| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Представление Дирака группы С. Ч. Тивариab a Department of Physics, Institute of Science, Banaras Hindu University, Varanasi, India b Institute of Natural Philosophy, Varanasi, India
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 2, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923110016 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеСимметрии и константы движения играют важную роль в понимании кинематики и динамики как классических, так и квантовых систем. При описании симметрии динамической системы дополнительную проблему создают вырождения системы. Хорошее обсуждение этого вопроса можно найти в монографиях [1], [2]. Нерелятивистская квантовая теория движения электронов в постоянном магнитном поле, перпендикулярном плоскости, т. е. циклотронное движение, в обширной литературе на эту тему получило название задачи Ландау. При нахождении группы динамической симметрии задачи Ландау возникают сложности, связанные с бесконечным вырождением уровней. Поскольку эта задача в симметричной калибровке приводит к модели двумерного изотропного гармонического осциллятора (ИГО), можно так или иначе ожидать, что большую роль будет играть группа симметрии $SU(2)$. Глава 9 книги Голдстейна [1] представляет собой хорошее изложение теории полуцелого представления группы вращений $SO(3)$ в контексте двумерного ИГО, открытого Яухом и Хиллом [3]. Тщательный анализ, проведенный в работе [4], выявил сложности, связанные с присутствием в гамильтониане задачи Ландау члена углового момента, добавленного к гамильтониану двумерного ИГО. Хотя в отмеченном исследовании фигурирует группа симметрии $SU(2)$, константы движения, связанные с центром орбиты [5], затрудняют задачу. Выбор калибровки и свобода калибровочных преобразований делают физическую интерпретацию симметрии и вырождения в задаче Ландау еще более запутанной. Яух и Хилл в работе [3] отмечали, что в частных случаях вырождение возникает из-за инвариантности гамильтониана относительно группы контактных преобразований, которые приводят к группе динамической симметрии, в отличие от инвариантности относительно точечного преобразования координат, приводящей к геометрической группе – подгруппе группы динамической симметрии. Однако для задачи Ландау природа преобразований, относительно которых гамильтониан задачи инвариантен, и роль бесконечного случайного вырождения, не выяснены окончательно. Систематическое исследование, проведенное в настоящей статье, показывает, что группа динамической симметрии является центральным расширением $ \kern1.8pt\overline{\vphantom{E}\kern6.4pt}\kern-8.0pt E\kern0.2pt (2)$ евклидовой группы $E(2)$, а группа, порождающая спектр, есть $Sp(2, \mathbb{R})$ независимо от выбора калибровки. Первый результат уже неявно присутствует в [4], [5], однако мы получаем его, используя сжатие группы [6] и константы движения, представленные в [5]. Примечательно, что гамильтониан Ландау как в симметричной калибровке, так и в калибровке Ландау сводится к одномерному гамильтониану ИГО, для которого алгебра Гейзенберга может быть пополнена до алгебры группы $SL(2,\mathbb{R})$, изоморфной группе $Sp(2,\mathbb {R})$, порождающей спектр [7]. Еще одна важная нетривиальная проблема связана с вопросом о том, существует ли для задачи Ландау более широкая группа симметрии типа группы динамической неинвариантности или порождающей спектр группы $SO(4,2)$ для атома водорода [8]. Трехмерная задача Кеплера имеет новую векторную константу движения, а именно вектор Лапласа–Рунге–Ленца–Паули [1], и для атома водорода приводит к компактной группе динамической симметрии $SO(4)$ [2]. Кажется удивительным, что группа динамической симметрии для континуума энергетических состояний $E>0$ изоморфна некомпактной группе Лоренца $SO(3,1)$. Группа $SO(4,2)$ имеет динамическую группу симметрии $SO(4)$ как подгруппу для связанных состояний с $E<0$, группу $SO(3,1)$ для $E>0$ и евклидову группу $E(3)$ трехмерного пространства для $E=0$. Группа $SO(4,2)$ для атома водорода впервые появилась в работах Малкина и Манько и независимо в работах Барута и Клейнерта, как заметил Киблер [8]. Поскольку некоторые генераторы группы $SO(4,2)$ не коммутируют с гамильтонианом, ее называют группой динамической неинвариантности. Некоммутирующие генераторы этой группы можно использовать для получения всего спектра при $E<0$, $E>0$, $E=0$, поэтому она и называется группой, порождающей спектр. Физически обоснованное подробное описание роли группы $SO(4,2)$ для атома водорода можно найти в работе [8]. В случае задачи Ландау неочевидно, имеет ли смысл группа динамической неинвариантности; если кто-то утверждает, что такая группа должна существовать, ему придется определить ее природу. Недавно Дерели и его соавторы [9] предложили применить группу $SO(3,2)$ и так называемое замечательное представление Дирака [10] к задаче Ландау. Независимо от задачи Ландау требуют тщательного анализа два важных вопроса, связанных с работой Дирака [10]: значение системы двух осцилляторов и смысл эквивалентности групп $SO(3,2)$ и $Sp(4,\mathbb{R})$, которая была доказана Дираком в конце его статьи. Следует понимать, что представление Дирака не ограничивается системой двух осцилляторов, а система двух осцилляторов не ограничивается двумерным ИГО. Ким исследовал системы гармонических осцилляторов в различных контекстах и отметил, что два осциллятора в представлении Дирака должны быть связаны (см. недавнее обсуждение в работе [11]). Однако недостатком работы [11] является отсутствие физических примеров и концептуальной ясности по этому вопросу; следует отметить, что задача Ландау в этой работе не обсуждалась. Подробное обсуждение и логические аргументы, представленные в настоящей статье, раскрывают новые идеи, касающиеся этого фундаментального вопроса. Оказывается, что в контексте задачи Ландау группа $Sp(4,\mathbb{R})$ и изоморфная ей группа $SO(3,2)$ неприменимы для описания динамической симметрии. В свете этого результата мы делаем некоторые замечания по поводу утверждения авторов работы [9] относительно их мотивации, основанной на двойственности между двумерным атомом водорода и задачей Ландау в сравнении с двумерным ИГО, а также утверждения, что группа $Sp(4,\mathbb{R})$ является группой “естественной симметрии” задачи Ландау. Физические результаты, полученные для системы двух осцилляторов в замечательном представлении Дирака $SO(3,2)$, открывают перспективы для дальнейших исследований по фундаментальным вопросам, связанным с системой двух осцилляторов Дирака и задачей Ландау. Настоящая статья организована следующим образом. В следующем разделе 2 представлен обзор двумерного ИГО, равномерного кругового движения и их взаимосвязи. В разделе 3 мы рассматриваем основные положения задачи Ландау, выделяя моменты, представляющие интерес. Группа динамической симметрии задачи Ландау исследуется в разделе 4. Раздел 5 посвящен новому пониманию представления Дирака и значимости системы двух осцилляторов. Применимость группы $SO(3,2)$ или $Sp(4,\mathbb{R})$ в задаче Ландау рассматривается в разделе 6. Мы также обсуждаем модифицированную модель Ландау–Зеемана, для которой $SO(3,2)$ есть группа симметрии. Выводы представлены в последнем разделе 7. 2. Системы двух осцилляторов и равномерное круговое движениеЦиклотронное движение – это идеальное равномерное круговое движение точечного бесспинового неизлучающего электрона. Если приложено однородное магнитное поле $B\hat z$, движение электрона в плоскости $(x,y)$ представляет собой циклотронное движение, а вдоль оси $z$ мы имеем движение свободной частицы. Из курса элементарной физики известно, что проекция вращающейся точки на диаметр круга совершает простое гармоническое движение. Равномерное круговое движение можно описать как простое гармоническое движение двух одномерных осцилляторов, расположенных под прямым углом и имеющих одинаковую частоту и амплитуду, но отличающихся по фазе на $90^\circ$. При равномерном круговом движении величина тангенциальной скорости постоянна, а радиальная скорость равна нулю, хотя существует ненулевая центростремительная сила, действующая по радиусу внутрь. Таким образом, вполне естественно возникает тесная связь между двумерным ИГО и циклотронным движением. Рассмотрим двумерный ИГО в декартовых координатах. Уравнения движения показывают, что задача сводится к задаче о двух независимых одномерных осцилляторах. Здесь $\omega^2=k/m$ и $k$ – коэффициент упругости. Уравнения (1) имеют простые решения, содержащие четыре постоянные интегрирования, которые определяются из закона сохранения энергии и начальных условий. В полярных координатах $(r,\phi)$ уравнения движения приводят к замечательному выводу: угловой момент $L=mr^2\dot\phi$ сохраняется, уравнение (3) буквально показывает этот результат. Уравнение (2) принимает вид Решая уравнения (1) в декартовых координатах, мы можем найти угловой момент $L=m(x\dot y-y\dot x)$, где $L$ обозначает проекцию $L_z$. Однако в полярных координатах он прямо и явно выводится из уравнений движения. Задача о двумерном ИГО относится к классу задач о движении частицы в поле центральных сил: формально она сводится к одномерной задаче, и с помощью энергетических диаграмм можно получить важные качественные результаты о природе орбит [1].В этой связи стоит упомянуть следствие теоремы Бертрана, согласно которому только для задачи Кеплера и задачи об осцилляторах при $E<0$ и любом значении ненулевого углового момента существуют замкнутые орбиты. Исследование природы орбит показывает, что орбиты задачи Кеплера гиперболические при $E>0$, параболические при $E=0$ и эллиптические при $E<0$. Для двумерного ИГО, если $L$ не равно нулю, при всех физически допустимых энергиях мы имеем эллиптические орбиты. При $L=0$ движение происходит по прямой. С точки зрения классификации орбит в самом деле существует частичное соответствие между задачей Кеплера и задачей об осцилляторах. Интегралы или константы движения дают глубокое понимание симметрий и вырождений динамической системы. Если гамильтониан динамической системы остается инвариантным относительно генераторов инфинитезимальных канонических преобразований, то эти константы движения образуют группу симметрии. Вектор углового момента $\mathbf L$ как генератор вращений в пространстве является константой движения, при этом группа симметрии – это $SO(3)$. Для задачи Кеплера существует дополнительная векторная константа движения, а именно вектор Лапласа–Рунге–Ленца–Паули, обозначаемый как $\mathbf A$. Для двумерного ИГО дополнительной константой является тензор второго ранга $A_{ij}$. Скобки Пуассона для констант движения образуют алгебру Ли определяющей группы симметрии. Для задачи Кеплера группа симметрии есть $SO(4)$ при $E<0$ и $SO(3,1)$ при $E>0$. Для двумерного ИГО ненулевой угловой момент вместе с тензором $A_{ij}$ приводит к тому, что группа симметрии есть $SU(2)$ [1], [3]. Чтобы понять, почему для двумерного ИГО вместо группы $SO(3)$ возникает группа $SU(2)$, рассмотрим его гамильтониан в декартовых координатах:
$$
\begin{equation}
H_{\mathrm o}=\frac{1}{2m}(p_x^2+p_y^2)+\frac{1}{2}m\omega^2(x^2+y^2).
\end{equation}
\tag{5}
$$
Помимо $H_{\mathrm o}$ существуют еще три константы движения
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, F_1&=\frac{1}{2}(xp_y-yp_x), \\ F_2&=\frac{1}{4m\omega}(p_y^2-p_x^2+m^2\omega^2(y^2-x^2)), \\ F_3&=\frac{1}{2 m\omega}(p_xp_y+m^2\omega^2xy). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{6}
$$
Поскольку справедливо равенство только три из четырех констант движения независимы. В работе [3] было замечено, что $F_3$ не имеет очевидного физического смысла. Ключ к физической интерпретации дают характеристики орбиты: эллиптическая орбита определяется тремя независимыми параметрами, а именно большой или малой полуосью, эксцентриситетом и параметром, задающим ориентацию эллипса [1]. Как уже отмечалось, угловой момент является генератором инфинитезимальных вращений. Вычислив скобки Пуассона, можно показать, что $F_i$, $i=1,2,3$, удовлетворяют алгебре Ли В классическом описании группа симметрии $SU(2)$ получается из соотношений (8) и связана с ориентированными орбитами. Макинтош [12] предложил содержательные рассуждения, которые показывают, что $F_3$ порождает инфинитезимальные изменения эксцентриситета, сохраняя неизменной сумму квадратов полуосей эллипса. Почти круговая орбита под действием $F_3$ постоянно изменяется, превращаясь в эллипсы с более высоким эксцентриситетом и, наконец, в прямую. Дальнейшее изменение $F_3$ приводит к обратному переходу в эллиптические орбиты. Вращение на угол $4\pi$ возвращает орбиту к исходной: двузначность или группа симметрии $SU(2)$ обусловлена ориентированными орбитами. Вместо переменных фазового пространства $(x,y,p_x,p_y)$, имеющих физические размерности, удобно ввести безразмерные переменные [9]. В квантовой теории лестничные операторы (операторы повышения и понижения энергии или операторы рождения и уничтожения) делаются безразмерными с помощью постоянной $\hbar$. Мы используем следующие переменные, не имеющие размерности: $p_1=(m\omega)^{-1/2}p_x$, $p_2=(m\omega)^{-1/2}p_y$, $q_1=(m \omega)^{1/2}x$, $q_2=(m\omega)^{1/2}y$. В новых переменных $F_i$ принимают вид
$$
\begin{equation}
F_1=\frac{1}{2}(q_1^{}p_2^{}-q_2^{}p_1^{}),\qquad F_2=-\frac{1}{4}(p_1^2+q_1^2-p_2^2-q_2^2),\qquad F_3=\frac{1}{2}(p_1^{}p_2^{}+q_1^{}q_2^{}).
\end{equation}
\tag{9}
$$
В классической теории энергии для каждого из двух одномерных осцилляторов по отдельности постоянны и задаются диагональными элементами $A_{11}$ и $A_{22}$ тензора $A_{ij}$. Однако из-за разности фаз можно представить, что во время движения между осцилляторами происходит обмен энергией. Это становится более прозрачным, если использовать операторы повышения и понижения энергии из квантовой теории [12], построив комплексную величину Таким образом, учитывая, что существуют только четыре константы движения, которые не имеют явной зависимости от времени и связаны уравнением (7), получаем, что алгебра скобок Пуассона (8) приводит к группе динамической симметрии $SU(2)$ для двумерного ИГО. Круговое циклотронное движение действительно хорошо соответствует двумерному ИГО. Уравнения движения электрона в постоянном магнитном поле имеют вид
$$
\begin{equation}
\ddot x_{\mathrm c}=\omega_{\mathrm c}\dot y_{\mathrm c},\qquad \ddot y_{\mathrm c}=-\omega_{\mathrm c}\dot x_{\mathrm c}.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Здесь $\omega_{\mathrm c}=eB/mc$ есть циклотронная частота. Сила, действующая на электроны, находится из $\frac{e}{c}\mathbf v\times\mathbf B$ при $\mathbf B=B\hat z$. Зависящий от времени поворот координат в уравнениях осциллятора (1),
$$
\begin{equation}
x\to x_{\mathrm c}\cos\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }t-y_{\mathrm c}\sin\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }t,\qquad y\to x_{\mathrm c}\sin\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }t+y_{\mathrm c}\cos\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }t,
\end{equation}
\tag{12}
$$
дает циклотронное движение (11) с ларморовской частотой $2\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }=\omega_{\mathrm c}$. Для доказательства можно использовать комплексное представление $z=x+iy$ и преобразование $z\to z e^{i\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }t}$. Заметим, что преобразование $z\to ze^{-i\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }t}$ приводит к обратному циклотронному движению, соответствующему $\mathbf B=-B\hat z$. Поскольку двумерный ИГО не является связанным осциллятором, стоит рассмотреть смысл общей системы двух осцилляторов. Хотя уравнения (1) двумерного осциллятора описывают пару одномерных осцилляторов, эти осцилляторы не похожи на связанные, как, например, в случае линейной трехатомной молекулы. Простой пример связи осцилляторов получается добавлением члена $\alpha xy$ к гамильтониану $H_{\mathrm o}$, заданному выражением (5). Несколько более сложный связанный ангармонический осциллятор, изучавшийся в литературе, имеет член потенциальной энергии Потенциал физически допустимого связанного осциллятора может содержать зависящий от скорости член. Показательным примером являются нестационарные вращения, рассмотренные в [13], где также рассматривалась инвариантность гамильтониана (5) относительно них. Преобразование $z\to ze^{\pm i\alpha(t)}$ вместе с $\omega\to\omega\pm\dot\alpha$ оставляет неизменным модифицированный гамильтониан Этот гамильтониан системы связанных двумерных осцилляторов напоминает гамильтониан Ландау в симметричной калибровке, которая обсуждается в следующем разделе.Отметим некоторые аспекты квантовой теории двумерного осциллятора. В квантовой механике канонические переменные $(q_i,p_i)$ превращаются в операторы, удовлетворяющие коммутационным соотношениям Гейзенберга. При этом константы движения $F_i$ принимают вид функций от этих операторов, а скобки Пуассона переходят в коммутаторы. Яух и Хилл в работе [3] отмечали важную роль полуинтегральных и интегральных представлений в системе двумерного ИГО, рассматривая матричные элементы оператора $F_2$. Поскольку оператор $F_2$ в (6) есть полуразность энергий двух одномерных осцилляторов, его матричные элементы для квантовых состояний $\Psi_{n_1,n_2}$ двумерного осциллятора равны $n/2-n_1$, где $n_1$, $n_2$ – квантовые числа одномерных осцилляторов и $n=n_1+n_2$. Не зависящее от времени уравнение Шредингера для двумерного ИГО записывается как $H_{\mathrm o}\Psi=E\psi$. Это уравнение можно решить либо в декартовых, либо в полярных координатах, однако природа собственных функций в этих двух случаях заметно различна. В декартовых координатах собственные функции являются произведениями полиномов Эрмита, где $N$ – нормировочная константа. Уровни энергии суть и степень их вырождения равна $n+1$. При решении уравнения Шредингера в полярных координатах зависимость от $\phi$ имеет простой вид $e^{iM\phi}$, $M=0,\pm1,\pm2,\ldots{}\,$. Собственные значения энергии суть и степень их вырождения равна $n+1$, где $n=2n_r+|M|$ и $n_r$ – радиальное квантовое число. Собственные функции записываются через полиномы Лагерра,Принципиальное различие между (15) и (18) заключается в том, что (18) является собственной функцией оператора углового момента,
$$
\begin{equation}
L\Psi_n(r,\phi)=-i\hbar\frac{\partial}{\partial\phi}\Psi_n(r,\phi)=M\hbar\Psi_n(r,\phi),
\end{equation}
\tag{19}
$$
тогда как (15) является собственным состоянием углового момента с нулевым собственным значением только для основного состояния $n=0$. Собственные состояния углового момента можно построить как линейную суперпозицию вырожденных состояний в декартовой системе координат, используя (15). Является ли этот странный факт особенностью квантового описания? Если вспомнить дискуссию о классической интерпретации двумерного ИГО, становится ясно, что эта особенность является проявлением различия систем координат: в уравнении движения (3) в полярных координатах $(r,\phi)$ явно видно сохранение углового момента, чего нет в уравнениях (1) в декартовых координатах. Почти всё, что обсуждается в этом разделе, можно найти частями, разбросанными по учебникам или научной литературе. Цельная картина, объединяющая части вместе, привела к новому пониманию соответствия между двумерным ИГО и равномерным круговым движением, осознанию интригующей роли углового момента и значения группы $SU(2)$ как группы динамической симметрии и в классическом, и в квантовом описании двумерного ИГО. 3. Некоторые аспекты задачи ЛандауОднородное магнитное поле в направлении $z$ можно получить из векторного потенциала в симметричной калибровке или калибровке Ландау Гамильтониан движения электрона в плоскости $(x,y)$ для симметричной калибровки имеет вид
$$
\begin{equation}
H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }=\frac{1}{2m}\biggl(\mathbf p+\frac{e\mathbf A}{c}\biggr)^{\!2}=H_{\mathrm o}+\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }L.
\end{equation}
\tag{22}
$$
Здесь $H_{\mathrm o}$ – гамильтониан двумерного ИГО (5) с заменой $\omega$ на $\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }$. Уравнение Шредингера для задачи Ландау имеет вид $H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }\Psi=E\psi$. Собственные функции и собственные значения задачи Ландау можно найти в учебниках или обзорных статьях. Цель настоящей статьи – разгадать тайну различных характеристик вырождения и симметрии и тем самым выделить различия и сходства задачи Ландау с задачами о двумерном ИГО и двумерном атоме водорода [3]–[5], [9]. 3.1. Собственные значения энергии и квантовые числаГамильтониан $H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }$ отличается от гамильтониана двумерного осциллятора членом, пропорциональным угловому моменту. Поскольку $L$ коммутирует с $H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }$, он является интегралом движения. Собственными функциями оператора $H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }$ являются те, которые одновременно являются собственными функциями операторов $H_{\mathrm o}$ и $L$. Собственные значения энергии представляют собой просто сумму значений (17) и $M\hbar\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }$:
$$
\begin{equation}
E_{n_r,M}=(2n_r+|M|+1+M)\hbar\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }.
\end{equation}
\tag{23}
$$
При отрицательных $M$ собственные значения энергии равны
$$
\begin{equation}
E_{n_r}=\biggl(n_r+\frac{1}{2}\biggr)\hbar\omega_{\mathrm c}.
\end{equation}
\tag{24}
$$
Видно, что задача Ландау имеет бесконечно вырожденный спектр, в отличие от двумерного ИГО, у которого степень вырождения равна $n+1$. Что касается соответствия задачи Ландау задаче о двумерном атоме водорода, то необходимо понимать, что преобразование Леви-Чивиты показывает лишь частичную эквивалентность двумерного атома водорода даже с двумерным ИГО [14]. В случае задачи Ландау собственные значения энергии (24) эквивалентны собственным значениям для одномерного осциллятора, что ставит под сомнение соответствие с двумерным атомом водорода. 3.2. Центр орбиты, вырождение и сопряженные переменныеНовые константы движения $(x_0,y_0)$, интерпретируемые как координаты центра орбиты [5], ведут себя квантовым образом в том смысле, что они коммутируют с $H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }$, но не коммутируют друг с другом,
$$
\begin{equation}
[x_0,y_0]=i\lambda^2,\quad\text{где}\quad\lambda=\biggl(\frac{\hbar c}{eB}\biggr)^{\!1/2}.
\end{equation}
\tag{25}
$$
Бесконечная степень вырождения объясняется тем, что операторы $x_0$ и $y_0$ имеют бесконечно много вещественных собственных значений, а множество собственных функций оператора $H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }$ включает в себя бесконечное многообразие собственных функций операторов $x_0$ и $y_0$. Из того что коммутатор пары $x_0,y_0$ отличен от нуля, следует, что центр орбиты не определен и $\Delta x_0\Delta y_0\geqslant\lambda^2/2$. В работе [5] были вычислены собственные функции оператора $x_0$ и показано, что с учетом того, что собственные значения равны $r_0^2=x^2_0+y^2_0$, собственные значения энергии задачи Ландау соответствуют одномерному осциллятору. Мы предлагаем альтернативную интерпретацию $(x_0,y_0)$ исходя из их определения
$$
\begin{equation}
x_0=\frac{x}{2}-\frac{p_y}{m\omega_{\mathrm c}},\qquad y_0=\frac{y}{2}+\frac{p_x}{m\omega_{\mathrm c}}.
\end{equation}
\tag{26}
$$
Перепишем коммутатор (25) через канонически сопряженные координату и импульс
$$
\begin{equation}
X=\frac{x}{2}+\frac{p_y}{m\omega_{\mathrm c}},\qquad P=p_x-\frac{m\omega_{\mathrm c} y}{2},
\end{equation}
\tag{27}
$$
получим Гамильтониан (22) в переменных $(X,P)$ имеет вид
$$
\begin{equation}
H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }=\frac{P^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega_{\mathrm c}^2 X^2.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Это выражение представляет собой гамильтониан одномерного осциллятора, и задача о двумерном осцилляторе сводится к одномерной задаче с заменой $\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }\to\omega_{\mathrm c}$. Этот результат находится в точном соответствии с результатом, приведенным в [5], а также с выражением для собственного значения энергии (24). Сведе́ние задачи о собственных значениях энергии системы Ландау к аналогичной задаче для одномерного осциллятора не приводит к устранению бесконечного вырождения. Чтобы понять, почему имеет место бесконечное вырождение, заметим, что другая пара переменных
$$
\begin{equation}
X'=\frac{x}{2}-\frac{p_y}{m\omega_{\mathrm c}},\qquad P'=p_x+\frac{m\omega_{\mathrm c} y}{2}
\end{equation}
\tag{30}
$$
также задает канонически сопряженные переменные и коммутирует с $(X, P)$. Однако гамильтониан одномерного осциллятора
$$
\begin{equation}
H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }'=\frac{P^{\prime\,2}}{2m}+\frac{1}{2} m\omega_{\mathrm c}^2X^{\prime\,2}
\end{equation}
\tag{31}
$$
соответствует гамильтониану $H'_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }=H_{\mathrm o}-\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }L$ двумерной задачи Ландау с обращенным направлением орбиты, собственные значения которого равны
$$
\begin{equation}
E'_{n_r,M}=(2n_r+|M|+1 -M)\hbar\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }
\end{equation}
\tag{32}
$$
и сводятся к (24) для положительных $M$. Бесконечное вырождение возникает из-за того, что $(X',P')$ не присутствуют в $H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }$. Заметим, что можно переписать $H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }$ или $H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }'$ в виде квадратичных выражений (29) или (31), не используя сопряженные переменные $(x_0,y_0)$, введенные в [5]. 3.3. Калибровочная инвариантность в задаче ЛандауВ работах [4] и [5] приведены важные замечания о роли калибровочного преобразования и калибровочной инвариантности в задаче Ландау. Магнитное поле имеет вид $\mathbf B=\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf A$, и это означает, что $\mathbf B$ остается неизменным, если $\mathbf A\to\mathbf A+\boldsymbol{\nabla}\chi$. Легко проверить, что симметричная калибровка (20) переходит в калибровку Ландау, если выбрать Гамильтониан (22) в калибровке Ландау задается как
$$
\begin{equation}
H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }=\frac{1}{2m}\biggl(p_y+\frac{eB}{c}x\biggr)^{\!2}+\frac{p_x^2}{2m}.
\end{equation}
\tag{34}
$$
В этом случае $p_y$ коммутирует с $H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }$, и мы можем решить уравнение Шредингера, взяв $\Psi(x,y)=e^{ik_y y}\Psi(x)$. При этом задача сводится к задаче для одномерного осциллятора с гамильтонианом
$$
\begin{equation}
H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }=\frac{p_x^2}{2m}=\frac{1}{2} m\omega_{\mathrm c}^2\biggl(x+\frac{\hbar c}{eB}k_y\biggr)^{\!2}.
\end{equation}
\tag{35}
$$
Формально эквивалентное описание получается, если взять $\chi=-\frac{B}{2}xy$ вместо (33). В обоих случаях имеется трансляционная симметрия в отличие от вращательной симметрии для симметричной калибровки. Во всех трех калибровках собственные значения энергии соответствуют одномерному осциллятору с угловой частотой $\omega_{\mathrm c}$. В работе [4] было показано, что в симметричной калибровке центр орбиты сдвигается при калибровочном преобразовании и вращается при повороте координат и при повороте векторного потенциала. Важный новый физический вывод следует из наблюдения, что формально гамильтониан $H_{\mathrm o}'$, заданный выражением (14), неотличим от гамильтониана Ландау (22) в симметричной калибровке. Таким образом, симметрии и вырождения для двух задач являются общими независимо от вопросов, связанных с калибровочной инвариантностью. Трансляционная симметрия в этом случае соответствует симметрии расположения центра орбиты в плоскости $(x,y)$. Для связанного двумерного осциллятора, описываемого гамильтонианом $H_{\mathrm o}'$, также справедлив формальный переход от $x_0$ в (26) к коммутатору (28). Отличительной особенностью задачи Ландау, где становится важным калибровочное преобразование, является альтернативная возможность описания в калибровке Ландау или альтернативный выбор $\chi=-\frac{B}{2}xy$. 4. Группа симметрии в задаче ЛандауСлучайное вырождение в задаче о двумерном ИГО находит свое объяснение в терминах группы динамической симметрии $SU(2)$. Является ли группа $SU(2)$ также группой симметрии задачи Ландау? Выше мы представили новые идеи, показывающие, что, несмотря на важность двумерного ИГО в контексте циклотронного движения и задачи Ландау, имеются фундаментальные различия, недостаточно отраженные в литературе. Наиболее важным является вопрос о наличии бесконечного вырождения в задаче Ландау независимо от выбора калибровки, в отличие от задачи об осцилляторе, имеющей конечную степень вырождения. Именно по этой причине группа симметрии $SU(2)$ не может объяснить бесконечное вырождение уровней в задаче Ландау. Тем не менее группа $SU(2)$ все-таки возникает при обсуждении задачи Ландау. Становится важным определить границы роли группы $SU(2)$ и установить правильную группу симметрии. Значение трансляционной симметрии при объяснении бесконечного вырождения, а также связь между евклидовой группой $E(2)$ и бесконечным вырождением обсуждались ранее. На возникновение внутренней симметрии, связанной с центром орбиты, и наличие внешней симметрии в плоскости $(x,y)$ относительно положения орбиты было указано в работе [4] вслед за работой [5]. Чтобы исследовать вопрос о динамической группе симметрии, имеет смысл рассмотреть так называемый эффект Зеемана для гармонического осциллятора [4]. Добавим к циклотронному движению гармоническую силу притяжения, это приводит к модифицированному гамильтониану Ландау:
$$
\begin{equation}
H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm Z} }=H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }+\frac{1}{2}m\omega^2 (x^2+y^2),
\end{equation}
\tag{36}
$$
где $\omega$ – угловая частота осциллятора. В классической задаче рассматривается матричное представление гамильтониана (36) как оператора из алгебры скобок Пуассона и вычисляются собственные значения и собственные функции $(u,v)$ этого матричного оператора в базисе пространства координат и импульсов. Константы движения представляют собой произведения собственных функций, сумма собственных значений которых равна нулю: $uu^*$, $vv^*$, $u^{* \scriptscriptstyle{R} }v$, $u^{ \scriptscriptstyle{R} }v^*$. Здесь $R$ задается равенством $R\lambda_1=\lambda_2$ и
$$
\begin{equation}
\lambda_1=(\omega^2+\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }^2)^{1/2}+\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} },\qquad \lambda_2=(\omega^2+\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }^2)^{1/2} -\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }.
\end{equation}
\tag{37}
$$
Построим линейную комбинацию констант движения, чтобы определить величины $(H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm Z} },K,L,D)$, где $H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm Z} }$ – гамильтониан (см. приложение). Алгебра скобок Пуассона говорит о том, что $(K,L,D)$ коммутируют с гамильтонианом и удовлетворяют алгебре Ли для $SU(2)$. К сожалению, обсуждение в работе [4] непреднамеренно создает вводящее в заблуждение впечатление, будто группа симметрии $SU(2)$ важна для задачи о циклотронном движении или задачи Ландау. Два предельных случая для констант движения, соответствующие двумерному осциллятору и чистому циклотронному движению, видимо, делают ситуацию более прозрачной, однако способ представления для общего $H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm Z} }$ неудовлетворителен. Авторы работы [4] не учитывают, что наличие гармонического потенциала в $H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm Z} }$ снимает бесконечное вырождение, а константы движения – это всего лишь константы движения для обобщенного двумерного осциллятора, подобные $(F_1,F_2,F_3)$, определенным в (6). Поэтому естественно ожидать, что $(K,L,D)$ удовлетворяют алгебре Ли для $SU(2)$. Вычислить собственные значения энергии для $H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm Z} }$ несложно, действуя по аналогии с выводом (23):
$$
\begin{equation}
E^{\mathrm Z}_{n_r,M}=(2n_r+|M|+1)\hbar(\omega^2_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }+\omega^2)^{1/2}+M\hbar\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }.
\end{equation}
\tag{38}
$$
В этом выражении разница между частотами, умноженными на $|M|$ и $M$, показывает, что бесконечное вырождение снимается, и, несмотря на наличие в $H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm Z} }$ члена с угловым моментом $\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }L$, группа динамической симметрии должна быть группой для двумерного ИГО, т. е. $SU(2)$. Предельные случаи, рассмотренные в работе [4], также показывают, что $SU(2)$ не является группой симметрии циклотронного движения. В настоящей работе для нахождения группы динамической симметрии задачи Ландау мы используем метод сжатия группы. Хотя в [4] упоминается вигнеровское сжатие группы, оно не используется для получения группы симметрии задачи Ландау. Мотивация нашего подхода понятна. Физическая теория может соответствовать предельному случаю более общей теории, например, релятивистская механика переходит в нерелятивистскую механику Ньютона в пределе бесконечной скорости света. Руководствуясь этой известной редукцией физической теории, Инону и Вигнер [6] ввели идею сжатия группы: группа симметрии, лежащая в основе одной теории, может соответствовать предельному случаю группы симметрии другой теории. В методе Вигнера сжатия групп фактически мы имеем дело со сжатием алгебр Ли этих групп относительно любой из непрерывных подгрупп: образующих алгебры и их коммутационных соотношений. Базисные элементы линейного пространства, определяющего алгебру Ли, можно изменить несингулярным преобразованием, тогда преобразованная алгебра Ли описывает алгебру, изоморфную исходной. Если провести сингулярное преобразование и преобразованные генераторы удовлетворяют соотношениям алгебры Ли, то получается новая группа. Простой пример – сжатие неоднородной группы Лоренца в $(1+1)$-мерном пространстве-времени в неоднородную группу Галилея в одномерном пространстве путем взятия предела $c\to\infty$. Этот пример объясняет метод сжатия и смысл сингулярного преобразования. Оно проводится так, чтобы получить соответствие с представлением сжатой группы [6]. Поскольку преобразование базисных элементов производится последовательно по некоторым параметрам $\epsilon_i\to 0$, сжатие может привести к различным группам в зависимости от последовательности пределов. Преобразование называется сингулярным, если либо все генераторы, зависящие от $\epsilon$, стремятся к нулю так же, как $\epsilon\to 0$, либо некоторые из них стремятся к нулю быстрее, чем $\epsilon\to 0$. Здесь интересен и уместен пример сжатия группы $SU(2)$. Рассмотрим алгебру Ли (8)
$$
\begin{equation}
[F_1,F_2]=F_3,\qquad[F_2,F_3]=F_1,\qquad[F_3,F_1]=F_2.
\end{equation}
\tag{39}
$$
Если $F_i\to F_i^{\mathrm c}=\epsilon F_i$, $i=1,2$, и $F_3\to F_3^{\mathrm c}=F_3$, то в пределе $\epsilon\to 0$ алгеброй сжатой группы является алгебра группы $E(2)$:
$$
\begin{equation}
[F_1^{\mathrm c},F_2^{\mathrm c}]=0,\qquad[F_2^{\mathrm c},F_3^{\mathrm c}]=F_1^{\mathrm c},\qquad[F_3^{\mathrm c}, F_1^{\mathrm c}]=F_2^{\mathrm c}.
\end{equation}
\tag{40}
$$
При $F_i\to F_i^{\mathrm c}=\epsilon F_i$, $i=1,2$, и $F_3\to F_3^{\mathrm c}=\epsilon^2 F_3$, в пределе $\epsilon\to 0$ мы имеем следующую алгебру сжатия:
$$
\begin{equation}
[F_1^{\mathrm c},F_2^{\mathrm c}]=F_3^{\mathrm c},\qquad[F_2^{\mathrm c},F_3^{\mathrm c}]=[F_3^{\mathrm c},F_1^{\mathrm c}]=0.
\end{equation}
\tag{41}
$$
Можно отметить, что коммутаторы Гейзенберга $[x_i,p_j]=i\hbar\delta_{ij}$ определяют алгебру Гейзенберга, которая и является ни чем иным, как алгеброй сжатия (41). С помощью метода сжатия группы можно рассматривать предельные случаи в задаче об эффекте Зеемана, описываемой гамильтонианом $H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm Z} }$. Предельный случай $\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }\to 0$ соответствует тривиальному случаю несингулярного преобразования, приводящего к группе симметрии $SU(2)\to SU(2)$. Второй предельный случай $\omega\to 0$ представляет собой сингулярное преобразование, в котором $R\to 0$. Новая алгебра, в этом предельном случае обсуждавшаяся в [4], которая получается из алгебры Ли для $SU(2)$ в случае гамильтониана $H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm Z} }$, такова:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, {} [(v^*+v),(v^*-v)]=-8i\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} },\qquad i[(uu^*)^{1/2}(v^*-v),uu^*]=0, \\ [uu^*,(uu^*)^{1/2}(v^*+v)]=0, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{42}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u&=\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }m^{1/2}(x+iy)+im^{-1/2}(p_x+ip_y), \\ v&=\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }m^{1/2}(x-iy)+im^{-1/2}(p_x-ip_y). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{43}
$$
В методе сжатия мы полагаем $\epsilon=R^{1/2}$ и проводим преобразование $K\to\epsilon K$, $L\to\epsilon L$, $ D\to\epsilon^2 D$ генераторов группы $SU(2)$. Теперь предел $\epsilon\to 0$ приводит к алгебре Гейзенберга (41). Легко проверить, что по сути константы движения $(v+v^*,v-v^*)$ представляют собой $(x_0,y_0)$, определяемые выражениями (26) и обозначенные как $ (S,Q)$ в [4]. Найти правильные константы движения в задаче, имеющей случайное вырождение, не является тривиальной или легкой задачей [3], дополнительные сложности вносит бесконечное вырождение в задаче Ландау. В симметричной калибровке некоммутирующие константы движения $(x_0,y_0)$ могли бы помочь решению этой задачи, если бы можно было найти еще одну подходящую константу движения. Для построения алгебры Ли группы динамической симметрии хорошим выбором представляется угловой момент. Взяв переменную $y_0$, так что $p=m\omega_{\mathrm c} y_0$ имеет размерность импульса, получаем, что коммутатор (25) принимает вид В безразмерных переменных $x_0\to q_0$, $p\to p_0$ легко вычислить коммутаторы переменных $q_0$, $p_0$ с $L$: Алгебра Ли, определяемая соотношениями (44), (45), является весьма необычной по двум причинам: во-первых, в ней есть величины первого порядка $q_0$, $p_0$ и квадратичная $L$, следовательно, она отличается от алгебры группы $SU(2)$, во-вторых, она имеет алгебру Гейзенберга (44), тем самым отличаясь от алгебры евклидовой группы (40). Фактически алгебра Ли (44), (45) определяет центральное расширение группы $E(2)$, обозначаемое в литературе как $ \kern1.8pt\overline{\vphantom{E}\kern6.4pt}\kern-8.0pt E\kern0.2pt (2)$. Используя метод сжатия группы, мы установили новый результат: алгебра, определяемая генераторами $(H,D,S)$ для циклотронного движения [4], совпадает с алгеброй группы $ \kern1.8pt\overline{\vphantom{E}\kern6.4pt}\kern-8.0pt E\kern0.2pt (2)$.Наиболее примечательной особенностью задачи Ландау является то, что независимо от выбора калибровки ее гамильтониан сводится к гамильтониану одномерного гармонического осциллятора. Можно предугадать, что одномерный осциллятор имеет не зависящую от калибровки группу симметрии. Рассмотрим гамильтониан (29) и алгебру Гейзенберга (28) для переменных $(X,P)$. Алгебра (28) может быть пополнена до “строго квадратичной” алгебры [7]. Задав
$$
\begin{equation}
I_1=\frac{1}{4}(XP+PX),\qquad I_2=\frac{1}{4}(X^2-P^2),\qquad I_3=-\frac{1}{4}(X^2+P^2),
\end{equation}
\tag{46}
$$
мы получаем следующие коммутаторы в предположении $\hbar=1$:
$$
\begin{equation}
[I_1,I_2]=iI_3,\qquad [I_2,I_3]=-iI_1,\qquad [I_3,I_1]=-iI_2.
\end{equation}
\tag{47}
$$
Алгеба (47) – это алгебра Ли группы $SL(2,\mathbb{R})$. Поскольку алгебра Ли непрерывной группы получается из инфинитезимальных преобразований, близких к единичному, изоморфизм алгебр Ли для этих групп влечет только локальную эквивалентность групп. Обозначим алгебры Ли групп $SU(2)$, $SO(3)$, $SL(2,\mathbb{R})$, $Sp(2,\mathbb{R})$ и $SO(2,1)$ как $su(2)$, $so(3)$, $sl(2,\mathbb{R})$, $sp(2,\mathbb{R})$ и $so(2,1)$. Для алгебры Ли, определенной соотношениями (47), имеет место следующий изоморфизм: Алгебра Ли (8) изоморфна $so(3)$, т. е. $su(2)\sim so(3)$, однако соответствующая связь между группами задается как $SO(3)=SU(2)/\mathbb{Z}_2$. Группа $SL(2,\mathbb{R})$ является группой, порождающей спектр; ее генераторы $I_j$, $j=1,2,3$, не коммутируют с гамильтонианом (29). Используя сжатие группы $SU(2)$, мы получаем новый результат: сжатие двумя разными способами приводит к алгебре Гейзенберга, пополнение которой определяет порождающую спектр группу $Sp(2,\mathbb{R})$, изоморфную $SL(2,\mathbb{R})$, и к алгебре группы $E(2)$, центральное расширение которой приводит к группе $ \kern1.8pt\overline{\vphantom{E}\kern6.4pt}\kern-8.0pt E\kern0.2pt (2)$, определяющей динамическую симметрию задачи Ландау. Физически интуитивно ясная картина бесконечного вырождения в задаче Ландау состоит в том, что собственные значения операторов $x_0$ и $y_0$ образуют бесконечность типа континуума в $\mathbb{R}^2$, а собственное значение энергии не зависит от расположения центра орбиты в плоскости $(x,y)$. В калибровке Ландау гамильтониан инвариантен относительно пространственной трансляции вдоль оси $y$, а собственное значение энергии не зависит от импульса вдоль этого направления. Поэтому возникает бесконечное вырождение. Если вспомнить о том, что движение одномерного гармонического осциллятора отображается в равномерное круговое движение, то получается, что выбор иной калибровки, в которой гамильтониан инвариантен относительно трансляции вдоль оси $x$, а собственное значение энергии не зависит от импульса вдоль этого направления, играет дополнительную роль для полного отображения пары одномерных осцилляторов. 5. Представление Дирака группы $SO(3,2)$В физике элементарных частиц подход группы, порождающей спектр, с использованием группы $SO(3,2)$ широко применялся в литературе. В работе [15] обсуждалась универсальная накрывающая группа для $SO(3,2)$ и инварианты, образованные из полиномов от генераторов неприводимых представлений. Важно отметить, что обе группы $SO(4,1)$ и $SO(3,2)$ можно сжать до группы Пуанкаре методом Вигнера [6], однако только для $SO(3,2)$ существуют неприводимые унитарные представления, обладающие положительно определенной или отрицательно определенной энергией. Поскольку группа $SO(3,2)$ некомпактна, квадратичный оператор Казимира и инвариант четвертого порядка [15], связанные с массой и спином частицы соответственно, могут оказаться недостаточными для неприводимых представлений. Используя замечательное представление Дирака [10], а именно четыре генератора $m_{\mu 5}$ из десяти $m_{ab}$, определенных в статье Дирака, можно решить эту проблему. Представление Майораны – это замечательное представление Дирака, в котором собственные значения оператора $m_{\mu 5}$ играют роль дополнительного инварианта, задающего неприводимые представления. В недавней статье [9] было предложено использовать группу $SO(3,2)$ и ее замечательное представление Дирака как динамическую симметрию задачи Ландау. Это предложение представляет интерес и побуждает вернуться к представлению Дирака, чтобы понять фундаментальные вопросы, связанные с симплектической группой $Sp(4,\mathbb{R})$ и системой двух осцилляторов из работы [10]. Это позволяет дать критическую оценку предлагаемому в [9] применению группы $SO(3,2)$ в задаче Ландау. В этом разделе мы обсуждаем фундаментальные вопросы, связанные с представлением Дирака в целом. Группа вращений, относительно которой инвариантна квадратичная форма определяет $SO(3,2)$, т. е. $3+2$ группу де Ситтера (здесь и далее $a,b=1,2,3,4,5$ и $\mu,\nu=1,2,3,4$). Антисимметричные генераторы $m_{ab}=-m_{ba}$ алгебры Ли этой группы удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям: если все индексы $a$, $b$, $c$, $d$ различны, то если $a$, $b$, $c$ различны, то
$$
\begin{equation}
[m_{ab},m_{ac}]=\begin{cases} \phantom{-}m_{bc}, & a=4,5, \\ -m_{bc}, & a=1,2,3. \end{cases}
\end{equation}
\tag{51}
$$
В обозначениях Дирака $im_{ab}$ при всех $a$, $b$ для унитарных представлений имеют вещественные собственные значения. В “новом представлении”, опирающемся на комплексные переменные, Дирак ввел вещественные переменные $(q_1,p_1,q_2,p_2)$, чтобы получить выражения для всех $im'_{ab}$, и заметил, что $[q_i,p_j]=i\delta_{ij}$, $i,j=1,2$, аналогично каноническим коммутационным соотношениям для сопряженных переменных в квантовой механике. Отметим, что напоминает полусумму энергий двух одномерных осцилляторов. Помимо этих наблюдений, в работе Дирака [10] нет упоминания о системе двух осцилляторов. В конце статьи, следуя замечанию Р. Йоста, Дирак рассматривает группу $Sp(4,\mathbb{R})$ и доказывает ее эквивалентность группе $SO(3,2)$. Поскольку симплектическая группа $Sp(4,\mathbb{R})$ является динамической группой для системы двух осцилляторов, заманчиво утверждать, что замечательное представление Дирака связано с этой системой. Однако необходимо тщательно проанализировать, в каком смысле в системе двух осцилляторов возникает группа $Sp(4,\mathbb{R})$. Вкратце доказательство Дирака состоит в следующем. Для удобства переобозначим $p_1$ как $q_3$ и $p_2$ как $q_4$. Симплектические преобразования – это линейные преобразования переменных $q_i$, $i=1,2,3,4$, оставляющие неизменным коммутатор $[q_i,q_j]$. Пусть $\{a_i,b_i\}$ – набор из четырех чисел, таких что $a_iq_i$ и $b_iq_i$ инвариантны. Положим После линейных преобразований коммутатор принимает вид Здесь мы использовали коммутатор $[q_i, q_j]=i\delta_{ij}$. Выражение (54) инвариантно относительно линейных преобразований. Антисимметричные величины (53) удовлетворяют равенству Положив $W_{12}=x_1+x_4$, $W_{34}=x_1-x_4$, $W_{23}=x_2+x_5$, $W_{14}=x_2-x_5$, $W_{31}=x_3+x_6$, $W_{24}=x_3-x_6$, из (55) получаем Линейные преобразования, которые оставляют $x_6$ неизменным, приводят к группе $SO(3,2)$ в силу инвариантности квадратичной формы (56).В классической механике известно, что инвариантность фундаментальных скобок Пуассона относительно канонических преобразований является необходимым и достаточным условием того, что матрица преобразования симплектическая [1]. Группа вещественных матриц $\eta$ размера $n\times n$ определяет скалярное произведение $V^{\mathrm t}\eta W$ векторов $V$ и $W$; здесь $V^{\mathrm t}$ – транспонированный вектор для $V$. Преобразования, относительно которых скалярное произведение инвариантно, определяют симплектическую группу $Sp(2n,\mathbb{R})$, если матрица $\eta$ антисимметрична, $M^{\mathrm t}\eta M=\eta$. Может возникнуть вопрос: существует ли система осцилляторов, в которой как $Sp(4,\mathbb{R})$, так и $SO(3,2)$ могут иметь смысл групп симметрии? Одним из лучших и, возможно, самым первым примером системы двух осцилляторов в замечательном представлении Дирака группы де Ситтера $3+2$ является пример самого́ Дирака [16], [17]. Волновое уравнение с положительной энергией – уравнение Майораны в другом представлении – было получено с помощью шести генераторов $s_{\mu\nu}$, которые являются спиновыми операторами, возникающими в группе Лоренца, и формальных дополнительных величины $s_{\mu 5}$ [16]. Определенные таким образом десять операторов аналогичны генераторам $m_{ab}$ группы $SO(3,2)$ [10]. В данном случае система двух осцилляторов определяет внутренние степени свободы. В статье [17] Дирак искал физическую интерпретацию $s_{\mu 5}$ в терминах пульсирующей сферической оболочки. Это означает, что система двух осцилляторов требует расширенной структуры. Некомпактную симплектическую группу $Sp(2N,\mathbb{R})$, $N\geqslant 1$, можно рассматривать как динамическую группу неинвариантности изотропного осциллятора в пространстве размерности $N$, при этом группой динамической симметрии является максимальная компактная подгруппа $SU(N)$ [8]. Важно отметить, что для ИГО с притягивающим потенциалом только $SU(N)$ выступает в качестве группы динамической симметрии. Поэтому доказательство Дирака, что $Sp(4,\mathbb{R})$ эквивалентна $SO(3,2)$, следует рассматривать в контексте системы двух осцилляторов: необходимы как притягивающий, так и отталкивающий потенциалы. В настоящей статье мы исследуем этот не обсуждавшийся в литературе аспект. Чтобы полностью оценить новизну настоящего подхода, разумно дать краткое описание системы двух осцилляторов из работы [11]. Используя представление для одномерного осциллятора, основанное на лестничных операторах (операторах рождения и уничтожения), мы строим три независимые квадратичные формы, определяющие алгебру Ли $sp(2,\mathbb{R})$ [11]. Известно, что $sp(2,\mathbb{R})$ изоморфна $so(2,1)$. Для системы двух осцилляторов обозначим лестничные операторы как $(a_i,a_i^\unicode{8224})$, $i=1,2$. Построенные из этих операторов шесть квадратичных форм можно записать как элементы блочной матрицы размера $4\times 4$ с блоками размера $2\times2$:
$$
\begin{equation}
M_{\mathrm{osc}}= \begin{bmatrix} \dfrac{a_1^{}a_1^\unicode{8224}+a_1^\unicode{8224} a_1^{}}{2} & a_1^{}a_1^{} & 0 & 0 \\ a_1^\unicode{8224} a_1^\unicode{8224} & \dfrac{a_1^{}a_1^\unicode{8224}+a_1^\unicode{8224} a_1^{}}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \dfrac{a_2^{}a_2^\unicode{8224}+a_2^\unicode{8224} a_2^{}}{2} & a_2^{}a_2^{} \\ 0 & 0 & a_2^\unicode{8224} a_2^\unicode{8224} & \dfrac{a_2^{}a_2^\unicode{8224}+a_2^\unicode{8224} a_2^{}}{2} \end{bmatrix}.
\end{equation}
\tag{57}
$$
Добавив ненулевые внедиагональные блоки, получаем десять генераторов. Утверждается, что они удовлетворяют алгебре Ли группы Дирака $SO(3,2)$. С другой стороны, шесть ненулевых генераторов в $M_{\mathrm{osc}}$ определяют алгебру Ли $sp(2,\mathbb{R})\otimes sp(2,\mathbb{R})$ для двух независимых одномерных осцилляторов. При рассмотрении связанного осциллятора недиагональная матрица связывает осцилляторы, сохраняя объем четырехмерного фазового пространства инвариантным. Дополнительные три генератора необходимы, чтобы получить замкнутую алгебру Ли для всех десяти генераторов группы $Sp(4,\mathbb{R})$. В работе [11] утверждалась эквивалентность групп $Sp(4,\mathbb{R})$ и $SO(3,2)$. Однако природа системы связанных осцилляторов и доказательство эквивалентности алгебр $sp(4,R)\sim so(3,2)$ остаются несколько неясными. Определенная Дираком алгебра Ли группы $SO(3,2)$, т. е. заданная соотношениями (50), (51), имеет интересную структуру подалгебр. В работе [18] было рассмотрено матричное представление группы $SO(3,2)$ и построены линейные комбинации десяти образующих, это позволило показать, что три из четырех подалгебр изоморфны алгебре $so(2,1)$, а четвертая подалгебра изоморфна $so(3)\sim su(2)$. В настоящей работе мы используем генераторы Дирака $m_{ab}$ и находим явные примеры подалгебры $so(2,1)$,
$$
\begin{equation}
[m_{35},m_{34}]=m_{45},\qquad [m_{45},m_{35}]=-m_{34},\qquad [m_{34},m_{45}]=-m_{35},
\end{equation}
\tag{58}
$$
и алгебры $so(3)$,
$$
\begin{equation}
[m_{12},m_{13} ]=m_{32},\qquad [m_{32},m_{12} ]=m_{13},\qquad [m_{13},m_{32} ]=m_{12}.
\end{equation}
\tag{59}
$$
Можно проверить, что для другого набора образующих $(m_{42},m_{45},m_{25})$ также имеется подалгебра $so(2,1)$. Наблюдение Дирака относительно генератора $im_{45}'$, заданного в (52), который построен из канонических переменных $(q_1,p_1,q_2,p_2)$, связывает его с гамильтонианом двух одномерных осцилляторов, умноженным на 1/2. Обобщение предложенной Дираком аналогии c системой двух осцилляторов приводит к двумерному осциллятору с отталкивающим потенциалом в замечательном представлении Дирака для группы $SO(3,2)$. Положим
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, im_{31}'=-\frac{1}{2}(q_1^{}q_2^{}+p_1^{}p_2^{})\to-F_3^{},\qquad im_{12}'=\frac{1}{2}(q_1^{}p_2^{}-q_2^{}p_1^{})\to F_1^{}, \\ im_{23}'=\frac{1}{4}(q_1^2+p^2_1-p_2^2-q_2^2)\to-F_2^{} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{60}
$$
и проверим, что эти генераторы образуют алгебру $su(2)$ (8) в силу (59). Эта подалгебра задает группу динамической симметрии $SU(2)$ двумерного ИГО. Интересно, что одна из подалгебр so(3,2) также задает двумерный гармонический осциллятор с отталкивающим потенциалом. Его гамильтониан имеет вид
$$
\begin{equation}
H_{\mathrm{or}}=\frac{1}{2m}(p_x^2+p_y^2)-\frac{1}{2}m\omega^2(x^2+y^2)
\end{equation}
\tag{61}
$$
или, в терминах нормированных переменных,
$$
\begin{equation}
H_{\mathrm{or}}=\frac{1}{2}(p_1^2+p_2^2-q_1^2-q_2^2).
\end{equation}
\tag{62}
$$
Один из десяти генераторов $im_{35}'$ алгебры $so(3,2)$ есть Немедленно получаем, что $2im'_{53}\to H_{\mathrm{or}}$. Рассмотрим генератор С использованием выражений (64) для гейзенберговских коммутаторов его можно переписать в виде Подалгебра с генераторами $m'_{53}$, $m_{45}'$, $m_{34}'$ задается как
$$
\begin{equation}
[m'_{53},m_{45}']=-m_{34}',\qquad [m'_{45},m_{34}']=-m_{53}',\qquad [m'_{34}, m_{53}']=m_{45}'.
\end{equation}
\tag{66}
$$
Отождествив эти генераторы с $H_{\mathrm{or}}$, $H_{\mathrm o}$, $K$ соответственно, мы находим, что подалгебра $sp(2,\mathbb{R})$ задает двумерный осциллятор с отталкивающим потенциалом. Важно отметить, что гамильтонианы $H_{\mathrm o}$ и $H_{\mathrm{or}}$ коммутируют с генераторами $m_{12}$, $m_{13}$, $m_{23}$ и $m_{12}$, $m_{14}$, $m_{24}$ соответственно. Таким образом, в группе $SO(3,2)$ естественным образом возникают двумерная группа $SU(2)$ динамической симметрии ИГО и группа динамической симметрии $Sp(2,\mathbb{R})$ двумерного осциллятора с отталкивающим потенциалом. Остальные генераторы задают группу динамической неинвариантности двумерного ИГО. Ясно, что подалгебра $SU(2)$, образованная подмножеством генераторов группы $SO(3,2)$ в представлении Дирака, соответствует двумерному ИГО, а двумерный осциллятор – это не просто двумерный ИГО: для реализации представления Дирака необходим отталкивающий потенциал.
6. Задача Ландау–Зеемана и группа $SO(3,2)$Рассмотренная нами концепция замечательного представления Дирака группы $SO(3,2)$ [10] дает возможность по-новому взглянуть на вопрос о его применимости к задаче Ландау. Поскольку соответствующими группами симметрии задачи Ландау являются $ \kern1.8pt\overline{\vphantom{E}\kern6.4pt}\kern-8.0pt E\kern0.2pt ^2$ и $Sp(2,\mathbb{R})$ (см. раздел 4), группа $SO(3,2)$ или ее сжатия не имеют отношения к задаче Ландау. Как понимать утверждение авторов работы [9], противоречащее этому логическому выводу? В этом контексте становится необходимым тщательное исследование некоторых важных вопросов, включая отмеченные в работе [9]: двойственность между двумерным атомом водорода и задачей Ландау, а также утверждение о том, что группа $Sp(4,\mathbb{R})$ – это естественная симметрия задачи Ландау. Мы проведем это исследование в п. 6.1. Возникает логичный вопрос: существует ли какая-то обобщенная задача Ландау относительно пары одномерных осцилляторов с отталкивающим потенциалом, для которой применима группа симметрии $Sp(4,\mathbb{R})$. В п. 6.2 мы предлагаем математическую систему, описываемую модифицированным гамильтонианом $H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm Z} }^{\mathrm R}$, в котором притягивающий потенциал заменен на отталкивающий, т. е. модифицированную задачу Ландау–Зеемана. 6.1. О “замечательной динамической симметрии задачи Ландау”Для атома водорода в двумерных системах случайное вырождение уровней объясняется группой динамической симметрии $SO(3)$, а для ИГО – группой $SU(2)$ [3]. С помощью преобразования Леви-Чивиты устанавливается двойственность между двумерным атомом водорода и двумерным ИГО. Однако тщательное исследование генераторов групп симметрии в этих двух случаях показывает, что эквивалентность лишь частичная [14]. Поскольку $SU(2)$ – накрывающая группа для $SO(3)$, эта частичная эквивалентность уже неявно присутствует в рассуждениях работы [3]. Выше мы показали, что задача Ландау заведомо отличается от задачи о двумерном ИГО, поэтому даже частичное соответствие между двумерными атомом водорода и ИГО не играет большой роли при анализе динамической симметрии задачи Ландау. Важно понимать, что отталкивающий кулоновский потенциал в двумерном атоме водорода, дающий состояния рассеяния для энергетического континуума, приводит к группе динамической симметрии $SO(2,1)$ [3]. Таким образом, двойственность между двумерными атомом водорода и ИГО не работает в задаче Ландау вследствие отсутствия отталкивающего потенциала в двумерном аналоге ИГО из работы [9]. Разберем основные аргументы авторов работы [9]: 1) отождествление генераторов $m_{ab}$ из [10] и полиномов от операторов рождения и уничтожения $(a^\pm. b^\pm)$; 2) представление двукомпонентных вейлевских спиноров через эти операторы; 3) использование в качестве технических инструментов условия Майораны, преобразования Кустаанхеймо–Штифеля с ограничением, а также йордановой алгебры; условие Майораны применяется для получения спинора Майораны из спинора Дирака, а преобразование Кустаанхеймо–Штифеля приводит к соответствию между трехмерным атомом водорода и четырехмерным ИГО [8]. Что касается пунктов 1 и 2, то следует понимать, что уже сам Дирак получил уравнение Майораны [16], [17] в своем замечательном представлении группы $SO(3,2)$ [10]. При нулевой массе из уравнения Майораны получаются волновые уравнения для вещественных спиноров Вейля. Поэтому большинство результатов работы [9] следуют из предположений авторов, уже содержащихся в [16], [17]. Важнейшим вопросом является их связь с симметрией задачи Ландау. По-видимому, сомнительное предположение содержится в пункте 1. В свете нашего детального обсуждения системы двух осцилляторов Дирака построение генераторов Дирака $m_{ab}$ из операторов энергии и магнитного сдвига $a^\pm$, $b^\pm$ является не более чем формальным артефактом. В работе [11] было справедливо замечено, что для пары операторов $(a^\pm,b^\pm)$ существуют только шесть естественных генераторов, а четыре дополнительных генератора, которые приводят к десяти генераторам Дирака, требуются для связи двух осцилляторов. Из соотношений (10) и (12) в [9] природа связи, если таковая имеется, не определяется и не очевидна. С другой стороны, в разделе 4 мы показали, что задача Ландау сводится к задаче об одномерном осцилляторе независимо от выбора калибровки, поэтому заявленная замечательная динамическая симметрия для задачи Ландау не работает. Обычно симплектической группой для $N$-мерного ИГО считают $Sp(2N,\mathbb{R})$. Важно отметить, что эта группа является группой динамической неинвариантности обобщенной связанной системы $N$ одномерных осцилляторов. Пример четырехмерного ИГО, рассмотренный в [8], иллюстрирует это положение: группа $Sp(8,\mathbb{R})$ обеспечивает динамическую симметрию всего энергетического спектра для пары двумерных ИГО с притягивающим потенциалом, когда спектр лежит в области $E<0$; для пары двумерных ИГО с отталкивающим потенциалом, когда спектр лежит в области $E>0$; для пары двумерных свободных частиц при $E=0$. В случае двумерного ИГО с обычным притягивающим потенциалом симплектическая группа $Sp(4,\mathbb{R})$ реализуется не полностью. Система двух осцилляторов Дирака представляет собой обобщенную связанную пару одномерных осцилляторов, для которой можно предполагать $Sp(4,\mathbb{R})$ как симплектическую группу. В предыдущем разделе мы показали, что ИГО с отталкивающим потенциалом в гамильтониане (61) обладает алгеброй Ли $sp(2,\mathbb{R})\sim so(2,1)$, и вместе с двумерным ИГО реализуется полная $Sp(4,\mathbb{R})$-симметрия. Поскольку $Sp(4,\mathbb{R})$ является накрывающей группой для $SO(3,2)$, представление Дирака группы $SO(3,2)$ также становится актуальным для этого случая. Очевидно, что для задачи Ландау, рассмотренной в [9], а также для простого двумерного ИГО группы $Sp(4,\mathbb{R})$ и $SO(3,2)$ неприменимы. 6.2. Модифицированная задача Ландау–ЗееманаВ разделе 4 было показано, что, если использовать метод сжатия группы, задача Ландау–Зеемана [4] приводит к важному результату: группы симметрии задачи Ландау суть $ \kern1.8pt\overline{\vphantom{E}\kern6.4pt}\kern-8.0pt E\kern0.2pt ^2$ и $Sp(2,\mathbb{R})$, а группы $Sp(4,\mathbb{R})$ и $SO(3,2)$ не нужны для задачи Ландау. Мы предлагаем модифицированную модель Ландау–Зеемана, в которой может быть реализована группа $Sp(4,\mathbb{R})$, эквивалентная группе $SO(3,2)$. Рассмотрим следующий гамильтониан:
$$
\begin{equation}
H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm Z} }^{\mathrm R}=H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }^{}-\frac{1}{2}m\omega^2(x^2+y^2).
\end{equation}
\tag{67}
$$
Используя скобки Пуассона$[H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm Z} }^{\mathrm R},q_i]=a_{ij}q_j$, где $q_i=x,p_x,y,p_y$ для $i=1,2,3,4$, мы получаем матричное представление гамильтониана
$$
\begin{equation}
H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm Z} }^{\mathrm R}= \begin{bmatrix} \phantom{-}0 & \phantom{-}\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} } & m(\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }^2 -\omega^2) & 0 \\ -\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} } & \phantom{-}0 & 0 & m(\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }^2 -\omega^2) \\ -\dfrac{1}{m} & \phantom{-}0 & 0 &\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} } \\ \phantom{-}0 & -\dfrac{1}{m} & -\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} } & 0 \end{bmatrix}.
\end{equation}
\tag{68}
$$
Отсюда находим собственные значения гамильтониана
$$
\begin{equation}
\pm i[(\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }^2-\omega^2)^{1/2}+\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }]; \pm i[(\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }^2-\omega^2)^{1/2}-\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }].
\end{equation}
\tag{69}
$$
Имеют место три вида спектров (69). Случай 1: если ларморовская частота больше $\omega$, то модифицированная задача Ландау–Зеемана эквивалентна обсуждаемой в работе [4], а генераторы, определенные в приложении, задают группу симметрии как $SU (2)$. Случай 2: Если $\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }=\omega$, то четыре собственных значения вырождаются в два $E_{\mathrm{osc}}=\pm i\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }$; в этом случае собственные значения и собственные функции соответствуют двумерному ИГО, а группа симметрии есть $SU(2)$. Случай 3: в пределе $\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }\to 0$ мы имеем вырожденные собственные значения $E_{\mathrm{osc}}^{\mathrm R}=\pm\omega$; в отличие от двумерного ИГО, полученного в разделе 4 для гамильтониана Ландау–Зеемана в этом пределе, здесь мы получаем двумерный ИГО с отталкивающим потенциалом и группой симметрии $Sp(2,\mathbb {R})\sim SO(2,1)$. Таким образом, для типичного модифицированного гамильтониана Ландау–Зеемана $H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm Z} }^{\mathrm R}$, предложенного в настоящей работе, в случаях 1 и 2 соответствующая группа симметрии – это $Sp(4,\mathbb{R})$. В силу утверждения Дирака об эквивалентности $SO(3,2)$ и $Sp(4,\mathbb{R})$ [10] для этой задачи становится естественным замечательное представление группы $SO(3,2)$. Можно ли физически реализовать предложенную математическую модель? Для ответа на этот вопрос сделаем осторожное и умозрительное предложение. Квантовая природа циклотронной орбиты подразумевает, что координаты центра орбиты некоммутативны, а размер орбиты имеет квантовое ограничение [5]. Рассмотрим физические условия, при которых структуру уровня Ландау и циклотронной орбиты можно рассматривать как совокупность электрона и магнитного поля, подобную составным частицам, постулируемым для объяснения дробного квантового эффекта Холла [19]. Если мысленно представить себе такие условия, то можно предположить, что группа $SO(3,2)$ и представление Дирака [10] становятся важными в свете предыдущего обсуждения модифицированной задачи Ландау–Зеемана. Сильные магнитные поля и многоэлектронные системы с кулоновским электростатическим отталкиванием также могут подсказать, как реализовать два одномерных осциллятора с отталкивающим потенциалом для завершения картины с группой $Sp(4,\mathbb{R})$. 7. ЗаключениеМы подробно обсудили классические и квантовые аспекты соответствия между двумерным ИГО, двумерной задачей Кулона и задачей Ландау. В результате мы получили новые результаты о системе двух осцилляторов в замечательном представлении Дирака для группы $SO(3,2)$. С помощью вигнеровского сжатия группы мы показали, что группа динамической симметрии задачи Ландау является центральным расширением евклидовой группы $ \kern1.8pt\overline{\vphantom{E}\kern6.4pt}\kern-8.0pt E\kern0.2pt (2)$, а группа $Sp(2,\mathbb{R})$ не зависит от выбора калибровки, при этом утверждение о том, что динамическая группа симметрии задачи Ландау есть $SO(3,2)$, неверно. Мы предложили модифицированную модель Ландау–Зеемана, в которой можно реализовать группу симметрии $SO(3,2)$. ПриложениеВ работе [4] для гамильтониана в матричном представлении (36) были вычислены собственные значения и собственные векторы, выражающиеся в терминах набора мономов $(x,y,p_x,p_y)$. Собственные векторы имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, u&=[(\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }^2+\omega^2)m]^{1/2}(x+iy)+im^{-1/2}(p_x+ip_y), \\ v&=[(\omega_{ \scriptscriptstyle{\mathrm L} }^2+\omega^2) m]^{1/2}(x-iy)+im^{-1/2}(p_x-ip_y). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{70}
$$
Линейные комбинации произведений этих величин дают константы движения
$$
\begin{equation}
K=\frac{u^{ \scriptscriptstyle{R} }v^*+u^{* \scriptscriptstyle{R} }v}{\sqrt{R}(u u^*)^{(R-1)/2}},\qquad L=i\frac{u^{ \scriptscriptstyle{R} }v^*-u^{* \scriptscriptstyle{R} }v}{\sqrt{R}(uu^*)^{(R-1)/2}},\qquad D=\frac{uu^*-Rvv^*}{R}.
\end{equation}
\tag{71}
$$
Константы движения вместе с гамильтонианом $H_{ \scriptscriptstyle{\mathrm Z} }$ удовлетворяют алгебре Ли $SU(2)$. В предельном случае $\omega\to 0$ выражения (43) можно получить из общих выражений (70). Константы движения в работе [4] были обозначены как
$$
\begin{equation}
S=\frac{m^{1/2}}{4i}(v-v^*),\qquad Q=\frac{m^{1/2}}{4}(v+v^*).
\end{equation}
\tag{72}
$$
В настоящей статье $(S,Q)$ соответствуют величинам (26). БлагодарностиАвтор выражает свою благодарность рецензенту за конструктивные предложения. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tiw23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|