| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях) Обобщенное соотношение Крютера и V-схема: аналитические результаты в КХД и КЭД в четвертом порядке теории возмущений А. Л. Катаевa, В. С. Молокоедовabc a Институт ядерных исследований РАН, Москва, Россия b Научно-исследовательский вычислительный центр, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия c Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), Долгопрудный, Московская обл., Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923100045 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеКак известно, энергия связи системы кварк-антикварк в синглетном по цвету состоянии в КХД может быть описана двумя слагаемыми – доминирующим на малых расстояниях пертурбативным кулоновским вкладом и моделирующим описание конфайнмента на больших расстояниях непертурбативным членом. Возможные свойства конфайнмента изучаются, например, с помощью расчетов на решетке, указывающих на линейную зависимость непертурбативной части статического потенциала от расстояния (см. [1]–[3] и ссылки в этих работах). В свою очередь, неабелев аналог кулоновского потенциала КЭД вычисляется в рамках теории возмущений (ТВ). Он является одним из основных компонентов исследования спектроскопии тяжелых кваркониев в рамках нерелятивистской КХД [4], [5]. Статический потенциал взаимодействия тяжелой кварк-антикварковой пары в общем случае определяется через вакуумное среднее упорядоченной вдоль пути интегрирования по замкнутому прямоугольному контуру петли Вильсона в пределе, когда время взаимодействия $T$ стремится к бесконечности. Пертурбативная часть этого потенциала известна в аналитическом виде в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме перенормировок на трехпетлевом уровне. Запишем ее в импульсном представлении:
$$
\begin{equation}
V(\vec q^{\,2})=-\frac{4\pi C_F\alpha_s(\vec q^{\,2})}{\vec q^{\,2}} \biggl[1+a_1a_s(\vec q^{\,2})+a_2a^2_s(\vec q^{\,2}) +\biggl(a_3+\frac{\pi^2 C^3_AL}{8}\biggr)a^3_s(\vec q^{\,2})+\mathcal O(a^4_s)\biggr],
\end{equation}
\tag{1}
$$
где $\alpha_s$ – перенормированная константа связи сильного взаимодействия в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме, $a_s=\alpha_s/\pi$, $L=\ln(\mu^2/\vec q^{\,2})$, $\mu^2$ – масштабный параметр размерной регуляризации, $\vec q^{\;2}$ – квадрат трехмерного евклидова импульса. При этом предел $T\to\infty$ формально приводит к тому, что $q_0\to 0$, и квадрат переданного четырехмерного евклидова импульса $Q^2$ стремится к $\vec q^{\,2}$. Таким образом, технически осуществляется переход из евклидова четырехмерного пространства в его трехмерное подпространство. Неконтролируемый ренормгруппой (РГ) логарифмический член [4] в уравнении (1) возникает за счет инфракрасных (ИК) расходимостей, которые начинают проявляться в статическом потенциале на трехпетлевом уровне. При этом в конкретных приложениях эффективной нерелятивистской КХД эти ИК-расходящиеся поправки компенсируются определенными ультрафиолетово (УФ) расходящимися членами, которые возникают в результате взаимодействия ультрамягких глюонов с тяжелыми кварк-антикварковыми связанными состояниями (см., например, [5], [6]). Поэтому в дальнейшем мы не будем принимать их во внимание. Аналитическое выражение для однопетлевого коэффициента $a_1$ в уравнении (1) было получено в работах [7], [8], в то время как двухпетлевой коэффициент $a_2$ был вычислен в работах [9], [10]. Они имеют следующий вид:
$$
\begin{equation}
a_2={} \biggl(\frac{4343}{2592}+\frac{\pi^2}{4}-\frac{\pi^4}{64} +\frac{11}{24}\zeta_3\biggr)C_A^2 -\biggl(\frac{899}{648}+\frac{7}{6}\zeta_3\biggr)C_AT_Fn_f-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
-\biggl(\frac{55}{48}-\zeta_3\biggr)C_FT_Fn_f +\biggl(\frac{5}{9}T_Fn_f\biggr)^2,
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $n_f$ – число ароматов активных кварков, а $\zeta_n=\sum_{k=1}^\infty k^{-n}$ – дзета-функция Римана. Собственные значения $C_F$ и $C_A$ квадратичного оператора Казимира в фундаментальном и присоединенном представлении общей простой калибровочной группы определяются следующим образом: $(T^aT^a)_{ij}=C_F\delta_{ij}$ и $f^{acd}f^{bcd}=C_A\delta^{ab}$, где $T^a$ – генераторы алгебры Ли рассматриваемой калибровочной группы в фундаментальном представлении с коммутационными соотношениями вида $[T^a,T^b]=if^{abc}T^c$. Они нормированы условием $\operatorname{Tr}(T^aT^b)=T_F\delta^{ab}$, где $T_F$ – индекс Дынкина. Отметим, что в данной работе мы прежде всего интересуемся случаем группы $SU(N_c)$ с $C_A=N_c$ цветами, для которой $C_F=(N^2_c-1)/(2N_c)$, $T_F=1/2$. Ее частный случай с $N_c=3$ применяется для описания физически мотивированной КХД. Трехпетлевой вклад $a_3$ является полиномом третьей степени по $n_f$:
$$
\begin{equation}
a_3=a^{(3)}_3n^3_f+a^{(2)}_3n^2_f+a^{(1)}_3n_f+a^{(0)}_3.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Лидирующие по степеням $n_f$ члены могут быть извлечены из вкладов ренормалонной цепочки в кулоновский статический потенциал КЭД (или из выражения для инвариантного заряда КЭД, непосредственно связанного с поляризационной функцией фотона [11]). Аналитический вид квадратичного коэффициента при $n^2_f$ был получен в работе [12]. Вклады $a^{(1)}_3$ и $a^{(0)}_3$ были вычислены позднее в работе [13]. Их вид оказался намного более сложным, нежели выражение для коэффициента $a^{(2)}_3$. В самом деле, в дополнение к ожидаемому появлению слагаемых $\pi^2$, $\pi^4$, $\zeta_3$, $\pi^2\zeta_3$ и $\zeta_5$ (см., например, [14]) возникают также члены, пропорциональные $\pi^2\ln 2$, $\pi^4\ln 2$ и, что более существенно, базисные константы новых высших трансцендентностей веса 6, а именно $\pi^6$, $\zeta^2_3$, $\pi^2\zeta_3\ln 2$, $\pi^4\ln^2 2$ и $\pi^2\alpha_4$, $s_6$ [13], где $\alpha_4=\mathrm{Li}_4(1/2)+\ln^42/4!$ с полилогарифмической функцией $\mathrm{Li}_n(x)=\sum_{k=1}^\infty x^kk^{-n}$ и $s_6=\zeta_6+\zeta_{-5,-1}$ с $\zeta_6=\pi^6/945$ и кратной дзета-функцией $\zeta_{-5,-1}=\sum_{k=1}^\infty\sum_{i=1}^{k-1}(-1)^{i+k}/ik^5$ (см. приложение А). Для удобства читателей и в целях дальнейшего обсуждения полезно представить все четыре коэффициента в разложении (4) по степеням числа ароматов кварков:
$$
\begin{equation}
a^{(2)}_3={} \biggl(\frac{12541}{15552}+\frac{23}{12}\zeta_3 +\frac{\pi^4}{135}\biggr)C_AT^2_F +\biggl(\frac{7001}{2592}-\frac{13}{6}\zeta_3\biggr)C_FT^2_F,
\end{equation}
\tag{5б}
$$
$$
\begin{equation}
a^{(1)}_3={} \biggl[-\frac{58747}{31104}-\frac{89}{16}\zeta_3 +\frac{761}{161280}\pi^6-\frac{3}{4}s_6 +\pi^4\biggl(-\frac{157}{3456}-\frac{5}{576}\ln 2 +\frac{\ln^2 2}{64}\biggr)+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\;+\pi^2\biggl(\frac{17}{1728}-\frac{19}{192}\zeta_3 -\frac{\ln 2}{48}-\frac{7}{32}\zeta_3\ln 2-\frac{\alpha_4}{2}\biggr)+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\;+\frac{1091}{384}\zeta_5+\frac{57}{128}\zeta^2_3\biggr]C^2_AT_F +\biggl(-\frac{71281}{10368}+\frac{33}{8}\zeta_3 +\frac{5}{4}\zeta_5\biggr)C_AC_FT_F+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\;+\biggl(\frac{143}{288} +\frac{37}{24}\zeta_3-\frac{5}{2}\zeta_5\biggr)C^2_FT_F +\biggl[\frac{5}{96}\pi^6 +\pi^4\biggl(-\frac{23}{24} +\frac{\ln 2}{6}-\frac{\ln^2 2}{2}\biggr)+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\;+\pi^2\biggl(\frac{79}{36}-\frac{61}{12}\zeta_3+\ln 2 +\frac{21}{2}\zeta_3\ln 2\biggr)\biggr]\frac{d^{abcd}_Fd^{abcd}_F}{N_A},
\end{equation}
\tag{5в}
$$
$$
\begin{equation}
a^{(0)}_3={} \biggl[\frac{385645}{186624}+\frac{73}{24}\zeta_3 -\frac{4621}{193536}\pi^6+\frac{9}{4}s_6 +\pi^4\biggl(\frac{1349}{17280}-\frac{5}{144}\ln 2 -\frac{5}{72}\ln^2 2\biggr)+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\;+\pi^2\biggl(-\frac{953}{3456}+\frac{175}{128}\zeta_3 -\frac{461}{288}\ln 2+\frac{217}{192}\zeta_3\ln 2 +\frac{73}{24}\alpha_4\biggr)-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\;-\frac{1927}{384}\zeta_5 -\frac{143}{128}\zeta^2_3\biggr]C^3_A +\biggl[\frac{1511}{2880}\pi^6 +\pi^4\biggl(-\frac{39}{16}+\frac{35}{12}\ln 2+\frac{31}{12}\ln^2 2\biggr)+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\;+\pi^2\biggl(\frac{929}{72}-\frac{827}{24}\zeta_3-74\alpha_4 +\frac{461}{6}\ln 2 -\frac{217}{4}\zeta_3\ln 2\biggr)\biggr]\frac{d^{abcd}_Fd^{abcd}_A}{N_A},
\end{equation}
\tag{5г}
$$
где $d^{abcd}_F$ и $d^{abcd}_A$ – абсолютно симметричные групповые инварианты ранга 4, определяемые в фундаментальном и присоединенном представлении, $N_A$ – количество генераторов группы. Для частного случая калибровочной группы $SU(N_c)$ свертки этих цветовых структур выражаются через число цветов $N_c$ следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\frac{d_F^{abcd}d_A^{abcd}}{N_A}=\frac{N_c(N_c^2+6)}{48},\qquad \frac{d_F^{abcd}d_F^{abcd}}{N_A}=\frac{N_c^4-6N_c^2+18}{96N_c^2},
\end{equation*}
\notag
$$
где $N_A=N_c^2-1$. Наши дальнейшие исследования отчасти являются продолжением работы [15]. В этой работе изучались требования к схемам перенормировок, которые бы приводили к факторизации нарушающего конформную симметрию члена $\Delta_{csb}(a_s)$ в имеющем следующий вид обобщенном соотношении Крютера:
$$
\begin{equation}
D^{\mathrm{NS}}(a_s)C^{\mathrm{NS}}_{\mathrm{Bjp}}(a_s)=1+\Delta_{csb}(a_s) =1+\biggl(\frac{\beta(a_s)}{a_s}\biggr)K(a_s).
\end{equation}
\tag{6}
$$
Это соотношение связывает две ренорминвариантные евклидовы величины, а именно несинглетные (NS) по аромату вклады в функцию Адлера $D(Q^2)$ и в коэффициентную функцию $C_{\mathrm{Bjp}}(Q^2)$. Первая из них характеризует процесс $e^+e^-$ аннигиляции в адроны, а вторая входит в выражение для правила сумм Бьёркена глубоконеупругого рассеяния заряженных поляризованных лептонов на нуклонах. В правой части уравнения (6) член $\Delta_ {csb}(a_s)$ факторизуется на конформную аномалию $\beta(a_s)/a_s$ и зависящий от константы связи многочлен $K(a_s)=\sum_{n\geqslant 1} K_n a^n_s$. Отметим, что $a_s=a_s(\mu^2=Q^2)$. В используемой нами нормировке единица в правой части уравнения (6) соответствует оригинальному соотношению Крютера [16]. Изначально оно было получено в борновском приближении безмассовой теории сильных взаимодействий как результат применения техники операторного разложения к аксиал-вектор-векторной треугольной диаграмме в конформно-симметричном пределе. В работе [17] было показано, что в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме начиная с порядка $a^2_s$ соотношение Крютера модифицируется. Помимо упомянутой единицы в соотношении (6), появляется дополнительный вклад, пропорциональный РГ $\beta$-функции:
$$
\begin{equation}
\mu^2\,\frac{\partial a_s(\mu^2)}{\partial\mu^2} =\beta(a_s(\mu^2))=-\sum_{i\geqslant 0}\beta_i a^{i+2}_s(\mu^2).
\end{equation}
\tag{7}
$$
Процедура перенормировки нарушает конформную симметрию безмассовой КХД. Эффект данного нарушения в уравнении (6) описывается членом $\Delta_{csb}(a_s)$. Его явный факторизованный вид был получен в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме перенормировок в работе [17] в приближении $\mathcal O(a^3_s)$, а позже был подтвержден на уровне $\mathcal O(a^4_s)$ в работе [18]. В настоящее время в литературе зачастую называют эту форму обобщенного соотношения Крютера соотношением Крютера–Броадхарста–Катаева (КБК). Оно интенсивно изучалось с разных точек зрения в ряде работ (см., например, [19]–[22]). Недавно в работе [23] соотношение КБК было изучено в расширенной модели КХД с произвольным числом представлений фермионов на уровне вкладов порядка $\mathcal O(a^4_s)$. Было показано, что и в этом случае соотношение КБК выполняется. Этот факт подтверждает неслучайный характер факторизации члена $\Delta_{csb}(a_s)$ по крайней мере в порядке $\mathcal O(a^4_s)$. Более того, аргументы, приведенные в работах [24]–[26], указывают на то, что соотношение КБК может быть справедливым в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме в КХД во всех порядках ТВ. Возникает естественный вопрос, существуют ли теоретические требования к выбору схем УФ-вычитаний, которые бы обеспечивали реализацию свойства факторизации члена $\Delta_{csb} (a_s)$, нарушающего конформную симметрию в соотношении КБК. Результаты работ [15], [27], [28] демонстрируют, что данная особенность соотношения КБК будет реализовываться для широкого класса калибровочно-зависимых схем импульсных вычитаний MOM (например таких, как схема вычитаний mMOM [29]–[34]) в линейной ковариантной калибровке Ландау с $\xi=0$ по крайней мере на уровне $\mathcal O(a^4_s)$. Поэтому встречающееся в литературе мнение о том, что соотношение КБК справедливо только в рамках калибровочно-инвариантных MS-подобных схем, не отвечает действительности. Однако помимо калибровочно-инвариантных MS-подобных схем существуют и другие калибровочно-независимые процедуры перенормировок. Заранее не очевидно, что соотношение КБК также будет в них выполняться. Для прояснения этого вопроса сначала рассмотрим не относящуюся к классу MS-подобных схем эффективную калибровочно-независимую V-схему. В ней статический потенциал тяжелой кварк-антикварковой пары имеет кулоновскую форму, а все поправки более высокого порядка поглощаются в определение входящего в нее эффективного заряда. Для изучения соотношения КБК в этой эффективной процедуре перенормировок следует получить аналитическое представление для $\beta$-функции в V-схеме в четырехпетлевом приближении, а также соответствующие выражения для функции Адлера и коэффициентной функции правила сумм Бьёркена с участием заряженных поляризованных лептонов, которое в дальнейшем для краткости мы будем называть поляризованным правилом сумм Бьёркена. Далее мы обобщим рассмотрение вопроса о факторизации члена $\Delta_{csb}(a_s)$ в соотношении КБК на случай широкого класса калибровочно-инвариантных схем вычитаний. Аналогичные вопросы также будут изучены и для случая КЭД. В заключение мы установим связь между $\beta$-функцией в V-схеме в КЭД и $\Psi$-функцией Гелл-Манна–Лоу. Также будет приведено независимое подтверждение аналитических выражений для некоторых четырехпетлевых вкладов в статический потенциал, недавно полученных в работе [35]. 2. $\beta$-функция в V-схемеПерейдем к рассмотрению эффективной калибровочно-инвариантной V-схемы. Она была впервые введена в работах [9], [10] и использовалась для моделирования гладкого перехода константы связи КХД через пороги рождения тяжелых кварков в случае, когда учитываются массивные поправки к статическому потенциалу [36]. Другие применения V-схемы в исследованиях пертурбативной КХД могут быть найдены, например, в работах [2], [37]–[41]. Для получения аналитического выражения четвертого порядка ТВ для РГ $\beta$-функции в V-схеме, представленной ранее в полуаналитическом виде в работе [14], используем аналитические результаты для поправок к статическому потенциалу из предыдущего раздела. В рамках V-схемы статический потенциал тяжелой пары кварк–антикварк имеет следующий кулоновский вид:
$$
\begin{equation}
V(\vec q^{\,2})=-4\pi C_F\frac{\alpha_{s,V}(\vec q^{\,2})}{\vec q^{\,2}}\,,
\end{equation}
\tag{8}
$$
где $\alpha_{s,V}(\vec q^{\,2})$ – эффективная константа связи в V-схеме. В соответствии с техникой эффективных зарядов (ECH), развитой в работах [42]–[44], масштаб в V-схеме определяется при помощи следующего соотношения: где $\mu$ – масштаб в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме, коэффициент $a_1$ представлен в соотношении (2), а $\beta_0$ – впервые вычисленный в работах [45], [46] первый не зависящий от схемы коэффициент РГ $\beta$-функции (7). Далее, фиксируя $\vec q^{\,2}=\mu^2_V$, можно получить следующее соотношение между константами связи в V- и $\overline{\mathrm{MS}}$-схемах:
$$
\begin{equation}
\alpha_{s,V}(\mu^2_V)=\alpha_s(\mu^2_V)(1+a_1a_s(\mu^2_V)+a_2a^2_s(\mu^2_V) +a_3a^3_s(\mu^2_V)+\mathcal O(a^4_s)).
\end{equation}
\tag{10}
$$
Определим теперь $\beta$-функцию в V-схеме следующим образом:
$$
\begin{equation}
\beta^V(a_{s,V})=\mu^2_V\,\frac{\partial a_{s,V}}{\partial\mu^2_V} =-\sum_{i\geqslant 0}\beta^V_ia^{i+2}_{s,V}.
\end{equation}
\tag{11}
$$
Связь этой функции с ее аналогом $\beta(a_s)$ в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме может быть записана в виде
$$
\begin{equation}
\beta^V(a_{s,V}(a_s))=\beta(a_s)\,\frac{\partial a_{s,V}(a_s)}{\partial a_s}\,.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Комбинация соотношений (10) и (12) позволяет получить следующие выражения для коэффициентов $\beta$-функции в V-схеме:
$$
\begin{equation}
\beta^V_3 =\beta_3-2a_1\beta_2+a^2_1\beta_1 +(2a_3-6a_1a_2+4a^3_1)\beta_0.
\end{equation}
\tag{13в}
$$
Пятипетлевой коэффициент $\beta^V_4$ содержит неизвестную в настоящее время поправку $a_4$ к статическому потенциалу
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \beta^V_4={}&\beta_4-3a_1\beta_3+(4a^2_1-a_2)\beta_2+(a_3-2a_1a_2)\beta_1+{} \notag \\ &+(3a_4-12a_1a_3-5a^2_2+28a^2_1a_2-14a^4_1)\beta_0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{13г}
$$
Эти формулы отражают законы преобразования коэффициентов $\beta$-функции при переходе от одной калибровочно-инвариантной схемы перенормировок к другой. Следствием применения подхода ECH является схемная инвариантность всех коэффициентов эффективной $\beta$-функции, полученных из первоначально вычисленных в MS-подобных схемах результатов для коэффициентов, стоящих в правой части формул (13б), (13в) (детали см. в [47], [48]). Первые два коэффициента $\beta^V$ тождественно совпадают с их $\overline{\mathrm{MS}}$-аналогами (13а), вычисленными в работах [45], [46], [49]–[51] соответственно:
$$
\begin{equation}
\beta^V_1 =\frac{17}{24}C_A^2-\frac{5}{12}C_AT_Fn_f -\frac{1}{4}C_FT_Fn_f.
\end{equation}
\tag{14б}
$$
Третий и четвертый члены $\beta^V_2$ и $\beta^V_3$ (13б), (13в) выражаются через трех- и четырехпетлевые коэффициенты РГ $\beta$-функции в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме, аналитически вычисленные в работах [52], [53] и [54], [55] соответственно. Используя выражения (2), (3) и (13б), можно найти трехпетлевой коэффициент $\beta^V_2$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \beta^V_2&=\biggl(\frac{103}{96} +\frac{121}{288}\zeta_3+\frac{11}{48}\pi^2-\frac{11}{768}\pi^4\biggr)C^3_A+{} \notag \\ &\qquad{}+\biggl(-\frac{445}{576}-\frac{11}{9}\zeta_3-\frac{\pi^2}{12} +\frac{\pi^4}{192}\biggr)C^2_AT_Fn_f+\biggl(-\frac{343}{288} +\frac{11}{12}\zeta_3\biggr)C_AC_FT_Fn_f+{} \notag \\ &\qquad{}+\frac{1}{32}C^2_FT_Fn_f +\biggl(\frac{1}{288}+\frac{7}{18}\zeta_3\biggr)C_AT^2_Fn^2_f +\biggl(\frac{23}{72}-\frac{1}{3}\zeta_3\biggr)C_FT^2_Fn^2_f. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14в}
$$
Этот результат был впервые получен в работе [10]. В отличие от члена $\beta_2$ в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме, коэффициент $\beta^V_2$ содержит не только рациональные, но и трансцендентные числа, а именно $\zeta_3$, $\pi^2$ и $\pi^4$. Они появляются из аналитического выражения для двухпетлевой поправки $a_2$ из соотношения (3) к статическому потенциалу. Используя теперь (5а)–(5г) и (13в), находим четырехпетлевой коэффициент $\beta^V_3$ в аналитическом виде:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \beta^V_3={}&\biggl[-\frac{3871}{2592}+\frac{1463}{432}\zeta_3 -\frac{21197}{2304}\zeta_5-\frac{1573}{768}\zeta^2_3 +\frac{33}{8}s_6-\frac{50831}{1161216}\pi^6+{} \notag \\ &\;+\pi^4\biggl(\frac{45023}{207360}-\frac{55}{864}\ln 2 -\frac{55}{432}\ln^2 2\biggr)+{} \notag \\ &\;+\pi^2\biggl(-\frac{35035}{20736}+\frac{1925}{768}\zeta_3 +\frac{803}{144}\alpha_4-\frac{5071}{1728}\ln 2 +\frac{2387}{1152}\zeta_3\ln2\biggr)\biggr]C^4_A+{} \notag \\ &\;+\biggl[\frac{731}{192}-\frac{13}{3}\zeta_3+\frac{19709}{2304}\zeta_5 +\frac{1199}{768}\zeta^2_3-\frac{23}{8}s_6 +\frac{10189}{414720}\pi^6+{} \notag \\ &\;+\pi^4\biggl(-\frac{2419}{11520}+\frac{25}{3456}\ln 2 +\frac{259}{3456}\ln^2 2\biggr)+{} \notag \\ &\;+\pi^2\biggl(\frac{14477}{10368} -\frac{1259}{1152}\zeta_3-\frac{53}{18}\alpha_4+\frac{889}{864}\ln 2 -\frac{665}{576}\zeta_3\ln 2\biggr)\biggr]C^3_AT_Fn_f+{} \notag \\ &\;+\biggl[-\frac{7645}{1152}+\frac{61}{24}\zeta_3 +\frac{55}{24}\zeta_5\biggr]C^2_AC_FT_Fn_f+\frac{23}{128}C^3_FT_Fn_f+{} \notag \\ &\;+\biggl[\frac{143}{576}+\frac{143}{48}\zeta_3 -\frac{55}{12}\zeta_5\biggr]C_AC^2_FT_Fn_f+{} \notag \\ &\;+\biggl[-\frac{1171}{432}+\frac{89}{72}\zeta_3-\frac{1091}{576}\zeta_5 -\frac{19}{64}\zeta^2_3+\frac{1}{2}s_6 -\frac{761}{241920}\pi^6+{} \notag \\ &\;+\pi^4\biggl(\frac{529}{8640} +\frac{5}{864}\ln 2-\frac{1}{96}\ln^2 2\biggr)+{} \notag \\ &\;+\pi^2\biggl(-\frac{737}{2592}+\frac{19}{288}\zeta_3+\frac{1}{3}\alpha_4 +\frac{1}{72}\ln 2+\frac{7}{48}\zeta_3\ln 2\biggr)\biggr]C^2_AT^2_Fn^2_f+{} \notag \\ &\;+\biggl[\frac{583}{144} -\frac{7}{4}\zeta_3-\frac{5}{6}\zeta_5\biggr]C_AC_FT^2_Fn^2_f +\biggl[-\frac{29}{288}-\frac{4}{3}\zeta_3 +\frac{5}{3}\zeta_5\biggr]C^2_FT^2_Fn^2_f+{} \notag \\ &\;+\biggl[\frac{293}{648} +\frac{\zeta_3}{54}-\frac{2}{405}\pi^4\biggr]C_AT^3_Fn^3_f +\biggl[-\frac{1}{2}+\frac{\zeta_3}{3}\biggr]C_FT^3_Fn^3_f+{} \notag \\ &\;+\biggl[-\frac{5}{144} +\frac{11}{12}\zeta_3\biggr]\frac{d^{abcd}_Ad^{abcd}_A}{N_A} +\biggl[\frac{2}{9}-\frac{13}{6}\zeta_3\biggr]\frac{d^{abcd}_Fd^{abcd}_A}{N_A}n_f+{} \notag \\ &\;+\biggl[-\frac{1511}{4320}\pi^6+\pi^4\biggl(\frac{13}{8}-\frac{35}{18}\ln 2 -\frac{31}{18}\ln^2 2\biggr)+{} \notag \\ &\;+\pi^2\biggl(-\frac{929}{108} +\frac{827}{36}\zeta_3+\frac{148}{3}\alpha_4-\frac{461}{9}\ln 2 +\frac{217}{6}\zeta_3\ln 2\biggr)\biggr]\frac{d^{abcd}_Fd^{abcd}_A}{N_A}T_Fn_f+{} \notag \\ &\;+\biggl[\frac{16621}{17280}\pi^6+\pi^4\biggl(-\frac{143}{32}+\frac{385}{72}\ln 2 +\frac{341}{72}\ln^2 2\biggr)+{} \notag \\ &\;+\pi^2\biggl(\frac{10219}{432} -\frac{9097}{144}\zeta_3-\frac{407}{3}\alpha_4+\frac{5071}{36}\ln 2 -\frac{2387}{24}\zeta_3\ln 2\biggr)\biggr]C_A\frac{d^{abcd}_Fd^{abcd}_A}{N_A}+{} \notag \\ &\;+\biggl[\frac{55}{576}\pi^6-\pi^4\biggl(\frac{253}{144}-\frac{11}{36}\ln 2 +\frac{11}{12}\ln^2 2\biggr)+{} \notag \\ &\;+\pi^2\biggl(\frac{869}{216}-\frac{671}{72}\zeta_3+\frac{11}{6}\ln 2 +\frac{77}{4}\zeta_3\ln 2\biggr)\biggr]C_A\frac{d^{abcd}_Fd^{abcd}_F}{N_A}n_f-{} \notag \\ &\;-\biggl[\frac{11}{36}-\frac{2}{3}\zeta_3\biggr]\frac{d^{abcd}_Fd^{abcd}_F}{N_A}n^2_f+ \biggl[-\frac{5}{144}\pi^6+\pi^4\biggl(\frac{23}{36}-\frac{1}{9}\ln 2 +\frac{1}{3}\ln^2 2\biggr)+{} \notag \\ &\;+\pi^2\biggl(-\frac{79}{54}+\frac{61}{18}\zeta_3 -\frac{2}{3}\ln 2 -7\zeta_3\ln 2\biggr)\biggr]\frac{d^{abcd}_Fd^{abcd}_F}{N_A}T_Fn^2_f. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14г}
$$
Следует сравнить результат (14г) с полученным ранее в полуаналитическом виде аналогичным выражением для $\beta^V_3$ из работы [14], которое содержало численные неопределенности, связанные с вычислением конкретных трехпетлевых вкладов в статический потенциал. Ранее в работах [12], [56], [57] они не могли быть найдены с достаточно высокой точностью, необходимой для последующего восстановления их аналитических выражений по полученным численным значениям с помощью алгоритма PSLQ [58], [59]. В дальнейшем эта проблема была решена в работе [13] благодаря появлению новых вычислительных методов, разработанных в работах [60], [61]. Подчеркнем, что, в отличие от коэффициента $\beta_3$ в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме, содержащего только рациональные числа и $\zeta_3$-функции, коэффициент $\beta^V_3$ выражается через гораздо большее число базисных констант с более высокими трансцендентностями, первоначально входящих в трехпетлевую поправку $a_3$ к статическому потенциалу. Отметим также, что результат (14г) включает в себя четыре дополнительные цветовые структуры, не возникающие в коэффициенте $\beta_3$ и получающиеся после учета вклада $2a_3\beta_0$ в соотношении (13в). Этими цветовыми структурами являются $C_Ad^{abcd}_Fd^{abcd}_A/N_A$, $C_Ad^{abcd}_Fd^{abcd}_Fn_f/N_A$, $d^{abcd}_Fd^{abcd}_AT_Fn_f/N_A$ и $d^{abcd}_Fd^{abcd}_FT_Fn^2_f/N_A$. При этом слагаемое, пропорциональное неопределенной ранее свертке $d^{abcd}_Ad^{abcd}_A/N_A$ в (14г), в случае калибровочной группы $SU(N_c)$ равно $d^{abcd}_Ad^{abcd}_A/N_A=N^2_c(N^2_c+36)/24$. Учитывая значения констант $\alpha_4\approx 0.5270972$ и $s_6\approx 0.9874414$, определенных выше после соотношения (4), приходим к следующему численному виду выражений (14а)–(14г) для случая цветовой группы $SU(3)$:
$$
\begin{equation}
\beta^V_3 =168.6484-50.59222n_f+2.761578n^2_f-0.0190318n^3_f.
\end{equation}
\tag{15г}
$$
Выражения (15в), (15г) следует сравнить с их аналогами в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме, полученными из аналитических результатов работ [52]–[55]:
$$
\begin{equation}
\beta_3 =114.2303-27.13394n_f+1.582379n^2_f+0.0058567n^2_f.
\end{equation}
\tag{16б}
$$
Численные выражения для подобных коэффициентов в mMOM-схеме в калибровке Ландау следуют из результатов работ [29], [30], [32] и имеют следующий вид:
$$
\begin{equation}
\beta^{\mathrm{mMOM},\,\xi=0}_2 =47.50754-9.771667n_f+0.3028642n^2_f,
\end{equation}
\tag{17а}
$$
$$
\begin{equation}
\beta^{\mathrm{mMOM},\,\xi=0}_3 =392.7385-95.40363n_f+6.349228n^2_f-0.1073931n^3_f.
\end{equation}
\tag{17б}
$$
При этом первые два коэффициента РГ $\beta$-функции в V-, $\overline{\mathrm{MS}}$- и mMOM-схеме с $\xi=0$ совпадают. 3. Функция Адлера, $R$-отношение и поляризованное правило сумм Бьёркена в V-схеме3.1. Функция Адлера в V-схемеНапомним, что теоретическое выражение для функции Адлера $D(Q^2)$ может быть использовано для определения поведения сечения однофотонной аннигиляции электронов и позитронов с последующим рождением адронов. При этом для перехода во времениподобную минковскую область энергий используется обратное дисперсионное соотношение типа Челлена–Лемана (см., например, [62], [63]). В свою очередь, функция Адлера определяется в евклидовой области квадрата переданного импульса $Q^2=-q^2$ и является ренорминвариантной величиной. Ее двух-, трех- и четырехпетлевые выражения в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме были получены в работах [64]–[66], [67], [68] и [18], [69], [70] соответственно. В безмассовом пределе функция $D(Q^2)$ раскладывается на сумму несинглетных (NS) и синглетных (SI) по аромату компонент:
$$
\begin{equation}
D(a_s)=d_R\biggl(\sum_f Q^2_f\biggr)D^{\mathrm{NS}}(a_s) +d_R\biggl(\sum_f Q_f\biggr)^2D^{\mathrm{SI}}(a_s),
\end{equation}
\tag{18}
$$
где $Q_f$ – электрический заряд активного кварка с ароматом $f$, $d_R$ – размерность фундаментального представления алгебры Ли рассматриваемой общей простой калибровочной группы. В случае цветовой группы $SU(N_c)$ $d_R=N_c$. Синглетный вклад $D^{\mathrm{SI}}(a_s)$ возникает в порядке $a^3_s$ из-за специфических диаграмм типа рассеяния света на свете [67], [70]. Для того чтобы получить аналитическое четырехпетлевое выражение для несинглетного вклада $D^{\mathrm{NS}}_V(a_{s, V})$ в функцию Адлера в V-схеме, используем его аналог, непосредственно вычисленный в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме в том же приближении, и соотношение (10) между константами связи в двух рассматриваемых калибровочно-независимых схемах. В итоге получаем следующий результат:
$$
\begin{equation}
D^{\mathrm{NS}}_V(a_{s,V})=1+\sum_{k\geqslant 1}d^{\mathrm{NS}}_{k,V} a^k_{s,V},
\end{equation}
\tag{19а}
$$
$$
\begin{equation}
d^{\mathrm{NS}}_{2, V}=-\frac{3}{32}C^2_F +\biggl(\frac{307}{96}-\frac{11}{4}\zeta_3\biggr)C_FC_A +\biggl(-\frac{23}{24}+\zeta_3\biggr)C_FT_Fn_f,
\end{equation}
\tag{19в}
$$
$$
\begin{equation}
d^{\mathrm{NS}}_{3, V}=-\frac{69}{128}C^3_F +\biggl(-\frac{175}{96}-\frac{143}{16}\zeta_3+\frac{55}{4}\zeta_5\biggr)C^2_FC_A+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{d^{\mathrm{NS}}_{3, V}={}}+\biggl(\frac{621}{32}-\frac{1403}{96}\zeta_3 -\frac{55}{24}\zeta_5-\frac{3}{16}\pi^2+\frac{3}{256}\pi^4\biggr)C_FC^2_A+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{d^{\mathrm{NS}}_{3, V}={}}+\biggl(\frac{3}{2}-\zeta_3\biggr)C_FT^2_Fn^2_f +\biggl(-\frac{375}{32}+\frac{205}{24}\zeta_3 +\frac{5}{6}\zeta_5\biggr)C_FC_AT_Fn_f+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{d^{\mathrm{NS}}_{3, V}={}}+\biggl(\frac{29}{96}+4\zeta_3-5\zeta_5\biggr)C^2_FT_Fn_f,
\end{equation}
\tag{19г}
$$
$$
\begin{equation}
d^{\mathrm{NS}}_{4,V}=\biggl(\frac{4157}{2048}+\frac{3}{8}\zeta_3\biggr)C^4_F+\biggl(-\frac{3335}{512}-\frac{139}{128}\zeta_3+\frac{2255}{32}\zeta_5 -\frac{1155}{16}\zeta_7\biggr)C^3_FC_A+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{d^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}+\biggl(-\frac{498269}{18432}-\frac{17513}{192}\zeta_3 +100\zeta_5+\frac{1155}{32}\zeta_7+\frac{3}{64}\pi^2 -\frac{3}{1024}\pi^4\biggr)C^2_FC^2_A+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{d^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}+\biggl[\frac{668335}{4608}-\frac{101621}{1152}\zeta_3 -\frac{89119}{1536}\zeta_5+\frac{34199}{1536}\zeta^2_3- \frac{385}{64}\zeta_7 -\frac{27}{16}s_6+\frac{4621}{258048}\pi^6+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{d^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}+\pi^4\biggl(\frac{1}{90}-\frac{11}{128}\zeta_3 +\frac{5}{192}\ln 2+\frac{5}{96}\ln^2 2\biggr)+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{d^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}+\pi^2\biggl(-\frac{4183}{4608}+\frac{179}{512}\zeta_3 -\frac{73}{32}\alpha_4 +\frac{461}{384}\ln 2-\frac{217}{256}\zeta_3\ln 2\biggr)\biggr]C_FC^3_A+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{d^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}+\biggl(\frac{287}{256}+\frac{17}{8}\zeta_3-\frac{235}{8}\zeta_5 +\frac{105}{4}\zeta_7\biggr)C^3_FT_Fn_f+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{d^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}+\biggl(\frac{12277}{1152}+\frac{1117}{16}\zeta_3 -\frac{145}{2}\zeta_5-\frac{11}{4}\zeta^2_3 -\frac{105}{8}\zeta_7\biggr)C^2_FC_AT_Fn_f+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{d^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}+\biggl[-\frac{201725}{1536}+\frac{41071}{576}\zeta_3 +\frac{87847}{1536}\zeta_5-\frac{20225}{1536}\zeta^2_3+\frac{35}{16}\zeta_7+\frac{9}{16}s_6-\frac{761}{215040}\pi^6+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{d^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}+\pi^4\biggl(\frac{109}{4608}+\frac{\zeta_3}{32}+\frac{5}{768}\ln 2 -\frac{3}{256}\ln^2 2\biggr)+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{d^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}+\pi^2\biggl(\frac{367}{2304}-\frac{109}{256}\zeta_3 +\frac{3}{8}\alpha_4+\frac{\ln 2}{64} +\frac{21}{128}\zeta_3\ln 2\biggr)\biggr]C_FC^2_AT_Fn_f+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{d^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}+\biggl(-\frac{125}{384}-\frac{281}{24}\zeta_3+\frac{25}{2}\zeta_5 +\zeta^2_3\biggr)C^2_FT^2_Fn^2_f+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{d^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}+\biggl(\frac{81103}{2304}-\frac{4859}{288}\zeta_3 -\frac{35}{2}\zeta_5+\frac{11}{6}\zeta^2_3-\frac{\pi^4}{180}\biggr)C_FC_AT^2_Fn^2_f-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{d^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}-\biggl(\frac{67}{24}-\frac{7}{6}\zeta_3 -\frac{5}{3}\zeta_5\biggr)C_FT^3_Fn^3_f +\biggl(\frac{3}{16}-\frac{\zeta_3}{4}-\frac{5}{4}\zeta_5\biggr) \frac{d^{abcd}_Fd^{abcd}_A}{d_R}+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{d^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}+\biggl(-\frac{13}{16}-\zeta_3 +\frac{5}{2}\zeta_5\biggr)\frac{d^{abcd}_Fd^{abcd}_F}{d_R}n_f+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{d^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}+\biggl[-\frac{1511}{3840}\pi^6+\pi^4\biggl(\frac{117}{64} -\frac{35}{16}\ln 2-\frac{31}{16}\ln^2 2\biggr)+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{d^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}+\pi^2\biggl(-\frac{929}{96}+\frac{827}{32}\zeta_3+\frac{111}{2}\alpha_4- \frac{461}{8}\ln 2+\frac{651}{16}\zeta_3\ln 2\biggr)\biggr]C_F \frac{d^{abcd}_Fd^{abcd}_A}{N_A}+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{d^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}+\biggl[-\frac{5}{128}\pi^6+\pi^4\biggl(\frac{23}{32} -\frac{\ln 2}{8}+\frac{3}{8}\ln^2 2\biggr)+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{d^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}+\pi^2\biggl(-\frac{79}{48}+\frac{61}{16}\zeta_3 -\frac{3}{4}\ln 2 -\frac{63}{8}\zeta_3\ln 2\biggr)\biggr]C_F\frac{d^{abcd}_Fd^{abcd}_F}{N_A}n_f.
\end{equation}
\tag{19д}
$$
Сделаем несколько замечаний по поводу полученных выражений. Во-первых, в отличие от трехпетлевых результатов в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме, коэффициент $d^{\mathrm{NS}}_{3,V}$ (19г) содержит дополнительные слагаемые во вкладе $C_FC^2_A$, которые пропорциональны $\pi^2$ и $\pi^4$. Во-вторых, коэффициент $d^{\mathrm{NS}}_{4, V}$ (19д) включает в себя все трансцендентные базисные константы, содержащиеся в $\beta^V_3$, плюс дополнительное слагаемое с $\zeta_7$, имеющее наибольшую трансцендентность веса 7 и изначально появляющееся в выражении для $d_4$ в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме [69]. Также отметим, что в отличие от этого коэффициента, аналитическое выражение для $d^{\mathrm{NS}}_{4,V}$ имеет две новые цветовые структуры $C_Fd^{abcd}_Fd^{abcd}_A/N_A$ и $C_Fd^{abcd}_Fd^{abcd}_Fn_f/N_A$, которые возникают как результат перемножения $a_3$ и $d_1$ при пересчете в V-схему. Численные значения этих коэффициентов для случая группы $SU(3)$ равны соответственно
$$
\begin{equation}
d^{\mathrm{NS}}_{3,V} =-7.21638-1.240217n_f+0.0993144n_f^2,
\end{equation}
\tag{20в}
$$
$$
\begin{equation}
d^{\mathrm{NS}}_{4,V} =19.9437+4.38696n_f-1.114839n_f^2+0.0564909n_f^3.
\end{equation}
\tag{20г}
$$
Синглетные вклады к коэффициентам $d_3$ и $d_4$ были вычислены в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме в работах [67], [70]. Принимая во внимание ренорминвариантность функции $D(Q^2)$, можно получить синглетные поправки к коэффициентам $d_{3,V}$ и $d_{4,V}$:
$$
\begin{equation}
D^{\mathrm{SI}}_V(a_{s,V})=\sum_{k\geqslant 3}d^{\mathrm{SI}}_{k,V}a^k_{s,V},
\end{equation}
\tag{21а}
$$
$$
\begin{equation}
d^{\mathrm{SI}}_{3,V}=d^{\mathrm{SI}}_3 =\biggl(\frac{11}{192}-\frac{\zeta_3}{8}\biggr)\frac{d^{abc}d^{abc}}{d_R},
\end{equation}
\tag{21б}
$$
$$
\begin{equation}
d^{\mathrm{SI}}_{4,V}=d^{\mathrm{SI}}_4-3a_1d^{\mathrm{SI}}_3 =\biggl[\biggl(-\frac{13}{64}-\frac{\zeta_3}{4}+\frac{5}{8}\zeta_5\biggr)C_F+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{d^{\mathrm{SI}}_{4,V}={}}+\biggl(\frac{3211}{4608}-\frac{383}{384}\zeta_3 +\frac{45}{64}\zeta_5-\frac{11}{32}\zeta^2_3\biggr)C_A+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{d^{\mathrm{SI}}_{4,V}={}}+\biggl(-\frac{47}{288}+\frac{19}{96}\zeta_3-\frac{5}{16}\zeta_5 +\frac{\zeta^2_3}{8}\biggr)T_Fn_f\biggr]\frac{d^{abc}d^{abc}}{d_R},
\end{equation}
\tag{21в}
$$
где $d^{abc}$ – полностью симметричная цветовая структура, которая в случае группы $SU(N_c)$ удовлетворяет соотношению $d^{abc}d^{abc}=(N^2_c-4)(N^2_c-1)/N_c$. Выражения (21б) и (21в) в численной форме имеют следующий вид:
$$
\begin{equation}
d^{\mathrm{SI}}_{3,V}=-0.413179,\qquad d^{\mathrm{SI}}_{4,V}=-2.74010-0.152688n_f.
\end{equation}
\tag{22}
$$
3.2. $R(s)$-отношение в V-схемеРассмотрим теперь $R(s)$-отношение процесса однофотонной аннигиляции электрона и позитрона с последующим рождением адронов. Данная величина напрямую измеряется во времениподобной минковской области энергий и выражается через сечение этого процесса:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, R(s)&=\frac{\sigma(e^+e^-\to\gamma^*\to\mathrm{hadrons})} {\sigma_{\mathrm{Born}}(e^+e^-\to\gamma^*\to\mu^+\mu^-)}= \notag \\ &=d_R\biggl(\sum_fQ^2_f\biggr)R^{\mathrm{NS}}(a_s) +d_R\biggl(\sum_fQ_f\biggr)^2R^{\mathrm{SI}}(a_s), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{23}
$$
где $\sigma_{\mathrm{Born}}(e^+e^-\to\mu^+\mu^-)=4\pi\alpha^2_{\mathrm{EM}}/3s$ – нормировочный фактор в борновском безмассовом приближении. Дисперсионное соотношение типа Челлена–Лемана (см., например, [62], [63]), связывающее функцию Адлера с $R(s)$-отношением, позволяет получить следующее равенство:
$$
\begin{equation}
R(s)=D(s)-\frac{\pi^2}{3}d_1\beta^2_0a^3_s -\pi^2\biggl(d_2\beta^2_0+\frac{5}{6}d_1\beta_1\beta_0\biggr)a^4_s+\mathcal O(a^5_s).
\end{equation}
\tag{24}
$$
Слагаемые, пропорциональные степеням $\pi^2$, появляются как следствие аналитического продолжения из евклидовой области энергий в область минковского квадрата переданного импульса. Используя (24) и учитывая РГ-инвариантность $R$-отношения, находим выражения для коэффициентов $R$-отношения в V-схеме:
$$
\begin{equation}
R^{\mathrm{NS}}_V(a_{s,V})=1+\sum_{k\geqslant 1}r^{\mathrm{NS}}_{k,V} a^k_{s,V},\qquad R^{\mathrm{SI}}_V(a_{s,V})=\sum_{k\geqslant 3}r^{\mathrm{SI}}_{k,V}a^k_{s,V},
\end{equation}
\tag{25а}
$$
$$
\begin{equation}
r^{\mathrm{NS}}_{1,V}=d^{\mathrm{NS}}_{1,V},\qquad r^{\mathrm{NS}}_{2,V}=d^{\mathrm{NS}}_{2,V},
\end{equation}
\tag{25б}
$$
$$
\begin{equation}
r^{\mathrm{NS}}_{3,V}=d^{\mathrm{NS}}_{3,V}-\frac{\pi^2}{3}d_1\beta^2_0,\qquad r^{\mathrm{SI}}_{3,V}=d^{\mathrm{SI}}_{3, V},
\end{equation}
\tag{25в}
$$
$$
\begin{equation}
r^{\mathrm{NS}}_{4,V}=d^{\mathrm{NS}}_{4,V}-\pi^2\biggl(d^{\mathrm{NS}}_{2,V}\beta^2_0 +\frac{5}{6}d_1\beta_1\beta_0\biggr),\qquad r^{\mathrm{SI}}_{4,V}=d^{\mathrm{SI}}_{4,V}.
\end{equation}
\tag{25г}
$$
Применяя (25б)–(25г), получаем численные результаты для $R_V(s)$ в V-схеме для физически важного случая группы $SU(3)$:
$$
\begin{equation}
R_V(a_{s, V})=3\sum_fQ^2_f\biggl(1+\sum_{k\geqslant 1}r_{k,V}a^{k}_{s,V}\biggr),
\end{equation}
\tag{26а}
$$
$$
\begin{equation}
r_{3,V}=-32.09600+1.775495n_f+0.0079291n^2_f-0.413179\delta_f,
\end{equation}
\tag{26г}
$$
$$
\begin{equation}
r_{4,V}=-79.6389+13.49715n_f-0.566196n^2_f+0.0119455n^3_f+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{r_{4,V}={}}+(-2.74010-0.152688n_f)\delta_f,
\end{equation}
\tag{26д}
$$
где члены с $\delta_f=(\sum_fQ_f)^2/(\sum_fQ^2_f)$ представляют собой синглетные поправки. Отметим, что аналогичные численные выражения для коэффициентов $R_V(s)$ ранее были приведены в работе [14], но с теоретическими среднеквадратичными погрешностями, вытекающими из полуаналитического вычисления поправки $a_3$ к статическому потенциалу [12], [56], [57]. Эти результаты полностью согласуются с выражениями (26б)–(26д). К тому же обсуждаемые погрешности пренебрежимо малы по сравнению с современными ошибками определения физических параметров, таких как $\alpha_s(M^2_Z)$ [71]. Заинтересованный читатель может обратить внимание на результаты исследования схемной и масштабной зависимостей величины $R(s)$ в различных порядках ТВ для случаев $n_f=4$ и $n_f=5$, представленные в работах [14], [28], [31]. 3.3. Поляризованное правило сумм Бьёркена в V-схемеПоляризованное правило сумм Бьёркена является важной характеристикой процесса глубоконеупругого рассеяния заряженных поляризованных лептонов на нуклонах. В его теоретическое выражение входит коэффициентная функция $C_{\mathrm{Bjp}}(Q^2)$. В пренебрежении непертурбативными членами порядка $\mathcal O(1/Q^{2k})$ она определяется в евклидовой области энергий следующим образом:
$$
\begin{equation}
\int_0^1\bigl(g^{lp}_1(x, Q^2)-g^{ln}_1(x,Q^2)\bigr)\,dx =\frac{1}{6}\biggl\vert\frac{g_A}{g_V}\biggr\vert C_{\mathrm{Bjp}}(Q^2),
\end{equation}
\tag{27}
$$
где $g^{lp}_1(x,Q^2)$ и $g^{ln}_1(x,Q^2)$ – структурные функции, которые характеризуют распределение спинов кварков и глюонов внутри нуклонов, $g_A$ и $g_V$ – аксиальные и векторные константы $\beta$-распада нейтрона с отношением $g_A/g_V=-1.2754\pm 0.0013$ [71]. Коэффициентная функция Бьёркена разделяется на сумму несинглетной и синглетной компонент:
$$
\begin{equation}
C_{\mathrm{Bjp}}(a_s)=C^{\mathrm{NS}}_{\mathrm{Bjp}}(a_s) +d_R\sum_fQ_fC^{\mathrm{SI}}_{\mathrm{Bjp}}(a_s).
\end{equation}
\tag{28}
$$
Одно-, двух-, трех- и четырехпетлевые несинглетные поправки к функции $C_{\mathrm{Bjp}}(a_s)$ в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме были вычислены в работах [72], [73], [74], [18] соответственно. В отличие от функции $D^{\mathrm{SI}}(a_s)$, синглетная часть функции $C_{\mathrm{Bjp}}(a_s)$ впервые появляется лишь в порядке $\mathcal O(a^4_s)$ [75]. Она была найдена в аналитическом виде в работе [76]. Используя четырехпетлевое выражение для коэффициентной функции Бьёркена в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме [18], [76], соотношение (10), а также учитывая РГ-инвариантность функции $C_{\mathrm{Bjp}}(a_s)$, получаем явный аналитический вид несинглетных и синглетных поправок к коэффициентной функции Бьёркена в V-схеме:
$$
\begin{equation}
C^{\mathrm{NS}}_{\mathrm{Bjp},V}(a_{s,V}) =1+\sum_{k\geqslant 1}c^{\mathrm{NS}}_{k,V}a^k_{s,V},\qquad C^{\mathrm{SI}}_V(a_{s,V})=\sum_{k\geqslant 4}c^{\mathrm{SI}}_{k,V} a^k_{s,V},
\end{equation}
\tag{29а}
$$
$$
\begin{equation}
c^{\mathrm{NS}}_{2,V}=\frac{21}{32}C^2_F-\frac{19}{24}C_FC_A+\frac{1}{12}C_FT_Fn_f,
\end{equation}
\tag{29в}
$$
$$
\begin{equation}
c^{\mathrm{NS}}_{3,V}=-\frac{3}{128}C^3_F+\biggl(\frac{295}{288} -\frac{11}{12}\zeta_3\biggr)C^2_FC_A+\biggl(\frac{73}{36} -\frac{\zeta_3}{8}-\frac{5}{6}\zeta_5\biggr)C_FC_AT_Fn_f+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{c^{\mathrm{NS}}_{3,V}={}}+\biggl(-\frac{4231}{1152}+\frac{11}{32}\zeta_3 +\frac{55}{24}\zeta_5+\frac{3}{16}\pi^2-\frac{3}{256}\pi^4\biggr)C_FC^2_A-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{c^{\mathrm{NS}}_{3,V}={}}-\frac{5}{24}C_FT^2_Fn^2_f +\biggl(-\frac{13}{36}+\frac{\zeta_3}{3}\biggr)C^2_FT_Fn_f,
\end{equation}
\tag{29г}
$$
$$
\begin{equation}
c^{\mathrm{NS}}_{4,V}=\biggl(-\frac{4823}{2048}-\frac{3}{8}\zeta_3\biggr)C^4_F +\biggl(-\frac{857}{1152}-\frac{971}{96}\zeta_3 +\frac{1045}{48}\zeta_5\biggr)C^3_FC_A+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{c^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}+\biggl(\frac{776809}{55296}+\frac{4921}{384}\zeta_3 -\frac{1375}{144}\zeta_5-\frac{385}{16}\zeta_7-\frac{21}{64}\pi^2 +\frac{21}{1024}\pi^4\biggr)C^2_FC^2_A+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{c^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}+\biggl[-\frac{247307}{13824}+\frac{4579}{1152}\zeta_3 +\frac{5557}{4608}\zeta_5-\frac{3223}{1536}\zeta^2_3+\frac{385}{64}\zeta_7 +\frac{27}{16}s_6-\frac{4621}{258048}\pi^6+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{c^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}+\pi^4\biggl(\frac{2953}{46080}-\frac{5}{192}\ln 2 -\frac{5}{96}\ln^2 2\biggr)+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{c^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}+\pi^2\biggl(-\frac{1361}{4608} +\frac{525}{512}\zeta_3+\frac{73}{32}\alpha_4-\frac{461}{384}\ln 2 +\frac{217}{256}\zeta_3\ln 2\biggr)\biggr]C_FC^3_A+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{c^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}+\biggl(\frac{317}{144}+\frac{109}{24}\zeta_3 -\frac{95}{12}\zeta_5\biggr)C^3_FT_Fn_f+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{c^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}+\biggl(-\frac{14177}{1728}-\frac{739}{144}\zeta_3 +\frac{205}{72}\zeta_5+\frac{35}{4}\zeta_7\biggr)C^2_FC_AT_Fn_f+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{c^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}+\biggl[\frac{47693}{3456}-\frac{77}{18}\zeta_3 +\frac{851}{512}\zeta_5+\frac{1921}{1536}\zeta^2_3 -\frac{35}{16}\zeta_7-\frac{9}{16}s_6+\frac{761}{215040}\pi^6+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{c^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}+\pi^4\biggl(-\frac{235}{4608} -\frac{5}{768}\ln 2+\frac{3}{256}\ln^2 2\biggr)+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{c^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}+\pi^2\biggl(\frac{641}{2304}-\frac{19}{256}\zeta_3 -\frac{3}{8}\alpha_4 -\frac{\ln 2}{64}-\frac{21}{128}\zeta_3\ln 2\biggr)\biggr]C_FC^2_AT_Fn_f+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{c^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}+\biggl(\frac{1891}{3456}-\frac{\zeta_3}{36}\biggr)C^2_FT^2_Fn^2_f+ \biggl(\!{-}\frac{8309}{3456}+\frac{9}{8}\zeta_3 -\frac{35}{36}\zeta_5-\frac{\zeta^2_3}{6} +\frac{\pi^4}{180}\biggr)C_FC_AT^2_Fn^2_f+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{c^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}+\frac{5}{72}C_FT^3_Fn^3_f +\biggl(-\frac{3}{16}+\frac{\zeta_3}{4} +\frac{5}{4}\zeta_5\biggr)\frac{d^{abcd}_Fd^{abcd}_A}{d_R}+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{c^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}+\biggl(\frac{13}{16}+\zeta_3 -\frac{5}{2}\zeta_5\biggr)\frac{d^{abcd}_Fd^{abcd}_F}{d_R}n_f+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{c^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}+\biggl[\frac{1511}{3840}\pi^6 +\pi^4\biggl(-\frac{117}{64}+\frac{35}{16}\ln 2+\frac{31}{16}\ln^2 2\biggr)+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{c^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}+\pi^2\biggl(\frac{929}{96}-\frac{827}{32}\zeta_3 -\frac{111}{2}\alpha_4+\frac{461}{8}\ln 2 -\frac{651}{16}\zeta_3\ln 2\biggr)\biggr]C_F\frac{d^{abcd}_Fd^{abcd}_A}{N_A}+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{c^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}+\biggl[\frac{5}{128}\pi^6 -\pi^4\biggl(\frac{23}{32}-\frac{\ln 2}{8}+\frac{3}{8}\ln^2 2\biggr)+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\hphantom{c^{\mathrm{NS}}_{4,V}={}}+\pi^2\biggl(\frac{79}{48}-\frac{61}{16}\zeta_3 +\frac{3}{4}\ln 2+\frac{63}{8}\zeta_3\ln 2\biggr)\biggr] C_F\frac{d^{abcd}_Fd^{abcd}_F}{N_A}n_f,
\end{equation}
\tag{29д}
$$
$$
\begin{equation}
c^{\mathrm{SI}}_{4,V}=c^{\mathrm{SI}}_4=\frac{1}{9}\beta_0d^{abc}d^{abc}.
\end{equation}
\tag{29е}
$$
Сравнивая теперь соотношения (19д) и (29д), можно выявить определенное сходство между аналитическими выражениями для $d^{\mathrm{NS}}_{4,V}$ и $c^{\mathrm{NS}}_{4,V}$. К примеру, в этих двух коэффициентах члены, пропорциональные цветовым структурам $d^{abcd}_Fd^{abcd}_A/d_R$, $d^{abcd}_Fd^{abcd}_Fn_f/d_R$, $C_Fd^{abcd}_Fd^{abcd}_A/N_A$, $C_Fd^{abcd}_Fd^{abcd}_Fn_f/N_A$, равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Тем же свойством обладают слагаемые, пропорциональные константам $\pi^6$, $s_6$, $\pi^4\ln 2$, $\pi^4\ln^2 2$, $\pi^2\alpha_4$, $\pi^2\ln 2$ и $\pi^2\zeta_3\ln 2$. Поэтому если рассмотреть сумму $d^{\mathrm{NS}}_{4,V}+c^{\mathrm{NS}}_{4,V}$, то в ней данные цветовые структуры и трансцендентные базисные константы сократятся. Этот факт будет играть важное значение при изучении условий факторизации члена $\Delta_{csb}(a_s)$ на функции $\beta(a_s)/a_s$ и $K(a_s)$ в соотношении КБК в V-схеме (см. обсуждения ниже). В случае группы $SU(3)$ получаем следующий численный вид коэффициентов функции $C_{\mathrm{Bjp},V}$:
$$
\begin{equation}
C_{\mathrm{Bjp},V}(a_{s,V})=1+\sum_{k\geqslant 1}c_{k,V}a^k_{s,V},
\end{equation}
\tag{30а}
$$
$$
\begin{equation}
c_{4,V}=-122.1910+30.87144n_f-1.531353n_f^2+0.0115741n_f^3+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
где $\eta_f=\sum_fQ_f$. 3.4. Ряды ТВ для функции Адлера, $R$-отношения и коэффициентной функции Бьёркена в $\overline{\mathrm{MS}}$-, V- и Ландау-mMOM-схемахЧтобы сравнить поведение рядов ТВ для функции Адлера, $R$-отношения и коэффициентной функции Бьёркена, мы рассматриваем выражения для этих величин в $\overline{\mathrm{MS}}$- [18], [64]–[70], [72]–[74], [76], V- (20б)–(20г), (22), (30в)–(30д) [28] и mMOM-схеме в калибровке Ландау [15], [29], [31] в случае цветовой группы $SU(3)$. Результаты цитируемых здесь работ представлены в табл. 1. Таблица 1.Ряды ТВ для функции Адлера, $R$-отношения и коэффициентной функции поляризованного правила сумм Бьёркена в КХД в $\overline{\mathrm{MS}}$-, V- и Ландау-mMOM-схемах. В выражениях для $D(Q^2)$ и $R(s)$ общий фактор $3\sum_f Q^2_f$ опущен. Здесь $\delta_f=(\sum_f Q_f)^2/(\sum_f Q^2_f)$ и $\eta_f=\sum_fQ_f$.
Данные табл. 1 указывают на то, что поправки к несинглетной части коэффициентной функции Бьёркена во всех трех схемах имеют знакопеременную структуру по $n_f$. Это наблюдение также справедливо и для поправок к функции Адлера в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме. В остальных случаях данная особенность не проявляется уже с порядка $a^3_s$. Этот факт может рассматриваться как аргумент в пользу хорошо известного утверждения о том, что мотивированное в рамках ренормалонного подхода разложение по большим степеням $\beta_0$ в большей степени оправдано для величин, вычисленных по теории возмущений в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме в евклидовой области [77]. Заметим, однако, что поправки ТВ к функции Адлера и коэффициентной функции Бьёркена в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме содержат вклады не только УФ-ренормалонов, приводящих к знакопеременным рядам, но также вклады ИК-ренормалонов, которые обуславливают знакопостоянность обсуждаемых рядов (см., например, [77], [78] и ссылки в этих работах). Возможные нерегулярности поведения в низких порядках ТВ могут быть вызваны сокращениями между ИК- и УФ-ренормалонами. Следует упомянуть, что аналитические выражения для $D(Q^2)$, $R(s)$ и $C_{\mathrm{Bjp}}(Q^2)$ в mMOM-схеме с произвольным линейным ковариантным калибровочным параметром в порядке $\mathcal O(a^4_s)$ могут быть найдены в работах [15], [27], [28]. Исследование поведения $R(s)$-отношения для процесса $e^+e^-\to\gamma^*\to\textit{адроны}$ в зависимости от энергии центра масс системы и изучение его схемной зависимости на примере трех обсуждающихся здесь схем перенормировок при $n_f=4,5$ было рассмотрено ранее в работах [14], [28]. 4. Соотношение КБК в V-схемеИспользуя полученные в предыдущих разделах аналитические выражения четвертого порядка ТВ в V-схеме для функции Адлера, коэффициентной функции поляризованного правила сумм Бьёркена и РГ $\beta$-функции, перейдем теперь к исследованию соотношения КБК (6) в этой схеме. Известно, что рассматриваемое соотношение выполняется в классе калибровочно-инвариантных MS-подобных схем по крайней мере в порядке $\mathcal O(a^4_s)$ [17], [18] (и, вероятно, во всех порядках ТВ [24]–[26]). Однако при этом остается невыясненным следующий вопрос: выполняется ли это соотношение и в других, отличных от MS-подобных калибровочно-инвариантных схемах? В данном разделе этот вопрос изучается на примере рассматриваемой калибровочно-инвариантной V-cхемы. Поставленная задача сводится к проверке факторизации выражения для нарушающего конформную симметрию члена $\Delta_{csb}$ в соотношении КБК в V-схеме, которое имеет следующий вид:
$$
\begin{equation}
D^{\mathrm{NS}}_{\mathrm V}(a_{s,\mathrm V}) C^{\mathrm{NS}}_{\mathrm{Bjp},\mathrm V}(a_{s,\mathrm V}) =1+\frac{\beta^\mathrm V(a_{s,\mathrm V})}{a_{s,\mathrm V}} K^\mathrm V(a_{s,\mathrm V}).
\end{equation}
\tag{31}
$$
Используя аналоги выражений (2.3a)–(2.3d) из работы [15], записанные в V-схеме и непосредственно вытекающие из проверяемого соотношения (31), находим, что первый коэффициент в разложении
$$
\begin{equation}
K^{\mathrm V}(a_{s,\mathrm V})=\sum_{n\geqslant 1}K^{\mathrm V}_na^n_{s,\mathrm V}
\end{equation}
\tag{32}
$$
совпадает с полученным в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме, а именно
$$
\begin{equation}
K^\mathrm V_1=\biggl(-\frac{21}{8}+3\zeta_3\biggr)C_F.
\end{equation}
\tag{33}
$$
Учитывая теперь результаты, полученные в V-схеме для поправок порядка $a^3_s$ к несинглетному по аромату вкладу функции Адлера (19г), коэффициентной функции Бьёркена (29г), а также двухпетлевое выражение для $\beta^V$ (14б), находим второй член в разложении (32):
$$
\begin{equation}
K^\mathrm V_2=\biggl(\frac{397}{96}+\frac{17}{2}\zeta_3-15\zeta_5\biggr)C^2_F +\biggl(-\frac{1453}{96}+\frac{53}{4}\zeta_3\biggr)C_FC_A +\biggl(\frac{31}{8}-3\zeta_3\biggr)C_FT_Fn_f.
\end{equation}
\tag{34}
$$
Аналитический член в выражении (34), пропорциональный фактору $C^2_F$, совпадает с его аналогом в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме [17] и с выражением в mMOM-схеме в калибровке Ландау $\xi=0$ [15], [27], [28]. Однако содержащий цветовую структуру $C_FT_Fn_f$ вклад (34) совпадает лишь с его аналогом в mMOM-схеме в калибровке Ландау, приведенным в работах [15], [27], [28], но отличается от аналогичного члена в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме, полученного в работе [17]. Причина этой особенности кроется в специфике определения mMOM-схемы [29], [30]. Действительно, для получения соотношения между константами связи $a_{s,M}$ в mMOM-схеме и $a_s$ в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме нужно знать лишь константы перенормировок полей глюонов и духов, и не требуется привлекать константы перенормировок различных вершин [29]. Учитывая условия перенормировок mMOM-схемы, можно получить следующее соотношение [15], [29], [30], [32]:
$$
\begin{equation}
a_{s,M}(\mu^2)=\frac{a_s(\mu^2)} {(1+\Pi_A(a_s(\mu^2),\xi(\mu^2)))(1+\Pi_c(a_s(\mu^2),\xi(\mu^2)))^2},
\end{equation}
\tag{35}
$$
где $\Pi_A$ и $\Pi_c$ – глюонные и духовые собственно-энергетические функции в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме. Они были вычислены с учетом явной зависимости от калибровочного параметра $\xi$ на трехпетлевом уровне в работе [79] и на четырехпетлевом уровне в работе [32]. При переходе к абелеву пределу группы $U(1)$ все зависящие от калибровки члены, пропорциональные собственному значению $C_A$ оператора Казимира в присоединенном представлении, обращаются в нуль, а остаются лишь структуры, пропорциональные фактору $C^i_F(T_Fn_f)^j$, в которых при переходе к абелеву пределу необходимо подставить $C_F=1$ и $T_F=1$. При этом аналог формулы (35) в случае группы $U(1)$ приобретает следующий вид:
$$
\begin{equation}
a_M(\mu^2)=\frac{a(\mu^2)}{1+\Pi_{\mathrm{QED}}(a(\mu^2))} =a_{\mathrm{MOM}}(\mu^2)=a_{\mathrm{inv}}(\mu^2).
\end{equation}
\tag{36}
$$
Левая часть формулы (36) соответствует определению РГ-инвариантного и схемно-независимого выражения для инвариантного заряда КЭД, описывающего высшие поправки к статическому потенциалу КЭД (за исключением не входящих в фотонную функцию поляризации вакуума (36) эффектов рассеяния света на свете, которые начинают появляться в порядке $\mathcal O(a^3)$). Этот факт указывает на близость калибровочно-зависимой mMOM-схемы и калибровочно-инвариантной V-cхемы в КХД и еще раз объясняет, почему совпадают вклады, пропорциональные цветовым структурам $C^2_F$ и $C_FT_Fn_f$ в выражении (34) в двух упомянутых выше различных схемах. Используя теперь несинглетные вклады к функциям $D(Q^2)$ (19д) и $C_{\mathrm{Bjp}}(Q^2)$ (29д) в порядке $a_s^4$, а также трехпетлевое выражение для $\beta^V$-функции (14в), получаем следующее выражение для третьего коэффициента в разложении (32):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, K^V_3={}&\biggl(\frac{2471}{768}+\frac{61}{8}\zeta_3 -\frac{715}{8}\zeta_5+\frac{315}{4}\zeta_7\biggr)C^3_F+{} \notag \\ &+\biggl(\frac{75143}{2304}+\frac{2059}{32}\zeta_3 -\frac{545}{6}\zeta_5-\frac{105}{8}\zeta_7\biggr)C^2_FC_A+{} \notag \\ &+\biggl(-\frac{1273}{144}-\frac{599}{24}\zeta_3 +\frac{75}{2}\zeta_5\biggr)C^2_FT_Fn_f+{} \notag \\ &+\biggl(-\frac{71389}{576}+\frac{15235}{192}\zeta_3 +\frac{2975}{48}\zeta_5-\frac{187}{8}\zeta^2_3+\frac{63}{32}\pi^2-{} \notag \\ &-\frac{9}{4}\pi^2\zeta_3-\frac{63}{512}\pi^4 +\frac{9}{64}\pi^4\zeta_3\biggr)C_FC^2_A+{} \notag \\ &+\biggl(\frac{40931}{576}-\frac{1771}{48}\zeta_3 -\frac{125}{3}\zeta_5+\frac{17}{2}\zeta^2_3\biggr)C_FC_AT_Fn_f+{} \notag \\ &+\biggl(-\frac{49}{6}+\frac{7}{2}\zeta_3+5\zeta_5\biggr)C_FT^2_Fn^2_f. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{37}
$$
Как и ожидалось, абелевы вклады в (37) совпадают с их аналогами в mMOM-схеме в калибровке Ландау, найденными в работе [15] (в отличие от соответствующих коэффициентов в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме [18], где лишь $C^3_F$-член совпадает с аналогичным результатом в V-схеме). Однако, в противоположность случаям применения $\overline{\mathrm{MS}}$- и mMOM-схем, в V-схеме коэффициент $K^V_3$ содержит дополнительные вклады в члене с цветовым фактором $C_FC^2_A$, пропорциональные трансцендентным комбинациям $\pi^2$, $\pi^2\zeta_3$, $\pi^4$ и $\pi^4\zeta_3$. Другие два неабелевых члена, пропорциональные факторам $C^2_FC_A$ и $C_FC_AT_Fn_f$, повторяют вид разложения по трансцендентным структурам, обнаруженным ранее в выражениях для коэффициентов $K_3$ в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме и mMOM-схеме с фиксированной калибровкой Ландау. Ранее уже отмечалось, что поправки к $d^{\mathrm{NS}}_{4,V}$ (19д) и $c^{\mathrm{NS}}_{4,V}$ (29д), связанные с эффектом рассеяния света на свете (l–b–l) и помеченные цветовыми структурами $d^{abcd}_Fd^{abcd}_A/d_R$, $d^{abcd}_Fd^{abcd}_Fn_f/d_R$, $C_Fd^{abcd}_Fd^{abcd}_A/N_A$ и $C_Fd^{abcd}_Fd^{abcd}_Fn_f/N_A$, сокращаются в выражении для суммы $d^{\mathrm{NS}}_{4,V}+c^{\mathrm{NS}}_{4,V}$, которая представима в следующем виде:
$$
\begin{equation}
(d^{\mathrm{NS}}_{4,V}+c^{\mathrm{NS}}_{4,V})\bigl|_{\mathrm{l-b-l}} =(d^{\mathrm{NS}}_4+c^{\mathrm{NS}}_4)\bigl|_{\mathrm{l-b-l}}{} -a_3(d^{\mathrm{NS}}_1+c^{\mathrm{NS}}_1)\bigl|_{\mathrm{l-b-l}}.
\end{equation}
\tag{38а}
$$
Формула (38а) напрямую следует из свойства РГ-инвариантности функций $D(Q^2)$ и $C_{\mathrm{Bjp}}(Q^2)$ и из соотношения (10). Следует подчеркнуть, что обсуждаемое взаимное сокращение является следствием конформной симметрии. Действительно, равенство $d^{\mathrm{NS}}_1+c^{\mathrm{NS}}_1=0$ является характерным следствием соотношения КБК и вытекает из неперенормируемости аксиал-вектор-векторной треугольной диаграммы в приближении порядка $\mathcal O(\alpha_s)$. Это свойство было подтверждено непосредственными вычислениями в работе [80]. Следовательно, в данном порядке ТВ применение процедуры перенормировок не приводит к появлению нарушающего конформную симметрию члена в соотношении КБК. В свою очередь, в конформно-симметричном пределе, в котором все коэффициенты $\beta_k$ РГ $\beta$-функции обращаются в нуль, сумма $d^{\mathrm{NS}}_4+c^{\mathrm{NS}}_4$ в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме выражается лишь через коэффициенты $d_k$ и $c_k$ при $1\leqslant k\leqslant 3$ (см., например, выражение (2.3d) в работе [15]), которые не содержат вкладов типа рассеяния света на свете. Это означает, что равенство $(d^{\mathrm{NS}}_4+c^{\mathrm{NS}}_4)|_{\mathrm{l-b-l}}=0$ действительно является следствием конформной симметрии [19]. Исходя из этих аргументов заключаем, что левая часть выражения (38а) тождественно равна нулю:
$$
\begin{equation}
(d^{\mathrm{NS}}_{4,V}+c^{\mathrm{NS}}_{4,V})\big|_{\mathrm{l-b-l}}=0.
\end{equation}
\tag{38б}
$$
Это свойство чрезвычайно важно для проверки выполнения соотношения КБК в V-схеме на уровне вкладов порядка $\mathcal O(\alpha^4_s)$. Действуя аналогичным образом, можно показать, что поправки, возникающие в выражении (4) для коэффициента $a_3$ и пропорциональные трансцендентным базисным константам $\pi^6$, $s_6$, $\pi^4\ln 2$, $\pi^4\ln^2 2$, $\pi^2\alpha_4$, $\pi^2\ln 2$ и $\pi^2\zeta_3\ln 2$, сократятся в сумме $d^{\mathrm{NS}}_{4,V}+c^{\mathrm{NS}}_{4,V}$. Эта особенность также связана с проявлением конформной симметрии1. Таким образом, мы продемонстрировали, что свойство факторизации нарушающего конформную симметрию вклада $\Delta_{csb}$ в соотношении КБК выполняется и в V-схеме по крайней мере в четвертом порядке ТВ. При этом возникает следующий вопрос: будет ли справедливым свойство факторизации и в других калибровочно-инвариантных схемах перенормировок, отличных от V- и MS-подобных схем? Ответ на этот вопрос будет дан в следующем разделе. 5. Соотношение КБК в различных калибровочно-инвариантных схемахВ данном разделе мы продолжаем ислледования, начатые в работе [15], в которой были сформулированы условия выполнения соотношения КБК в калибровочно-зависимых схемах перенормировок. В частности, там было показано, что если соотношение КБК верно в КХД в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме во всех порядках ТВ (аргументы в пользу справедивости этой предпосылки были приведены в работах [24]–[26]), то оно также будет выполняться во всех порядках ТВ и в широком классе MOM-схем с фиксированной ковариантной калибровкой Ландау. Распространим теперь идеи работы [15] на класс калибровочно-инвариантных схем перенормировок. Проведем весь анализ на примере частного случая V-схемы. При этом без ограничения общности под V-схемой можно понимать любую другую калибровочно-инвариантную схему, константа связи которой может быть выражена через константу связи $a_s$ $\overline{\mathrm{MS}}$-схемы при помощи соотношения, аналогичного (10), с некоторыми коэффициентами $a_k$. Учитывая РГ-инвариантность функций $D^{\mathrm{NS}}(a_s)$ и $C^{\mathrm{NS}}_{\mathrm{Bjp}}(a_s)$, а также явный вид нарушающего конформную симметрию члена в соотношении КБК, получаем следующее равенство:
$$
\begin{equation}
\frac{\beta(a_s)}{a_s}K(a_s) =\frac{\beta^V(a_{s,V}(a_s))}{a_{s,V}(a_s)}K^V(a_{s,V}(a_s)),
\end{equation}
\tag{39}
$$
связывающее между собой полиномы $K(a_s)$ и $K^V(a_{s, V})$ в $\overline{\mathrm{MS}}$- и V- (или произвольных калибровочно-инвариантных) схемах. Принимая во внимание схемную независимость первых двух коэффициентов (14а), (14б) РГ $\beta$-функции в классе калибровочно-инвариантных процедур перенормировок и подставляя выражение (10) в (39), приходим к следующим соотношениям между коэффициентами рассматриваемых полиномов в V- и $\overline{\mathrm{MS}}$-схемах: Коэффициенты $K_1$ и $K_2$ в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме были впервые найдены в работе [17]. Учитывая их явные выражения, убеждаемся, что соотношения (40) и (41) приводят к полному согласию с полученными выше результатами (33) и (34). Соотношение (41) аналогично выражению (4.3) из работы [15] для связи между коэффициентами $K_2$ в mMOM- и $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме. Однако, как видно из (41), теперь оно не содержит вкладов, пропорциональных фактору $1/\beta_0$. Этот факт является следствием схемной независимости двухпетлевого коэффициента $\beta_1$ в классе калибровочно-инвариантных схем, к числу которых относится и V-схема. Напомним, что в калибровочно-зависимых процедурах перенормировок, таких как mMOM-схема, двухпетлевой коэффициент РГ $\beta$-функции уже зависит от калибровки. В работе [15] было показано, что соотношение КБК выполняется в mMOM-схеме в приближении $\mathcal O(a^3_s)$ лишь при трех значениях калибровочного параметра, а именно при $\xi=0,-1,-3$. При таких значениях $\xi$ упомянутый выше вклад при факторе $1/\beta_0$ обращается в нуль. Проводя аналогичные действия в следующем порядке ТВ, мы приходим к выражению для коэффициента $K^V_3$:
$$
\begin{equation}
K^V_3=K_3-3a_1K_2 +\biggl(\frac{\beta_2-\beta^V_2-a_1\beta_1}{\beta_0}+5a^2_1-2a_2\biggr)K_1.
\end{equation}
\tag{42}
$$
Учитывая соотношение (13б), получаем упрощенную форму выражения (42) без фактора $1/\beta_0$: Коэффициент $K_3$ известен благодаря результатам работы [18]. Применение формулы (43) позволяет воспроизвести выражение (37). Отметим, что форма записи соотношения (43) намного проще формы аналогичного выражения (4.7), приведенного в работе [15] для случая mMOM-схемы с произвольным калибровочным параметром. Как было показано в указанной работе, на уровне вкладов порядка $\mathcal O(a^4_s)$ соотношение КБК останется справедливым в mMOM-схеме (а также других MOM-схемах в КХД) лишь в калибровке Ландау $\xi=0$. Применяя наши рассуждения на случай еще более высоких порядков ТВ и используя выражения (13б)–(13г), получаем следующие соотношения:
$$
\begin{equation}
K^V_4={} K_4-4a_1K_3+(10a^2_1-4a_2)K_2+(20a_1a_2-20a^3_1-4a_3)K_1,
\end{equation}
\tag{44}
$$
$$
\begin{equation}
K^V_5={} K_5-5a_1K_4+(15a^2_1-5a_2)K_3+(30a_1a_2-35a^3_1-5a_3)K_2+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
где $K_4$ и $K_5$ – пока еще неизвестные коэффициенты соотношения КБК (6) в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме, а $a_4$ представляет собой тоже пока еще не вычисленную четырехпетлевую поправку к статическому потенциалу (1). Нетрудно получить аналогичные выражения для членов $K^V_n$ в произвольном порядке ТВ. Таким образом, мы убеждаемся в справедливости следующего утверждения: если соотношение КБК в КХД выполняется в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме во всех порядках ТВ, то оно также верно и в произвольной калибровочно-инвариантной схеме перенормировок с “неэкзотическими” коэффициентами $a_k$, которые входят в соотношение между константами связи в рассматриваемой схеме и в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме (см. аналог соотношения (10)). Под термином “неэкзотические” мы подразумеваем такие коэффициенты, которые сами по себе являются полиномами по степеням $n_f$ с постоянными коэффициентами в виде алгебраических или трансцендентных чисел. Например, в калибровочно-инвариантной схеме ’т Хофта [81], [82] коэффициенты $a_k$ не являются полиномами по $n_f$, потому что содержат члены, пропорциональные фактору $1/\beta_0$. РГ $\beta$-функция в этой схеме содержит только два ненулевых схемно-независимых коэффициента, а оставшиеся устраняются конечной перенормировкой заряда. Как было продемонстрировано в работе [83], переход от $\overline{\mathrm{MS}}$-схемы к схеме ’т Хофта нарушает свойство факторизации нарушающего конформную симметрию члена $\Delta_{csb}$ в соотношении КБК. 6. Случай КЭДРассмотрим теперь КЭД с числом заряженных лептонов $N$. Переход к случаю абелевой группы $U(1)$ осуществляется при помощи подстановок $C_A=0$, $C_F=1$, $T_F=1$, $d^{abcd}_A=0$, $d^{abcd}_{F}=1$, $d^{abc}=1$, $N_A=1$, $d_R=1$, $n_f=N$. Используя аналитические выражения (14а)–(14г) для четырехпетлевой $\beta$-функции в V-схеме, полученные для случая общей простой калибровочной группы, и учитывая описанный выше способ перехода к группе $U(1)$, можно найти КЭД-аналог $\beta$-функции в V-схеме:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \beta^V_{\mathrm{QED}}(a_V)={}&\frac{1}{3}Na_V^2+\frac{1}{4}Na_V^3 +\biggl(-\frac{1}{32}N +\biggl(\frac{1}{3}\zeta_3 -\frac{23}{72}\biggr)N^2\biggr)a_V^4+{} \notag \\ &+\biggl(-\frac{23}{128}N+\biggl(\frac{13}{32}+\frac{2}{3}\zeta_3 -\frac{5}{3}\zeta_5+\frac{2}{3}\mathcal{C}\biggr)N^2 +\biggl(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\zeta_3\biggr)N^3\biggr)a_V^5, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{46}
$$
где $a_V=\alpha_V/\pi$. Введенная константа $\mathcal{C}$ естественным образом возникает в определении статического потенциала, записанного в терминах инвариантного заряда КЭД:
$$
\begin{equation}
V_{\mathrm{QED}}(\vec q^{\,2})=-\frac{4\pi}{\vec q^{\,2}} \frac{\alpha(\mu^2)}{1+\Pi_{\mathrm{QED}}(\vec q^{\,2}/\mu^2,\alpha)} \biggl(1+N\cdot\mathcal C\biggl(\frac{\alpha}{\pi}\biggr)^3+\dotsb\biggr).
\end{equation}
\tag{47}
$$
Здесь $\mathcal C$ есть вклад, связанный с появлением диаграмм типа рассеяния света на свете в статическом потенциале [13], который на этом уровне ТВ не возникает в выражении для поляризационной функции фотона $\Pi_{\mathrm{QED}}$ (см. [11]):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal C={}&\frac{5}{96}\pi^6 -\pi^4\biggl(\frac{23}{24}-\frac{\ln 2}{6}+\frac{\ln^2 2}{2}\biggr)+{} \notag \\ &+\pi^2\biggl(\frac{79}{36}-\frac{61}{12}\zeta_3+\ln 2 +\frac{21}{2}\zeta_3\ln 2\biggr)\approx -0.888062. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{48}
$$
Численный эффект поправки $2\mathcal CN^2a^5_V/3$ в (46) не является пренебрежимо малым по сравнению с вкладом оставшейся части, пропорциональной $N^2a^5_V$, а наоборот, является доминирующим. Выражение (46) следует сравнить с результатом для $\beta$-функции в MOM-схеме в КЭД, которая тождественно равна вычисленной в работе [84] $\Psi$-функции Гелл-Манна–Лоу:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \beta^{\mathrm{MOM}}_{\mathrm{QED}}(a_{\mathrm{MOM}}) ={}&\Psi(a_{\mathrm{MOM}})=\frac{1}{3}Na_{\mathrm{MOM}}^2 +\frac{1}{4}Na_{\mathrm{MOM}}^3+{} \notag \\ &+\biggl(-\frac{1}{32}N+\biggl(\frac{1}{3}\zeta_3 -\frac{23}{72}\biggr)N^2\biggr)a_{\mathrm{MOM}}^4+{} \notag \\ &+\biggl(-\frac{23}{128} N+\biggl(\frac{13}{32} +\frac{2}{3}\zeta_3-\frac{5}{3}\zeta_5\biggr)N^2+\biggl(\frac{1}{2} -\frac{1}{3}\zeta_3\biggr)N^3\biggr)a_{\mathrm{MOM}}^5, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{49}
$$
где $a_{\mathrm{MOM}}=\alpha_{\mathrm{MOM}}/\pi$ совпадает с инвариантным зарядом КЭД (36). Отметим, что выражение (49) также может быть получено из аналитического результата для $\beta$-функции в mMOM-схеме в теории с общей простой калибровочной группой [30], [32] в результате перехода к случаю группы $U(1)$. Этот факт непосредственно следует из формул (35) и (36). На трехпетлевом уровне $\beta^V_{\mathrm{QED}}$ (46) по форме полностью совпадает с $\Psi$-функцией Гелл-Манна–Лоу (49). Различие между ними начинает проявляться лишь с четвертого порядка ТВ благодаря дополнительному вкладу $2\mathcal CN^2a^5_V/3$, связанному с эффектом рассеяния света на свете в пертурбативном выражении для статического кулоновского потенциала (47):
$$
\begin{equation}
\beta^V_{3,\mathrm{QED}}=\Psi_3+\frac{2}{3}\mathcal CN^2.
\end{equation}
\tag{50}
$$
Полученный результат может быть представлен в следующем компактном виде:
$$
\begin{equation}
a_V=a_{\mathrm{MOM}}+\mathcal CNa^4_{\mathrm{MOM}}+\mathcal O(a^5_{\mathrm{MOM}}).
\end{equation}
\tag{51}
$$
Аргументы, приведенные в этом разделе и в разделе 4, позволяют нам заключить, что в КХД V-схема обладает многими свойствами, схожими со свойствами MOM-подобных схем в калибровке Ландау. Поскольку в КЭД различие между константами связи $a_V$ и $a_{\mathrm{MOM}}$ (51) начинает проявляться лишь с члена порядка $\alpha^4$, то, с некоторыми оговорками, V-схему в КХД можно рассматривать как калибровочно-независимую схему, в которой возможно построение аналога инвариантного заряда, а точнее калибровочно-инвариантных комбинаций соответствующих функций Грина. Напомним, что в КХД в рамках калибровочно-зависимых схем импульсных вычитаний невозможно ввести понятие инвариантного заряда (детали см., например, в [14]). Полагая $N=1$ в (46) и (49), получаем следующие выражения в численном виде:
$$
\begin{equation}
\beta^V_{\mathrm{QED}}(a_V) =0.3333a_V^2+0.25a_V^3+0.0499a_V^4 -1.19301a_V^5,
\end{equation}
\tag{52}
$$
$$
\begin{equation}
\Psi(a_{\mathrm{MOM}}) =0.3333a_{\mathrm{MOM}}^2 +0.25a_{\mathrm{MOM}}^3+0.0499a_{\mathrm{MOM}}^4 -0.60096a_{\mathrm{MOM}}^5.
\end{equation}
\tag{53}
$$
Можно заметить, что даже при $N=1$ численный эффект от типичного для V-схемы вклада рассеяния света на свете значителен и почти равен величине удвоенной четырехпетлевой поправки к $\Psi$-функции. Перейдем теперь к рассмотрению соотношений между поправками высших порядков ТВ к $\beta^V_{\mathrm{QED}}$ и $\Psi$-функциям. Зависимость этих РГ-функций от числа $N$ заряженных лептонов описывается при помощи следующих выражений:
$$
\begin{equation}
\beta^V_{\mathrm{QED}}(a_V) =\beta^{V(1)}_{\mathrm{QED},0}Na_V^2 +\sum_{i\geqslant 1}\sum_{k=1}^i\beta^{V(k)}_{\mathrm{QED},i}N^ka_V^{i+2},
\end{equation}
\tag{54}
$$
$$
\begin{equation}
\Psi(a_{\mathrm{MOM}}) =\Psi^{(1)}_0Na_{\mathrm{MOM}}^2 +\sum_{i\geqslant 1}\sum_{k=1}^i\Psi^{(k)}_iN^ka_{\mathrm{MOM}}^{i+2}.
\end{equation}
\tag{55}
$$
Как мы уже видели, коэффициенты $\beta^{V(k)}_{\mathrm{QED},i}$ и $\Psi^{(k)}_i$ отличаются только вкладами $\Delta\beta_{\mathrm{QED},i}^{V(k)}$, являющимися эффектами рассеяния света на свете в статическом потенциале:
$$
\begin{equation}
\beta_{\mathrm{QED},i}^{V(k)}=\Psi_i^{(k)}+\Delta\beta_{\mathrm{QED},i}^{V(k)}.
\end{equation}
\tag{56}
$$
Этот факт непосредственно следует из определения константы связи $a^V$ в V-схеме (см. КЭД-аналог формул (8) и (47)) и из соотношения (36). Понятно, что дополнительное слагаемое $\Delta\beta_{\mathrm{QED},i}^{V(k)}$ появляется только при $\{i,k\}=\{i\geqslant 3,\,2\leqslant k\leqslant i-1\}$. В случаях, когда $\{i,k\}=\{i\geqslant 3,\,k=1$ или $k=i\}$, коэффициенты $\beta^V$ и $\Psi$-функций совпадают. Мы уже наблюдали данный эффект на четырехпетлевом уровне:
$$
\begin{equation}
\beta_{\mathrm{QED},3}^{V(1)}=\Psi_3^{(1)}=-\frac{23}{128},\qquad \beta_{\mathrm{QED},3}^{V(3)}=\Psi_3^{(3)} =\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\zeta_3.
\end{equation}
\tag{57}
$$
РГ $\beta$-функция в MOM-схеме ($\Psi$-функция Гелл-Манна–Лоу) была вычислена в КЭД на пятипетлевом уровне в работе [85] для произвольного числа $N$ (там также был вычислен результат для $\beta$-функции в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме в том же приближении):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Psi_4={}&\biggl(\frac{4157}{6144}+\frac{1}{8}\zeta_3\biggr)N +\biggl(-\frac{251}{256}-\frac{23}{24}\zeta_3 -\frac{45}{8}\zeta_5+\frac{35}{4}\zeta_7\biggr)N^2+{} \notag \\ &+\biggl(-\frac{3383}{3456}-\frac{205}{72}\zeta_3 +\frac{5}{2}\zeta_5+\zeta^2_3\biggr)N^3 +\biggl(-\frac{67}{72}+\frac{7}{18}\zeta_3+\frac{5}{9}\zeta_5\biggr)N^4. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{58}
$$
Этот же результат может быть получен при переходе к пределу группы $U(1)$ от выражения для пятипетлевой $\beta$-функции, найденной в работе [32] в mMOM-схеме с произвольным калибровочным параметром в случае общей простой калибровочной группы. Используя формулу (13г) и явное выражение для $\beta_4$ в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме [85], получаем пятипетлевой коэффициент $\beta^V_{\mathrm{QED}}$-функции:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \beta^V_{\mathrm{QED},4}={}&\biggl(\frac{4157}{6144}+\frac{1}{8}\zeta_3\biggr)N +\biggl(-\frac{49}{48}-\frac{53}{96}\zeta_3+\frac{65}{32}\zeta_5 +\frac{1}{4}\mathcal{C}+a^{(1)}_4\biggr)N^2+{} \notag \\ &+\biggl(-\frac{4255}{4608}+\frac{1013}{144}\zeta_3 -\frac{13}{96}\zeta_4-\frac{215}{36}\zeta_5-\frac{5}{3}\zeta^2_3 +\frac{20}{9}\mathcal{C}+a^{(2)}_4\biggr)N^3+{} \notag \\ &+\biggl(\frac{118907}{31104}-\frac{71}{24}\zeta_3+a^{(3)}_4\biggr)N^4, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{59}
$$
где константа $\mathcal C$ была определена выше, и по аналогии с соотношением (4) мы использовали разложение четырехпетлевого коэффициента $a_4$ для статического потенциала КЭД по степеням числа $N$ заряженных лептонов:
$$
\begin{equation}
a_4=\biggl(\frac{5}{9}\biggr)^4N^3+a^{(3)}_4N^3+a^{(2)}_4N^2+a^{(1)}_4N.
\end{equation}
\tag{60}
$$
Отметим, что слагаемое $-13\zeta_4/96$ в коэффициенте $\beta^V_{\mathrm{QED},4}$ при члене $N^3$ (59) не связано с эффектами рассеяния света на свете, а возникает из вычислений поправки $\beta_4$ в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме (см. [85]–[87]). Как мы и ожидали, линейные по $N$ члены оказываются равными друг другу в выражениях (58) и (59):
$$
\begin{equation}
\beta_{\mathrm{QED},4}^{{V(1)}}=\Psi_4^{(1)}=\frac{4157}{6144}+\frac{1}{8}\zeta_3.
\end{equation}
\tag{61}
$$
В работе [88] было объяснено, что схемная независимость этих линейных членов в безмассовой КЭД является следствием рассмотрения ее конформно-инвариантного предела. Величина вклада $a^{(3)}_4$ может быть определена из условия равенства коэффициентов $\beta_{\mathrm{QED},4}^{V(4)}$ и $\Psi_4^{(4)}$ в (58) и (59). Это дает следующий результат:
$$
\begin{equation}
a^{(3)}_4 =-\frac{147851}{31104}+\frac{241}{72}\zeta_3+\frac{5}{9}\zeta_5,
\end{equation}
\tag{62}
$$
$$
\begin{equation}
\beta_{\mathrm{QED},4}^{{V(4)}} =\Psi_4^{(4)} =-\frac{67}{72}+\frac{7}{18}\zeta_3+\frac{5}{9}\zeta_5.
\end{equation}
\tag{63}
$$
Четырехпетлевые выражения для $\beta_{\mathrm{QED},4}^{{V(2)}}$ и $\beta_{\mathrm{QED},4}^{{V(3)}}$ содержат вклады, связанные с эффектами типа рассеяния света на свете в статическом потенциале. Эти эффекты входят в константу $\mathcal C$ на трехпетлевом уровне и в коэффициенты $a^{(1)}_4$ и $a^{(2)}_4$ (59) на четырехпетлевом уровне. Опираясь на результаты работы [13], можно сделать вывод о том, что вклады этих эффектов выделены среди других вкладов, не связанных с эффектами рассеяния света на свете, трансцендентными константами, пропорциональными четным степеням числа $\pi$ (см. выражение (48)). В таком случае, без учета этих пока еще неизвестных вкладов рассеяния света на свете, поправки $a^{(1)}_4$ и $a^{(2)}_4$ имеют следующий вид:
$$
\begin{equation}
a^{(1)}_4|_{\mathrm{no \, l-b-l}} =\frac{31}{768}-\frac{13}{32}\zeta_3 -\frac{245}{32}\zeta_5+\frac{35}{4}\zeta_7,
\end{equation}
\tag{64}
$$
$$
\begin{equation}
a^{(2)}_4|_{\mathrm{no \, l-b-l}} =-\frac{767}{13824}-\frac{1423}{144}\zeta_3 +\frac{13}{96}\zeta_4+\frac{305}{36}\zeta_5+\frac{8}{3}\zeta^2_3.
\end{equation}
\tag{65}
$$
Эти выражения прямо следуют из равенства коэффициентов $\Psi^{(2)}_4$ и $\beta_{\mathrm{QED},4}^{V(2)}$, а также из равенства $\Psi^{(3)}_4$ и $\beta_{\mathrm{QED},4}^{V(3)}$ в приближении, когда эффекты рассеяния света на свете в статическом потенциале не учитываются. При этом оказываются справедливыми следующие соотношения:
$$
\begin{equation}
\beta_{\mathrm{QED},4}^{{V(2)}}={} \Psi_{4}^{(2)} +\Delta\beta_{\mathrm{QED},4}^{{V(2)}}, \qquad \Delta\beta_{\mathrm{QED},4}^{{V(2)}} =a^{(1)}_4|_{\mathrm{l-b-l}}+\frac{1}{4}\mathcal C,
\end{equation}
\tag{66}
$$
$$
\begin{equation}
\beta_{\mathrm{QED},4}^{{V(3)}} ={} \Psi_4^{(3)}+\Delta\beta_{\mathrm{QED},4}^{V(3)}, \qquad \Delta\beta_{\mathrm{QED},4}^{V(3)} =a^{(2)}_4|_{\mathrm{l-b-l}}+\frac{20}{9}\mathcal C.
\end{equation}
\tag{67}
$$
Выражения (62), (64) и (65) легко обобщаются на случай теории с общей простой калибровочной группой. Тогда они приобретают более ясный и понятный смысл:
$$
\begin{equation}
a^{(3)}_4|_{\mathrm{abelian}}={} \biggl(-\frac{147851}{31104} +\frac{241}{72}\zeta_3+\frac{5}{9}\zeta_5\biggr)C_FT^3_F,
\end{equation}
\tag{68}
$$
$$
\begin{equation}
a^{(2)}_4|_{\mathrm{abelian},\,\mathrm{no\, l-b-l}} ={} \biggl(\frac{13025}{13824}-\frac{403}{36}\zeta_3-\frac{11}{96}\zeta_4 +\frac{175}{18}\zeta_5+2\zeta^2_3\biggr)C^2_FT^2_F+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+\biggl(-\frac{431}{432}+\frac{21}{16}\zeta_3 +\frac{1}{4}\zeta_4-\frac{5}{4}\zeta_5 +\frac{2}{3}\zeta^2_3\biggr)\frac{d^{abcd}_Fd^{abcd}_F}{N_A},
\end{equation}
\tag{69}
$$
$$
\begin{equation}
a^{(1)}_4|_{\textrm{abelian},\,\mathrm{no\, l-b-l}} ={} \biggl(\frac{31}{768}-\frac{13}{32}\zeta_3 -\frac{245}{32}\zeta_5+\frac{35}{4}\zeta_7\biggr)C^3_FT_F.
\end{equation}
\tag{70}
$$
Вклад $d^{abcd}_Fd^{abcd}_F$ в $a^{(2)}_4$ (69) появляется из аналогичной поправки $d^{abcd}_Fd^{abcd}_F$ к коэффициентам $\beta_3$ и $\beta_4$. Этот факт непосредственно следует из (13г), где абелевы члены, пропорциональные цветовым структурам $C_F$ и $d^{abcd}_Fd^{abcd}_F$, могут быть определены из рассмотрения коэффициента $\beta^{\mathrm{mMOM}}_4$ [32] (абелевы вклады которого в калибровке Ландау совпадают с аналогичными вкладами в коэффициенте $\beta^V_4$, если не учитывать поправок, связанных с эффектами рассеяния света на свете в статическом потенциале), а также из аналитических результатов для $\beta_3$ [54], [55] и $\beta_4$ [86], [87] в случае общей простой калибровочной группы. Подчеркнем, что выражения (68)–(70) полностью согласуются с аналогичными результатами, приведенными в соотношении (14.4) в работе [35]. 7. ЗаключениеВ данной работе получено явное аналитическое выражение для РГ $\beta$-функции в калибровочно-инвариантной V-схеме на четырехпетлевом уровне в случае общей простой калибровочной группы. Пользуясь ренорминвариантностью функции Адлера процесса $e^+e^-\to\gamma^*\to\textit{адроны}$, $R_{e^+e^-}(s)$-отношения, а также коэффициентной функции правила сумм Бьёркена глубоконеупругого рассеяния заряженных поляризованных лептонов на нуклонах, мы получили поправки к данным величинам в V-схеме вплоть до четвертого порядка ТВ включительно. Проведено сравнение этих результатов в V-схеме с аналогичными выражениями в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме и mMOM-схеме в калибровке Ландау. В случаях функции Адлера и $R_{e^+e^-}(s)$-отношения в V- и mMOM-схемах отмечено нерегулярное поведение пертурбативных поправок при их разложении по степеням $n_f$ в высших порядках. Учитывая полученные результаты в V-схеме, мы продемонстрировали, что соотношение КБК остается справедливым в этой эффективной схеме на уровне $\mathcal O(\alpha^4_s)$. Далее была доказана высказанная нами гипотеза о том, что факторизация члена $\Delta_{csb}(a_s)$, входящего в соотношение КБК и нарушающего конформную симметрию, на множители $\beta(a_s)/a_s$ и полином $K(a_s)$ по константе связи выполняется в любой калибровочно-инвариантной схеме по крайней мере в четвертом порядке ТВ. Единственное требование – выбранная при этом калибровочно-инвариантная схема не должна приводить к “экзотическим” коэффициентам в соотношении между константами связи, определяемыми в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме и в данной рассматриваемой схеме, т. е. эти коэффициенты должны быть полиномами по числу ароматов кварков $n_f$. Более того, оказывается, что если соотношение КБК в КХД верно в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме во всех порядках ТВ, то оно выполняется также во всех порядках и для всего класса обсуждаемых калибровочно-инвариантных схем перенормировок. Показано, что в КЭД коэффициенты $\beta$-функции в V-схеме совпадают с аналогичными коэффициентами в MOM-схеме на трехпетлевом уровне. В четвертом порядке ТВ члены, пропорциональные $N^2$, начинают различаться на поправку, связанную с появлением эффектов рассеяния света на свете в статическом потенциале. Остальные члены, пропорциональные $N$ и $N^3$, оказываются неизменными. В еще более высоких порядках ТВ эта тенденция сохраняется, т. е. два члена, зависящих от числа лептонов $N$, всегда совпадают в коэффициентах функций $\beta^V_{\mathrm{QED}}$ и $\Psi$, а остальные отличаются на поправку, связанную с рассеянием света на свете в статическом потенциале. Основываясь на этих выводах, нами фиксировано несколько вкладов в четырехпетлевую поправку к статическому потенциалу в случае общей простой калибровочной группы, подтверждающих недавние независимые результаты работы [35]. Приложение АРассмотрим интегральное представление кратных дзета-функций. Они определяются следующим образом:
$$
\begin{equation}
\zeta_{m_1,\dots,m_k}=\sum_{i_1=1}^\infty\sum_{i_2=1}^{i_1-1}\dotsb \sum_{i_k=1}^{i_{k-1}-1}\prod_{j=1}^k \frac{\operatorname{sgn}(m_j)^{i_j}}{i_j^{|m_j|}}.
\end{equation}
\tag{71}
$$
Эти функции детально исследовались в ряде работ (см., например, [89]–[91], [61]). Мы будем использовать дзета-функцию Гурвица–Лерха и ее интегральное представление
$$
\begin{equation}
\Phi(z,s,q)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^1\frac{x^{q-1}(-\ln x)^{s-1}}{1-zx}\,dx,
\end{equation}
\tag{73}
$$
которое справедливо при $\operatorname{Re}(q)>0$, $\operatorname{Re}(s)>0$ и $z\in[-1;1)$ или $\operatorname{Re}(s)>1$ и $z=1$. Тогда константу $\zeta_{-5,-1}$ с трансцендентностью веса 6, появляющуюся в процессе вычисления трехпетлевой поправки к статическому потенциалу [13], можно представить в рассмотренном в [28] виде:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \zeta_{-5,-1}&=\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k^5} \sum_{i=1}^{k-1}\frac{(-1)^i}{i} =\frac{15}{16}\zeta_5\ln 2-\sum_{k=1}^\infty\frac{\Phi(-1,1,k)}{k^5}= \notag \\ &=\frac{15}{16}\zeta_5\ln 2 -\int_0^1\frac{dx}{x(x+1)}\sum_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k^5} =\frac{15}{16}\zeta_5\ln 2-\zeta_6+\int_0^1\,dx\frac{\mathrm{Li}_5(x)}{x+1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{74}
$$
Следовательно, константа $s_6=\zeta_6+\zeta_{-5,-1}$ может быть записана в следующем виде, представленном в работе [90]:
$$
\begin{equation}
s_6=\frac{15}{16}\zeta_5\ln 2 +\int_0^1dx\,\frac{\mathrm{Li}_5(x)}{x+1}\approx 0.9874414.
\end{equation}
\tag{75}
$$
Аналогично можно получить соответствующие интегральные представления для кратных дзета-функций с другими значениями аргументов, которые возникают на промежуточном этапе вычислений в работе [13]:
$$
\begin{equation}
\zeta_{5,2} =\zeta_5\zeta_2-\zeta_7+\int_0^1dx\, \frac{{\mathrm{Li}_5}(x)\ln x}{1-x}\approx 0.0385751,
\end{equation}
\tag{76}
$$
$$
\begin{equation}
\zeta_{-5, 2} =-\frac{15}{16}\zeta_5\zeta_2+\frac{63}{64}\zeta_7 +\int_0^1dx\,\frac{{\mathrm{Li}_5}(-x)\ln x}{1-x}\approx 0.0271089.
\end{equation}
\tag{77}
$$
Отметим, что функция $\zeta_{5,3}$ явно появляется при вычислении $\beta$-функции в скалярной теории $\phi^4$ с симметрией относительно преобразований ортогональной группы $O(N)$ в $\overline{\mathrm{MS}}$-схеме в шестипетлевом приближении [92] (функция $\zeta_{5,3}$ в работе [92] была обозначена как $\zeta_{3,5}$):
$$
\begin{equation}
\zeta_{5,3}=\zeta_3\zeta_5-\zeta_8 -\frac{1}{2}\int_0^1dx\,\frac{\mathrm{Li}_5(x)\ln^2(x)}{1-x}\approx 0.0377077.
\end{equation}
\tag{78}
$$
Приложение БИнтересно отметить некоторые общие черты соотношения КБК и правила сумм действия [93]–[97], которое также известно как правило сумм Мишеля. Действительно, оба они содержат член с конформной аномалией, отражающий эффект нарушения конформной симметрии. Подчеркнем, что правило сумм действия может быть напрямую использовано также и в проводимых в непертурбативной области исследованиях. Напомним, что конформная аномалия в следе тензора энергии-импульса безмассовой теории с калибровочной группой $SU(N_c)$ в евклидовой области имеет следующий вид [98]–[100]:
$$
\begin{equation}
T_{\mu\mu}(x)=\frac{\beta(a_s)}{2a_s}F^a_{\mu\nu}(x)F^a_{\mu\nu}(x) =2\frac{\beta(a_s)}{a_s}\mathcal L(x),
\end{equation}
\tag{79}
$$
где $\mathcal L(x)$ – глюонная калибровочная часть евклидовой плотности лагранжиана теории $SU(N_c)$, выраженная через евклидовы хромоэлектрические и хромомагнитные поля:
$$
\begin{equation}
\mathcal L(x)=\frac{1}{4}F^a_{\mu\nu}(x)F^a_{\mu\nu}(x) =\frac{1}{2}(\vec E(x)^2+\vec B(x)^2).
\end{equation}
\tag{80}
$$
Обратим внимание на то, что из-за изменения сигнатуры метрики квадрат евклидова электрического поля имеет значение, противоположное его минковскому аналогу, в то время как знаки квадратов евклидова и минковского магнитных полей совпадают. Правило сумм действия связывает определенную комбинацию статического потенциала с евклидовыми хромоэлектрическими и хромомагнитными конденсатами, а также с $\beta$-функцией [93]–[97]:
$$
\begin{equation}
\widetilde V(r)+r\,\frac{\partial\widetilde V(r)}{\partial r} =\frac{\beta(a_s)}{a_s}\biggl\langle\int d^3x\,(\vec E(x)^2+\vec B(x)^2)\biggr\rangle_r,
\end{equation}
\tag{81}
$$
где $\widetilde V(r)$ – статический потенциал в координатном пространстве, включающий в себя как пертурбативную, так и непертурбативную компоненту, $\langle\,{\cdot}\,\rangle_r$ – вакуумное среднее при наличии статической пары кварк–антикварк, которые разнесены друг от друга на расстояние $r$, за вычетом вакуумного среднего, не содержащего кварк-антикварковых конфигураций. Было бы интересно изучить возможную связь между правилом сумм действия и соотношением КБК. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KatMol23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|