| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Конструирование энергетического спектра и построение функций потенциала A. Д. Алхайдариa, Т. Д. Тайвоb a Saudi Center for Theoretical Physics, Jeddah, Saudi Arabia b Department of Physics, United Arab Emirates University, Al-Ain, United Arab Emirates
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923070097 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеСтруктура квантово-механической системы определяется ее дискретными связанными состояниями и резонансами, а динамика системы – ее непрерывным спектром рассеяния. Дискретный энергетический спектр может быть конечным или счетным. Когда система моделируется функцией потенциала, существует взаимно однозначное соответствие между полным энергетическим спектром (непрерывным и дискретным) и потенциалом. Энергетический спектр полностью замкнутой системы состоит только из дискретных связанных состояний. С другой стороны, динамическая информация о системе, взаимодействующей с окружающей средой, находится в непрерывной части энергетического спектра. Такая информация содержится в матрице рассеяния (или сдвиге фазы рассеяния). Все известные квантовые системы с точно решаемыми потенциалами (например, гармонический осциллятор, системы Кулона, Морса, Пёшля–Теллера, Эккарта, Скарфа и т. д.) имеют простые дискретные энергетические спектры $\{E_k\}$, которые ведут себя как $k$, $(k+\mu)^2$ или $(k+\mu)^{-2}$, где $\mu$ – некоторый безразмерный параметр. При этом интересно и плодотворно создавать системы с более богатым энергетическим спектром (например, $E_k\sim e^{-k^2}$, $E_k\sim \operatorname{sh} k$, $E_k\sim\sin({k\pi/2N})$ с $k\leqslant N$ и т. д.) и строить соответствующий потенциал. В настоящей работе мы предлагаем метод, позволяющий осуществить это. Если он окажется успешным, его можно будет рассматривать как одно из решений обратной задачи, т. е. задачи построения потенциала по заданному энергетическому спектру (см., например, книгу [1]). Как будет показано ниже, это решение не является единственным вследствие эквивалентности, порожденной преобразованиями подобия соответствующей матрицы Гамильтона. Теперь сделаем необходимое отступление, чтобы далее обратиться к понятию функции потенциала в квантовой механике. Концепция функции потенциала возникла задолго до появления квантовой механики. Корень ее лежит в нашем понимании классической механики, где полная энергия частицы (материи), движущейся в некотором поле (нематерии), равна сумме кинетической и потенциальной энергии частицы. Потенциальная энергия изменяется, когда меняется положение частицы, отсюда и понятие потенциала как функции. Например, потенциал массивной частицы, движущейся в гравитационном поле точечной массы $M$, расположенной в начале координат, равен $MG/r$, где $G$ – гравитационная постоянная, а $r$ – расстояние от точечной массы. Для частицы с зарядом $q$, движущейся в электрическом поле точечного заряда $Z$ в начале координат, потенциал равен $qZ/r$. Потенциал массивной частицы, прикрепленной к линейной безмассовой пружине с постоянным коэффициентом жесткости $k$, равен $kx^2/2$ и т. д. На следующем шаге предлагались различные типы потенциалов для описания некоторых аспектов поведения системы в сложном окружении. Например, для описания экранирования силы, зависящей от обратного квадрата расстояния, применяется потенциал Юкавы $Qe^{-\lambda r}/r$, для описания колебательного движения в ограниченной области – осцилляторный потенциал $\omega^2r^2$, для описания колебаний в двухатомной молекуле – потенциал Морса $D(e^{-2\lambda x}-2\mu e^{-\lambda x})$ и т. д. Затем путем специального задания гамильтониана системы концепция функции потенциала была перенесена в квантовую механику, хотя ни один из постулатов теории этого не требует. На самом деле в постулатах квантовой механики есть только два фундаментальных объекта: пространственно-временная волновая функция $\Psi(t,\vec r\,)$ и оператор Гамильтона $H$. Если имеется физическая величина, которую необходимо измерить (например, положение, линейный импульс, угловой момент, спин и пр.), вводятся другие операторы. Волновая функция позволяет вычислить средние значения (результаты измерений) физических наблюдаемых в данный момент времени, а оператор Гамильтона определяет их развитие во времени. Всего лишь (произвольным) выбором является тот факт, что гамильтониан представляется как сумма оператора кинетической энергии и функции потенциала, $H=T+V$, – предложение, которое было вдохновлено классической механикой и перенесено из нее, ставшее за многие десятилетия (успешного использования) традицией. Студента младших курсов, изучающего квантовую механику, учат устанавливать взаимно однозначное соответствие между данной физической системой и классической моделью ее потенциала. Фактически нынешние учебные программы по физике делают классическую механику предварительной дисциплиной для курсов квантовой механики. Следовательно, что бы ни делали или ни говорили для описания квантово-механической задачи, учащийся всегда будет спрашивать о функции потенциала, которую необходимо включить в волновое уравнение, чтобы он мог решить эту задачу. Представьте, что вы описываете задачу об осцилляторе, подробно объясняя, как движется частица, а затем спрашиваете: каков энергетический спектр? Следует признать, что это непростая задача для студентов, потому что им придется начать с решения обратной задачи: найти потенциал по данному описанию физической системы, а затем подставить его в уравнение Шредингера для нахождения энергетического спектра. Это так сложно! Их научили, что этот способ решения единственный: чтобы решить задачу, нужно знать потенциал. Это больше, чем просто традиция, – это религия. Кроме того, возможность точно решить волновое уравнение в рамках концепции функции потенциала ограничивает число аналитически реализуемых квантовых систем. Эти системы хорошо известны и организованы в небольшое количество классов. Каждый класс связан с данной функцией потенциала, такой как потенциал Кулона, гармонического осциллятора, Морса, Эккарта и т. д. Однако при этом недавно была разработана альтернативная формулировка квантовой механики [2]–[4], основанная на положении, что множество аналитически реализуемых квантовых систем намного больше, чем множество точных решений уравнения Шредингера в концепции функции потенциала. Эквивалентно можно утверждать, что представление оператора Гамильтона в волновом уравнении $i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi=H\Psi$ как суммы $H=T+V$ является очень строгим предположением, которое ограничивает число аналитически реализуемых физических систем. В альтернативной формулировке основную роль играет теория ортогональных полиномов и специальных функций. Цель альтернативной формулировки состоит в том, чтобы получить более обширный набор аналитически реализуемых систем, чем в обычной формулировке с потенциалом. Однако альтернативный подход иногда приводит к тому, что потенциалы вновь найденных систем могут не иметь аналитических реализаций, или что связанное с ними волновое уравнение не может быть записано в обычном виде (может стать дифференциальным уравнением порядка выше второго, уравнением с нелокальными потенциалом и т. д.). В новой формулировке без потенциала волновая функция задается в виде поточечно сходящегося ряда из интегрируемых с квадратом функций, образующих полную систему в конфигурационном пространстве. Коэффициенты ряда представляют собой ортогональные полиномы от энергетических и/или физических параметров. Эти полиномы несут всю физическую информацию о системе. В работе [5] мы показали, как можно найти достаточно точные численные представления функций потенциала новых квантовых систем при заданном наборе физических параметров, с помощью которых можно установить соответствие между новой формулировкой и формулировкой, связанной с функцией потенциала. Мы успешно использовали эти методы в работах [5]–[8] для получения новых квантовых систем и соответствующих им функций потенциала. В настоящей работе представлена общая схема получения класса квантовых систем, связанных с трехпараметрическими непрерывными дуальными ортогональными полиномами Хана $S_n^\mu(z^2;a,b)$, при заданном виде энергетического спектра $E(z^2)$ и заданном наборе базисных функций $\{\phi_n(x)\}$ в конфигурационном пространстве. Аналитически получены энергетический спектр, сдвиг фазы рассеяния и волновая функция. Однако соответствующую функцию потенциала для заданного набора физических параметров можно получить только численно. В разделе 2, выбирая в качестве энергии конкретную функцию $E(z^2)$ полиномиального аргумента, мы показываем, как можно аналитически получить энергетический спектр, сдвиг фазы рассеяния и волновую функцию. В разделе 3 мы объясняем, как найти элементы матрицы потенциала в заданном базисе интегрируемых с квадратом функций $\{\phi_n(x)\}$. Наконец, в разделе 4 мы приводим локальные графики потенциальной функции в качестве иллюстративных примеров. 2. Квантовая системаНачнем с краткого описания формулировки квантовой механики, основанной на ортогональных полиномах с зависящим от энергии аргументом, но без упоминания какой-либо функции потенциала. В атомных единицах $\hbar=M=1$ и в одномерном случае полная волновая функция в этой формулировке записывается как следующее разложение Фурье по энергии [2]–[4]:
$$
\begin{equation}
\Psi(x,t)=\int_{\mathcal X}e^{-iEt}\psi(x,E)\,dE+\sum_{k=0}^{N}e^{-iE_kt}\psi_k(x),
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $\mathcal X$ – интервал (интервалы) непрерывного спектра и $\{E_k\}$ – дискретные связанные энергетические состояния. Непрерывные и дискретные фурье-компоненты $\psi(x,E)$ и $\psi_k(x)$ задаются как поточечно сходящиеся ряды
$$
\begin{equation}
\psi(x,E) =\sqrt{\rho(z)}\,\sum_{n=0}^{\infty}P_n(z^2)\phi_n(x),
\end{equation}
\tag{2a}
$$
$$
\begin{equation}
\psi_k(x) =\sqrt{\omega_k}\,\sum_{n=0}^{\infty}P_n(z_k^2)\phi_n(x),
\end{equation}
\tag{2b}
$$
где $z^2=z^2(E)$ – некоторая подходящая функция от энергии (мы предполагаем, что $z^2(E)$ существует как обратная функция к $E(z^2)$, и что $z(E)\,{>}\,0$ для $E\,{\in}\,\mathcal X$) и $\{\phi_n(x)\}$ – полный набор интегрируемых с квадратом функций. Кроме того, в формулах (2a) и (2b) $P_n(z^2)$ – полином от $z^2$ степени $n$, который удовлетворяет общему условию ортогональности и рекуррентному соотношению [2]–[4]
$$
\begin{equation}
\int_{\mathcal X}\rho(z)P_n(z^2)P_m(z^2)\,dz+\sum_k\omega_kP_n(z_k^2)P_m(z_k^2)=\delta_{n,m},
\end{equation}
\tag{3a}
$$
$$
\begin{equation}
z^2P_n(z^2)=A_nP_n(z^2)+B_{n-1}P_{n-1}(z^2)+B_nP_{n+1}(z^2),
\end{equation}
\tag{3b}
$$
где $A_n$ и $B_n$ – вещественные числа, не зависящие от $z$, причем $B_n\neq 0$ для всех $n$. Трехчленное рекуррентное соотношение (3b) позволяет найти все полиномы $P_n(z^2)$ из двух начальных $P_0(z^2)=1$ и $P_1(z^2)=(z^2-A_0)/B_0$. Волновая функция (2a), отвечающая непрерывному спектру, характеризуется связанными колебаниями, которые не исчезают на всем пути к границам пространства. Волновая функция (2b), отвечающая связанным состояниям, характеризуется конечным числом режимов типа осцилляций (с числом узлов, равным уровню возбуждения связанного состояния), которые быстро стремятся к нулю на границах. Попытка вычислить волновую функцию для энергии, не принадлежащей непрерывному или дискретному спектру, приведет к расходящимся рядам (2a) и (2b), т. е. результатом будут неустойчивые бесконечные колебания, неограниченно возрастающие во всем пространстве по мере увеличения числа членов в суммах (2a) и (2b). В дополнение к условию ортогональности (3a) и рекуррентному соотношению (3b) полиномы, совместимые с этой альтернативной формулировкой квантовой механики, должны иметь осцилляторную асимптотику при $n\to\infty $, которая записывается как
$$
\begin{equation}
\lim_{n\to\infty}P_n(s)=\frac{1}{n^{\tau}\sqrt{\rho(s)}}\cos[n^\sigma\varphi(s)+\delta(s)],
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $\tau$ и $\sigma$ – положительные вещественные параметры, $\varphi(s)$ – целая функция и $\delta(s)$ – сдвиг фазы рассеяния. Если $\sigma\to 0$, то $n^\sigma\to\ln n$. Почти все известные гипергеометрические ортогональные полиномы, встречающиеся в физической и инженерной литературе [9], обладают этим асимптотическим свойством. К ним относятся полиномы Вильсона, непрерывные полиномы Хана, непрерывные дуальные полиномы Хана, полиномы Мейкснера–Поллачека, Якоби, Лагерра, Гегенбауэра, Чебышёва, Эрмита и др. Связанные состояния (если они существуют) отвечают конечному или счетному множеству значений $\{s_k\}$, при которых обращается в нуль амплитуда рассеяния (множитель перед косинусом в (4)), т. е. таких, что $\rho(s)|_{s\to s_k}\propto\delta(s-s_k)$. Некоторые из упомянутых полиномов (например, полиномы Эрмита, Чебышёва, Лагерра, Якоби) не обладают дискретным спектром, который мог бы соответствовать связанным состояниям. Для подробного обсуждения связи между асимптотикой таких полиномов и рассеянием можно обратиться к работам [10]–[12] и цитируемым в них ссылкам. Для нашей задачи мы выбираем $P_n(z^2)$ как двухпараметрический частный случай непрерывного дуального полинома Хана: $P_n(z^2)=S_n^\mu(z^2;a,a)$. Определение ортонормированной версии полинома $S_n^\mu(z^2;a,b)$ и его свойства, важные для нашего исследования, приведены в разделе IV.B и в приложении в статье [2]. Если $\mu<0$, то помимо непрерывного спектра система в этом случае будет иметь конечное число связанных состояний с энергетическим спектром, который можно получить, находя $E_k$ из следующей формулы для энергетического спектра [2]: где $k=0,1,\ldots,N$ и $N$ – наибольшее целое число меньше $-\mu$. Сдвиг фазы рассеяния, связанный с непрерывным спектром, получается из асимптотики при $n\to\infty$ полинома $S_n^\mu(z^2;a,a)$ так же, как в [2]:
$$
\begin{equation}
\delta(E)=\arg\Gamma[2iz(E)]-\arg\Gamma[\mu+iz(E)]-2\arg\Gamma[a+iz(E)].
\end{equation}
\tag{6}
$$
Если заданы непрерывная и дискретная фурье-компоненты, соответствующая полная волновая функция (1) определяется по формулам (2a) и (2b). Таким образом, если выбрать определенную энергетическую спектральную функцию $E(z^2)$ и взять полином $P_n(z^2)$ как $S_n^\mu(z^2;a,a)$, то для решения нам потребуются только базис $\{\phi_n(x)\}$ и непрерывные и дискретные весовые функции $\rho(z)$ и $\omega_k$. Эти весовые функции приведены в разделе IV работы [2]:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \rho(z)=\bigg|\frac{\Gamma[\mu+iz(E)]}{\Gamma[2iz(E)]}\bigg|^2\frac{\Gamma[a+iz(E)]\Gamma[a-iz(E)]}{2\pi\,\Gamma(2a)\Gamma^2(\mu+a)}, \\ \omega_k=\frac{(k+\mu)}{k!}\frac{2(-1)^{k+1}(2\mu)_k}{\Gamma(2a)\,\Gamma(1-2\mu)}\biggl[\frac{\Gamma(a-\mu)(\mu+a)_k}{(\mu -a+1)_k}\biggr]^2, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7}
$$
где $(a)_n=a(a+1)(a+2)\ldots(a+n-1)=\frac{\Gamma(n+a)}{\Gamma(a)}$ есть символ Похгаммера (сдвинутый факториал). В результате, если заданы энергетическая спектральная функция $E(z^2)$ и базис $\{\phi_n(x)\}$, мы получаем полные и аналитические выражения для объектов, участвующих в соотношениях (2), (5)–(7), а именно следующие реализуемые компоненты системы: энергетический спектр, сдвиг фазы рассеяния и волновую функцию. Поэтому мы не будем больше размышлять над этими тремя составляющими решения, а будем искать соответствующую потенциальную функцию, которую для заданных $E(z^2)$, $\{\phi_n(x)\}$ и заданного набора физических параметров можно определить только численно. 3. Матрица потенциалаОдномерное волновое уравнение Шредингера имеет вид $i\frac{d}{dt}\Psi(x,t)=H\Psi(x,t)$, где $H$ – гамильтониан. Подставляя формулы (1) и (2a), (2b) в это уравнение, умножая слева на $\langle\phi_m(x)|$ и интегрируя по $x$, получаем два матричных волновых уравнения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sum_n\mathcal H_{m,n}P_n(z^2)&=E\sum_n\Omega_{m,n}P_n(z^2), \\ \sum_n\mathcal H_{m,n}P_n(z_k^2)&=E_k\sum_n\Omega_{m,n}P_n(z_k^2), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8}
$$
где $\mathcal H_{m,n}=\langle\phi_m|H|\phi_n\rangle$ и $\Omega_{m,n}=\langle\phi_m|\phi_n\rangle$. С другой стороны, трехчленное рекуррентное соотношение (3b) можно переписать как где $R$ – трехдиагональная симметричная матрица с элементами
$$
\begin{equation*}
R_{m,n}=A_m\delta_{m,n}+B_{m-1}\delta_{m,n+1}+B_m\delta_{m,n-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы упростить рассуждения, выберем ортонормированный базис $\{\phi_n(x)\}$, для которого $\Omega_{m,n}=\delta_{m,n}$. Таким образом, мы можем записать уравнения (8) и (9) соответственно как $\mathcal H|P\rangle=E|P\rangle$ и $R|P\rangle=z^2| P\rangle$. Другими словами, $|P\rangle$ является общим собственным вектором двух эрмитовых матриц $\mathcal H$ и $R$ с соответствующими собственными значениями $E$ и $z^2$. Поскольку $E$ зависит от $z$ как $E(z^2)$, мы можем написать где $\Lambda$ – матрица преобразования подобия1. Как правило, это инволютивная матрица, $\Lambda=\Lambda^{-1}=\Lambda^{\mathrm T}$. Одной из таких инволютивных матриц является матрица преобразования Хаусхолдера, превращающая $\mathcal H$ в трехдиагональную симметричную матрицу (см. раздел 11.3 работы [13]). Следовательно, наше решение единственно по модулю преобразования подобия. На самом деле неединственность является хорошо известным свойством решения обратной задачи [14]–[16]. Поскольку мы выбрали ортонормированный базисный набор $\{\phi_n(x)\}$, можно взять в качестве $\Lambda$ единичную матрицу, что дает $\mathcal H=E(R)$ 2.После того, как определена матрица Гамильтона $\mathcal H$, нам потребуется только матричное представление оператора кинетической энергии $T$ в базисе $\{\phi_n(x)\}$, чтобы получить матрицу потенциальной энергии в виде $\mathcal V=\mathcal H-\mathcal T$. В одномерном случае и в двухмерном/трехмерном случае с цилиндрической/сферической симметрией кинетическая энергия – это соответственно просто
$$
\begin{equation}
T=-\frac{1}{2}\frac{d^2}{dx^2}\quad\text{и}\quad T=-\frac{1}{2}\frac{d^2}{dr^2}+\frac{L^2-1/4}{2r^2},
\end{equation}
\tag{11}
$$
где $r$ – радиальная координата, а $L=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$ для размерности 2 и $L=\ell+1/2=1/2,3/2,5/2,\ldots{}\,$ в трехмерном случае. Таким образом, достаточно просто выполнить необходимое дифференцирование и интегрирование, чтобы получить элементы матрицы $T$ в виде $\mathcal T_{m,n}=\langle\phi_m|T|\phi_n\rangle$. Наконец, получив элементы $\mathcal V_{m,n}$ матрицы потенциала и базис $\{\phi_n(x)\}$, в котором они вычислялись, мы можем воспользоваться любой из четырех процедур, введенных в разделе 3 работы [5], чтобы найти функцию потенциала $V(x)$ для заданного набора физических параметров. В следующем разделе представлены несколько примеров, в которых мы начинаем с выбора энергетической спектральной функции $E(z^2)$ и ортонормированного базиса $\{\phi_n(x)\}$. Чтобы проверить нашу технику, в качестве первого примера мы рассматриваем точно решаемую и хорошо известную систему – потенциал Морса.
4. Функция потенциалаВ этом разделе мы начинаем с выбора обратимой спектральной функции $E(z^2)$, а затем, пользуясь процедурой, описанной в разделе 3, получаем матричное представление $\mathcal V$ для потенциала в заданном базисе $\{\phi_n(x)\}$. Далее мы применяем один или несколько из четырех методов, описанных в работе [5], для вывода функции потенциала $V(x)$. Следует отметить, что выражение для функции потенциала справедливо лишь локально, т. е. графики, полученные в результате этой процедуры, могут быть неверны глобально во всем конфигурационном пространстве. Симметричное трехчленное рекуррентное соотношение для $S_n^\mu(z^2;a,b)$ задается уравнением (25) в [2]. Отсюда мы получаем следующие элементы матрицы $R$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, R_{n,n}&=A_n=(n+\mu+a)^2+n(n+2a-1)-\mu^2, \\ R_{n,n+1}&=R_{n+1,n}=B_n=-(n+\mu+a)\sqrt{(n+1)(n+2a)}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12}
$$
Чтобы проверить точность процедуры, начнем с точно решаемой системы, соответствующей потенциалу Морса. 4.1. Потенциал МорсаДля этой системы
$$
\begin{equation*}
E(z^2)=\frac{1}{2}\lambda^2z^2,\qquad \phi_n(x)=C_ny^{\nu}e^{-y/2}L_n^{2\nu-1}(y),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\lambda$ – положительный масштабный параметр, имеющий размерность обратной длины, $y=e^{-\lambda x}$, $L_n^{2\nu-1}(y)$ – полином Лагерра с $\nu>0$ и $C_n$ – нормировочная постоянная, выбранная так, чтобы базис был ортонормированным (относительно меры интегрирования $dx$), $C_n=\sqrt{{\lambda n!/\Gamma(n+2\nu)}}$. Спектр энергий имеет вид $E_k=-\lambda^2(k+\mu)^2/2$, где $k=0,1,\ldots,\lfloor-\mu\rfloor$. Сдвиг фазы рассеяния получается в соответствии с (6) как
$$
\begin{equation}
\delta(E)=\arg\Gamma\biggl(2\frac{\kappa}{\lambda}\biggr)- \arg\Gamma\biggl(\mu+i\frac{\kappa}{\lambda}\biggr)- 2\arg\Gamma\biggl(a+i\frac{\kappa}{\lambda}\biggr),
\end{equation}
\tag{13}
$$
где $\kappa=\sqrt{2E}$. Хорошо известно, что этот спектр энергий и фазовый сдвиг связаны с одномерным потенциалом Морса [17]
$$
\begin{equation*}
V(x)=\frac{\lambda^2}{8}[e^{-2\lambda x}+2(2\mu -1)e^{-\lambda x}].
\end{equation*}
\notag
$$
Далее мы покажем, что функция потенциала, полученная численно по описанному выше алгоритму, действительно воспроизводит этот точный результат, если мы выберем $\nu=a$. Используя дифференциальное уравнение, рекуррентное соотношение и ортогональность полиномов Лагерра, получаем следующие матричные элементы оператора кинетической энергии:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, -\frac{2}{\lambda^2}\mathcal T_{n,m}&= \frac{1}{\lambda^2}\langle\phi_n\bigg|\frac{d^2}{dx^2}\bigg|\phi_m\rangle= \notag\\ &=\frac{1}{4}(J^2)_{n,m}-[2(n+\nu)^2+\nu(1-\nu)]\delta_{n,m}+{} \notag\\ &\quad +\biggl(n+\nu-\frac{1}{2}\biggr)\sqrt{n(n+2\nu-1)}\,\delta_{n,m+1}+{} \notag\\ &\quad +\biggl(n+\nu+\frac{1}{2}\biggr)\sqrt{(n+1)(n+2\nu)}\,\delta_{n,m-1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14}
$$
где
$$
\begin{equation*}
J_{n,m}=2(n+\nu)\delta_{n,m}-\sqrt{n(n+2\nu -1)}\,\delta_{n,m+1}-\sqrt{(n+1)(n+2\nu)}\,\delta_{n,m-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Матрица Гамильтона получается просто как $\mathcal H=E(R)=\lambda^2R/2$, что дает матрицу потенциала в базисе $\{\phi_n(x)\}$, откуда мы получаем матрицу потенциала $\mathcal V=\mathcal H-\mathcal T$. На рис. 1 представлен график функции потенциала для заданного набора физических параметров и при $\nu=a$. Мы видим отличное совпадение с точным результатом. Все четыре метода в разделе 3 работы [5] давали идентичные графики при одних и тех же параметрах (однако см. замечание о вычислениях в конце этого раздела).  Рис. 1.Потенциал Морса (сплошная кривая), рассчитанный с использованием матричного представления на основе анализа в п. 4.1, и точная функция потенциала (пунктирная кривая). Горизонтальные сплошные линии отвечают энергиям в спектре. Энергия и потенциал измеряются в единицах $\lambda^2$. Значения физических параметров выбраны как $\mu=-3.7$ и $a=2.5$, параметр базиса $\nu=a$. 4.2. Первая нетрадиционная системаЭто трехмерная система со сферической симметрией, для которой мы выбираем
$$
\begin{equation*}
E(z^2)=\frac{1}{2}\lambda^2(z^2-\alpha^2z^{-2}),\qquad \phi_n(r)=\sqrt{\frac{2\lambda(n!)}{\Gamma(n+\ell+3/2)}} (\lambda r)^{\ell+1}e^{-{\lambda^2r^2/2}}L_n^{\ell+1/2}(\lambda^2r^2),
\end{equation*}
\notag
$$
где $\ell$ – орбитальное квантовое число. В этом случае спектр энергий имеет вид
$$
\begin{equation}
E_k=-\frac{1}{2}\lambda^2\biggl[(k+\mu)^2-\biggl(\frac{\alpha}{k+\mu}\biggr)^{\!2\;}\biggr],
\end{equation}
\tag{15}
$$
где $k=0,1,\ldots,\lfloor-\mu\rfloor$ и $\mu$ – нецелое число. Сдвиг фазы рассеяния получается по формуле (6), в которой
$$
\begin{equation}
z(E)=\frac{\sqrt{E}}{\lambda}\biggl[1+\sqrt{1+\biggl(\frac{\alpha\lambda^2}{E}\biggr)^{\!2}}\;\biggr]^{1/2}.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Используя дифференциальное уравнение, рекуррентное соотношение и ортогональность полиномов Лагерра, получаем следующие матричные элементы оператора кинетической энергии:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{2}{\lambda^2}\mathcal T_{n,m}&=\frac{2}{\lambda^2} \langle\phi_n\bigg|\,{-\frac{1}{2}}\frac{d^2}{dr^2}+\frac{\ell(\ell+1)}{2r^2}\bigg|\phi_m\rangle= \\ &=\!\biggl(2n+\ell+\frac{3}{2}\biggr)\delta_{n,m}+\sqrt{n\biggl(n+\ell+\frac{1}{2}\biggr)}\delta_{n,m+1}+ \sqrt{(n+1)\biggl(n+\ell+\frac{3}{2}\biggr)}\delta_{n,m-1}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Матрица Гамильтона $\mathcal H=E(R)=\lambda^2(R-\alpha^2R^{-1})/2$. Чтобы получить конечномерную (размера $N\times N$) версию этой матрицы, используем результаты работ [18], [19] и найдем обратную к трехдиагональной подматрице в $R$. Элементы обратной матрицы суть
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (R^{-1})_{j,j}&=\frac{C_{j+1}C_{j+2}\ldots C_{N-1}}{D_{j}D_{j+1}\ldots D_{N-1}},\qquad j=0,1,\ldots,N-1, \\ (R^{-1})_{n,m}&=(-1)^{n+m}\frac{C_{m+1}C_{m+2}\ldots C_{N-1}}{D_nD_{n+1}\ldots D_{N-1}}B_nB_{n+1}\ldots B_{m-1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{17}
$$
где $n=0,1,\ldots,N-2$ и $m=n+1,n+2,\ldots,N-1$. Числа $C_n$, $D_n$ получаются по рекуррентным формулам
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{5} C_{N-1}&=A_{N-1},&\qquad C_n&=A_n-\frac{B_n^2}{C_{n+1}},&\qquad n&=N-2,N-3,\ldots,0, \\ D_0&=A_0,&\qquad D_n&=A_n-\frac{B_{n-1}^2}{D_{n-1}},&\qquad n&=1,2,\ldots,N-1. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{18}
$$
Наконец, матрица потенциала размера $N\times N$ равна $\mathcal V=\mathcal H-\mathcal T$. Используя матричные элементы и базис $\{\phi_n(r)\}$, находим функцию $V(r)$. На рис. 2 представлен график этой функции (в единицах $\lambda^2$), рассчитанной с использованием метода, изложенного в приложении, для заданного набора физических параметров $\{\ell,\mu,a\}$ и $\alpha=\ell/2$.  Рис. 2.Функция потенциала системы из п. 4.2, вычисленная с использованием матричного представления (сплошная кривая). Горизонтальные сплошные линии отвечают энергиям в спектре. Энергия и потенциал измеряются в единицах $\lambda^2$. Значения физических параметров выбраны как $\{\mu,a,\ell,\alpha\}=\{-7.7,-\mu,1,\ell/2\}$. 4.3. Вторая нетрадиционная системаДля этой системы мы выбираем
$$
\begin{equation*}
E(z^2)=\frac{1}{2}\lambda^2(e^{\alpha z^2}-1),\quad \alpha>0,\qquad\; \phi_n(x)=\frac{\sqrt{\lambda}}{\sqrt{2^{n}\,n!\,\sqrt{\pi}}}\,e^{-\lambda^2x^2/2}H_n(\lambda x).
\end{equation*}
\notag
$$
В этом случае энергетический спектр задается замечательной формулой где $k=0,1,\ldots,\lfloor-\mu\rfloor$. Сдвиг фазы рассеяния получается по формуле (6), в которой
$$
\begin{equation*}
z(E)=\sqrt{\alpha^{-1}\ln\biggl(1+\frac{2E}{\lambda^2}\biggr)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя дифференциальное уравнение, рекуррентное соотношение и ортогональность полиномов Лагерра, получаем следующие матричные элементы оператора кинетической энергии:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal T_{n,m}&=-\frac{1}{2}\langle\phi_n\bigg|\frac{d^2}{dx^2}\bigg|\phi_m\rangle= \notag\\ &=\frac{\lambda^2}{4}[(2n+1)\delta_{n,m}-\sqrt{n(n-1)}\delta_{n,m+2}-\sqrt{(n+1)(n+2)}\delta_{n,m-2}]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
Из матрицы Гамильтона $\mathcal H=E(R)=\lambda^2(e^{\alpha R}-1)/2$ получаем матрицу потенциала в базисе $\{\phi_n(x)\}$ как $\mathcal V=\mathcal H-\mathcal T$. На рис. 3 представлен график функции $V(x)$ (в единицах $\lambda^2$), рассчитанной с использованием метода, изложенного в приложении, для заданного набора физических параметров $\{\alpha,\mu,a\}$.  Рис. 3.Функция потенциала системы из п. 4.3, вычисленная с использованием матричного представления (сплошная кривая). Горизонтальные сплошные линии отвечают энергиям в спектре. Энергия и потенциал измеряются в единицах $\lambda^2$. Значения физических параметров выбраны как $\{\mu,a,\alpha\}=\{-4.3,-\mu,0.2\}$. 4.4. Третья нетрадиционная системаДля этой системы мы выбираем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, E(z^2)=\frac{1}{2}\lambda^2 \operatorname{sh} (\alpha z^2),\qquad \alpha>0, \\ \phi_n(x)=2^{\nu}\Gamma(\nu)\sqrt{\frac{\lambda(n+\nu)\,n!}{2\pi\Gamma(n+2\nu)}}(1-y^2)^{\frac{\nu}{2}+\frac{1}{4}}C_n^{\nu}(y),\qquad y=\operatorname{th}(\lambda x), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $C_n^{\nu}(y)$ – полином Гегенбауэра (ультрасферический полином) с $\nu>-1/2$. В этом случае энергетический спектр принимает вид
$$
\begin{equation}
E_k=-\frac{1}{2}\lambda^2 \operatorname{sh} [\alpha(k+\mu)^2],
\end{equation}
\tag{21}
$$
где $k=0,1,\ldots,\lfloor-\mu\rfloor$. Сдвиг фазы рассеяния получается по формуле (6), в которой
$$
\begin{equation*}
z(E)=\sqrt{\alpha^{-1} \operatorname{sh} ^{-1}\frac{2E}{\lambda^2}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя дифференциальное уравнение, рекуррентное соотношение и ортогональность полиномов Гегенбауэра, получаем следующие матричные элементы оператора кинетической энергии:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{2}{\lambda^2}\mathcal T_{m,n}&=-\frac{1}{\lambda^2}\langle\phi_m\bigg|\frac{d^2}{dx^2}\bigg|\phi_n\rangle= \notag\\ &=\biggl[n^2+(2n+1)\nu+\frac{1}{2}\biggr]\delta_{m,n}- 2nG_nK_{m,n+1}+2(n+2\nu)G_{n-1}K_{m,n-1}-{} \notag\\ &\quad -\biggl[(n+\nu)^2+2\nu+\frac{3}{4}\biggr](K^2)_{m,n}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{22}
$$
где
$$
\begin{equation*}
K_{n,m}=G_{n-1}\delta_{n,m+1}+G_n\delta_{n,m-1},\qquad G_n=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(n+1)(n+2\nu)}{(n+\nu)(n+\nu+1)}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь мы использовали дифференциальное уравнение для полиномов Гегенбауэра
$$
\begin{equation}
(1-y^2)\frac{d}{dy}C_n^{\nu}(y)=\frac{1}{2}\frac{1}{n+\nu}[(n+2\nu)(n+2\nu-1)C_{n-1}^{\nu}(y)-n(n+1)C_{n+1}^{\nu}(y)].
\end{equation}
\tag{23}
$$
Из матрицы Гамильтона $\mathcal H=E(R)=\lambda^2 \operatorname{sh} (\alpha R)/2$ получаем матрицу потенциала в базисе $\{\phi_n(x)\}$ как $\mathcal V=\mathcal H-\mathcal T$. На рис. 4 представлен график функции $V(x)$ (в единицах $\lambda^2$), рассчитанной с использованием метода, изложенного в приложении, для заданного набора физических параметров $\{\alpha,\nu,\mu,a\}$.  Рис. 4.Функция потенциала системы из п. 4.4, вычисленная с использованием матричного представления (сплошная кривая). Горизонтальные сплошные линии отвечают энергиям в спектре. Энергия и потенциал измеряются в единицах $\lambda^2$. Значения физических параметров выбраны как $\{\mu,a,\alpha\}=\{-3.2,-\mu,0.3\}$, параметр базиса $\nu=a$. Еще раз повторим, что функции потенциала, которые были получены численно и показаны на различных графиках в этой работе, имеют локальный характер. Наш метод не дает глобального представления о выражении для потенциала, справедливом во всем конфигурационном пространстве. Например, если предположить, что график на рис. 3 правильный для всех $x\in(-\infty,+\infty)$, то это привело бы к потенциалу одномерного осциллятора с его хорошо известным линейным энергетическим спектром бесконечного размера, а не к экспоненциальному спектру (19) с конечным размером. Тем не менее локально график правильный. Мы не можем определить его поведение при больших $|x|$, и это приводит к тому, что спектр становится конечным (порядка 5 единиц) и экспоненциальным по своей природе. Если размер энергетического спектра в этой задаче станет большим (т. е. $\mu$ – большое отрицательное число), то нижние (отвечающие малым $k$) энергетические уровни станут линейными по $k$: мы получим $E_k\approx -E_0-{\kern1.5pt\overline{\vphantom{E}\kern5.9pt}\kern-7.6pt E}k$, где
$$
\begin{equation*}
E_0=\frac{\lambda^2}{2},\qquad {\kern1.5pt\overline{\vphantom{E}\kern5.9pt}\kern-7.6pt E}=-\alpha\mu\lambda^2 e^{-\alpha\mu^2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Те же рассуждения справедливы и для других примеров, кроме примера в п. 4.1, для которого задача имеет точное решение.
ПриложениеВ этом приложении мы подробно описываем один из методов вычисления функции потенциала c использованием ее матричного представления в заданном базисе. Пусть $V$ – квантово-механический эрмитов оператор, задающий вещественную потенциальную энергию, а $\mathcal V$ – его матричное представление в некотором базисе функций, интегрируемых с квадратом,
$$
\begin{equation*}
\mathcal V_{n,m}=\langle\phi_n|V|\phi_m\rangle=\int\phi_n(x)V(x)\phi_m(x)\,dx.
\end{equation*}
\notag
$$
Используя дираковские обозначения, мы можем написать где $x$ – координата в конфигурационном пространстве и $\delta(x-x')=\langle x|x'\rangle$. Кроме того, $\langle x|\phi_n\rangle=\phi_n(x)$ и $\langle x|\bar\phi_n\rangle=\bar\phi_n(x)$, где $\langle\phi_n|\bar\phi_m\rangle=\langle\bar\phi_n|\phi_m\rangle=\delta_{n,m}$. Используя полноту конфигурационного прострнаства, $\int|x\rangle\langle x|\,dx=1$, мы можем переписать $\langle x|V|\phi_n\rangle$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\langle x|V|\phi_n\rangle=\int\langle x|V|x'\rangle\langle x|\phi_n\rangle\,dx'=V(x)\phi_n(x),
\end{equation}
\tag{П.2}
$$
где мы учли (П.1). Условие полноты базиса имеет вид
$$
\begin{equation*}
\sum_m|\bar\phi_m\rangle\langle\phi_m|=\sum_m|\phi_m\rangle\langle\bar\phi_m|=I,
\end{equation*}
\notag
$$
где $I$ – единичный оператор. Это условие позволяет нам представить левую часть равенства (П.2) как
$$
\begin{equation}
\langle x|V|\phi_n\rangle=\sum_{m=0}^{\infty}\langle x|\bar\phi_m\rangle\langle\phi_m|V|\phi_n\rangle= \sum_{m=0}^{\infty}\bar\phi_m(x)\mathcal V_{m,n}.
\end{equation}
\tag{П.3}
$$
Соотношения (П.2) и (П.3) дают функцию потенциала
$$
\begin{equation*}
V(x)=\frac{1}{\phi_n(x)}\sum_{m=0}^{\infty}\bar\phi_m(x)\mathcal V_{m,n}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для работы с конечномерными матрицами размера $N\times N$ получаем приближение
$$
\begin{equation}
V(x)\approx\frac{1}{\phi_n(x)}\sum_{m=0}^{N-1}\bar\phi_m(x)\mathcal V_{m,n},\qquad n=0,1,\ldots,N-1.
\end{equation}
\tag{П.4}
$$
Тем самым для определения $V(x)$ нам требуется информация только об одном столбце матрицы потенциала (или об одной строке, поскольку $\mathcal V_{m,n}=\mathcal V_{n,m}$). В частности, если мы выбираем $n=0$, то
$$
\begin{equation}
V(x)\approx\frac{1}{\phi_0(x)}\sum_{m=0}^{N-1}\bar\phi_m(x)\mathcal V_{m,0}.
\end{equation}
\tag{П.5}
$$
Во всех примерах, приведенных в разделе 4, базисные элементы ортонормированы, $\bar\phi_n=\phi_n$ и $\phi_n(x)=W(y)Q_n(y)$, где $y=y(x)$ задает преобразование координат, $W(y)$ – положительная весовая функция, а $Q_n(y)$ – ортогональный полином степени $n$, причем $Q_0=1$. Тогда (П.5) принимает вид
$$
\begin{equation}
V(x)\approx\sum_{m=0}^{N-1}Q_m(y(x))\mathcal V_{m,0}.
\end{equation}
\tag{П.6}
$$
Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AlhTai23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|