| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
О преобразовании Ландау–Халатникова–Фрадкина в замороженной КЭД А. В. Котиков Лаборатория теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Московская обл., Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923090118 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ течение последних сорока лет (см., например, [1]–[5]) квантовая электродинамика в трех пространственно-временных измерениях (КЭД${}_3$) с $N$ ароматами четырехкомпонентных безмассовых фермионов Дирака постоянно исследовалась как полезная теоретико-полевая модель. КЭД$_{\kern1pt 3}$ послужила игрушечной моделью для изучения нескольких ключевых проблем квантовой теории поля, таких как инфракрасные сингулярности в низкоразмерных теориях безмассовых частиц, неаналитичность константы связи в теории возмущений, нарушение динамической симметрии и генерация фермионной массы, фазовый переход и взаимосвязь между нарушением киральной симметрии и конфайнментом. Кроме того, КЭД$_{\kern1pt 3}$ нашла множество применений в физике конденсированного состояния, в частности в сверхпроводимости с высокими значениями $T_{\mathrm c}$ [6], в планарных антиферромагнетиках [7], а также в исследованиях графена [8], где возбуждения квазичастиц при низких энергиях имеют линейную дисперсию и описываются безмассовым уравнением Дирака в $(2+1)$-мерном пространстве (см. обзоры исследований графена в работах [9]). Как и стандартная КЭД в четырех измерениях (КЭД$_{\,4}$), КЭД$_{\kern1pt 3}$ обладает важным свойством – ковариантностью фермионного пропагатора и фермионной вершины при преобразованиях Ландау–Халатникова–Фрадкина (ЛХФ) [10], [11]. Эти преобразования имеют простой вид в координатном пространстве и позволяют вычислять функции Грина в произвольной ковариантной калибровке, если мы знаем их значения в некоторой конкретной калибровке (о применении преобразований ЛХФ см. статьи [12] и обзор в [13]). В недавней статье [14] мы исследовали калибровочную зависимость безмассового фермионного пропагатора в замороженной КЭД$_{\kern1pt 3}$ в линейной ковариантной калибровке. Напомним здесь, что замороженной предел КЭД – это приближение, в котором можно пренебречь эффектами замкнутых фермионных петель. Это приближение возникло при изучении решеточного представления КЭД$_{\,4}$ (см. работы [15]), которое показало, что разумную оценку спектра адронов можно получить, исключив все внутренние кварковые петли. Кроме того, замороженное приближение в КЭД$_4$ также применялось для включения эффектов КЭД при расчетах на решетке (см. недавнюю статью [16] и обсуждение в ней). Сразу после этого в работах [17]–[19] замороженное приближение использовалось в КЭД$_{\,4}$ для изучения уравнений Швингера–Дайсона. В статье [14], следуя работам [19]–[21], мы применили размерную регуляризацию и изучили самосогласованность преобразования ЛХФ безмассового фермионного пропагатора в замороженной КЭД$_{\kern1pt 3}$ в линейной ковариантной калибровке. Анализ, представленный в [14], привел к выводу, что в трех измерениях, т. е. при $d=3$, все нечетные пертурбативные коэффициенты начиная с третьего порядка должны быть равны нулю в любой калибровке, если КЭД$_{\kern1pt 3}$ не имеет (инфракрасных) сингулярностей, как обсуждалось ранее в [22], [23]. Чтобы проверить этот факт, в работе [24] мы вычислили трех- и четырехпетлевые поправки и обнаружили, что трехпетлевые поправки конечны и калибровочно-инвариантны, а четырехпетлевые поправки имеют сингулярности. В соответствии с преобразованием ЛХФ члены, зависящие от калибровочного параметра, полностью определяются вкладами низших порядков. Настоящая работа организована следующим образом. Раздел 2 посвящен результатам преобразования ЛХФ для фермионного пропагатора в импульсном пространстве. В разделе 3 представлены результаты вычисления трех- и четырехпетлевых поправок к фермионному пропагатору и проанализировано их соответствие результатам преобразования ЛХФ. В разделе 4 предсказаны некоторые результаты для более высоких порядков теории возмущений. В приложении приведены некоторые детали расчетов. 2. Преобразование ЛХФДалее мы будем рассматривать евклидово пространство размерности $d=3-2\varepsilon$. Общий вид фермионного пропагатора $S_{\mathrm F}(p,\xi)$ в некоторой калибровке $\xi$ таков: где выделена тензорная структура, т. е. фактор $\hat p$, содержащий $\gamma$-матрицы Дирака, а $P(p,\xi)$ является скалярной функцией от $p=\sqrt{p^2}$.Следуя работе [14], можно представить пропагатор фермионов в виде
$$
\begin{equation}
P(p,\xi)=\sum_{m=0}^{\infty} a_m(\xi) \biggl(\frac{\alpha}{2\sqrt{\pi}p}\biggr)^{\!\!m}{\biggl(\frac{\bar\mu^2}{p^2}\biggr)}^{\!\!m\varepsilon},
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $a_m(\xi)$ – коэффициенты петлевого разложения пропагатора $P(p,\xi)$, а $\bar\mu$ – масштаб в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме. Также удобно ввести представление $S_{\mathrm F}(x,\xi)$ фермионного пропагатора в $x$-пространстве, которое связано преобразованием Фурье с $S_{\mathrm F}(p,\xi)$ в (1): Преобразование ЛХФ описывает изменение фермионного пропагатора при калибровочном преобразовании. Это преобразование можно получить с помощью стандартных рассуждений (см., например, работы [10], [11]), а его общий вид в размерности $d=3-2\varepsilon$ записывается как (см. работы [20], [21])
$$
\begin{equation}
S_{\mathrm F}(x,\xi)=S_{\mathrm F}(x,\eta)\,e^{D(x)},\qquad D(x)=e^2\Delta\mu^{2\varepsilon}\int \frac{d^d q}{(2\pi)^d}\frac{e^{-i q x}}{q^4},\qquad \Delta=\xi -\eta.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Здесь $\eta$ – некоторая другая калибровка. В результате расчетов получаем [19]
$$
\begin{equation}
D(x)=- \frac{\alpha\Delta}{2\pi\mu}\frac{\Gamma(1/2-\varepsilon)}{1+2\varepsilon}(\pi\mu^2x^2)^{\varepsilon+1/2}.
\end{equation}
\tag{5}
$$
Преобразование ЛХФ (4) задает связь коэффициентов $a_k(\xi)$ в (2) и коэффициентов $a_m(\eta)$ в таком же представлении [14]:
$$
\begin{equation}
a_k(\xi)=\sum_{m=0}^{k}(-2\Delta)^{k-m}a_m(\eta)\widehat\Phi(m,k,\varepsilon)\phi(k-m,\varepsilon),
\end{equation}
\tag{6}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \widehat\Phi(m,k,\varepsilon)= \frac{\Gamma(3/2-m/2-(m+1)\varepsilon)\Gamma(1+k/2+k\varepsilon)}{\Gamma(1+m/2+m\varepsilon)\Gamma(3/2-k/2-(k+1)\varepsilon)}, \\ \phi(l,\varepsilon)=\frac{\Gamma^l(1/2-\varepsilon)}{l!\,(1+2\varepsilon)^l\Gamma^l(1+\varepsilon)}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{7}
$$
Теперь рассмотрим $a_m(\xi)$ с $m\leqslant 4$. С учетом первых двух порядков $\varepsilon$-разложения имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a_0(\xi)&=a_0(\eta)=1,\qquad a_1(\xi)=a_1(\eta)-\frac{\pi\delta}{2}\bigl(1+2\varepsilon(l_2-1)\bigr)a_0(\eta), \\ a_2(\xi)&=a_2(\eta)-\frac{4\delta}{\pi}\bigl(1-2\varepsilon(l_2+1)\bigr)a_1(\eta)+\delta^2\bigl(1-4\varepsilon\bigr)a_0(\eta), \\ a_3(\xi)&=a_3(\eta)+6\pi\varepsilon\delta a_2(\eta)-12\varepsilon\delta^2a_1(\eta)+2\pi\varepsilon\delta^3 a_0(\eta), \\ a_4(\xi)&=a_4(\eta)-\frac{2\delta}{3\pi\varepsilon}\bigl(1+2\varepsilon(3-l_2)\bigr)a_3(\eta)-2\delta^2a_2(\eta) +\frac{8\delta^3}{3\pi}a_1(\eta)-\frac{\delta^4}{3}a_0(\eta), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8}
$$
где $\delta=\sqrt{\pi}\Delta$ и $l_2=\ln 2$. Полагая $\eta=0$, т. е. выбирая в качестве начальной калибровку Ландау, мы можем представить результаты (8) для $a_m(\xi)$ в виде Убедимся, что согласно преобразованию ЛХФ результаты для $\tilde a_m(\xi)$ полностью определяются коэффициентами $a_l(0)$ с $l<m$, т. е. коэффициентами младших порядков.3. Фермионный пропагатор: трех- и четырехпетлевые коэффициентыДля расчетов удобно использовать форму где 1PI-часть $\sigma(p,\xi)$ может быть аналогично (1) представлена как
$$
\begin{equation}
\sigma(p,\xi)=\sum_{m=1}^{\infty} \sigma_m(\xi) \biggl(\frac{\alpha}{2\sqrt{\pi}\,p}\biggr)^{\!\!m}{\biggl(\frac{\bar\mu^2}{p^2}\biggr)}^{\!\!m\varepsilon}.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Некоторые подробности расчетов показаны в приложении. Здесь мы приводим результаты для $\sigma_m(\xi)$, которые можно записать в виде, аналогичном (9): Учитывая два первых порядка $\varepsilon$-разложения, имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sigma_1(0)&=0,\qquad \sigma_2(0)=\pi\biggl[\frac{3\pi^2}{4}-7-\bigl((1-3l_2)\pi^2 +12\bigr)\varepsilon\biggr], \\ \sigma_3(0)&=\pi^{5/2}\biggl[\frac{43\pi^2}{4}-105+\varepsilon\biggl(2(185-105l_2+137\zeta_3)-\frac{\pi^2}{6}(451-171l_2)\biggr)\biggr], \\ \sigma_4(0)&=\pi^2\biggl[\biggl(\frac{43}{6}\pi^2-70\biggr)\frac{1}{\varepsilon}+\bar\sigma_4+\frac{5954}{3}+\frac{173}{18}\pi^2-\frac{513}{10}\pi^4\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{13}
$$
Здесь символом $\bar\sigma_4$ обозначена самая сложная часть:
$$
\begin{equation}
\bar\sigma_4=209l_2^4+5016a_4+4264\operatorname{Cl}_4\biggl(\frac{\pi}{4}\biggr)+\biggl(\frac{533}{3}\mathrm{C}-930l_2\biggr)\pi^2+\frac{2078}{3}\zeta_3,
\end{equation}
\tag{14}
$$
где $l_2=\ln 2$ и $a_4=\operatorname{Li}_4(1/2)$, $\zeta_n=\operatorname{Li}_n(1)$, C – число Каталана, $\operatorname{Li}_n$ – полилогарифмы, $\operatorname{Cl}_4$ – функция Клаузена. С той же точностью для коэффициентов $\tilde\sigma_m(\xi)$ имеем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tilde\sigma_1(\xi)&=-\frac{\pi^{3/2}}{2}\bigl(1-2(1-l_2)\bigr), \\ \tilde\sigma_2(\xi)&=\pi\xi \biggl[1-\frac{\pi^2}{4}-\bigl(4-(1-l_2)\pi^2\bigr)\varepsilon\biggr], \\ \tilde\sigma_3(\xi)&=\pi^{5/2}\biggl[\frac{3\pi^2}{4}-7+\biggl(1-\frac{\pi^2}{8}\biggr)\xi^2+{} \\ &\qquad\qquad +\varepsilon\biggl\{-40-14l_2+\frac{\pi^2}{2}(4+9l_2)+\biggl(2l_2-4+\frac{3\pi^2}{4}(1-l_2)\biggr)\xi^2\biggr\}\biggr], \\ \tilde\sigma_4(\xi)&=\pi^2\biggl[\biggl(70-\frac{43\pi^2}{6}\biggr)\frac{1}{\varepsilon}+\frac{520}{3}-\frac{\pi^2}{9}(881+42l_2)+\frac{129\pi^4}{27}-\frac{548}{3}\zeta_3+{} \\ &\qquad\qquad +\xi\biggl(28-\frac{33\pi^2}{4}+\frac{9\pi^4}{16}\biggr)+\xi^3\biggl(-\frac{4}{3}+\frac{3\pi^2}{4}-\frac{\pi^4}{16}\biggr)\biggr]. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Отметим, что конечные части коэффициентов $\sigma_1(\xi)$ и $\sigma_2(\xi)$ совпадают с соответствующими выражениями в [25]. Итак, мы видим, что
$$
\begin{equation}
\sigma_4(\xi)=\pi^2\biggl(\frac{43}{6}\pi^2-70\biggr)\frac{1-\xi}{\varepsilon}+O(\varepsilon^0),
\end{equation}
\tag{16}
$$
т. е. четырехпетлевые результаты конечны в калибровке Фейнмана. 3.1. Коэффициент $a_m(\xi)$Коэффициенты $a_m(\xi)$ и $\sigma_m(\xi)$ связаны между собой соотношениями
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, a_1=\sigma_1,\qquad a_2=\sigma_2+\sigma_1^2,\qquad a_3=\sigma_3+2\sigma_2\sigma_1+\sigma_1^3, \\ a_4=\sigma_4+2\sigma_3\sigma_1+\sigma_2^2+3\sigma_2\sigma_1^2+\sigma_1^4. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{17}
$$
Поскольку $\sigma_1(\xi)\sim\xi$, мы видим, что $a_i(0)=\sigma_i(0)$ для $i\leqslant 3$ и, таким образом, коэффициенты $a_i(0)$ с $i\leqslant 3$ можно найти из (13). Согласно (17) для $a_4(0)$ имеем
$$
\begin{equation}
a_4(0)=\sigma_4(0)+\pi^2{\biggl(\frac{3\pi^2}{4}-7\biggr)}^{\!2}= \pi^2\biggl[\biggl(\frac{43}{6}\pi^2-70\biggr)\frac{1}{\varepsilon}+ \bar\sigma_4+\frac{6101}{3}-\frac{8}{9}\pi^2-\frac{4059}{80}\pi^4\biggr].
\end{equation}
\tag{18}
$$
С той же точностью для коэффициентов $\tilde a_m(\xi)$ получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tilde a_1(\xi)&=\tilde\sigma_1(\xi)=-\frac{\pi^{3/2}}{2}(1-2(1-l_2)\varepsilon\bigr),\qquad \tilde a_2(\xi)=\pi\xi(1-4\varepsilon), \notag\\ \tilde a_3(\xi)&=\pi^{5/2}\,\varepsilon\biggl(\frac{43\pi^2}{4}-105+2\xi^2\biggr), \\ \tilde a_4(\xi)&=\frac{\pi^{2}}{3}\biggl[\biggl(210-\frac{43\pi^2}{2}\biggr)\frac{1}{\varepsilon}+ 520+\frac{2\pi^2}{3}(32-21l_2)-548\zeta_3+6\xi\biggl(7-\frac{3\pi^2}{4}\biggr)-\xi^3\biggr]. \notag \end{aligned}
\end{equation}
\tag{19}
$$
Заметим, что конечные части коэффициентов $a_1(\xi)$ и $a_2(\xi)$ совпадают с соответствующими результатами в работах [12] (см. также ссылку [14] и обсуждение в ней). Мы видим, что коэффициенты $\tilde a_m(\xi)$ (для $m=2,3,4$) имеют более простой вид, чем соответствующие коэффициенты $\tilde\sigma_m(\xi)$. Более того, как и в случае $\sigma_4(\xi)$, мы также видим, что
$$
\begin{equation}
a_4(\xi)=\sigma_4(\xi)+O(\varepsilon^0)= \pi^2\biggl(\frac{43}{6}\pi^2-70\biggr)\frac{1-\xi}{\varepsilon}+O(\varepsilon^0),
\end{equation}
\tag{20}
$$
т. е. четырехпетлевые результаты конечны в калибровке Фейнмана. 3.2. Выше четырех петельЧто можно сказать о более высоких порядках, используя преобразование ЛФК? Рассмотрим $a_5(\xi)$ и $a_6(\xi)$. Из [14] получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a_5(\xi)&=a_5(\eta)+\frac{45\pi\delta}{2}\varepsilon a_4(\eta)-\frac{15\delta^2}{2}a_3(\eta)-{} \\ &\quad -15\pi\delta^3\varepsilon a_2(\eta)+15\delta^4\varepsilon a_1(\eta)-\frac{3\pi\delta^5}{2}\varepsilon a_0(\eta), \\ a_6(\xi)&=a_6(\eta)+\frac{4\delta}{5\pi\varepsilon}a_5(\eta)-9\delta^2a_4(\eta)+\frac{2\delta^3}{\pi\varepsilon}a_3(\eta)+{} \\ &\quad +3\delta^4a_2(\eta)-\frac{12\delta^5}{5\pi}a_1(\eta)+\frac{\delta^6}{5}a_0(\eta). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{21}
$$
Теперь возьмем в качестве $\eta$-калибровки калибровку Фейнмана (с учетом того, что коэффициент $a_4(1)$ конечен) и рассмотрим $a_5(\xi)$ и $a_6(\xi)$ с точностью $O(\varepsilon)$ и $O(\varepsilon^0)$ соответственно. Получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, a_5(\xi)&=a_5(1)-\frac{15\pi}{2}(\xi-1)^2a_3+O(\varepsilon), \\ a_6(\xi)&=a_6(1)+\frac{4(\xi-1)}{5\sqrt{\pi}\varepsilon}a_5(1)+\frac{2\sqrt{\pi}(\xi-1)^3}{\varepsilon}a_3+O(\varepsilon^0), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{22}
$$
где учтено, что конечная часть коэффициента $a_3$ не зависит от калибровки. Таким образом, мы видим, что преобразование ЛХФ дает некоторую информацию о зависимости от $\xi$ коэффициентов $a_5(\xi)$ и $a_6(\xi)$, но для получения точных результатов необходимо знать их значения в некоторой конкретной калибровке. 4. ЗаключениеВ настоящей работе представлен обзор результатов, полученных недавно в работах [14] и [24]. В [14] ЛКФ-преобразование было применено для безмассового фермионного пропагатора КЭД$_3$ в замороженном приближении. При изучении этого преобразования в размерной регуляризации было обнаружено, что вклады третьего и выше нечетных порядков в четные порядки сопровождаются сингулярностями типа $\varepsilon^{-1}$ в размерной регуляризации. В свою очередь четные порядки дают вклады порядка $\varepsilon$ в нечетные порядки начиная с третьего. Следуя аргументам в пользу пертурбативной конечности безмассовой замороженной КЭД$_{\kern1pt 3}$ [22], [23] и предполагая существование конечного предела при $\varepsilon\to 0$, в [14] было показано, что в размерности $d=3$ все нечетные члены $a_{2m+1}(\xi)$ в теории возмущений, кроме $a_1$, должны быть в точности равны нулю в любой калибровке. Это утверждение нуждалось в проверке, которая была проведена в [24], где были рассчитаны трех- и четырехпетлевые поправки, т. е. члены $a_3(\xi)$ и $a_4(\xi)$, непосредственно в рамках теории возмущений. Было показано, что при $\varepsilon\to 0$ коэффициент $a_3(\xi)$ конечен и не зависит от калибровки. Коэффициент $a_4(\xi)$ имеет сингулярности, что нарушает статус инфракрасной пертурбативной конечности безмассовой замороженной КЭД$_{\kern1pt 3}$. Полученные результаты обладают следующим свойством: в соответствии с преобразованием ЛХФ все слагаемые, зависящие от калибровочного параметра, полностью определяются младшими порядками. Кроме того, в [24] было показано, что сингулярности в коэффициенте $a_4(\xi)$ имеют порядок $1-\xi$, следовательно, $a_4(\xi)$ конечен в калибровке Фейнмана. Причина этого эффекта непонятна, и для ее выяснения необходимы дополнительные исследования. Приложение. Детали вычисленийДля расчета собственной энергии фермиона в КЭД$_{\kern1pt 3}$ вплоть до четырехпетлевого порядка в [24] были использованы результаты для кваркового пропагатора из квантовой хромодинамики. Эти результаты, справедливые для произвольной размерности пространства-времени $d$ и для произвольной калибровки, представляются в виде набора мастер-интегралов (см. [26]), а также заложены в пакет FORCER [27], предназначенный для редукции четырехпетлевых интегралов безмассового пропагатора. Предел КЭД$_{\kern1pt d}$ получается из результатов квантовой хромодинамики с помощью замены
$$
\begin{equation}
C_A=d_A^{abcd}d_A^{abcd}=d_A^{abcd}d_{\mathrm F}^{abcd} =0,\qquad C_{\mathrm F}=d_{\mathrm F}^{abcd}d_{\mathrm F}^{abcd}=T_{\mathrm F}=1.
\end{equation}
\tag{23}
$$
После этого замороженный предел КЭД$_{\kern1pt d}$ получается при $n_{\mathrm f}=0$, что приводит к отбрасыванию всех диаграмм с замкнутыми фермионными петлями. Для вычисления необходимых четырехпетлевых интегралов пропагатора в размерности $d=3-2\varepsilon$ использовался метод, основанный на размерных рекуррентных соотношениях и свойствах аналитичности петлевых интегралов (метод DRA) [28], дающий результаты в виде быстро сходящихся сумм. После выполнения суммирования высокоточные численные значения интегралов в произвольном пространственно-временном измерении могут быть восстановлены с использованием алгоритма PSLQ [29], если задать адекватный базис трансцендентных констант; в результате получаются аналитические ответы. Заметим, что вблизи точки $d=4$ эти вычисления дают разложения всех необходимых мастер-интегралов [30]. Результаты хорошо известны и доступны в форме, в которой они могут быть использованы как входные данные для пакета SummerTime [31], вместе с самим пакетом (см. [32]). Случай $d=3-2\varepsilon$ менее известен и недавно рассматривался в работе [31], в которой можно найти $\varepsilon$-разложение большинства необходимых для наших вычислений мастер-интегралов. В этой работе успешные реконструкции в окрестности $d=3$ были выполнены с использованием трансцендентных констант, состоящих только из кратных дзета-значений (MZV) и чередующихся MZV. Как отмечали авторы работы [31], такой базис слишком ограничен для представления всех мастер-интегралов, поэтому некоторые из них остались нереконструированными. В работе [24] с использованием базиса, состоящего из MZV и чередующихся MZV, были успешно восстановлены все необходимые интегралы, полученные результаты согласуются с результатами работы [30]. Кроме того, после тщательного анализа одного из интегралов была определена еще одна константа, неизвестная в [31], а именно $D_1(p)$:
$$
\begin{equation}
D_1(p)=\int\frac{d^dk_1\,d^dk_2}{(2\pi)^{2d}} \frac{L(k_2)L(p-k_1)}{k_1^{2}(p-k_2)^{2}(k_1-k_2)^{2}},
\end{equation}
\tag{24}
$$
где $L(p)$ – простая петля,
$$
\begin{equation}
L(p)=\int\frac{d^dk}{(2\pi)^d}\frac{1}{k^{2}(p-k)^{2}}.
\end{equation}
\tag{25}
$$
Вычисляя простые петли, имеем
$$
\begin{equation}
D_1=\frac{\pi^3}{(4\pi)^{d}}\,G\biggl(p\kern1pt;1,\frac{1}{2},1,\frac{1}{2},1\biggr)+O(\varepsilon),
\end{equation}
\tag{26}
$$
где
$$
\begin{equation*}
G(p\kern1pt;\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4,\alpha_5)=\int\frac{d^dk_1\,d^dk_2}{(2\pi)^{2d}} \frac{1}{k_1^{2\alpha_1}k_2^{2\alpha_2}(p-k_2)^{2\alpha_3}(p-k_1)^{2\alpha_4}(k_1-k_2)^{2\alpha_5}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Диаграмма $G(p\kern1pt;\alpha,1,\beta,1,1)$ изучалась в работе [25], где она была представлена в виде комбинаций гипергеометрических функций ${}_3F_2$ с аргументом единица1. Андрей Пикельнер, рассматривая представления в случае $\alpha=\beta=1/2$, заметил, что результаты можно выразить через обобщенные полилогарифмы с аргументом, равным корню четвертой степени из единицы. Расширив структуру PSLQ, включив в нее полный набор полилогарифмов с корнем четвертой степени из единицы, он восстановил аналитический результат для $G(p\kern1pt;1,1/2,1,1/2,1)$:
$$
\begin{equation}
G\biggl(p\kern1pt;1,\frac{1}{2},1,\frac{1}{2},1\biggr)=\frac{1}{(4\pi)^d}\frac{8}{3\pi} \biggl(\mathrm C\pi^2+24\operatorname{Cl}_4\biggl(\frac{\pi}{2}\biggr)+O(\varepsilon^1)\biggr)\frac{\mu^{2\varepsilon}}{p^{2(1+2\varepsilon)}}.
\end{equation}
\tag{27}
$$
Здесь $\mathrm C=\operatorname{Cl}_2(\pi/2)$ – постоянная Каталана, а $\operatorname{Cl}_n(\theta)$ – функция Клаузена, которая для четного веса может быть выражена через классические полилогарифмы как $\operatorname{Cl}_{2k}(\theta)=\operatorname{Im}\operatorname{Li}_{2k}(e^{i\theta})$. Как можно понять из приведенного выше результата, требуемое расширение базиса трансцендентных констант включает полилогарифмы с корнем четвертой степени из единицы, в данном случае функцию Клаузена (см., например, работу [34], где полилогарифмы появляются в качестве аргументов со вторым, четвертым и шестым корнями из единицы). Диаграмма $G(p\kern1pt;1,1/2,1,1/2,1)$ полезна при расчетах в рамках эффективных теорий. Кроме того, следуя преобразованиям, обсуждавшимся в работе [33], мы видим, что при $d=3$
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, G\biggl(p\kern1pt;1,\frac{1}{2},1,\frac{1}{2},1\biggr)\bigg|_{p=1}&= G\bigg(p\kern1pt;\frac{1}{2},1,\frac{1}{2},1,\frac{1}{2}\biggr)\bigg|_{p=1}= \\ &=G\biggl(p\kern1pt;1,\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2},1\biggr)\bigg|_{p=1}= G\biggl(p\kern1pt;\frac{1}{2},1,1,1,\frac{1}{2}\biggr)\bigg|_{p=1}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
таким образом, результат (27) применим для нескольких диаграмм. БлагодарностиАвтор благодарит Оргкомитет Международной конференции “Модели в квантовой теории поля” (MQFT-2022) за приглашение. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kot23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|