| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) Вариационная постановка задачи о колебаниях балки с подвижной подпружиненной опорой В. Л. Литвиновab a Самарский государственный технический университет, Самара, Россия b Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 215, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923050094 
Реферативные базы данных:
   1. Введение и постановка задачиСреди всех многочисленных задач динамики упругих систем с точки зрения технических приложений выделяются задачи о колебаниях в системах с подвижными границами: продольно-поперечные колебания канатов грузоподъемных установок [1]–[8], гибких звеньев передас [5], [9]–[12], стержней твердого топлива и балок переменной длины [13]–[16], бурильных колонн [17], железнодорожной контактной сети [18]–[22], ленточных конвейеров [9] и т. д. В математической постановке исследование таких моделей сводится к новым задачам математической физики – к соответствующим уравнениям гиперболического типа с переменными диапазонами изменения обоих аргументов [6]–[8], [23], [24]. До сих пор не существует общего подхода к постановке таких задач, и авторы в каждом конкретном случае адаптируют существующие методы для решения рассматриваемой задачи [1], [9]–[11], [13], [14], [17]–[19]. Отметим также, что методы решения уравнений в изменяющихся геометрических областях качественно отличаются от классических методов математической физики. Другими словами, изучаемый динамический процесс развивается во времени. Задачи о колебаниях систем с подвижными границами решались в основном в линейной постановке и при условии жесткой фиксации границ, когда обмен энергией через границу отсутствует [1], [4], [5] , [9]–[22], [25], [26]. В редких случаях учитывалось влияние демпфирующих сил. Реальные технические объекты гораздо сложнее. К широкому классу задач, связанных с колебаниями объектов с подвижными границами, относятся задачи о колебаниях балки с подвижной опорой. Во всех рассмотренных ранее случаях жесткое закрепление подвижной опоры исключало обмен энергией через нее. При наличии энергообмена возрастает сложность задания условий на движущейся границе. В настоящей работе для постановки задачи предлагается использовать вариационный принцип Гамильтона. В связи с интенсивным развитием численных методов появилась возможность более точного описания таких объектов с учетом большого количества факторов. Принцип стационарности действия для систем с сосредоточенными параметрами формулируется следующим образом [27]: среди всех возможных движений системы истинным является то, для которого
$$
\begin{equation}
\int_{t_0}^{t_1}\delta L\,dt=\int_{t_0}^{t_1}\sum_{i=1}^{N}Q_i\,\delta q_i\,dt.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Здесь $q_i$ – обобщенные координаты системы, число которых равно числу степеней свободы, $Q_i$ – обобщенные силы, $Q_i\,\delta q_i$ – работа силы при виртуальном перемещении, $L$ – функция Лагранжа системы, равная разности ее кинетической и потенциальной энергий. Рассмотрим балку, показанную на рис. 1. На рисунке введены следующие обозначения: $l_0$ – длина балки, $u(x,t)$ – поперечное смещение точки балки с координатой $x$ в момент времени $t$, $E$ – модуль упругости материала балки, $I$ – осевой момент инерции сечения балки, $\rho$ – линейная плотность массы балки, $l(t)$ – закон движения границы, $m$ – масса, присоединенная к подвижной опоре, $k_1$ – жесткость опоры по отношению к поперечному смещению, $k_2$ – жесткость опоры по отношению к угловому смещению, $\lambda$ – коэффициент, учитывающий вязкоупругость. Если учитывать вязкоупругости с помощью модели Фойгта, то имеет место следующее соотношение: где $\sigma(t)$ – напряжения, $\varepsilon(t)$ – деформации.2. Решение задачиДля учета обмена энергией через подвижную границу разделим область колебаний в координатах $x$, $t$ на две части $W_1$, $W_2$ (см. рис. 2). Область $W_1$ соответствует части балки справа от подвижной границы, область $W_2$ – части слева. Окружающие эти области замкнутые контуры обозначены как $\gamma_1$ и $\gamma_2$. Объединение областей $W_1$, $W_2$ обозначено как $W$. Для использования вариационного принципа Гамильтона необходимо получить интеграл действия для кинетической и потенциальной энергий объекта. Найдем составляющие интеграла действия, а также их вариации. Интеграл действия для кинетической энергии балки имеет вид Здесь и далее, если это возможно, мы обозначаем $u(x,t)$ просто как $u$. Найдем вариацию действия $J_{T_1}$: Представим подынтегральную функцию в виде
$$
\begin{equation}
u_t\,\delta u_t=\frac{\partial}{\partial t}(u_t\,\delta u)-u_{tt}\,\delta u.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Используя формулу Грина
$$
\begin{equation*}
\iint_{W}\biggl(\frac{\partial P}{\partial t}-\frac{\partial Q}{\partial x}\biggr)dW=\oint_{\gamma}(P\,dx+Q\,dt)
\end{equation*}
\notag
$$
и учитывая (4), запишем выражение (3) как
$$
\begin{equation}
\delta J_{T_1}=\rho\biggl({-}\iint_{W}u_{tt}\,\delta u\,dW+\oint_{\gamma_1}u_t\,\delta u\,dx+\oint_{\gamma_2}u_t\,\delta u\,dx\biggr).
\end{equation}
\tag{5}
$$
Интеграл действия для кинетической энергии добавленной массы $m$ равен Вариация этого выражения после интегрирования по частям принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \delta J_{T_2}=m\biggl(u_t(l(t_1),t_1)\delta u|_{\substack{x=l(t_1)\\ t=t_1\kern8pt}}&{}-u_t(l(0),0)\delta u|_{\substack{x=l(0)\\ t=0\kern8pt}}-{} \notag\\ & -\int_0^{t_1}\frac{d}{dt}u_t(l(t),t)\delta u|_{x=l(t)}\,dt\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{7}
$$
Полная производная вариации может быть записана как
$$
\begin{equation*}
\frac{d}{dt}u_t(l(t),t)=u_{tx}(l(t),t)l'(t)+u_{tt}(l(t),t).
\end{equation*}
\notag
$$
С учетом (2) изгибающий момент в сечении балки имеет вид $M=I(Eu_{xx}+\lambda u_{xxt})$. Интеграл действия для потенциальной энергии балки определяется выражением Найдем его вариацию: Подынтегральная функция может быть приведена к следующему виду:
$$
\begin{equation}
u_{xx}\,\delta u_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(u_{xx}\,\delta u_x)-\frac{\partial}{\partial x}(u_{xxx}\,\delta u)+u_{xxxx}\,\delta u.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Используя формулу Грина и учитывая выражение (9), получаем для вариации (8)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \delta J_{U_1}=EI\biggl(\,\iint_{W}u_{xxxx}\,\delta u\,dW&{}- \oint_{\gamma_1}u_{xx}\,\delta u_x\,dt- \oint_{\gamma_2}u_{xx}\,\delta u_x\,dt+{} \notag\\ &+\oint_{\gamma_1}u_{xxx}\,\delta u\,dt+\oint_{\gamma_2}u_{xxx}\,\delta u\,dt\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10}
$$
Вариация интеграла действия внутренних вязкоупругих сил имеет вид
$$
\begin{equation*}
\delta J_{U_2}=\lambda I\iint_{W}u_{xxt}^{}\,\delta u_{xx}\,dW.
\end{equation*}
\notag
$$
С помощью аналогичных преобразований получаем
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \delta J_{U_2}=\lambda I\biggl(\,\iint_{W}u_{xxxxt}\,\delta u\,dW&{}- \oint_{\gamma_1}u_{xxt}\,\delta u_x\,dt- \oint_{\gamma_2}u_{xxt}\,\delta u_x\,dt+{} \notag\\ &+\oint_{\gamma_1}u_{xxxt}\,\delta u\,dt+ \oint_{\gamma_2}u_{xxxt}\,\delta u\,dt). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{11}
$$
Потенциальная энергия, связанная с деформацией опоры, имеет вид
$$
\begin{equation*}
U_3=\frac{1}{2}k_1u^2(l(t),t)+\frac{1}{2}k_2u_x^2(l(t),t).
\end{equation*}
\notag
$$
Интеграл действия для этой потенциальной энергии определяется выражением
$$
\begin{equation*}
J_{U_3}=\frac{1}{2}\int_0^{t_1}\bigl(k_1u^2(l(t),t)+k_2u_x^2(l(t),t)\bigr)dt,
\end{equation*}
\notag
$$
а его вариация задается как
$$
\begin{equation}
\delta J_{U_3}=\int_0^{t_1}\bigl(k_1u(l(t),t)\delta u|_{x=l(t)}+k_2u_x(l(t),t)\delta u_x|_{x=l(t)}\bigr)dt.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Применяя вариационный принцип Гамильтона, получаем следующее уравнение:
$$
\begin{equation}
\delta J_{T_1}+\delta J_{T_2}-\delta J_{U_1}-\delta J_{U_2}-\delta J_{U_3}=0.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Прежде чем ставить начальные и граничные условия, запишем естественные соотношения между значениями функции и ее производных слева и справа от подвижной границы:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u(l(t)-0,t)&=u(l(t)+0,t), \\ u_t(l(t)-0,t)&=u_t(l(t)+0,t), \\ u_x(l(t)-0,t)&=u_x(l(t)+0,t). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14}
$$
С учетом этих соотношений уравнение (13) принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, -\iint_{W}&(\rho u_{tt}+EIu_{xxxx}+\lambda Iu_{xxxxt})\delta u\,dW+{} \notag\\ &+\rho\int_0^{l_0}u_t(x,t_1)\delta u|_{t=t_1}\,dx- \rho\int_0^{l_0}u_t(x,0)\delta u|_{t=0}\,dx+{} \notag\\ &{}+mu_t(l(t_1),t_1)\delta u|_{\substack{x=l(t_1)\\ t=t_1\kern8pt}}- mu_t(l(0),0)\delta u|_{\substack{x=l(0)\\ t=0\kern8pt}}+{} \notag\\ &+\int_0^{t_1}\bigl(EIu_{xx}(0,t)+\lambda Iu_{xxt}(0,t)\bigr)\delta u_x|_{x=0}\,dt-{} \notag\\ &-\int_0^{t_1}\bigl(EIu_{xxx}(0,t)+\lambda Iu_{xxxt}(0,t)\bigr)\delta u|_{x=0}\,dt-{} \notag\\ &-\int_0^{t_1}\bigl(EIu_{xx}(l_0,t)+\lambda Iu_{xxt}(l_0,t)\bigr)\delta u_x|_{x=l_0}\,dt+{} \notag\\ &+\int_0^{t_1}\bigl(EIu_{xxx}(l_0,t)+\lambda Iu_{xxxt}(l_0,t)\bigr)\delta u|_{x=l_0}\,dt-{} \notag\\ &-\int_0^{t_1}\biggl(EI\bigl(u_{xxx}(l(t)-0,t)-u_{xxx}(l(t)+0,t)\bigr)+{} \notag\\ &\qquad\qquad +\lambda I\bigl(u_{xxxt}(l(t)-0,t)-u_{xxxt}(l(t)+0,t)\bigr)+{} \notag\\ &\qquad\qquad +m\frac{d}{dt}\bigl(u_t(l(t),t)+k_1u(l(t),t)\bigr)\biggr)\delta u\big|_{x=l(t)}\,dt+{} \notag\\ &+\int_0^{t_1}\biggl(EI\bigl(u_{xx}(l(t)-0,t)-u_{xx}(l(t)+0,t)\bigr)+{} \notag\\ &\qquad\qquad +\lambda I\bigl(u_{xxt}(l(t)-0,t)-u_{xxt}(l(t)+0,t)\bigr)+{} \notag\\ &\qquad\qquad +k_2 u_x(l(t),t)\biggr)\delta u_x|_{x=l(t)}\,dt=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Тождественное равенство нулю возможно, если множители перед вариациями $\delta u$, $\delta u|_{t=t_1}$, $\delta u|_{t=0}$ и т. д. в каждом из слагаемых (15) равны нулю. Также это возможно, если заданы функции $u(x,t_1)$, $u(x,0)$, $u(l(t_1),t_1)$, $u(0,t)$, $u_x(0,t)$, $u(l_0,t)$, $u_x(l_0,t)$, $u(l(t),t)$, $u_x(l(t),t)$. В этом случае их вариации равны нулю. Приравнивая коэффициенты перед $\delta u$ к нулю, получаем дифференциальное уравнение колебаний в областях $W_1$ и $W_2$: Равенства $u_t(x,t_1)\delta u|_{t=t_1}=0$ и $u_t(x,0)\delta u|_{t=0}=0$ выполняются, если $\delta u|_{t=t_1}=\,\delta u|_{t=0}=0$. Функции $u(x,0)$, $u(x,t_1)$ должны быть заданы. Начальные условия для краевых задач гиперболического типа обычно записываются в следующем виде: где $\varphi_1(x)$, $\varphi_2(x)$ – заданные функции. В этом случае $\delta u|_{t=0}=0$. Если решение краевой задачи существует и единственно, то значение $u(x,t_1)$ для любого $t_1$ однозначно определяется дифференциальным уравнением, начальными и граничными условиями. При этом $\delta u|_{t=t_1}=0$.Внеинтегральные члены в (15) равны нулю, если задать начальные условия для сосредоточенной массы: где $a_1$, $a_2$ – начальное смещение и начальная скорость сосредоточенной массы $m$.Равенство нулю выражений с $\delta u|_{x=l_0}$, $\delta u_x|_{x=l_0}$ получается, если задать следующие типы условий на границе:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, u(l_0,t)=\varphi_3(t),\qquad u_x(l_0,t)=\varphi_4(t), \\ \begin{alignedat}{3} u(l_0,t)&=\varphi_3(t),&\qquad &EIu_{xx}(l_0,t)+\lambda Iu_{xxt}(l_0,t)=0, \\ u_x(l_0,t)&=\varphi_4(t),&\qquad &EIu_{xxx}(l_0,t)+\lambda Iu_{xxxt}(l_0,t)=0, \end{alignedat} \\ EIu_{xx}(l_0,t)+\lambda Iu_{xxt}(l_0,t)=0,\qquad EIu_{xxx}(l_0,t)+\lambda Iu_{xxxt}(l_0,t)=0, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{19}
$$
где $\varphi_3(t)$, $\varphi_4(t)$ – заданные функции. Для балки, изображенной на рис. 1, функции $u(l_0,t)$, $u_x(l_0,t)$ не заданы. Граничные условия при $x=l_0$ фиксированы и имеют вид (18). При постановке краевых задач с использованием вариационных принципов такие условия называются естественными [27]. На левом конце балки (при $x=0$) мы ставим условия $u(0,t)=u_x(0,t)=0$. В этом случае интегралы в (15), содержащие $\delta u|_{x=l_0}$, $\delta u_x|_{x=l_0}$, равны нулю. На подвижной границе $u(l(t),t)$, $u_x(l(t),t)$ условия не заданы. Естественные условия на подвижной границе следующие:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, EI\bigl(u_{xx}(l(t)+0,t)&{}-u_{xx}(l(t)-0,t)\bigr)+{} \\ &{}+\lambda I\bigl(u_{xxt}(l(t)+0,t)-u_{xxt}(l(t)-0,t)\bigr)-k_2 u_x(l(t),t)=0, \\ EI(u_{xxx}(l(t)+0,t)&{}-u_{xxx}(l(t)-0,t))-m(u_{xt}(l(t),t)l'(t)+u_{tt}(l(t),t))+{} \\ &{}+\lambda I\bigl(u_{xxxt}(l(t)+0,t)-u_{xxxt}(l(t)-0,t)\bigr)-k_1 u(l(t),t)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
Таким образом, для балки, изображенной на рис. 1, мы получили дифференциальное уравнение (16), начальные условия (17), (18) и граничные условия (19), (20).
3. ЗаключениеВ представленной работе сформулирована новая нелинейная математическая модель поперечных колебаний вязкоупругой балки с подвижной подпружиненной опорой, несущей присоединенную массу. В случае взаимодействия частей объекта слева и справа от подвижной границы с учетом обмена энергией через нее получены граничные условия. Данная математическая модель позволяет описывать высокоинтенсивные колебания систем с подвижными границами. Отметим, что в настоящее время отсутствуют методы аналитического решения поставленной задачи, поэтому решить ее, по-видимому, можно только численными методами. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Lit23} |
|
||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|