| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Ультрафиолетовая регуляризация энергии между двумя статичными источниками в боттом-ап голографическом подходе к сильным взаимодействиям С. С. Афонин Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923090039 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеАдС/КТП-соответствие в теории струн [1]–[3] привело к возникновению голографического подхода к КХД. Предложенные модели можно поделить на два больших направления — топ-даун (где стартуют с бранных конструкций в теории струн) и боттом-ап (где стартуют с реальной КХД) голографические подходы. В рамках обоих направлений исследований появились многочисленные хорошо работающие феноменологические модели. Однако второе направление стало гораздо более популярным в феноменологии КХД. Боттом-ап голографические модели оказались весьма успешными в приложении к различным задачам физики сильных взаимодействий. Пожалуй, наиболее широко используемым классом таких моделей является класс так называемых голографических моделей с мягкой стенкой (МС), изначально предложенных в работах [4], [5]. МС-модели были успешно применены к описанию реджевской спектроскопии адронов, адронных формфакторов, термодинамики в КХД и к другой феноменологии, связанной с непертурбативными сильными взаимодействиями (см., например, обзор недавней литературы в [6]). Простейшие МС-модели являются боттом-ап голографическими моделями с определенным статичным гравитационным фоном, который воспроизводит реджевский спектр легких мезонов. В большинстве случаев данный фон не является решением в какой-то известной дуальной пятимерной гравитационной теории, скорее он модельным образом интерполирует некоторые важные вклады от неизвестной гипотетической теории струн, дуальной КХД. Концептуальной причиной, по-видимому, является то, что КХД является слабосвязанной при высоких энергиях благодаря асимптотической свободе, а дуальное описание слабосвязанных теорий требует сильно искривленного пространства-времени (поскольку АдС/КТП-соответствие является сильно-слабой дуальностью), для которого приближение обычной общей теории относительности недостаточно для анализа дуальной теории. Так как соответствующая дуальная формулировка не может быть дана в терминах гравитационной теории поля, нужно использовать, строго говоря, полную дуальную теорию струн [7]. Эту задачу трудно выполнить1, но феноменологически можно угадать простой фон, который корректно воспроизводит высокоэнергетическое поведение двухточечных корреляционных функций в КХД, вместе с лидирующими непертурбативными полиномиальными поправками, известными из правил сумм КХД. Именно такой фон был предложен в работах [4], [5], которые привели к возникновению голографического МС-подхода. Реджевская форма спектра, которая обычно служит основной мотивацией для голографических МС-моделей, в реальности является следствием корректных аналитических свойств корреляционных функций в МС-моделях [9]. Среди многочисленных феноменологических приложений МС-модели был вывод потенциала конфайнмента между двумя тяжелыми кварками [10]. Найденный потенциал оказался близким к хорошо известному потенциалу Корнэлла [11]. Похожие результаты для потенциала конфайнмента были также получены во многих других боттом-ап голографических моделях (см., например, [12] и приведенные там ссылки). В процессе голографического вычисления потенциальной энергии возникают ультрафиолетовые расходимости, которые нужно регуляризовать. В настоящей работе анализируется ультрафиолетовая перенормировка потенциальной энергии между двумя тяжелыми источниками в общем случае боттом-ап голографических моделей. Работа имеет следующую структуру. Основы голографической МС-модели вводятся в разделе 2. В разделе 3 поясняется голографический вывод потенциала между двумя статичными источниками. В разделе 4 в общем случае рассмотрена проблема регуляризации возникающих ультрафиолетовых расходимостей. Выводы приведены в разделе 5. 2. Голографическая модель с мягкой стенкойДействие голографической МС-модели можно определить как [5], [6] где $G=|\!\operatorname{det}G_{MN}|$, $\mathcal{L}$ – плотность лагранжиана некоторых свободных полей в модифицированном пятимерном пространстве Анти-де Ситтера (АдС$_5$) (модифицированном в инфракрасной области), которые, по предположению, на границе АдС$_5$ дуальны некоторым операторам в КХД в духе АдС/КТП-соответствия [1]–[3]. Метрикой является пуанкаре-параметризация модифицированного пространства АдС$_5$:
$$
\begin{equation}
ds^2=G_{MN}\,dx^M\,dx^N=h\,\frac{R^2}{z^2}(\eta_{\mu\nu}\,dx^\mu\, dx^\nu-dz^2),
\end{equation}
\tag{2}
$$
Здесь $\eta_{\mu\nu}=\text{diag}\lbrace1,-1,-1,-1\rbrace$, $z>0$ – голографическая координата, а $R$ – радиус пространства АдС$_5$. Голографическая координата $z$ имеет физический смысл обратного масштаба энергии [1]–[3], поэтому ультрафиолетовым пределом в параметризации (2) является предел $z\rightarrow0$, который дает в (2) четырхмерное пространство Минковского как границу пространства АдС$_5$. Функция $h(z)$ задает конкретную модель и вводит масштаб массы. Например, $h(z)= e^{cz^2}$ в оригинальной МС-модели [5], где $c$ представляет параметр размерности квадрата массы, который становится пропорциональным наклону реджевского спектра масс. Как было упомянуто выше, стандартная МС-модель определена в пробном приближении, т. е. поля материи не влияют на метрику в $\mathcal{L}$ – такая обратная реакция полей, по предположению, подавлена в пределе большого числа цветов (напомним, что, строго говоря, голографический подход формулируется только в этом пределе) или эффективно учтена выбором функции $h(z)$. Простота пробного приближения обеспечивает аналитический контроль на каждой стадии вычислений. В случае безмассовых пятимерных полей модель (1) может быть переписана в эквивалентной форме [4], [6] в которой положено $h=1$, а взамен введен “дилатонный” фон $\tilde{h}$ в действии. Формулировка (4) является наиболее популярной в литературе, при этом используются различные лагранжианы и фоны (например, $\tilde{h}(z)=e^{\tilde{c}z^2}$ в оригинальной МС-модели [4], знак массового параметра $\tilde{c}$ может быть разным).3. Голографическая петля Вильсона и фаза конфайнментаГолографический вывод потенциала между двумя тяжелыми кварками был изначально предложен Малдасеной в работе [13]. Данный вывод основан на голографической интерпретации вакуумного ожидания петли Вильсона в $SU(N)$ теории Янга–Миллса,
$$
\begin{equation}
W(\mathcal{C})=\frac{1}{N}\operatorname{Tr}P\exp\biggl[\,\oint_\mathcal{C}A_\mu \,dx^\mu\biggr].
\end{equation}
\tag{5}
$$
А именно, рассматривается прямоугольная петля Вильсона $W(\mathcal{C})$, натянутая на четырехмерную границу евклидова пятимерного пространства с евклидовой временной координатой $0\leqslant t \leqslant T$, оставшаяся пространственная координата пробегает интервал $-r/2 \leqslant y \leqslant r/2$. Соответствующий контур $\mathcal{C}$ показан на рис. 1. Бесконечно тяжелые кварк и антикварк расположены в точках $y=-r/2$ и $y=r/2$ соответственно. Петля Вильсона описывает рождение кварк-антикварковой пары в некоторый момент времени $t_1$, взаимодействие возникших кварка и антикварка в течение времени $T$ и аннигиляцию пары в момент времени $t_2=t_1+T$. В калибровочной теории поля среднее ожидаемое значение этой петли в пределе $T\to\infty$, как известно, пропорционально $\langle W(\mathcal{C})\rangle\sim e^{-TE(r)}$, где $E(r)$ – потенциальная энергия статичной кварк-антикварковой пары. Основываясь на общих предписаниях АдС/КТП-соответствия [1]–[3], Малдасена выдвинул идею о том, что это же среднее значение петли Вильсона должно быть равно порождающему функционалу дуальной открытой струны $\langle W(\mathcal{C})\rangle\sim Z_\text{string}(\mathcal{C})$ с мировой поверхностью струны, оканчивающейся на контуре $\mathcal{C}$ на границе пространства АдС$_5$ [13]. В приближении седловой точки порождающий функционал дается классическим действием $Z_\text{string}(\mathcal{C})\sim e^{-S}$, где $S$ – собственная площадь мировой поверхности открытой струны, которая на границе АдС$_5$ описывает петлю $\mathcal{C}$. Таким образом, в низкоэнергетическом пределе дуальной теории струн естественно ожидать, что $\langle W(\mathcal{C})\rangle\sim e^{-S}$ [13]. Тогда непосредственно следует статическая энергия конфигурации:
$$
\begin{equation}
\langle W\rangle\sim e^{-TE(r)}\sim e^{-S}\quad \Rightarrow\quad E=\frac{S}{T}.
\end{equation}
\tag{6}
$$
В рамках АдС/КТП-соответствия идея этого метода была затем развита во многих статьях, в частности в работах [14]–[16]. Данный метод был позже применен в работе [10] к векторной голографической МС-модели. Асимптотика полученного потенциала на больших и малых расстояниях качественно воспроизвела потенциал Корнэлла, Этот потенциал был аккуратно измерен в решеточных вычислениях, и в настоящее время его активно используют в спектроскопии тяжелых мезонов [11]. Вычисление работы [10] было далее расширено на случай МС-модели с произвольным параметром пересечения (т. е. когда линейный реджевский спектр имеет общий вид $m^2_n\sim an+b$, где пересечение $b$ произвольно) и скалярной МС-модели в работах [17], [18]. Ниже мы напомним основные шаги вывода потенциальной энергии между статичными источниками.В теориях адронных струн глюонные степени свободы обычно описываются действием Намбу–Гото:
$$
\begin{equation}
S=\frac{1}{2\pi\alpha'}\int d^2\xi\,\sqrt{\det [G_{MN}\partial_\alpha X^M\!\partial_\beta X^N]}\,,
\end{equation}
\tag{8}
$$
где $\alpha'$ является обратным натяжением струны, $X^M$ обозначают функции струнных координат, которые проецируют параметрическое пространство мирового листа $(\xi_1,\xi_2)$ в обычное пространство-время, а $G_{MN}$ – метрика объемлющего пространства. Поэтому естественно написать действие (8) как площадь мировой поверхности. Вывод потенциальной энергии из петли Вильсона происходит в евклидовом пространстве. Евклидова версия метрики (2) принимает вид
$$
\begin{equation}
\text{G}_{MN}=\operatorname{diag}\biggl\{\frac{R^2}{z^2}\,h,\dots,\frac{R^2}{z^2}\,h \biggr\}.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Параметризуем мировую поверхность струны, как на рис. 1, $\xi_1=t$ и $\xi_2=y$. Интегрируя по $t$ от $0$ до $T$ в (8), приходим к действию
$$
\begin{equation}
S=\frac{T}{2\pi\alpha'}\int_{-r/2}^{r/2}dy\,\sqrt{\text{G}_{00}\text{G}_{yy}+\text{G}_{00}\text{G}_{zz}\,z'^2} =\frac{TR^2}{2\pi\alpha'}\int_{-r/2}^{r/2}dy\,\frac{h}{z^2}\,\sqrt{1+z'^2}\,,
\end{equation}
\tag{10}
$$
где $z'={dz}/{dy}$. Полученный лагранжиан ведет к каноническому импульсу
$$
\begin{equation}
p=\frac{\delta\mathcal{L}}{\delta z'}=\frac{hz'}{z^2\sqrt{1+z'^2}},
\end{equation}
\tag{12}
$$
который дает следующий гамильтониан:
$$
\begin{equation}
\mathcal{H}= pz'- \mathcal{L} = -\frac{h}{z^2\,\sqrt{1+z'^2}}\,.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Поскольку $\mathcal{H}$ явно не зависит от $y$, его величина является постоянной. Эта сохраняющаяся величина представляет первый интеграл уравнения движения, следующего из действия (10), и возникает из трансляционной инвариантности этого действия (нет явной зависимости лагранжиана от $y$). Если $z(y)$ является четной функцией (как в нашем случае), существует максимальное значение которое достигается при $y=0$, поскольку на концах петли Вильсона имеем $z(\pm r/2)=0$, а система является симметричной. В этой точке $z'(0)=0$, а также $p=0$ в (12). Следовательно, постоянной движения будет где Теперь мы можем получить дифференциальное уравнение на геодезическую линию,
$$
\begin{equation}
z'\doteq\frac{dz}{dy}=\sqrt{\frac{h^2}{h_0^2}\,\frac{z_0^4}{z^4}-1}\,,
\end{equation}
\tag{17}
$$
и использовать его для того, чтобы выписать окончательное выражение для расстояния между двумя статичными источниками, расположенными в точках $y=\pm r/2$ в обычном пространстве:
$$
\begin{equation}
r=\int_{-r/2}^{r/2}dy=2\int_{0}^{z_0}dz\,\frac{h_0}{h}\, \frac{z^2}{z_0^2}\, \frac{1}{\sqrt{1-({h_0^2}/{h^2}) ({z^4}/{z_0^4})}}.
\end{equation}
\tag{18}
$$
Комбинируя (6), (10) и (17), получаем потенциальную энергию:
$$
\begin{equation}
E=\frac{R^2}{2\pi\alpha'}\int_{-r/2}^{r/2}dy\, \frac{h}{z^2}\,\sqrt{1+z'^2}=\frac{R^2}{\pi\alpha'} \int_{0}^{z_0}dz\,\frac{h}{z^2}\, \frac{1}{\sqrt{1-({h_0^2}/{h^2})({z^4}/{z_0^4})}}.
\end{equation}
\tag{19}
$$
Эта энергия также может быть записана в следующих эквивалентных формах:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, E&=\frac{R^2}{2\pi\alpha'}\int_{-r/2}^{r/2}dy\biggl( \frac{h}{z^2}\,\sqrt{1+z'^2}\pm\frac{h_0}{z_0^2}\biggr)=\notag\\ &=\frac{R^2}{2\pi\alpha'}\biggl[\frac{h_0}{z_0^2}\int_{-r/2}^{r/2}dy+ \int_{-r/2}^{r/2}dy\biggl(\frac{h}{z^2}\,\sqrt{1+z'^2}-\frac{h_0}{z_0^2}\biggr)\biggr]=\notag\\ &=\frac{R^2}{2\pi\alpha'}\left[\frac{h_0}{z_0^2}\,r+ 2\int_{0}^{z_0}dz\,\frac{h}{z^2}\,\sqrt{1-\frac{h_0^2}{h^2}\,\frac{z^4}{z_0^4}}\,\right]=\notag\\ &=\frac{1}{2\pi\alpha'}\biggl[\sqrt{\text{G}_{00}(z_0)\text{G}_{yy}(z_0)}\,\,r+ 2\int_{0}^{z_0}dz\,\sqrt{\frac{\text{G}_{zz}}{\text{G}_{yy}}}\,\sqrt{\text{G}_{00}\text{G}_{yy}-\text{G}_{00}(z_0)\text{G}_{yy}(z_0)}\,\biggr], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
где $\text{G}_{aa}(z_0)=\text{G}_{aa}\big|_{z=z_0}$ для (евклидовых) времениподобной ($a=0$) и пространственноподобных ($a=1,2,3$) компонент, причем последние имеют ненулевую компоненту только вдоль направления $y$, выбранного на рис. 1; мы обозначили эту компоненту как $\text{G}_{yy}$. Последнее равенство в (20) следует из общего анализа, выполненного в работе [16]. Выражение (20) демонстрирует, что энергией конфигурации является длина струны (с учетом множителя) согласно метрике (9) плюс некоторая добавка. Если задан конкретный анзац для $h(z)$, можно численно найти функцию $E(r)$ из соотношений (18) и (19), если эти соотношения хорошо определены. Если $h(z)$ соответствует геометрии, описывающей конфайнмент (см. ниже), тогда асимптотически, на малых и больших расстояниях $r$, потенциальная энергия $E(r)$ будет иметь форму потенциала Корнэлла (7). Соответствующие вычисления в рамках нескольких конкретных МС-моделей приведены в работах [10], [17]–[19]. Если геометрия голографической модели не описывает конфайнмент, тогда потенциал имеет кулоновскую форму. Здесь нужно сделать некоторые замечания. По физическому смыслу интеграл в (18) и (19) должен быть вещественным, т. е. выражение под квадратным корнем должно быть положительным. Это условие ведет к появлению верхней границы на максимальное значение голографической координаты $z$: Здесь $h_0$ определено выражением (16), а $h_0'=\partial_z h\big|_{z=z_0}$. Интеграл имеет логарифмическую особенность при $z_0=2h_0/h_0'$ и становится комплексным при бо́льших $z_0$. Возникновение верхней границы для координаты означает наличие горизонта, что является общей чертой теорий с конфайнментом.Простая проверка показывает, что верхняя граница (21) является минимумом для чисто временно́й компоненты метрики (9), даваемым условием
$$
\begin{equation}
\partial_z \text{G}_{00}\big|_{z=z_0}=0,\qquad \text{G}_{00}(z_0)\ne0.
\end{equation}
\tag{22}
$$
Это условие было впервые выведено в работе [16] как достаточное условие для описания конфайнмента в струнной теории типа Намбу–Гото. Последняя строка в (20) также показывает, что эффективное натяжение струны достигает минимума в точке $z = z_0$, так как $\text{G}_{yy}=\text{G}_{00}$. Ясно, что минимальное значение $z_0$ может появиться, только если $h(z)$ в метрике (9) является растущей функцией от $z$ при достаточно больших значениях аргумента, по крайней мере в евклидовом пространстве. Например, в МС-анзаце $h(z)= e^{cz^2}$ в работе [10] это фиксирует знак массового параметра: $c>0$. Следуя аргументации в работе [20], можно дать изящную физическую интерпретацию для условия (22). В искривленном пространстве с геометрией, описывающей конфайнмент, частица падает в абсолютный минимум соответствующей гравитационной потенциальной энергии $U$. Для тела массы $m$ эта энергия дается известным соотношением из общей теории относительности: $U=mc^2\,\sqrt{G_{00}}$. Условие (22) тогда становится просто условием на минимум $U$. Таким образом, если потенциал $U(z)$ имеет абсолютный минимум при некотором $z_0$, тогда частица испытывает конфайнмент внутри типичных расстояний $z\sim z_0$, что можно представлять как частицу, эффективно заключенную внутри адрона размера $z_0$. Такая физическая картина возникает в голографическом подходе на световом фронте, в котором голографическая координата $z$ является мерой межкваркового расстояния в адроне [20]. 4. Ультрафиолетовая регуляризация энергииИнтеграл для энергии в (19) расходится при $z=0$ из-за множителя $z^{-2}$ в метрике (9). Данная расходимость универсально появляется как в геометриях, описывающих конфайнмент, так и в геометриях, не описывающих конфайнмент, поскольку в голографических моделях их структура при $z\rightarrow0$ должна быть одинаковой – эта структура полностью определяется метрикой пространства АдС$_5$ при малых $z$ в (2). Она не может быть изменена функцией $h(z)$ в разумных голографических моделях, так как в противном случае будет незаконно использовать голографический словарь из АдС/КТП-соответствия. Нормировка $h(0)=1$ (в общем случае может быть любой константой) была наложена в (3) именно по этой причине. Универсальная структура метрики пространства АдС$_5$ при малых $z$ в (9) ведет к универсальному кулоновскому поведению потенциальной энергии на малых расстояниях в обычном пространстве, с правильным отрицательным знаком (который появляется в гамильтониане (13)). Это кулоновское поведение является прямым следствием конформной инвариантности на малых расстояниях – по этой причине данное поведение возникает в любой конформной теории поля, например оно было получено в случае $\mathcal{N}=4$ суперсимметричной теории Янга–Миллса уже в пионерской работе [13]. Соответствующие вычисления в рамках голографических МС-моделей с геометрией, описывающей конфайнмент, были выполнены, например, в работах [10], [18], где была воспроизведена общая структура потенциала Корнэлла (7). Обычно в процедуре устранения расходимости при $z=0$ в (19) вводится понятие регуляризованной энергии. Однако для общего обсуждения регуляризации проще использовать понятие перенормированной (путем вычитания бесконечной константы) энергии, которая конечна и которую можно непосредственно отождествить с физической потенциальной энергией между статичными источниками. Сингулярности при $z = 0$ в (19) возникают из множителя $h(z)/z^2$. В случае нашей нормировки $h(0)=1$ разложение в ряд функции $h(z)$ при малых $z$ имеет вид
$$
\begin{equation}
h(z)\big|_{z\rightarrow0}=1+\sum_{k=1}^{\infty}c_k z^{\alpha_k},\qquad \alpha_k>0.
\end{equation}
\tag{23}
$$
В общем случае это разложение может содержать дробные степени $z$, т. е. $\alpha_k$ может быть нецелым. Предположим, что существует $n$ вкладов со значениями $\alpha_k$ в интервале Тогда интеграл в (19) будет иметь $n+1$ различных расходимостей. Таким образом, нам необходимо сделать $n+1$ вычитаний, чтобы устранить возникающие ультрафиолетовые расходимости. Наложим ультрафиолетовое обрезание $\varepsilon$ и введем следующую регуляризирующую функцию:
$$
\begin{equation}
F(\varepsilon,z_0) = \int_{\varepsilon}^{z_0}\frac{dz}{z^2} \biggl(1+\sum_{k=1}^{n}c_kz^{\alpha_k}\biggr).
\end{equation}
\tag{25}
$$
Если $\alpha_n$ является наибольшей константой в (24), то $\varepsilon$-разложение функции $F(\varepsilon,z_0)$ имеет две возможные формы:
$$
\begin{equation}
\alpha_n<1\colon \qquad F(\varepsilon,z_0) = \frac{1}{\varepsilon}+\sum_{k=1}^{n}\,\frac{c_k}{1-\alpha_k}\frac{1}{\varepsilon^{1-\alpha_k}}+\text{const},
\end{equation}
\tag{26}
$$
$$
\begin{equation}
\alpha_n=1\colon \qquad F(\varepsilon,z_0) = \frac{1}{\varepsilon}+\sum_{k=1}^{n-1}\,\frac{c_k}{1-\alpha_k}\frac{1}{\varepsilon^{1-\alpha_k}}+c_n\ln\frac{z_0}{\varepsilon}+\text{const}.
\end{equation}
\tag{27}
$$
Теперь можно определить перенормированную энергию следующим образом:
$$
\begin{equation}
E_\text{ren}=\lim_{\varepsilon\rightarrow0}\frac{R^2}{\pi\alpha'} \biggl(\,\int_{\varepsilon}^{z_0}dz\,\frac{h}{z^2}\, \frac{1}{\sqrt{1-({h_0^2}/{h^2})({z^4}/{z_0^4})}}- F(\varepsilon,z_0)\biggr).
\end{equation}
\tag{28}
$$
Энергия $E_\text{ren}$ конечна, поэтому может быть идентифицирована как физическая энергия между двумя статичными источниками, которая типично измеряется в решеточных вычислениях при достаточно большом пространственном разделении источников. Многие вычисления статичной энергии между двумя тяжелыми источниками, выполненные в рамках голографического МС-подхода, использовали регуляризации, являющиеся частными случаями нашего общего ренормализационного предписания (28). Например, в стандартной МС-модели работы [10] и в ее обобщении, рассмотренном в работе [18], было необходимо только одно вычитание, так как в обоих случаях имело место $\alpha_1=2$ в тейлоровском разложении (23). В МС-модели с линейной экспоненциальной поправкой $h(z)= e^{\tilde{c}z}$, в рамках которой потенциал между тяжелыми кварками был недавно проанализирован в работе [21] (краткое изложение результатов представлено в [22]), имеем $\alpha_1=1$ в разложении (23), что привело к необходимости двух вычитаний, при этом второе было нужно для сокращения логарифмической расходимости, показанной в (27). В принципе, можно построить голографические МС-модели, требующие произвольного числа вычитаний в потенциальной энергии. Существуют и другие схемы вычитания, они различаются сдвигом на константу в конечной потенциальной энергии. Если потенциал измеряется на больших расстояниях, данный сдвиг слабо влияет на его измеренное значение. Однако на малых расстояниях этот вклад в потенциал может нести важную физическую информацию. Например, в феноменологических потенциальных моделях для тяжелых кваркониев константа $C$ в (7) примерно равна ${-}0.3$ ГэВ [11]. Поэтому проблема выбора физической схемы вычитания становится актуальной. Ниже мы кратко обсудим некоторые альтернативные схемы вычитания. Первая очевидная возможность – изменить точку нормировки в регуляризирующей функции (25), а именно рассмотреть $F(\varepsilon,z_1)$, где $z_1<z_0$. Однако, согласно доводам в работе [15], различные аргументы в теории струн недвусмысленно указывают на то, что вычитание должно быть в точке горизонта, роль которой в нашем случае играет $z_0$. Более интересная схема вычитания возникает, если переопределить регуляризирующую функцию (25) следующим образом:
$$
\begin{equation}
\widetilde{F}(\varepsilon,z_0) = \int_{\varepsilon}^{z_0}\frac{h}{z^2}\,dz.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Числитель в подынтегральном выражении (25) содержит только ту часть $h(z)$, которая ведет к сингулярностям в энергии, эта часть в (29) заменена самой функцией $h(z)$. Такая схема вычитания полностью эквивалентна схеме, предложенной Малдасеной в его оригинальной работе по голографической петле Вильсона [13], где было отмечено, что вычисленная энергия включает массы бесконечно тяжелых кварка2 и антикварка, следовательно, бесконечность в энергии возникает просто в силу включения в нее масс кварков. В рассматриваемой схеме “голый” кварк (т. е. свободный кварк, когда выключено его взаимодействие с калибровочным полем) должен представляться прямой струной с постоянным значением $y$, натянутой между $z(\pm r/2)=0$ и $z=z_0$ [13], [16]. Таким образом, его масса следует из действия Намбу–Гото (10):
$$
\begin{equation}
m_q=\frac{T}{2\pi\alpha'}\int_{-r/2}^{r/2}dy\,\sqrt{\text{G}_{00}\text{G}_{zz}\,z'^2} =\frac{TR^2}{2\pi\alpha'}\int_{0}^{z_0}\frac{h}{z^2}\,dz,
\end{equation}
\tag{30}
$$
где первое слагаемое под квадратным корнем в действии (10) исчезает, поскольку $y$ есть константа. Сравнивая (29) и (30), можно сразу увидеть, что вычитание масс двух кварков из потенциальной энергии, $E_\text{ren}=E-2m_q$, идентично вычитанию регуляризирующей функции (29) в (28). Данная схема вычитания широко использовалась в соответствующей литературе (см., например, [12], [16]).
5. ЗаключениеВильсоновский критерий конфайнмента ведет к красивому теоретическому способу аналитического вывода потенциальной энергии между двумя статичными источниками, которая может быть измерена в решеточных вычислениях. Это дает интересную возможность протестировать различные феноменологические модели для сильных взаимодействий, основанных на голографическом подходе. В процессе голографического вывода потенциальной энергии неизбежно возникает бесконечность, появляющаяся из области исчезающе малых значений голографической координаты. В случае голографических моделей с мягкой стенкой возможны многие типы таких расходимостей, хотя на практике появление более чем двух типов выглядит экзотичным. Модель с линейным экспоненциальным фоном в функции $h(z)$ модифицированной АдС-метрики (см. (2)) дает пример, когда возникают две различные расходимости в потенциальной энергии. Если разложение в ряд функции $h(z)$ при малых $z$ содержит дополнительные дробные степени $z^\alpha$ в интервале $0<\alpha<1$, тогда появляются дополнительные (экзотичные) расходимости. Такая ситуация не исключена как в статичных феноменологических голографических моделях, так и в динамических голографических подходах типа дилатон-гравитация. Для устранения возникающих расходимостей могут применяться различные схемы вычитания (аддитивной перенормировки), они приводят к различным постоянным вкладам в потенциальную энергию. Таким образом, этот вклад становится зависящим от схемы регуляризации энергии. Надеемся, что приведенный анализ данного вопроса будет полезным для разработки дальнейших приложений боттом-ап голографического подхода к описанию феноменологии, связанной с конфайнментом кварков и глюонов. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Afo23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|