1,\dots,p_N$ и $q_1,\dots,q_N$. Выражение (A.1) было вычислено именно таким образом, т. е. соотношение (3.37) можно рассматривать как определение $\widetilde R^\eta_{12}(z)$. Докажем, что соотношение (3.37) выполняется и для $R$-матрицы $R^\eta_{12}(z)$ (3.21). Для этого нам понадобится еще одно свойство (3.21), упомянутое в [16]. Напомним, что выражение для $R^\eta_{12}(z)$ было получено, как указано в (1.20). Умножая обе части (1.20) на матрицу $g_2^{-1}(z_2)$ слева,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &g^{-1}_2(z_2,q)R^\hbar_{12}(z_1-z_2)= \notag \\ &\quad{}=g_1(z_1+\hbar,q)R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q) g_2^{-1}(z_2+\hbar,q)g_1^{-1}(z_1,q), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.38}
$$
и взяв вычет от обеих частей по переменной $z_2$ в точке $z_2=0$, а также пользуясь (3.29) и обозначением $\breve g(0,q)$ из (3.36), получим
$$
\begin{equation}
\breve g_2(0,q)R^\hbar_{12}(z) =g_1(z+\hbar,q)\mathcal O_{12}g_2^{-1}(\hbar,q)g_1^{-1}(z,q).
\end{equation}
\tag{3.39}
$$
Предложение 4. Рациональная $\text{GL}_N$ $R$-матрица вершинного типа (3.21) удовлетворяет соотношению (3.37). Доказательство. Заметим, что поэтому
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, g(z+\eta,q)e^Pg^{-1}(z,q) &=\operatorname{tr}_2(g_1(z+\eta,q)\mathcal O_{12}e^{P_2}g_1^{-1}(z,q))= \notag \\ &=\operatorname{tr}_2(g_1(z+\eta,q)\mathcal O_{12}g_1^{-1}(z,q)g_2^{-1}(\eta,q) g_2(\eta,q)e^{P_2}) \overset{(3.39)}{=} \notag \\ &\!\!\!\overset{(3.39)}{=} \operatorname{tr}_2(\breve g_2(0,q)R^\eta_{12}(z)g_2(\eta,q)e^{P_2})= \operatorname{tr}_2(R^\eta_{12}(z)S_2). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3.41}
$$
Таким образом, мы показали, что два определения (3.21) и (A.1) для рациональной $R$-матрицы совпадают. 4. Ассоциативное уравнение Янга–Бакстера и другие свойства $R$-матрицы4.1. Антисимметрия и унитарностьПредложение 5. Рациональная $\text{GL}_N$ $R$-матрица вершинного типа (3.21) или типа (A.1) удовлетворяет свойству унитарности (1.5) и антисимметрии (1.6). Доказательство. Подставляя (3.9) в $R_{12}^\hbar(z)R_{21}^\hbar(-z)$, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &R_{12}^\hbar(z_1-z_2)R_{21}^\hbar(z_2-z_1)= \notag \\ &\quad=g_2(z_2,q)g_1(z_1+\hbar,q)R^{\text{Semi-dynam}}_{12} (\hbar,z_1,z_2\mid q)g_2^{-1}(z_2+\hbar,q)g_1^{-1}(z_1,q)\times{} \notag \\ &\quad\quad{}\times g_1(z_1,q)g_2(z_2+\hbar,q)R^{\text{Semi-dynam}}_{21} (\hbar,z_2,z_1\mid q)g_1^{-1}(z_1+\hbar,q)g_2^{-1}(z_2,q)\overset{(3.4)}{=} \notag \\ &\quad=f(\hbar,z_1-z_2)1_N\otimes 1_N. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Запишем полудинамическую $R$-матрицу через вершинную матрицу:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q)= \notag \\ &\qquad=g_2^{-1}(z_2,q)g_1^{-1}(z_1+\hbar,q) R_{12}^\hbar(z_1-z_2)g_2(z_2+\hbar,q) g_1(z_1,q). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Тогда
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &R^{\text{Semi-dynam}}_{21}(-\hbar,z_2+\hbar,z_1+\hbar\mid q)= \notag \\ &\qquad=g_1^{-1}(z_1+\hbar,q)g_2^{-1}(z_2,q)R_{21}^{-\hbar}(z_2-z_1) g_1(z_1,q)g_2(z_2+\hbar,q), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
и, сравнивая (4.2) и (4.3), получаем (1.6) вследствие (3.3). Предложение 6. Рациональная $\text{GL}_N$ $R$-матрица вершинного типа (3.21) или типа (A.1) имеет следующее локальное поведение: Доказательство легко следует из представления $R_{12}^\hbar(z)$ в виде (3.9) и также легко проверяемых следующих свойств полудинамической $R$-матрицы:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \operatorname*{Res}_{\hbar=0} R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q)&=1_N\otimes 1_N, \\ \operatorname*{Res}_{z_1=z_2} R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar,z_1,z_2\mid q)&=P_{12}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.5}
$$
Этот же результат следует из второй строки (3.21). Заметим, что вершинная $R$-матрица не имеет полюсов старших порядков по $\hbar$. Таким образом, мы доказали, что данная $R$-матрица удовлетворяет разложению классического предела (1.8) вблизи точки $\hbar=0$. 4.2. Симметрия аргументовЭллиптическая $R$-матрица Бакстера–Белавина (в фундаментальном представлении группы Ли $\text{GL}_N$) удовлетворяет также свойству симметрии аргументов [24]: Оно очень удобно в различных вычислениях. Докажем его для рационального случая (3.21). Как и во всех утверждениях выше, план состоит в том, чтобы найти аналог (4.6) для полудинамической $R$-матрицы (3.19), а затем использовать соотношение IRF-Vertex (4.2). Полудинамический аналог (4.6) заключается в следующем.Лемма 1. Полудинамическая $R$-матрица (3.19) удовлетворяет следующему аналогу свойства симметрии аргументов4: Доказательство. Утверждение доказывается прямой проверкой. Используя свойства действия оператора перестановки
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, E_{ij}\otimes E_{ji}P_{12}=E_{ii}\otimes E_{jj},\qquad E_{ii}\otimes E_{jj}P_{12}=E_{ij}\otimes E_{ji}, \\ E_{ij}\otimes E_{jj}P_{12}=E_{ij}\otimes E_{jj},\qquad E_{jj}\otimes E_{ij}P_{12}=E_{jj}\otimes E_{ij},\qquad \\ E_{ii}\otimes E_{ii}P_{12}=E_{ii}\otimes E_{ii}, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.8}
$$
получаем (4.7). Предложение 7. Рациональная $\text{GL}_N$ $R$-матрица вершинного типа (3.21) или типа (A.1) удовлетворяет свойству симметрии аргументов (4.6). Доказательство. Вследствие (4.2) для правой части (4.7) получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(z_1-z_2,\hbar+z_2,z_2\mid q)P_{12}= \notag \\ &\qquad=g_2^{-1}(z_2,q)g_1^{-1}(z_1+\hbar,q) R_{12}^{z_1-z_2}(\hbar)g_2(z_1,q)g_1(z_2+\hbar,q)P_{12}= \notag \\ &\qquad=g_2^{-1}(z_2,q)g_1^{-1}(z_1+\hbar,q) R_{12}^{z_1-z_2}(\hbar)P_{12}g_1(z_1,q)g_2(z_2+\hbar,q). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.9}
$$
Левая часть (4.7) определяется как (4.2). Сравниваем (4.2) и (4.9) и получаем утверждение предложения. 4.3. Ассоциативное и квантовое уравнения Янга–БакстераДоказательство ассоциативного уравнения Янга–Бакстера (1.22) для вершинной $R$-матрицы в эллиптическом случае достаточно простое (см., например, [18]). В рациональном случае прямое доказательство представляет собой технически сложную задачу. По этой причине мы используем ассоциативное уравнение Янга–Бакстера (1.23) для полудинамической $R$-матрицы и выполняем калибровочное (IRF-Vertex) преобразование. В действительности уравнение (1.23) исходно было получено из (1.22) аналогичным образом [16]. Предложение 8. Рациональная $\text{GL}_N$ $R$-матрица вершинного типа (3.21) или типа (A.1) удовлетворяет ассоциативному уравнению Янга–Бакстера (1.22). Доказательство. Подставляя (4.2) в слагаемые полудинамического ассоциативного уравнения Янга–Бакстера (1.23), получаем
$$
\begin{equation}
R^{\text{Semi-dynam}}_{12}(\hbar ,z_1+\eta,z_2+\eta) R^{\text{Semi-dynam}}_{23}(\eta,z_2+\hbar,z_3+\hbar)= \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad=g_1^{-1}(z_1+\hbar+\eta)g_2^{-1}(z_2+\eta)g_3^{-1}(z_3+\hbar) R^\hbar_{12}(z_1-z_2)\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\quad{}\times R^\eta_{23}(z_2-z_3) g_1(z_1+\eta)g_2(z_2+\hbar)g_3(z_3+\hbar+\eta),
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
$$
\begin{equation}
R^{\text{Semi-dynam}}_{13}({\eta},z_1+\hbar,z_3+\hbar) R^{\text{Semi-dynam}}_{12}({\hbar-\eta},z_1+\eta,z_2+\eta)= \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad=g_1^{-1}(z_1+\hbar+\eta)g_2^{-1}(z_2+\eta)g_3^{-1}(z_3+\hbar) R^\eta_{13}(z_1-z_3)\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\quad{}\times R^{\hbar-\eta}_{12}(z_1-z_2) g_1(z_1+\eta)g_2(z_2+\hbar)g_3(z_3+\hbar+\eta),
\end{equation}
\tag{4.11}
$$
$$
\begin{equation}
R^{\text{Semi-dynam}}_{23}(\eta-\hbar,z_2+\hbar,z_3+\hbar) R^{\text{Semi-dynam}}_{13}(\hbar,z_1+\eta,z_3+\eta)= \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad=g_1^{-1}(z_1+\hbar+\eta)g_2^{-1}(z_2+\eta)g_3^{-1}(z_3+\hbar) R^{\eta-\hbar}_{23}(z_2-z_3)\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\quad{}\times R^\hbar_{13}(z_1-z_3) g_1(z_1+\eta)g_2(z_2+\hbar)g_3(z_3+\hbar+\eta).
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
Тогда (1.22) следует из (1.23). Вместе со свойствами (1.5)–(1.8) ассоциативное уравнение Янга–Бакстера приводит к широкому набору тождеств, полезных в различных приложениях. Например, классическая $r$-матрица удовлетворяет не только классическому уравнению Янга–Бакстера, но и следующему соотношению:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(r_{12}(z_1-z_2)+r_{23}(z_2-z_3)+r_{31}(z_3-z_1))^2= \notag \\ &\qquad=1_N\otimes 1_N\otimes 1_N \biggl(\frac{1}{(z_1-z_2)^2}+\frac{1}{(z_2-z_3)^2}+\frac{1}{(z_3-z_1)^2}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
Коэффициент $m_{12}(z)$ в разложении (1.8) вычисляется как
$$
\begin{equation}
m_{12}(z)=\frac{1}{2}\biggl(r^2_{12}(z)-\frac{1_N\otimes 1_N}{z^2}\biggr).
\end{equation}
\tag{4.14}
$$
Многие другие тождества можно найти в работах [18], [20]–[22], [25]. Наконец отметим, что квантовое уравнение Янга–Бакстера (1.1) для рациональной $\text{GL}_N$ $R$-матрицы вершинного типа следует из предложения 3. Иначе, уравнение (1.1) можно вывести из ассоциативного уравнения Янга–Бакстера (1.22) и свойств (1.5), (1.6). Простое доказательство можно найти в работе [18]. Приложение A. Рациональная $R$-матрица в случае $\text{GL}_N$Здесь мы выпишем рациональную $\text{GL}_N$ $R$-матрицу из работ [8], [9], а также вычислим некоторые коэффициенты ее разложений. A.1. Квантовая $R$-матрицаНачнем с квантовой $R$-матрицы. Ниже приводится слегка измененная и поправленная версия $R$-матрицы, полученной в работе [8]. Все приведенные ниже суммы должны быть со штрихами (мы не ставим штрихи только для экономии места) в том смысле, что индексы суммирования пробегают все возможные значения, при которых слагаемые в суммах являются корректно определенными выражениями. Более точно, слагаемые содержат выражения вида $\rho^{-1}(m)$. Вследствие (2.4) такие выражения определены для $m=1,\dots,N-2$ и $m=N$, но не определены для $m=N-1$. Соответствующие слагаемые пропущены в суммах. Для $R$-матрицы получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, R_{12}^\hbar(z)&=A(z,\hbar)\otimes B(\hbar) +\frac{1}{z}\sum_{i,j=1}^NE_{ij} \otimes\biggl\{\,\sum_{\gamma=0}^{\varrho(i)}z^\gamma \begin{pmatrix} \varrho(i) \\ \gamma \end{pmatrix}E_{j,\varrho^{-1}(\varrho(i)-\gamma)}-{} \notag \\ &\quad{}-\sum_{\gamma=0}^{\varrho(i)}z^{\gamma+N-j+1}(-1)^{\varrho(j)+N}(N-j) \begin{pmatrix} \varrho(i) \\ \gamma \end{pmatrix}\begin{pmatrix} N \\ j-1 \end{pmatrix}E_{N,\varrho^{-1}(\varrho(i)-\gamma)}+{} \notag \\ &\quad{}+\sum_{\gamma=0}^{\varrho(i)}\sum_{s=1}^{N-j} z^{s+\gamma}(-1)^{s+\delta_{j,N}} \begin{pmatrix} \varrho(i) \\ \gamma \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s+j-1 \\ j-1 \end{pmatrix}E_{\varrho^{-1}(s+j-1),\varrho^{-1}(\varrho(i)-\gamma)}-{} \notag \\ &\quad{}-N\sum_{\gamma=0}^{\varrho(i)}\sum_{s=1}^{N-j}(-1)^{s+\delta_{j,N}} z^s(z+\hbar)^\gamma\begin{pmatrix} s+j-2 \\ j-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \varrho(i) \\ \gamma \end{pmatrix}\times{} \notag \\ &\quad{}\times\biggl[\delta_{\varrho(i)+1\leqslant j+s+\gamma}\sum_{c=0}^{N-s-j+1} \sum_{p=0}^{\varrho(i)-\gamma+c}(-\hbar)^p\begin{pmatrix} \varrho(i)-\gamma+c \\ p \end{pmatrix}\times{} \notag \\ &\quad{}\times E_{\varrho^{-1}(s+j+c-1),\varrho^{-1}(\varrho(i)-\gamma-p+c)}-{} \notag \\ &\quad{}-\delta_{\varrho(i)+1>j+s+\gamma}\sum_{c=0}^{s+j-2} \sum_{p=0}^{\varrho(i)-\gamma-c-1}(-\hbar)^p \begin{pmatrix} \varrho(i)-\gamma-c-1 \\ p \end{pmatrix}\times{} \notag \\ &\quad{}\times E_{\varrho^{-1}(s+j-c-2),\varrho^{-1}(\varrho(i)-\gamma-p-c-1)}\biggr]\biggr\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{A.1}
$$
где $A(z,\hbar)$ и $B(\hbar)$ – следующие $\text{Mat}_N(\mathbb C)$-значные функции:
$$
\begin{equation}
A(z,\hbar) =E_{NN}-\sum_{j=1}^N(N-j)z^{N-j+1}(-1)^{\varrho(j)+N} \begin{pmatrix} N \\ j-1 \end{pmatrix}E_{N j}-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad{}-\sum_{i,j=1}^N\sum_{s=1}^{N-j}\sum_{b=0}^{\varrho(i)}(-1)^{s+\delta_{j,N}} z^{s-1}(z+\hbar)^b\begin{pmatrix} s+j-2 \\ j-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \varrho(i) \\ b \end{pmatrix}\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad\qquad\quad{}\times(\delta_{\varrho(i)-j,b+s-2}-N\hbar\delta_{\varrho(i)-j,b+s-1})E_{ij},
\end{equation}
\tag{A.2}
$$
$$
\begin{equation}
B(\hbar) =\frac{1_N}{\hbar}-\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N \biggl[\delta_{\varrho(j)\geqslant 1}\varrho(j)E_{j,\varrho^{-1}(\varrho(j)-1)}-(-1)^{\delta_{j,N}}jE_{\varrho^{-1}(j),j} +{}\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad+ N\sum_{b=0}^{\varrho(j)}(-1)^{b+\delta_{j,N}} \begin{pmatrix} \varrho(j) \\ b\end{pmatrix}\sum_{c=0}^{N-j}\sum_{p=0}^{\varrho(j)-b+c} (-\hbar)^{p+b}\begin{pmatrix} \varrho(j)-b+c \\ p \end{pmatrix}\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad\qquad\quad{}\times E_{\varrho^{-1}(j+c),\varrho^{-1}(\varrho(j)-b-p+c)}\biggr].
\end{equation}
\tag{A.3}
$$
A.2. Классическая $r$-матрицаКлассическая $r$-матрица
$$
\begin{equation}
r_{12}(z)=\lim_{\hbar\to 0}\biggl(R_{12}(z)-\frac{1_N\otimes 1_N}{\hbar}\biggr)
\end{equation}
\tag{A.4}
$$
была вычислена в работе [9]. Здесь приведем немного другое выражение, полученное из (A.1). Рассмотрим разложения матриц $A(z,\hbar)$ (A.2) и $B(\hbar)$ (A.3):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, A(z,\hbar) &=A^{[0]}(z)+\hbar A^{[1]}(z)+\hbar^2 A^{[2]}(z)+\cdots, \\ B(\hbar) &=\hbar^{-1}1_N+B^{[0]}+\hbar B^{[1]}+\cdots\,. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{A.5}
$$
Выражение для классической $r$-матрицы имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, r_{12}(z) &=A^{[0]}(z)\otimes B^{[0]}+A^{[1]}(z)\otimes 1_N +\frac{1}{z}\sum_{i,j=1}^NE_{ij} \otimes\biggl\{\,\sum_{\gamma=0}^{\varrho(i)}z^\gamma \begin{pmatrix} \varrho(i) \\ \gamma \end{pmatrix}E_{j,\varrho^{-1}(\varrho(i)-\gamma)}-{} \notag \\ &\quad{}-\sum_{\gamma=0}^{\varrho(i)}z^{\gamma+N-j+1} (-1)^{\varrho(j)+N}(N-j)\begin{pmatrix} \varrho(i) \\ \gamma \end{pmatrix}\begin{pmatrix} N \\ j-1 \end{pmatrix}E_{N,\varrho^{-1}(\varrho(i)-\gamma)}+{} \notag \\ &\quad{}+\sum_{\gamma=0}^{\varrho(i)}\sum_{s=1}^{N-j} z^{s+\gamma}(-1)^{s+\delta_{j,N}} \begin{pmatrix} \varrho(i) \\ \gamma \end{pmatrix}\begin{pmatrix} s+j-1 \\ j-1 \end{pmatrix}E_{\varrho^{-1}(s+j-1),\varrho^{-1}(\varrho(i)-\gamma)}-{} \notag \\ &\quad{}-N\sum_{\gamma=0}^{\varrho(i)}\sum_{s=1}^{N-j} (-1)^{s+\delta_{j,N}}z^{s+\gamma}\begin{pmatrix} s+j-2 \\ j-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \varrho(i) \\ \gamma \end{pmatrix}\times{} \notag\\ &\quad\qquad\times\biggl[\delta_{\varrho(i)+1\leqslant j+s+\gamma}\sum_{c=0}^{N-s-j+1} E_{\varrho^{-1}(s+j+c-1),\varrho^{-1}(\varrho(i)-\gamma+c)}-{} \notag \\ &\quad\qquad\qquad{}-\delta_{\varrho(i)+1>j+s+\gamma}\sum_{c=0}^{s+j-2} E_{\varrho^{-1}(s+j-c-2),\varrho^{-1}(\varrho(i)-\gamma-c-1)}\biggr]\biggr\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{A.6}
$$
где $A^{[0]}(z)$, $A^{[1]}(z)$ и $B^{[0]}$ – следующие $\text{Mat}_N(\mathbb C)$-значные функции:
$$
\begin{equation}
A^{[0]}(z) =E_{NN}-\sum_{j=1}^N(N-j)z^{N-j+1}(-1)^{\varrho(j)+N} \begin{pmatrix} N \\ j-1 \end{pmatrix}E_{N j}-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad{}-\sum_{i,j=1}^N\sum_{s=1}^{N-j}\sum_{b=0}^{\varrho(i)} (-1)^{s+\delta_{j,N}}z^{s+b-1}\begin{pmatrix} s+j-2 \\ j-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \varrho(i) \\ b \end{pmatrix}\delta_{\varrho(i)-j,b+s-2}E_{ij},
\end{equation}
\tag{A.7}
$$
$$
\begin{equation}
A^{[1]}(z) =-\sum_{i,j=1}^N\sum_{s=1}^{N-j}\sum_{b=0}^{\varrho(i)}(-1)^{s+\delta_{j,N}} z^{s+b-2}\begin{pmatrix} s+j-2 \\ j-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \varrho(i) \\ b \end{pmatrix}\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad\qquad\times(b\delta_{\varrho(i)-j,b+s-2}-Nz\delta_{\varrho(i)-j,b+s-1})E_{ij},
\end{equation}
\tag{A.8}
$$
$$
\begin{equation}
B^{[0]} =-\frac{1}{N}\sum_{j=1}^N\biggl[\delta_{\varrho(j)\geqslant 1}\varrho(j) E_{j,\varrho^{-1}(\varrho(j)-1)}-(-1)^{\delta_{j,N}}jE_{\varrho^{-1}(j),j}+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad\qquad\qquad\qquad+N(-1)^{\delta_{j,N}}\sum_{c=0}^{N-j} E_{\varrho^{-1}(j+c),\varrho^{-1}(\varrho(j)+c)}\biggr].
\end{equation}
\tag{A.9}
$$
A.3. Другие коэффициентыДля различных приложений (см. [8], [18], [22], [25]) нужны и другие коэффициенты разложения $R$-матрицы. Вычислим некоторые из них. Начнем с матрицы $m_{12}(z)$ (1.8):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, m_{12}(z)&=A^{[0]}(z)\otimes B^{[1]}+A^{[1]}(z) \otimes B^{[0]}+A^{[2]}(z)\otimes 1_N+{} \notag \\ &\quad{}+\sum_{i,j=1}^NE_{ij} \otimes\biggl\{N\sum_{s=1}^{N-j}\sum_{\gamma=0}^{\varrho(i)} (-1)^{s+\delta_{j,N}}z^{s+\gamma-2}\times{} \notag \\ &\quad{}\times\begin{pmatrix} s+j-2 \\ j-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \varrho(i) \\ \gamma \end{pmatrix}\biggl[\delta_{\varrho(i)+1\leqslant j+s+\gamma}\times{} \notag \\ &\quad{}\times\sum_{c=0}^{N-s-j+1}(z(\varrho(i)-\gamma+c) E_{\varrho^{-1}(s+j+c-1),\varrho^{-1}(\varrho(i)-\gamma+c-1)}-{} \notag \\ &\quad{}-\gamma E_{\varrho^{-1}(s+j+c-1),\varrho^{-1}(\varrho(i)-\gamma+c)})+{} \notag \\ &\quad{}+\delta_{\varrho(i)+1>j+s+\gamma}\sum_{c=0}^{s+j-2} (\gamma E_{\varrho^{-1}(s+j-c-2),\varrho^{-1}(\varrho(i)-\gamma-c-1)}-{} \notag \\ &\quad{}-z(\varrho(i)-\gamma-c-1)E_{\varrho^{-1}(s+j-c-2), \varrho^{-1}(\varrho(i)-\gamma-c-2)})\biggr]\biggr\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{A.10}
$$
где $A^{[2]}(z)$ и $B^{[1]}$ – следующие матрицы:
$$
\begin{equation}
A^{[2]}(z) =-\sum_{i,j=1}^N\sum_{s=1}^{N-j}\sum_{b=0}^{\varrho(i)} (-1)^{s+\delta_{j,N}}z^{s+b-3} \begin{pmatrix} s+j-2 \\ j-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \varrho(i) \\ b \end{pmatrix}\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad{}\times\biggl(\frac{b(b-1)}{2}\delta_{\varrho(i)-j,b+s-2} -bNz\delta_{\varrho(i)-j,b+s-1}\biggr)E_{ij},
\end{equation}
\tag{A.11}
$$
$$
\begin{equation}
B^{[1]} =\sum_{j=1}^N(-1)^{\delta_{j,N}}\sum_{c=0}^{N-j} cE_{\varrho^{-1}(j+c),\varrho^{-1}(\varrho(j)+c-1)}.
\end{equation}
\tag{A.12}
$$
Вычислим матрицу $m_{12}(0)$. Подставляя $z=0$ в полученное выше выражение, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, m_{12}(0)&=A^{[0]}(0)\otimes B^{[1]}+A^{[1]}(0) \otimes B^{[0]}+A^{[2]}(0)\otimes 1_N+{} \notag \\ &\quad{}+\sum_{i,j=1}^NE_{ij}\otimes\biggl\{-N(-1)^{\delta_{j,N}} \biggl[\sum_{c=0}^{N-j}((\varrho(i)+c)\delta_{\varrho(i)\leqslant j} -\varrho(i)\delta_{\varrho(i)\leqslant j+1})\times{} \notag \\ &\quad{}\times E_{\varrho^{-1}(j+c),\varrho^{-1}(\varrho(i)+c-1)}+\sum_{c=0}^{j-1}(\varrho(i)\delta_{\varrho(i)>j+1} -(\varrho(i)-c-1)\delta_{\varrho(i)>j})\times{} \notag \\ &\quad{}\times E_{\varrho^{-1}(j-c-1),\varrho^{-1}(\varrho(i)-c-2)}\biggr]\biggr\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{A.13}
$$
где $A^{[0]}(0)$, $A^{[1]}(0)$ и $A^{[2]}(0)$ – следующие матрицы:
$$
\begin{equation}
A^{[0]}(0) =E_{NN}+\sum_{i,j=1}^N(-1)^{\delta_{j,N}} \delta_{\varrho(i),j-1}E_{ij},
\end{equation}
\tag{A.14}
$$
$$
\begin{equation}
A^{[1]}(0) =\sum_{i,j=1}^N(-1)^{\delta_{j,N}} (\varrho(i)-N)\delta_{\varrho(i),j}E_{ij},
\end{equation}
\tag{A.15}
$$
$$
\begin{equation}
A^{[2]}(0) =\sum_{i,j=1}^N(-1)^{\delta_{j,N}} \biggl(\frac{\varrho(i)(\varrho(i)-1)}{2}-N\varrho(i)\biggr) \delta_{\varrho(i),1+j}E_{ij}.
\end{equation}
\tag{A.16}
$$
Матрица $r_{12}^{(0)}$ – коэффициент в разложении Он имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, r_{12}^{(0)}&=A^{[0]}(0)\otimes B^{[0]}+A^{[1]}(0) \otimes 1_N+\sum_{i,j=1}^NE_{ij}\otimes \biggl\{\varrho(i)E_{j,\varrho^{-1}(\varrho(i)-1)}-{} \notag \\ &\quad{}-\sum_{\gamma=0}^{\varrho(i)}(-1)^{\varrho(j)+N} \delta_{\gamma+N,j}(N-j)\begin{pmatrix} \varrho(i) \\ \gamma \end{pmatrix}\begin{pmatrix} N \\ j-1 \end{pmatrix}\times{} \notag \\ &\quad{}\times E_{N,\varrho^{-1}(\varrho(i)-\gamma)} -(-1)^{\delta_{j,N}}jE_{\varrho^{-1}(j),i}+{} \notag \\ &\quad{}+N(-1)^{\delta_{j,N}}\biggl[\delta_{\varrho(i)\leqslant j} \sum_{c=0}^{N-j}E_{\varrho^{-1}(j+c),\varrho^{-1}(\varrho(i)+c)}-{} \notag \\ &\quad{}-\delta_{\varrho(i)>j}\sum_{c=0}^{j-1} E_{\varrho^{-1}(j-c-1),\varrho^{-1}(\varrho(i)-c-1)}\biggr]\biggr\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{A.18}
$$
Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AtaZot23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|