| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Двухкомпонентная реакционно-диффузионная система в присутствии случайных флуктуаций скорости М. Гнатичabc, М. Кецерa, Т. Лучивянскиa a Institute of Physics, Faculty of Science, P. J. Šafárik University, Košice, Slovakia b Institute of Experimental Physics, Slovak Academy of Sciences, Košice, Slovakia c Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Московская обл., Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 217, Issue 1, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923100021 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ нелинейной статистической физике значительный класс моделей составляют диффузионно-контролируемые реакции [1], и их теоретическое исследование в течение многих лет привлекает большое внимание [2], [3]. Прямой подход к теоретическому анализу таких систем основан на уравнениях химической кинетики, которые можно рассматривать как простое приближение, подобное приближению среднего поля [3], [4]. Однако известно, что реакционные системы ведут себя нетривиально, особенно в случае малой размерности пространства [5], когда флуктуации плотности становятся особенно резко выраженными. В этом случае подход кинетических уравнений не является адекватным, и требуются более сложные методики. В настоящей статье мы изучаем многокомпонентную реакционно-диффузионную систему [6]–[9], которая состоит из следующих трех реакций:
$$
\begin{equation}
A+A\to\begin{cases} A &\text{(коалесценция)},\\ \varnothing &\text{(аннигиляция)},\end{cases}\qquad A+B\to A \quad \text{(захват)},
\end{equation}
\tag{1}
$$
где процесс коалесценции происходит с вероятностью $p$ ($0\leqslant p\leqslant 1$), а процесс аннигиляции – с дополнительной вероятностью $1-p$. Модель становится еще более сложной, если учитывать дополнительные эффекты. Их исследование особенно важно, так как они естественным образом возникают во многих практических ситуациях. Например, большинство химических реакций в типичных экспериментальных условиях происходят в какой-либо жидкой среде. В последнее время различные аспекты этой проблемы изучались в работах [7]–[9]. Цель настоящей работы – исследовать влияние тепловых флуктуаций окружающей среды на кинетику реакций (1). Мы моделируем окружающую среду как жидкость при постоянной температуре, используя известный подход, основанный на стохастическом уравнении Навье–Стокса [10], [11]. Мощным инструментом анализа асимптотического поведения стохастических систем является метод ренормализационной группы (РГ) [12], [13]. Он позволяет определять долговременные и крупномасштабные (или инфракрасные, ИК) асимптотические режимы системы, а также является очень эффективным инструментом для вычисления различных универсальных физических величин, например критических индексов. Мы рассматриваем возможное ИК-поведение реакционно-диффузионного процесса (1), на который влияют флуктуации адвективной скорости, и определяем ИК-режимы этой системы. Работа организована следующим образом. В разделе 2 мы приводим теоретико-полевую формулировку модели и определяем основные составляющие теории возмущений. Раздел 3 посвящен анализу ультрафиолетовых (УФ) расходимостей и ренормировке модели в однопетлевом порядке теории возмущений. Фиксированные точки и их области устойчивости обсуждаются в разделе 4. В разделе 5 приведены выводы. 2. Теоретико-полевая формулировка моделиТеорию поля для реакционно-диффузионной системы, описываемой схемой (1), можно построить из мастер-уравнения с помощью формализма Дои–Пелити [4], [14]–[16]. Для краткости мы опускаем соответствующие выкладки, так как их легко можно найти в литературе (см., например, монографию [3]). Начнем наш анализ с теоретико-полевого действия для схемы реакции (1), дополненной диффузионными процессами:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal S_{\mathrm r}[\Psi]&=\psi^\unicode{8224}_A(-\partial_t^{}+\nu_0^{}u_{A0}^{}\,\partial^2)\psi_A^{}+ \psi^\unicode{8224}_B(-\partial_t^{}+\nu_0^{}u_{B0}^{}\,\partial^2)\psi_B^{}- \nu_0u_{A0}\lambda_0\psi_A^\unicode{8224}\psi_A^2-{} \notag\\ &\quad -\nu_0^{}u_{A0}^{}\lambda_0^{}\psi_A^{\unicode{8224}\,2}\psi_A^2-\lambda_0'Q\nu_0^{}u_{A0}^{}\psi_B^\unicode{8224}\psi_A^{}\psi_B^{}- \nu_0^{}u_{A0}^{}\lambda_0'\psi_A^\unicode{8224}\psi_B^\unicode{8224}\psi_A^{}\psi_B^{}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2}
$$
где $\Psi\equiv\{\psi_A^{},\psi_A^\unicode{8224},\psi_B^{},\psi_B^\unicode{8224}\}$ – бозоноподобные когерентные поля, возникающие при переходе к континуальному пределу в подходе Дои–Пелити [3], $\partial^2=\partial_i\partial_i$ обозначает оператор Лапласа в пространстве размерности $d$ (предполагается суммирование по повторяющимся индексам), а параметры диффузии выражаются через соответствующие числа Прандтля $u_{A0}$, $u_{B0}$ и вязкость $\nu_0$ (см. ниже формулу (7)). Параметры $\lambda_0^{}$, $\lambda'_0$ – константы реакции, параметр $Q=1/(2-p)$ связан с вероятностью аннигиляции или коагуляции. В настоящей работе мы используем метод РГ. В нем вводятся два разных вида переменных – голые (неренормированные) величины, которые мы будем обозначать нижним индексом 0, и их ренормированные аналоги, которые мы будем писать без индекса 0. Реакционный процесс (1) – это пример подлинно неравновесной системы, поэтому мы должны указать для нее начальные условия. Выберем их в следующем виде:
$$
\begin{equation}
\mathcal S_{\mathrm{init}}[\Psi]=(a_0^{}\psi_A^\unicode{8224}+b_0^{}\psi_B^\unicode{8224} )\delta(t),
\end{equation}
\tag{3}
$$
где $a_0$, $b_0$ – надлежащим образом перемасштабированные средние плотности [4], [7]. При задании действий (2) и (3) мы использовали сокращенную запись, в которой подразумевается интегрирование по пространственным и временны́м переменным в выражениях для функционалов действия. Например, первый член в действии (2) в развернутом виде записывается как
$$
\begin{equation}
-\psi^\unicode{8224}_A\,\partial_t^{}\psi_A^{}=-\int\mathrm dx\,\psi^\unicode{8224}_A(x)\,\partial_t^{}\psi_A^{}(x),
\end{equation}
\tag{4}
$$
где мы ввели компактное обозначение для координат $x=(t,\boldsymbol x)$, а мера интегрирования задается как $\mathrm dx=\mathrm dt\,\mathrm d^dx$. В настоящей работе мы изучаем случай, когда химические частицы переносятся в жидкой среде со случайными флуктуациями. Мы вводим в формализм процессы переноса, включая в него конвективную производную [17]. Это соответствует следующей замене производной по времени:
$$
\begin{equation}
\partial_t\to\partial_t+\boldsymbol v\cdot\boldsymbol\nabla=\partial_t+v_j\partial_j,
\end{equation}
\tag{5}
$$
где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам в последнем члене. Подчеркнем, что перенос для обоих типов частиц считается пассивным, т. е. само поле скоростей не подвержено влиянию частиц или процессов реакций. Члены в действии (2), отвечающие за перенос, принимают вид
$$
\begin{equation}
\mathcal S_{\mathrm{adv}}^{}[\Psi,\boldsymbol v]=-\psi_A^\unicode{8224} v_j^{}\,\partial_j^{}\psi_A^{}-\psi_B^\unicode{8224} v_j^{}\,\partial_j^{}\psi_B^{}.
\end{equation}
\tag{6}
$$
Для завершения построения модели необходимо задать поле скоростей $\boldsymbol v$. Мы предполагаем, что $\boldsymbol v(t,\boldsymbol x)$ – это случайная величина с нулевым средним, динамика которой управляется стохастическим уравнением Навье–Стокса [10], [18]
$$
\begin{equation}
\partial_tv_i+(v_j\partial_j)v_i=\nu_0\,\partial^2v_i-\partial_iP+f_i,
\end{equation}
\tag{7}
$$
где $P=P(x)$ – поле давления и через $f_i=f_i(x)$ обозначена $i$-я компонента случайной внешней силы $\boldsymbol f$. Следуя [10], [18], [19], мы предполагаем, что сила $\boldsymbol f$ задается как случайная гауссова переменная с нулевым средним и корреляционной функцией вида
$$
\begin{equation}
\langle f_i(t,\boldsymbol x)f_j(0,\boldsymbol 0)\rangle= \int\frac{\mathrm d^d k}{(2\pi)^d}D_{ij}(t,\boldsymbol k)e^{i\boldsymbol k\cdot\boldsymbol x}.
\end{equation}
\tag{8}
$$
Мы рассматриваем случай несжимаемой жидкости, тогда поле $\boldsymbol v$ трансверсально ($\partial_iv_i=0$). Используя это условие, можно выразить давление через поле скоростей [18]. Это эквивалентно тому, что мы работаем в поперечном пространстве со следующей заменой поля скоростей $\boldsymbol v$ в импульсном представлении:
$$
\begin{equation}
v_i(\boldsymbol k)\to P_{ij}(\boldsymbol k)v_j(\boldsymbol k),
\end{equation}
\tag{9}
$$
где $P_{ij}(\boldsymbol k)=\delta_{ij}-k_ik_j/k^2$ есть поперечный проектор (здесь $k=|\boldsymbol k|$). Из условия несжимаемости следует, что ядро $D_{ij}$ в импульсном представлении пропорционально поперечному проектору $P_{ij}(\boldsymbol k)$. Фактически легко показать, что для несжимаемой среды достаточно положить $D_{ij}\sim\delta_{ij}$. Однако мы придерживаемся традиционных обозначений предыдущих работ и сохраняем $P_{ij}$ в выражении для ядра $D_{ij}$. Выбирая определенным образом зависимость $D_{ij}$ от импульса, можно генерировать флуктуации поля скоростей вблизи теплового равновесия. Эти соображения в конечном итоге приводят к соотношению
$$
\begin{equation}
D_{ij}(t,\boldsymbol k)=\delta(t) D_0 k^2 P_{ij}(\boldsymbol k),
\end{equation}
\tag{10}
$$
где $\delta=\delta(t)$ есть дельта-функция Дирака. Можно показать, что дельта-коррелированность по времени ядра $D_{ij}$ обеспечивает галилееву симметрию данной модели [11], [20]. Оглядываясь назад, можно сказать, что именно эта форма ядра (10) удобна для применения метода РГ, поскольку при этом и флуктуации скорости, и реакционные процессы в исходной реакционно-диффузионной системе одновременно переходят в предельные, когда размерность критического пространства равна $d=d_{\mathrm c}=2$. Стохастическая модель (7)–(10) может быть преобразована в теорию поля с удвоенным набором полей $\Phi=\{\boldsymbol v,\boldsymbol v'\}$, описывающуюся функционалом действия де Доминичиса–Жансена [11], [12]
$$
\begin{equation}
\mathcal S_{\mathrm v}[\Phi]=\frac{1}{2}v_i'D_{ij}^{}v_j'+v_i'(-\partial_t^{}v_i^{}-v_j^{}\,\partial_j^{}v_i^{}+\nu_0^{}\,\partial^2 v_i^{}),
\end{equation}
\tag{11}
$$
где поле отклика $v_i'$ несжимаемо. В этом выражении вновь использованы компактные обозначения, как в (4). Заметим, что в действии (11) квадратичный член поля отклика $\boldsymbol v'$ на самом деле можно записать как
$$
\begin{equation}
v'_iD_{ij}{v'}_j=\int\mathrm dx\int\mathrm dx'\,v'_i(x)D_{ij}^{}(x-x')v'_j(x'),
\end{equation}
\tag{12}
$$
где $D_{ij}$ отвечает обратному преобразованию Фурье ядра (10). Сумма функционалов действия (2), (3), (6) и (11) дает окончательное теоретико-полевое действие
$$
\begin{equation}
\mathcal S=\mathcal S_{\mathrm r}+\mathcal S_{\mathrm v}+\mathcal S_{\text{adv}}+\mathcal S_{\mathrm{init}}.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Среднее значение физической величины $A=A(t,\boldsymbol x)$ можно, в принципе, рассчитать как функциональный интеграл [4], [12]:
$$
\begin{equation}
\langle A(t,\boldsymbol x)\rangle=\mathcal N^{-1}\int\mathcal D\Psi\,\mathcal D\Phi\, A(t,\boldsymbol x)e^S,
\end{equation}
\tag{14}
$$
где $\mathcal{N}$ – нормировочный множитель. Далее мы проводим анализ теоретико-полевого действия (13) с помощью теоретико-полевой РГ. Этот метод использовался и в прошлом для решения подобных задач [3], [21]–[26]. Мы применяем его здесь в рамках пертурбативного подхода, который основан на представлении функций Грина в виде ряда по константам связи теории. Теория возмущений для рассматриваемой модели строится с использованием известных диаграммных правил Фейнмана [3], [12], [13]. Квадратичная по полям часть действия (13) определяет голые пропагаторы, которые в частотно-импульсном представлении принимают вид
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \langle\psi_A^{}\psi_A^\unicode{8224}\rangle_0^{}&=\frac{1}{-i\omega+\nu_0u_{A0}k^2},&\qquad \langle\psi_B^{}\psi_B^\unicode{8224}\rangle_0^{}&=\frac{1}{-i\omega+\nu_0u_{B0}k^2}, \\ \langle v_i^{}v_j^{}\rangle_0&=\frac{D_0k^2P_{ij}(\boldsymbol k)}{\omega^2+\nu_0^2k^4},&\qquad \langle v_i^{}v'_j\rangle_0&=\frac{P_{ij}(\boldsymbol k)}{-i\omega+\nu_0k^2}. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Нелинейные члены определяют вершины взаимодействия с соответствующими вершинными факторами [12]. Их можно рассчитать по формуле
$$
\begin{equation}
V_N(x_1,\ldots,x_N;\varphi)=\frac{\delta^N\mathcal S_{\text{int}}}{\delta\varphi(x_1)\ldots\delta\varphi(x_N)},\qquad \varphi\in\{\psi_A^{},\psi_A^\unicode{8224},\psi_B^{},\psi_B^\unicode{8224},\boldsymbol v,\boldsymbol v'\},
\end{equation}
\tag{16}
$$
где $\mathcal S_{\text{int}}$ отвечает нелинейным членам в действии (13). Непосредственным образом получаем следующие голые вершины без учета поля скоростей:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} V_{\psi_A^\unicode{8224}\psi_A^{}\psi_A^{}}&=- 2\lambda_0\nu_0 u_{A0},&\qquad V_{\psi_B^\unicode{8224}\psi_B^{}\psi_A^{}}&=-\lambda'_0\nu_0 u_{A0} Q, \\ V_{\psi_A^\unicode{8224}\psi_A^\unicode{8224}\psi_A^{}\psi_A^{}}&=-4\lambda_0\nu_0 u_{A0},&\qquad V_{\psi_A^\unicode{8224}\psi_B^\unicode{8224}\psi_A^{}\psi_B^{}}&=-\lambda'_0\nu_0 u_{A0}. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{17}
$$
С другой стороны, имеются три дополнительные вершины, содержащие поле скоростей:
$$
\begin{equation}
V_{\psi_A^\unicode{8224}(\boldsymbol k)\psi_A^{}v_j^{}}=i k_j,\qquad V_{\psi_B^\unicode{8224}(\boldsymbol k)\psi_B^{}v_j^{}}=i k_j,\qquad V_{v'_i(\boldsymbol k)v_l^{}v_j^{}}=i(k_l\delta_{ij}+k_j\delta_{il}).
\end{equation}
\tag{18}
$$
Первые две из них описывают процессы переноса, а последняя отвечает за взаимодействие между флуктуациями скорости. Мы также явно указали, импульс какого поля входит в данную вершину взаимодействия. Например, в выражении для вершинного фактора $V_{v'_i(\boldsymbol k)v_l^{}v_j^{}}$ импульс $k_j^{}$ переносится полем отклика $v_i'$ [11], [12].
3. Ренормировка моделиАнализ УФ-расходимостей начинается с определения канонических размерностей параметров модели. В динамических моделях необходимо учитывать два независимых масштаба [3], [12]. Это масштабы частоты и импульса (времени и длины). Тогда любая величина $F$ характеризуется частотной размерностью $d_F^{\kern1pt\omega}$ и импульсной размерностью $d_F^{\kern1pt k}$. Канонические размерности определяются из условий нормировки
$$
\begin{equation}
d_k^{\kern1pt k}=-d_x^{\kern1pt k}=1,\qquad d_\omega^{\kern1pt\omega}=-d_t^{\kern1pt\omega}=1,\qquad d_k^{\kern1pt\omega}=d_\omega^{\kern1pt k}=0
\end{equation}
\tag{19}
$$
и того факта, что функционал действия должен быть безразмерной величиной [12]. При этом полная каноническая размерность любой величины $F$ определяется по формуле $d_F=d_F^{\kern1pt k}+2d_F^{\kern1pt\omega}$ (из-за пропорциональности $\partial_t\propto\mathbf{\partial}^2$ в квадратичной части функционала действия). Канонические размерности всех полей и параметров модели (13) перечислены в табл. 1. Таблица 1.Канонические размерности полей и параметров.
Всего имеются пять зарядов (констант связи) теории
$$
\begin{equation}
g_0=\frac{D_0}{\nu_0^3},\quad u_{A0}^{},\quad u_{B0}^{},\quad \lambda_0^{},\quad \lambda'_0.
\end{equation}
\tag{20}
$$
В пространстве размерности $d=2$ все эти заряды одновременно становятся безразмерными и модель оказывается логарифмической. Поэтому размерность $d=2$ отождествляется с верхней критической размерностью $d_{\mathrm c}$ модели. При размерной регуляризации УФ-расходимости проявляются в виде полюсов по параметру разложения $\varepsilon=2-d$, а ИК-расходимости регуляризуются обрезанием при $k=m$. Этот порог аналогичен величине, обратной к масштабу интегральной турбулентности $L=1/m$. Заметим, что последние расходимости не влияют на константы ренормировки [12]. Возможно, самым экономичным способом ренормировки трансляционно-инвариантной модели является ренормировка ее одночастично-неприводимых (1-неприводимых) функций Грина. Это ограниченный класс диаграмм Фейнмана, состоящий из таких диаграмм, которые остаются связными даже после разрыва одной внутренней линии [3], [12]. Будем обозначать произвольную 1-неприводимую функцию Грина как $\Gamma_{\{\varphi\}}=\langle\varphi\ldots\varphi\rangle_{1\mathrm{PI}}$, где $\varphi$ – произвольное поле из полного набора полей модели (13), $\varphi\in\Psi\cup\Phi$. Полная каноническая размерность этой функции Грина определяется общей формулой [12], [13]
$$
\begin{equation}
d_{\kern1pt\Gamma}=d+2-\sum_\varphi N_\varphi d_\varphi,
\end{equation}
\tag{21}
$$
где сумма берется по всем типам полей $\varphi$, множитель $N_\varphi$ обозначает количество раз, когда данное поле появляется в конкретной 1-неприводимой функции, а $d_\varphi$ – его каноническая размерность. Согласно стандартному подходу [12] задача состоит в определении поверхностных расходимостей в 1-неприводимых функциях и построении ренормированного действия, в котором введены дополнительные контрчлены, устраняющие эти расходимости в заданном порядке теории возмущений. УФ-расходимости, требующие дальнейшего изучения, связаны с теми 1-неприводимыми функциями Грина, которые обладают неотрицательным формальным индексом расходимости $\delta_{\kern1pt\Gamma}=d_{\kern1pt\Gamma}|_{\varepsilon=0}$. Однако в нашем случае это утверждение следует скорректировать, исходя из следующих соображений. Во-первых, 1-неприводимые функции, не содержащие в качестве внешних полей ни одну из функций отклика $\psi_B^\unicode{8224}$, $\psi_A^\unicode{8224}$ или $\boldsymbol v'$, исчезают, поскольку обязательно содержат замкнутые циклы причинных пропагаторов [12]. Вершинный фактор $V_{\boldsymbol v'\boldsymbol v\boldsymbol v}$ пропорционален импульсу, переносимому полем $\boldsymbol v'$ (см. соответствующее выражение в (18)), поэтому каждый экземпляр поля $\boldsymbol v'$, появляющийся как внешнее поле, снижает общий индекс расходимости. Таким образом, реальный индекс расходимости определяется как
$$
\begin{equation}
\tilde\delta_{\kern1pt\Gamma}=\delta_{\kern1pt\Gamma}-N_{\boldsymbol v'}.
\end{equation}
\tag{22}
$$
Во-вторых, количество контрчленов дополнительно уменьшается благодаря свойству инвариантности производящего функционала модели (13) относительно преобразований Галилея. Эта симметрия влечет, что функция $\langle\boldsymbol v'\boldsymbol v\boldsymbol v\rangle_{1\mathrm{PI}}$ не расходится (дальнейшие обсуждения см., например, в [11], [12], [20]). Принимая во внимание этот факт, а также учитывая имеющиеся в наличии диаграммные элементы и трансверсальность поля скоростей, мы можем определить следующие 1-неприводимые функции с поверхностными УФ-расходимостями:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \langle\boldsymbol v'\boldsymbol v'\rangle_{1\mathrm{PI}},& \\ \langle\boldsymbol v'\boldsymbol v\rangle_{1\mathrm{PI}},& \\ \langle\psi_A^\unicode{8224}\psi_A^{}\rangle_{1\mathrm{PI}},& \\ \langle\psi_B^\unicode{8224}\psi_B^{}\rangle_{1\mathrm{PI}},& \end{aligned}\qquad \begin{aligned} \, &\langle\psi_A^\unicode{8224}\psi_A^{}\psi_A^{}\rangle_{1\mathrm{PI}}, \\ &\langle\psi_B^\unicode{8224}\psi_B^{}\psi_A^{}\rangle_{1\mathrm{PI}}, \\ &\langle\psi_A^\unicode{8224}\psi_A^\unicode{8224}\psi_A^{}\psi_A^{}\rangle_{1\mathrm{PI}}, \\ &\langle\psi_B^\unicode{8224}\psi_A^\unicode{8224}\psi_B^{}\psi_A^{}\rangle_{1\mathrm{PI}}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{23}
$$
Все они имеют вид, который уже присутствует в голом функционале действия. Это означает, что модель мультипликативно-ренормируема. Полное ренормированное действие принимает вид
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S_{\mathrm R}^{}&= \psi^\unicode{8224}_A(-\partial_t^{}+Z_1^{}u_A^{}\nu\partial^2)\psi_A^{}+ \psi^\unicode{8224}_B(-\partial_t^{}+Z_2^{}u_B^{}\nu\partial^2)\psi_B^{}+{} \notag\\ &\quad +\frac{v_i'\mu^\varepsilon Z_3^{}D_{ij}^{}v_j'}{2}+v_i'(-\partial_t^{}+Z_4^{}\nu\partial^2)v_i^{}-{} \notag\\ &\quad -u_A^{}\nu\lambda\mu^\varepsilon Z_5^{}[\psi_A^\unicode{8224}+\psi_A^{\unicode{8224} 2}]\psi_A^2- \lambda'u_A^{}\nu\mu^\varepsilon Z_6^{}[Q\psi_A^{}+\psi_A^\unicode{8224}\psi_A^{}]\psi_B^\unicode{8224}\psi_B^{}-{} \notag\\ &\quad -v_i'(\boldsymbol v\cdot\boldsymbol\nabla)v_i^{}- [\psi_A^\unicode{8224}(\boldsymbol v\cdot\boldsymbol\nabla)\psi_A^{}+\psi_B^\unicode{8224}(\boldsymbol v\cdot\boldsymbol\nabla)\psi_B^{}]+ \delta(t)(\psi_A^\unicode{8224} a_0+\psi_B^\unicode{8224} b_0). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{24}
$$
Оно получается из голого действия (13) введением следующей ренормировки полей и параметров модели:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{7} \varphi&\to Z_{\varphi}\varphi,&\qquad u_{A0}&\to Z_{u_A}u_A,&\qquad u_{B0}&\to Z_{u_B}u_B,&\qquad \nu_0&\to Z_\nu\nu, \\ g_0^{}&\to\mu^\varepsilon Z_g^{}g,&\qquad \lambda_0^{}&\to\mu^\varepsilon Z_\lambda^{}\lambda,&\qquad \lambda'_0&\to\mu^\varepsilon Z_{\lambda'}^{}\lambda'. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{25}
$$
Здесь $\varphi\in\{\psi_A^{},\psi_A^\unicode{8224},\psi_B^{},\psi_B^\unicode{8224},\boldsymbol v,\boldsymbol v'\}$, параметр $\mu$ – произвольный масштаб импульса, а через $Z_F$ обозначена соответствующая константа ренормировки. Непосредственным оборазом получаем связь между константами ренормировки в действии (24) и константами РГ в (25):
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{7} Z_{u_A}&=Z_1Z_4^{-1},&\qquad Z_{u_B}&=Z_2Z_4^{-1},&\qquad Z_\lambda&=Z_5Z_1^{-1},&\qquad Z_\lambda'&=Z_6 Z_1^{-1}, \\ Z_g&=Z_3Z_4^{-3},&\qquad Z_\nu&=Z_4,&\qquad Z_\Psi&=Z_Q=1. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{26}
$$
Явный вид констант РГ $Z_1,\ldots,Z_6$ находится из однопетлевых 1-неприводимых диаграмм Фейнмана с использованием размерной регуляризации и схемы минимальных вычитаний. Окончательные выражения имеют вид
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{5} Z_1&=1-\frac{\hat g}{4u_A(u_A+1)\varepsilon},&\qquad Z_2&=1 -\frac{\hat g}{4u_B(u_B+1)\varepsilon},&\qquad Z_3&=Z_4=1-\frac{\hat g}{16\varepsilon}, \\ Z_5&=1+\frac{\hat\lambda}{\varepsilon},&\qquad Z_6&=1+\frac{\hat\lambda'u_A}{(u_A+u_B)\varepsilon}. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{27}
$$
Здесь для параметра $F$ введено обозначение $\widehat F\equiv F S_d/(2\pi)^d$, где $S_d=2\pi^{d/2}/\Gamma(d/2)$ – площадь единичной $d$-мерной сферы, а $\Gamma(x)$ – гамма-функция Эйлера.
4. РГ-функции и режимы скейлингаПосле успешного вычисления констант РГ можно проанализировать асимптотическое поведение системы. Фундаментальное уравнение, управляющее поведением ренормированных функций Грина, записывается с помощью оператора РГ, который в данном случае может быть задан как
$$
\begin{equation}
D_{\mathrm{RG}}=\mu\partial_\mu+\sum_e\beta_e\partial_e-\gamma_\nu\nu\partial_\nu,
\end{equation}
\tag{28}
$$
где сумма берется по всем зарядам теории $e=\{g,u_A,u_B,\lambda',\lambda\}$. Коэффициентные функции для заряда $e$ и любого параметра $F$ определяются как
$$
\begin{equation}
\beta_e=\mu\frac{\partial e}{\partial\mu}\biggr|_0,\qquad\gamma_F=\frac{\partial\ln Z_F}{\partial\ln\mu}\biggr|_0,
\end{equation}
\tag{29}
$$
где $|_0$ означает, что голые параметры остаются постоянными в процессе вычисления. Для модели (13) мы всего имеем пять бета-функций:
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{5} \beta_g&=-g(\varepsilon+\gamma_g),&\qquad \beta_{u_A}&=-u_A\gamma_{u_A},&\qquad \beta_{u_B}&=-u_B\gamma_{u_B}, \\ \beta_\lambda&=-\lambda(\varepsilon+\gamma_\lambda),&\qquad \beta_{\lambda'}&=-\lambda' (\varepsilon+\gamma_{\lambda'}) \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{30}
$$
с соответствующими аномальными размерностями (в силу определения (29))
$$
\begin{equation}
\begin{alignedat}{3} \gamma_g&=-\frac{\hat g}{8},&\qquad \gamma_{u_i}&=\hat g\biggl(\frac{1}{4u_i(1+u_i)}-\frac{1}{16}\biggr),\quad i\in\{A,B\}, \\ \gamma_\lambda&=-\hat\lambda-\frac{\hat g}{4u_A(1+u_A)},&\qquad \gamma_{\lambda'}&=-\hat\lambda'\frac{u_A}{u_A+u_B}-\frac{\hat g}{4u_A(1+u_A)}. \end{alignedat}
\end{equation}
\tag{31}
$$
В данном случае мы пренебрегли поправками высших порядков $\hat g^2$, $\hat\lambda^2$ в однопетлевом приближении. Таблица 2.ФТ метода РГ и их области устойчивости.
Асимптотика больших времен для рассматриваемой модели определяется ИК-устойчивыми фиксированными точками (ФТ) [12], [13] бета-функций. Это такие точки $e^*=(g^*,u_A^*,u_B^*,\lambda^*,\lambda^{\prime\,*})$ в пространстве констант связи, которые задаются уравнениями
$$
\begin{equation}
\beta_g(e^*)=\beta_{u_A}(e^*)=\beta_{u_B}(e^*)=\beta_\lambda(e^*)=\beta_{\lambda'}(e^*)=0.
\end{equation}
\tag{32}
$$
ИК-устойчивость определяется собственными значениями матрицы первых производных с элементами
$$
\begin{equation}
\Omega_{ij}=\frac{\partial\beta_i}{\partial e_j}\biggl|_{e^*},
\end{equation}
\tag{33}
$$
где индекс $i$ и заряд $e_j$ нумеруются в соответствии с $e=\{g,u_A^{},u_B^{},\lambda',\lambda\}$. Для ИК-устойчивых режимов собственные значения матрицы (33) должны иметь положительные вещественные части. Мы обнаружили восемь ФТ (см. табл. 2), однако только две из них ИК-устойчивы. Это 1) гауссова ФТ (FP1), для которой $\hat g^*=0$, $u_A^*$ произвольно, $u_B^*$ произвольно, $\hat\lambda^*=0$, $\hat\lambda'^*=0$; эта ФТ ИК-устойчива при $\varepsilon<0$; 2) тепловая ФТ (FP8), для которой $\hat g^*=8\varepsilon$, $u_A^*=u_B^*=(\sqrt{17}-1)/2$, $\hat \lambda^*=\varepsilon/2$, $\hat\lambda'^*=\varepsilon$; эта ФТ ИК-устойчива при $\varepsilon>0$. Заметим, что в нетривиальных (тепловых) ФТ как флуктуации скорости, так и реакционные взаимодействия одновременно являются ИК-значимыми. РГ также предсказывает ФТ, для которой значимы только реакционные процессы (FP4). Однако, хотя она устойчива при отсутствии поля скоростей [16], на практике эта ФТ никогда не может быть по-настоящему ИК-устойчивой из-за наличия неизбежных тепловых флуктуаций. Подобный вывод был ранее получен для различных реакционно-диффузионных моделей [24]. На границе двух режимов, т. е. при $\varepsilon=0$, связи теории становятся асимптотически несущественными, и тогда возможно появление логарифмических поправок в выражениях для функций Грина. Основываясь на стандартном анализе [12], мы ожидаем, что эти поправки будут отличаться от тех, которые возникют, когда поле скоростей отсутствует (и FP4 устойчива). Поэтому мы полагаем, что наличие флуктуаций поля скоростей влияет на поведение двумерных систем. Доказательство этого утверждения мы откладываем до будущей работы. 5. ЗаключениеВ представленной работе мы исследовали влияние тепловых флуктуаций на реакционно-диффузионную систему с реакциями $A+A\to(\varnothing, A)$, $A+B\to A$. Используя теоретико-полевую формулировку модели, мы проанализировали возможное макроскопическое поведение системы, применяя метод РГ. В частности, мы ренормировали модель в однопетлевом порядке схемы возмущений. РГ-анализ показал, что существуют две ИК-устойчивые ФТ, которые управляют поведением системы при больших временах. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{GnaKecLuc23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|