| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Дискретизация модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза–синус-Гордона Ай Ай Чоa, Цзин Ванa, Да-Цзюнь Чжанba a Department of Mathematics, Shanghai University, Shanghai, China b Newtouch Center for Mathematics of Shanghai University, Shanghai, China
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923110065 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеДля непрерывного интегрируемого уравнения нелинейная формула суперпозиции, полученная из его преобразования Беклунда, обычно работает как интегрируемая дискретизация исходного уравнения. Хорошо известным примером является уравнение Кортевега–де Фриза (КдФ) Нелинейная формула суперпозиции (для потенциального уравнения КдФ с $u=w_x$, в котором $w_0$, $w_1$, $w_2$, $w_{12}$ – его четыре решения) [1] имеет тот же вид, что и дискретное потенциальное уравнение КдФ [2]–[4] если установить соответствие
$$
\begin{equation}
(w,w_1,w_2,w_{12})\to(w_{n,m},w_{n+1,m},w_{n,m+1},w_{n+1,m+1}).
\end{equation}
\tag{1.4}
$$
Известно также, что модифицированное уравнение КдФ (уравнение мКдФ) уравнение синус-Гордона и уравнение мКдФ–синус-Гордона (уравнение мКдФ–сГ) [5]
$$
\begin{equation}
\phi_{xt}-\frac{3}{2}\phi_x^2\phi_{xx}-\phi_{xxxx}-\sin\phi=0
\end{equation}
\tag{1.7}
$$
имеют одну и ту же нелинейную формулу суперпозиции (для уравнения мКдФ (1.5) мы рассматриваем его потенциальную форму с $v=\phi_x/2$)
$$
\begin{equation}
\operatorname{tg}\frac{\phi_{12}-\phi}{4}=\frac{p+q}{p-q}\operatorname{tg}\frac{\phi_1-\phi_2}{4}.
\end{equation}
\tag{1.8}
$$
Впервые такую формулу для уравнения синус-Гордона нашел Бьянки в 1892 г. [6]. Формула (1.8) как формула суперпозиции решений для уравнений мКдФ и мКдФ–сГ была выведена в работе [7] и в работах [8], [9] соответственно. Существование единой формулы суперпозиции неудивительно, поскольку все три уравнения имеют одну и ту же спектральную задачу Абловица–Каупа–Ньюэлла-Сигура [5], [9], [10]. Общая формула нелинейной суперпозиции (1.8) эквивалентна уравнению
$$
\begin{equation}
p\sin\frac{\phi_{12}-\phi_1+\phi_2-\phi}{4}=q\sin\frac{\phi_{12}+\phi_1-\phi_2-\phi}{4}.
\end{equation}
\tag{1.9}
$$
Если сделать замену $v=e^{i\phi/2}$, то с учетом соответствия (1.4) оно записывается как уравнение
$$
\begin{equation}
p(v_{n+1,m+1}v_{n,m+1}-v_{n+1,m}v_{n,m})=q(v_{n+1,m+1}v_{n+1,m}-v_{n,m+1}v_{n,m}),
\end{equation}
\tag{1.10}
$$
которое известно как дискретное потенциальное уравнение мКдФ [2], [11]. Заметим, что после преобразования $v_{n,m}\to (v_{n,m})^{(-1)^n}$ оно принимает вид [4]
$$
\begin{equation}
p(v_{n+1,m+1}v_{n,m}-v_{n+1,m}v_{n,m+1})=q(v_{n,m}v_{n+1,m}v_{n,m+1}v_{n+1,m+1}-1).
\end{equation}
\tag{1.11}
$$
В свою очередь, преобразование $v=e^{i\varphi/2}$ связывает (1.11) с дискретным уравнением синус-Гордона, введенным в работах Хироты [12] и Орфанидиса [13]:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &p\sin\frac{\varphi_{n+1,m+1}+\varphi_{n,m}-\varphi_{n+1,m}-\varphi_{n,m+1}}{4}=\notag\\ &\qquad\quad =q\sin\frac{\varphi_{n+1,m+1}+\varphi_{n,m}+\varphi_{n+1,m}+\varphi_{n,m+1}}{4}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1.12}
$$
И (1.10), и (1.11) – это уравнения, определенные на элементарной ячейке двумерной решетки (квад-уравнения), при этом (1.10) является трехмерно совместным (другими словами, уравнением H$_3(\delta=0)$ согласно списку Алера–Бобенко–Суриса [14]), а (1.11) также известно как дискретное уравнение синус-Гордона [4]. Очевидно, что ни (1.10), ни (1.11) не могут служить дискретным аналогом уравнения мКдФ–СГ (1.7). Интересно задать вопрос: какова дискретная интегрируемая форма уравнения мКдФ–сГ (1.7)? В настоящей статье мы вводим дискретную систему
$$
\begin{equation}
p(v+\tilde{\tilde v})-(2p+u-\tilde{\tilde u})\tilde v=0,
\end{equation}
\tag{1.13а}
$$
$$
\begin{equation}
p(\tilde v\hat v-v\tilde{\hat v})-p^2q^3(v\hat v+\tilde v\tilde{\hat v})+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\kern19pt +pq^3[(p+q+u-\tilde{\hat u})\tilde v\hat v+(p-q+\hat u-\tilde u) v\tilde{\hat v}]- q(1-v\tilde v\hat v\tilde{\hat v})=0,
\end{equation}
\tag{1.13б}
$$
которая оказывается интегрируемой и переходит в уравнение мКдФ–сГ (1.7) в непрерывном пределе. В этой системе $v$ и $u$ – функции от $(n,m)\in\mathbb{Z}^2$, $p$ и $q$ – параметры, задающие расстояние по $n$- и $m$-направлениям соответственно; здесь и далее мы используем обозначения $v=v(n,m)$, $\tilde v=v(n+1,m)$, $\hat v=v(n,m+1)$ и т. д. Подробнее об обозначениях можно узнать в разделе 2. Метод, который мы будем использовать для вывода приведенных выше дискретных уравнений, основан на матрице Коши и матричных уравнениях Сильвестра. Этот подход впервые был систематически применен в работе [11] для исследования дискретных интегрируемых квад-уравнений и впоследствии получил свое дальнейшее развитие в работах [15], [16] для более общих случаев. В подходе матрицы Коши мы начинаем с определенных плосковолновых факторов (ПВФ), характеризующихся подходящим дисперсионным соотношением. Интегрируемые уравнения выводятся как замкнутые формы по некоторым переменным. Этот метод оказался эффективным при построении решений, а также при изучении интегрируемых уравнений, как дискретных, так и непрерывных (см., например, [15]–[20]). Он также использовался для поиска и классификации решений уравнения мКдФ–СГ [21]. В настоящей статье мы покажем детали того, как можно получить систему (1.13а), (1.13б) на основе подхода матрицы Коши. Мы выбираем следующий ПВФ:
$$
\begin{equation}
\rho=\biggl(\frac{p+k}{p-k}\biggr)^{\!n} \biggl(\frac{q+k}{q-k}\biggr)^{\!m} \biggl(\frac{q^3k+1}{q^3k-1}\biggr)^{\!m}\rho^{(0)},
\end{equation}
\tag{1.14}
$$
Он соответствует дискретизации ПВФ $\rho=e^{kx+(k^3+1/k)t+\rho^{(0)}}$ для уравнения (1.7) (см. формулу (12a) в [22]). Помимо системы (1.13а), (1.13б), мы также построим ее пару Лакса и исследуем непрерывный предел. Статья организована следующим образом. В разделе 2 мы показываем, как получить уравнения (1.13а), (1.13б), используя подход матрицы Коши. Затем в разделе 3 мы строим пару Лакса для системы (1.13а), (1.13б). Раздел 4 посвящен непрерывному пределу уравнений (1.13а), (1.13б). В разделе 5 мы анализируем и показываем на графиках некоторые решения. Наконец, в разделе 6 приведены выводы. В приложении представлены некоторые обозначения и формулы, используемые в подходе матрицы Коши. 2. Подход матрицы Коши для системы (1.13а), (1.13б)Сначала введем некоторые обозначения, которые мы будем использовать в статье. Пусть $v=v(n,m)=v_{n,m}$ – функция от $(n,m)$, определенная на $\mathbb{Z}^2$. Через $E_n$ и $E_m$ обозначим операторы сдвига по $n$- и $m$-направлениям: $E_n v(n,m)=v(n+1,m)$ и $E_m v(n,m)=v(n, m+1)$. Введем также общепринятые обозначения
$$
\begin{equation*}
\tilde v=v(n+1,m),\quad \hat v=v(n,m+1),\quad \tilde{\hat v}=v(n+1,m+1),\quad \tilde{\tilde v}=v(n+2,m).
\end{equation*}
\notag
$$
Чтобы вывести систему (1.13а), (1.13б), рассмотрим уравнение Сильвестра
$$
\begin{equation}
\boldsymbol M\boldsymbol K+\boldsymbol K\boldsymbol M=\boldsymbol r\boldsymbol s^{\mathrm T},
\end{equation}
\tag{2.1}
$$
где $\boldsymbol M$ и $\boldsymbol K$ – матрицы размера $N\times N$, $\boldsymbol r$ и $\boldsymbol s$ – вектор-столбцы размера $N$, заданные как
$$
\begin{equation}
\boldsymbol r=(\rho_1,\rho_2,\ldots,\rho_N^{})^{\mathrm T},\qquad \boldsymbol s=(s_1,s_2,\ldots,s_N)^{\mathrm T}.
\end{equation}
\tag{2.2}
$$
Мы полагаем, что $\boldsymbol K$ и $-\boldsymbol K$ не имеют общих собственных значений, тогда уравнение Сильвестра (2.1) имеет единственное решение $\boldsymbol M$ при заданных $\boldsymbol K$, $\boldsymbol r$ и $\boldsymbol s$ [23]. Пусть $\boldsymbol K$ – постоянная матрица, а $\boldsymbol M$ – обратимая матричнозначная функция от параметров $(n,m)$. Мы также предполагаем, что $\boldsymbol s$ – постоянный вектор в $\mathbb{C}_N$, и введем дисперсионное соотношение для вектора $\boldsymbol r$ следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (p\boldsymbol I-\boldsymbol K)\tilde{\boldsymbol r}&=(p\boldsymbol I+\boldsymbol K)\boldsymbol r, \\ (q\boldsymbol I-\boldsymbol K)(q^3\boldsymbol I-\boldsymbol K^{-1})\hat{\boldsymbol r}&= (q\boldsymbol I+\boldsymbol K)(q^3\boldsymbol I+\boldsymbol K^{-1})\boldsymbol r, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.3}
$$
где $\boldsymbol I$ – единичная матрица размера $N\times N$, а $p$ и $q$ играют роль решеточных параметров по $n$- и $m$-направлениям. Используя единственность решения уравнения Сильвестра (2.1), имеем1
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widetilde{\boldsymbol M}(p+\boldsymbol K)-(p+\boldsymbol K)\boldsymbol M&=\tilde{\boldsymbol r}\boldsymbol s^{\mathrm T}, \\ (p-\boldsymbol K)\widetilde{\boldsymbol M}-\boldsymbol M(p-\boldsymbol K)&=\boldsymbol r\boldsymbol s^{\mathrm T}, \\ \widehat{\boldsymbol M}(q+\boldsymbol K)(q^3+\boldsymbol K^{-1})-(q+\boldsymbol K)(q^3 +\boldsymbol K^{-1})\boldsymbol M&= q\boldsymbol K^{-1}\hat{\boldsymbol r}\boldsymbol s^{\mathrm T}\boldsymbol K^{-1}+q^3\hat{\boldsymbol r}\boldsymbol s^{\mathrm T}, \\ (q-\boldsymbol K)(q^3-\boldsymbol K^{-1})\widehat{\boldsymbol M}-\boldsymbol M(q-\boldsymbol K)(q^3-\boldsymbol K^{-1})&= q\boldsymbol K^{-1}\boldsymbol r\boldsymbol s^{\mathrm T}\boldsymbol K^{-1}+q^3\boldsymbol r\boldsymbol s^{\mathrm T}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.4}
$$
Введем скалярные функции
$$
\begin{equation}
S^{(i,j)}=\boldsymbol s^{\mathrm T}\boldsymbol K^j(\boldsymbol I+\boldsymbol M)^{-1}\boldsymbol K^{i}\boldsymbol r,\qquad i,j\in\mathbb{Z},
\end{equation}
\tag{2.5}
$$
и вспомогательные векторы
$$
\begin{equation}
\boldsymbol u^{(i)}=(\boldsymbol I+\boldsymbol M)^{-1}\boldsymbol K^{i}\boldsymbol r,\qquad i\in\mathbb{Z},
\end{equation}
\tag{2.6}
$$
что приводит к выражению
$$
\begin{equation}
S^{(i,j)}=\boldsymbol s^{\mathrm T}\boldsymbol K^j\boldsymbol u^{(i)}.
\end{equation}
\tag{2.7}
$$
Заметим, что $S^{(i,j)}$ удовлетворяют симметрийному тождеству $S^{(i,j)}=S^{(j,i)}$. Это свойство вытекает из уравнения Сильвестра (2.1) и определения (2.5) для $S^{(i,j)}$, его доказательство можно найти в п. 4.3 работы [15]. Непосредственными вычислениям с использованием равенств (2.4)–(2.6) мы получаем следующие соотношения для $\boldsymbol u^{(i)}$:
$$
\begin{equation}
(p+\boldsymbol K)\boldsymbol u^{(i)} =p\tilde{\boldsymbol u}^{(i)}-\tilde{\boldsymbol u}^{(i+1)}+\tilde{\boldsymbol u}^{(0)}S^{(i,0)},
\end{equation}
\tag{2.8а}
$$
$$
\begin{equation}
(p-\boldsymbol K)\tilde{\boldsymbol u}^{(i)} =p\boldsymbol u^{(i)}+\boldsymbol u^{(i+1)}-\boldsymbol u^{(0)}\widetilde S^{(i,0)},
\end{equation}
\tag{2.8б}
$$
$$
\begin{equation}
(q+\boldsymbol K)(q^3 +\boldsymbol K^{-1})\boldsymbol u^{(i)} = (q^4+1)\hat{\boldsymbol u}^{(i)}-q^3\hat{\boldsymbol u}^{(i+1)}+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad+q^3\hat{\boldsymbol u}^{(0)}S^{(i,0)}-q\hat{\boldsymbol u}^{(i-1)}+q\hat{\boldsymbol u}^{(-1)}S^{(i,-1)},
\end{equation}
\tag{2.8в}
$$
$$
\begin{equation}
(q-\boldsymbol K)(q^3-\boldsymbol K^{-1})\hat{\boldsymbol u}^{(i)} = (q^4+1)\boldsymbol u^{(i)}+q^3\boldsymbol u^{(i+1)}-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad-q^3\boldsymbol u^{(0)}\widehat S^{(i,0)}+ q\boldsymbol u^{(i-1)}-q\boldsymbol u^{(-1)}\widehat S^{(i,-1)},
\end{equation}
\tag{2.8г}
$$
которые после использования (2.7) приводят к уравнениям сдвига для $S^{(i,j)}$:
$$
\begin{equation}
p\widetilde S^{(i,j)}-\widetilde S^{(i,j+1)} =pS^{(i,j)}+S^{(i+1,j)}-\widetilde S^{(i,0)}S^{(0,j)},
\end{equation}
\tag{2.9а}
$$
$$
\begin{equation}
pS^{(i,j)}+S^{(i,j+1)} =p\widetilde S^{(i,j)}-\widetilde S^{(i+1,j)}+\widetilde S^{(0,j)}S^{(i,0)},
\end{equation}
\tag{2.9б}
$$
$$
\begin{equation}
(q^4+1)S^{(i,j)}+q^3S^{(i,j+1)}+qS^{(i,j-1)} = (q^4+1)\widehat S^{(i,j)}- q^3\widehat S^{(i+1,j)}-q\widehat S^{(i-1,j)}+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad+q^3\widehat S^{(0,j)}S^{(i,0)}+q\widehat S^{(-1,j)}S^{(i,-1)},
\end{equation}
\tag{2.9в}
$$
$$
\begin{equation}
(q^4+1)\widehat S^{(i,j)}- q^3\widehat S^{(i,j+1)}-q\widehat S^{(i,j-1)} = (q^4+1)S^{(i,j)}+q^3S^{(i+1,j)}+qS^{(i-1,j)}-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\quad-q^3S^{(0,j)}\widehat S^{(i,0)}-qS^{(-1,j)}\widehat S^{(i,-1)}.
\end{equation}
\tag{2.9г}
$$
Далее, чтобы вывести систему (1.13а), (1.13б), нам также необходимо вспомнить некоторые известные рекуррентные соотношения для $S^{(i,j)}$ (см. предложения 2.3 и 2.4 в [16]). Предложение 1. Для функций $S^{(i,j)}$, $i,j\in\mathbb{Z}$, заданных в (2.5) с $\boldsymbol M$, $\boldsymbol K$ и $\boldsymbol r$, $\boldsymbol s$, удовлетворяющими уравнению Сильвестра (2.1), имеют место следующие соотношения: Чтобы найти замкнутый вид функций $S^{(i,j)}$, сложим уравнения (2.9в) со сдвинутым на $+1$ по $m$ уравнением (2.9а), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, p(\widetilde{\widehat S}{\vphantom{S}}^{(i,j)}&{}-\widehat S^{(i,j)})+q(\widehat S^{(i-1,j)}+S^{(i,j-1)})- q\widehat S^{(-1,j)} S^{(i,-1)}+\widehat S^{(0,j)}\widetilde{\widehat S}^{(i,0)} +{} \notag\\ &{}+S^{(i,j)}-\widehat S^{(i,j)}-\widetilde{\widehat S}{\vphantom{S}}^{(i,j+1)}-\widehat S^{(i+1,j)}+{} \notag\\ &{}+q^3\bigl(S^{(i,j+1)}+\widehat S^{(i+1,j)}-\widehat S^{(0,j)} S^{(i,0)}+q(S^{(i,j)}-\widehat S^{(i,j)})\bigr)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.13}
$$
Введем переменные
$$
\begin{equation}
S^{(0,0)}=u,\qquad S^{(0,-1)}-1=v,\qquad S^{(0,1)}=w
\end{equation}
\tag{2.14}
$$
и, положив $i=0$, $j=-1$ в уравнениях (2.9а) и (2.9б), имеем Вычтем уравнение (2.15б) из сдвинутого на $+1$ по $n$ уравнения (2.15а), в результате получим
$$
\begin{equation}
p(v+\tilde{\tilde v})=(2p+u-\tilde{\tilde u})\tilde v.
\end{equation}
\tag{2.16}
$$
Далее подставим $i=j=0$ в (2.9а)–(2.9г), получим
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, w+\tilde w&=p\tilde u-pu+u\tilde u, \\ q^3(w+\hat w)&=q^3u\hat u-(q^4+1)(u-\hat u)+q(v\hat v-1). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.17}
$$
После исключения переменной $w$ приходим к уравнению
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, q^3(p+q)(\tilde u-\hat u)&{}-q^3(p-q+\hat u-\tilde u)(u-\tilde{\hat u})+{} \notag\\ &{}+(u-\hat u+\tilde u-\tilde{\hat u})-q(\tilde v\tilde{\hat v}+v\hat v-2)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.18}
$$
Снова положим $i=0$, $j=-1$ в (2.13) и, используя соотношения (2.15а), (2.15б), получим
$$
\begin{equation}
q(v\widehat S^{(-1,-1)}- S^{(0,-2)})=q^4 v+pq^3\tilde{\hat v}-q^3(p+q+u-\tilde{\hat u})\hat v+v-\hat v.
\end{equation}
\tag{2.19}
$$
Затем рассмотрим уравнение (2.12) при $i=1$, $j=0$ и исключим $S^{(0,-2)}$ из (2.19), имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, qv&[(p(v-\tilde v)-\tilde uv)\widehat S^{(-1,-1)}+S^{(1,-2)}]= \notag\\ &=-q+p\tilde v\hat v-qv+(1+q^4)(p-\tilde u)v^2-{} \notag\\ &\quad-pq^3(p+q+u-\tilde{\hat u})\tilde v\hat v-p^2q^3\tilde v\tilde{\hat v}-(p-\tilde u)v\hat v-{} \notag\\ &\quad-q^3(p+q+u-\tilde{\hat u})(p-\tilde u)v\hat v-p(q^4+1)v\tilde v+ p^2q^3v\tilde{\hat v}- pq^3\tilde uv\tilde{\hat v}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.20}
$$
Рассмотрим уравнение (2.13) при $i=1$, $j=-1$ и уравнение (2.11) при $i=-1$, $j=0$. Исключение $S^{(2,-1)}$ из этих уравнений дает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, q&[(p(v-\tilde v)-\tilde uv)\widehat S^{(-1,-1)}+\widetilde S^{(1,-2)}]= \notag\\ &=(1+q^4)(p-\tilde u)v-q-p\tilde v(1+q^4)+p\tilde{\hat v}(1+q^4)-pq^3\hat u\tilde{\hat v}-{} \notag\\ &\quad-\hat v(p+q+q^4)-(p\hat u- pq^3\hat u-\hat u\tilde{\hat u}+q^3\hat u\tilde{\hat u})\hat v+{} \notag\\ &\quad+(1+p+q^4)\tilde{\hat u}\hat v-(\hat w+\tilde{\hat w})\hat v+q^3(w+\hat w)\hat v. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.21}
$$
Комбинируя уравнения (2.20) и (2.21), исключая из них члены с $w$ и используя (2.17), получаем уравнение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, p(\tilde v\hat v-v\tilde{\hat v})&{}-p^2q^3(v\hat v+\tilde v\tilde{\hat v})+ pq^3[(p+q+u-\tilde{\hat u})\tilde v\hat v+(p-q+\hat u-\tilde u)v\tilde{\hat v}]-{} \notag\\ &{}-q+2q v\hat v-q v\hat v v\hat v- q^3(p-q+\hat u-\tilde u)(u-\tilde{\hat u}) v\hat v+{} \notag\\ &{}+q^3(p+q)(\tilde u-\hat u) v\hat v+(u-\tilde{\hat u}+\tilde u-\hat u)v\hat v =0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.22}
$$
которое с учетом (2.18) приводит к
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, p(\tilde v\hat v&{}-v\tilde{\hat v})- p^2q^3(v\hat v+\tilde v\tilde{\hat v})+{} \notag\\ &{}+pq^3[(p+q+u-\tilde{\hat u})\tilde v\hat v+(p-q+\hat u-\tilde u)v\tilde{\hat v}]-q(1-v\tilde v\hat v\tilde{\hat v})=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2.23}
$$
Это уравнение вместе с (2.16) дает систему (1.13а), (1.13б). Замечание 1. Уравнения (2.18) и (2.23) связаны соотношением 3. Пара Лакса для тройки уравнений {(2.16), (2.18), (2.23)}Уравнения (2.8а)–(2.8г) дают линейные рекуррентные соотношения для $\boldsymbol u^{(i)}$, которые можно использовать для построения пары Лакса. Пусть $i=0$, тогда получаем
$$
\begin{equation}
(p-\boldsymbol K)\tilde{\boldsymbol u}^{(0)} =(p-\tilde u)\boldsymbol u^{(0)}+\boldsymbol u^{(1)},
\end{equation}
\tag{3.1а}
$$
$$
\begin{equation}
(p-\boldsymbol K)\tilde{\boldsymbol u}^{(1)} =[\boldsymbol K^2+(p-\tilde u)(p+u)-p^2]\boldsymbol u^{(0)}+(p+u)\boldsymbol u^{(1)},
\end{equation}
\tag{3.1б}
$$
$$
\begin{equation}
\boldsymbol Q^{+}\boldsymbol u^{(0)} =\alpha_1\hat{\boldsymbol u}^{(0)}-\hat{\boldsymbol u}^{(1)}+\frac{v}{q^2}\hat{\boldsymbol u}^{(-1)},
\end{equation}
\tag{3.1в}
$$
$$
\begin{equation}
\boldsymbol Q^{-}\hat{\boldsymbol u}^{(0)} =\alpha_2\boldsymbol u^{(0)}+\boldsymbol u^{(1)}-\frac{\hat v}{q^2}\boldsymbol u^{(-1)},
\end{equation}
\tag{3.1г}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \boldsymbol Q^{\pm}=q\boldsymbol I\pm\boldsymbol K+\frac{1}{q^3}(\boldsymbol I\pm q\boldsymbol K^{-1}), \\ \alpha_1=q+u+\frac{1}{q^3},\qquad\alpha_2=q-\hat u+\frac{1}{q^3}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
При этом, взяв $i=-1$ в (2.8а) и (2.8б), имеем уравнения
$$
\begin{equation}
(p-\boldsymbol K)\tilde{\boldsymbol u}^{(-1)} =p\boldsymbol u^{(-1)}-\tilde v\boldsymbol u^{(0)},
\end{equation}
\tag{3.2а}
$$
$$
\begin{equation}
(p+\boldsymbol K)\boldsymbol u^{(-1)} =p\tilde{\boldsymbol u}^{(-1)}+v\tilde{\boldsymbol u}^{(0)},
\end{equation}
\tag{3.2б}
$$
откуда мы также можем получить выражение для $\tilde{\boldsymbol u}^{(0)}$, исключив $\tilde{\boldsymbol u}^{(-1)}$:
$$
\begin{equation}
(p-\boldsymbol K)\tilde{\boldsymbol u}^{(0)}= \frac{p\tilde v}{v}\boldsymbol u^{(0)}-\frac{1}{v}\boldsymbol K^2\boldsymbol u^{(-1)}.
\end{equation}
\tag{3.3}
$$
Таким образом, выводим систему уравнений
$$
\begin{equation}
(p-\boldsymbol K)\tilde{\boldsymbol u}^{(0)} =\frac{p\tilde v}{v}\boldsymbol u^{(0)}-\frac{1}{v}\boldsymbol K^2\boldsymbol u^{(-1)},
\end{equation}
\tag{3.4а}
$$
$$
\begin{equation}
(p-\boldsymbol K)\tilde{\boldsymbol u}^{(-1)} =-\tilde v\boldsymbol u^{(0)}+p\boldsymbol u^{(-1)}.
\end{equation}
\tag{3.4б}
$$
Кроме того, уравнения (3.1а) и (3.3) дают линейное соотношение для некоторой $\boldsymbol u^{(0)}$ без сдвигов:
$$
\begin{equation}
\alpha_3\boldsymbol u^{(0)}+\boldsymbol u^{(1)}+\frac{1}{v}\boldsymbol K^2\boldsymbol u^{(-1)}=0,
\end{equation}
\tag{3.5}
$$
где Заметим что уравнение (3.3) также можно вывести, исключив $\boldsymbol u^{(1)}$ из (3.1а) с использованием (3.5). Далее найдем соотношения сдвига на $+1$ по $m$ для $\boldsymbol u^{(0)}$ и $\boldsymbol u^{(-1)}$. Из уравнений (3.1в), (3.1г) и (3.5) получаем
$$
\begin{equation}
\boldsymbol Q^{-}\hat{\boldsymbol u}^{(0)} =(\alpha_2-\alpha_3)\boldsymbol u^{(0)}-\boldsymbol B_1\boldsymbol u^{(-1)},
\end{equation}
\tag{3.6а}
$$
$$
\begin{equation}
\boldsymbol Q^{-}\boldsymbol B_2\hat{\boldsymbol u}^{(-1)} = [\boldsymbol Q^{-}\boldsymbol Q^{+}-(\alpha_1+\widehat{\alpha}_3)(\alpha_2-\alpha_3)]\boldsymbol u^{(0)}+ (\alpha_1+\widehat{\alpha}_3)\boldsymbol B_1\boldsymbol u^{(-1)},
\end{equation}
\tag{3.6б}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol B_1=\frac{1}{v}\boldsymbol K^2+\frac{\hat v}{q^2}\boldsymbol I, \qquad \boldsymbol B_2=\frac{1}{\hat v}\boldsymbol K^2+\frac{v}{q^2}\boldsymbol I.
\end{equation*}
\notag
$$
В самом деле, исключив $\boldsymbol u^{(1)}$ из (3.1г) и (3.5), мы получаем (3.6а). Чтобы получить (3.6б), нам нужно исключить $\boldsymbol u^{(1)}$ из (3.1в) и (3.5), тогда имеем
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol Q^{+}\boldsymbol u^{(0)}=(\alpha_1+\widehat{\alpha}_3)\hat{\boldsymbol u}^{(0)}+\boldsymbol B_2\hat{\boldsymbol u}^{(-1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда, подставив в эти уравнения формулу (3.6а), чтобы исключить $\hat{\boldsymbol u}^{(0)}$, получаем (3.6б). Уравнения (3.4а), (3.4б) и (3.6а), (3.6б) составляют набор линейных соотношений для $\boldsymbol u^{(0) }$ и $\boldsymbol u^{(-1)}$, связанных с их сдвигами на $+1$ по $n$ и по $m$. Предположим, что $\boldsymbol K=\operatorname{diag}(k=k_1,k_2,\ldots,k_N)$. Тогда $\boldsymbol Q^{+}$, $\boldsymbol Q^{-}$, $\boldsymbol B_1$ и $\boldsymbol B_2$ – диагональные матрицы. Рассмотрим (3.4а) – систему, состоящую из $N$ уравнений, каждое из которых имеет одинаковую структуру. Это также справедливо для уравнений (3.4б), (3.6а) и (3.6б). Таким образом, если обозначить первые диагональные элементы матриц $\boldsymbol Q^{+}$, $\boldsymbol Q^{-}$, $\boldsymbol B_1$ и $\boldsymbol B_2$ через $\gamma_1$, $\gamma_2$, $b_1$ и $b_2$ соответственно, а первые элементы векторов $\boldsymbol u^{(0)}$ и $\boldsymbol u^{(-1)}$ – через $f$ и $g$ соответственно, получаем систему
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \;\,(p-k)\tilde f=\frac{p\tilde v}{v}f-\frac{k^2}{v}g, \\ (p-k)\tilde g=-\tilde vf+p g, \\ \gamma_2\hat f=(\alpha_2-\alpha_3)f-b_1g, \\ \gamma_2 b_2\hat g=[\gamma_1\gamma_2-(\alpha_1+\hat\alpha_3)(\alpha_2-\alpha_3)]f+(\alpha_1+\hat\alpha_3)b_1g, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3.7}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \gamma_1=q+k+\frac{1+qk^{-1}}{q^3},\quad \gamma_2=q-k+\frac{1-qk^{-1}}{q^3},\quad b_1=\frac{k^2}{v}+\frac{\hat v}{q^2},\quad b_2=\frac{k^2}{\hat v} +\frac{v}{q^2}, \\ \alpha_1=q+u+\frac{1}{q^3},\quad \alpha_2=q-\hat u+\frac{1}{q^3},\quad \alpha_3=p-p\frac{\tilde v}{v}-\tilde u. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Введем величины Тогда система (3.7) в терминах $\Phi=(F,G)^{\mathrm T}$ записывается как
$$
\begin{equation}
\widetilde\Phi=\mathcal L_1\Phi, \qquad\widehat\Phi=\mathcal L_2\Phi,
\end{equation}
\tag{3.8а}
$$
где
$$
\begin{equation}
\mathcal L_1=\begin{pmatrix} \frac{p\tilde v}{v} & -\frac{k^2}{v} \\ -\tilde v & p \end{pmatrix},\quad\; \mathcal L_2=\begin{pmatrix} \alpha_2-\alpha_3 & -b_1 \\ \frac{1}{b_2}[\gamma_1\gamma_2-(\alpha_1+\hat\alpha_3) (\alpha_2-\alpha_3)]&(\alpha_1+\hat\alpha_3)\frac{b_1}{b_2} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{3.8б}
$$
Теорема 1. Система уравнений (3.8а), (3.8б) дает пару Лакса для тройки уравнений $\{(2.16), (2.18), (2.23)\}$. Доказательство. Условие совместности для $\Phi$, т. е. уравнение $\widehat{\widetilde\Phi}=\widetilde{\widehat\Phi}$ или $Q=\widehat{\mathcal L}_1\mathcal L_2-\widetilde{\mathcal L}_2\mathcal L_1=0$, дает следующие уравнения. Для удобства обозначим $Q$ через $(Q_{ij})_{2\times 2}$. Тогда элемент $Q_{12}$ порождает уравнение (2.16), Замечание 2. В свете замечания 1, если мы предположим, что $u$ стремится к нулю, а $v$ стремится к константе при $|n|\to\infty$, так что $v\tilde v\hat v\tilde{\hat v}\to 1$ и $\tilde v\tilde{\hat v}+v\hat v\to 2$, то уравнение (2.18) можно рассматривать как следствие уравнения (2.23). В этом случае система (3.8а), (3.8б) – это пара Лакса для системы (1.13а), (1.13б). В разделе 5 мы увидим, что такие решения действительно существуют. 4. Непрерывный пределПрежде чем приступать к анализу решения, исследуем непрерывный предел системы (1.13а), (1.13б), чтобы увидеть, чему он соответствует. Применим два последовательных предела. Сначала возьмем предел $n\to\infty$, $p\to\infty$ при условии, что предел $n/p\to \xi$ конечен. В этом пределе ПВФ (1.14) дает
$$
\begin{equation}
\rho(n,m)\to\rho(\xi,m)=e^{2k\xi}\biggl(\frac{q+k}{q-k}\biggr)^{\!m}\biggl(\frac{q^3+k^{-1}}{q^3-k^{-1}}\biggr)^{\!m}\rho^{(0)}.
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
Введем также обозначения $u(n+j,m)=u(\xi+j/p,m)$ и $v(n+j,m)=v(\xi+ j/p,m)$ в терминах переменной $\xi$. Помимо системы (1.13а), (1.13б), мы также рассмотрим непрерывный предел уравнения (2.18), который эквивалентен (1.13б) при подходящем асимптотическом условии. Применяя разложение Тейлора в (1.13а), (1.13б), получаем для каждого уравнения степенной ряд по $1/p$. Старшие порядки по $1/p$ в двух уравнениях системы (1.13а), (1.13б) приводят к
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, 2v u_\xi+v_{\xi\xi}=0, \\ -q+qv^2\hat v^2+[1+q^4+q^3(u-\hat u)] (\hat v v_\xi-v\hat v_\xi)-q^3(u_\xi+\hat u_\xi)v\hat v- q^3v_\xi\hat v_\xi=0, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
где $v=v(\xi,m)$, $u=u(\xi,m)$. С помощью той же процедуры из уравнения (2.18) выводим уравнение
$$
\begin{equation}
2qv\hat v-2(q+u-\hat u)- q^3(u-\hat u)(2q+u-\hat u)+q^3 (u_\xi+\hat u_\xi)=0.
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
На следующем шаге рассмотрим предел $m\to\infty$, $q\to\infty$ и положим $m/q\to\tau$. ПВФ (4.1) принимает вид
$$
\begin{equation}
\rho(\xi,m)\to\rho(\xi,\tau)=\exp\biggl[2k(\xi+\tau)+\biggl(\frac{2}{3q^2}k^3+\frac{2}{q^2}k^{-1}\biggr)\tau\biggr]\rho^{(0)}.
\end{equation}
\tag{4.4}
$$
Введем новые координаты соответствующие преобразования производных имеют вид
$$
\begin{equation}
\partial_\xi=\partial_x,\qquad\partial_\tau=\partial_x+\frac{1}{12q^2}\partial_t.
\end{equation}
\tag{4.6}
$$
Тогда для лидирующих членов в (4.2) имеем следующие уравнения (записанные в переменных $(x,t)$): Из (4.3) получаем Из (4.7а) выведем уравнение и подставим его в (4.7б). Это приводит к уравнению
$$
\begin{equation}
12 v^5+6v_x^2v_{xx}-v(12+3v_{xx}^2-v_xv_t+12v_xv_{xxx})-v^2(v_{xt}-v_{xxxx})=0.
\end{equation}
\tag{4.10}
$$
Введя функцию $\phi$ как из (4.10) получаем уравнение
$$
\begin{equation}
\phi_{xt}-48\sin\phi-\frac{3}{2}\phi_x^2\phi_{xx}-\phi_{xxxx}=0,
\end{equation}
\tag{4.12}
$$
которое представляет собой непрерывное уравнение мКдФ–СГ (1.7). В этом контексте мы называем систему (1.13а), (1.13б) дискретным уравнением мКдФ–СГ. Если один раз продифференцировать уравнение (4.8) по $x$ и использовать (4.9), чтобы исключить $u_x$, то мы получим уравнение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, v^5v_x-6v_x^3v_{xx}+6vv_x(2v_{xx}^2&{}+v_xv_{xxx})+v^2v_{xx}(v_t-10v_{xxx})-{} \notag\\ &{}-3v^2v_xv_{xxxx}+v^3(v_{xxxxx}-v_{xxt})=0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.13}
$$
которое с учетом (4.11) приводит к где
$$
\begin{equation*}
R[x,t]=\phi_{xt}-48\sin\phi-\frac{3}{2}\phi_x^2\phi_{xx}-\phi_{xxxx}.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, (2.18) дает уравнение мКдФ–СГ также в непрерывном пределе. Интересно, что из (4.8) можно получить уравнение только для $u$. Во-первых, используя (4.7а), легко вывести соотношения
$$
\begin{equation*}
vv_{xxx}+(v^2)_xu_x+2v^2u_{xx}=0,\qquad v_xv_{xx}+(v^2)_xu_x=0,
\end{equation*}
\notag
$$
которые дают При этом из (4.8) имеем
$$
\begin{equation*}
v^2=\frac{1}{12}u_{xxx}+\frac{1}{2}u_x^2-\frac{1}{3}u_t+1.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставим $v^2$ в уравнение (4.15) и получим уравнение только для $u$:
$$
\begin{equation}
u_{xxxxxx}^{}-u_{xxxt}^{}+60u_x^2u_{xx}^{}+2u_{xx}^{}(12+19u_{xxx}^{}-u_t^{})+4u_x^{}(4u_{xxxx}^{}-u_{xt}^{})=0.
\end{equation}
\tag{4.16}
$$
Учитывая формулу для ПВФ (4.4), мы можем рассматривать приведенное выше уравнение как комбинацию потенциальных уравнений КдФ третьего и $(-1)$-го порядков.
5. Динамика некоторых решенийЕсли применить к матрице $\boldsymbol K$ преобразование подобия, то функция $S^{(i,j)}$ и уравнения (2.1) и (2.3), задающие $S^{(i,j)}$, остаются неизменными. Действительно, пусть $\boldsymbol K_1$ – матрица, подобная $\boldsymbol K$ с матрицей преобразования $\boldsymbol T$, т. е. $\boldsymbol K_1=\boldsymbol T\boldsymbol K\boldsymbol T^{-1}$. Также зададим матрицу и векторы
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol M_1=\boldsymbol T\boldsymbol M\boldsymbol T^{-1},\qquad \boldsymbol r_1=\boldsymbol T\boldsymbol r,\qquad \boldsymbol s_1^{\mathrm T}=\boldsymbol s^{\mathrm T}\boldsymbol T^{-1}.
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда нетрудно проверить, что если записать (2.1) и (2.3) через $\boldsymbol K_1$, $\boldsymbol M_1$, $\boldsymbol r_1$, $\boldsymbol s_1$, то они будут иметь тот же вид, что и раньше, и мы получаем
$$
\begin{equation}
S^{(i,j)}=\boldsymbol s^{\mathrm T}\boldsymbol K^j(\boldsymbol I+\boldsymbol M)^{-1}\boldsymbol K^{i}\boldsymbol r= \boldsymbol s_1^{\mathrm T}\boldsymbol K_1^j(\boldsymbol I+\boldsymbol M_1)^{-1}\boldsymbol K_1^{i}\boldsymbol r_1.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Таким образом, выводим систему
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \boldsymbol M\boldsymbol\Gamma+\boldsymbol\Gamma\boldsymbol M=\boldsymbol r\boldsymbol s^{\mathrm T}, \\ (p\boldsymbol I-\boldsymbol\Gamma)\tilde{\boldsymbol r}=(p\boldsymbol I+\boldsymbol\Gamma)\boldsymbol r, \\ (q\boldsymbol I-\boldsymbol\Gamma)(q^3\boldsymbol I-\boldsymbol\Gamma^{-1})\hat{\boldsymbol r}= (q\boldsymbol I+\boldsymbol\Gamma)(q^3\boldsymbol I+\boldsymbol\Gamma^{-1})\boldsymbol r, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
где $\boldsymbol\Gamma$ – каноническая форма матрицы $\boldsymbol K$. Решение $(v,u)$ системы (1.13а), (1.13б) записывается с помощью (2.14) как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, v&=S^{(0,-1)}-1=\boldsymbol s^{\mathrm T}\boldsymbol\Gamma^{-1}(\boldsymbol I+\boldsymbol M)^{-1}\boldsymbol r-1, \\ u&=S^{(0,0)}=\boldsymbol s^{\mathrm T}(\boldsymbol I+\boldsymbol M)^{-1}\boldsymbol r, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.3}
$$
где $\boldsymbol M$, $\boldsymbol r$ управляются системой уравнений (5.2). Решения $(\boldsymbol r,\boldsymbol M)$ системы (5.2) для различных собственных значений матрицы $\boldsymbol\Gamma$ приведены в приложении. Из преобразования (4.11) видно, что если функция $\phi$ вещественная, то и функция $i\ln v$ вещественная. Далее найдем решение $v$, такое что $i\ln v$ вещественная. Мы остановимся лишь на случае, когда $\Gamma$ является диагональной матрицей, т. е. (обозначения можно найти в приложении)
$$
\begin{equation}
\Gamma_{\mathrm d}^{[N]}(\{k_{j}\}_1^{N})=\operatorname{diag}(k_1,k_2,\ldots,k_{N}),
\end{equation}
\tag{5.4}
$$
и рассмотрим решения для $N=1$ и $N=2$. При такой матрице $\Gamma$ и постоянном векторе $\boldsymbol s=(s_1,s_2,\ldots, s_N)\in\mathbb{C}$ решения $(\boldsymbol r,\boldsymbol M)$ системы (5.2) для $N=1$ и $N=2$ имеют следующий вид (см. приложение). Для $N=1$
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol r=\rho_1= \biggl(\frac{p+k_1}{p-k_1}\biggr)^{\!n} \biggl(\frac{q+k_1}{q-k_1}\biggr)^{\!m} \biggl(\frac{k_1q^3+1}{k_1q^3-1}\biggr)^{\!m}\rho_1^{(0)},\qquad \boldsymbol M=m_{1,1}=\frac{\rho_1s_1}{2k_1},
\end{equation*}
\notag
$$
где $p,q,k_1,s_1,\rho_1^{(0)}\in\mathbb{C}$. Для $N=2$
$$
\begin{equation*}
\boldsymbol r=(\rho_1,\rho_2)^{\mathrm T},\qquad \boldsymbol M=(m_{i,j})_{2\times 2},
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation*}
\rho_i= \biggl(\frac{p+k_i}{p-k_i}\biggr)^{\!n} \biggl(\frac{q+k_i}{q-k_i}\biggr)^{\!m} \biggl(\frac{k_iq^3+1}{k_i q^3-1}\biggr)^{\!m}\rho_i^{(0)},\qquad m_{i,j}=\frac{\rho_is_j}{k_i+k_j}
\end{equation*}
\notag
$$
и $p,q,k_i,s_i,\rho_i^{(0)}\in\mathbb{C}$. Таким образом, из (5.3) получаем односолитонное решение
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, v&=\frac{s_1r_1}{k_1(1+\frac{s_1r_1}{2k_1})}-1= \frac{-2k_1+\bigl(\frac{p+k_1}{p-k_1}\bigr)^n \bigl(\frac{q+k_1}{q-k_1}\bigr)^m \bigl(\frac{k_1q^3+1}{k_1q^3-1}\bigr)^ms_1}{2k_1+\bigl(\frac{p+k_1}{p-k_1}\bigr)^n\bigl(\frac{q+k_1}{q-k_1}\bigr)^m \bigl(\frac{k_1q^3+1}{k_1q^3-1}\bigr)^ms_1}, \\ u&=\frac{s_1r_1}{1+\frac{s_1r_1}{2k_1}}= \frac{2k_1\bigl(\frac{p+k_1}{p-k_1}\bigr)^n \bigl(\frac{q+k_1}{q-k_1}\bigr)^m\bigl(\frac{k_1q^3+1}{k_1q^3-1}\bigr)^ms_1} {2k_1+\bigl(\frac{p+k_1}{p-k_1}\bigr)^n\bigl(\frac{q+k_1}{q-k_1}\bigr)^m \bigl(\frac{k_1q^3+1}{k_1q^3-1}\bigr)^ms_1}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.5}
$$
где мы положили $\rho_1^0=1$ без потери общности, поскольку $s_1$ произвольно. Нетрудно видеть, что если взять $s_1=ic_1$ и $c_1,k_1,p,q\in\mathbb{R}$, то $v=-f^*/f$ (звездочка означает комплексное сопряжение), и значение $i\ln v$ вещественно. При таких параметрах решения $v$ и $u$ записываются как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, v&=\frac{-2k_1+ic_1e^{A_1n+B_1m}}{2k_1+ic_1e^{A_1n+B_1m}}, \\ u&=\frac{2ik_1c_1e^{A_1n+B_1m}}{2k_1+ic_1e^{A_1n+B_1m}}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{5.6}
$$
где
$$
\begin{equation*}
A_1=\ln\frac{p+k_1}{p-k_1},\qquad B_1=\ln\frac{(q+k_1)(k_1q^3+1)}{(q-k_1)(k_1q^3-1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Также запишем вещественную и мнимую части функции $v$:
$$
\begin{equation}
\operatorname{Re}[v] =1-\frac{8k_1^2}{4k_1^2+c_1^2e^{2A_1n+2B_1m}},
\end{equation}
\tag{5.7а}
$$
$$
\begin{equation}
\operatorname{Im}[v] =\frac{4c_1k_1}{4k_1^2e^{-A_1n-B_1m}+c_1^2e^{A_1n+B_1m}}.
\end{equation}
\tag{5.7б}
$$
Предположим, что так что $A_1$ и $B_1$ корректно определены. При таком предположении легко заметить, что функция $\operatorname{Re}[v]$, заданная в (5.7а), описывает кинковую волну и при фиксированном $m$ стремится к $\pm 1$, когда $|n|\to\infty$. При этом для фиксированного $m$ функция $\operatorname{Im}[v]$, заданная в (5.7б), описывает солитон, который экспоненциально убывает до нуля при $|n|\to\infty$. Это указывает на то, что $v\to 1$ или $v\to-1$ при $|n|\to\infty$, что совпадает с асимптотическим предположением для $v$ (см. замечания в конце раздела 2 и раздела 3). Также можно найти, что точки перегиба кинковой волны $\operatorname{Re}[v]$ лежат на прямой Заметим, что решение $\operatorname{Im}[v]$ перемещается также вдоль этой прямой.Решения $\operatorname{Re}[v]$ и $\operatorname{Im}[v]$ для случая $N=2$ показаны на рис. 1.  Рис. 1.Форма и динамика кинковой волны $\operatorname{Re}[v]$ (5.7а) при $k_1=1$, $c_1=1$, $p=2$, $q=2$ (а) и двумерный график этой волны при $m=2$ (б). Форма и динамика солитонной волны $\operatorname{Im}[v]$ (5.7б) (в) и двумерный график этой волны при тех же параметрах (г). При $N=2$ имеем $v=\operatorname{Re}[v]+i\operatorname{Im}[v]$, где
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, U&=2(k_1+k_2)^2(k_2c_1e^{A_1n+B_1m}+k_1c_2e^{A_2n+B_2m}), \\ V&=4k_1k_2(k_1+k_2)^2-c_1c_2(k_1-k_2)^2e^{(A_1+A_2)n+(B_1+B_2)m}, \end{aligned}\\ A_j=\ln\frac{p+k_j}{p-k_j},\qquad B_j=\ln\frac{(q+k_j)(k_jq^3+1)}{(q-k_j)(k_jq^3-1)},\qquad j=1,2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Предположим, что
$$
\begin{equation}
p>k_j>0,\qquad q>k_j>0,\qquad k_jq^3-1>0,\qquad j=1,2.
\end{equation}
\tag{5.11}
$$
Эти неравенства дают $A_j>0$ и $B_j>0$, следовательно, для фиксированного $m$ мы имеем
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Re}[v]\to-1,\quad\operatorname{Im}[v]\to 0\quad\text{при}\quad |n|\to\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Это также согласуется с асимптотическим свойством функции $v$, которое мы предполагали в конце разделов 2 и раздела 3. Решения $\operatorname{Re}[v]$ и $\operatorname{Im}[v]$ для случая $N=2$ показаны на рис. 2.  Рис. 2.Форма и динамика решения $\operatorname{Re}[v]$ (5.10а) при $k_1=1$, $k_2=2$, $c_1=1$, $c_2=2$, $p=3$, $q=3$ (а) и двумерный график этой волны при $m=2$ (б). Форма и динамика решения $\operatorname{Im}[v]$ (5.10б) (в) и двумерный график этого решения при тех же параметрах (г). 6. ЗаключениеВ представленной работе мы изучили интегрируемую дискретизацию уравнения мКдФ–СГ (1.7), которое представляет собой универсальную модель, возникающую во многих контекстах физики и математики (см., например, [5], [24]–[29]). Для этого уравнения имеет место формула суперпозиции решений, но она не является дискретной версией этого уравнения. Мы вывели систему (1.13а), (1.13б) и получили ее решения и пару Лакса (для уравнений (1.13а), (1.13б) вместе с уравнением (2.18)). Мы также исследовали непрерывный предел решений. Функция $v$ дает уравнение мКдФ–СГ (1.7) (относительно $\phi=-2i\ln v$), а другая переменная $u$ удовлетворяет уравнению (4.16) которое можно рассматривать как комбинацию потенциальных уравнений КдФ третьего и $(-1)$-го порядков. Для вывода уравнений (1.13а), (1.13б) мы использовали подход матрицы Коши, который впервые был представлен в [11], а затем получил свое развитие в [15], [16]. Этот подход также позволяет получать дискретные интегрируемые уравнения вместе с их решениями и парами Лакса. Отправной точкой являются уравнение Сильвестра и дисперсионное соотношение (см. (2.1) и (2.3)). Для вывода дискретного уравнения мКдФ–СГ (1.13а), (1.13б) мы ввели ПВФ (1.14), который характеризует комбинацию дискретных дисперсионных соотношений в $m$-направлении. Этот ПВФ также говорит о связи нашей модели с некоторым дискретным уравнением типа Кадомцева–Петвиашвили. Возможная редукция будет исследована в другой раз. Приложение. Решение уравнений (2.1) и (2.3)Представим список решений $(\boldsymbol r,\boldsymbol M)$ системы (2.1), (2.3), считая, что матрица $\boldsymbol K$ задана в канонической форме и $\boldsymbol s\in\mathbb{C}_N$. За аналогичными формулами можно также обратиться к приложениям A и B в работе [16] или приложению A в [21]. Сначала введем некоторые обозначения (ср. с работами [15], [16]). Рассмотрим следующие матрицы: диагональная матрица размера $N\times N$
$$
\begin{equation}
\Gamma_{\mathrm d}^{[N]}(\{k_{j}\}_1^{N})=\operatorname{diag}(k_1,k_2,\ldots,k_{N}),
\end{equation}
\tag{0.1}
$$
жорданова матрица размера $N\times N$
$$
\begin{equation}
\Gamma_{\mathrm J}^{[N]}(k_1)=\begin{pmatrix} k_1 & 0 & 0 &\ldots & 0 \\ 1 & k_1 & 0 &\ddots &\vdots \\ 0 & 1 & k_1 &\ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \ldots & 0& 1 & k_1 \\ \end{pmatrix}_{\!{}^{\scriptstyle N\times N}},
\end{equation}
\tag{0.2}
$$
нижнетреугольная тёплицева матрица
$$
\begin{equation}
T^{[N]}(\{a_{j}\}_1^{N})=\begin{pmatrix} a_1 & 0 & 0 &\ldots & 0 \\ a_2 & a_1 & 0 &\ddots & \vdots \\ a_3 & a_2 & a_1 &\ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots &\ddots & 0 \\ a_N & \ldots & a_3 & a_2 & a_1 \end{pmatrix}_{\!{}^{\scriptstyle N\times N}},
\end{equation}
\tag{0.3}
$$
косодиагональная тёплицева матрица:
$$
\begin{equation}
H^{[N]}(\{b_{j}\}_1^{N})=\begin{pmatrix} b_1 & \ldots & b_{N-2} & b_{N-1} & b_N\\ \vdots & \cdot^{\displaystyle{\displaystyle\cdot}^{\displaystyle\cdot}} & b_{N-1} & b_{N}& 0 \\ b_{N-2} & \cdot^{\displaystyle{\displaystyle\cdot}^{\displaystyle\cdot}} & b_N & 0 & 0\\ b_{N-1} & \cdot^{\displaystyle{\displaystyle\cdot}^{\displaystyle\cdot}} & \cdot^{\displaystyle{\displaystyle\cdot}^{\displaystyle\cdot}} & \cdot^{\displaystyle{\displaystyle\cdot}^{\displaystyle\cdot}} & \vdots \\ b_N & 0 & 0 & \ldots & 0 \end{pmatrix}_{\!{}^{\scriptstyle N\times N}}.
\end{equation}
\tag{0.4}
$$
Введем ПВФ
$$
\begin{equation}
\rho_i=\biggl(\frac{p+k_i}{p-k_i}\biggr)^{\!n}\biggl(\frac{q+k_i}{q-k_i}\biggr)^{\!m}\biggl(\frac{q^3k_i+1}{q^3k_i-1}\biggr)^{\!m}\rho^{(0)}_i
\end{equation}
\tag{0.5}
$$
где $\rho^{0}_i$ – постоянные. Дополнительно введем $N$-мерные векторы
$$
\begin{equation}
\boldsymbol r_{\mathrm d}^{N}(\{k_{j}\}_1^{N})=(\rho_1,\ldots,\rho_{N})^{\mathrm T},\qquad \boldsymbol r_{\mathrm J}^{N}(k_1)=(r_1,\ldots,r_{N})^{\mathrm T},
\end{equation}
\tag{0.6}
$$
где
$$
\begin{equation*}
r_1=\rho_1,\qquad r_i=\frac{\partial_{k_1}^{i-1}\rho_1}{(i-1)!}\quad\text{для}\quad i=1,\ldots,N.
\end{equation*}
\notag
$$
Также введем матрицы
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} G_{\mathrm d}^{[N]}(\{k_{j}\}_1^{N})&=(g_{i,j})_{N\times N},&\qquad g_{i,j}&=\frac{1}{k_i+k_{j}}, \\ G_{\mathrm{dJ}}^{[N_1,N_2]}(\{k_i\}_1^{N_1};a)&=(g_{i,j})_{N_1\times N_2},&\qquad g_{i,j}&=-\biggl(\frac{-1}{k_i+a}\biggr)^{\!j}, \\ G_{\mathrm{JJ}}^{[N_1,N_2]}(a;b)&=(g_{i,j})_{N_1\times N_2},&\qquad g_{i,j}&=\mathrm{C}_{i+j-2}^{i-1}\frac{(-1)^{i+j}}{(a+b)^{i+j-1}}, \\ G_{\mathrm J}^{[N]}(a)=G_{\mathrm{JJ}}^{[N,N]}(a;a)&=(g_{i,j})_{N\times N},&\qquad g_{i,j}&=\mathrm{C}_{i+j}^{i-1}\frac{(-1)^{i+j}}{(2a)^{i+j-1}}, \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{0.7}
$$
где $\mathrm{C}_{j}^{i}=\frac{j!}{i!(j-i)!}$ для $j\geqslant i$. Ниже с использованием введенных обозначений приведены решения $(\boldsymbol r,\boldsymbol M)$ системы (2.1), (2.3). Случай 3. Если БлагодарностиМы благодарны рецензенту за ценные комментарии. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{ChoWanZha23} |
|
||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|