| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях) БРСТ–БВ-подход к описанию взаимодействующих полей высших спинов А. А. Решетнякabc a Центр теоретической физики, Томский государственный педагогический университет, Томск, Россия b Национальный исследовательский Томский государственный университет, Томск, Россия c Томский политехнический университет, Томск, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923100070 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеПредположение о том, что теория полей высших спинов может способствовать формулированию квантовой гравитации, а также открыть новые возможности для физики за рамками Стандартной модели, связанные с элементарными частицами материи и переносчиками взаимодействий высших спинов, является одним из наиболее привлекательных для построения взаимодействий в современной теоретической физике высоких энергий. Пристальное внимание к полям высших спинов обусловлено их существенной связью с (супер)струнной теорией поля (см., например, работы [1]–[7], а также приведенные в них ссылки). Структуры вершин третьего (кубичных) и четвертого (четвертичных) порядков для различных полей высших спинов исследовались многими авторами в рамках разных методов (см., например, недавние работы, а также приведенные в них ссылки, для вершин третьего [8]–[21] и четвертого порядков [22]–[24]). Подчеркнем, что результаты, относящиеся к структуре вершин третьего порядка, получены точно в терминах физических степеней свободы в формализме светового конуса [16], [25]. В ковариантной метрической форме список вершин третьего порядка для приводимых представлений группы Пуанкаре с дискретным спином (совместный с [25]) содержится в работе [13], где вершины третьего порядка выведены с использованием ограниченного БРСТ-подхода, однако без наложения на вершину алгебраических связей. Также отметим построение вершин третьего порядка в рамках БРСТ-подхода без использования связей, ответственных за следовые условия в БРСТ-операторе, т. е. для приводимых полей высших спинов (см., например, [15] и цитируемую там литературу). Вместе с тем формулировка БРСТ–БВ-подхода для построения минимального действия Баталина–Вилковыского (БВ) [26]–[28], кодирующего калибровочную алгебру для калибровочной модели с (не)приводимыми полями высших спинов на пространствах постоянной кривизны с полным БРСТ-оператором, до сих пор не была предложена, несмотря на полученные результаты для ограниченного БРСТ–БВ-подхода: для полей высших целых спинов [29], [30], [13], а также для полей с полуцелыми спинами [31] и целым непрерывным спином [32]. Построение минимальных БРСТ–БВ-действий может использоваться как для деформационной процедуры нахождения вершин взаимодействия в рамках струноподобного осцилляторного формализма, так и для построения квантового калибровочно-фиксированного БРСТ–БВ-действия и функционального интеграла, впервые предложенного для полностью симметричных ограниченных (с наложенными связями) полей высших целых спинов в пространствах Минковского [33]. В настоящей работе сформулирован БРСТ–БВ-подход для неприводимых безмассовых и массивных полей высших спинов на $d$-мерном пространстве Минковского с полным БРСТ-оператором, а также предложена процедура деформации для нахождения деформированной калибровочной алгебры для $k$ копий свободных полей целых высших спинов, которая включает вершины взаимодействия (начиная с вершины третьего порядка), генераторы и структурные функции для калибровочных преобразований (начиная соответственно с линейного и нулевого приближений по степеням полей). Затем мы явно выводим вершины третьего порядка для неприводимых безмассовых и массивных полей высших спинов, ориентируясь на явную пуанкаре-ковариантность. Исследование опирается на частичное использование БРСТ-подхода с полным БРСТ-оператором, при этом мы следуем методу, изложенному в работах [17]–[19] (см. также результаты для безмассовых полей с двухкомпонентными спинорными индексами в $4d$-мерном плоском пространстве [20]). Результат содержит конвертированный набор операторных связей, образующих калибровочную алгебру первого рода. Набор связей равноправно включает массовое условие $l_0$ и связи $l_1$, $l_{11}$, ответственные за след и дивергецию. Оператор $l_{11}$ непротиворечиво действует при использовании ограниченного БРСТ- и БРСТ–БВ-подхода на набор полей и калибровочных параметров в качестве голономных связей для простоты вычислений вне лагранжевой формулировки. Подход использует метод получения лагранжевой формулировки для полей высших спинов из безнатяжного предела [34] (супер)струнной теории с итоговым БРСТ-зарядом, не содержащим алгебраические (например, следовые) связи. Мы повторяем, следуя [17], [19], что эта процедура является корректной, но настоящее лагранжево описание неприводимых полей реализуется только после (дополнительного) наложения вспомогательных условий, которые не выводятся из лагранжиана. Разумеется, лагранжевы формулировки для одного и того же неприводимого поля высшего (полу)целого спина в пространстве Минковского, полученные в ограниченном БРСТ-подходе и БРСТ-подходе с полным БРСТ-оператором, описывают одну и ту же свободную частицу ввиду эквивалентности между этими двумя формулировками [35]. Данная эквивалентность автоматически следует для минимальных БРСТ–БВ-действий для одного и того же неприводимого поля, полученных из БРСТ–БВ-подхода с полным БРСТ-оператором, а также из ограниченного БРСТ–БВ-подхода. Однако подобная эквивалентность до сих пор не была установлена для взаимодействующих неприводимых полей высших спинов. Недавно это было продемонстрировано для вершин третьего порядка в безмассовом [17], [18] и массивном [19] случаях. В результате снова возникает проблема построения общих ковариантных вершин, однако уже в рамках БРСТ–БВ-подхода с полным БРСТ-оператором для неприводимых полей высших целых спинов в метрическом формализме [36] в $d$-мерном плоском пространстве-времени. Именно это является одной из задач, решаемых в настоящей статье. Поскольку минимальное БРСТ–БВ-действие (удовлетворяющее мастер-уравнению) кодирует калибровочную алгебру с калибровочными функциями из калибровочно-инвариантной формулировки, полученной из БРСТ-подхода, для одних и тех же взаимодействующих полей целых высших спинов, то структура вершин должна иметь схожую форму, например для вершин третьего порядка, как в работах [17]–[19]. Таким образом, ожидается, что итоговые вершины третьего порядка будут содержать новые члены (в сравнении с [13]) со следовыми связями и могут иметь различные представления. Следует отметить, что БРСТ-подход с полным БРСТ-оператором к лагранжеву описанию разных моделей со свободными и взаимодействующими полями высших спинов в пространствах Минковского и анти-де Ситтера был развит во многих работах (см., например, работы [37]–[43] и обзор [3]). Целью настоящей работы является развитие БРСТ–БВ-подхода с полным БРСТ-оператором для формулировки деформационной процедуры определения вершин взаимодействующих полей высших спинов третьего, четвертого и т. д. порядков, для получения полного решения этой задачи в случае вершин третьего порядка, для неограниченных безмассовых и массивных полей высших спинов и для получения из общих осцилляторно-подобных вершин явного тензорного представления минимального БРСТ–БВ-действия для некоторых наборов из трех безмассовых взаимодействующих полей высших спинов. Статья имеет следующую структуру. В разделе 2 изложены основы БРСТ–БВ-подхода к построению минимального БРСТ–БВ-действия для свободного полностью симметричного поля высшего спина с учетом всех операторов связей $l_0$, $l_1$, $l_{11}$. В разделе 3 сформулирована деформационная процедура для минимального БРСТ–БВ-действия по степеням константы взаимодействия $g$, основанная на выполнении мастер-уравнения. Затем мы выводим систему уравнений для деформационных вкладов $e$-го порядка, $e=3,4,\dots$, по степеням полей и антиполей в квадратичное свободное БРСТ–БВ-действие. Решение для вершин третьего порядка и калибровочных преобразований, инкорпорированных в минимальное БРСТ–БВ-действие, приведено в разделе 4 для $k$ безмассовых, а также для одного массивного и $(k-1)$ безмассовых полей. Пример для безмассовых полей со специальным набором спинов представлен в разделе 5. В разделе 6 подведены итоги и приведены комментарии. В работе используются стандартные определения и обозначения из статьи [17] для метрического тензора $ \eta_{\mu\nu} = \operatorname{diag} (+, -,\dots,-)$ с лоренцевскими индексами $\mu, \nu = 0,1,\dots,d-1$ и обозначениями $\epsilon(F)$, $(gh_H,gh_L, gh_{\mathrm{tot}})(F)$, $[F,\,G\}$, $[x]$, $(s)_{k}$, $\theta_{m,0}$ для грассмановой четности, гамильтонова, лагранжева и полного $gh_H+gh_L=gh_{\mathrm{tot}}$ гостовских чисел однородной величины $F$, а также суперкоммутатора, целой части вещественного числа $x$, целочисленного вектора $ (s_1,s_2,\dots,s_k)$ и $\theta$-символа Хевисайда ($\theta_{m,0}=1(0)$ при $m>0$ $(0\geqslant m)$). 2. БРСТ–БВ-подход для свободного поля целого спинаВ настоящем разделе мы представляем основные понятия БРСТ-подхода и развиваем БРСТ–БВ-подход к теории свободных безмассовых и массивных полей высших целых спинов для их последующего использования в построении общих вершин взаимодействия $e$-го порядка. Унитарные безмассовые (массивные) неприводимые представления группы Пуанкаре с целыми спиральностями (спинами) $s$ могут быть реализованы с использованием вещественных полностью симметричных тензорных полей $\phi_{\mu_1\dots\mu_s}(x)\equiv \phi_{\mu(s)}$, подчиненных условиям
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &(\partial^\nu\partial_\nu + \theta_{m,0}m^2, \partial^{\mu_1}, \eta^{\mu_1\mu_2})\phi_{\mu(s)} = (0,0,0) \quad \Longleftrightarrow \notag \\ &\Longleftrightarrow \quad (l_0, l_1, l_{11}, g_0 -d/2)|\phi\rangle = (0,0,0,s)|\phi\rangle. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1}
$$
Основной вектор $|\phi\rangle$ и операторы $l_0$, $l_1$, $l_{11}$, $g_0$ определены в пространстве Фока $\mathcal{H}$ с грассманово-четными осцилляторами $a_\mu, a^+_\nu$ ($[a_\mu, a^+_\nu]= - \eta_{\mu\nu}$) следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, |\phi\rangle = \sum_{s\geqslant 0}\frac{\imath^s}{s!}\phi^{\mu(s)}\prod_{i=1}^s a^+_{\mu_i}|0\rangle, \\ (l_0,l_1,l_{11}, g_0)= \biggl(\partial^\nu\partial_\nu+ \theta_{m,0} m^2 ,- \imath a^\nu \partial_\nu , \frac{1}{2}a^\mu a_\mu, -\frac{1}{2}\{a^+_{\mu}, a^{\mu}\}\biggr). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2}
$$
Динамика свободного поля целого спина $s$ в рамках БРСТ-подхода (см., например, [39], [43]) описывается калибровочной теорией первой стадии приводимости с калибровочно-инвариантным действием, заданным на конфигурационном пространстве $M^{(s)}_\mathrm{cl}$, размерность которого растет с ростом $s$, включая, таким образом, основное поле $\phi_{\mu(s)}$ со вспомогательными полями $\phi_{1\mu(s-1)},\dots$ с рангами, меньшими $s$. Все эти поля включаются в вектор $|\chi\rangle_s$, и динамика кодируется действием
$$
\begin{equation}
\mathcal{S}^m_{0|s}[\phi,\phi_1,\dots]= \mathcal{S}^m_{0|s}[|\chi\rangle_s] = \int d\eta_0 {}_s\,\langle\chi| KQ|\chi\rangle_s,
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $\eta_0$, $Q$ и $K$ – гостовский оператор нулевой моды, полный БРСТ-оператор и оператор, определяющий скалярное произведение, соответственно. Действие (3) инвариантно относительно приводимых калибровочных преобразований
$$
\begin{equation}
\delta|\chi\rangle_s = Q|\Lambda^0\rangle_s, \qquad \delta |\Lambda^0\rangle_s = Q|\Lambda^1\rangle_s, \qquad \delta |\Lambda^1\rangle_s =0
\end{equation}
\tag{4}
$$
с $|\Lambda^0\rangle_s$, $|\Lambda^1\rangle_s$, являющимися векторами калибровочных параметров абелевых калибровочных преобразований (4) нулевого и первого уровней. БРСТ-оператор $Q$ построен по системе связей $l_0$, $l_1$, $l^{+}_1= - \imath a^{+\nu} \partial_\nu$, $l_{11}$, $l^{+}_{11} = a^{+\nu}a^{+}_{\nu}/2$ с грассманово-нечетными гостовскими операторами $\eta_0$, $\eta_1^+$, $\eta_1$, $\eta_{11}^+$, $\eta_{11}$, $\mathcal{P}_0$, $\mathcal{P}_1$, $\mathcal{P}^+_1$, $\mathcal{P}_{11}$, $\mathcal{P}^+_{11}$, а также с двумя парами вспомогательных грассманово-четных осцилляторов $d$, $d^+$, $b$, $b^+$ (без $d$, $d^+$ для безмассового случая). Гостовские и вспомогательные операторы удовлетворяют ненулевым антикоммутационным и коммутационным соотношениям
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \{\eta_0, \mathcal{P}_0\}= \imath,\qquad \{\eta_1, \mathcal{P}_1^+\}=\{\eta^+_1, \mathcal{P}_1\}= \{\eta_{11}, \mathcal{P}_{11}^+\}=\{\eta_{11}^+, \mathcal{P}_{11}\}=1, \\ [d, d^+]=[b,b^+]=1. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5}
$$
БРСТ-оператор имеет вид
$$
\begin{equation}
Q= \eta_0l_0+\eta_1^+\check{l}_1+\check{l}_1^{+}\eta_1+ \eta_{11}^+\widehat{L}_{11}+\widehat{L}_{11}^{+}\eta_{11} + {\imath}\eta_1^+\eta_1{\cal{}P}_0,
\end{equation}
\tag{6}
$$
где
$$
\begin{equation}
(\check{l}_1, \check{l}_1^{+}) = (l_1 + m d, l_1^{+}+ m d^+), \qquad (\widehat{L}_{11},\widehat{L}^+_{11}) = (\check{L}_{11}+\eta_1 \mathcal{P}_1, \check{L}^+_{11}+\mathcal{P}^+_1\eta^+_1).
\end{equation}
\tag{7}
$$
Здесь параметр $h$ равен $h= h(s)=-s - (d-6+\theta_{m,0})/2$, $(\epsilon, gh_H) Q = (1, 1)$ и
$$
\begin{equation}
\check{L}_{11}=l_{11}- \theta_{m,0}\biggl(\frac12\biggr)(d)^2+(b^+b+h)b,\qquad \check{L}^{+}_{11}=l^+_{11}- \theta_{m,0}\biggl(\frac12\biggr)(d^+)^2 +b^+.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Алгебра операторов $l_0$, $l_1$, $l^{+}_1$, $L_{11}$, $L_{11}^+$, $G_0$ представляет собой полупрямую сумму двух подалгебр (изометрий пространства $\mathbb{R}^{1,d-1}$ и $so(1,2)$):
$$
\begin{equation}
[l_0, l^{(+)}_1] = 0, \quad [l_1,l_1^+]=l_0 -m^2 \qquad {\text{и}} \qquad [\check{L}_{11}, \check{L}_{11}^+] = G_0,\quad [G_0, \check{L}_{11}^{+}] = 2\check{L}_{11}^+
\end{equation}
\tag{9}
$$
с ненулевыми независимыми перекрестными коммутаторами
$$
\begin{equation*}
[l_1,\check{L}_{11}^+]=-l_1^+,\qquad [l_1,G_{0}]=l_1,
\end{equation*}
\notag
$$
где оператор числа частиц $G_0$, как часть оператора спина $\sigma$, определен следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \sigma &= G_0+ \eta_1^+\mathcal{P}_1 -\eta_1\mathcal{P}_1^+ + 2(\eta_{11}^+\mathcal{P}_{11} -\eta_{11}\mathcal{P}_{11}^+), \\ G_0&=g_0 + \theta_{m,0}d^+d +2b^+b+ \frac{1}{2}+ h. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{10}
$$
Оператор спина выделяет векторы с определенным значением спина $s$,
$$
\begin{equation}
\sigma (|\chi\rangle_s, |\Lambda^0\rangle_s, |\Lambda^1\rangle_s) = (0,0,0),
\end{equation}
\tag{11}
$$
с их соответствующим распределением грассмановых четностей и гостовских чисел $gh_H$: $(0,0)$, $(1,-1),$ $(0,-2)$. Все операторы действуют в полном гильбертовом пространстве $\mathcal{H}_\mathrm{tot}$ со скалярным произведением векторов, зависящих от всех осцилляторов $(B;B^+) = (a^{\mu},b,d; a^{\mu+},b^+,d^+)$ и гостов,
$$
\begin{equation}
\langle\psi |\chi \rangle = \int d^d x\, \langle0| \chi^*(B;\eta_0, \eta_1, \mathcal{P}_1,\eta_{11}, \mathcal{P}_{11})\psi(B^+;\eta_0,\eta^+_1, \mathcal{P}^+_1,\eta^+_{11}, \mathcal{P}^+_{11})|0\rangle.
\end{equation}
\tag{12}
$$
Операторы $Q, \sigma$ суперкоммутируют и являются эрмитовыми относительно скалярного произведения (12), включая оператор $K$ (см., например, [35], [37], [43]), равный единице на гильбертовом подпространстве, не зависящем от операторов $b, b^+$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, Q^2 = \eta_{11}^+\eta_{11} \sigma ,\qquad A^+K = KA,\qquad A\in\{Q, \sigma\}, \\ K=1\otimes \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}(b^+)n|0\rangle\langle 0|b^n C(n,h(s)), \qquad C(n,h(s))\equiv \prod_{i=0}^{n-1}(i+h(s)). \end{gathered}
\end{equation}
\tag{13}
$$
БРСТ-оператор $Q$ нильпотентен на подпространстве с нулевыми собственными векторами $\mathcal{H}^s_\mathrm{tot}$ ($\mathcal{H}^s_\mathrm{tot} \subset \mathcal{H}_\mathrm{tot}$) для оператора спина $\sigma$ (11). Полевой $ |\chi\rangle_s$-вектор и векторы калибровочных параметров нулевого $|\Lambda^0\rangle_s$ и первого $|\Lambda^1\rangle_s$ уровней помечены индексом $s$ в качестве собственных векторов спинового условия (11) и имеют разложения с гостовски-независимыми векторами $|\Phi_{\dots}\rangle_{s-\dots}$, $|\Xi_{\dots}\rangle_{s-\dots}$
$$
\begin{equation}
|\chi\rangle_s ={} |\Phi\rangle_s+\eta_1^+(\mathcal{P}_1^+|\Phi_2\rangle_{s-2}+\mathcal{P}_{11}^+|\Phi_{21}\rangle_{s-3} +\eta_{11}^+\mathcal{P}_1^+\mathcal{P}_{11}^+|\Phi_{22}\rangle_{s-6})+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+\eta_{11}^+(\mathcal{P}_1^+|\Phi_{31}\rangle_{s-3}+\mathcal{P}_{11}^+|\Phi_{32}\rangle_{s-4})+ \eta_0(\mathcal{P}_1^+|\Phi_1\rangle_{s-1}+\mathcal{P}_{11}^+|\Phi_{11}\rangle_{s-2}+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+ \mathcal{P}_1^+\mathcal{P}_{11}^+[ \eta^+_1 |\Phi_{12}\rangle_{s-4}+\eta^+_{11} |\Phi_{13}\rangle_{s-5}]),
\end{equation}
\tag{14}
$$
$$
\begin{equation}
|\Lambda^0\rangle_s ={} \mathcal{P}_1^+ |\Xi\rangle_{s-1}+\mathcal{P}_{11}^+|\Xi_1\rangle_{s-2} +\mathcal{P}_1^+\mathcal{P}_{11}^+(\eta_1^+|\Xi_{11}\rangle_{s-4} + \eta_{11}^+|\Xi_{12}\rangle_{s-5}) +{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+ \eta_0\mathcal{P}_1^+ \mathcal{P}_{11}^+|\Xi_{01}\rangle_{s-3},
\end{equation}
\tag{15}
$$
$$
\begin{equation}
|\Lambda^1\rangle_s ={} \mathcal{P}_1^+\mathcal{P}_{11}^+|\Xi^{1}\rangle_{s-3}.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Для массивного и безмассового ($d^{+}=0$) полей высших спинов имеем представление
$$
\begin{equation}
|\Phi_{n}\rangle_{s-m} = \sum_{l=0}^{[(s-m)/2]}\frac{(b^+)^l}{l!}\sum_{k=0}^{s-2l-m}\frac{(d^+)^k}{k!}|\phi_{n|l,k}(a^+)\rangle_{s-k-2l-m}, \quad |\phi_{0|0,0}(a^+)\rangle_{s}\equiv |\phi\rangle_s,
\end{equation}
\tag{17}
$$
$$
\begin{equation}
|\Xi_{j}\rangle_{s-1-m} = \sum_{l=0}^{[(s-1-m)/2]}\frac{(b^+)^l}{l!}\sum_{k=0}^{s-2l-1-m}\frac{(d^+)^k}{k!}|\Xi_{j|l,k}(a^+)\rangle_{s-k-2l-m-1}.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Для формулировки БРСТ–БВ-действия в минимальном секторе введем конфигурационное пространство $M^{(s)}_{\min}$, параметризованное полями $\Phi^A_{\min}=(A^i, C^{\alpha_0}, C^{\alpha_1})$ и содержащее все классические поля $A^i$, $i=1,\dots,n$, гостовские поля нулевого и первого уровней $C^{\alpha_0}$, $C^{\alpha_1}$, $\alpha_0=1,\dots,m_0$, $\alpha_1=1,\dots,m_1$ (с использованием конденсированных обозначений [44]). Абелевы калибровочные преобразования нулевого и первого уровней с произвольными функциями $ \xi^{\alpha_0}$, $\xi^{\alpha_1}$, определенными на пространстве $\mathbb{R}^{1,d-1}$, тождества Нётер, функциональная зависимость генераторов $R^i_{0|\alpha_0}$ калибровочных преобразований нулевого уровня заданы для лагранжевой формулировки свободного поля высшего спина $\phi_{\mu(s)}$ (с вспомогательными полями, входящими в $A^i$) следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \delta A^i = R^i_{0|\alpha_0} \xi^{\alpha_0},\qquad \delta \xi^{\alpha_0} = Z^{\alpha_0}_{0|\alpha_1} \xi^{\alpha_1},\qquad \epsilon(A^i, \xi^{\alpha_0}, \xi^{\alpha_1})=(\epsilon_i, \epsilon_{\alpha_0}, \epsilon_{\alpha_1})=\vec{0},\\ \mathcal{S}^m_{0|s}[|\chi\rangle_s] \frac{\overleftarrow{\delta} }{\delta A^i}R^i_{0|\alpha_0}=0, \qquad \ R^i_{0|\alpha_0}Z^{\alpha_0}_{0|\alpha_1}|_{ \big( \mathcal{S}^m_{0|s} \frac{\overleftarrow{\delta} }{\delta A^i}=0\big)}=0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{19}
$$
Объединим полевой вектор $ |\chi\rangle_s $ и векторы гостовских полей $ |C^0\rangle_s$, $|C^1\rangle_s$ (полученные из векторов калибровочных параметров с помощью некоторых грассманово-нечетных постоянных $\mu_0, \mu_1$) в обобщенный полевой вектор
$$
\begin{equation}
|\chi_{\min}\rangle_s = |\chi\rangle_s + |C^0\rangle_s+ |C^1\rangle_s , \qquad |C^l\rangle_s\prod_{j=0}^l\mu_j \equiv |\Lambda^l\rangle_s,
\end{equation}
\tag{20}
$$
со всеми грассманово-четными составляющими в векторе $|\chi_{\min}\rangle$. Компонентные тензоры в разложении по степеням гостовских осцилляторов в калибровочных параметрах (15), (16) следует заменить на соответствующие гостовские тензорные поля того же ранга, но со сдвинутой грассмановой четностью и лагранжевым гостовским числом $gh_L$:
$$
\begin{equation}
|C ^0\rangle_s ={} \mathcal{P}_1^+ |C^0_\Xi\rangle_{s-1}+\mathcal{P}_{11}^+|C^0_{\Xi{1}}\rangle_{s-2} +\mathcal{P}_1^+\mathcal{P}_{11}^+(\eta_1^+|C^0_{\Xi{11}}\rangle_{s-4}+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+ \eta_{11}^+|C^0_{\Xi{12}}\rangle_{s-5}) + \eta_0\mathcal{P}_1^+\mathcal{P}_{11}^+| C^0_{\Xi{01}}\rangle_{s-3},
\end{equation}
\tag{21}
$$
$$
\begin{equation}
|C^1\rangle_s ={} \mathcal{P}_1^+\mathcal{P}_{11}^+|C^1_{\Xi{1}}\rangle_{s-3}
\end{equation}
\tag{22}
$$
с тем же представлением (18) для $|C^0_{\Xi{\dots}}\rangle$ и $|C^1_{\Xi{1}}\rangle$ в терминах гостовских полей $C^{\alpha_0}$, $C^{\alpha_1}$. Поля, полевые векторы и гостовские осцилляторы $\eta^{I}, \mathcal{P}_I$ удовлетворяют следующим распределениям грассмановой четности и гостовских чисел для $(gh_H+gh_L)=gh_{\mathrm{tot}}$:
$$
\begin{equation}
\begin{array}{|c|cccccccc|} \hline & C^{\alpha_l}& |C^0_{\Xi{\dots}}\rangle & |C^1_{\Xi{1}}\rangle & |C^l\rangle & |\chi\rangle &\eta^{I}& {\mathcal{P}}_{I} & \mu_l \\ \hline \epsilon &l+1 & 1 & 0 & 0 &0& 1 & -1 &1 \\ gh_H & 0& 0 & 0 & -1-l & 0&1 & -1 & 0\\ gh_L & l+1 & 1 & 2 & l+1 &0&0 & 0& -1 \\ gh_{\mathrm{tot}} & l+1 & 1 & 2 & 0 &0& 1 & -1 &-1\\ \hline \end{array}\qquad l=0,1.
\end{equation}
\tag{23}
$$
Таким образом, обобщенный полевой вектор $ |\chi_{\min}\rangle_s$ имеет нулевые $(\epsilon, gh_{\mathrm{tot}})$ градуировки и содержит $2^4$ не зависящих от гостовских операторов векторов $ |\Phi_{\dots}\rangle$, $|C^0_{\Xi{\dots}}\rangle$, $|C^1_{\Xi{1}}\rangle$ при независимых гостовских мономах
$$
\begin{equation}
\{ \eta_0^{n_0} (\eta_1^+)^{n_1} (\eta_{11}^+)^{n_{11}} (\mathcal{P}_1^+)^{p_1} (\mathcal{P}_{11}^+)^{p_{11}}\} \quad \text{при} \quad n_0, n_1, n_{11}, p_1, p_{11}=0,1
\end{equation}
\tag{24}
$$
с неположительными значениями $gh_H$. Отметим, что скалярное произведение в $\mathcal{H}_{g}$ является вырожденным благодаря грассманово-нечетным полевым переменным и понимается как формально ограниченное произведение согласно (12), по крайней мере, для его значений с нулевым $gh_L$. БРСТ–БВ-действие, кроме полевых переменных $\Phi^A_{\min}$ в минимальном секторе, зависит от такого же числа антиполей $\Phi^*_{A|\min}= (A^*_i, C^*_{\alpha_0}, C^*_{\alpha_1} )$, записанных в терминах соответствующих векторов на пространстве $\mathcal{H}_{g}$, если рассматривать вместо полевого вектора $|\chi\rangle_s \in \mathcal{H}$ обобщенный поле-антиполевой вектор $|\chi_{g}\rangle_s \in \mathcal{H}_{g}$. Последний вектор содержит, в дополнение к обобщенному полевому вектору, обобщенный антиполевой вектор $|\chi^*_{\min}\rangle_s$ с $2^4$ не зависящими от гостовских операторов антиполевыми векторами $|\Phi^*_{\dots}\rangle$, $|C^{*0}_{\Xi{\dots}}\rangle$, $|C^{*1}_{\Xi{1}}\rangle$ при независимых гостовских мономах (24), но с положительными значениями $gh_H$,
$$
\begin{equation}
|\chi_{g}\rangle_s = |\chi_{\min}\rangle_s+|\chi^*_{\min}\rangle_s, \qquad |\chi^*_{\min}\rangle_s = |\chi^*\rangle_s + |C^{*0}\rangle_s+ |C^{*1}\rangle_s.
\end{equation}
\tag{25}
$$
Все слагаемые в выражениях для $|\chi_{g}\rangle$ и $|\chi^*_{\min}\rangle$ являются грассманово-четными. Здесь векторы
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |\chi^*\rangle_s ={}& \eta_0\{|\Phi^*\rangle_s +\mathcal{P}_1^+(\eta_1^+|\Phi^*_2\rangle_{s-2}+\eta_{11}^+|\Phi^*_{21}\rangle_{s-3} +\eta_1^+\eta_{11}^+\mathcal{P}_{11}^+|\Phi^*_{22}\rangle_{s-6})+{} \\ &+\mathcal{P}_{11}^+(\eta_1^+|\Phi^*_{31}\rangle_{s-3}+\eta_{11}^+|\Phi^*_{32}\rangle_{s-4})\}+ \eta_1^+|\Phi^*_1\rangle_{s-1}+\eta_{11}^+|\Phi^*_{11}\rangle_{s-2} +{} \\ & + \eta_1^+\eta_{11}^+[ \mathcal{P}^+_1 |\Phi^*_{12}\rangle_{s-4}+\mathcal{P}^+_{11} |\Phi^*_{13}\rangle_{s-5}], \\ |C^{*0}\rangle_s ={}& \eta_0\{\eta_1^+ |C^{*0}_{\Xi{1}}\rangle_{s-1}+\eta_{11}^+|C^{*0}_{\Xi{1}}\rangle_{s-2} +\eta_1^+\eta_{11}^+(\mathcal{P}_1^+|C^{*0}_{\Xi{11}}\rangle_{s-4}+{} \\ & + \mathcal{P}_{11}^+|C^{*0}_{\Xi{12}}\rangle_{s-5}) \}+\eta_1^+\eta_{11}^+|C^{*0}_{\Xi{01}}\rangle_{s-3}, \\ |C^{*1}\rangle_s ={}& \eta_0\eta_1^+\eta_{11}^+|C^{*1}_{\Xi{1}}\rangle_{s-3} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{26}
$$
с антиполевыми не зависящими от гостовских операторов векторами разлагаются в ряды по степеням осцилляторов $a^+_{\mu}$, $d^+$, $b^+$, заданных согласно (17), (18) в терминах антиполевых тензорных полей с антиполем $\phi_{\mu(s)}^*$, включенным в $|\Phi^*\rangle_s$ в качестве коэффициентной функции при нулевых $d^+$, $b^+$. Антиполя и составленные из них соответствующие антиполевые векторы обладают следующими градуировками грассмановой четности и гостовских чисел:
$$
\begin{equation}
\begin{array}{|c|cccccccc|} \hline &A^*_i & C^*_{\alpha_l}& |\Phi^*_{\dots}\rangle & |C^{*0}_{\Xi{\dots}}\rangle & |C^{*1}_{\Xi{1}}\rangle & |\chi^*\rangle & |C^{*l}\rangle & |\chi^*_{\min}\rangle \\ \hline \epsilon &\hphantom{-}1&\hphantom{-}i& \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0& 0 \\ gh_H & \hphantom{-}0 &\hphantom{-}0&\hphantom{-}0& \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}1& \hphantom{-}2+l & - \\ gh_L &-1&-l-2& -1 & -2 & -3 & -1 & -2-l & - \\ gh_{\mathrm{tot}} &-1&-l-2& -1 & -2 & -3 & \hphantom{-}0 & \hphantom{-}0& 0 \\ \hline \end{array}\qquad l=0,1,
\end{equation}
\tag{27}
$$
с неопределенными значениями $gh_{H}, gh_{L}$ для $ |\chi^*_{\min}\rangle$. Этот факт, ввиду обращения в нуль значений $(\epsilon, gh_{\mathrm{tot}})$ при их вычислении для векторов $ |\chi_{\min}\rangle_s$, $ |\chi^*_{\min}\rangle_s$, обеспечивает корректность совместного описания всех полевых и антиполевых переменных $(\Phi^A_{\min}, \Phi^*_{A|\min})$ в составе одного вектора $|\chi_{g}\rangle_s$. Мы видим, как это наблюдалось и для ограниченного БРСТ–БВ-подхода, что количество всех мономов, составленных из гамильтоновых гостовских осцилляторов (24), и число всех не зависящих от гостовских осцилляторов векторов $ |\Phi^{(*)}_{\dots}\rangle$, $ |C^{(*)0}_{\Xi{\dots}}\rangle$, $ |C^{(*)1}_{\Xi{1}}\rangle$ совпадают и равны $2^5$ для нашей модели. Минимальное БРСТ–БВ-действие $S^{(s)}_{\min}[\Phi_{\min}, \Phi^*_{\min}]$ в терминах представления поле–антиполе
$$
\begin{equation}
S^{(s)}_{\min}[\Phi_{\min}, \Phi^*_{\min}]\ =\ \mathcal{S}^m_{0|s}[A] + A^*_i R^i_{0|\alpha_0} C^{\alpha_0}+ C^*_{\alpha_0} Z^{\alpha_0}_{0|\alpha_1} C^{\alpha_1}
\end{equation}
\tag{28}
$$
определяется в общем векторном виде:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S^{(s)}_{\min}[\Phi_{\min}, \Phi^*_{\min}] &= {S}_{0|s}[|\chi_g\rangle_s] = \int d\eta_0 \,_s\langle\chi_g | KQ|\chi_g\rangle_s ={} \notag\\ & = \mathcal{S}_{0|s}[|\chi\rangle_s] + \int d \eta_0 \, \{{}_{s}\langle \chi^* |K Q |C^{0}\rangle_{s} + {}_s\langle C^{*0}|K Q |C^{1}\rangle_{s} + \mathrm{h.\,c.}\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{29}
$$
Фукционал ${S}_{0|s}[|\chi_g\rangle_s]$ имеет обращающиеся в нуль $\mathbb{Z}_2$-, $\mathbb{Z}$-градуировки:
$$
\begin{equation*}
(\epsilon, gh_H, gh_L, gh_{\mathrm{tot}}){S}_{0|s}=\vec{0},
\end{equation*}
\notag
$$
и удовлетворяет мастер-уравнению [26]
$$
\begin{equation}
({S}_{0|s}[|\chi_g\rangle_s], {S}_{0|s}[|\chi_g\rangle_s] )^{(s)}= 2{S}_{0|s}[|\chi_g\rangle_s] \frac{\overleftarrow{\delta}}{\delta\Phi^A_{\min}}\frac{\overrightarrow{\delta}}{\delta\Phi^*_{A|\min}}{S}_{0|s}[|\chi_g\rangle_s]=0,
\end{equation}
\tag{30}
$$
заданному в терминах нечетной скобки Пуассона (антискобка) для любых двух дифференцируемых функционалов $F,G$, определенных на пространстве $\mathcal{H}_g$ при заданном спине $s$:
$$
\begin{equation}
(F[|\chi_g\rangle_s], G[|\chi_g\rangle_s] )^{(s)} = F[|\chi_g\rangle_s] \biggl( \frac{\overleftarrow{\delta}}{\delta\Phi^A_{\min}}\frac{\overrightarrow{\delta}}{\delta\Phi^*_{A|\min}}- \frac{\overleftarrow{\delta}}{\delta\Phi^*_{A|\min}}\frac{\overrightarrow{\delta}}{\delta\Phi^A_{\min}}\biggr) G[|\chi_g\rangle_s].
\end{equation}
\tag{31}
$$
Антискобка удовлетворяет обычным свойствам билинейности, обобщенной антисимметрии, тождеству Якоби и правилу Лейбница для любых $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ и $F,G,H$, заданных на $\mathcal{H}_g$ с определенной четностью $\epsilon$,
$$
\begin{equation}
(\alpha F+\beta H, G )^{(s)} = \alpha( F, G)^{(s)}+\beta ( H, G)^{(s)},
\end{equation}
\tag{32}
$$
$$
\begin{equation}
( F, G )^{(s)}=-(-1)^{(\epsilon(F)+1)(\epsilon(G)+1)}( G, F )^{(s)},
\end{equation}
\tag{33}
$$
$$
\begin{equation}
(-1)^{(\epsilon(F)+1)(\epsilon(H)+1)}(( F, G)^{(s)},H)^{(s)} + \mathrm{cicle}(F, G, H)=0,
\end{equation}
\tag{34}
$$
$$
\begin{equation}
( FG, H)^{(s)} =F ( G, H)^{(s)}+(-1)^{\epsilon(F)\epsilon(G)}G( F, H)^{(s)}.
\end{equation}
\tag{35}
$$
БРСТ–БВ-действие вследствие калибровочной инвариантности действия $\mathcal{S}_{0|s}[|\chi\rangle_s] $ инвариантно относительно минимальных лагранжевых БРСТ-подобных преобразований (с грассманово-нечетным постоянным параметром $\mu$, $(gh_H, gh_L)\mu =(0,-1)$) для обобщенного полевого вектора $|\chi_{\min} \rangle_s$:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \delta_B|\chi_{\min} \rangle_{s} = \mu \frac{\overrightarrow{\delta}}{\delta ({}_{s}\langle \chi^*_{\min}|K)}{S}_{0|s}[|\chi_g\rangle_s] = \mu Q( | C^0 \rangle_{s}+ |C^1 \rangle_{s}), \\ \delta_B |\chi^*_{\min} \rangle_{s} = 0, \qquad \epsilon\biggl(\frac{\overrightarrow{\delta}}{\delta ({}_{s}\langle\chi^{(*)}_{\min} |K)}\biggr) = 1, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{36}
$$
с постоянными антиполями (также для двойственных векторов $\langle \chi^{(*)}_{\min}|$), или, эквивалентно, в терминах БРСТ-подобного генератора (генератора Славнова) $\overrightarrow{s}_0$ и его двойственного $\overleftarrow{s}_0$:
$$
\begin{equation}
\delta_B[ |\chi \rangle_{s}, |C^0 \rangle_{s}, |C^1 \rangle_{s}] = \mu \overrightarrow{s}_0[|\chi (x) \rangle_{s}, |C^0 \rangle_{s}, |C^1 \rangle_{s}] = \mu Q[|C^0 \rangle_{s}, |C^1 \rangle_{s}, 0],
\end{equation}
\tag{37}
$$
$$
\begin{equation}
\delta_B [ {}_{s}\langle\chi|, {}_{s}\langle C^0 |, {}_{s}\langle C^1 |] = [ {}_{s}\langle\chi|, {}_{s}\langle C^0 |, {}_{s}\langle C^1 |] \overleftarrow{s}_0 \mu =[{}_{s}\langle C^0 |, {}_{s}\langle C^1 |, 0] Q^+\mu.
\end{equation}
\tag{38}
$$
Действительно,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \delta_B{S}_{0|s} &= \int d \eta_0 \biggl(\delta_B {}_{s}\langle\chi_{\min}| \frac{\overrightarrow{\delta}S_{0|s}}{\delta {}_{s}\langle\chi_{\min} |}+ \frac{S_{0|s}\overleftarrow{\delta}}{\delta |\chi_{\min} \rangle_{s}}\delta_B |\chi_{\min}\rangle_{s} \biggr)={} \notag\\ &= \mu \biggl(\,{\vphantom{\biggl\langle}}_{s}\!\biggl\langle \sum_i C^i \biggr| (Q^+)^2K |\chi_g\rangle_{s}-{}_{s}\langle \chi_g| KQ^2 \biggl|\sum_iC^i\biggr\rangle_{\!\!s} \,\biggr)=0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{39}
$$
Вариационные производные по векторам $ |\chi^{(*)}_{\min} \rangle_{s}$ и их двойственным в (36), (39), например, для любого квадратичного (по полям) функционала с ядром $E_{F}$
$$
\begin{equation}
F = \int d \eta_0 \, \mathcal{F}(\chi_g(\eta_0);\eta_0) = \int d \eta_0\, {}_{s}\langle \chi_{g} |K E_{F}| \chi_{g} \rangle_{s}
\end{equation}
\tag{40}
$$
определяются в виде вариационных производных с нулевой грассмановой четностью при фиксированном $\eta_0$ от плотности $\mathcal{F}$ ($\epsilon(\mathcal{F}) = \epsilon(E_{F})=\epsilon(F)+1$) согласно
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \biggl(\frac{F \overleftarrow{\delta}}{\delta |\chi^{(*)}_{\min} \rangle_s}; \frac{ \overrightarrow{\delta}F}{\delta {}_s\langle\chi^{(*)}_{\min} |}; & \frac{F \overleftarrow{\delta}}{\delta |C^{(*)j} \rangle_s}; \frac{ \overrightarrow{\delta}F}{\delta {}_s\langle C^{(*)j} |}\biggr) = {} \notag \\ &= \biggl(\frac{\mathcal{F}\overleftarrow{\delta}_{\eta_0}}{\delta |\chi^{(*)}_{\min} \rangle_s}; \frac{ \overrightarrow{\delta}_{\eta_0}{\mathcal{F}}}{\delta {}_s\langle\chi^{(*)}_{\min} |}; \frac{\mathcal{F}\overleftarrow{\delta}_{\eta_0}}{\delta |C^{(*)j} \rangle _s}; \frac{ \overrightarrow{\delta}_{\eta_0}\mathcal{F}}{\delta {}_s\langle C^{(*)j} |}\biggr) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{41}
$$
(при $j=0,1$). Вариационные производные удовлетворяют нормировочным условиям (при $\delta(\eta'_0-\eta_0) = \eta'_0-\eta_0$)
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \biggl( \frac{|B(\eta_0;x) \rangle_s \overleftarrow{\delta}}{\delta |B(\eta'_0;x') \rangle_s}; \frac{ \overrightarrow{\delta}{}_s\langle B (\eta_0;x)|}{\delta {}_s\langle B(\eta'_0;x')|}\biggr) = \delta(\eta'_0-\eta_0) (\delta(x'-x); \delta(x'-x)), \\ B \in \{{\chi}^{(*)}_{\min}, {C}^{(*)j}\}. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{42}
$$
Построение БРСТ–БВ-действия отражает факт БФВ1–БВ-дуальности [45], [46] и реализует пример модели Александрова–Концевича–Шварца–Заборонского [47] при формулировании минимального БРСТ–БВ-действия с помощью зависящего от гостов грассманово-нечетного гамильтонова ядра (оператора $Q$), который определяет лагранжево грассманово-четное калибровочно-инвариантное и минимальное БРСТ–БВ-действия. Подчеркнем, во-первых, что для БРСТ–БВ-функционала ${S}_{0|s}[|\chi_g\rangle_s]$ нет калибровочных преобразований, поскольку он сам кодирует калибровочную алгебру калибровочных функций. Этот факт делает наш подход отличным от подхода, развитого в работе [13]. Во-вторых, как показано в [17], [19], после наложения соответствующих калибровочных условий и исключения вспомогательных полей из уравнений движения в лагранжевой формулировке рассматриваемая теория сводится к фронсдалловскому виду [36] для безмассового поля спиральности $s$, в терминах полностью симметричного дважды бесследового поля $\phi_{\mu(s)}$ и бесследового калибровочного параметра $\xi_{\mu(s-1)}$, а также к некалибровочной форме Сингха–Хагена [48] для массивного поля $\phi_{\mu(s)}$ спина $s$ со вспомогательным полем $\phi_{3|\mu(s-3)}$. То есть соответствующие минимальные БРСТ–БВ-действия сводятся к действиям для неприводимой калибровочной теории и становятся некалибровочными для массивного случая. Таким образом, нами развит БРСТ–БВ-подход с полным БРСТ-оператором к построению минимального БРСТ–БВ-действия для неприводимого поля целого спина $s$ в плоском пространстве-времени. Обратимся теперь к взаимодействующей теории. 3. Процедура деформации для взаимодействующих полей высших спиновОпишем иную процедуру, впервые инициированную для калибровочных теорий в работах [49], [50], в сравнении с общей схемой, подобной схеме Нётер, реализованной в работах [17], [19], для нахождения вершин взаимодействия третьего и высших порядков для моделей с безмассовыми и массивными полями высших спинов. Чтобы включить взаимодействие, введем $k$, $k\geqslant 3$, экземпляров лагранжевых формулировок с векторами $|\chi^{(j)}\rangle_{s_j}$, гостовскими полями $|C^{(j)0}\rangle_{s_j}$, $|C^{(j)1}\rangle_{s_j}$ и соответствующими антиполевыми векторами, соединенными в $k$ копий обобщенных поле-антиполевых векторов $|\chi^{(j)}_{g}\rangle_{s_j}$ вида (25) с соответствующими вакуумными векторами $|0\rangle^j$, $j=1,\dots,k$, и осцилляторами. Это позволяет определить деформированное БРСТ–БВ-действие с точностью до вершин $p$-го порядка, $p=3,4,\dots,e$, по степеням деформационной постоянной $g$ (называемой также постоянной взаимодействия) с сохранением их однородности по полям $|\chi^{(j)}_{g}\rangle_{s_j}$ начиная с суммы $k$ копий БРСТ–БВ-действий для свободных полей высших спинов, а затем с вершинами третьего, четвертого и т. д. порядков:
$$
\begin{equation}
S^{(m)_k}_{[e]|(s)_k}[(\chi_g)_k] = \sum_{j=1}^{k} {S}^{m_j}_{0|s_j}[\chi^{(j)}_g] + \sum_{f=1}^e g^f S^{(m)_k}_{f|(s)_k}[(\chi_g)_k],
\end{equation}
\tag{43}
$$
где
$$
\begin{equation}
S^{(m)_k}_{1|(s)_k}[(\chi_g)_k] = \sum_{1\leqslant i_1<i_2<i_3\leqslant k} \int \prod_{j=1}^3 d\eta^{(i_j)}_0 ({}_{s_{i_j}}\langle \chi^{(i_j)}_g K^{(i_j)} | V^{(3)}\rangle^{(m)_{(i)_3}}_{(s)_{(i)_3}}+\text{э. с.}),
\end{equation}
\tag{44}
$$
$$
\begin{equation}
S^{(m)_k}_{2|(s)_k}[(\chi_g)_k] = \sum_{1\leqslant i_1<i_2<i_3<i_4\leqslant k} \int \prod_{j=1}^4 d\eta^{(i_j)}_0 ({}_{s_{i_j}}\langle \chi^{(i_j)}_g K^{(i_j)} |V^{(4)}\rangle^{(m)_{(i)_4}}_{(s)_{(i)_4}}+\text{э. с.}),
\end{equation}
\tag{45}
$$
$$
\begin{equation}
\ldots \ldots \ldots \ldots\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots , \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
S^{(m)_k}_{e|(s)_k}[(\chi_g)_k] = \sum_{1\leqslant i_1<i_2<\dots<i_e\leqslant k} \int \prod_{j=1}^e d\eta^{(i_j)}_0 ({}_{s_{i_j}}\langle \chi^{(i_j)}_g K^{(i_j)} | V^{(e)}\rangle^{(m)_{(i)_e}}_{(s)_{(i)_e}}+\text{э. с.} )
\end{equation}
\tag{46}
$$
и использованы обозначения $(\chi_g)_k= (\chi^{(1)}_g, \chi^{(2)}_g, \dots, \chi^{(k)}_g)$, с числом $k!/((k-p)!\,p!)$ различных членов в вершине $p$-го порядка. Чтобы взаимодействующая теория, построенная из начальных БРСТ–БВ-действий ${S}^{m_j}_{0|s_j}$, $j=1,\dots,k$, сохраняла число физических степеней свободы $N_j$, определенных лагранжевыми формулировками для свободных полей высших спинов $s_1, \dots, s_k$, потребуем, чтобы сумма всех физических степеней свободы сохранялась неизменной, т. е. $\sum_{j}N_j = \mathrm{const}$. Это свойство гарантировано выполняется, если деформированное БРСТ–БВ-действие $S^{(m)_k}_{[e]|(s)_k}$ удовлетворяет мастер-уравнению, определенному в терминах антискобки, заданной на нечетном фазовом пространстве $\Pi T^* M^{(s)_k}_{\min}$ (нечетном кокасательном расслоении), локально представимому произведением нечетных фазовых пространств $\Pi T^* M^{(s_j)}_{\min}$ для каждой копии поля высшего спина и параметризованному полями и антиполями
$$
\begin{equation}
(\Phi^{A_1}_{\min}, \Phi^{*}_{A_1|\min}, \Phi^{A_2}_{\min}, \Phi^{*}_{A_2|\min},\ldots, \Phi^{A_k}_{\min}, \Phi^{*}_{A_k|\min}) \equiv (\Phi^{Aa}_{\min}, \Phi^{*}_{Aa|\min}),
\end{equation}
\tag{47}
$$
где $a=1,\ldots, k$. Соответствующая антискобка $(\,{\cdot}\,,\,{\cdot}\,)^{(s)_k}$ является суммой антискобок $(\,{\cdot}\,,\,{\cdot}\,)^{(s_j)}$ для всех копий. Она имеет форму, подобную (31) с заменой
$$
\begin{equation*}
(\Phi^{A}_{\min}, \Phi^{*}_{A|\min})\to (\Phi^{Aa}_{\min}, \Phi^{*}_{Aa|\min}),
\end{equation*}
\notag
$$
таким образом, обладает теми же свойствами (32)–(35). Производящее (мастер-)уравнение для деформированного БРСТ–БВ-действия, записанное для непротиворечивого нахождения вершин $|V^{(3)}\rangle^{(m)_{(i)_3}}_{(s)_{(i)_3}}, \dots, |V^{(e)}\rangle^{(m)_{(i)_e}}_{(s)_{(i)_e}}$,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, (S^{(m)_k}_{[e]|(s)_k}[(\chi_g)_k], & \,S^{(m)_k}_{[e]|(s)_k}[(\chi_g)_k] )^{(s)_k}={} \notag \\ &= 2S^{(m)_k}_{[e]|(s)_k}[(\chi_g)_k] \frac{\overleftarrow{\delta}}{\delta\Phi^{Aa}_{\min}}\frac{\overrightarrow{\delta}}{\delta\Phi^*_{Aa|\min}}S^{(m)_k}_{[e]|(s)_k}[(\chi_g)_k] =0 \end{aligned}
\end{equation}
\tag{48}
$$
приводит к системе уравнений по степеням деформационной постоянной $g$:
$$
\begin{equation}
g^0\!:\quad (S^{(m)_k}_{[0]|(s)_k}[(\chi_g)_k], S^{(m)_k}_{[0]|(s)_k}[(\chi_g)_k])^{(s)_k} = \sum_{j\leqslant k}(S^{m_j}_{0|s_j}[\chi^{(j)}_g], S^{m_j}_{[j]|s_j}[\chi^{(j)}_g])^{(s_j)}\equiv 0,
\end{equation}
\tag{49}
$$
$$
\begin{equation}
g^1\!:\quad 2(S^{(m)_k}_{[0]|(s)_k}[(\chi_g)_k], S^{(m)_k}_{1|(s)_k}[(\chi_g)_k])^{(s)_k} =0,
\end{equation}
\tag{50}
$$
$$
\begin{equation}
g^2\!:\quad 2(S^{(m)_k}_{[0]|(s)_k}[(\chi_g)_k], S^{(m)_k}_{2|(s)_k}[(\chi_g)_k])^{(s)_k}+ (S^{(m)_k}_{1|(s)_k}[(\chi_g)_k], S^{(m)_k}_{1|(s)_k}[(\chi_g)_k])^{(s)_k} =0,
\end{equation}
\tag{51}
$$
$$
\begin{equation}
\ldots \ldots \ldots \ldots\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
g^{e}\!:\quad 2\sum_{j=0}^{[e/2]} (S^{(m)_k}_{j|(s)_k}[(\chi_g)_k], S^{(m)_k}_{e-j|(s)_k}[(\chi_g)_k])^{(s)_k} \biggl(1-\frac{1}{2}\delta_{j,e-j}\biggr) =0.
\end{equation}
\tag{52}
$$
Эта система разрешима благодаря нильпотентности грассманово-нечетного оператора, определенного БРСТ–БВ-действием для свободных полей высших спинов $s_1,\dots,s_k$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, W &:= (S^{(m)_k}_{[0]|(s)_k}[(\chi_g)_k], \, \cdot \,)^{(s)_k}, \\ W^2&= (S^{(m)_k}_{[0]|(s)_k}[(\chi_g)_k], (S^{(m)_k}_{[0]|(s)_k}[(\chi_g)_k], \, \cdot \,)^{(s)_k})^{(s)_k}={} \\ &= \frac{1}{2}\sum_j ((S^{(m)_k}_{[0]|(s)_k}[(\chi_g)_k], S^{(m)_k}_{[0]|(s)_k}[(\chi_g)_k] )^{(s)_k} ,\, \cdot \,)^{(s)_k} =0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{53}
$$
Для доказательства (53) мы использовали соотношение (49), тождество Якоби (34) и свойство антисимметрии (33), примененное к антискобке $(\,{\cdot}\,,\,{\cdot}\,)^{(s)_k}$. Уравнение (50) имеет вид $W S^{(m)_k}_{1|(s)_k}=0$. Его нетривиальное решение определяется ненулевыми $W$-когомологиями в пространстве локальных функционалов с нулевыми градуировками $(\epsilon, gh_H, gh_L, gh_{\mathrm{tot}})$ вида (44), т. е. $W$-замкнутым функционалом $S^{(m)_k}_{1|(s)_k}$, имеющим кубичную зависимость от всех поле-антиполевых переменных. Необходимое условие существования решения можно получить индукцией по $e$ для деформаций четвертого и высших порядков:
$$
\begin{equation}
W (S^{(m)_k}_{1|(s)_k}[(\chi_g)_k], S^{(m)_k}_{1|(s)_k}[(\chi_g)_k])^{(s)_k} = 2 (WS^{(m)_k}_{1|(s)_k}[(\chi_g)_k], S^{(m)_k}_{1|(s)_k}[(\chi_g)_k])^{(s)_k} = 0.
\end{equation}
\tag{54}
$$
Уравнения для вершин четвертого (51) и высших порядков (52) имеют более сложную форму, и их решения могут иметь нелокальное (по пространственно-временным производным) представление [22]. В терминах, зависящих от гостовских операторов осцилляторных ядер, например, подсистема (49), (50) представима в виде
$$
\begin{equation}
g^0\!:\quad (Q^\mathrm{tot})^2 |_{(\sigma |\chi_g\rangle=0)} =0, \qquad Q^\mathrm{tot} = \sum_{j}Q^{(j)},
\end{equation}
\tag{55}
$$
$$
\begin{equation}
g^1\!:\quad Q^\mathrm{tot} | V^{(3)}\rangle^{(m)_{(i)_3}}_{(s)_{(i)_3}} =0, \qquad \sigma^{(i_j)}| V^{(3)}\rangle^{(m)_{(i)_3}}_{(s)_{(i)_3}} = 0
\end{equation}
\tag{56}
$$
для $j=1,2,3$; $1\leqslant i_1<i_2<i_3\leqslant k$. Эти уравнения для $k=3$ копий взаимодействующих полей совпадают с уравнениями, полученными из БРСТ-подхода, когда все вершины третьего порядка для кубичной деформации по полям классического действия и для линейной деформации по полям деформированных генераторов калибровочных преобразований, а также для калибровочных параметров нулевого уровня будут равны [17], [19]. В этой связи подчеркнем, что если мы ослабим условие однородности в обобщенном векторе $|\chi_g\rangle$ деформированного БРСТ–БВ-действия и будем искать его представление в виде разложения по полевым, антиполевым, гостовским, антигостовским полевым векторам, то те же вершины, как и из БРСТ-подхода, будут появляться в $S^{(m)_k}_{1|(s)_k}[(\chi_g)_k]$ и процедура деформации примет более общую форму (см. [51]). Локальная по пространственно-временным координатам зависимость в вершинах $|V^{(3)}\rangle^{(m)_{(i)_3}}_{(s)_{(i)_3}}$ означает, что
$$
\begin{equation}
| V^{(3)}\rangle^{(m)_{(i)_3}}_{(s)_{(i)_3}} = \prod_{i=1}^3 \delta^{(d)}(x - x_{i}) V^{(3)}{}^{(m)_{(i)_3}}_{(s)_{(i)_3}} \prod_{j=1}^3 \eta^{(i_j)}_0 |0\rangle, \qquad |0\rangle\equiv \bigotimes_{e=1}^k |0\rangle^{e}
\end{equation}
\tag{57}
$$
(при $(\epsilon, gh_{\mathrm{tot}})V^{(3)}{}^{(m)_{(i)_3}}_{(s)_{(i)_3}}= (0,0)$). Также выполняется закон сохранения импульсов $\sum_{j=1}^3p^{(i_j)}_\mu = 0$, ассоциированных со всеми вершинами. Как и в БРСТ-подходе [17], кубичная деформация БРСТ–БВ-действия (в конденсированных обозначениях)
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S^{(m)_k}_{[1]|(s)_k}(&\Phi^{a}_{\min}, \Phi^{*}_{a|\min}) = \sum_j S^{(s_j)}_{\min}[\Phi^{(j)}_{\min}, \Phi^{*(j)}_{\min}] + g \biggl(S^{(m)_k}_{1|(s)_k}(A^{a})+{} \notag \\ &+ \sum_{b,c,d}^k\biggl[A^{*}_{ib} R^{ib}_{1|\alpha_0d, jc}A^{jc}C^{\alpha_0d}+\frac{1}{2} C^{*}_{\gamma_0b}F^{\gamma_0b}_{{\alpha_0c\beta_0d}}C^{\alpha_0c}C^{\beta_0d}\biggr]+ \mathcal{O}(C^{\alpha_1b})\biggr) \end{aligned}
\end{equation}
\tag{58}
$$
из-за кубичного члена со структурной функцией $F^{\gamma_0b}_{{\alpha_0c\beta_0d}}$ приводит к замыканию алгебры деформированных калибровочных преобразований в линейном приближении по $g$
$$
\begin{equation}
R^{ia}_{1|\alpha_0b}(A)\frac{\overleftarrow{\delta}}{\delta A^{jc}}R^{j}_{0|\beta_0}- ((\alpha_0b) \leftrightarrow (\beta_0c)) = - R^i_{0|\gamma_0}F^{\gamma_0a}_{{\alpha_0b\beta_0c}}
\end{equation}
\tag{59}
$$
при $R^{ib}_{[1]|\alpha_0c}(A)= R^i_{0|\alpha_0}\delta^b_c+g R^{ib}_{1|\alpha_0c, ja}A^{ja}$. Производящее уравнение (48) вместе с системой уравнений (49)–(52) определяет процедуру деформации БРСТ–БВ-действия $k$ экземпляров свободных полей для построения минимального БРСТ–БВ-действия (однородного по векторам $|\chi^{(a)}_g\rangle$) для взаимодействующей теории неприводимых массивных и безмассовых полей со спинами $s_1,\dots,s_k$. Для вершин третьего порядка система сводится к уравнениям (55), (56), которые совместно с алгеброй деформированных калибровочных преобразований (59) позволяют найти вершины третьего порядка в терминах осцилляторно-подобных гамильтоновых операторов. 4. Решение БРСТ–БВ-уравнений для вершин третьего порядкаМы приводим здесь общее решение для вершин третьего порядка взаимодействующих полей высших спинов в случаях с $k$, $k\geqslant 3$, безмассовыми полями, а также с одним массивным и $(k-1)$ безмассовыми полями спинов $s_1, s_2, \dots, s_k$, ранее найденное в рамках БРСТ-подхода для $k=3$ в работах [17], [19]. Рассмотрение адаптировано к случаю взаимодействия типа взаимодействия Янга–Миллса с калибровочной группой $SU(n)$, $n\geqslant 2$. 4.1. Вершины третьего порядка в случае безмассовых полейРассмотрим уравнения (55), (56) для вершин третьего порядка $| V^{(3)}\rangle^{(0)_{(i)_3}}_{(s)_{(i)_3}}\equiv | V^{(3)}\rangle_{(s)_{(i)_3}}$. Мы будем использовать правила $[i_{j+3} = i_j]$ для троек чисел $i_1, i_2, i_3$ и положим
$$
\begin{equation}
\hat{p}^{\,(i_j)}_{\mu} = {p}^{(i_{j+1})}_{\mu}-p^{(i_{j+2})}_{\mu}, \qquad \widehat{\mathcal{P}}^{\,(i_j)}_0 = \mathcal{P}^{(i_{j+1})}_0- \mathcal{P}^{(i_{j+2})}_0, \qquad j=1,2,3.
\end{equation}
\tag{60}
$$
В работах [17], [18] показано, что $(Q^\mathrm{tot}, (\sigma)_k)$-замкнутое решение уравнений (56) представляется произведением $Q^\mathrm{tot}$-замкнутых форм, построенных, в частности, из дифференциальных мономов первого и третьего порядков по степеням осцилляторов, предложенных в работе [13] как $Q_c^\mathrm{tot}$-замкнутое решение уравнения (56), но для неполного БРСТ-оператора $Q_c^\mathrm{tot}$ ($Q_c^\mathrm{tot} = Q^\mathrm{tot}|_{\eta^{(ii)(+)}_{11}=b^{(i)(+)}=0 }$) и без наложения следовых операторов (7), (8). Эти мономы заданы в виде
$$
\begin{equation}
L^{(i_j)} = \hat{p}{}^{\,(i_j)}_{\mu})a^{(i_j)\mu+} - \imath\widehat{\mathcal{P}}^{\,(i_j)}_0 \eta_1^{(i_j)+},
\end{equation}
\tag{61}
$$
$$
\begin{equation}
Z^{(i)_3} = L^{(i_1i_2)+}_{11}L^{(i_3)} + L^{(i_2i_3)+}_{11}L^{(i_1)} + L^{(i_3i_1)+}_{11}L^{(i_2)}.
\end{equation}
\tag{62}
$$
Здесь использованы определение $p^{(i)}_{\mu} = -i\partial^{(i)}_{\mu}$ и равенство
$$
\begin{equation}
L^{(i_j i_{j+1})+}_{11} = a^{(i_j)\mu+}a^{(i_{j+1})+}_{\mu} - \frac{1}{2}\mathcal{P}^{(i_j)+}_1\eta_1^{(i_{j+1})+} - \frac{1}{2}\mathcal{P}^{(i_{j+1})+}_1\eta_1^{(i_j)+}.
\end{equation}
\tag{63}
$$
Операторы $ L^{(i_j)}, Z^{(i)_3}$ не коммутируют со следовыми операторами $\widehat{L}^{(i_j)}_{11}$, $j=1,2,3$. Поэтому соответствующими $Q^\mathrm{tot}$-замкнутыми операторами, построенными из $ L^{(i_j)}$, являются следующие формы:
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}^{(i_j)}_{k_{i_j}} = \sum_{r=0}^{[k_i/2]} (-1)^{r}({L}^{(i_j)})^{r-2j}\big(\hat{p}^{\,(i_j)}_{\mu} \, \hat{p}^{\,(i_j)\mu}\big)^{r} \frac{k_i!}{r!\, 2^r(k_i-2r))!} \frac{(b^{(i_j)+})^j}{C(j,h^{(i_j)}(s_{i_j}))}
\end{equation}
\tag{64}
$$
(эквивалентное полиномиальное представление БРСТ-замкнутых операторов $\mathcal{L}^{(i_j)}_{k_{i_j}}$ см. в [17], [19]). Решение также содержит новые 2-, 4- , $\dots, [s_{i_j} /2]$-формы по степеням осцилляторов, соответствующие следовым операторам при $j=1,2,3$:
$$
\begin{equation}
U^{(s_{i_j})}_{r_{i_j}}(\eta_{11}^{(i_j)+},\mathcal{P}_{11}^{(i_j)+}) := (\widehat{L}^{(i_j)+}_{11})^{(r_{i_j}-2)}\{(\widehat{L}^{+(i_j)}_{11})^2 + r_{i_j}(r_{i_j}-1)\mathcal{P}_{11}^{(i_j)+}\eta_{11}^{(i_j)+}\}.
\end{equation}
\tag{65}
$$
Представления для $Q^\mathrm{tot}$-замкнутой модификации оператора $Z^{(i)_3}$ (соответствующего взаимодействию типа Янга–Миллса) из уравнения $[Q^\mathrm{tot}, \mathcal{Z}^{(i)_3}\}|0\rangle =0$ могут быть различными. Мы выберем то, которое получено в работах [17], [18]. Резюмируя, находим общее четно-инвариантное решение уравнений (56) в виде
$$
\begin{equation}
|V^{(3)}\rangle_{(s)_{(i)_3}} = |{V}^{M(3)}\rangle_{(s)_{(i)_3}} + \sum_{(r_{i_1},r_{i_2},r_{i_3}) >0}^{([s_{i_1}/2],[s_{i_2}/2],[s_{i_3}/2])} U^{(s_{i_1})}_{r_{i_1}}U^{(s_{i_2})}_{r_{i_2}}U^{(s_{i_3})}_{r_{i_3}}|{V}^{M(3)}\rangle_{(s)_{(i)_3}-2(r_{i})_3},
\end{equation}
\tag{66}
$$
где вершина ${V}^{M(3)}_{(s)_{(i)_3}}$ задана с использованием модифицированных форм $\mathcal{L}^{(i_j)}_{k_{i_j}}$, $\mathcal{Z}^{(i)_3}_j$ вместо $({Z}^{(i)_3})^j$ (62):
$$
\begin{equation}
{V}^{M(3)}_{(s)_{(i)_3}-2(r_{i})_3} = \sum_{p}(\mathcal{Z}^{(i)_3})_{1/2\{(s_{(i)_3}-2r_{(i)_3}) - p\}}\prod_{j=1}^3 \mathcal{L}^{(i_j)}_{s_{i_j}-2r_{i_j}-1/2(s_{(i)_3}-2r_{(i)_3}- p)},
\end{equation}
\tag{67}
$$
$$
\begin{equation}
(s_{(i)_3},r_{(i)_3}) = \biggl(\sum_{j}s_{i_j}, \sum_j r_{i_j}\biggr),
\end{equation}
\tag{68}
$$
и нумеруется натуральным параметром $p$, подчиненным неравенствам
$$
\begin{equation}
s_{(i)_3}-2r_{(i)_3}-2s_{(i)_3 \min}\leqslant p\leqslant s_{(i)_3}-2r_{(i)_3}, \quad p=s_{(i)_3}-2r_{(i)_3} - 2t, \quad t\in \mathbb{N}_0.
\end{equation}
\tag{69}
$$
Приведенная величина $\mathcal{Z}^{(i)_3}_j$ определяется, например, для $j=1$ как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \mathcal{Z}^{(i)_3}\prod_{j=1}^3\mathcal{L}^{(j)}_{k_j} = {Z}^{(i)_3}\prod_{j=1}^3\mathcal{L}^{(j)}_{k_j} - \sum_{i=1}^3k_i\frac{b^{(i)+}}{h^{(i)}}[[\widehat{L}^{(i)}_{11},{Z}^{(i)_3}\},{L}^{(i)}\}\prod_{j=1}^3\mathcal{L}^{(j)}_{k_j-\delta_{ij}}+{} \notag \\ & +\sum_{i\ne e}^3 k_ik_e\frac{b^{(i)+}b^{(e)+}}{h^{(i)}h^{(e)}}[\widehat{L}^{(e)}_{11},[[\widehat{L}^{(i)}_{11},{Z}^{(i)_3}\},{L}^{(i)} \}{L}^{(e)}\}\prod_{j=1}^3\mathcal{L}^{(j)}_{k_j-\delta_{ij}-\delta_{ej}}-{} \notag\\ & - \sum_{i\ne e\ne o}^3k_ik_ek_o\frac{b^{(i)+}b^{(e)+}b^{(o)+}}{h^{(i)}h^{(e)}h^{(o)}}[\widehat{L}^{(o)}_{11},[\widehat{L}^{(e)}_{11},[[\widehat{L}^{(i)}_{11},{Z}^{(i)_3}\},{L}^{(i)} \} {L}^{(e)}\}{L}^{(o)} \}\prod_{j=1}^3\mathcal{L}^{(j)}_{k_j-1}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{70}
$$
При $j>1 $ выражения для $\mathcal{Z}_j$ могут быть выведены согласно результату [18]. Общая вершина третьего порядка для $k$ неприводимых безмассовых полей высших спинов представляет $(3+1)$-параметрическое семейство, занумерованное параметрами $r_{i_1}, r_{i_2}, r_{i_3}$, отвечающими за след, и параметром $p$. Вершина третьего порядка (66) используется далее для ее явного тензорного представления в случае взаимодействующих полей спиральности $s$ с $(k-1)$ скалярами. 4.2. Вершины третьего порядка для двух безмассовых полей и одного массивного поляВ этом случае, в отличие от предыдущего рассмотрения, любая вершина должна включать одно массивное поле массы $m$ и спина $s_k\equiv s$ с остальными любыми двумя полями, взятыми из $(k-1)$ экземпляров безмассовых полей. Решение уравнения (56) для вершины третьего порядка $|V^{(3)}\rangle^{(0,0,m)}_{(s)_{(i)_3}}\equiv |V^{(3)}\rangle^m_{(s)_{(i)_3}}$ мы снова ищем как произведение $(Q^\mathrm{tot}, (\sigma)_k)$-замкнутых форм начиная с форм, введенных в рамках ограниченного БРСТ-метода [13] в так называемой схеме с минимальными производными, известной также из подхода светового конуса [25]. Дополнительно к операторам первого порядка $L^{(i_j)}$ (61), $j=1,2,3$, при $i_3 \equiv k$ имеются три оператора второго порядка по степеням осцилляторов
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, L^{(i_1{}i_2)+}_{11} &\!= a^{(i_1)\mu+}a^{(i_2)+}_{\mu} +\frac{1}{2m^2} L^{(i_1)}L^{(i_2)} - \frac{1}{2}\mathcal{P}^{(i_1)+}_1\eta_1^{(i_2)+} - \frac{1}{2}\mathcal{P}^{(i_2)+}_1\eta_1^{(i_1)+}, \\ L^{(i_2 k)+}_{11} &\!= a^{(i_2)\mu+}a^{(k)+}_{\mu} -\frac{1}{2m^2} L^{(i_2)}L^{(k)}+\frac{1}{2m} L^{(i_2)}d^{(k)+}- \frac{1}{2}\mathcal{P}^{(i_2)+}_1\eta_1^{(k)+} - \frac{1}{2}\mathcal{P}^{(k)+}_1\eta_1^{(i_2)+}, \\ L^{(k i_1)+}_{11} &\! = a^{(k)\mu+}a^{(i_1)+}_{\mu} - \frac{1}{2m^2}L^{(k)} L^{(i_1)}-\frac{1}{2m}d^{(k)+} L^{(i_1)}- \frac{1}{2}\mathcal{P}^{(i_1)+}_1\eta_1^{(k)+} - \frac{1}{2}\mathcal{P}^{(k)+}_1\eta_1^{(i_1)+}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{71}
$$
Эти операторы, не вводящие дивергеции в вершины, являются грассманово-четными с нулевыми гостовскими числами $gh_H, gh_L$. Отметим, во-первых, что операторы (61) $L^{(i_j)}$, $j=1,2$, не $Q^\mathrm{tot}_c$-БРСТ-замкнуты в сравнении с $L^{(k)}$, $Q^\mathrm{tot}_c L^{(k)}|0\rangle =0$. Поэтому оператор $Z$ (62) в данном случае не является $Q^\mathrm{tot}_c$-замкнутым и, следовательно, не является $Q^\mathrm{tot}$-замкнутым. В свою очередь, операторы $L^{(i_ji_{j+1})+}_{11}$, $\widehat{L}^{(i_j)+}_{11}$ являются $Q^\mathrm{tot}_c$-БРСТ-замкнутыми, но не $Q^\mathrm{tot}$-замкнутыми, поскольку
$$
\begin{equation}
\widehat{L}^{(i_j)}_{11}L^{(i_ji_{j+1})+}_{11}|0\rangle = 0,\qquad \widehat{L}^{(i_j)}_{11}(L^{(i_ji_{j+1})+}_{11})^2|0\rangle \ne 0, \qquad j=1,2,3.
\end{equation}
\tag{72}
$$
Те же свойства следовой неинвариатности верны для $L^{(i_j)}$:
$$
\begin{equation}
\widehat{L}^{(i_j)}_{11}(L^{(i_j)})^2 |0\rangle = \eta^{\mu\nu}\hat{p}^{(i_j)}_{\mu} \hat{p}^{(i_j)}_{\nu}|0\rangle = (\hat{p}{}^{(i_j)})^2|0\rangle \ne 0,\qquad j=1,2,3.
\end{equation}
\tag{73}
$$
Далее мы снова имеем соответствующие $Q^\mathrm{tot}$-замкнутые следовые операторы $U^{(s_{i_j})}_{r_{i_j}}$ (65) (безмассовые при $j=1,2$ и массивные при $i_3=k$). Можно немедленно проверить, что модифицированные операторы
$$
\begin{equation}
\mathcal{L}^{(3)}_1 = \ {L}^{(3)} - [\widehat{L}^{(3)}_{11},{L}^{(3)}\}\frac{b^{(3)+}}{h^{(3)}},
\end{equation}
\tag{74}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{ \mathcal{L}}^{(3)}_{2} = (\mathcal{L}^{(3)})^2 -i\widehat{\mathcal{P}}_0^{(3)}\eta^{(3)+}_{11}-{\hat{l}}_0^{(3)} \frac{b^{(3)+}}{h^{(3)}},
\end{equation}
\tag{75}
$$
$$
\begin{equation}
\widetilde{\mathcal{L}}^{(3)}_{2k} = (\widetilde{\mathcal{L}}^{(3)}_{2})^k, \qquad \widetilde{ \mathcal{L}}^{(3)}_{2k-1} = (\widetilde{\mathcal{L}}^{(3)}_{2})^{k-1}\mathcal{L}^{(3)}_1
\end{equation}
\tag{76}
$$
инвариантны относительно действия следовых операторов: $[\widehat{L}^{(3)}_{11}, \mathcal{L}^{(3)}_1\}=0$, и потому $Q^\mathrm{tot}$-замкнуты. Что касается задачи (72), мы видим, что любая степень форм $L^{(i_ji_{j+1})+}_{11}$ не является $Q^\mathrm{tot}$-замкнутой. Можно непосредственно проверить $Q^\mathrm{tot}$-замкнутость смешанно-симметричных модифицированных форм
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \mathcal{L}^{(i_ji_{j+1})+}_{11|1} = {L}^{(i_ji_{j+1})+}_{11} -\sum_{i_0} {W}^{(i_0)}_{(i_ji_{j+1})|0}\frac{b^{(i_0)+}}{h^{(i_0)}} +\notag{}\\ &+\frac{1}{2}\biggl(\,\sum_{i_0\ne j_0}[\widehat{L}^{(j_0)}_{11}, {W}^{(i_0)}_{(i_ji_{j+1})|0}\} \frac{b^{(i_0)+}}{h^{(i_0)}} \frac{b^{(j_0)+}}{h^{(j_0)}} +\sum_{i_0}[\widehat{L}^{(i_0)}_{11}, {W}^{(i_0)}_{(i_ji_{j+1})|0}\}\frac{(b^{(i_0)+})^2}{h^{(i_0)}(h^{(i_0)}+1)} \biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{77}
$$
это также справедливо для их любых степеней $(\mathcal{L}^{(i_ji_{j+1})+}_{11|1})^k$. В формуле (77) индексы $i_0, j_0$ принимают два значения $i_j, i_{j+1}$ для $j=1,2,3$ и фиксированное значение $i_j=1,\dots,k$, а также мы использовали обозначение
$$
\begin{equation}
[\widehat{L}^{(i_0)}_{11}, L^{(i_ji_{j+1})+}_{11}\} \equiv \ W^{(i_0)}_{(i_ji_{j+1})|0}.
\end{equation}
\tag{78}
$$
По построению операторы $\mathcal{L}^{(i_ji_{j+1})+}_{11|1}$ бесследовые, поскольку последние члены в (77) перед максимальной степенью по $b^{(i_j)+}$, т. е. $[\widehat{L}^{(j_0)}_{11}, {W}^{(i_0)}_{(i_ji_{j+1})|0}\}$, зависят только от $a^{(i_j)}_{\mu}$, $d^{(k)}$, $\eta^{(i_j)}_1$, $\mathcal{P}_1^{(i_j)}$ и осцилляторов уничтожения, поэтому процедура достроения ${L}^{(i_ji_{j+1})+}_{11}$ до бесследового оператора завершается. Оба оператора $\mathcal{L}^{(3)}_1$ и $\mathcal{L}^{(i_ji_{j+1})+}_{11|1}$ являются некоммутативными и зависят как от операторов рождения, так и от операторов уничтожения, чтобы их любые степени были $Q^\mathrm{tot}$-замкнутыми величинами. В результате решение для четно-инвариантной вершины имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |V^{(3)}\rangle^m_{(s)_{(i)_3}} ={}&|{V}^{M(3)}\rangle^m_{(s)_{(i)_3}} +{} \notag \\ &+\sum_{(r_{i_1},r_{i_2},r_{i_3}) >0}^{([s_{i_1}/2],[s_{i_2}/2],[s_{i_3}/2])} U^{(s_{i_1})}_{r_{i_1}}U^{(s_{i_2})}_{r_{i_2}}U^{(s_{i_3})}_{r_{i_3}}|{V}{}^{M(3)}\rangle^m_{(s)_{(i)_3}-2(r_{i})_3}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{79}
$$
Вершина $|{V}^{M(3)}\rangle^m_{(s)_{(i)_3}-2(r_{i})_3}$ определена в статье [13] с учетом (57), но с модифицированными формами $\mathcal{L}^{(3)}_{k}$ (76) и $(\mathcal{L}^{(i_ji_{j+1})+}_{11|1})^{\tau^{(i_j+2)}}$ вместо $({L}^{(i_ji+1)+}_{11})^{\tau^{(i_j+2)}}$ (71), она имеет вид
$$
\begin{equation}
{V}^{M(3)|m}_{(s)_{(i)_3}-2(r_{i})_3} = \sum_{p}\mathcal{L}^{(3)}_{p}\prod_{j=1}^3 (\mathcal{L}^{(i_ji_{j+1})+}_{11|1})^{\tau_{i+2}}
\end{equation}
\tag{80}
$$
и является $(3+1)$-параметрическим семейством, занумерованным тройкой натуральных чисел $(r_{i_j})_3$, отвечающих за число следов, и натуральным числом $p$ минимального порядка производных, также подчиненных соотношениям
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \tau_{i_j} = \frac{1}{2}(s_{(i)_3}-2r_{(i)_3}-p)-s_{i_j},\ \ j=1,2,\quad \tau_{k} = \frac{1}{2}(s_{(i)_3}-2r_{(i)_3}+p)-s+2r_{3}, \\ {\max}\biggl( 0, (s-2r_{3})-\sum_{j=1}^2(s_{i_j}-2r_{i_j})\biggr) \leqslant p\leqslant s-2r_{3}- |s_{i_1}-2r_{i_1}- (s_{i_2}-2r_{i_2})|, \\ 0\leqslant 2r_{i_j} \leqslant 2 \biggl[\frac{s_{i_j}}{2}\biggr] , \quad s_{(i)_3}-2r_{(i)_3}-p= 2t, \qquad t\in \mathbb{N}_0. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{81}
$$
Заметим, во-первых, что мультипликативно-подобное представление для вершины (79), (80) отличается от предложенного в [19], но эквивалентно ему. Во-вторых, при обращающихся в нуль $r_{({i})_3}$ остающийся параметр соответствует параметру в ограниченной БРСТ-формулировке [13]. Подчеркнем, что включение связей $\widehat{L}^{(i)}_{11}$, ответственных за след, в БРСТ-оператор означает, что обычное условие обращения в нуль двойного следа полей выполняется только на массовой оболочке, как следствие решений свободных уравнений движения. Вне массовой оболочки двойные следы полей не равны нулю. В то же время исчезновение двойных (одинарных) следов полей (гостовских полей) для взаимодействующих полей высших спинов модифицируется в сравнении со случаем свободной динамики, однако с сохранением неприводимости для любого из взаимодействующих полей. 5. Безмассовые поля высших спиральностей $(0, 0, {s})$Рассмотрим кубичную вершину для случая двух безмассовых скаляров и тензорного поля со спиральностями $(0, 0, s)$ при $k=3$ в не зависящих от гостовских операторов и тензорной формах. Во-первых, мы имеем согласно (66), (67) $r$-параметрическое семейство вершин при $r=1,\dots,[s/2]$ с восстановлением размерных постоянных взаимодействия $t_r$ ($\dim t_r$=$s+d/2 -3-2r$ в метрических единицах), что обеспечивает безразмерность классического действия, и с $h^{(i)}(s_i)= -s\delta_{i3}-(d-6)/2$,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &{V}^{(3)|0}_{(0,0,s)} =\sum_{r \geqslant0}^{[s/2]}t_rU^{(s)}_{r} \mathcal{L}^{(3)}_{s-2r} = \sum_{r\geqslant0}^{[s/2]}t_r U^{(s)}_{r}\sum_{i=0}^{[(s-2r)/2]} (-1)^{i}({L}^{(3)})^{s-2(r-i)}\times{} \notag \\ & \times (\hat{p}^{\,(3)})^{2i} \frac{(s-2r)!}{i!\, 2^i(s-2r-2i)!} \frac{(b^{(3)+})^i}{C(i,h^{(3)})}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{82}
$$
а также со следующим разложением операторов по степеням $\eta_1^{(3)+}$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal{L}^{(3)}_{k} ={}& \mathcal{L}^{(3)0}_{k} - \imath \widehat{\mathcal{P}}^{(3)}_0\eta_1^{(3)+}(\mathcal{L}^{(3)}_{k-1})^{\prime} \equiv \mathcal{L}^{(3)}_{k}|_{\eta_1^{(3)+}=0}-{} \notag\\ & - \imath \widehat{\mathcal{P}}^{(3)}_0\eta_1^{(3)+}\sum_{i=0}^{[k/2]}\! (-1)^{i}(\hat{p}^{(3)}_{\mu}a^{(i)\mu+})^{k-1-2i} (\hat{p}^{\,(3)})^{2i} \frac{k!}{i!\, 2^i(k-1-2i)!} \frac{(b^{(3)+})^i}{C(i,h^{(3)})}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{83}
$$
Поле-антиполевая структура взаимодействующей теории определяется обобщенными векторами
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, |\chi^{(j)}_g\rangle_0 &= |\chi^{(j)}_{\min}\rangle_0+ |\chi^{*(j)}_{\min}\rangle_0 = (\phi^{(j)}(x) + \eta^{(j)}_0 \phi^{*(j)}(x) )|0\rangle, \\ |\chi^{(3)}_g\rangle_s &= |\chi^{(3)}_{\min}\rangle_s + |\chi^{*(3)}_{\min}\rangle_s \end{aligned}
\end{equation}
\tag{84}
$$
(при $ j=1,2$) с представлениями (15), (20)–(22) для векторов, соответствующих классическим полям $A^{i3}$, гостовским полям нулевого ($C^{\alpha_03}$) и первого ($C^{\alpha_13}$) уровней, и с разложениями (25), (26) для векторов соответствующих антиполей, без “массивных” $d^{(3)(+)}$ осцилляторов в компонентных векторах (17). Минимальное БРСТ–БВ-действие $S^{(0)_3}_{1|(s)_3}[(\chi_g)_3]$ (44) в приближении первого порядка по степени $g$ задается в виде
$$
\begin{equation}
S^{(0)_3}_{[1]|(s)_3}[(\chi_g)_3] ={} \int d^d x\,\sum_{i=1}^2 \phi^{(i)}\Box \phi^{(i)}+ \int d\eta_0\,[{}_s\langle\chi^{(3)} | K^{(3)}Q^{(3)}|\chi^{(3)}\rangle_s+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+\{{}_{s}\langle \chi^{*(3)} |K^{(3)} \overrightarrow{s}_0|\chi^{(3)}\rangle_s + {}_s\langle C^{*0{(3)}}|K^{(3)} \overrightarrow{s}_0 |C^{0{(3)}}\rangle_{s} + \text{э. с.}\}]+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
S^{(0)_3}_{1|(s)_3} ={} \int \prod_{i=1}^3 d\eta^{(i)}_0 \biggl( \biggl\{{}_{s}\langle \chi^{(3)} K |{}_{0}\langle \phi^{(2)} |{}_{0}\langle \phi^{(1)}|{V}{}^{(3)}\rangle^{0}_{s} +{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+ \sum_{j=1}^2{}_{0}\langle \phi^{*(j)} |K \overrightarrow{s}_1| \phi^{(j)} \rangle_{0} \biggr\} + \text{э. с.} \biggr).
\end{equation}
\tag{86}
$$
Первая строка в (85) соответствует классическому действию для свободных полей, вторая строка содержит антиполевые члены с генераторами исходных БРСТ-подобных преобразований (37) для классических $|\chi^{(3)}\rangle_s$ и гостовских $ |C^{{(3)0}}\rangle_{s}$ полей. В свою очередь, первый член в (86) означает кубичную часть классического действия $S^{(0)_3}_{1|(s)_3}[(\chi)_3]$, а второй член – деформированный генератор БРСТ-подобных преобразований $\delta_{1|B}$ с генератором $\overrightarrow{s}_1$ (в обозначениях $\delta_{[1]|B} =\delta_{0|B}+\delta_{1|B}$):
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \delta_{1|B} |\phi^{(j)} \rangle_{0} &= \mu \overrightarrow{s}_1|\phi^{(j)} \rangle_{0} = - g\mu \int \prod_{i=1}^2 d \eta^{(j+i)}_0 {}_s\langle C^{(3)0} K^{(3)} | {}_{0}\langle \phi^{(j+1)} |{V}{}^{(3)}\rangle^{0}_{(0,0,s)}, \\ \delta_{1|B} {}_{0}\langle\phi^{(j)}| & = {}_{0}\langle\phi^{(j)}| \overleftarrow{s}_1 \mu = - g \int \prod_{i=1}^2 d \eta^{(j+i)}_0{}^{0}_{(0,0,s)}\langle {V}{}^{(3)} K^{(3)} | \phi^{(j+1)} \rangle_0 |C^{(3)0}\rangle_s \mu, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{87}
$$
с неизмененными преобразованиями для $|\chi^{(3)} \rangle $: $\delta_{1|B}|\chi^{(3)} \rangle =0$. Заметим, что деформированные калибровочные преобразования для полей $|\phi^{(j)} \rangle$ получаются подстановкой $\delta_1|\phi^{(j)} \rangle = \delta_{1|B} |\phi^{(j)} \rangle_{0}|_{(\mu {}_s\langle C^{(3)0} | ={}_s\langle \Lambda^{(3)}|)}$ в соответствии с (20). Алгебра деформированных калибровочных преобразований (59) остается абелевой, т. е. $F^{\gamma_0a}_{{\alpha_0b\beta_0c}}=0$ в первом приближении по $g$. Классическое действие $S^{(0)_3}_{[1]|(0,0,s)}[\phi^{(j)}, \chi^{(3)}]$ в (87) зависит от основных $\mathbb{R}$-значных полей $\phi^{(1)}$, $\phi^{(2)}$, $\phi^{(3)}_{\mu(s)}$ и от вспомогательных полей $\phi^{(3)}_{\mu(s-2l)|0,l}$ при $l=0,\dots,[s/2]$ согласно (17). БРСТ–БВ-действие в не зависящем от гостовских операторов виде $S^{(0)}_{0|s}[\chi^{(3)}_g] $ для свободного поля $|\chi^{(3)}\rangle_s$ полностью определяется классическим действием
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal{S}^{0}_{0|s} [&\chi^{(3)}] = \mathcal{S}^0_{C|s}[\chi^{(3)}_c] - \biggl\{({}_{s}\langle \Phi| K \check{L}^{+}_{11} +{}_{s-2}\langle \Phi_2 |K-{}_{s-3}\langle \Phi_{31} | K {l}_1-{} \notag\\ &-{}_{s-4}\langle \Phi_{32} |K\check{L}{}_{11}) |\Phi_{11}\rangle_{s-2}+ (-{}_{s-2}\langle \Phi _2 | K \check{L}^{+}_{11} -{}_{s-6}\langle \Phi_{22} |K\check{L}_{11}+{} \notag \\ & +{}_{s-3}\langle \Phi_{31} | K {l}^{+}_1-{}_{s-4}\langle \Phi_{32} | K ) |\Phi_{12}\rangle_{s-4} +\biggl({}_{s-4}\langle \Phi_{32} | K {l}^{+}_1 + {}_{s-6}\langle \Phi_{22} |K {l}_1-{} \notag\\ & - {}_{s-3}\langle \Phi_{21} | K \check{L}^{+}_{11}+\frac{1}{2}{}_{s-5}\langle \Phi_{13} | K \biggr) |\Phi_{13}\rangle_{s-5}+ {}_{s-3}\langle \Phi_{21} | K(l_0 |\Phi_{31}\rangle_{s-3}-{}\notag\\ & - \check{L}_{11} |\Phi_1\rangle_{s-1} ) - \frac{1}{2} ({}_{s-6}\langle \Phi_{22}| K l_0 |\Phi_{22}\rangle_{s-6} - {}_{s-4}\langle \Phi_{32} |K l_0 |\Phi_{32}\rangle_{s-4}) +\text{э. с.}\biggr\} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{88}
$$
и действием генератора Славнова на компонентах полевого вектора $|\chi_{\min} \rangle_{s}$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \overrightarrow{s}_0 |\Phi\rangle_{s} & = {l}^{+}_1|C^0_{\Xi}\rangle_{s-1} + \check{L}^{+}_{11} |C^0_{\Xi1}\rangle_{s-2}, \\ \overrightarrow{s}_0 |\Phi_1\rangle_{s-1} & = l_0|C^0_{\Xi}\rangle_{s-1} + \check{L}^{+}_{11} |C^0_{\Xi01}\rangle_{s-3}, \\ \overrightarrow{s}_0 |\Phi_2\rangle_{s-2} & = {l}_1 |C^0_{\Xi}\rangle_{s-1}+ \check{L}^{+}_{11} |C^0_{\Xi 11}\rangle_{s-4} - |C^0_{\Xi1}\rangle_{s-2}, \\ \overrightarrow{s}_0|\Phi_{21}\rangle_{s-3} & = {l}_1|C^0_{\Xi1}\rangle_{s-2}-{l}_1^{+}|C^0_{\Xi11}\rangle_{s-4}-|C^0_{\Xi01}\rangle_{s-3}, \\ \overrightarrow{s}_0 |\Phi_{22}\rangle_{s-6} & = - \check{L}_{11}|C^0_{\Xi11}\rangle_{s-4} + {l}_1|C^0_{\Xi12}\rangle_{s-5}, \\ \overrightarrow{s}_0 |\Phi_{31}\rangle_{s-3} & = \check{L}_{11}|C^0_{\Xi}\rangle_{s-1} + \check{L}^{+}_{11}|C^0_{\Xi12}\rangle_{s-5}, \\ \overrightarrow{s}_0 |\Phi_{32}\rangle_{s-4} &= \check{L}_{11} |C^0_{\Xi1}\rangle_{s-2} - {l}^{+}_1 |C^0_{\Xi 12}\rangle_{s-5} + |C^0_{\Xi11}\rangle_{s-4}, \\ \overrightarrow{s}_0 |\Phi_{11}\rangle_{s-2} &= l_0|C^0_{\Xi1}\rangle_{s-2} - {l}^{+}_1|C^0_{\Xi01}\rangle_{s-3}, \\ \overrightarrow{s}_0 |\Phi_{12}\rangle_{s-4} & = l_0|C^0_{\Xi11}\rangle_{s-4} - {l}_1 |C^0_{\Xi01}\rangle_{s-3}, \\ \overrightarrow{s}_0 |\Phi_{13}\rangle_{s-5} &= l_0|\Xi_{12}\rangle_{s-5} - \check{L}_{11}|\Xi_{01}\rangle_{s-3}, \\ \overrightarrow{s}_0 (|C^0_{\Xi}\rangle, &|C^0_{\Xi1}\rangle,|C^0_{\Xi11}\rangle, |C^0_{\Xi12}\rangle, |C^0_{\Xi01}\rangle) = ( - l^{+}_{11} -b^+,{l}^{+}_1, {l}_1, \check{L}_{11}, l_0) |C^1_{\Xi}\rangle_{s-3}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{89}
$$
здесь мы опустили индекс $(3)$. Функционал $\mathcal{S}^0_{C|s}$ является действием в триплетной формулировке для полей спиральностей $s,s-2,\dots, 1(0)$ (согласно [52]) или для поля спина $s$ с дополнительной бесследовой связью, но с зависимостью от $b^{+}$ в триплете $|\chi_c\rangle_s = |\chi\rangle_s|_{(\eta_{11}^{+}, \mathcal{P}_{11}^{+})=0}$:
$$
\begin{equation}
\mathcal{S}^0_{C|s}[\chi_c] = ({}_{s}\langle \Phi | {}_{s-2}\langle \Phi_2| {}_{s-1}\langle \Phi_1|) K \begin{pmatrix} \hphantom{-} l_0 & \hphantom{-} 0 & -{l}^{+}_1 \\ \hphantom{-} 0 & -l_0 & \hphantom{-} {l}_1 \\ -{l}_1 & \hphantom{-}{l}^{+}_1& \hphantom{-}1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}|\Phi\rangle_s\\ |{\Phi_2}\rangle_{s-2} \\ |{\Phi_1}\rangle_{s-1} \end{pmatrix}.
\end{equation}
\tag{90}
$$
Взаимодействующая часть действия $S^{(0)_3}_{1|(0,0,s)}$ также записывается в не зависящем от гостовских операторов виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & S^{(0)_3}_{1|(0,0,s)}[\phi^{(1)},\phi^{(2)}, \chi^{(3)}] = - \prod_{j=1}^3 \delta^{(d)}(x- x_{j}) \biggl({}_{0}\langle \phi^{(2)} | {}_{0}\langle \phi^{(1)}| \biggl\{ {}_{s}\langle \Phi^{(3)} K^{(3)} |\times{} \notag \\ & \times\sum_{r \geqslant0}^{[s/2]}t_r (\check{L}^{(3)+}_{11})^r \mathcal{L}^{(3)0}_{s-2j} + {}_{s-2}\langle \Phi^{(3)}_2 K^{(3)} |\sum_{r \geqslant0}^{[s/2]-1}t_r(r+1) (\check{L}^{(3)+}_{11})^r \mathcal{L}^{(3)0}_{s-2(r+1)}+{} \notag \\ & + {}_{s-4}\langle \Phi^{(3)}_{32} K^{(3)} |\sum_{r \geqslant0}^{[s/2]-2}t_r(r+1)(r+2) (\check{L}^{(3)+}_{11})^r \mathcal{L}^{(3)0}_{s-2(r+2)}-{}\notag \\ & - {}_{s-6}\langle \Phi^{(3)}_{22} K^{(3)} |\sum_{r \geqslant0}^{[s/2]-3}t_r(r+1)(r+2)(r+3) (\check{L}^{(3)+}_{11})^r \mathcal{L}^{(3)0}_{s-2(r+3)}\biggr\}|0\rangle + \text{э. с.}\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{91}
$$
генераторы Славнова БРСТ-подобных преобразований имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \overrightarrow{s}_{[1]} | \phi^{(1)} \rangle_{0} &= - g \prod_{i=2}^3 \delta^{(d)}(x_1 - x_{i})_{0}\langle \phi^{(2)}| \biggl\{{}_{s-1}\langle C^{0(3)}_{\Xi} K^{(3)} |\sum_{r\geqslant0}^{[s-1/2]}t_r (\check{L}^{(3)+}_{11})^r\times{} \\ &\hspace{-1cm}\times (\mathcal{L}^{(3)}_{s-1-2j})^\prime - {}_{s-5}\langle C^{0(3)}_{\Xi12} K^{(3)}| \sum_{j \geqslant0}^{[s-5/2]}t_j(j+1)(j+2) (\check{L}^{(3)+}_{11})^j(\mathcal{L}^{(3)}_{s-5-2r})^\prime\biggr\}|0\rangle, \\ \overrightarrow{s}_{[1]} | \phi^{(2)} \rangle_{0} &= - \overrightarrow{s}_{[1]}| \phi^{(1)} \rangle_{0}\vert_{(\phi^{(1)}(x_1)\to \phi^{(2)}(x_2))}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{92}
$$
Представляя эти выражения в осцилляторном виде для кубичного по полям действия (19) и для квадратичных генераторов Славнова (92) и затем вычисляя получаемые скалярные произведения, получим для действия с точностью до общего множителя $(-1)^ss!$
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &S^{(0)_3}_{1|(0,0,s)} = -2 \int d^dx \biggl[\,\sum_{r\geqslant0}^{[s/2]}t_r\sum_{i=0}^{[s/2-r]} \sum_{l \geqslant0}^{r} \frac{C(l+i,h(s))}{ C(i,h(s))}\frac{r!}{l!\,(r-l)!} \frac{(s-2r)!}{i!}\times{} \notag \\ & \times \biggl\{\sum_{u=0}^{s-2(r+i)} \frac{(-1)^u}{u!\,(s-2(r+i)-u)!}\sum_{q=0}^i \sum_{t=0}^{i-q} \frac{(-1)^t C_i^{q,t}}{2^{2(r-l)+i-t}} \times{} \notag\\ & \times [\partial_{\nu_0}\dots\partial_{\nu_u}(\Box^{q}\partial_{\nu_{u+1}}\dots\partial_{\nu_{u+t}}\phi^{(1)})][\partial_{\nu_{u+t+1}}\dots\partial_{\nu_{s-2r-2i+t}}\times{} \notag \\ & \times (\partial^{\nu_{u+1}}\dots\partial^{\nu_{u+t}}\Box^{i-q-t}\phi^{(2)})] \biggr\} \phi^{(3)\nu({s-2(l+i)})}_{l+i,0}\prod_{p=1}^{j-l}\eta_{\nu_{s-2(r+i-p)-1}\nu_{s-2(r+i-p)}} +{} \notag\\ & + \sum_{r\geqslant0}^{[s/2]-1}t_r\sum_{i=0}^{[s/2-r-1]} \sum_{l \geqslant0}^{r} \frac{C(l+i,h(s))}{ C(i,h(s))}\frac{r!}{l!\,(r-l)!} \frac{(r+1)!\,(s-2(r+1))!}{r!\,i! }\times{} \notag \\ &\times \biggl\{\sum_{u=0}^{s-2(r+1+i)} \frac{(-1)^u}{u!\,(s-2(j+1+i)-u)!}\sum_{q=0}^i \sum_{t=0}^{i-q} \frac{(-1)^t C_i^{q,t}}{2^{2(r-l)+i-t}} \times{} \notag\\ & \times[\partial_{\nu_0}\dots\partial_{\nu_u}(\Box^{q}\partial_{\nu_{u+1}}\dots\partial_{\nu_{u+t}}\phi^{(1)}) ] [\partial_{\nu_{u+t+1}}\dots\partial_{\nu_{s-2(j+1)-2i+t}} \times{} \notag\\ & \times (\partial^{\nu_{u+1}}\dots\partial^{\nu_{u+t}}\Box^{i-q-t}\phi^{(2)})] \biggr\} \phi^{(3)\nu({s-2-2l-2i})}_{2| l+i,0} \prod_{p=1}^{r-l}\eta_{\nu_{s-2(r+1+i-p)-1}\nu_{s-2(r+1+i-p)}}+{} \notag \\ & + \sum_{r \geqslant0}^{[s/2]-2}t_r\sum_{i=0}^{[s/2-r-2]}\sum_{k \geqslant0}^{r} \sum_{l \geqslant0}^{r} \frac{C(l+i,h(s))}{ C(i,h(s))}\frac{r!}{l!\,(r-l)!} \frac{(r+2)!\,(s-2(r+2))!}{r!\,i! }\times{} \notag \\ &\times \biggl\{\sum_{u=0}^{s-2(r+2+i)} \frac{(-1)^u}{u!\,(s-2(r+2+i)-u)!}\sum_{q=0}^i \sum_{t=0}^{i-q} \frac{ (-1)^t C_i^{q,t} }{2^{2(r-l)+i-t}}\times{} \notag\\ &\times [\partial_{\nu_0}\dots\partial_{\nu_u}(\Box^{q}\partial_{\nu_{u+1}}\dots\partial_{\nu_{u+t}}\phi^{(1)}) ][\partial_{\nu_{u+t+1}}\dots\partial_{\nu_{s-2(j+2)-2i+t}} \times{} \notag\\ & \times (\partial^{\nu_{u+1}}\dots\partial^{\nu_{u+t}}\Box^{i-q-t}\phi^{(2)})] \biggr\} \phi^{(3)\nu({s-2(l+2)-2i})}_{32| l+i,0} \prod_{p=1}^{r-l}\eta_{\nu_{s-2(r+2+i-p)-1}\nu_{s-2(r+2+i-p)}}-{} \notag \\ & - \sum_{r\geqslant0}^{[s/2]-3}t_r\sum_{i=0}^{[s/2-r-3]} \sum_{l \geqslant0}^{r} \frac{C(l+i,h(s))}{ C(i,h(s))}\frac{r!}{l!\,(r-l)!} \frac{(r+3)!\,(s-2(r+3))!}{r!\,i! }\times{} \notag \\ &\times \biggl\{\sum_{u=0}^{s-2(r+3+i)} \frac{(-1)^u}{u!\,(s-2(r+3+i)-u)!}\sum_{q=0}^i \sum_{t=0}^{i-q} \frac{(-1)^t C_i^{q,t}}{2^{2(r-l)+i-t}} \times{} \notag \\ & \times [\partial_{\nu_0}\dots\partial_{\nu_u}(\Box^{q}\partial_{\nu_{u+1}}\dots\partial_{\nu_{u+t}}\phi^{(1)}) ] [\partial_{\nu_{u+t+1}}\dots\partial_{\nu_{s-2(r+3)-2i+t}}\times{} \notag\\ & \times (\partial^{\nu_{u+1}}\dots\partial^{\nu_{u+t}}\Box^{i-q-t}\phi^{(2)})] \biggr\} \phi^{(3)\nu({s-2(l+3+i)})}_{22| l+i,0}\prod_{p=1}^{r-l}\eta_{\nu_{s-2(r+3+i-p)-1}\nu_{s-2(r+3+i-p)}}\biggr] \end{aligned}
\end{equation}
\tag{93}
$$
(для натуральных $C^{k,l}_r\equiv \frac{r!}{k!\,l!\,(r-k-l)!}$ и соглашения $\partial_{\nu_0}\equiv \prod_{i=1}^0 \partial_{\nu_i} \equiv 1$), а также для генераторов БРСТ-преобразований
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & \overrightarrow{s}_{[1]} \phi^{(1)}(x_1) = -g \int\! d^dx \biggl[\sum_{r \geqslant0}^{[(s-1)/2]}\!\!t_r\sum_{i=0}^{[(s-1)/2-r]} \sum_{l \geqslant0}^{r} \frac{C(l+i,h(s))}{ C(i,h(s))}\frac{r!}{l!\,(r-l)!} \frac{(s-1-2r)!}{i!} \times{} \notag \\ & \times \biggl\{\sum_{u=0}^{s-1-2(r+i)} \frac{1}{u!\,(s-1-2(r+i)-u)!}\sum_{q=0}^i \sum_{t=0}^{i-q} \frac{(-1)^t C_i^{q,t}}{2^{2(r-l)+i-t}} {C_{\Xi}^{0(3)}}^{\nu({s-1-2(l+i)})}_{l+i,0} (x)\times{} \notag\\ & \times [\partial_{\nu_{u+t+1}}\dots\partial_{\nu_{s-1-2(r+i)+t}}(\partial^{\nu_{u+1}}\dots\partial^{\nu_{u+t}}\Box^{i-q-t}\phi^{(2)})] [\partial_{\nu_0}\dots\partial_{\nu_u}(\Box^{q}\partial_{\nu_{u+1}}\dots\partial_{\nu_{u+t}}) ]\times{} \notag\\ & \times\prod_{p=1}^{r-l}\eta_{\nu_{s-2(r+i-p)-2}\nu_{s-1-2(r+i-p)}} \biggr\}\delta^{(d)}(x - x_1)-{} \notag\\ & - \sum_{r \geqslant0}^{[(s-5)/2]}t_r\sum_{i=0}^{[(s-5)/2-r]} \sum_{l \geqslant0}^{r} \frac{C(l+i,h(s))}{ C(i,h(s))} \frac{r!}{l!\,(r-l)!} \frac{(s-5-2r)!}{i!} \times{} \notag \\ &\times \biggl\{\sum_{u=0}^{s-5-2(r+i)} \frac{1}{u!\,(s-5-2(r+i)-u)!}\sum_{q=0}^i \sum_{t=0}^{i-q} \frac{(-1)^t C_i^{q,t} }{2^{2(r-l)+i-t}} {C^{0(3)}_{\Xi12}}^{\nu({s-5-2(l+i)})}_{12|{}l+i,0} (x)\times{} \notag\\ &\times [\partial_{\nu_{u+t+1}}\dots\partial_{\nu_{s-5-2(r+i)+t}}(\partial^{\nu_{u+1}}\dots\partial^{\nu_{u+t}}\Box^{i-q-t}\phi^{(2)})] [\partial_{\nu_0}\dots\partial_{\nu_u}(\Box^{q}\partial_{\nu_{u+1}}\dots\partial_{\nu_{u+t}}) ]\times{} \notag\\ & \times\prod_{p=1}^{r-l}\eta_{\nu_{s-2(r+i-p)-6}\nu_{s-5-2(r+i-p)}} \biggr\}\delta^{(d)}(x - x_1) \biggr], \notag \\ & \overrightarrow{s}_{[1]} \phi^{(2)} (x_2) = - \overrightarrow{s}_{[1]}\phi^{(1)} (x_1)|_{[ \phi^{(1)} (x_1) \to \phi^{(2)} (x_2)]}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{94}
$$
Заметим, что вершина (93) совпадает с вершиной для одной массивной частицы спина $s$, взаимодействующей с двумя безмассовыми скалярами в [19] при обращении в нуль массивных мод ($k=0$ в формуле (127) в работе [19]). Упростим полученное решение для неограниченных взаимодействующих полей применением калибровочно-фиксирующей процедуры (развитой в [19]) исключения вспомогательных полей для вектора $\chi^{(3)}$ из-за независимости процедуры от скаляров $\phi^{(1)},\phi^{(2)}$. Классическое действие для безмассового тензорного поля сводится к виду (90) для триплета не зависящих от $b^{(3)+}$ полей с БРСТ-преобразованиями для всех полей, подчиненных бесследовым связям
$$
\begin{equation}
{l}_{11}|\Phi^{(3)}\rangle_s+ |\Phi^{(3)}_2\rangle_{s-2}=0,\qquad {l}_{11}|\Phi^{(3)}_k\rangle_{s-k}=0,\quad k=1,2,\qquad {l}_{11}|C^{0(3)}_\Xi\rangle_{s-1}=0,
\end{equation}
\tag{95}
$$
$$
\begin{equation}
\delta_{0|B}(|\Phi\rangle_{s}, |\Phi^{(3)}_1\rangle_{s-1}, |\Phi^{(3)}_2\rangle_{s-2}, |C^{0(3)}_\Xi\rangle_{s-1}) =\mu ({l}_1^+,l_0, {l}_1, 0) |C^{0(3)}_\Xi\rangle_{s-1}.
\end{equation}
\tag{96}
$$
В результате взаимодействующая часть действия (93) содержит два члена с полями $\phi^{(3)\nu({s})}_{0,0}$ и $\phi^{(3)\nu({s-2})}_{2|0,0}$ без $b^{(3)+}$-порожденных полей и записывается в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &S^{(0)_3}_{1|(0,0,s)} = -2 \int d^dx \biggl[\,\sum_{r \geqslant0}^{1}t_r \frac{(s-2r)!}{2^{2r}} \biggl\{\,\sum_{u=0}^{s-2r} \frac{(-1)^u}{u!\,(s-2r-u)!}\times{} \notag \\ & \times[\partial_{\nu_0}\dots\partial_{\nu_u}\phi^{(1)} ] [\partial_{\nu_{u+1}}\dots\partial_{\nu_{s-2r}}\phi^{(2)}] \biggr\} \phi^{(3)\nu({s})}\prod_{p=1}^{r}\eta_{\nu_{s-2(r-p)-1}\nu_{s-2(r-p)}}+{} \notag\\ & + t_0 \biggl\{\,\sum_{u=0}^{s-2} \frac{(-1)^u(s-2)!}{u!\,(s-2(r+1)-u)!} (\partial_{\nu_0}\dots\partial_{\nu_u}\phi^{(1)} ) (\partial_{\nu_{u+1}}\dots\partial_{\nu_{s-2}}\phi^{(2)}) \biggr\} \phi^{(3)\nu({s-2})}_{2| 0,0}\biggr], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{97}
$$
а генераторы БРСТ-вариаций
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \overrightarrow{s}_{[1]} \phi^{(1)}(x_1) ={}& -g t_0\int d^dx\, \biggl\{\,\sum_{u=0}^{s-1} \frac{(s-1)!}{u!\,(s-1-u)!} {C_{\Xi}^{0(3)}}^{\nu({s-1})}_{0,0} (x)\times{} \\ & \qquad\qquad\qquad\times (\partial_{\nu_{u+1}}\dots\partial_{\nu_{s-1}}\phi^{(2)}(x)) \partial_{\nu_0}\dots\partial_{\nu_u} \biggr\}\delta^{(d)}(x - x_1), \\ \overrightarrow{s}_{[1]} \phi^{(2)} (x_2) ={}& - \overrightarrow{s}_{[1]}\phi^{(1)} (x_1)|_{[ \phi^{(1)} (x_1) \to \phi^{(2)} (x_2)]} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{98}
$$
вместе с действием (90) (также с функционалами для скаляров) для свободных полей, подчиненных бесследовым связям (95), могут служить взаимодействующей частью БРСТ–БВ-действия для неприводимой калибровочной теории в триплетной формулировке для рассматриваемых полей с дважды бесследовым исходным полем $ \phi^{(3)\nu({s})}$, бесследовыми произвольными $\phi^{(3)\nu({s-k})}_k$, $k=1,2$, и гостовскими полями $C^{0(3)\nu({s-1})}$. Окончательно, выражая триплет в терминах лишь одного поля, из алгебраического уравнения движения $|\Phi^{(3)}_1\rangle= {l}_1|\Phi^{(3)}\rangle-{l}_1^+|\Phi^{(3)}_2\rangle$, а также из связи (95) ${l}^{(3)}_{11}|\Phi^{(3)}\rangle=- |\Phi^{(3)}_2\rangle$ и с учетом (90), (97) получим все компоненты БРСТ–БВ-действия в кубичном приближении двух взаимодействующих скаляров с дважды бесследовым полем спиральности $s$ в фронсдалловском виде с только одним членом в вершине без следа ввиду соотношения между константами $t_1=2t_0$. 6. ЗаключениеНами разработан БРСТ–БВ-подход с полным БРСТ-оператором $Q$ (6) как пополнение обычного БРСТ-подхода к построению БРСТ–БВ-действия в минимальном секторе переменных поле-антиполе для калибровочной теории первой стадии приводимости, которая описывает свободную лагранжеву динамику полностью симметричного тензорного поля целого спина в $d$-мерном пространстве-времени Минковского. Для этого мы включили все классические (исходные и вспомогательные) гостовские поля и их антиполя в единый грассманово-четный поле-антиполевой вектор $|\chi_g\rangle_s$ (25) в обобщенном гильбертовом пространстве $\mathcal{H}_g$ (с вырожденным скалярным произведением из-за наличия грассманово-нечетных поле-антиполевых переменных) как компонентные тензоры в разложении по степеням гостовских операторов (рождения), вспомогательных $b^+, d^+$ и исходных $a^+_{\mu}$ осцилляторов. Это свойство отражает тот факт, что число всех мономов, составленных из произведений гамильтоновых гостовских осцилляторов (24), и число всех не зависящих от гостовских операторов векторов $|\Phi^{(*)}_{\dots}\rangle$, $|C^{(*)0}_{\Xi{\dots}}\rangle$, $|C^{(*)1}_{\Xi{1}}\rangle$ в (14), (21), (22), (26) совпадают и равны $2^5$ для модели с количеством грассманово-четных связей $[o_l]=5$, определяющих оператор $Q$. В результате минимальное БРСТ–БВ-действие с неограниченными полями и антиполями кодирует все структурные функции абелевой калибровочной алгебры приводимых калибровочных преобразований и имеет такой же вид, как и классическое БРСТ-действие (3), если мы заменим поле $|\chi\rangle_s$ на $|\chi_g\rangle_s$ с тем же БРСТ-оператором, который включает все дифференциальные и голономные (относящиеся к следу) связи, выделяющие неприводимое представление (частицу) высшего целого спина $s$. Построение адаптировано как для безмассовых, так и для массивных неприводимых полей. БРСТ–БВ-действие совпадает с действием, построенным согласно БВ-методу, таким образом удовлетворяя мастер-уравнению (30) в терминах компонентной антискобки, и инвариантно относительно БРСТ-подобных преобразований (37), (38). Построение БРСТ–БВ-действия выявляет концепцию БФВ-БВ-дуальности [45], [46] и реализует пример модели Александрова–Концевича–Шварца–Заборонского [47]. Развита аддитивная процедура деформации БРСТ-действия для построения минимального БРСТ–БВ-действия $S^{(m)_k}_{[e]|(s)_k}$ (43) для взаимодействующих $k$ копий полей целых спинов $s_1,\dots,s_k$. Искомое БРСТ–БВ-действие является однородным по степеням обобщенных векторов $|\chi^{(i)}_g\rangle_{s_i}$, $i=1,\dots,k$, и строится в виде степенных рядов по постоянной деформации $g$ начиная с суммы свободных БРСТ–БВ-действий для каждой копии полей, затем (при $g^1$) в кубичном приближении по степеням $|\chi^{(i)}_g\rangle_{s_i}$ с неизвестными вершинами третьего порядка, далее (при $g^2$) в четвертичном приближении по степеням этих векторов с неизвестными вершинами четвертого порядка и т. д. Требование сохранения числа физических степеней свободы для взаимодействующей теории гарантируется выполнением производящего (мастер)-уравнения (48) для деформированного БРСТ–БВ-действия в полном поле-антиполевом пространстве, регулярное по $g$ решение которого должно быть найдено из эквивалентной системы уравнений (49)–(52) по степеням постоянной $g$. Показано, что разрешимость этой системы основана на нильпотентном грассманово-нечетном операторе $W$, относящемся к нильпотентному полному БРСТ-оператору $Q^\mathrm{tot}$ (55). В терминах БРСТ-оператора $Q^\mathrm{tot}$ и спинового оператора $(\sigma)_k$ уравнение на вершину третьего порядка для $S^{(m)_k}_{[1]|(s)_k}[(\chi_g)_k]$ задается в эквивалентном осцилляторном виде (56) (полученном ранее в рамках БРСТ-подхода [17], [19]) с неизвестными вершинами $| V^{(3)}\rangle^{(m)_{(i)_3}}_{(s)_{(i)_3}}$. Чтобы получить нетривиальное взаимодействие между полями, общее решение для вершины третьего порядка должно быть $(Q^\mathrm{tot}, (\sigma)_k)$-замкнутым. Общее ковариантное локальное решение для вершин третьего порядка в рамках БРСТ–БВ-подхода рассмотрено для двух случаев взаимодействующих полей высших спинов: с $k, k\geqslant 3$, безмассовыми полями, а также с одним массивным и любыми двумя из $(k-1)$ безмассовых полей спинов $s_1, s_2, \dots, s_k$, ранее развитых в рамках БРСТ-подхода [19] при $k=3$. Для первого случая четно-инвариантная вершина третьего порядка $| V^{(3)}\rangle_{(s)_{(i)_3}}$ (с ее $k!/[(k-3)!]3!$ независимыми членами) задается выражениями (66), (67), построенными из БРСТ-замкнутых дифференциальных форм (64), (70) и новых форм (65), относящихся к следовым операторным связям. Вершина имеет неполиномиальную структуру и представляет собой $(3+ 1)$-параметрическое семейство, занумерованное натуральными числами $(r_{i_1},r_{i_2},r_{i_3})$, отвечающими за порядок следов, входящих в вершину, и параметром $p$, нумерующим порядок производных в ней. Во втором случае для одного массивного и остальных безмассовых полей четно-инвариантная вершина третьего порядка $| V^{(3)}\rangle^m_{(s)_{(i)_3}}$ (79), (80) имеет мультипликативную структуру, составленную из БРСТ-замкнутых операторов (74)–(77) и форм, относящихся к следу (65). Вершина представляет $(3+1)$-параметрическое семейство с аналогичной интерпретацией. Мы применили предыдущий результат для нахождения новой кубичной (линейной по $g$) деформации минимального БРСТ–БВ-действия $S^{(0)_3}_{1|(s)_3}[(\chi_g)_3]$ (85) в не зависящей от гостовских операторов и тензорной формах для тройки безмассовых скалярных полей $\phi^{(1)}(x)$, $\phi^{(2)}(x)$ и безмассового тензорного поля $\phi^{(3)}_{\mu(s)}(x)$ целой спиральности $s$. Исходные и деформированные части БРСТ–БВ-действия содержат вклады в свободное классическое действие $ \mathcal{S}^{0}_{0|s} [\chi^{(3)}] $ для безмасового тензора (88) и для его кубичной деформации, определенные вершиной ${V}^{(3)|0}_{(0,0,s)}$ (82) и заданные в $S^{(0)_3}_{1|(0,0,s)}$ (91). В свою очередь, действия исходного генератора Славнова $\overrightarrow{s}_0$ и его двойственного $\overleftarrow{s}_0$, определяющие зависящую от антиполей часть БРСТ–БВ-действия, являются тривиальными для безмассовых скаляров, а для основного и вспомогательных не зависящих от гостовских операторов полевых и гостовских векторов заданы в (89). И наоборот, деформированная часть генераторов Славнова $\overrightarrow{s}_1$ (относящихся к деформированным калибровочным преобразованиям) для последнего поля тривиальна, но появляется для скаляров (92) и зависит от двух не зависящих от гостовских операторов гостовских полевых векторов нулевого уровня. В тензорной форме деформированное классическое действие и действие оператора $\overrightarrow{s}_1$ задаются соотношениями (93) и (94). Структура взаимодействующей теории позволяет применить частичную процедуру фиксации калибровки на языке лагранжевой динамики (независимо от скаляров) и частичное разрешение уравнений движения для исключения $b^+$-зависимости из всех величин для избавления от всех гостовских полей, за исключением одного гостовского поля нулевого уровня ${C_{\Xi}^{0(3)}}^{\nu({s-1})}_{0,0} (x)$, а также устранить все вспомогательные поля за исключением дважды бесследового поля $\phi^{(3)}_{\mu(s)}(x)$ и бесследовых полей $\phi^{(3)}_{k|\mu(s-k)}(x)$, $k=1,2$. Для последней триплетной формулировки тензорные представления для деформированной части БРСТ–БВ-действия (97), (98) позволяют получить минимальное БРСТ–БВ-действие в терминах одного дважды бесследового поля, двух скаляров и бесследового гостовского поля. Подчеркнем, что предложенный БРСТ–БВ-подход с полным БРСТ-оператором, благодаря условию однородности зависимости БРСТ–БВ-действия от обобщенного поле-антиполевого вектора, оценивается как менее общий метод нахождения деформаций классического действия, калибровочных преобразований и калибровочной алгебры в сравнении с возможностями БРСТ-подхода [17], [19]. Однако без этого условия оба подхода становятся эквивалентными. Полученные решения позволяют построить БРСТ–БВ-действия в кубичном приближении для взаимодействующих лагранжевых формулировок как калибровочных теорий первой стадии приводимости для неприводимых $(k-l)$ безмассовых и $l$ массивных полей, $l\geqslant 2$. Существует много направлений развития и применения предложенной процедуры. Отметим некоторые из них: нахождение четвертичного (вершины) приближения для БРСТ–БВ-действия во всем пространстве поле-антиполевых переменных для неприводимых безмассовых полей целых высших спинов на плоском фоне; для массивных полей целых высших спинов, полей высших спинов со смешанной симметрией индексов, для суперсимметричных полей целого спина, где вершины должны включать любую степень следов. Также необходимо отметить проблему построения вершин четвертого и высших порядков и связанных проблем локальности (см. обсуждение в [22], [23], [53]–[56]), для которых БРСТ–БВ-процедура может оказаться полезной. Построение и квантовые петлевые вычисления с квантовым БРСТ–БВ-действием для моделей с полученными вершинами третьего порядка могут быть реализованы согласно [33] в рамках БРСТ–БВ-подхода с полным БРСТ-оператором. БлагодарностиАвтор благодарен И. Л. Бухбиндеру, С. А. Федоруку, Ю. М. Зиновьеву, П. М. Лаврову, а также организаторам и участникам VII Международной конференции “Модели в квантовой теории поля” за полезные обсуждения и гостеприимство, а также рецензенту за тщательное ознакомление с содержанием статьи и многочисленные комментарии. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Res23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|