| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Обратная задача рассеяния для уравнения Шредингера с дополнительным растущим потенциалом на всей оси А. Х. Ханмамедовabcd, Д. Г. Оруджевd a Бакинский государственный университет, Баку, Азербайджан b Институт математики и механики НАН Азербайджана, Баку, Азербайджан c Университет "Азербайджан", Баку, Азербайджан d Бакинский инженерный университет, Баку, Азербайджан
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923070085 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ квантовой теории рассеяния одним из важнейших объектов изучения является одномерное уравнение Шредингера. Обратная задача теории рассеяния для одномерного уравнения Шредингера на всей оси впервые изучалась в работах [1]–[3]. Авторы этих работ не дали полного математического исследования задачи. Полное исследование этой задачи для быстроубывающих потенциалов было дано в работе [4], где впервые было показано, что следует использовать оба уравнения Гельфанда–Левитана–Марченко, и установлена связь их решений. Основные результаты, относящиеся к обратной задаче рассеяния для одномерного уравнения Шредингера с быстроубывающим потенциалом, отражены в монографиях [5], [6]. Обратная задача рассеяния для уравнения Шредингера со ступенеобразным потенциалом исследовалась в работах [7], [8]. Обратная задача рассеяния для одномерного уравнения Шредингера, заданного на полуоси, исследовалась в работах [5], [6], [9]. В работе [10] изучалась обратная задача рассеяния для уравнения Шредингера на всей оси с неограниченно растущим на левом конце и исчезающим на правом конце потенциалом. Однако в этой работе при решении обратной задачи не удалось сформулировать условий на данные рассеяния, достаточных для того, чтобы построенный потенциал неограниченно рос на левом конце интервала $(-\infty,+\infty)$. Поэтому в работе [10] постановка задачи была несколько расширена и условие роста заменено требованием дискретности и полуограниченности спектра уравнения Шредингера на отрицательной полуоси. Оказывается, что для некоторых классов потенциалов, растущих на одном конце и исчезающих на другом конце интервала $(-\infty,+\infty)$, удается найти условия на данные рассеяния, достаточные для того, чтобы построенный потенциал неограниченно рос на одном конце и исчезал на другом конце. Следует отметить, что отличительной чертой упомянутых выше задач является то, что на непрерывном спектре собственные функции задачи рассеяния связаны лишь одним равенством. Кроме того, модуль коэффициента отражения равен единице, как и в задаче рассеяния на полуоси. Эти обстоятельства требуют значительной модификации некоторых классических рассуждений, характерных для задачи рассеяния на всей оси. Рассмотрим уравнение Шредингера вида
$$
\begin{equation}
-y''+\theta(x)x^2y+q(x)y=\lambda y,\qquad -\infty <x<+\infty,
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $\theta (x)$ – функция Хевисайда, т. е.
$$
\begin{equation*}
\theta (x)=\begin{cases} 1, & x\geqslant 0, \\ 0, &x<0, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
$$
а вещественный потенциал $q(x)$ для каждого конечного $a$ удовлетворяет условиям
$$
\begin{equation}
\int_{-\infty }^a (1+|x|)\, |q(x)|\,dx <\infty,\qquad \int_a^{+\infty } (1+x^5)|q(x)|\,dx <\infty.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Очевидно, что общий потенциал $Q(x)=\theta (x)x^2+q(x)$ уравнения (1) квадратично растет при $x\to +\infty$ и быстро убывает при $x\to -\infty$. Другими словами, уравнение (1) на положительной полуоси представляет собой возмущенный гармонический осциллятор, а на отрицательной полуоси – одномерное уравнение Шредингера с быстроубывающим потенциалом. Физический смысл соответствующего невозмущенного уравнения заключается в том, что частица движется в “полуоткрытой параболической потенциальной яме”. В настоящей работе при помощи формализма Гельфанда–Левитана–Марченко исследовалась обратная задача рассеяния для уравнения (1). Получены основные интегральные уравнения типа Марченко и доказана их однозначная разрешимость. Найдены необходимые и достаточные условия на данные рассеяния для однозначной разрешимости обратной задачи. Заметим, что обратная спектральная задача для возмущенных осцилляторов с одинаковым дискретным спектром изучалась в работе [11] (см. также [12]). В работах [13]–[15] методом спектральных отображений дано полное решение обратной задачи для возмущенного осциллятора вида $Ty=-y''+x^2y+q(x)y$, где $q(x)$ – вещественный потенциал, $q'(x),xq(x)\in L_2 (-\infty,+\infty)$. Для последнего возмущенного осциллятора с быстроубывающим потенциалом в работах [16], [17] обратная спектральная задача изучалась методом операторов преобразования. Обратная задача рассеяния для одномерного уравнения Шредингера с различными неограниченными потенциалами изучалась в работах [18]–[23]. Прямая и обратная задачи рассеяния для трехмерного оператора Шредингера исследовались в работе [24]. Прямая задача рассеяния для многомерного оператора Шредингера вида $H=-\Delta +x_1^2 +q(x)$, $x=(x_1,x_2,\dots,x_m)\in \mathbb{R}^m$, изучалась в работе [25]. Работа имеет следующую структуру. В разделе 2 вкратце описываются некоторые предварительные сведения. Мы изучаем задачу рассеяния для соответствующего невозмущенного уравнения и выводим формулы разложения по собственным функциям непрерывного спектра. В разделе 3 мы рассматриваем прямую задачу рассеяния для уравнения (1) и исследуем свойства данных рассеяния. Мы получаем формулы разложения по собственным функциям задачи (1). Раздел 4 посвящен решению обратной задачи рассеяния. Выводятся основные интегральные уравнения Гельфанда–Левитана–Марченко, исследуются свойства ядер основных уравнений, устанавливается однозначная разрешимость основных уравнений. Кроме того, мы находим необходимые и достаточные условия для однозначной разрешимости обратной задачи рассеяния. В разделе 5 сформулированы основные результаты работы. 2. Предварительные сведенияСформулируем некоторые известные факты, относящиеся к параболической цилиндрической функции, многие из которых содержатся с доказательствами в работах [15], [26], [27]. Эти факты будут использованы в следующих разделах. Сначала рассмотрим уравнение Известно (см. [15], [26], [27]), что уравнение (3) имеет решение $\psi(x,\lambda)=D_{\frac{\lambda -1}{2}} (\sqrt{2}x)$ с начальными условиями
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \psi(0,\lambda)&=D_{\frac{\lambda -1}{2}} (0)=2^{(\lambda -1)/4}\frac{\sqrt{\pi}}{\Gamma ((3-\lambda )/4)}, \\ \psi'(0,\lambda)&=\sqrt{2} D'_{\frac{\lambda -1}{2}} (0)=-2^{(\lambda +1)/4}\frac{\sqrt {\pi}}{\Gamma ((1-\lambda)/4)}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $\Gamma (\cdot)$ – гамма-функция Эйлера, $D_\nu (x)$ – функция параболического цилиндра (функция Вебера) (см. [26]). Для больших значений $|x|$ и фиксированного значения $\lambda$ поведение функции $\psi(x,\lambda)$ и ее производной определяется [15], [27] следующими асимптотическими формулами при $x\to+\infty$:
$$
\begin{equation}
\psi (x,\lambda) =(\sqrt{2} x)^{(\lambda -1)/2}e^{-x^2/2}(1+O(x^{-2})),
\end{equation}
\tag{5}
$$
$$
\begin{equation}
\psi'(x,\lambda) =-\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{2} x)^{(\lambda +1)/2}e^{-x^2/2}(1+O(x^{-2})),
\end{equation}
\tag{6}
$$
$$
\begin{equation}
\psi (-x,\lambda) =\frac{\sqrt {2\pi}}{\Gamma ((1-\lambda)/2)}(\sqrt{2} x)^{-(\lambda +1)/2}e^{x^2/2}(1+O(x^{-2})),
\end{equation}
\tag{7}
$$
$$
\begin{equation}
\psi' (-x,\lambda) =\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt {2\pi}}{\Gamma ((1-\lambda)/2)}( \sqrt{2}x)^{-(\lambda +2)/2}e^{x^2/2}(1+O(x^{-2})). \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
Так как уравнение (3) не изменяется при замене $x$ на $-x$, то функция $\psi(-x,\lambda)$ также является его решением. Рассмотрим теперь уравнение
$$
\begin{equation}
-y''+\theta (x)x^2y=\lambda y,\qquad -\infty <x<\infty,\qquad \lambda \in \mathbb{C}.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Пусть $G$ – комплексная плоскость с разрезом по оси $(0,+\infty)$, а $\partial G$ – ее граница, состоящая из точек верхнего и нижнего разрезов $\lambda$-плоскости по лучу $(0,+\infty)$. В плоскости $G$ рассмотрим функцию $\sqrt \lambda$, где аналитическая ветвь радикала выбирается из условия $\sqrt {\lambda +i0} >0$ при $\lambda >0$. Как следует из работы [28], уравнение (8) имеет решения, представимые в виде
$$
\begin{equation}
\psi_+ (x,\lambda ) =\begin{cases} D_{\frac{\lambda -1}{2}} (\sqrt{2} x), \qquad x\geqslant 0,\\ \dfrac{1}{2}\biggl[D_{\frac{\lambda -1}{2}} (0)-i\sqrt {\dfrac{2}{\lambda }} D'_{\frac{\lambda -1}{2}} (0) \biggr]e^{i\sqrt \lambda x}+{}\\ \quad+ \dfrac{1}{2}\biggl[D_{\frac{\lambda -1}{2}} (0)+i\sqrt {\dfrac{2}{\lambda }} D'_{\frac{\lambda -1}{2}} (0)\biggr]e^{-i\sqrt \lambda x},\qquad x<0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{9}
$$
$$
\begin{equation}
\psi_- (x,\lambda) =\begin{cases} \dfrac{1}{2}\biggl[D_{\frac{\lambda -1}{2}}^{-1} (0)-i\sqrt {\dfrac{\lambda}{2}} (D'_{\frac{\lambda -1}{2}} (0))^{-1} \biggr]D_{\frac{\lambda -1}{2}} (\sqrt{2} x)+{} \\ \quad +\dfrac{1}{2}\biggl[D_{\frac{\lambda -1}{2}}^{-1} (0)+i\sqrt {\dfrac{\lambda}{2}} (D'_{\frac{\lambda -1}{2}} (0))^{-1} \biggr]D_{\frac{\lambda -1}{2}} (-\sqrt{2} x),\qquad x\geqslant 0, \\ e^{-i\sqrt{\lambda} x},\qquad x<0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{10}
$$
Заметим, что при каждом фиксированном значении $x$ решения $\psi_\pm (x,\lambda)$ являются аналитическими функциями в плоскости $G$ относительно $\lambda$ и непрерывны вплоть до границы $\partial G$. Более того, решение $\psi_+ (x,\lambda)$ принимает действительные значения при $\lambda \in \partial G$ и, следовательно, является целой функцией относительно $\lambda$. Далее, используя равенства (4), (10), находим, что при $\lambda \in \partial G$, $\lambda \ne 0$ пара решений $\{\psi_- (x,\lambda),\overline{\psi_- (x,\lambda)} \}$ уравнения (3) линейно независимы, причем их вронскиан определяется формулой
$$
\begin{equation*}
W\{\psi_- (x,\lambda),\overline{\psi_- (x,\lambda)}\}=\psi_- (0,\lambda)\overline{\psi'_- (0,\lambda)} -\psi'_- (0,\lambda)\overline{\psi_- (x,\lambda)} =2i\sqrt{\lambda}.
\end{equation*}
\notag
$$
Из последнего равенства вытекает, что при $\lambda \in \partial G$, $\lambda \ne 0$ имеет место тождество
$$
\begin{equation}
\psi_+ (x,\lambda)=a_0 (\lambda)\overline{\psi_- (x,\lambda)} +\overline{a_0 (\lambda)} \psi_- (x,\lambda),
\end{equation}
\tag{11}
$$
причем коэффициент $a_0 (\lambda)$ в силу (4), (9), (10) определяется формулой
$$
\begin{equation}
a_0 (\lambda)=\frac{W\{\psi_- (x,\lambda),\psi_+ (x,\lambda)\}}{2i\sqrt{\lambda}}=\frac{1}{2}D_{\frac{\lambda -1}{2}} (0)-i\frac{1}{\sqrt {2\lambda}} D'_{\frac{\lambda -1}{2}} (0).
\end{equation}
\tag{12}
$$
Согласно формуле (12) функция $a_0 (\lambda)$ допускает аналитическое продолжение в плоскость $G$ и не имеет нулей. Кроме того, функция $\sqrt \lambda a_0 (\lambda)$ непрерывна в плоскости $G$ вплоть до ее границы. Функции $t_0 (\lambda)=1/a_0(\lambda)$ и $r_0 (\lambda)=\overline {a_0(\lambda)} /a_0 (\lambda)$ имеют смысл соответственно коэффициентов прохождения и отражения теории рассеяния невозмущенного уравнения (3). Из (12) найдем, что коэффициент отражения определяется формулой
$$
\begin{equation}
r_0 (\lambda)=\frac{\sqrt {\lambda/2} D_{\frac{\lambda -1}{2}} (0)+iD'_{\frac{\lambda -1}{2}} (0)}{\sqrt {\lambda/2} D_{\frac{\lambda -1}{2}} (0)-iD'_{\frac{\lambda -1}{2}} (0)}.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Функция $\psi_+ (x,\lambda)/a_0 (\lambda)$ называется решением задачи рассеяния невозмущенного уравнения (3). При неотрицательных значениях $\lambda $ решение $\psi_+ (x,\lambda)/a_0 (\lambda)$ ограничено, что соответствует непрерывному спектру задачи (3). Справедливы [28] следующие формулы разложения:
$$
\begin{equation}
\frac{1}{4\pi}\int_{\partial G} \frac{1}{\sqrt \lambda} [\overline {\psi_- (x,\lambda)} +r_0 (\lambda)\psi_- (x,\lambda)]\psi_- (y,\lambda)\,d\lambda =\delta (x-y),
\end{equation}
\tag{14}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\pi }\int_{-\infty }^\infty \psi_+ (x,\lambda)\psi_+ (y,\lambda)\,d\rho_0 (\lambda) =\delta (x-y),
\end{equation}
\tag{15}
$$
где $\delta$ – дельта-функция Дирака и
$$
\begin{equation}
\rho_0 (\lambda)=\begin{cases} 0, &\lambda \leqslant 0, \\ \displaystyle \int_0^\lambda \frac{|a_0 (u)|^{-2}}{4\sqrt u }\,du, & \lambda >0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{16}
$$
3. Прямая задача рассеянияПерейдем к описанию задачи рассеяния уравнения (1). Задачу на собственные значения уравнения (1) будем рассматривать в классе ограниченных на всей оси функций $y=y(x)$. Вводим решения $f_\pm (x,\lambda)$ типа Йоста уравнения (1), т. е. решения с асимптотиками $f_\pm (x,\lambda)=\psi_\pm (x,\lambda)[1+o(1)]$, $x\to \pm \infty$. Как следует из работы [29], для решений $f_\pm (x,\lambda)$ справедливы следующие треугольные представления:
$$
\begin{equation}
f_\pm (x,\lambda)=\psi_\pm (x,\lambda)\pm \int_x^{\pm \infty} K^\pm (x,t)\psi_\pm (t,\lambda)\,dt.
\end{equation}
\tag{17}
$$
Здесь ядра $K^\pm (x,t)$ являются вещественными функциями и удовлетворяют соотношениям
$$
\begin{equation}
K^\pm (x,t) =O\biggl(\int_{\frac{x+t}{2}}^{\pm \infty } |q(s)|\,ds\biggr),\qquad x+t\to \pm \infty,
\end{equation}
\tag{18}
$$
$$
\begin{equation}
K^\pm (x,x) =\pm \frac{1}{2}\int_x^{\pm \infty} \biggl[\biggl(\theta (s)-\frac{1\pm 1}{2} \biggr)s^2+q(s) \biggr]\,ds.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Кроме того, функции $K^\pm (x_1,x_2)$ имеют первые производные $\partial K^\pm (x_1,x_2)/\partial x_j$, $j=1,2$, почти всюду, и при каждом фиксированном $x_1$ имеют место соотношения
$$
\begin{equation}
\frac{\partial K^+(x_1,x_2)}{\partial x_j}+\frac{1}{4}q\biggl(\frac{x_1 +x_2}{2}\biggr) =O\biggl((x_2 -x_1)^3\biggl[\int_{\frac{x_1 +x_2 }{2}}^{+\infty} s^2 |q(s)|\,ds \biggr]^2\biggr),\qquad x_2 \to +\infty,
\end{equation}
\tag{20}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\partial K^-(x_1,x_2)}{\partial x_j}-\frac{1}{4}q\biggl(\frac{x_1 +x_2}{2}\biggr) =O\biggl( \int_{-\infty}^{\frac{x_1 +x_2}{2}} |q(s)|\,ds \biggr),\qquad x_2 \to -\infty.
\end{equation}
\tag{21}
$$
Согласно (17), (18) решение $f_+ (x,\lambda)$ является целой функцией $\lambda$ и принимает действительные значения на действительной оси. Аналогично решение $f_- (x,\lambda)$ при каждом $x$ является аналитической функцией $\lambda$ в плоскости $G$ и непрерывно вплоть до ее границы $\partial G$. Имеет место равенство $f_- (x,\lambda -i0)=\overline {f_- (x,\lambda +i0)}$ при $\lambda \geqslant 0$. Далее, ввиду вещественности потенциала $q(x)$ при $\lambda \in \partial G$ решением уравнения (1) является также $\overline {f_- (x,\lambda)}$. Поскольку вронскиан двух решений уравнения (1) не зависит от $x$, он совпадает со своим значением при каждом $x\to -\infty$. Тогда, пользуясь (17), (18), (21), имеем
$$
\begin{equation*}
W[f_- (x,\lambda),\overline {f_- (x,\lambda)} ]=2i\sqrt \lambda.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что при $\lambda \in \partial G$, $\lambda \ne 0$ пара решений $\{ f_- (x,\lambda),\overline {f_- (x,\lambda)} \}$ линейно независима. Поэтому при $\lambda \in \partial G$, $\lambda \ne 0$ справедливо разложение
$$
\begin{equation}
f_+ (x,\lambda)=a(\lambda)\overline {f_- (x,\lambda)} +\overline {a(\lambda)} f_- (x,\lambda),
\end{equation}
\tag{22}
$$
из которого следует, что
$$
\begin{equation}
a(\lambda)=\frac{W[f_- (x,\lambda),f_+ (x,\lambda)]}{2i\sqrt \lambda}.
\end{equation}
\tag{23}
$$
Величины $t(\lambda)=1/a(\lambda)$ и $r(\lambda)=\overline {a(\lambda)}/a(\lambda)$ назовем коэффициентами прохождения и отражения соответственно. Из свойств решений $f_+ (x,\lambda)$ и $f_- (x,\lambda)$ вытекает, что имеют место равенства
$$
\begin{equation}
a(x,\lambda -i0)=\overline {a(x,\lambda +i0)},\qquad r(x,\lambda -i0)=\overline {r(x,\lambda +i0)}, \qquad \lambda >0.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Используя (9), (10), (17), (18), (23) и установленные в работе [30] асимптотические свойства функции $D_\nu (z)$ при $\nu \to \infty$, найдем, что имеет место соотношение
$$
\begin{equation}
a(\lambda)=a_0 (\lambda)\biggl[1+O\biggl(\frac{1}{\sqrt \lambda}\biggr) \biggr], \qquad \lambda \to \infty,
\end{equation}
\tag{25}
$$
где $a_0 (\lambda)$ определяется равенством (12). Из (23) следует, что функция $a(\lambda)$ допускает аналитическое продолжение в полуплоскость $G$ и непрерывна до ее границы, за исключением, быть может, точки $\lambda =0$. Кроме того, в силу (4), (9), (17), (18), (23) функция $a(\lambda)$ не имеет нулей при $\lambda \in \partial G$, $\lambda \ne 0$. Докажем, что функция $a(\lambda)$ не имеет комплексных нулей. В самом деле, пусть $a(\lambda_0)=0$, $\operatorname{Im}\lambda_0 \ne 0$. Тогда из (23) получаем, что решения $f_+ (x,\lambda_0)$ и $f_- (x,\lambda_0 )$ линейно зависимы. Однако в этом случае согласно (9), (10), (17), (18) формально самосопряженная задача (1) имела бы комплексное собственное значение, что невозможно. Доказательство. Достаточно показать, что каждое нетривиальное решение уравнения (1) при $\lambda =0$ имеет конечное число нулей (см. [6]). В самом деле, функция Таким образом, функция $a(\lambda)$ может иметь лишь конечное число нулей $\lambda_k$, $k=1,2,\dots,N$, лежащих на отрицательной полуоси. Докажем, что эти нули простые. Пусть
$$
\begin{equation}
(m_j^\pm)^2=\int_{-\infty}^\infty f_\pm ^2 (x,\lambda_j)\,dx,\qquad j=1,2,\dots,N.
\end{equation}
\tag{27}
$$
Теорема 2. Нули $\lambda_j$, $j=1,2,\dots,N$, функции $a(\lambda)$ простые, и справедливы равенства где точкой сверху обозначается производная по $\lambda$. Доказательство. Интегрируя равенства Воспользовавшись (27), заметим, что
$$
\begin{equation}
m_j^+ m_j^- =2i\sqrt {\lambda_j} \dot {a}(\lambda_j),\qquad j=1,2,\dots,N.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Изучим поведение функции $a(\lambda)$ вблизи точки $\lambda =0$. Если
$$
\begin{equation*}
W[f_- (x,\lambda),f_+ (x,\lambda)] \big|_{\lambda =0} =C\ne 0,
\end{equation*}
\notag
$$
то из (21) следует, что
$$
\begin{equation}
a(\lambda)=\frac{C}{2i\sqrt \lambda}+O(1),\qquad \lambda \to 0.
\end{equation}
\tag{30}
$$
В общем случае справедливость последнего соотношения (где $C$ может равняться нулю) устанавливается, как и в монографии [5], с помощью “срезанных” потенциалов. Выпишем некоторые из установленных выше свойств в виде условия, которое нам понадобится. Условие 1. Функция $a(\lambda)$ аналитична в плоскости $G$ и непрерывна вплоть до границы $\partial G$, за исключением, быть может, точки $\lambda =0$. Кроме того, функция $a(\lambda)$ может иметь лишь конечное число простых отрицательных нулей $\lambda_j$, $j=1,2,\dots,N$. Имеют место соотношения (25), (27)–(30). В дальнейшем нам понадобится формула разложения по собственным функциям задачи (1). Пусть
$$
\begin{equation}
\rho (\lambda)=\begin{cases} \pi \displaystyle\sum_{\lambda_j <\lambda } (m_j^+)^{-2}, & \lambda \leqslant 0, \\ \pi \displaystyle\sum_{j=1}^N (m_j^+)^{-2} +\int_0^\lambda \frac{|a(u)|^{-2}}{4\sqrt u }\,du, & \lambda >0. \end{cases}
\end{equation}
\tag{31}
$$
Следуя соответствующим рассуждениям Титчмарша [31], находим, что имеют место следующие формулы разложения (см. также [32]):
$$
\begin{equation}
\frac{1}{4\pi }\int_{\partial G} \frac{1}{\sqrt \lambda} [\overline {f_- (x,\lambda)}+r(\lambda)f_- (x,\lambda)]f_- (y,\lambda)\,d\lambda +{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+\sum_{j=1}^N (m_j^-)^{-2}f_- (x,\lambda_j)f_- (y,\lambda_j) =\delta (x-y),
\end{equation}
\tag{32}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\pi }\int_{-\infty }^\infty f_+ (x,\lambda)f_+ (y,\lambda)\,d\rho (\lambda) =\delta (x-y).
\end{equation}
\tag{33}
$$
Набор величин $\{a(\lambda),\lambda \in \partial G;\lambda_j ,\lambda_j <0;m_j^+ >0,j=1,\dots,N\}$ назовем данными рассеяния для уравнения (1). Обратная задача рассеяния для уравнения (1) состоит в восстановлении потенциала $q(x)$ по данным рассеяния.
4. Обратная задача рассеянияПри решении обратной задачи важную роль играют основные интегральные уравнения Гельфанда–Левитана–Марченко. Положим
$$
\begin{equation}
F^+(x,y)=\frac{1}{\pi }\int_{-\infty }^\infty \psi_+ (x,\lambda)\psi_+ (y,\lambda)\,d\xi (\lambda),
\end{equation}
\tag{35}
$$
$$
\begin{equation}
F^-(x,y)=\sum_{j=1}^N (m_j^-)^{-2}\psi_- (x,\lambda_j )\psi_- (y,\lambda_j) +\frac{1}{4\pi }\int_{\partial \Gamma } \frac{r(\lambda)-r_0 (\lambda)}{\sqrt \lambda }\psi_- (x,\lambda)\psi_- (y,\lambda)\,d\lambda.
\end{equation}
\tag{36}
$$
Теорема 3. При каждом фиксированном $x$ функции $K^\pm (x,y)$, входящие в представления (17), удовлетворяют интегральным уравнениям Доказательство. Для вывода основных интегральных уравнений (37) воспользуемся формулами разложения (14), (15), (32), (33) по собственным функциям задачи рассеяния. Сначала рассмотрим случай со знаком “$+$”. Из известных свойств операторов преобразования (см., например, [5]) и из (17), (18) следует, что Выведем теперь основное уравнение (37)для случая со знаком “$-$”. Рассмотрим формулу разложения (32). Из (17), (18) находим
$$
\begin{equation*}
\psi_- (y,\lambda)=f_- (y,\lambda)+\int_{-\infty }^y \hat {K}(y,t)f_- (t,\lambda)\,dt,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\hat {K}(y,t)$ удовлетворяет соотношению, аналогичному (18). Тогда из (32) имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{1}{4\pi }\int_{\partial G} \frac{1}{\sqrt \lambda }[ \overline{f_- (x,\lambda)} +r(\lambda)f_- (x,\lambda)]\psi_- (y,\lambda )\,d\lambda +\sum_{j=1}^N (m_j^-)^{-2}f_- (x,\lambda_j)\psi_- (y,\lambda_j) ={} \notag \\ & =\frac{1}{4\pi }\int_{\partial G} \frac{1}{\sqrt \lambda }[\overline{f_- (x,\lambda)} +r(\lambda)f_- (x,\lambda)]f_- (y,\lambda )\,d\lambda +\sum_{j=1}^N (m_j^-)^{-2}f_- (x,\lambda_j)f_- (y,\lambda_j) +{} \notag \\ &\hphantom{={}} +\int_{-\infty }^y \hat {K}(y,t)\biggl( \frac{1}{4\pi }\int_{\partial G} \frac{1}{\sqrt \lambda }[ \overline {f_- (x,\lambda)} +r(\lambda)f_- (x,\lambda)]f_- (t,\lambda)\,d\lambda \biggr)\,dt +{} \notag \\ &\hphantom{={}} +\int_{-\infty }^y \hat {K}(y,t)\biggl( \sum_{j=1}^N (m_j^-)^{-2}f_- (x,\lambda_j)f_- (t,\lambda_j)\biggr)\,dt ={} \notag \\ & =\delta (x-y)+\int_{-\infty }^y \hat {K}(y,t)\delta (x-t)\,dt =\delta (x-y)+\hat {K}(y,x)=\delta (x-y). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{40}
$$
С другой стороны, используя соотношения (14), (18), находим
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, & \frac{1}{4\pi }\int_{\partial G} \frac{1}{\sqrt \lambda }[ \overline{f_- (x,\lambda)} +r(\lambda)f_- (x,\lambda)]\psi_- (y,\lambda)\,d\lambda +\sum_{j=1}^N (m_j^-)^{-2}f_- (x,\lambda_j)\psi_- (y,\lambda_j) ={} \\ & =\frac{1}{4\pi }\int_{\partial G} \frac{1}{\sqrt \lambda }[ \overline{\psi_- (x,\lambda)} +r(\lambda)\psi_- (x,\lambda)]\psi_- (y,\lambda)\,d\lambda +\sum_{j=1}^N (m_j^-)^{-2}\psi_- (x,\lambda_j)\psi_- (y,\lambda_j) +{} \\ &\hphantom{={}} +\int_{-\infty }^x K^-(x,t)\biggl[\frac{1}{4\pi}\int_{\partial G} \frac{1}{\sqrt \lambda }[\overline{\psi _- (y,\lambda)} +r(\lambda)\psi_- (y,\lambda)]\psi_- (t,\lambda )\,d\lambda +{} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\hphantom{={}}+\sum_{j=1}^N (m_j^-)^{-2}\psi_- (y,\lambda_j )\psi_- (t,\lambda_j) \biggr]\,dt={} \\ & =\frac{1}{4\pi }\int_{\partial G} \frac{1}{\sqrt \lambda }[ \overline{\psi_- (x,\lambda)} +r_0 (\lambda)\psi_- (x,\lambda)]\psi_- (y,\lambda)\,d\lambda +\sum_{j=1}^N (m_j^-)^{-2}\psi_- (x,\lambda_j)\psi_- (y,\lambda_j ) +{} \\ &\hphantom{={}} +\frac{1}{4\pi }\int_{\partial G} \frac{r(\lambda)-r_0 (\lambda)}{\sqrt{\lambda}}\psi_- (x,\lambda)\psi_- (y,\lambda )\,d\lambda +{} \\ &\hphantom{={}} +\int_{-\infty }^x K^-(x,t)\biggl[\frac{1}{4\pi}\int_{\partial G} \frac{1}{\sqrt \lambda }[\overline{\psi_- (y,\lambda)} +r_0 (\lambda)\psi_- (y,\lambda)]\psi_- (t,\lambda )\,d\lambda \biggr]\,dt+{} \\ &\hphantom{={}} +\int_{-\infty }^x K^-(x,t)\biggl[\frac{1}{4\pi}\int_{\partial G} \frac{r(\lambda)-r_0 (\lambda)}{\sqrt \lambda}\psi_- (x,\lambda)\psi_- (y,\lambda)\,d\lambda +{} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\hphantom{={}}+\sum_{j=1}^N (m_j^-)^{-2}\psi_- (y,\lambda_j)\psi_- (t,\lambda_j) \biggr]\,dt={} \\ & =\delta (x-y)+F^-(x,y)+\int_{-\infty}^x K^-(x,t)\delta (y-t)\,dt +\int_{-\infty }^x K^-(x,t)F^-(t,y)\,dt={} \\ & =\delta (x-y)+F^-(x,y)+K^-(x,y)+\int_{-\infty }^x K^-(x,t)F^-(t,y)\,dt. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Сравнивая это равенство с равенством (40), получаем основное уравнение (37) для случая со знаком “$-$”. Теорема доказана. При помощи основных уравнений (37), как и в работах [21], [33], устанавливается следующее свойство функций рассеяния $F^\pm (x,y)$. Условие 2. Функции $F^\pm (x,y)$, определенные формулами (35), (36), непрерывны, имеют частные производные первого порядка и удовлетворяют соотношениям Теорема 4. Пусть выполняются условия 1, 2. Тогда при каждом фиксированном $x$ уравнения (37) имеют единственные решения $K^\pm (x,\,\cdot\,)\in L_1 (x,\pm \infty)$. Доказательство. Из условия 2 следует, что уравнения (37) порождаются вполне непрерывными операторами. Поэтому согласно альтернативе Фредгольма достаточно доказать, что соответствующие однородные уравнения имеют только нулевое решение. Рассмотрим сначала случай со знаком “$+$”. Пусть при каком-либо $x$ однородное уравнение Рассмотрим теперь случай со знаком “$-$”. Пусть при любом $x$ однородное уравнение
$$
\begin{equation}
h^-(y)+\int_{-\infty }^x F^-(y,t)h^-(t)\,dt=0,\qquad y<x,
\end{equation}
\tag{42}
$$
имеет нетривиальное решение из $L_1 (-\infty ,x)$. В силу условия 2 и уравнения (40) имеет место соотношение $h^-(y)\in L_2 (-\infty,x)$. Тогда из (42) получаем
$$
\begin{equation*}
\int_{-\infty }^x |h^-(y)|^2\,dy +\int_{-\infty }^x \int_{-\infty }^x F^-(y,t)h^-(t) h^-(y)\,dt\,dy =0.
\end{equation*}
\notag
$$
Подставляя в последнее равенство вместо функции $F^-(x,y)$ выражение (36), получаем
$$
\begin{equation*}
\int_{-\infty }^x |h_- (y)|^2\,dy +\frac{1}{4\pi }\int_{\partial \Gamma } \frac{r(\lambda)-r_0 (\lambda)}{\sqrt \lambda}H_-^2 (\lambda)\,d\lambda +\sum_{j=1}^N (m_j^-)^{-2}H_-^2 (\lambda_j) =0,
\end{equation*}
\notag
$$
где
$$
\begin{equation}
H_- (\lambda)=\int_{-\infty }^x h^-(y)\psi _- (y,\lambda)\,dy.
\end{equation}
\tag{43}
$$
С другой стороны, используя формулу разложения (14), имеем
$$
\begin{equation*}
\int_{-\infty }^x |h_- (y)|^2\,dy =\frac{1}{4\pi }\int_{\partial \Gamma} \frac{1}{\sqrt \lambda} [|H_- (\lambda)|^2+r_0 (\lambda)H_-^2 (\lambda)]\,d\lambda.
\end{equation*}
\notag
$$
Кроме того, из условия 1 следует, что при $\lambda >0$ справедливы равенства
$$
\begin{equation*}
\overline{H_- (\lambda +i0)} =H_- (\lambda -i0),\qquad \overline{r(\lambda +i0)} =r(\lambda -i0).
\end{equation*}
\notag
$$
Тогда из последних соотношений найдем, что
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{1}{4\pi }\int_0^\infty \frac{1}{\sqrt \lambda }& \bigl[2|H_- (\lambda +i0)|^2+r(\lambda +i0)H_-^2 (\lambda +i0)+{} \\ &+\overline{r(\lambda +i0)}\, \overline{H_-^2 (\lambda +i0)} \, \bigr]\,d\lambda + \sum_{j=1}^N (m_j^-)^{-2}H_-^2 (\lambda_j) =0. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Запишем последнее соотношение в виде
$$
\begin{equation*}
\frac{1}{4\pi }\int_0^\infty \frac{1}{\sqrt \lambda } \bigl|\overline{H_- (\lambda +i0)} +r(\lambda +i0)H_- (\lambda +i0)\bigr|^2\,d\lambda +\sum_{j=1}^N (m_j^-)^{-2}H_-^2 (\lambda_j) =0.
\end{equation*}
\notag
$$
Отсюда следует, что
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{\overline{H_- (\lambda)} }{\overline{a(\lambda)} }=-\frac{H_- (\lambda)}{a(\lambda)},\qquad \lambda \in \partial G, \\ H_- (\lambda_j )=0,\qquad j=1,\dots,N. \notag \end{gathered}
\end{equation}
\tag{44}
$$
В силу (44) получаем
$$
\begin{equation*}
\frac{\overline{H_- (\lambda)} }{\overline{a(\lambda)\sqrt{\lambda}}}=\frac{H_- (\lambda)}{a(\lambda) \sqrt{\lambda}},\qquad \lambda \in \partial G.
\end{equation*}
\notag
$$
Согласно (43) функция $H_- (\lambda)$ является аналитической функцией в плоскости $G$ и непрерывна вплоть до ее границы $\partial G$. Последнее равенство показывает, что $g(\lambda)=H_- (\lambda)/a(\lambda)\sqrt{\lambda}$ является целой функцией. Но тогда
$$
\begin{equation*}
p(\lambda)=\bigl[\sqrt{2} D'_{\frac{\lambda ^2-1}{2}} (0)+i\lambda D_{\frac{\lambda ^2-1}{2}} (0)\bigr]g(\lambda ^2)
\end{equation*}
\notag
$$
также является целой функцией, причем согласно (12), (25) имеет место соотношение
$$
\begin{equation*}
p(\lambda)\sim 2\pi ^{-1/2}iH_- (\lambda^2),\qquad \lambda \to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Из (43) следует, что $H_- (\lambda)\to 0$, $\lambda \to \infty$. Поэтому из последнего соотношения и теоремы Лиувилля (см. [34]) получаем $p(\lambda)\equiv 0$, т. е. $H_- (\lambda)\equiv 0$. Следовательно, $h^-( y )=0$. Теорема доказана. После некоторой переформулировки приведенные выше необходимые условия 1, 2 становятся и достаточными для того, чтобы удовлетворяющий им набор величин $\{a(\lambda),\lambda \in \partial G;\lambda_j,\lambda_j <0; m_j^+ >0, j=1,\dots,N\}$ являлся данными рассеяния уравнения вида (1) с потенциалом $q(x)$, удовлетворяющим требованиям (2). В самом деле, из теоремы 3 следует, что, например, в случае со знаком “$+$” оператор $\mathrm{I}+ K_{(x)}$, порожденный левой частью уравнения (37), имеет при каждом $x\geqslant a$ ограниченный обратный оператор в пространстве $L_1 (x,\infty)$. Более того, в силу условия 2 для оператора $K_{(x)}$, действующего по формуле имеет место соотношение
$$
\begin{equation*}
\| K_{(x)} \|=\sup_{z\geqslant x} \int_x^\infty |F(y,z) |\,dy \to 0,\qquad x\to \infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Следовательно, обратный оператор $(\mathrm{I}+K_{(x)})^{-1}$ ограничен в $L_1 (x,\infty)$ по норме равномерно относительно $x$, $x\geqslant a$. Отсюда и из условия 2 получим
$$
\begin{equation}
|K^+(x,y)|\leqslant |F^+(x,y)|+C\sup_{t\geqslant x} |F^+(t,y)|.
\end{equation}
\tag{45}
$$
Далее, дифференцируя уравнение (37) с помощью соответствующих оценок, входящих в условие 2, устанавливаем, что решение $K^+(x,y)$ уравнения (37) дифференцируемо в области $y\geqslant x$ по каждому аргументу и выполняются оценки
$$
\begin{equation*}
\int_x^\infty (1+y^2)\biggl| \frac{\partial K^+(x,y)}{\partial y} \biggr|\,dy<\infty,\qquad \int_x^\infty(1+y^2)\biggl|\frac{\partial K^+(x,y)}{\partial x}\biggr|\,dy<\infty.
\end{equation*}
\notag
$$
Для изучения функции $dK^+(x,x)/dx$ вводим функцию
$$
\begin{equation}
A(x,y)=\biggl(\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}\biggr)(K^+(x,y)+F^+(x,y)).
\end{equation}
\tag{46}
$$
Из основного уравнения (37) имеем
$$
\begin{equation}
A(x,y)+\int\limits_x^\infty A(x,z)F^+(z,y)\,dz =B(x,y),
\end{equation}
\tag{47}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, B(x,y)&=\int_x^\infty F^+(z,y)\biggl(\frac{\partial F^+(x,z)}{\partial x}+\frac{\partial F^+(x,z)}{\partial z}\biggr)\,dz-{} \\ &\hphantom{={}}-\int_x^\infty K^+(x,y)\biggl(\frac{\partial F^+(y,z)}{\partial y}+\frac{\partial F^+(y,z)}{\partial z}\biggr)\,dz. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Используя тогда (45)–(47) и учитывая условие 2, найдем, что для любого конечного $a$ имеет место соотношение Учитывая последнее соотношение, из (46) и условия 2 получим
$$
\begin{equation}
\int_a^\infty |x|^5\biggl|\frac{d}{dx}K^+(x,x) \biggr|\, dx<\infty.
\end{equation}
\tag{48}
$$
Подобным образом устанавливается, что в случае со знаком “$-$” решение $K^-(x,x)$ уравнения (37) удовлетворяет неравенству
$$
\begin{equation}
\int_{-\infty }^a (1+|x|)\biggl| \frac{d}{dx}K^-(x,x) \biggr|\, dx<\infty.
\end{equation}
\tag{49}
$$
Кроме того, как и в [4]–[6], можно доказать, что определенные формулами (17) функции $f_\pm (x,\lambda)$ являются решениями уравнений
$$
\begin{equation*}
-f''_\pm (x,\lambda)+[\theta (x)x^2+q^\pm (x)]f_\pm (x,\lambda)=\lambda f_\pm (x,\lambda),
\end{equation*}
\notag
$$
где потенциалы $q^\pm (x)$ определяются формулами
$$
\begin{equation}
q^+(x)=-2\frac{dK^+(x,x)}{dx}+[1-\theta(x)]x^2,\qquad q^-(x)=2\frac{dK^-(x,x)}{dx}-\theta (x)x^2.
\end{equation}
\tag{50}
$$
Наконец, как и в [4]–[6], доказывается, что при $\lambda \in \partial G$ функции $f_\pm (x,\lambda)$ связаны равенством
$$
\begin{equation*}
f_+ (x,\lambda)=a(\lambda)\overline{f_- (x,\lambda)} +\overline{a(\lambda)} f_- (x,\lambda),
\end{equation*}
\notag
$$
из которого вытекает равенство $q^+(x)=q^-(x)=q(x)$. Отсюда и из (48)–(50) следует, что восстановленный потенциал $q(x)$ принадлежит классу (2).
5. ЗаключениеВ настоящей работе мы сосредоточили внимание на исследовании обратной задачи рассеяния для одномерного уравнения Шредингера на оси с дополнительным растущим потенциалом. По сути потенциал квадратично растет на правом конце и исчезает на левом конце. Мы применили метод операторов преобразования. Сначала мы исследовали прямую задачу рассеяния и рассмотрели свойства данных рассеяния и собственных функций задачи рассеяния. Затем мы решили обратную задачу с помощью формализма Гельфанда–Левитана–Марченко, получили основные интегральные уравнения и доказали их однозначную разрешимость в соответствующих пространствах. Указали способ восстановления потенциала возмущения. В работе найдены условия на данные рассеяния, которые являются необходимыми и достаточными, чтобы существовал единственный потенциал возмущения с конечным первым моментом на левом конце и конечным пятым моментом на правом конце. БлагодарностиАвторы выражают глубокую признательность рецензенту за полезные замечания, которые способствовали улучшению содержания работы. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KhaOru23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|