| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Составные операторы стохастической модели A Д. Давлетбаеваa, М. Гнатичbcd, М. В. Комароваa, Т. Лучивянскиc, Л. Мижишинc, М. Ю. Налимовab a Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия b Лаборатория теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Московская обл., Россия c Faculty of Science, Šafárik University, Košice, Slovakia d Institute of Experimental Physics SAS, Košice, Slovakia
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S004057792309009X 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеНаиболее важными характеристиками системы, которые влияют на ее критическое поведение, являются общие свойства, такие как симметрии параметра порядка и симметрии полей, тензорный характер параметра порядка, число компонент и т. д. Эти свойства в значительной степени определяют, к какому классу универсальности принадлежит данная модель [1]–[3]. Согласно классическим монографиям [4], [5] критическая динамика сверхтекучей жидкости должна правильно описываться стохастическими динамическими моделями E или F. Фундаментальные динамические переменные этих моделей представляют собой медленно меняющиеся поля, соответствующие термодинамическим потокам [4], и теоретические соотношения удобным образом выражаются через них. Однако для модели E уравнение ренормализационной группы (РГ) приводит к двум кандидатам на роль неподвижной точки, устойчивой в инфракрасной (ИК) области, и вопрос о том, какая из них фактически определяет наблюдаемое поведение бозе-газа, остается открытым (нерешенным) [1], [6]. Кроме того, ни в модели Е, ни в более сложной модели F невозможно вычислить критическую размерность, определяющую затухание коэффициента вязкости при приближении к критической точке соответствующего фазового перехода из нормального в сверхтекучее состояние. В работах [7], [8] было предложено анализировать устойчивость моделей E и F по отношению к влиянию дополнительного гидродинамического поля скоростей и возмущений волны плотности соответственно. Оказалось, что обе модели чувствительны к включению в них гидродинамических мод, существенно влияющих на критическое поведение и, в частности, на значения критических индексов. Дальнейший учет сжимаемости среды привел к парадоксальному выводу [9]: модели E и F критической динамики неустойчивы по отношению к таким возмущениям и в ИК-области эффективно сводятся к модели A [1], [3], [4], которая имеет единственную ИК-устойчивую неподвижную точку. С другой стороны, имеются подтверждения феноменологических соображений c микроскопической точки зрения; см. работы [10], [11], где был проведен тщательный анализ бозе-газа на основе формализма зависящих от времени функций Грина при конечной температуре. Этот формализм обеспечивает дополнительную поддержку вышеупомянутых результатов. Главный вывод исследования, представленного в работе [9], заключается в том, что модель A также правильно описывает динамическое поведение вблизи лямбда-точки. Кроме того, исходное эффективное динамическое действие модели A определяет критические размерности ИК-несущественных полей (например, поля скоростей $\boldsymbol{v}$ или поля $m$, описывающего флуктуации плотности и температуры) или построенных из них мономов. Эти критические размерности выражаются в терминах размерностей составных операторов двухкомпонентной модели A. Другими словами, как только определены наиболее важные составные ИК-операторы основных полей, можно проанализировать затухание коэффициента вязкости c помощью составных операторов модели A. Используя методы РГ для модели A [1], [4], можно вычислить критическую размерность вязкости через критические размерности составных операторов c канонической размерностью $8$. С ними смешиваются составные операторы с меньшими каноническими размерностями $2$, $4$ и $6$, а недостающие степени c необходимостью компенсируются степенями параметра (химического потенциала или импульса), ответственного за фазовый переход в исходной модели. В настоящей работе нашей основной целью является вычисление критических размерностей операторов канонической размерности $8$ в ведущем порядке разложения по $\varepsilon=4-d$. Их определение позволяет получить физически значимую информацию о затухании вязкости вблизи фазового перехода из нормального состояния в сверхтекучее. 2. Стохастическая модель AВ стандартной классификации динамических моделей [4] модель A можно рассматривать как простейшую. Долгое время она использовалась в основном для описания критического поведения анизотропного ферромагнетика или антиферромагнетика. Функционал действия основной модели A имеет сокращенный вид [1]
$$
\begin{equation}
\mathcal S(\varphi',\varphi)=\alpha_0\varphi^{\prime\,2}+ \varphi'\biggl(-\frac{\partial}{\partial t}\varphi+\alpha_0\nabla^2\varphi-\alpha_0\tau_0\varphi-\frac{\alpha_0g_0}{6}\varphi^3\biggr),
\end{equation}
\tag{1}
$$
где поле $\varphi$ (поле $\varphi'$) – это $n$-компонентное поле параметра порядка (отклика), параметр $\tau_0\propto(T-T_{\mathrm c})$ – (неренормированное) отклонение от критической температуры, $\alpha_0$ – коэффициент (диффузии), $\alpha_0>0$, и $g_0$ – константа связи теории. Соответствие между исходным эффективным динамическим действием [9], [10] и основной моделью A задается непосредственно и имеет вид
$$
\begin{equation}
\psi^{\prime\,+}=\varphi'_1,\qquad \psi'=\varphi'_2,\qquad \psi=\varphi_1,\qquad \psi^{+}=\varphi_2.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Таким образом, вычисление критического поведения вязкости эффективно описывается двухкомпонентной моделью A. Далее мы будем работать c основной моделью A. Исходное эффективное действие [9], [10] не содержит “массового” члена, пропорционального $\tau$ (отклонению от критической температуры, $\tau=T-T_{\mathrm c}$). Поэтому в основной модели (1) мы также положим $\tau=0$. Мы проводим стандартные вычисления квантовой теории поля [1], [2]. Правила расчета диаграмм Фейнмана и все связанные c ними диаграммные элементы можно получить напрямую из функционала действия (1). Пропагаторы получаются из гауссовой части действия, в частотно-импульсном представлении они имеют вид
$$
\begin{equation}
\langle\varphi\varphi'\rangle=\frac{1}{-i\omega+\alpha k^2},\qquad \langle\varphi\varphi\rangle=\frac{2\alpha}{|{-i\omega}+\alpha k^2|^2}.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Вклад взаимодействия содержит единственную вершину $\varphi'\varphi^3$. Все графические элементы теории возмущений схематически изображены на рис. 1. Отправной точкой теоретико-полевого подхода РГ является анализ размерностей. Как правило, динамические модели типа (1) имеют два независимых масштаба [3], [1]. Это означает, что каждой величине $Q$ можно сопоставить две независимые канонические размерности – импульсную размерность $d_p[Q]$ и частотную размерность $d_\omega[Q]$. Они определяются так, чтобы каждый член функционала действия (1) был безразмерным [1], [2]. Мы используем стандартные условия выбора нормировки канонических размерностей импульса $p$ и частоты $\omega$:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} d_p[p]&=-d_p[x]=1,&\qquad d_p[\omega]&=d_p [t]=0, \\ d_\omega[p]&=d_\omega [x]=0,&\qquad d_\omega[\omega]&=-d_\omega[t]=1. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{4}
$$
Полная каноническая размерность величины $Q$ задается формулой Все канонические размерности для модели A приведены в табл. 1, и мы видим, что логарифмическая размерность модели равна $d_{\mathrm c}=4$, при этом заряд $g_0$ становится безразмерным. Поэтому мы вводим формально малый параметр $\varepsilon$ теории [1], [2] как отклонение от логарифмической размерности, Мы проводим весь РГ-анализ в главном порядке теории возмущений (в порядке $g$), используя схему минимальных вычитаний (MS) [1], [2]. Таблица 1.Канонические размерности полей и параметров модели A.
Поскольку дополнительную информацию о ренормировке общей модели A можно найти в литературе [1], [2], [4], мы не обсуждаем эту процедуру. Наша главная цель состоит в том, чтобы построить и проанализировать составные операторы и ренормировать их. 3. Расширенная модельВ ИК-диапазоне исходная модель со включенными в нее гидродинамическими флуктуациями [9], [10] сводится к основной модели A (1). При такой редукции в модель A не входят члены, содержащие коэффициент вязкости. Однако их можно интерпретировать как расширение модели путем введения некоторых составных операторов. С точки зрения квантовой теории поля составной оператор $F$ – это произвольная локальная скалярная величина (моном), построенная из полей и их производных. Назовем модель c добавленными составными операторами расширенной. Для такой модели производящий функционал принимает вид
$$
\begin{equation}
G(A,A',a)=c\int D\varphi'\,D\varphi\,\exp[\mathcal S(\varphi,\varphi')+aF(\varphi,\varphi')+A\varphi+A'\varphi'],
\end{equation}
\tag{7}
$$
где $a$ – множество источников и линейная форма $aF(\varphi,\varphi')$ представляет собой введенное для удобства обозначение для выражения $\sum_i\int dx\,dt\,a_i(t,x)F_i(t,x;\varphi,\varphi')$. Поскольку все основные теоремы о перенормировке доказаны для произвольного локального взаимодействия, они остаются справедливыми и для расширенной модели cо вкладом взаимодействия $\alpha(g/6)\varphi'\varphi^3+aF$, включающим составные операторы. Поскольку все основные теоремы о перенормировке доказаны для произвольного локального взаимодействия, они остаются справедливыми и для расширенной модели c частью взаимодействия, включающей составные операторы [1]. Как упоминалось ранее, при анализе ренормировки первым шагом является учет канонической размерности. При этом рассматривается исходная эффективная динамическая модель [9], [10], для которой значение полной канонической размерности вязкого члена равно $d[F\kern1pt]=8$. Однако при ренормировке составных операторов вклад в соответствующие контрчлены дают операторы c меньшей канонической размерностью, и их необходимо учитывать. С другой стороны, моном должен быть скалярной величиной, что справедливо только для мономов четной размерности. Это сводит составные операторы к мономам размерности $d=2,4,6,8$. Еще одно упрощение связано c тем, что модель A изучается в критической точке $\tau=0$. Отсюда следует, что операторы c разными каноническими размерностями не смешиваются друг c другом в процессе ренормировки. Другими словами, множество всех составных операторов разбивается на непересекающиеся части в соответствии c их полной канонической размерностью, и в процессе ренормировки операторы из одного подмножества не вносят вклад в операторы из другого подмножества. В настоящей статье мы сосредоточимся на РГ-анализе операторов канонической размерности $8$. Каждый составной оператор является скалярным мономом c двумя независимыми каноническими размерностями, а его полная каноническая размерность определяется c помощью соотношения (5), которое соответствует сумме размерностей полей и дифференцирований, определенных в табл. 1. Каноническую размерность источника $a_i$ можно определить из условия, что действие $\mathcal S$ является безразмерной величиной. В результате получаем Замена $d\to\Delta$ дает аналогичное соотношение между критическими размерностями. Таким образом, мы можем определить критические размерности источников $\Delta_a$, зная критические размерности параметров и составных операторов.Всевозможные мономы от полей и их производных, каноническая размерность которых равна $8$, приводит к $74$ различным скалярным мономам. Заметим, что каждая производная действует на одно поле – либо на $\varphi'$, либо на $\varphi$. Составные операторы, содержащие производные, действующие на целый набор полей, можно выразить через подходящую комбинацию упомянутых операторов. При этом необходимо учесть, что поля являются $n$-компонентными, поэтому нужно различать произведения полей в мономах. В реальных вычислениях мы работаем c общим $n$-компонентным полем и только в конце расчета подставляем $n=2$. Составные операторы можно разбить на непересекающиеся множества. Одно из них, которое мы обозначаем как $O$, образовано составными операторами, содержащими ровно два поля (например, $\varphi'\,\partial_t\varphi'$, $\varphi'\,\partial_t\partial^2\varphi$, $\varphi\,\partial^6\varphi$ и т. д.). Операторы из множества $O$ обладают двумя важными свойствами в главном порядке теории возмущений. Во-первых, они образуют замкнутый набор операторов канонической размерности $8$, это означает, что составные операторы с другим количеством полей не смешиваются c этими операторами. Во-вторых, информацию о ренормировке $O$-операторов можно получить из ренормировки операторов c меньшими каноническими размерностями, т. е. c каноническими размерностями, равными $6$, $4$ или $2$. Эти два утверждения можно доказать, непосредственно анализируя диаграммы Фейнмана, и они приводят к тому, что фактически нет необходимости перенормировать $O$-операторы. Другими словами, составной $O$-оператор можно исключить из процедуры ренормировки, поскольку его ренормировка извлекается из оператора c меньшей канонической размерностью. В результате этих рассуждений окончательное множество необходимых составных операторов сводится к замкнутому набору из $41$ оператора, список которых мы приводим ниже:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{5} F_1&=(\varphi'\varphi')(\varphi\varphi), &\;\; F_2&=(\varphi'\varphi)(\varphi'\varphi), &\;\; F_3&=(\varphi\,\partial^2\varphi')(\varphi\varphi), \\ F_4&=(\varphi\,\partial_i\varphi')(\varphi\,\partial_i\varphi), &\;\; F_5&=(\partial_i\varphi'\,\partial_i\varphi)(\varphi\varphi), &\;\; F_6&=(\varphi'\,\partial^2\varphi)(\varphi\varphi), \\ F_7&=(\varphi'\varphi)(\varphi\,\partial^2\varphi), &\;\; F_8&=(\varphi'\varphi)(\partial_i\varphi)^2, &\;\; F_9&=(\varphi'\,\partial_i\varphi)(\varphi\,\partial_i\varphi), \\ F_{10}&=(\varphi' \partial_t\varphi)(\varphi\varphi), &\;\; F_{11}&=(\varphi'\varphi)(\varphi\,\partial_t\varphi), &\;\; F_{12}&=(\varphi\,\partial_t\varphi')(\varphi\varphi), \\ F_{13}&=(\varphi'\varphi)(\varphi\varphi)^2, &\;\; F_{14}&=(\varphi\,\partial_t\varphi)(\varphi\varphi)^2, &\;\; F_{15}&=(\varphi\,\partial_t^2\varphi)(\varphi\varphi), \\ F_{16}&=(\partial_t\varphi\,\partial_t\varphi)(\varphi\varphi), &\;\; F_{17}&=(\varphi\,\partial_t\varphi)(\varphi\,\partial_t\varphi), &\;\; F_{18}&=(\varphi\;\partial_t\partial^2\varphi)(\varphi\varphi), \\ F_{19}&=(\partial_t\varphi\,\partial^2\varphi)(\varphi\varphi), &\;\; F_{20}&=(\varphi\,\partial^2\varphi)(\varphi\,\partial_t\varphi), &\;\; F_{21}&=(\varphi\,\partial_t\varphi)(\partial_i\varphi\,\partial_i\varphi), \\ F_{22}&=(\partial_i\varphi\,\partial_t\varphi)(\varphi\,\partial_i\varphi), &\;\; F_{23}&=(\partial\varphi\,\partial_t\partial\varphi)(\varphi\varphi), &\;\; F_{24}&=(\varphi\;\partial_t\partial_i\varphi)(\varphi\,\partial_i\varphi), \\ F_{25}&=(\varphi\varphi)^4, &\;\; F_{26}&=(\varphi\,\partial^2\varphi)(\varphi\varphi)^2, &\;\; F_{27} & =(\partial_i\varphi\,\partial_i\varphi)(\varphi\varphi)^2, \\ F_{28}&=(\varphi\,\partial_i\varphi)^2 (\varphi\varphi), &\;\; F_{29}&=(\varphi\,\partial^4\varphi)(\varphi\varphi), &\;\; F_{30}&=(\partial^2\varphi\,\partial^2\varphi)(\varphi\varphi), \\ F_{31}&=(\varphi\,\partial^2\varphi)(\varphi\,\partial^2\varphi), &\;\; F_{32}&=(\partial_i\varphi\;\partial_i\partial^2\varphi)(\varphi\varphi), &\;\; F_{33}&=(\varphi\;\partial_i\partial^2\varphi)(\varphi\,\partial_i\varphi), \\ F_{34}&=(\partial_i\varphi\,\partial_i\varphi)(\varphi\,\partial^2\varphi), &\;\; F_{35}&=(\partial^2\varphi\,\partial_i\varphi)(\varphi\,\partial_i\varphi), &\;\; F_{36}&= (\partial_i\varphi\,\partial_i\varphi)(\partial_j\varphi\,\partial_j\varphi), \\ F_{37}&=(\partial_i\partial_j\varphi\;\partial_i\partial_j\varphi)(\varphi\varphi), &\;\; F_{38}&=(\varphi\,\partial_i\partial_j\varphi)(\varphi\,\partial_i\partial_j\varphi), &\;\; F_{39}&=(\partial_i\varphi\,\partial_j\varphi)(\varphi\,\partial_i\partial_j\varphi), \\ F_{40}&=(\partial_i\partial_j\varphi\;\partial_i\varphi)(\varphi\,\partial_j\varphi), &\;\; F_{41}&=(\partial_i\varphi\,\partial_j\varphi)(\partial_i\varphi\,\partial_j\varphi), \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{9}
$$
где для простоты мы обозначили производную по времени как $\partial/\partial t\equiv\partial_t$, а пространственную производную – как $\partial/\partial\boldsymbol{x}_i\equiv \partial_i$. Мы всегда подразумеваем суммирование по повторяющемуся индексу, например $\partial_i\partial_i=\partial^2\equiv\nabla^2$. Канонические размерности составных операторов перечислены в табл. 2. Составные операторы выбираются так, что производная всегда применяется к одному из полей, входящих в данный составной оператор. Это в некоторой степени упрощает процедуру вычислений. Таблица 2.Канонические размерности составных операторов $F_i$, $i=1,\ldots,41$.
Далее любой другой оператор канонической размерности $8$ можно записать как соответствующую линейную комбинацию:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \partial_t[(\varphi\varphi')(\varphi\varphi)]=F_{10}+2F_{11}+F_{12},\qquad \partial_t(\varphi\varphi)^3=6F_{14}, \\ (\varphi\varphi)\,\partial^2(\varphi\varphi')=F_3+2 F_5+F_6 \end{gathered}
\end{equation}
\tag{10}
$$
и т. д. Хотя составные операторы (9) образуют замкнутый набор, для некоторых из них их ренормировка может быть связана c операторами меньшей канонической размерности, например $\partial^2[(\varphi\varphi)^3]_{\kern1pt\mathrm R}=[\partial^2(\varphi\varphi)^3]_{\kern1pt\mathrm R}=[\partial_t(\varphi\varphi)^3]_{\kern1pt\mathrm R}$. Это свойство можно применить для уменьшения количества независимых операторов; мы использовали его, чтобы обеспечить независимую проверку в реальных вычислениях. Модель (1) без члена $aF$ является мультипликативно ренормируемой, и выражение для мультипликативной ренормировки через члены первого порядка по $a$ можно обобщить на расширенную модель. Для замкнутого набора составных операторов соотношение между общими перенормированными и неперенормированными операторами принимает вид
$$
\begin{equation}
[F_i (\varphi',\varphi)]_{\kern1pt\mathrm R}=\sum_k \mathcal Q_{ik}F_k (\varphi',\varphi).
\end{equation}
\tag{11}
$$
Матрица смешивания $\mathcal Q$ вычисляется непосредственно из диаграмм Фейнмана c составными операторами (см. рис. 2). В ведущем порядке теории возмущений она разбивается на три части, в которых составные операторы смешиваются друг c другом в процессе ренормировки. Элементы матрицы $\mathcal Q$ зависят от ренормализационной массы $\mu$ и перенормированных параметров $\{g,\alpha\}$. Для замкнутого набора (9) матрица смешивания может быть схематически записана следующим образом:
$$
\begin{equation}
\mathcal Q (41\times 41)=1\!\!1-\frac{g}{\varepsilon} \begin{pmatrix} \mathcal Q_1(13\times 13) & \mathbb{O} & \mathbb{O} \\ * & \mathcal Q_2 (11\times 11) & \mathbb{O} \\ * & * & \mathcal Q_3 (17\times 17) \end{pmatrix},
\end{equation}
\tag{12}
$$
где $1\!\!1$ – единичная матрица, $\mathcal Q_1$, $\mathcal Q_2$, $\mathcal Q_3$ – блочные матрицы (явный вид этих матриц приведен в приложении), $\mathbb{O}$ обозначает любой нулевой блок, а символом $*$ обозначены части матрицы, которые не нужны для нашего анализа. В скобках указан размер матрицы. В матрице $\mathcal Q$ нумерация строк и столбцов соответствует последовательности составных операторов $\{F_i\}$ из множества (9). Расчет диаграмм проводился по MS-схеме [1], [2]. Расчет двухпетлевых диаграмм (см. рис. 2) на самом деле не требуется. Фактически они вносят вклад в те части матрицы (12), которые отмечены символом $*$. Блоки матрицы смешивания $\mathcal Q$ отвечают следующим операциям:
Продолжим вычисление критических размерностей составных операторов. Первым шагом является определение констант ренормировки из матрицы смешивания $\mathcal Q$. Матрица $Z^a$ констант ренормировки источников $a_0=aZ^a$ связана c матрицей смешивания,
$$
\begin{equation}
Z^a_{ij}=\mathcal Q_{ij}(Z_{\varphi})^{-n_j}(Z_{\varphi'})^{-m_j},
\end{equation}
\tag{13}
$$
где $n_j$ и $m_j$ – соответственно число полей $\varphi$ и $\varphi'$, появляющихся в мономах $F_j$. Матрица $Z_F$ констант ренормировки является обратной к $Z^a$, мы имеем $Z_F=(Z^a)^{-1}$. Для основной модели A в MS-схеме в ведущем порядке константы ренормировки полей $Z_{\varphi}$, $Z_{\varphi'}$ не имеют полюсов, что приводит к соотношениям Информацию о критическом скейлинге можно получить из уравнений РГ для составных операторов. Эти уравнения выводятся из производящего функционала перенормированных связных функций Грина полей и составных операторов [1], [2]. С помощью метода РГ можно показать, что составные операторы подчиняются матричному уравнению
$$
\begin{equation}
\mathcal D_{\mathrm{RG}}F_{\kern1pt\mathrm R}=-\gamma_F F_{\kern1pt\mathrm R},
\end{equation}
\tag{15}
$$
которое в покомпонентной форме записывается как
$$
\begin{equation}
\mathcal D_{\mathrm{RG}}^{}F_{i\kern1pt\mathrm R}^{}=-\gamma_F^{ij}F_{j\kern1pt\mathrm R}^{}.
\end{equation}
\tag{16}
$$
Здесь $\gamma_F$ – матрица аномальных размерностей для замкнутого набора составных операторов. Дифференциальный оператор $\mathcal D_{\mathrm{RG}}$ является оператором РГ в MS-схеме и может быть представлен в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\mathcal D_{\mathrm{RG}}\equiv\widetilde{\mathcal D}\mu=\mathcal D\mu+\beta_g\partial_g-\gamma_\alpha\partial_\alpha,
\end{equation}
\tag{17}
$$
где $\mathcal D\mu=\mu\partial_\mu$, а $\beta_g$ – бета-функция константы связи $g$. В неподвижной точке мы имеем $g=g^*$, и вклад бета-функции равен нулю. В пространственно-временном представлении уравнение критического скейлинга для замкнутого набора составных перенормированных операторов $\{F_{\kern1pt\mathrm R}\}$ принимает вид
$$
\begin{equation}
[-\mathcal D_x+\Delta_t\mathcal D_t]F_{\kern1pt\mathrm R}=\Delta_F F_{\kern1pt\mathrm R},
\end{equation}
\tag{18}
$$
где $\Delta_t=-\Delta_\omega$ есть критическая размерность и $\Delta_F$ – матрица критических размерностей. Для составного оператора матрицу $\Delta_F$ можно найти по формуле
$$
\begin{equation}
\Delta_F=d_p[F\kern1pt]+\Delta_\omega d_\omega[F\kern1pt]+\gamma_F^*=d[F\kern1pt]-\gamma_\alpha^*d_\omega[F\kern1pt]+\gamma_F^*,
\end{equation}
\tag{19}
$$
где $\Delta_\omega=2-\gamma_\alpha^*$, аномальные размерности $\gamma_F^*$ и $\gamma_\alpha^*$ берутся в ИК-устойчивой неподвижной точке (при $g=g^*$). Для основной модели A такая точка единственна и задается как (см. монографию [1], глава 4.2)
$$
\begin{equation}
g^*=\frac{3}{n+8}\varepsilon\bigg|_{n=2}=\frac{3}{10}\varepsilon.
\end{equation}
\tag{20}
$$
Матрица $\gamma_F$ аномальных размерностей определяется как
$$
\begin{equation}
\gamma_F\equiv Z_F^{-1}\cdot(\widetilde{\mathcal D}\mu Z_F), \qquad \gamma_F=-\bigl(\text{UV-finite part}[\widetilde{\mathcal D}\mu Z^a]\bigr),
\end{equation}
\tag{21}
$$
где второе соотношение справедливо в MS-схеме [1]. В ведущем порядке теории возмущений получаем упрощенное выражение
$$
\begin{equation}
\gamma_F=\varepsilon g\,\partial_g Z^a=\varepsilon g\,\partial_g Q.
\end{equation}
\tag{22}
$$
Диагональная матрица $d_F$ канонических размерностей известна (см. табл. 2), а матрица $\gamma_F^*$ вычисляется из соотношения (22) в неподвижной точке $g=g^*$. Если бы $\gamma_F^*$ также была диагональной, то уравнение критического скейлинга (18) имело бы такую же структуру, а диагональные элементы матрицы $\Delta_F$ интерпретировались бы как критические размерности соответствующих операторов $F_{i\kern1pt\mathrm R}$. Однако блоки $\mathcal Q_i$ являются ненулевыми квадратными матрицами, и поэтому соответствующая матрица $\gamma_F^*$ аномальной размерности в неподвижных точках недиагональна (и несимметрична). Как прямое следствие получаем, что операторы $F_{i\kern1pt\mathrm R}$ не обладают определенными критическими размерностями. Вместо этого мы можем составить некоторые их линейные комбинации и получить величины c определенными критическими размерностями: запишем соотношение
$$
\begin{equation}
F'_{i\kern1pt\mathrm R}=U_{ij}F_{j\kern1pt\mathrm R},
\end{equation}
\tag{23}
$$
где $U$ – некоторая матрица, зависящая от $\mu$ и $\alpha$. Подстановка $F_{\kern1pt\mathrm R}^{}=U^{-1}F_{\kern1pt\mathrm R}'$ в уравнение (18) дает уравнение для нового набора составных операторов $F_{\mathrm R}'$ c новой матрицей [1] где окончательное выражение выводится для безмассовой модели A. Диагональные элементы $\Delta_{F_i}'$ можно найти численно отдельно для каждого блока:
$$
\begin{equation}
\Delta_{F_1}'=\biggl\{ \biggl\{8-\frac{39}{5}\varepsilon\biggr\},\{8-4 \varepsilon\},\{8-4\varepsilon\},\{8-3 \varepsilon\},\{8-3 \varepsilon\}, \biggl\{8-\frac{14}{5}\varepsilon\biggr\},\biggl\{8-\frac{12}{5}\varepsilon\biggr\}, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\{8-2.653\varepsilon\},\{8-3.346\varepsilon\},\{8-2.526\varepsilon\},\{8-3.674\varepsilon\}, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\{8-2.589 \varepsilon\},\{8-3.511 \varepsilon\}\biggr\},
\end{equation}
\tag{25}
$$
$$
\begin{equation}
\Delta_{F_2}'=\biggl\{ \biggl\{8-\frac{39}{5}\varepsilon\biggr\},\{8-4\varepsilon\},\{8-4\varepsilon\},\{8-3\varepsilon\},\{8-3\varepsilon\}, \biggl\{8-\frac{14}{5}\varepsilon\biggr\},\biggl\{8-\frac{12}{5}\varepsilon\biggr\}, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\,\{8-2.653 \varepsilon\},\{8-3.346\varepsilon\},\{8-2.721 \varepsilon\},\{8-3.179 \varepsilon\}\biggr\},
\end{equation}
\tag{26}
$$
$$
\begin{equation}
\Delta_{F_3}'=\biggl\{ \{8-4 \varepsilon\},\biggl\{8-\frac{12}{5}\varepsilon\biggr\},\biggl\{8-\frac{12}{5}\varepsilon\biggr\}, \biggl\{8-\frac{12}{5}\varepsilon\biggr\},\{8-3 \varepsilon\},\{8-3 \varepsilon\},\{8-3\varepsilon\}, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\biggl\{8-\frac{14}{5}\varepsilon\biggr\},\biggl\{8-\frac{64}{5}\varepsilon\biggr\}, \biggl\{8-\frac{11}{5}\varepsilon\biggr\},\biggl\{8-\frac{29}{5}\varepsilon\biggr\},\biggl\{8-\frac{31}{5}\varepsilon\biggr\}, \biggl\{8-\frac{39}{5}\varepsilon\biggr\}, \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\{8-3.527\varepsilon\},\{8-3.269\varepsilon\}, \{8-2.583\varepsilon\},\{8-2.154 \varepsilon\}\biggl\}
\end{equation}
\tag{27}
$$
(мы приводим численные результаты до третьего знака после запятой). Критические размерности вычислены для $n=2$. Заметим, что первые семь значений в выражениях (25) и (26) по сути являются точными, а в выражении (27) точными являются первые тринадцать значений. Нас больше всего интересует поведение вязкости. Оно может быть связано c критическими размерностями членов-источников соответствующих составных операторов. Критическую размерность источников $\Delta_a'$ можно определить из соотношения Стоит отметить, что анализ становится достаточно простым, когда источник связан c коэффициентом вязкости. Наличие вязкости в качестве источника сокращает набор операторов (строк и столбцов в матрице смешивания), связанных через производную c одинаковым числом полей, например, имеем
$$
\begin{equation*}
\partial_t(\varphi'\varphi)(\varphi\varphi)=F_{10}+2 F_{11}+F_{12}=0.
\end{equation*}
\notag
$$
Составные операторы, связанные через производную, линейно зависимы, и один из них может быть исключен из анализа. Это свойство позволяет значительно сократить расчет критической размерности для коэффициента вязкости. Для полноты изложения мы сохранили все операторы, а их форму сокращали в зависимости от задачи. Мы вычислили критические размерности составных операторов канонической размерности $8$ в старшем порядке. После проверки этих результатов следующая задача состоит в нахождении критических размерностей для операторов c меньшей канонической размерностью и определении поведения коэффициента вязкости в ведущем порядке теории возмущений. ПриложениеВычисление вкладов отдельных составных операторов в матрицу смешивания $\mathcal Q$ является трудоемким процессом, поэтому далее мы представляем только окончательный вид матрицы смешивания, точнее те блоки $\mathcal Q_1$, $\mathcal Q_2$ и $\mathcal Q_3$, которые вносят вклад в окончательные значения критических размерностей $\Delta_F'$. При расчетах мы применяли стандартные квантово-полевые методы [1], [2], [12]. Для упрощения записи мы переопределили константу связи как $\frac{g}{(4\pi)^{d/2}}\rightarrow g$. Часть матрицы смешивания (12), обозначенная как $\mathcal Q_1$, имеет следующий вид:
$$
\begin{equation*}
{\begin{pmatrix} \phantom{-} \frac{n+6}{3} & \phantom{-} \frac{8}{3} & \phantom{-} \frac{n+2}{8} & \phantom{-} 0 & \phantom{-} \frac{n+2}{4} & \phantom{-} \frac{n+2}{8} & \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 & \phantom{-} \frac{n+2}{4\alpha} & \phantom{-} 0 & \phantom{-} \frac{n+2}{4\alpha} & \phantom{-} 0 \vphantom{\Big|} \\ \phantom{-} 1 & \phantom{-} \frac{2(n+5)}{3} & \phantom{-} \frac{3}{8} & \phantom{-} \frac{1}{2} & \phantom{-} \frac{1}{4} & \phantom{-} \frac{1}{8} & \phantom{-} \frac{1}{4} \vphantom{|^{\big|}} & \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 & \phantom{-} \frac{1}{4\alpha} & \phantom{-} \frac{1}{2\alpha} & \phantom{-} \frac{3}{4\alpha} & \phantom{-} 0 \vphantom{\Big|} \\ \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 & \phantom{-} \frac{5(n+8)}{12} & \phantom{-} \frac{2}{3} & \phantom{-} \frac{n+4}{6} & \phantom{-} \frac{n+4}{12} & \phantom{-} \frac{1}{3} \vphantom{|^{\big|}} & \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 &-\frac{n+4}{6\alpha} & -\frac{2}{3\alpha} & -\frac{n+8}{6\alpha} & \phantom{-} 0 \\ \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 & \phantom{-} \frac{1}{2} & \phantom{-} \frac{7n+44}{12} & \phantom{-} \frac{5}{4} & \phantom{-} \frac{1}{6} & \phantom{-} \frac{1}{3} \vphantom{|^{\big|}} & \phantom{-} \frac{1}{4} & \phantom{-} \frac{n+4}{4} & \phantom{-} \frac{1}{6\alpha} & \phantom{-} \frac{1}{3\alpha} & \phantom{-} \frac{1}{2\alpha} & \phantom{-} 0 \vphantom{\Big|} \\ \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 & \phantom{-} \frac{n+2}{6} & \phantom{-} \frac{7}{3} & \phantom{-} \frac{4 n+15}{6} & \phantom{-} \frac{n+2}{6} & \phantom{-} 0 \vphantom{|^{\big|}} & \phantom{-} \frac{1}{2} & \phantom{-} 1 & \phantom{-} \frac{n+2}{6\alpha} & \phantom{-} 0 & \frac{n+2}{6\alpha} & 0 \vphantom{\Big|} \\ -\frac{8}{9} & -\frac{16}{9} & -\frac{n+2}{12} & \phantom{-} 0 &-\frac{n+2}{6} & \phantom{-} \frac{3 n+14}{12} & \phantom{-} \frac{4}{3} \vphantom{|^{\big|}} & \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 &-\frac{n-2}{6\alpha} & \phantom{-} \frac{4}{3\alpha} &- \frac{n+2}{6\alpha} & \phantom{-} 0 \vphantom{\Big|} \\ -\frac{4}{9} & -\frac{4(n+4)}{9} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{6} & \phantom{-} \frac{7}{12} & \phantom{-} \frac{2 n+11}{6} \vphantom{|^{\big|}} & \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 & \phantom{-} \frac{1}{6\alpha} & \phantom{-} \frac{n+3}{3\alpha} & -\frac{1}{2\alpha} & \phantom{-} 0 \vphantom{\Big|} \\ 0 & \phantom{-} \frac{4(n+2)}{9} & \phantom{-} 0 & \phantom{-} \frac{1}{3} & \phantom{-} \frac{1}{6} & \phantom{-} 0 & \phantom{-} \frac{n+2}{3} \vphantom{|^{\big|}} & \phantom{-} \frac{4n+13}{6} & \phantom{-} \frac{5}{3} & \phantom{-} 0 & -\frac{n+2}{3\alpha} & \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 \vphantom{\Big|} \\ \phantom{-} \frac{4}{9} & \phantom{-} \frac{8}{9} & \phantom{-} 0 & \phantom{-} \frac{n+4}{12} & \phantom{-} \frac{1}{12} & \phantom{-} \frac{1}{3} & \phantom{-} \frac{2}{3} \vphantom{|^{\big|}} & \phantom{-} \frac{13}{12} & \phantom{-} \frac{5 n+36}{12} & -\frac{1}{3\alpha} & -\frac{2}{3\alpha} & \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 \vphantom{\Big|} \\ \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 & \phantom{-} \frac{\alpha(n+2)}{12} & \phantom{-} 0 & \phantom{-} \frac{\alpha(n+2)}{6} & \phantom{-} \frac{\alpha(n+2)}{12} & \phantom{-} 0 \vphantom{|^{\big|}} & \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 & \phantom{-} \frac{3 n+14}{6} & \phantom{-} \frac{8}{3} & \phantom{-} \frac{n+2}{6} & \phantom{-} 0 \vphantom{\Big|} \\ \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 & \phantom{-} \frac{\alpha}{4} & \phantom{-} \frac{\alpha}{3} & \phantom{-} \frac{\alpha}{6} & \phantom{-} \frac{\alpha}{12} & \phantom{-} \frac{\alpha}{6} \vphantom{|^{\big|}} & \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 & \phantom{-} \frac{7}{6} & \phantom{-} \frac{2 n+11}{3} & \phantom{-} \frac{1}{2} & \phantom{-} 0 \vphantom{\Big|} \\ \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 & -\frac{\alpha(n+8)}{12} & -\frac{2\alpha}{3} & -\frac{\alpha(n+4)}{6} & \frac{\alpha(n+4)}{-12} & -\frac{\alpha}{3} \vphantom{|^{\big|}} & \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 & \phantom{-} \frac{n+4}{6} & \phantom{-} \frac{2}{3} & \phantom{-} \frac{n+8}{2} & \phantom{-} 0 \vphantom{\Big|} \\ \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 \vphantom{|^{\big|}} & \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 & \phantom{-} n+14 \vphantom{\Big|} \end{pmatrix}. }
\end{equation*}
\notag
$$
Часть матрицы смешивания (12), обозначенная как $\mathcal Q_2$, имеет следующий вид:
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} n+14 & \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 & 0 & 0 & \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 \\ 0 & \phantom{-} \frac{n+8}{2} & \phantom{-} \frac{n+4}{6} & \phantom{-} \frac{2}{3} & \phantom{-} \frac{\alpha(n+8)}{12} & \phantom{-} \frac{\alpha(n+4)}{12} & \phantom{-} \frac{\alpha}{3} & 0 & 0 & \phantom{-} \frac{\alpha(n+4)}{6} & \phantom{-} \frac{2\alpha}{3} \\ 0 & \phantom{-} \frac{n+2}{6} & \phantom{-} \frac{3 n+14}{6} & \phantom{-} \frac{8}{3} & -\frac{\alpha(n+2)}{12} & -\frac{\alpha(n+2)}{12} & \phantom{-} 0 & 0 & 0 &-\frac{\alpha(n+2)}{6} & \phantom{-} 0 \\ 0 & \phantom{-} \frac{1}{2} & \phantom{-} \frac{7}{6} & \phantom{-} \frac{2 n+11}{3} & -\frac{\alpha}{4} & -\frac{\alpha}{12} & -\frac{\alpha}{6} & 0 & 0 & -\frac{\alpha}{6} & -\frac{\alpha}{3} \\ 0 & \phantom{-} \frac{n+8}{6\alpha} & \phantom{-} \frac{n+4}{6\alpha} & \phantom{-} \frac{2}{3\alpha} & \phantom{-} \frac{n+8}{4} & -\frac{n+4}{12} & -\frac{1}{3} & 0 & 0 & -\frac{n+4}{6} & -\frac{2}{3} \\ 0 & \phantom{-} \frac{n+2}{6\alpha} & \phantom{-} \frac{n+6}{6\alpha} & \phantom{-} \frac{4}{3\alpha} & \phantom{-} \frac{n+2}{12} & \phantom{-} \frac{5n+18}{12} & \phantom{-} \frac{4}{3} & 0 & 0 & \phantom{-} \frac{n+2}{6} & \phantom{-} 0 \\ 0 & \phantom{-} \frac{1}{2\alpha} & \phantom{-} \frac{1}{2\alpha} & \phantom{-} \frac{n+5}{3\alpha} & \phantom{-} \frac{1}{4} & \phantom{-} \frac{3}{4} & \phantom{-} \frac{2 n+13}{6} & 0 & 0 & \phantom{-} \frac{1}{6} & \phantom{-} \frac{1}{3} \\ 0 & \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 & -\frac{n+2}{3\alpha} & \phantom{-} 0 & \phantom{-} 0 & \phantom{-} \frac{n+2}{3} & \frac{4n+15}{6} & \frac{7}{3} & \phantom{-} \frac{1}{2} & \phantom{-} 1 \\ 0 & \phantom{-} 0 & -\frac{1}{3\alpha} & -\frac{2}{3\alpha} & \phantom{-} 0 & \phantom{-} \frac{1}{3} & \phantom{-} \frac{2}{3} &\frac{5}{4} & \frac{7 n+44}{12} & \phantom{-} \frac{1}{4} & \phantom{-} \frac{n+4}{4} \\ 0 & -\frac{n+2}{6\alpha} & -\frac{n+2}{6\alpha} & \phantom{-} 0 & \phantom{-} \frac{n+2}{6} & \phantom{-} \frac{n+2}{6} & \phantom{-} 0 & \frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \phantom{-} \frac{4n+13}{6} & \phantom{-} \frac{5}{3} \\ 0 & -\frac{1}{2\alpha} & -\frac{1}{6\alpha} & -\frac{1}{3\alpha} & \phantom{-} \frac{1}{2} & \phantom{-} \frac{1}{6} & \phantom{-} \frac{1}{3} & \frac{1}{12} & \frac{n+4}{12} & \phantom{-} \frac{13}{12} & \phantom{-} \frac{5 n+36}{12} \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Часть матрицы смешивания (12), обозначенная как $\mathcal Q_3$, имеет следующий вид:
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix} \frac{4n+80}{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \phantom{-} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2 n+28}{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & \phantom{-} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{n+2}{3} & n+\frac{26}{3} & \frac{16}{3} & 0 & 0 & \phantom{-} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{4}{3} & n+\frac{38}{3} & 0 & 0 & \phantom{-} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{n+8}{3} & 0 & \phantom{-} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{n+2}{3} & \phantom{-} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \phantom{-} \frac{2}{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \phantom{-} 0 & \frac{n+4}{3} & \frac{4}{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \phantom{-} 0 & \frac{2}{3} & \frac{n+6}{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \phantom{-} \frac{n+2}{3} & 0 & 0 & \frac{n+4}{3} & \frac{4}{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & \phantom{-} \frac{2}{3} & 0 & 0 & \frac{2}{3} & \frac{n+6}{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \phantom{-} 0 & 0 & 0 & \frac{2 n+8}{3} & \frac{8}{3} & \frac{2 n+8}{3} & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{8}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{n+2}{6} & \frac{3 n+2}{18} &-\frac{4}{9} & \frac{2 n+4}{3} & 0 &-\frac{2}{9} &-\frac{4}{9} & 0 & \frac{6 n+20}{9} & \frac{16}{9} & \frac{8}{9} & \frac{16}{9} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{18} & -\frac{n+1}{9} & \frac{2}{3} & \frac{4}{3} & \frac{-n-3}{9} & -\frac{2}{9} & 0 & \frac{10}{9} & \frac{4n+28}{9} & \frac{4n+12}{9} & \frac{8}{9} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \phantom{-} \frac{n+2}{18} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{-n-2}{18} & 0 & \frac{n+2}{9} & \frac{n+6}{3} & \frac{8}{3} & \frac{2n+4}{9} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{18} & \phantom{-} \frac{1}{9} & \frac{1}{6} & \frac{n+4}{6} & \frac{1}{6} & \frac{n+4}{6} & \frac{1}{6} & \frac{1}{9} & \frac{2}{9} & 1 & \frac{2n+10}{3} & \frac{1}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \phantom{-} 0 & 0 & 0 & \frac{n+4}{9} & \frac{4}{9} & \frac{n+8}{9} & 0 & 0 & \frac{2 n+8}{9} & \frac{8}{9} & \frac{2n+16}{9} \\ \end{pmatrix}.
\end{equation*}
\notag
$$
Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{DavGnaKom23} |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|