| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Запутанные состояния в простой модели квантовой электродинамики Ю. М. Письмак Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923100057 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеКвантовые вычисления – очень популярная область исследований современной квантовой физики [1]–[4]. Здесь целью является выявление возможности обработки и передачи информации на основе использования основных законов квантовой динамики. Предполагается, что элемент, обеспечивающий вычислительные процессы, представляет собой особый квантовый объект. Его характерный размер может варьироваться от 400–700 нм (длина волны фотонов в видимой части спектра) до 0.1 нм (размер атома) и даже до $10^{-6}$ нм (размер электрона). Поскольку наиболее специфические черты квантовых явлений проявляются в физике элементарных частиц, естественно ожидать, что элементарные частицы могут играть роль физических носителей информации в квантовых вычислительных процессах. Фотоны и электроны стабильны, а свойства их взаимодействий, описываемые квантовой электродинамикой (КЭД), наводят на мысль, что они подходят для квантовых вычислений. Для оценки этой возможности мы рассматриваем простую модель запутанного состояния двух частиц в КЭД. 2. Дираковский и фотонный пропагаторы в свободной теорииМы используем обозначение $\vec{x}$ для вектора в трехмерном пространстве, $\vec{x}=(x^1,x^2,x^3)$, и обозначаем четырехкомпонентный вектор в ($3+1$)-мерном пространстве-времени Минковского как $x=(x^0,\vec{x})=(x^0,x^1,x^2,x^3)$. Аналогично обозначаем вектор импульса как $p=(p^0,\vec{p})=(p^0,p^1,p^2,p^3)$. Пропагатор поля Дирака, описывающего электроны и позитроны в КЭД, имеет вид [5]–[9]
$$
\begin{equation*}
\widehat{D}(x, y)=-\frac{i}{(2\pi)^4}\int \frac{e^{{-ip(x-y)}}(\hat{p}+m)\,dp}{p^2 -m^2+i\epsilon},
\end{equation*}
\notag
$$
где $p\,x=p^\mu x_\mu=p^0x^0-\vec{p}\, \vec{x}$, $\hat{p}=p^\mu\gamma_\mu$ с матрицами Дирака $\gamma_\mu$, и малый положительный параметр $\epsilon$ предполагается равным нулю после вычисления интеграла. Используя степенную функцию Хевисайда $\theta(\alpha)=(1+\alpha /|\alpha|)/2$ и равенство $1=\theta(x^0-y^0)+\theta(y^0-x^0)$, мы переписываем спинорный пропагатор следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \widehat{D}(x, y)&=\widehat{D}_+(x, y)+ \widehat{D}_-(x, y), \\ \widehat{D}_{\pm}(x, y)&=-i\frac{ \theta(\pm(x^0-y^0))}{(2\pi)^4}\int \frac{e^{{\mp ip(x-y)}}(m \pm \hat{p})\, dp}{p^2 -m^2+i\epsilon}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Интегрируя по $p_0$, получаем следующие результаты:
$$
\begin{equation*}
\widehat{D}_{\pm}(x, y)=- \frac{ \theta(\pm(x^0-y^0))}{(2\pi)^3}\int \frac{e^{{\mp ip(x-y)}}(m \pm \hat{p})\, d\vec{p}}{2 p_0}.
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь предполагается, что в подынтегральном выражении компонента $p_0$ импульса задана равной $p_0=\sqrt{\vec{p}\,^2 +m^2}$. Из коммутационных соотношений для $\gamma$-матриц $\gamma_\mu\gamma_\nu+\gamma_\nu\gamma_\mu=2g_{\mu\nu}$ ($g_{\mu\nu}$ – диагональный метрический тензор, $g_{00}=1$, $g_{11}=g_{22}=g_{33}=-1$) следует, что $\hat{p}\, \hat{p}=p^2=p_0^2-\vec{p}\,^2=m^2$. Таким образом, если мы обозначим
$$
\begin{equation*}
P_\pm(\vec{p}\,)=\frac{m \pm\hat{p}}{2m},\qquad \sigma (\vec{p}\,)=i \frac{\vec{p\,}[\vec{\gamma}\times \vec{\gamma}]}{4 |\vec{p}\,|}=i \frac{\epsilon_{jkl}p^j\gamma^k\gamma^l}{4 |\vec{p}\,|},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\epsilon_{jkl}$ – полностью антисимметричный тензор с $i,j,k=1,2,3$, $\epsilon_{123}=1$, тогда
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \widehat{D}_{\pm}(x, y)=-\frac{\theta(\pm(x^0-y^0))m}{(2\pi)^3}\int \frac{e^{{\mp ip(x-y)}}P_{\pm}(\vec{p}\,)\, d\vec{p}}{ p_0},\\ \sigma (\vec{p}\,)P_{\pm}(\vec{p}\,)- P_{\pm}(\vec{p}\,)\sigma (\vec{p}\,)=0,\qquad P_{\pm}(\vec{p}\,)P_{\mp}(\vec{p}\,)=P_{\mp}(\vec{p}\,)P_{\pm}(\vec{p}\,)=0, \\ \operatorname{Tr}P_\pm(\vec{p}\,)=\frac{1}{2}\operatorname{Tr}1=2,\qquad P_{\pm}(\vec{p}\,)P_{\pm}(\vec{p}\,)=P_{\pm}(\vec{p}\,),\qquad P_+(\vec{p}\,) +P_-(\vec{p}\,)=1. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, операторы $P_{\pm}(\vec{p}\,)$ являются проекторами на ортогональные двумерные подпространства четырехмерного спинорного пространства. В качестве его базисных элементов можно выбрать собственные спиноры $\psi_1, \psi_2, \chi_1, \chi_2 $ для $\sigma(\vec{p}\,)$, $P_{\pm}(\vec{p}\,)$, удовлетворяющие следующим условиям:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \bar{\psi}_i(\vec{p}\,)\psi_j(\vec{p}\,)=\bar{\chi}_i(\vec{p}\,)\chi_j(\vec{p}\,)=\delta_{ij},\qquad \bar{\chi}_i(\vec{p}\,)\psi_j(\vec{p}\,) =\bar{\psi}_i(\vec{p}\,)\chi_j(\vec{p}\,)=0,\\ P_+(\vec{p}\,)\psi_i(\vec{p}\,)=\psi_i(\vec{p}\,),\qquad P_-(\vec{p}\,)\psi_i(\vec{p}\,)=0,\\ P_+(\vec{p}\,)\chi_i(\vec{p}\,)=0,\qquad P_-(\vec{p}\,)\chi_i(\vec{p}\,)=\chi_i(\vec{p}\,), \qquad i,j=1,2, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\bar{\psi}_i(\vec{p}\,)=\psi_i^*(\vec{p}\,)\gamma_0,\ \bar{\chi}_i(\vec{p}\,)=\chi_i^*(\vec{p}\,)\gamma_0 $ – сопряженные спиноры Дирака. Так как след произведения нечетного числа $\gamma$-матриц равен нулю и
$$
\begin{equation*}
\operatorname{Tr}(\gamma_\mu\gamma_\nu)=4g_{\mu\nu},\qquad \operatorname{Tr}(\gamma_\mu\gamma_\nu\gamma_\rho\gamma_\tau)=4(g_{\mu\nu}g_{\rho\tau} -g_{\mu\rho}g_{\nu\tau}+g_{\mu\tau}g_{\nu\rho}),
\end{equation*}
\notag
$$
мы имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \operatorname{Tr}[\sigma(\vec{p}\,)]=\operatorname{Tr}[\sigma(\vec{p}\,)P_\pm(\vec{p}\,)]=0,\\ \operatorname{Tr}[(\sigma(\vec{p}\,)P_{\pm}(\vec{p}\,))^2]=\operatorname{Tr}[\sigma(\vec{p}\,)^2P_{\pm}(\vec{p}\,)]=\frac{1}{2}\operatorname{Tr}[\sigma(\vec{p}\,)^2] =\frac{8 p_j\epsilon^{jut}p^s\epsilon_{stu}}{32\vec{p}\,^2}= -\frac{16p^jp_j}{32 \vec{p}\,^2}=\frac{1}{2}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, для собственных значений $\lambda_1^{\pm},\lambda_2^{\pm}$ матриц $\sigma_{\pm}(\vec{p}\,)= \sigma(\vec{p}\,) P_\pm(\vec{p}\,)$ выполняются соотношения $\lambda_1^{\pm}+\lambda_2^{\pm}=0$, $\lambda_1^{\pm\,2}+\lambda_2^{\pm\,2}=1/2$ и $\lambda_1^{\pm}=-\lambda_2^{\pm}$, $|\lambda_1^{\pm}|=|\lambda_2^{\pm}|=1/2$. Мы предполагаем, что для спинорного базиса $\psi_i$, $\chi_i$, $i=1,2$,
$$
\begin{equation*}
\sigma_+(\vec{p}\,)\psi_i(\vec{p}\,)=\lambda^+_i\psi_i(\vec{p}\,),\qquad \sigma_-(\vec{p}\,)\chi_i(\vec{p}\,)=\lambda^-_i\chi_i(\vec{p}\,),\qquad \lambda^\pm_1=\frac{1}{2},\qquad \lambda^\pm_2=-\frac{1}{2}.
\end{equation*}
\notag
$$
Собственные спиноры $\sigma(\vec{p}\,)$ описывают состояния частиц Дирака, проекция спина которых на импульс $\vec{p}$, называемая спиральностью, равна соответствующему собственному значению. Таким образом, спиноры $\psi_1(\vec{p}\,)$, $\chi_1(\vec{p}\,)$ ($\psi_2(\vec{p}\,)$, $\chi_2(\vec{p}\,)$) описывают частицы со спиральностью $1/2$ ($-1/2$). В базисе $\psi_i$, $\chi_i$, $i=1,2$, пропагатор $\widehat{D}(x-y)$ является диагональным. Его часть $\widehat{D}_+(x-y)$ является амплитудой вероятности рождения $\psi$-частицы в точке пространства-времени $x$ с ее уничтожением в точке $y$, а $\widehat{D}_-(y-x)$ – это амплитуда вероятности такого процесса для $\chi$-частицы. Если $\psi$-частицу отождествить с электроном, то $\chi$-спиноры описывают его античастицы, называемые позитронами. Вид пропагатора фотона в КЭД зависит от калибровки. В калибровке Фейнмана он выглядит следующим образом:
$$
\begin{equation*}
D_{\mu\nu}(x, y)=\frac{i}{(2\pi)^4}\int e^{-ip(x-y)}\frac{g_{\mu\nu}}{p^2+i\epsilon}\,dp.
\end{equation*}
\notag
$$
Физическая поляризация фотонного поля $A_\mu(\vec{p}\,)$ определяется проектором $P_{\mu\nu}(\vec{p}\,)$ с компонентами
$$
\begin{equation}
P_{\mu 0}(\vec{p}\,)=P_{0\nu}(\vec{p}\,)=0,\qquad P_{jk}(\vec{p}\,)=g_{ik}+\frac{p_jp_k}{\vec{p}\,^2}.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Для описания поляризации фотона удобно использовать тензор $S_{\mu\nu}(\vec{p}\,)$, определенный как
$$
\begin{equation}
S_{\mu 0}(\vec{p}\,)=S_{0\nu}(\vec{p}\,)=0,\qquad S_{jk}(\vec{p}\,)=i\frac{\epsilon_{jkl}p^l}{ |\vec{p}\,| }.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Из (1), (2) и соотношений
$$
\begin{equation*}
\epsilon_{jkl} \epsilon_{s t l}=\delta_{js}\delta_{kt}-\delta_{jt}\delta_{ks},\qquad \epsilon_{jst} \epsilon_{k s t}=2\delta_{jk}
\end{equation*}
\notag
$$
следует, что
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, P_{\mu\lambda}(\vec{p}\,)P^{\lambda}_{\ \nu}(\vec{p}\,)=P_{\mu\nu}(\vec{p}\,),\qquad P_{\mu}^{\mu}(\vec{p}\,)=2,\qquad P_{\mu\lambda}(\vec{p}\,)S^{\lambda}_{\ \nu}(\vec{p}\,)= S_{\mu\lambda}(\vec{p}\,)P^{\lambda}_{\ \nu}(\vec{p}\,),\\ S_{\mu}^{\mu}(\vec{p}\,)=0,\qquad S_{\mu\lambda}(\vec{p}\,)S^{\lambda}_{\ \nu}(\vec{p}\,)=P_{\mu\nu}(\vec{p}\,),\qquad S_{\mu\lambda}(\vec{p}\,)S^{\lambda\mu}(\vec{p}\,)=2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, подпространство физических поляризаций фотонного поля, определяемое проектором $P_{\mu\lambda}(\vec{p}\,)$, является двумерным, и его базисные векторы $A^{(j)}_{\mu}(\vec{p}\,)$, $j=1,2$, могут быть выбраны таким образом, что они удовлетворяют соотношениям
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, P_{\mu}^{\ \nu}(\vec{p}\,)A^{(j)}_{\nu}=A^{(j)}_{\mu}(\vec{p}\,),\qquad A^{(j)}_{\mu}(\vec{p}\,) g^{\mu\nu}A^{(k)}_{\nu}(\vec{p}\,)=\delta_{jk},\qquad j,k=1,2,\\ S_{\mu}^{\ \nu}(\vec{p}\,)A^{(1)}_{\nu}(\vec{p}\,)=A^{(1)}_{\mu}(\vec{p}\,),\qquad S_{\mu}^{\ \nu}(\vec{p}\,)A^{(2)}_{\nu}(\vec{p}\,)=-A^{(2)}_{\mu}(\vec{p}\,). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Поле $A^{(1)}_{\nu}(\vec{p}\,)$ (поле $A^{(2)}_{\nu}(\vec{p}\,)$) описывает фотон со спиральностью $+1$ ($-1$). Эти векторы имеют вид $A^{(i)}(\vec{p}\,)=(0,\vec{A}^{(i)}(\vec{p}\,))$ с $\vec{p}\vec{A}^{(i)}(\vec{p}\,)=0$, $i=1,2$. В базисе $A^{(1)}_{\nu}(\vec{p}\,)$, $A^{(2)}_{\nu}(\vec{p}\,)$ физическая часть
$$
\begin{equation*}
\mathcal{ D}_{\mu\nu}(x,y)=\frac{i}{(2\pi)^4}\int e^{-ip(x-y)}\frac{P_{\mu\nu}(\vec{p}\,)}{p^2+i\epsilon}\,dp
\end{equation*}
\notag
$$
пропагатора является диагональной, и $\theta(y_0-x_0)\mathcal{ D}_{\mu\nu}(x,y)$ можно интерпретировать как амплитуду вероятности того, что фотон с данной спиральностью рождается в точке $x$ и уничтожается в точке $y$.
3. Простые запутанные состояния в свободной теорииВ качестве простого примера мы рассмотрим запутанные состояния двух частиц, возникших со скоррелированными поляризациями в точке пространства-времени $x$ и уничтоженных в точках $y_1$, $y_2$. Как “мысленный эксперимент” такой процесс обсуждался Эйнштейном, Подольским и Розеном [10], и в его особенностях (ЭПР-парадокс) проявляется существенное различие между классической и квантовой физикой. Если мы используем обозначение $\phi_i (x)$ для полей, описывающих частицы с $i$-й спиральностью в точке $x =\{ x^0, \vec{x}\}$ пространства Минковского, то состояниям двух частиц в точке $x$ соответствуют квадратичные по $\phi_i (x)$ выражения из полей вида
$$
\begin{equation*}
\Phi_M(x)=\sum_{j,k=1}^2 M_{j k}(x)\phi_j(x)\phi_k(x),
\end{equation*}
\notag
$$
где $M_{ij}(x)$ – элементы ($2\times 2$)-матрицы $M$, зависящей от точки $x$. Если поля $\phi_\alpha(x), \phi_\beta(x)$ линейны по $\phi_i (x)$:
$$
\begin{equation*}
\phi_\alpha(x) =\alpha_1(x) \phi_1(x) + \alpha_2(x) \phi_2(x),\qquad \phi_\beta(x) =\beta_1(x) \phi_1(x) + \beta_2(x) \phi_2(x),
\end{equation*}
\notag
$$
то двухчастичное состояние, описываемое полем $\phi_\alpha(x)\phi_\beta(x)$, называется сепарабельным. Если состояние двух частиц не является сепарабельным, его называют запутанным. При обсуждении ЭПР-парадокса предполагается, что существует процесс, в котором в точке $x$ две запутанные частицы вылетают из нее, после чего они детектируются в точках $y_1$ и $y_2$. Если частицы в точках $y_1$ и $ y_2$ имеют соответственно $j$-ю и $k$-ю спиральности, то по определению, согласно общим принципам квантовой теории поля [5], амплитуда вероятности $\Omega_{jk} (x,y_1,y_2)$ этого процесса в свободной теории в операторном формализме описывается связной функцией Грина
$$
\begin{equation*}
\langle 0| T\Phi_M(x) \phi_j(y_1) \phi_k(y_2) |0\rangle = \Omega_{jk} (x,y_1,y_2).
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь $\langle 0|, |0\rangle$ обозначают бра- и кет-векторы вакуумного состояния, $T$ указывает на временно́е упорядочение операторов и $x^0 < y_j^0 $, $j=1,2$. Двухчастичное состояние в точке $x$ является запутанным. Если существует трансляционная инвариантность в пространстве-времени и частица имеет два поляризационных состояния, для которых ее пропагатор $\Delta_{ij}(x,y)$, $i,j=1,2$, имеет вид $\Delta_{ij}(x,y)=\delta_{ij}\Delta(x-y)$ (это имеет место для дираковского и фотонного полей), то амплитуда вероятности $\Omega_{jk} (x,y_1,y_2)$ для рассматриваемого процесса может быть записана как
$$
\begin{equation*}
\Omega_{jk}(x,y_1,y_2)=M(x)_{jk}\Delta(x-y_1)\Delta(x-y_2),
\end{equation*}
\notag
$$
где ($2\times 2$)-матрица $M(x)$ определяется условиями создания частиц. Если предполагается, что они локальны и нет никаких предпочтительных направлений поляризации, то $M_{11}(x)= M_{22}(x)=0$, $M_{12}(x)= - M_{21}(x)$ для фермионов и $M_{11}(x)= M_{22}(x)$, $M_{12}(x)= M_{21}(x)$ для бозонов. Если частицы созданы с противоположными направлениями поляризации, то $M_{11}(x)=M_{22}(x)=0$, $M_{ij}(x)=\lambda(x)(\delta_{ij}-1)$ для фотонов, а для спинорных частиц $M_{ij}(x)=\lambda(x)\epsilon_{ij}$ с $\epsilon_{ij}=-\epsilon_{ji}$, $e_{12}=1$ и скалярной функцией $\lambda (x)$. Таким образом, вероятность $ P_{ij}(x,y_1,y_2)$ создания частиц в точке $x$ и регистрации их в точках $y_1$, $y_2$ с $i$-й и $j$-й поляризациями в предложенной модели имеет вид
$$
\begin{equation*}
P_{ij}(x,y_1,y_2)=|\Omega_{jk}(x,y_1,y_2)|^2=|M_{ij}(x)|^2 |\Delta(x-y_1)\Delta(x-y_2)|^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Для поля Дирака
$$
\begin{equation*}
\Delta(x-y)=-\frac{2m i}{(2\pi)^4}\int \frac{e^{{-ip(x-y)}}\,dp}{p^2 -m^2+i\epsilon},
\end{equation*}
\notag
$$
и для больших $|(x-y)^2|\gg 1/m$
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} |\Delta(x-y)|&\sim \frac{m^{3/2}}{(2\pi\sqrt{|(x-y)^2|})^{3/2}} e^{-m\sqrt{|(x-y)^2|}},&\qquad (x-y)^2&<0,\\ |\Delta(x-y)|&\sim \frac{m^{3/2}}{(2\pi\sqrt{|(x-y)^2|})^{3/2}},&\qquad (x-y)^2&>0. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Для фотонного поля
$$
\begin{equation*}
\Delta(x-y)=\frac{i}{(2\pi)^4}\int e^{-ip(x-y)}\frac{dp}{p^2+i\epsilon}
\end{equation*}
\notag
$$
и Обозначим через $|+\rangle$ (через $|-\rangle$) вектор состояния частицы с положительной (отрицательной) спиральностью,
$$
\begin{equation*}
\langle +|-\rangle=\langle -|+\rangle=0,\qquad \langle +|+\rangle=\langle -|-\rangle=1.
\end{equation*}
\notag
$$
Если частицы создаются в точке $x$ посредством изотропного механизма, то они движутся в противоположных направлениях с совпадающими спиральностями. В этом случае в базисе $|\pm\rangle$ амплитуды $\Omega_{\pm\pm} (x,y_1,y_2)$ записываются в следующем виде:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Omega_{+-} (x,y_1,y_2)&=\Omega_{-+} (x,y_1,y_2)=0,\\ \Omega_{++} (x,y_1,y_2)&=\kappa\Omega_{--} (x,y_1,y_2)=\lambda(x)\Delta(x-y_1)\Delta(x-y_2), \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $\kappa=1$ для фотонов и $\kappa=-1$ для спинорных частиц. Если поляризация частицы в точке $y_j$ определяется вектором
$$
\begin{equation*}
|\varphi_j\rangle=|+\rangle \cos \varphi_j+ |-\rangle \sin \varphi_j,\qquad 0\leqslant \varphi_j \leqslant 2\pi,\qquad j=1,2,
\end{equation*}
\notag
$$
то соответствующая амплитуда $\Omega_{\varphi_1 \varphi_2}(x,y_1,y_2)$ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \Omega_{\varphi_1 \varphi_2}&(x,y_1,y_2)={}\\ &=\Omega_{+ +}(x,y_1,y_2)\cos\varphi_1\sin\varphi_2+\kappa\Omega_{- -}(x,y_1,y_2)\sin\varphi_1\cos\varphi_2={} \\ &=\lambda(x)\Delta(x-y_1)\Delta(x-y_2)\sin(\varphi_2+\kappa\varphi_1). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $P(x;\varphi_1,y_1,\varphi_2,y_2)$ вероятность того, что частицы с поляризациями $\varphi_1, \varphi_2$ наблюдаются в точках $y_1,y_2$. Она имеет вид
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, P(x;\varphi_1,y_1,\varphi_2,y_2)= |\Omega_{\varphi_1 \varphi_2}(x,y_1,y_2)|^2= \mathcal{ P}(\varphi_1,\varphi_2)|\lambda(x)|^2\mathcal{ Q}(x_1,y_1,y_2),\\ \mathcal{ P}(\varphi_1,\varphi_2)\equiv \frac{\sin^2(\varphi_2+\kappa \varphi_1)}{2}, \qquad \mathcal{ Q}(x,y_1,y_2)\equiv 2|\Delta(x-y_1)\Delta(x-y_2)|^2. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим $\bar{\varphi}=\varphi+\pi/2$ для $\varphi\leqslant 3\pi/2$ и $\bar{\varphi}=\varphi_j-\pi/2$ при $\varphi> 3\pi/2$. Так как
$$
\begin{equation*}
\langle\varphi|\psi\rangle=\cos\varphi\cos\psi+\sin\varphi\sin\psi=\cos(\varphi-\psi),
\end{equation*}
\notag
$$
мы получаем $ \langle\varphi|\bar{\varphi}\rangle=\langle\bar{\varphi}|\varphi\rangle=0$, $\langle\varphi|\varphi\rangle=\langle\bar{\varphi}|\bar{\varphi}\rangle=1$, и
$$
\begin{equation*}
I= |+\rangle \langle+|+|-\rangle \langle-|= |\varphi\rangle \langle\varphi|+|\bar{\varphi}\rangle \langle\bar{\varphi}|.
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, состояния с поляризацией $|\varphi\rangle$, $|\bar{\varphi}\rangle$ образуют ортогональный базис. Для таких состояний мы имеем
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \mathcal{ P}(\varphi_1,\varphi_2)&+\mathcal{ P}(\varphi_1,\bar{\varphi}_2)= \mathcal{ P}(\varphi_1,\varphi_2)+\mathcal{ P}(\bar{\varphi}_1,\varphi_2)=\frac{1}{2},\\ \mathcal{ P}(\varphi_1,\varphi_2)&+\mathcal{ P}(\varphi_1,\bar{\varphi}_2)+ \mathcal{ P}(\bar{\varphi}_1,\varphi_2)+\mathcal{ P}(\bar{\varphi}_1,\bar{\varphi}_2)=1. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Простейшее неравенство Белла для рассматриваемой системы можно представить в виде [11]–[15]
$$
\begin{equation*}
P(x;\varphi_1,y_1,\bar{\varphi}_2,y_2)\leqslant P(x;\varphi_1,y_1,\bar{\varphi}_3, y_2)+P(x;\bar{\varphi}_2,y_1,\varphi_3,y_2)
\end{equation*}
\notag
$$
и переписать как
$$
\begin{equation}
(\mathcal{ P}(\varphi_1,\bar{\varphi}_2)-\mathcal{ P}(\varphi_1,\bar{\varphi}_3)-\mathcal{ P}(\bar{\varphi}_2,\varphi_3))\mathcal{ Q}(x,y_1,y_2)\leqslant 0.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Поскольку $\mathcal{ Q}(x_1,y_1,y_2)>0$, из неравенства (3) следует, что для фотонов
$$
\begin{equation}
\cos^2(\varphi_1+\varphi_2)- \cos^2(\varphi_1+\varphi_3)- \cos^2(\varphi_2+\varphi_3)\leqslant 0
\end{equation}
\tag{4}
$$
и
$$
\begin{equation}
\cos^2(\varphi_1-\varphi_2)- \cos^2(\varphi_1-\varphi_3)- \cos^2(\varphi_2-\varphi_3)\leqslant 0
\end{equation}
\tag{5}
$$
для частиц Дирака. Неравенства (4), (5) не выполняются для всех значений параметров $\varphi_1,\varphi_3,\varphi_3$. Например, их левые части равны единице (максимальное их значение) для $\varphi_1=0,\varphi_2=\pi,\varphi_3=\pi/2$. Это означает, что рассматриваемые процессы не могут быть описаны в рамках некоторой классической модели [11]–[15].
4. Влияние взаимодействий КЭД на свойства состоянийВ КЭД процессы взаимодействия электромагнитного и спинорного полей описываются в рамках теории возмущений диаграммами Фейнмана. Их элементами являются линии двух типов, соответствующие пропагаторам, и вершины, соединяющие две спинорные и одну фотонную линии. Вклад вершины диаграммы пропорционален заряду электрона $e$, а малым параметром в теории возмущений оказывается постоянная тонкой структуры $\alpha=e^2/4\pi\approx 1/137$. При вычислении вклада диаграммы с $n$ замкнутыми контурами в импульсном представлении необходимо выполнить $n$ четырехмерных интегрирований. В общем случае это оказывается невозможным из-за так называемой проблемы ультрафиолетовых расходимостей: существуют интегралы с недостаточно сильным убыванием подынтегральных выражений в области больших импульсов. Эта проблема решается с помощью вспомогательной регуляризации и перенормировки полей и параметров теории (массы и заряда электрона). В перенормированной теории ультрафиолетовые расходимости устраняются с помощью так называемой $R$-операции, и результаты расчетов оказываются конечными, выраженными в терминах физических значений массы и заряда электрона, и не зависят от используемой процедуры регуляризации [5]–[9]. Взаимодействие полей в КЭД вносит поправки в вероятности $P(x;\varphi_1,y_1,\varphi_2,y_2)$, полученные для свободных фотонов и частиц Дирака. Для двух фотонов, возникших в точке $x$ и распространяющихся с одинаковыми спиральностями в противоположных направлениях, вероятность $P_\mathrm{QED}(x;\varphi_1,y_1,\varphi_2,y_2)$, характеризующая этот процесс в модели с КЭД-поправками, может быть записана в виде разложения по постоянной тонкой структуры $\alpha$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, P_\mathrm{QED}(x;\varphi_1,y_1,\varphi_2,y_2)=\mathcal{ P}(\varphi_1,\varphi_2)|\lambda(x)|^2\mathcal{ Q}_\mathrm{QED}(x_1,y_1,y_2),\\ \mathcal{ Q}_\mathrm{QED}(x,y_1,y_2)\equiv\sum_{n=0}^\infty \alpha^n Q_n ((x-y_1)^2,(x-y_2)^2,(y_1-y_2)^2),\\ \mathcal{ P}(\varphi_1,\varphi_2)\equiv \frac{\sin^2(\varphi_2+ \varphi_1)}{2}, \qquad Q_0=\frac{1}{256\pi^8(x-y_1)^4(x-y_2)^4}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
При проведении расчетов КЭД-поправок в модели запутанного состояния двух частиц Дирака возникают проблемы с расходимостью интегралов в области малых импульсов. Эти так называемые инфракрасные расходимости возникают из-за того, что фотоны безмассовые [5]–[9]. Инфракрасные расходимости исчезают, если ввести в теорию массу фотона $\mu$ как небольшой вспомогательный параметр. От него не зависят результаты для вероятностей реальных физических процессов, если принять во внимание, что эмпирически наблюдаемое состояние спинорной частицы включает мягкие фотоны, полная энергия которых не превышает порога чувствительности $E_\mathrm{max}$ используемой экспериментальной установки. Теоретические результаты, включающие параметр $E_\mathrm{max}$, оказываются конечными в пределе $\mu\to 0$. Они показывают, что невозможно обнаружить спинорные частицы с $E_\mathrm{max}\to 0$. При увеличении $E_\mathrm{max}$ плотность облака мягких фотонов, окружающего спинорную частицу, растет, эта смесь все больше и больше теряет квантовые свойства, и ее поведение приближается к классическому [5]–[9]. Таким образом, с увеличением $E_\mathrm{max}$ декогеренция разрушает рассматриваемое запутанное состояние двух частиц Дирака, и необходимо определить оптимальное значение $E_\mathrm{max}$. 5. ЗаключениеМы изучили двухчастичные запутанные состояния в вакууме в рамках простой модели КЭД. Оказалось, что из-за инфракрасных расходимостей у частиц Дирака декогеренция возникает даже в этом случае. В более реалистичных моделях необходимо учитывать взаимодействие частиц с материальной средой. Чтобы построить квантово-полевые теоретические модели такого рода, можно использовать подход, предложенный Симанзиком [16]. Этим способом были изучены эффекты взаимодействия полей КЭД с материальными макроскопическими объектами [17]–[20], и подобные методы могут быть пригодны для теоретических исследований процессов декогеренции запутанных состояний частиц в КЭД. В рамках модели, предложенной в работах [19], [20], было показано, что взаимодействие частицы со средой с резкими границами изменяет их поляризации. Поэтому можно предположить, что граничные эффекты во взаимодействии частицы с материальной средой существенны для возникновения декогеренции, и их нужно принимать во внимание в исследованиях квантовых вычислений. Можно надеяться, что использование моделей квантовой теории поля в квантовой информатике поможет лучше понять ее важнейшие проблемы и найти пути их решения. БлагодарностиАвтор благодарен А. А. Андрианову за плодотворные обсуждения. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Pis23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|