| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Нарушение скейлинга и возникновение массы в скалярных квантово-полевых теориях А. Л. Письменскийa, Ю. М. Письмакb a Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ" им. В. И. Ульянова (Ленина), Санкт-Петербург, Россия b Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923100069 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеМы исследуем безмассовые модели квантовой теории поля в евклидовом пространстве в логарифмических размерностях. Используя метод ренормализационной группы [1], [2], можно заметить, что в этих моделях нарушена масштабная инвариантность [3]. Это означает, что появляется параметр размерности массы. Из этого не следует, что функции Грина (ФГ) существенно меняют свою асимптотику на больших расстояниях. Это может свидетельствовать о появлении массы. В этом случае обычная дальнодействующая степенная асимптотика безмассового поля становится быстроубывающей экспоненциальной, а масса характеризует радиус взаимодействия. Ранее было рассмотрено динамическое образование массы в моделях с калибровочными и гравитационными полями [4]–[6], а также в системах с дефектами и фракталами [7]. Целью нашей работы является изучение возможности появления масс в простейших безмассовых скалярных моделях с помощью вариационных методов квантовой теории поля, которые оказались очень эффективными при решении многих задач, для которых обычная теория возмущений неприменима. Свойства квантово-полевой системы обычно описываются в терминах ФГ. Их производящий функционал $G(J)$ для поля $\varphi(x)$ в модели с функционалом действия $S(\varphi)$ может быть представлен в евклидовом пространстве в виде функционального интеграла
$$
\begin{equation*}
G(J)=c\int e^{- S(\varphi)+J\varphi}\,D\varphi, \qquad c^{-1}= \int e^{- S_0(\varphi)}\,D\varphi,
\end{equation*}
\notag
$$
где нормировочная константа $c$ определяется свободной частью $S_0(\varphi)$ полного действия $S(\varphi)$. Обычно $S_0(\varphi)$ выбирается как квадратичная по $\varphi$ часть действия $S(\varphi)$, а $S(\varphi)$ – полиномиальные функционалы, которые можно записать в виде
$$
\begin{equation}
S(\varphi) = S_0(\varphi)+ S_I(\varphi)= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}A_k\varphi^k, \qquad S_0(\varphi) = \frac{1}{2}A_2\varphi^2.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Здесь $A_k=A_k(x_1,\dots,x_k)$ обозначает функцию $k$ точек в пространстве. Мы будем называть ее $k$-потенциалом и использовать обозначение ${\cal A}$ для множества всех потенциалов $A_1,\dots, A_n$, определяющих $S(\varphi)$. ФГ $G_k$ от $k$ аргументов ($k$-точечная ФГ) находится дифференцированием функционала $G(J)$:
$$
\begin{equation}
G_k(x_1,\dots,x_k)=\frac{\delta^k}{\delta J(x_1)\cdots \delta J(x_k) }G(J)\Big|_{J=0}=c\int e^{i S(\varphi)}\varphi(x_1)\cdots \varphi(x_k)\, D\varphi.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Основным подходом к вычислению ФГ является теория возмущений в рамках диаграммной техники Фейнмана. Для модели с действием (1) линии в диаграммах соответствуют $- A_2^{-1}$, а вершина порядка $k$, $k\neq 2, 1\leqslant k\leqslant n$, соответствует потенциалу $A_k$. Функция $G_k$, называемая полной $k$-точечной ФГ, представляет собой сумму вкладов всех диаграмм с $k$ внешними линиями. Ее связная часть, т. е. сумма $W_k$ вкладов всех связных диаграмм в $G_k$, называется связной $k$-точечной ФГ. Для $G(J)$ и производящего функционала $W(J)$ связных ФГ выполняется соотношение $G(J)=e^{W(J)}$. Его также можно записать в виде $ \ln( G(J)) = \text{связная часть}\ G(J)$. Для исследования эффектов в квантово-полевых моделях, для которых теория возмущений непригодна, может применяться основанный на использовании функциональных преобразований Лежандра [8]–[15] вариационный подход [16]–[19]. Введем обозначения
$$
\begin{equation}
G^{\prime}({\cal A}) = \int \exp \biggl( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}A_k\varphi^k \biggr) D\varphi, \qquad W^{\prime} ({\cal A})=\ln G^{\prime}({\cal A}).
\end{equation}
\tag{3}
$$
Для $W^{\prime} ({\cal A})$ функциональное преобразование Лежандра $\Gamma^{(k)}(\alpha^{(k)},{\cal A}^{(k)})$ порядка $k$ определяется как
$$
\begin{equation}
\Gamma^{(k)}(\alpha^{(k)},{\cal A}^{(k)})=W^{\prime}({\cal A})-\sum_{j=1}^k A_j\alpha_j, \qquad k\leqslant n,
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $\alpha^{(k)}, {\cal A}^{(k)}$ обозначают соответственно наборы функций $\alpha_1(x_1),\dots, \alpha_k(x_1,\dots, x_k)$ и $A_{k+1}(x_1,\dots, x_{k+1}),\dots, A_n(x_1,\dots, x_{n})$. Они рассматриваются как аргументы $\Gamma^{(k)}$. Функции $A_1,\dots,A_k$ в правой части уравнения (4) являются решениями уравнений
$$
\begin{equation}
\alpha_j = \frac{\delta W^{\prime}({\cal A})}{\delta A_j},\qquad j= 1,\dots ,k,
\end{equation}
\tag{5}
$$
и выражаются через $\alpha^{(k)}, {\cal A}^{(k)}$.
$$
\begin{equation}
\frac{\delta}{\delta \alpha_j} \Gamma^{(k)}(\alpha^{(k)},{\cal A}^{(k)})=-A_j,\qquad j=1,\dots,k.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Следовательно, для функционала
$$
\begin{equation}
\Phi^{(k)}(\alpha^{(k)},{\cal A}) = \Gamma^{(k)}(\alpha^{(k)},{\cal A}^{(k)})+\sum_{j=1}^k A_j\alpha_j
\end{equation}
\tag{7}
$$
решения уравнений стационарности
$$
\begin{equation}
\frac{\delta}{\delta \alpha_j}\Phi^{(k)}(\alpha^{(k)},{\cal A}) = 0,\qquad j=1,\dots,k,
\end{equation}
\tag{8}
$$
при заданных фиксированных потенциалах $A_1,\dots,A_n$ являются функциями
$$
\begin{equation}
\alpha_j(x_1,\dots,x_j)=\frac{\delta}{\delta A_{j}(x_1,\dots,x_j)}W^{\prime}(\cal A),
\end{equation}
\tag{9}
$$
и $\Phi^{(k)}(\alpha^{(k)},{\cal A})$ в точке экстремума совпадает с $W^{\prime}(\cal A) $. Так как
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, G^{\prime}({\cal A} )\big|_{A_1 \to A_1 +J}= c^{-1}G(J),\qquad W^{\prime} ({\cal A} )\big|_{A_1 \to A_1 +J}=W(J) - \ln c, \\ \ln c = - \ln \int e^{\varphi A_2\varphi /2} D\varphi = -\ln \det\biggl( \frac{A_2}{2\pi} \biggr)^{-1/2}=\frac{1}{2} \operatorname{Tr}\ln \biggl( \frac{A_2}{2\pi} \biggr), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
для $G_k$ и $W_k$ справедливы следующие соотношения:
$$
\begin{equation*}
G_k = c\frac{\delta^k}{\delta A_1^k} G^{\prime}({\cal A}),\qquad W_k = \frac{\delta^k}{\delta A_1^k} W^{\prime}({\cal A}).
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, используя технику функциональных преобразований Лежандра, задачу вычисления ФГ квантово-полевой модели можно свести к поиску экстремума заданного функционала. Такой подход может оказаться плодотворным в том случае, когда обычная теория возмущений оказывается неприменимой. В этой статье мы применяем его для анализа возможности спонтанного образования массы в скалярной безмассовой модели квантованного поля. Мы будем рассматривать в логарифмических размерностях модели скалярного поля $\varphi$ с взаимодействием $\lambda\varphi^3$ и $\lambda\varphi^6$, а также модель скалярного $n$-компонентного поля $\vec{\varphi}=(\varphi_1,\dots,\varphi_n)$ с взаимодействием $\lambda (\vec{\varphi}^2)^2$. 2. Постановка задачиЧтобы использовать методы, представленные соотношениями (7), (8) в квантовой теории поля, функционал $ \Gamma^{(k)}(\alpha^{(k)},{\cal A }^{(k)}) $ должен быть известен. Для функционального преобразования Лежандра $\Gamma^{(k)}(\alpha^{(k)},{\cal A}^{(k)})$ с произвольными $k$ и $n$, $n\leqslant k$, была разработана скелетная диаграммная техника [10]–[15]. Для построения этого функционала функции $\alpha_1, \dots, \alpha_k$ выражаются через неприводимые функции $\epsilon_1, \dots, \epsilon_k$, которые используются как элементы скелетных диаграмм [14], [15]. Вершины диаграмм порядка $n\geqslant j \geqslant 3$ соединены линиями $\epsilon_2$. Им соответствует функция $\epsilon_j$ при $3\leqslant j \leqslant k$ и потенциал $A_j$ при $k<j\leqslant n$. Вершины первого порядка, которым соответствует функция $\epsilon_1$, не связаны с вершинами порядка $3\leqslant j\leqslant k$, а соединяются с вершинами порядка $k< j \leqslant n$ напрямую. Нашей задачей является исследование возможности появления аномального массивного полного пропагатора как решения уравнений (8) в безмассовых моделях скалярных полей. Для этого используем в выражении (7) второе преобразование Лежандра $\Gamma^{(2)}(\alpha^{(2)},{\cal A}^{(2)})$. При построении скелетной диаграммной техники для $\Gamma^{(2)}(\alpha^{(2)},{\cal A}^{(2)})$ переменные $\alpha^{(2)}$ выражаются через неприводимые функции, которые мы обозначим $\beta^{(2)}=(\beta_1,\beta_2)$, следующим образом:
$$
\begin{equation}
\alpha_1=\beta_1,\qquad \alpha_2=\frac{1}{2}(\beta_2+\beta_1^2).
\end{equation}
\tag{10}
$$
Так как
$$
\begin{equation*}
\frac{\delta}{\delta A_j} W^{\prime}=(G^{\prime})^{-1}\frac{\delta}{\delta A_j} G^{\prime}= \frac{1}{j!}(G^{\prime})^{-1}\frac{\delta^j}{\delta A_1^j} G^{\prime} =\frac{1}{j!} e^{-W^{\prime}} \frac{\delta^j}{\delta A_1^j} e^{W^{\prime}},
\end{equation*}
\notag
$$
соотношения (9) для $j=1,2$ переписываются в виде
$$
\begin{equation}
\alpha_1=\frac{\delta}{\delta A_1} W^{\prime}=W_1, \qquad \alpha_2 = e^{-W^{\prime}} \frac{\delta^2}{\delta A_1^2} e^{W^{\prime}}=\frac{1}{2}(W_2+W_1^2),
\end{equation}
\tag{11}
$$
где $W_1$ – среднее значение поля $\varphi$, $W_2$ – его полный пропагатор. Из сравнения (10) с (11) следует, что если $\alpha_1, \alpha_2$ являются решениями уравнений стационарности (8), то $\beta_1=W_1$, $\beta_2=W_2$. Функциональное преобразование Лежандра $\Gamma^{(2)}(\beta^{(2)},{\cal A}^{(2)})$ можно записать в виде
$$
\begin{equation*}
\Gamma^{(2)}(\beta^{(2)},{\cal A}^{(2)}) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr} \ln (\beta_2) + \sum_{m=3}^{n} \sum_{k=0}^{[m/2]} \frac{A_m \beta_2^k \beta_1^{m-2k}}{2^k k! (m-2k)!} + \widetilde{\Gamma}^{(2)}(\beta_2,{\cal A}^{(2)}),
\end{equation*}
\notag
$$
где $[m/2]$ обозначает целую часть $m/2$. Функционал $\widetilde{\Gamma}^{(2)}(\beta^{(2)},{\cal A}^{(2)})$ представляет собой сумму всех 2-неприводимых диаграмм Фейнмана с двумя и более вершинами $A_j$, $j=3,\dots,n$, соединенных линиями $\beta_2$. Диаграммы $\widetilde{\Gamma}^{(2)}(\beta^{(2)},{\cal A}^{(2)})$ имеют обычные симметрийные коэффициенты. По определению диаграмма является 2-неприводимой, если она связна и не распадается на две нетривиальные части при разрыве двух ее линий. Нетривиальной называется диаграмма, содержащая не менее двух вершин. Для $k=2$ функционал (7) имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Phi^{(2)}(\beta^{(2)},{\cal A}) &= \frac{1}{2} \operatorname{Tr} \ln (\beta_2) +\frac{1}{2}A_2(\beta_2+\beta_1^2) +{} \notag \\ &\quad + \sum_{m=3}^{n} \sum_{k=0}^{[m/2]} \frac{A_m \beta_2^k \beta_1^{m-2k}}{2^k k! (m-2k)!} + \widetilde{\Gamma}^{(2)}(\beta_2,{\cal A}^{(2)}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12}
$$
Из (8) следует, что
$$
\begin{equation*}
\frac{\delta \Phi}{\delta \beta_1} = 0, \qquad \frac{\delta \Phi}{\delta \beta_2} = 0,
\end{equation*}
\notag
$$
и мы получаем
$$
\begin{equation}
A_2 \beta_1 + \sum_{m=3}^{n} \sum_{k=0}^{[(m-1)/2]} \frac{A_m \beta_2^k \beta_1^{m-2k-1}}{2^k k! (m-2k-1)!} = 0,
\end{equation}
\tag{13}
$$
$$
\begin{equation}
\beta_2^{-1} = \Delta^{-1} - \sum_{m=3}^{n} \sum_{k=1}^{[m/2]} \frac{A_m \beta_2^{k-1} \beta_1^{m-2k}}{2^{k-1} (k-1)! (m-2k)!} - 2 \frac{\delta}{\delta \beta_2} \widetilde{\Gamma}^{(2)}(\beta_2,{\cal A}^{(2)}) ,
\end{equation}
\tag{14}
$$
где мы использовали обозначение $\Delta=-A_2^{-1}$ для затравочного пропагатора модели. Если решать уравнения (13), (14) итерациями по константе взаимодействия, получится сумма обычных диаграмм Фейнмана. Однако если в (12) использовать приближение $\widetilde{\Gamma}^{(2)}$ конечным числом скелетных диаграмм, то решение уравнений (13), (14) будет бесконечной суммой обычных диаграмм Фейнмана некоторого типа. Таким образом, становится возможным получить нетривиальный результат для среднего поля $\beta_1$ и полного пропагатора $\beta_2$, недостижимый в рамках теории возмущений с конечным числом обычных диаграмм Фейнмана. Целью нашей работы является анализ проблемы динамического образования массы в безмассовых моделях квантовой теории поля и поиск адекватных методов количественного описания таких процессов. Для этого воспользуемся уравнениями (13), (14) с простейшими приближениями функционала $\widetilde{\Gamma}^{(2)}(\beta_2,{\cal A}^ {(2)}) = 0$ для трех моделей в логарифмической размерности пространства. Это можно рассматривать как использование аналога известного метода Хартри–Фока [20], [21]. В настоящей работе мы ищем решение уравнений (13), (14), не нарушающее трансляционную инвариантность. Следовательно, $\beta_1$ должно быть постоянным, и поэтому $\Delta^{-1} \beta_1 = -\partial^2 \beta_1 = -A_2 \beta_1 = 0$. При локальном $A_m$ вклад $\beta_2$ в уравнение (13) и правую часть (14) выражается через $\overline{\beta_2} = \int \beta_2 (x,x)\, dx$, что является константой. Введем следующее обозначение:
$$
\begin{equation}
\sum_{m=3}^{n} \sum_{k=1}^{[m/2]} \frac{A_m \beta_2^{k-1} \beta_1^{m-2k}}{2^{k-1} (k-1)! (m-2k)!} = -M^2 .
\end{equation}
\tag{15}
$$
Мы рассматриваем модели с локальными потенциалами $A_m$. В этом случае величина $M^2$ постоянна, и, используя регуляризацию, мы можем вычислить
$$
\begin{equation}
\overline{\beta_2}= \frac{1}{(2\pi)^d} \int \frac{d^d p}{p^2+M^2},
\end{equation}
\tag{16}
$$
где $d$ – размерность пространства. В интересующих нас в дальнейшем размерностях $d = d^* = 3, 4, 6$ этот интеграл оказывается расходящимся. Для его вычисления воспользуемся размерной регуляризацией с $d = d^* - 2 \varepsilon$ и регуляризацией обрезания с
$$
\begin{equation*}
d^{d}p \to e^{- \alpha p^2/\mu_\mathrm{cut}^2} \, d^{d^*}p,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\varepsilon$ и $\alpha$ – безразмерные параметры регуляризации. Нам нужно использовать в регуляризации обрезания параметр $\mu_\mathrm{cut}$, имеющий размерность массы, чтобы сделать выражение $\alpha p^2/\mu_\mathrm{cut}^2$ безразмерным. При размерной регуляризации $d = d^* - 2 \varepsilon$ представим константу связи в виде $\mu_\mathrm{dim}^{(n-2) \varepsilon} \lambda$ с безразмерной величиной $\lambda$ для модели $\varphi^n$. В регуляризации обрезания имеем $d=d^*$, а константа связи равна $\lambda$. Выполняя вычисления известными методами [2], [22], [23], получаем в размерной регуляризации
$$
\begin{equation}
\overline{\beta_2} = \frac{\Gamma(1-d^*/2+\varepsilon)}{(4\pi)^{d^*/2-\varepsilon}} M^{d^*-2-2\varepsilon},
\end{equation}
\tag{17}
$$
где $\Gamma(x)$ – гамма-функция Эйлера. В регуляризации обрезания
$$
\begin{equation*}
\overline{\beta_2} = \int \frac{1}{p^2+M^2} e^{- \alpha p^2/\mu_\mathrm{cut}^2} \, d^{d^*}p
\end{equation*}
\notag
$$
мы имеем следующий результат:
$$
\begin{equation}
\overline{\beta_2} = \frac{1}{(4\pi)^{d^*/2}} \mu_\mathrm{cut}^{d^*-2} \alpha^{1-d^*/2} \int_0^{+\infty} \frac{e^{-\alpha M^2 t/\mu_\mathrm{cut}^2} }{(t+1)^{d^*/2}}\, dt .
\end{equation}
\tag{18}
$$
С помощью выражений (17) и (18) мы решаем уравнения (13) и (14) для моделей $\varphi^3$, $(\varphi^2)^2$, $\varphi^6$ и находим $M$ как функцию константы связи $\lambda$ и параметра регуляризации $\varepsilon$ или $\alpha$. После этого проводим анализ расходимостей, возникающих при снятии регуляризации ($\varepsilon\to 0$ или $\alpha\to 0$) и возможности их устранения процедурой перенормировки.
3. Теория $\varphi^3$Рассмотрим модель скалярного поля $\varphi$ с функционалом действия
$$
\begin{equation*}
S(\varphi) = \frac{1}{2} (\partial \varphi)^2 + \frac{\lambda}{3!} \varphi^3.
\end{equation*}
\notag
$$
Логарифмическая размерность $d^*=6$. Уравнение (13) принимает вид Из (15) следует $M^2 = -\lambda \beta_1$ и $M^4 = \lambda^2 \beta_1^2=-\lambda^2 \overline{\beta_2}$. В размерной регуляризации, используя (17), мы получаем
$$
\begin{equation*}
M^4 = -\lambda^2 \frac{M^4}{(4\pi)^3} \Gamma(\varepsilon-2) \biggl(\frac{M^2}{4\pi\mu_\mathrm{dim}^2}\biggr)^{-\varepsilon},
\end{equation*}
\notag
$$
и для $ M \neq 0$
$$
\begin{equation}
1 = -\frac{\lambda^2}{2(4\pi)^3} \biggl[ \frac{1}{\varepsilon} + \biggl( \frac32 - \gamma_E - \ln \frac{M^2}{4\pi\mu_\mathrm{dim}^2} \biggr) + {\cal O}(\varepsilon) \biggr],
\end{equation}
\tag{19}
$$
где $\gamma_E=-\frac{\partial}{\partial x} \ln \Gamma(x)|_{x=1}$ – постоянная Эйлера. В регуляризации обрезания (18)
$$
\begin{equation*}
M^4 = -\lambda^2 \frac{1}{(4\pi)^3} \mu_\mathrm{cut}^4 \frac{1}{\alpha^2} \int_0^{+\infty} \frac{e^{-\alpha M^2 t/\mu_\mathrm{cut}^2} }{(t+1)^3} \, dt,
\end{equation*}
\notag
$$
и если $M\neq 0$, то
$$
\begin{equation}
1 = -\frac{\lambda^2}{2(4\pi)^3} \biggl[\frac{\mu_\mathrm{cut}^4}{M^4} \frac{1}{\alpha^2} - \frac{\mu_\mathrm{cut}^2}{M^2} \frac{1}{\alpha}-\ln \alpha + \biggl( -\gamma_E - \ln \frac{M^2}{\mu_\mathrm{cut}^2} \biggr) + {\cal O}(\alpha) \biggr].
\end{equation}
\tag{20}
$$
4. Теория $(\varphi^2)^2$Теперь рассмотрим модель безмассового $n$-компонентного скалярного поля $\varphi = \{\varphi_1,\dots,\varphi_n\}$ с функционалом действия
$$
\begin{equation*}
S(\varphi) = \frac{1}{2} (\partial \varphi)^2 + \frac{\lambda}{8} (\varphi^2)^2,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\lambda$ – константа связи, $\lambda >0 $. Логарифмическая размерность $d^*=4$. Мы предполагаем, что механизм генерации массы не нарушает симметрию $\varphi \to - \varphi$ модели, следовательно, $\beta_1=0$. Поскольку потенциалы $A_4$ в рассматриваемой модели локальны, оператор $\beta_2^{-1}$ (14) имеет вид
$$
\begin{equation*}
\beta_2^{-1} = \beta_2^{-1} (x,y)_{ij} = (-\partial^2 + M^2)\delta( x-y)\delta_{ij},
\end{equation*}
\notag
$$
где $i,j = 1,\dots,n$ – компоненты поля $\varphi$. Уравнение (15) переписывается в виде где $\overline{\beta_2}$ определяется из (16). Если предположить, что $M\neq 0$, и использовать (17) для вычисления $\overline{\beta}_2 $ в размерной регуляризации, мы получим из (21) следующее уравнение:
$$
\begin{equation}
-1 = \frac{\lambda (n{+}2) }{4 (4\pi)^2} \Gamma(\varepsilon-1) \biggl(\frac{M^2}{4\pi\mu_\mathrm{dim}^2}\biggr)^{-\varepsilon} = \frac{\lambda (n{+}2)}{4(4\pi)^2} \biggl[ {-}\frac1\varepsilon + \biggl( \gamma_E {-} 1 {+} \ln \frac{M^2}{4\pi \mu_\mathrm{dim}^2} \biggr) + {\cal O}(\varepsilon) \biggr].
\end{equation}
\tag{22}
$$
В силу (18) регуляризация обрезания дает следующий результат:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, -1 &= \frac{\lambda (n{+}2) }{4 (4\pi)^2} \frac{1}{\alpha} \frac{\mu_\mathrm{cut}^2 }{M^2} \int_0^{+\infty} \frac{e^{-\alpha M^2 t/\mu_\mathrm{cut}^2}}{(t+1)^2}\, dt ={} \notag \\ &= \frac{\lambda (n+2) }{4(4\pi)^2} \biggl[ \frac{1}{\alpha} \frac{\mu_\mathrm{cut}^2 }{M^2}+ \ln \alpha + \biggl( \gamma_E + \ln \frac{M^2}{\mu_\mathrm{cut}^2} \biggr) + {\cal O}(\alpha) \biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{23}
$$
5. Теория $\varphi^6$Исследуем возможность появления массы в модели безмассового скалярного поля $\varphi$ с функционалом действия
$$
\begin{equation*}
S(\varphi) = \frac{1}{2} (\partial \varphi)^2 + \frac{\lambda}{6!} \varphi^6,
\end{equation*}
\notag
$$
константа связи $\lambda >0$, логарифмическая размерность $d^*=3$. Мы предполагаем, что динамическая генерация массы не нарушает $\varphi \to -\varphi $ симметрии в системе и, следовательно, $\beta_1=0$. Поэтому уравнение (15) записывается как Используя размерную регуляризацию (17) для $\overline{\beta_2}$, представим (24) в виде
$$
\begin{equation}
\frac{\lambda \mu_\mathrm{dim}^{4\varepsilon}}{8(4\pi)^{3-2\varepsilon}} \biggl[ \frac{\Gamma(\varepsilon-1/2)}{M^{2(\varepsilon-1/2)}} \biggr]^2 = \frac{\lambda M^2}{128 \pi^2} + {\cal O}(\varepsilon)= -M^2.
\end{equation}
\tag{25}
$$
Применяя (18) для регуляризации обрезания, получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{\lambda}{8} \biggl[ \frac{1}{(4\pi)^{3/2}} & \frac{\mu_\mathrm{cut}}{\sqrt{\alpha}} \int_0^{+\infty} \frac{e^{-\alpha M^2 t/\mu_\mathrm{cut}^2}}{(t+1)^{3/2}} \,dt \,\biggr]^2 ={} \notag \\ & = \frac{\lambda}{8(4\pi)^3} \mu_\mathrm{cut}^2 \biggl[ \frac{2}{\sqrt{\alpha}} - 2\sqrt{\pi} \frac{M}{\mu_\mathrm{cut}} + {\cal O}(\sqrt{\alpha})\,\biggr]^2=-M^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{26}
$$
В (25) можно положить $\varepsilon=0$, сняв регуляризацию и получив конечный результат. В соотношении (26) из-за сингулярного по $\alpha$ вклада такой возможности устранить регуляризацию нет. В этом существенное различие между этими двумя способами регуляризации (24). Однако в силу условия $\lambda >0$ в каждом из них для массы $M$ существует только одно решение $M=0$.
6. ПеренормировкаМы видим, что для расчетов возможных значений массы, возникающей в безмассовых моделях в логарифмической размерности пространства, необходимо использовать регуляризацию. Для ее устранения требуется провести перенормировки в регуляризованной теории. Прежде чем перейти к этому этапу расчетов, проанализируем полученные результаты. Если в (20) мы положим
$$
\begin{equation*}
\mu_\mathrm{cut}^2 = 4\pi \mu_\mathrm{dim}^2 e^{3/2}, \qquad 16\pi^2 e^3 \frac{\mu_\mathrm{dim}^4}{M^4} \frac{1}{\alpha^2} - 4\pi e^{3/2} \frac{\mu_\mathrm{dim}^2}{M^2} \frac{1}{\alpha} - \ln \alpha = \frac{1}{\varepsilon},
\end{equation*}
\notag
$$
то соотношения (19) и (20) совпадут. Аналогично, если выбрать в (23)
$$
\begin{equation*}
\mu_\mathrm{cut}^2 = 4\pi e \mu_\mathrm{dim}^2, \qquad 4\pi e \frac{\mu_\mathrm{dim}^2}{M^2} \frac{1}{\alpha} + \ln \alpha = {-}\frac1\varepsilon,
\end{equation*}
\notag
$$
то выражение (23) совпадет с (22). Следовательно, если мы решим задачу о перенормировках выражений (19) и (22) в размерной регуляризации в теориях $\varphi^3$ и $\varphi^4$, то мы покажем, что полученный результат не зависит от выбора способа регуляризации (размерная или обрезание). 6.1. Перенормировка в теории $\varphi^3$В равенстве (19) сделаем мультипликативную перенормировку параметра $\mu_\mathrm{dim}$ следующим образом: Тогда оно принимает вид
$$
\begin{equation*}
1 = -\frac{\lambda^2}{2(4\pi)^3} \biggl[ \frac{1}{\varepsilon} + \ln Z_\mu (\varepsilon) + \biggl( \frac32 - \gamma_E - \ln \frac{M^2}{4\pi\mu^2} \biggr) + {\cal O}(\varepsilon) \biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Если определить константу перенормировки $Z_\mu (\varepsilon)$ как
$$
\begin{equation}
\ln Z_\mu (\varepsilon) = -\frac{1}{\varepsilon},\qquad Z_\mu (\varepsilon) = e^{-1/\varepsilon},
\end{equation}
\tag{28}
$$
мы получаем минимальное вычитание расходимости при снятии регуляризации. Положив $\varepsilon = 0$ в перенормированном выражении, получаем следующий результат:
$$
\begin{equation*}
1 = -\frac{\lambda^2}{2(4\pi)^3} \biggl( \frac32 - \gamma_E - \ln \frac{M^2}{4\pi\mu^2} \biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
M^2 = 4\pi\mu^2 \exp\biggl( \frac{2(4\pi)^3}{\lambda^2} +\frac32-\gamma_E \biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Если константа связи $\lambda$ вещественна, то $M \to \infty$ при $\lambda \to 0$. Однако для мнимой константы $\lambda$ имеем $M \to 0$ при $\lambda \to 0$ и возрастает с ростом $|\lambda |$. 6.2. Перенормировка в теории $(\varphi^2)^2$Перенормировку (28) мы можем использовать и в модели $(\varphi^2)^2$. Равенство (22) можно записать как
$$
\begin{equation*}
-1 = \frac{\lambda (n+2)}{4(4\pi)^2} \biggl[ -\frac1\varepsilon - \ln Z_\mu (\varepsilon) + \biggl( \gamma_E - 1 + \ln \frac{M^2}{4\pi \mu^2} \biggr) + {\cal O}(\varepsilon) \biggr].
\end{equation*}
\notag
$$
Выбирая константу перенормировки (28), после минимальных вычитаний расходимости и снятия регуляризации мы получаем следующий результат:
$$
\begin{equation*}
-1 = \frac{\lambda (n{+}2)}{4(4\pi)^2} \biggl( \gamma_E {-} 1 {+} \ln \frac{M^2}{4\pi \mu^2} \biggr)
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
M^2 = 4\pi \mu^2 \exp \biggl( -\frac{4(4\pi)^2}{\lambda (n{+}2)} + 1 - \gamma_E \biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
Так как $\lambda>0$, масса $M$ является растущей функцией от $\lambda(n+2)$. Она имеет наименьшее значение $M=0$ при $\lambda = 0$ и достигает максимума при $\lambda(n+2) \to \infty $. Следует отметить, что $M^2$ становится максимальным $ M^2 \approx 19.1789 \mu^2$ при любом $\lambda>0$, если $n \to \infty$, и это значение не зависит от $\lambda$. 6.3. Перенормировка в теории $\varphi^6$В теории $\varphi^6$ имеем
$$
\begin{equation}
\overline{\beta_2} = -2\sqrt{\pi} \frac{M}{(4\pi)^{3/2}} + {\cal O}(\varepsilon)
\end{equation}
\tag{29}
$$
в размерной регуляризации и
$$
\begin{equation}
\overline{\beta_2} = \frac{1}{(4\pi)^{3/2}} \biggl[ \frac{2}{\sqrt{\alpha}} \mu_\mathrm{cut} - 2\sqrt{\pi} M + {\cal O}(\sqrt{\alpha}) \biggr]
\end{equation}
\tag{30}
$$
в регуляризации обрезания. В (29) нет расходящихся вкладов при $\varepsilon=0$, и нет необходимости делать перенормировку для снятия регуляризации. Поэтому при $\varepsilon=0$ получаем следующий результат:
$$
\begin{equation}
\overline{\beta_2} = -2\sqrt{\pi} \frac{M}{(4\pi)^{3/2}}.
\end{equation}
\tag{31}
$$
Положить $\alpha=0$ в регуляризации обрезания $\overline{\beta_2}$ (30) невозможно, и для снятия регуляризации необходимо произвести перенормировку. Мы определяем ее следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\mu_\mathrm{cut} = \mu Z'_\mu, \qquad Z'_\mu=\sqrt{\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
После снятия регуляризации $\overline{\beta_2}$ выражение (30) принимает вид
$$
\begin{equation*}
\overline{\beta_2} = \frac{1}{(4\pi)^{3/2}} [ 2 \mu - 2\sqrt{\pi} M ],
\end{equation*}
\notag
$$
и уравнение (26) переписывается как
$$
\begin{equation*}
\frac{\lambda}{8(4\pi)^3} [ 2 \mu - 2\sqrt{\pi} M]^2 = -M^2.
\end{equation*}
\notag
$$
Поскольку константа связи положительна ($\lambda > 0$), левая часть этого равенства всегда положительна, а правая часть отрицательна. Следовательно, есть единственное решение $M=0$, $\mu = 0$. Таким образом, для обеих регуляризаций после перенормировки мы получаем один и тот же результат – уравнение (24) имеет единственное решение $M=0$. 7. ЗаключениеМы исследовали скалярные модели $\varphi^3$, $(\varphi^2)^2$ и $\varphi^6$ в логарифмической размерности пространства с использованием одновершинного приближения второго преобразования Лежандра. Мы решили уравнения стационарности (13) и (14), используя размерную регуляризацию и регуляризацию обрезания. Найдены точные аналитические решения используемых приближенных уравнений, и проведена процедура перенормировки, которая позволила снять регуляризацию и получить конечный результат для массы. Для устранения расходимости применялась мультипликативная перенормировка параметра $\mu_\mathrm{dim}$ или $\mu_\mathrm{cut}$, имеющего размерность массы. Оказалось, что результаты не зависят от выбранных нами схем регуляризации. Для теорий $\varphi^3$ и $(\varphi^2)^2$ возможно появление массы в безмассовых моделях, тогда как для теории $\varphi^6$ в рассматриваемом приближении этого не происходит. В модели $\lambda\varphi^3$ с мнимой константой связи $\lambda$ и в теории $(\varphi^2)^2$ масса $M$ очень мала при малой величине $|\lambda|$ и монотонно возрастает с ее ростом до конечного предельного значения. При вещественной константе $\lambda$ в модели $\lambda\varphi^3$ масса $M$ монотонно убывает с ростом $\lambda^2$ и неограниченно возрастает, если $\lambda^2\to 0$. Для безмассовой свободной теории это можно интерпретировать как ее сильную неустойчивость по отношению к возникновению взаимодействия $\lambda\varphi^3$ с вещественной константой $\lambda$, порождающего сколь угодно большую массу при малых $\lambda^2$. Трудно представить себе ситуацию, в которой это могло бы произойти. Поэтому использование модели $\lambda\varphi^3$ с вещественной $\lambda$ для описания физической реальности сомнительно. Можно предположить, что использование более точных приближений для уравнений (13) и (14) поможет глубже понять эффекты появления массы. В классической формулировке рассмотренных моделей $\varphi^3$, $(\varphi^2)^2$, $\varphi^6$ на уровне действия не было массивных параметров. Эти параметры ($\mu_\mathrm{dim}, \mu_\mathrm{cut}$) появились в результате регуляризации, которая устраняет ультрафиолетовые расходимости в квантовой теории. В предлагаемом нами подходе расчеты проводятся в рамках теории возмущений по числу петель в скелетных уравнениях Швингера–Дайсона. Мы показали, что в главном приближении для устранения возникающих в пределе снятия регуляризации расходимостей достаточно провести перенормировку скейлинговых параметров: $\mu_\mathrm{dim} = Z_\mu \mu$, $\mu_\mathrm{cut} = Z'_\mu \mu$, где $\mu$ не зависит от параметров регуляризации и предполагается конечным. При соответствующем выборе $Z_\mu, Z'_\mu$ масса $M^2$ оказывается конечной при снятии регуляризации и, если $M^2 \neq 0$, имеет вид $M^2 = \mu^2 f(\lambda)$. Таким образом, хотя в рамках предлагаемого метода нельзя считать, что при $M^2 \neq 0$ массу удается вычислить, однако безразмерная конечная величина $M^2/\mu^2$ является функцией только константы связи, которую в нашем приближении можно считать ренормированной. Заметим, что эта функция $f(\lambda)$ оказывается не зависящей от выбора способа регуляризации. Важно, что она не является произвольной, а находится в результате вычисления, тем самым ее можно рассматривать как объективную характеристику механизма образования массы. Так как масса частицы $M^2$ – ее неизменная характеристика, то соотношение $M^2 = \mu^2 f(\lambda)$ является уравнением, связывающим константу связи $\lambda$ с масштабным параметром $\mu^2$. Можно предположить, что это свойство рассмотренных моделей сохранится при учете следующих порядков теории возмущений по числу петель в скелетных уравнениях Дайсона–Швингера. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{PisPis23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|