| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Cильные распады состояния Г. Ганболдab a Лаборатория теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Московсквя обл., Россия b Institute of Physics and Technology, Mongolian Academy of Sciences, Ulaanbaatar, Mongolia
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923090076 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеВ последние годы при экспериментальных исследованиях спектра тяжелых мезонов наблюдалось несколько необычных состояний. У них есть одна общая черта: для этих состояний не работает минимальная конституентная кварк-антикварковая модель. Одним из таких необычных состояний является $Y(4230)$, и этот резонанс до сих пор нуждается в тщательном экспериментальном изучении. Исторически впервые анализ данных о спектре масс состояния $\pi^{+}\pi^{-}J/\psi$ в реакции рождения $e^{+}e^{-}\to\gamma_{\text{ISR}}\pi^{+}\pi^{-}J/\psi$ был проведен коллаборацей BaBar при наблюдениях широкого резонанса в районе $4.26$ ГэВ [1]. Спин-четность $J^{\text{PC}}=1^{--}$ указывает на возможное состояние чармония, но его масса не соответствует какой-либо известной массе состояний чармония. Помимо сильной связи с $\pi^{+}\pi^{-}J/\psi$ не было найдено доказательств наличия связи с какими-либо уже открытыми модами распада очарованных частиц. В более ранних исследованиях предполагалось, что состояние $Y(4260)$ (сейчас это $Y(4230)$) не является обычным состоянием чармония [2]. Позже в работах [3]–[5] оно интерпретировалось как гибридное состояние чармония. Авторы работы [6] предложили интерпретировать $Y(4260)$ как первое орбитальное возбуждение дикварк-антидикваркового состояния $([cs][\bar c\bar s])$, предполагая при этом, что доминирует распад $D_s \kern1.6pt\overline{\vphantom{D}\kern6.8pt}\kern-8.6pt D\kern0.4pt _s$. В работе [7] развивалась еще одна идея, а именно взгляд на $Y(4260)$ как на молекулу $\chi_{c1}$–$\rho^0$. Это позволяет объяснить, почему ширина распада $Y(4260)\to\pi^{+}\pi^{-}J/\psi$ больше, чем у до сих пор не наблюдавшегося $Y(4260)\to D \kern1.6pt\overline{\vphantom{D}\kern6.8pt}\kern-8.6pt D\kern0.4pt $. Предположение, согласно которому $Y$ рассматривается как молекулярное состояние $D \kern1.6pt\overline{\vphantom{D}\kern6.8pt}\kern-8.6pt D\kern0.4pt _1$, может хорошо объяснить отсутствие состояния $Y(4260)$ в распадах частиц с открытым очарованием [8]. В рамках такой интерпретации некоторые каналы распада пар частиц со скрытым и открытым очарованием были исследованы путем использования промежуточных мезонных петель $DD_1$ [9]. Авторы работы [10] изучали двухчастичный распад $Y(4260)\to Z_c(3900)+\pi$, рассматривая слабосвязанное состояние $DD_1$. Кроме того, в указанной работе была рассчитана мода распада $Y(4260)\to J/\psi+\pi^{+}\pi^{-}$. Сечение рассеяния для реакции $e^{+}e^{-}\to K^{+}K^{-}J/\psi$ было недавно измерено с использованием данных с интегрированной яркостью 15.6 фб$^{-1}$, полученных детектором BESIII [11]. Измерения массы и ширины этой структуры дали значения ($4225.3\pm 2.3\pm 21.5$) МэВ и ($72.9\pm 6.1\pm 30.8$) МэВ соответственно. Они отвечают стандартам, установленным для $Y(4230)$. Кроме того, имеется оценка отношения коэффициентов ветвления при распаде состояния $Y(4230)$ на моды $K \kern1.6pt\overline{\vphantom{K}\kern6.8pt}\kern-8.6pt K\kern0.4pt J/\psi$ и $\pi\pi J/\psi$:
$$
\begin{equation*}
0.02<\frac{\mathcal{B}(Y(4230)\to K^{+}K^{-}J/\psi)}{\mathcal{B}(Y(4230)\to\pi^{+}\pi^{-}J/\psi)}<0.26,
\end{equation*}
\notag
$$
где диапазоны определяются из восьми комбинаций множественных решений в двух измерениях, а большая неопределенность в основном связана с множественными решениями в измерении моды $\pi\pi J/\psi$. Однако имеются трудности, связанные с достижением результата до нахождения физического решения по данным измерений, особенно для моды $\pi\pi J/\psi$. Состояние чармония, который представляет собой составную систему очарованного кварка и его контрпартнера ($\bar cc$), было в центре внимания интенсивных исследований в различных экспериментах [12]. Наблюдалась серия низколежащих возбужденных состояний чармония, обладающих малыми энергиями связи [13]. Эти состояния могут служить удачным полигоном для проверки основных предположений модели, и системе чармония было посвящено большое количество теоретических концепций и подходов. Тем не менее многие модельные предсказания страдают неточностями при описании экспериментальных данных о свойствах чармония. В частности, последние усредненнные данные о парциальной ширине распада $J/\psi\to\gamma\eta_c$ почти в два раза меньше [12], чем предсказания кулоновского калибровочного подхода [14] и нерелятивистской потенциальной модели [15]. В нашей предыдущей статье [16] мы рассматривали резонанс $Y(4230)$ как четырехкварковое состояние. Мы исследовали два интерполяционных тока: ток молекулярного типа, который эффективно соответствует произведению токов кварков $D$ и $ \kern1.6pt\overline{\vphantom{D}\kern6.8pt}\kern-8.6pt D\kern0.4pt _1$, и ток тетракварков. В обоих случаях были рассчитаны ширины распадов $Y(4260)\to Z_c(3900)+\pi$ и $Y(4260)\to D^{(\ast)}+ \kern1.6pt\overline{\vphantom{D}\kern6.8pt}\kern-8.6pt D\kern0.4pt ^{(\ast)}$. Мы показали, что и в молекулярном, и в тетракварковом подходах мода $Y\to Z^{+}_c+\pi^{-}$ усиливается по сравнению с модами с открытым очарованием. Эти два подхода давали разные значения ширины распада $\Gamma(Y\to Z^{+}_c\pi^{-})$, а наши численные результаты свидетельствовали в пользу тетракварковой картины состояния $Y(4230)$, дающей разумное значение ширины распада. В серии исследований [17]–[19] мы разработали релятивистскую квантово-полевую модель с конкретными формами пропагаторов и аналитическим конфайнментом кварков и глюонов, а затем применили ее к различным аспектам физики адронов низких энергий. Следуя концепции аналитического конфайнмента, ниже мы представляем наши последние теоретические оценки параметров радиационных переходов в состояниях чармония, выполненные в рамках ковариантной кварковой модели с конфайнментом (covariant confined quark model, CCQM) [20], [21]. 2. Сильный распад резонанса $Y(4230)$Мы рассматриваем три вида распадов резонанса $Y$ за счет сильного взаимодействия со следующими комбинациями скрытых очарований:
$$
\begin{equation*}
Y\to J/\psi+f_0,\qquad Y\to J/\psi+K^{+}+K^{-},\qquad Y\to J/\psi+\pi^{+}+\pi^{-}.
\end{equation*}
\notag
$$
2.1. Теоретический подходCCQM представляет собой эффективное квантово-полевое описание адронных эффектов [22]. Эта модель выводится из лоренц-инвариантного нелокального лагранжиана, в котором адрон связан с конституентными кварками. Таким образом, адроны характеризуются параметрами размера $\Lambda_H$, определяющими силу кварк-адронной связи. Этот механизм реализуется с помощью так называемого условия композитности [23], [24], требующего, чтобы константа перенормировки волновой функции адрона была равна нулю, $Z_H=0$. Это условие уменьшает количество свободных параметров (т. е. связей) и гарантирует правильное описание связанных состояний как одетых состояний (без перекрытия с голыми состояниями). Вершины адрон-кваркового взаимодействия задаются функциями типа гауссианов. Аналитический встроенный конфайнмент, основанный на обрезании в пространстве интегрирования параметров Швингера в кварковых пропагаторах, устраняет все расходимости, и эту модель можно применять для описания произвольных тяжелых адронов. В настоящей статье мы используем CCQM как практический инструмент для вычисления формфакторов адронов из считающихся известными токов кварков и применяем ее к $Y(4230)$ и другим адронным состояниям. Согласно CCQM эффективный лагранжиан взаимодействия, описывающий взаимодействие мезона $Y(4230)$ с конституентными кварками, может быть записан как
$$
\begin{equation}
\mathcal L_{\mathrm{int}}=g_Y Y_\mu(x)\cdot J^\mu_Y(x)+\text{э. с.}
\end{equation}
\tag{1}
$$
Нейтральное состояние $Y(4230)$ с квантовыми числами $I^G=0^{-}$, $J^{\text{PC}}=1^{--}$ не удается успешно описать в рамках модели любого состояния чармония $(\bar cc)$, поэтому введем интерполяционный четырехкварковый ток
$$
\begin{equation}
J_Y^\mu=\frac{1}{\sqrt{2}}\{(\bar q\gamma_5c)(\bar c\gamma^\mu\gamma_5q)+(\gamma_5^{}\leftrightarrow\gamma^\mu\gamma_5^{})\}.
\end{equation}
\tag{2}
$$
Его нелокальное обобщение имеет вид
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, J_Y^\mu (x)=\mathop{\int\ldots\int}dx_1\ldots dx_4\,\delta\biggl(x-\sum_{i=1}^4 w_ix_i\biggr) \Phi_Y^{}\biggl(\,\sum_{i<j}(x_i-x_j)^2\biggr)J_{Y_{\text{non}}}^\mu (x_1,\ldots,x_4), \\ J_{Y_{\mathrm{non}}}^\mu=\frac{1}{\sqrt{2}}\bigl\{(\bar q(x_3)\gamma_5c(x_1))\cdot(\bar c(x_2)\gamma^\mu\gamma_5q(x_4)) +(\gamma_5\leftrightarrow\gamma^\mu\gamma_5)\bigl\}\qquad (q=u,d), \end{gathered}
\end{equation}
\tag{3}
$$
где приведенные массы кварков $w_i=m_i/\sum_{j=1}^4 m_j$ заданы для $m_1=m_2=m_c$ и $m_3=m_4=m_q$. При этом мы пренебрегаем тем, что изоспин не сохраняется в секторе $u$–$d$, т. е. $m_u=m_d=m_q$. Нумерация координат $x_i$ выбрана так, чтобы вершины и пропагаторы в вычисляемых диаграммах Фейнмана были расположены удобным образом. Трансляционно-инвариантная четырехкварковая вершинная функция записывается как
$$
\begin{equation}
\Phi_Y\biggl(\,\sum_{i<j}(x_i-x_j)^2\biggr)= \prod_{j=1}^3\int\frac{d^{\kern0.5pt 4}q_j}{(2\pi)^4}\,e^{-iq_j(x_j-x_4)}\widetilde\Phi_Y(-Q^2), \qquad Q^2=\frac12\sum_{i\leqslant j}q_iq_j.
\end{equation}
\tag{4}
$$
Чтобы петлевые интегралы сходились в ультрафиолетовом диапазоне, преобразование Фурье трансляционно-инвариантной вершинной функции, заданной в пространстве импульсов, должно спадать в евклидовой области. Мы используем простую форму гауссиана: где $\Lambda_Y>0$ есть настроечный параметр CCQM, связанный с размером адрона. На самом деле подходит любой выбор $\widetilde\Phi_Y$, если эта функция достаточно быстро спадает в ультрафиолетовой области, обеспечивая сходимость соответствующих диаграмм Фейнмана в ультрафиолетовой области. Перенормированная константа связи $g_Y$ в выражении (1) строго определяется из условия композитности (подробности см. в [22])
$$
\begin{equation}
Z_Y=1-g^2_Y\frac{d}{dp^2}\widetilde\Pi_Y(p^2)=0,\qquad p^2=M^2_Y,
\end{equation}
\tag{6}
$$
где $\widetilde\Pi_Y(p^2)$ – диагональная (скалярная) часть массового оператора векторного мезона, заданная в импульсном пространстве,
$$
\begin{equation}
\widetilde\Pi_Y(p^2)=\frac{1}{3}\biggl(g_{\mu\nu}-\frac{p_\mu p_\nu}{p^2}\biggr)\widetilde\Pi^{\mu\nu}_Y(p).
\end{equation}
\tag{7}
$$
Таким образом, любые голые состояния полностью исключаются из рассмотрения, масса и волновая функция адрона перенормируются, а физическое состояние одевается. Преобразование Фурье массового оператора для четырехкваркового состояния $Y$ записывается как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \widetilde\Pi_Y^{\mu\nu}(p)= \frac{N_{\mathrm c}^2}{2}\iiint&\frac{d^{\kern0.5pt 4}k_1\,d^{\kern0.5pt 4}k_2\,d^{\kern0.5pt 4}k_3}{[i(2\pi)^4]^3}\, \widetilde\Phi_Y^2 \biggl(-\frac{k_1^2+k_2^2+k_3^2-k_1k_2-k_1k_3+k_2k_3}{2}\biggr)\times{} \notag\\ &\times\bigl\{ \operatorname{Tr} [S_3(\hat k_3+w_3\hat p)\gamma_5S_1(\hat k_1-w_1\hat p)\gamma_5]\times{} \notag\\ &\kern25pt \times \operatorname{Tr} [S_2(\hat k_2+w_2\hat p)\gamma^\mu\gamma_5S_4(-\hat k_1+\hat k_2+\hat k_3-w_4\hat p)\gamma^\nu\gamma_5]+{} \notag\\ &\kern17pt + \operatorname{Tr} [S_3(\hat k_3+w_3\hat p)\gamma_5S_1(\hat k_1-w_1\hat p)\gamma^\nu\gamma_5]\times{} \notag\\ &\kern25pt \times \operatorname{Tr} [S_2(\hat k_2+w_2\hat p)\gamma^\mu\gamma_5S_4(-\hat k_1+\hat k_2+\hat k_3-w_4\hat p)\gamma_5]\bigl\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{8}
$$
где $N_{\mathrm c}=3$. Мы используем представление Фока–Швингера кваркового пропагатора:
$$
\begin{equation}
\widetilde S_j(\hat k\kern1pt)=(m_j+\hat k)\int_0^{\infty}d\alpha\,e^{-\alpha(m_j^2-k^2)}.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Матричные элементы адронных процессов, описываемых с помощью кварк-петлевых диаграмм Фейнмана, могут быть представлены через свертки вершинных функций и кварковых пропагаторов:
$$
\begin{equation}
\Pi^0=N_{\mathrm c}\int_0^\infty dt\,t^{n-1}\int_0^1 d^{\kern0.5pt n}\kern-1pt\alpha\,\delta\biggl(1-\sum_{i=1}^n\alpha_i\biggr) f(t\alpha_1,\ldots,t\alpha_n).
\end{equation}
\tag{10}
$$
При этом могут появиться точки ветвления, связанные с рождением свободных кварков. Эти пороговые сингулярности можно устранить, введя универсальный параметр $\lambda$ инфракрасного обрезания следующим образом:
$$
\begin{equation*}
\int_0^\infty dt\,(\,{\cdot}\,)\to\int_0^{1/\lambda^2}dt\,\,(\,{\cdot}\,).
\end{equation*}
\notag
$$
Свободные модельные параметры $\lambda$, $m_q$, $\Lambda_H$ фиксируются путем подбора по последним экспериментальным данным. В частности, обновленные основные параметры равны [21]
$$
\begin{equation}
m_u=m_d=0.241,\qquad m_s=0.248,\qquad m_c=1.67,\qquad \lambda=0.181\;\text{ГэВ}.
\end{equation}
\tag{11}
$$
2.2. Сильный распад $Y(4230)\to J/\psi+f_0(980)$Лоренцев формфактор сильного распада $Y\to J/\psi+f_0$ в ведущем порядке задается как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, d_A&p_1^\mu p^\nu-d_B(pp_1)g^{\mu\nu}= \notag\\ &=\iint\frac{d^4k_1\,d^4k_2}{[i(2\pi)^4]^2}\, \widetilde\Phi_Y(-Q^2)\widetilde\Phi_{J/\psi}\biggl(-\frac{(\ell_1+\ell_2)^2}{4}\biggr) \widetilde\Phi_{f_0}\biggl(-\frac{(\ell_3+\ell_4)^2}{4}\biggr)\times{} \notag\\ &\kern80pt \times\bigl\{ \operatorname{Tr} [\gamma_5S_1(\ell_1)\gamma^\nu S_2(\ell_2)\gamma^\mu\gamma_5S_4(\ell_4)IS_3(\ell_3)]+{}\vphantom{\Big|} \notag\\ &\kern102pt+ \operatorname{Tr} [\gamma^\mu\gamma_5S_1(\ell_1)\gamma^\nu S_2(\ell_2)\gamma_5S_4(\ell_4)IS_3(\ell_3)]\bigr\}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12}
$$
где
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, Q^2=\frac{(\ell_1+pw_1)^2+(\ell_2-pw_2)^2+(\ell_3+pw_3)^2+(\ell_4-pw_4)^2}{2}, \\ \ell_1=k_1-pw_1,\quad\ell_2=k_1-pw_1-p_1,\quad\ell_3=k_2-pw_4-p_2,\quad\ell_4=k_2-pw_4, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{13}
$$
а $\widetilde\Phi_{J/\psi}(-k^2)=e^{k^2/\Lambda^2_{J/\psi}}$, $\widetilde\Phi_{f_0}(-k^2)=e^{k^2/\Lambda^2_{f_0}}$ – вершинные функции с настроечными параметрами $\Lambda_{J/\psi}$, $\Lambda_{f_0}$, связанными с размерами адронов. Матричный элемент двухчастичного распада $Y\to J/\psi+f_0$ равен
$$
\begin{equation*}
\mathcal M_{YVS}=\mathcal M(Y(p,\epsilon^\mu_p)\to J/\psi(p_1,\epsilon^\nu_{p_1})+f_0(p_2))\doteq g_Yg_{J/\psi}\,g_{f_0}\epsilon^\mu_p\epsilon^{\ast\nu}_{p_1} (d_Ap_1^\mu p^\nu-d_B(pp_1)g^{\mu\nu}).
\end{equation*}
\notag
$$
Наконец, парциальная ширина сильного распада рассчитывается по формуле
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Gamma_{YVS}&=\Gamma(Y\to J/\psi+f_0)=\frac{1}{(2s+1)2M_Y}|\mathcal M(Y\to J/\psi+f_0)|^2\Phi_{Y\to J/\psi+f_0}= \notag\\ &=\frac{g^2_Yg^2_{J/\psi}\,g^2_{f_0}(p p_1)^2}{(2s+1)2M_Y} \{d_A^2 (\xi-2+\xi^{-1})+2d_Ad_B(1-\xi)+d_B^2(2+\xi)\}\Phi_{Y\to J/\psi+f_0}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{14}
$$
где $s=1$ есть спин неполяризованной частицы $Y(4230)$, введены обозначения
$$
\begin{equation*}
(p p_1)^2=\frac{p^2+p_1^2-p_2^2}{2},\qquad \xi\doteq\frac{(pp_1)^2}{p^2p_1^2},
\end{equation*}
\notag
$$
а фазовый объем распада вводится как
$$
\begin{equation}
\Phi_{YVS}=\Phi_{Y\to J/\psi+f_0}(M_Y^2,M_{J/\psi}^2,M_{f_0}^2)=\frac{1}{8\pi M_Y^2}[\lambda(M_Y^2,M_{J/\psi}^2,M_{f_0}^2)]^{1/2}.
\end{equation}
\tag{15}
$$
Здесь $\lambda(p^2,p_1^2,p_2^2)$ – функция Келлена. 2.3. Сильный распад состояния $f_0(980)$ на два псевдоскалярных мезонаЛоренцев формфактор сильного распада скалярной частицы на два (заряженных) псевдоскаляра $f_0(q)\to P^{+}(q_1)+P^{-}(q_2)$ в ведущем порядке задается как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, d_{\kern1pt\mathrm c}=\frac{N_{\mathrm c}}{2}\int\frac{d^{\kern0.5pt 4}k}{i(2\pi)^4}&\, \widetilde\Phi_{f_0}(-k^2) \widetilde\Phi_{P^{+}}\biggl(-\frac{(\ell_2+\ell_3+q_1(w_{\mathrm s}-w_q))^2}{4}\biggr)\times{} \notag\\ &\times\widetilde\Phi_{P^{-}}\biggl(-\frac{(\ell_1+\ell_3+q_2(w_{\mathrm s}-w_q))^2}{4}\biggr)\times{} \notag\\ &\times \operatorname{Tr} [\gamma_5S_1(\ell_1) I S_2(\ell_2)\gamma_5S_3(\ell_3)], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{16}
$$
где
$$
\begin{equation*}
\ell_1=k-\frac{q}{2},\qquad\ell_2=k+\frac{q}{2},\qquad\ell_3=k-\frac{q_1}{2}+\frac{q_2}{2}
\end{equation*}
\notag
$$
и $\widetilde\Phi_{f_0}(-k^2)=e^{k^2/\Lambda_{f_0}}$, $\widetilde\Phi_{P^{+}}(-k^2)=e^{k^2/\Lambda_{P^{+}}}$, $\widetilde\Phi_{P^{-}}(-k^2)=e^{k^2/\Lambda_{P^{-}}}$ с соответствующими параметрами размера $\Lambda_{f_0}$, $\Lambda_{P^{+}}$, $\Lambda_{P^{-}}$. Матричный элемент двухчастичного распада $f_0\to P^{+}+P^{-}$ имеет вид
$$
\begin{equation}
\mathcal M_{SPP}=\mathcal M(f_0\to P^{+}+P^{-})\doteq g_{f_0}g_{P^{+}}g_{P^{-}}\cdot d_{\mathrm c}.
\end{equation}
\tag{17}
$$
Парциальная ширина сильного распада задается как
$$
\begin{equation}
\Gamma_{SPP}=\Gamma (f_0\to P^{+}+P^{-})= \frac{g_{f_0}^2g_{P^{+}}^2g_{P^{-}}^2}{2\cdot 2M_Y}\cdot d_{\mathrm c}^2\cdot\Phi_{f_0\to P^{+}+P^{-}},
\end{equation}
\tag{18}
$$
где фазовый объем распада равен
$$
\begin{equation}
\Phi_{SPP}=\Phi_{f_0\to P^{+}+P^{-}}(M_{f_0}^2, M_{P^{+}}^2,M_{P^{-}}^2)= \frac{1}{8\pi M_{f_0}^2}[\lambda(M_{f_0}^2,M_{P^{+}}^2,M_{P^{-}}^2)]^{1/2}
\end{equation}
\tag{19}
$$
с функцией Келлена $\lambda(q^2,q_1^2,q_2^2)$. 2.4. Сильные распады $Y(4230)\to K^{+} K^{-} J/\psi$ и $Y(4230)\to\pi^{+}\pi^{-} J/\psi$Рассмотрим следующие последовательные двухчастичные распады: сначала четырехкварковое состояние распадается на векторное $J/\psi(3096)$ и скалярное $f_0(980)$ состояния, затем резонанс $f_0$ распадается на два заряженных псевдоскалярных мезона $P^{+}=\{\pi^{+},K^{+}\}$ и $P^{-}=\{\pi^{-},K^{-}\}$. Этот процесс задается интегралом
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\Gamma (Y\to P^{+}P^{-}J/\psi)= \notag\\ &\quad=\frac{1}{24M_Y} \int_{q^2_{\min(P^{+}P^{-})}}^{q^2_{\max}}\kern-20pt dq^2\, [\mathcal M_{YVS}(q^2)]^2\Phi_{YVS}(q^2)BW(q^2)\frac{1}{\sqrt{q^2}}[\mathcal M_{SPP}(q^2)]^2\Phi_{SPP}(q^2), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{20}
$$
где область интегрирования ограничена кинематическими пределами
$$
\begin{equation*}
q^2_{\max}=(M_Y-M_{J/\psi})^2,\qquad q^2_{\min(\pi^{+}\pi^{-})}=4 M_\pi^2,\qquad q^2_{\min(K^{+}K^{-})}=4M_K^2,
\end{equation*}
\notag
$$
и введена функция резонансного распределения Брейта–Вигнера
$$
\begin{equation}
BW(q^2)=\frac{1}{\pi}\frac{M_S}{(q^2-M_S^2)^2+(M_S\Gamma_S)^2},\qquad \int_{-\infty}^{+\infty} dq^2\,BW(q^2)=\frac{1}{\Gamma_S}.
\end{equation}
\tag{21}
$$
2.5. Приближение узкого резонансаУчитывая последние данные для резонансного состояния $f_0(980)$, а именно $\Gamma_{f_0}=10\div 100$ МэВ и $M_{f_0}=990$ МэВ, можно попробовать применить к уравнению (20) приближение узкого резонанса (narrow width approximation, NWA) эффективное при $\Gamma_S/M_S\ll 1$ (см., например, работу [25]). Тогда результат NWA для ширины рассматриваемого распада имеет вид
$$
\begin{equation}
\Gamma_{\text{NWA}}(Y\to P^{+}P^{-}J/\psi)=\Gamma_{YVS}\cdot\mathcal B(S\to PP),\qquad \mathcal B(S\to PP)\doteq\frac{\Gamma(S\to PP)}{\Gamma_S}.
\end{equation}
\tag{23}
$$
Соответственно, для отношения коэффициентов ветвления имеем
$$
\begin{equation}
\biggl[\frac{\mathcal B(Y\to K^{+}K^{-}J/\psi)}{\mathcal B(Y\to\pi^{+}\pi^{-}J/\psi)}\biggr]_{\text{NWA}}= \frac{\Gamma(S\to K^{+} K^{-})}{\Gamma(S\to\pi^{+}\pi^{-})},\qquad M_S=M_{f_0}=990\;\text{МэВ}.
\end{equation}
\tag{24}
$$
2.6. Улучшенное приближение узкого резонансаЗамечено, что в некоторых случаях, а именно при распадах, в которых дочерняя масса приближается к родительской, NWA может быть ненадежным, что как раз и происходит при распаде $f_0\to K^{+} K^{-}$. Кроме того, погрешность NWA обычно оценивается как лежащая между $\frac{1}{3}\Gamma_S/M_S$ и $3\Gamma_S/M_S$, т. е. в случае $f_0(980)$ составляет примерно $30\%$. Поэтому более эффективным является использование модифицированной техники NWA. В работе [25] была предложена модификация NWA, которая была названа улучшенным приближением узкого резонанса с использованием элемента фазового пространства (phase-space improved narrow-width approximation, PSINWA). В этой модификациии следует заменить массу резонанса $M_S$ эффективной массой $M_{S(\text{eff})}$. Аналогично тому, как $M_S^2$ является максимумом функции Брейта–Вигнера, $M_{S(\text{eff})}^2$ задается положением максимума произведения функции Брейта–Вигнера и множителя, возникающего из элемента фазового пространства процесса распада. Следуя PSINWA, мы уточнили отношение коэффициентов ветвления:
$$
\begin{equation}
\biggl[\frac{\mathcal B(Y\to K^{+} K^{-}J/\psi)}{\mathcal B(Y\to\pi^{+}\pi^{-}J/\psi)}\biggr]_{\text{PSINWA}}= \frac{\Gamma(Y\to VS_{KK})\cdot\Gamma(S_{KK}\to K^{+}K^{-})}{\Gamma(Y\to VS_{\pi\pi})\cdot\Gamma(S_{\pi\pi}\to\pi^{+}\pi^{-})},
\end{equation}
\tag{25}
$$
где использованы эффективные массы $M_{S_{\pi\pi}}=690$ МэВ и $M_{S_{KK}}=1050$ МэВ. 2.7. Интегрирование по импульсам резонансаМы также нашли коэффициент ветвления путем прямого вычисления интеграла в (20) и получили следующее:
$$
\begin{equation}
\biggl[\frac{\mathcal B(Y\to K^{+} K^{-}J/\psi)}{\mathcal B(Y\to\pi^{+}\pi^{-}J/\psi)}\biggr]= \frac{\Gamma (Y\to K^{+} K^{-} J/\psi)}{\Gamma (Y\to\pi^{+}\pi^{-} J/\psi)}.
\end{equation}
\tag{26}
$$
2.8. Численные результатыСначала мы рассчитали парциальную ширину сильного распада $Y\to J/\psi+f_0(980)$, интерпретируя резонанс $Y(4230)$ как молекулярное четырехкварковое состояние и сохраняя фиксированными основные параметры модели. Затем из резонанса $f_0(980)$ мы разными способами получили отношение коэффициентов ветвления $\mathcal B(Y\to K^{+}K^{-} J/\psi)/\mathcal B(Y\to\pi^{+}\pi^{-}J/\psi)$ для сильных распадов на частицы со скрытым очарованием, а именно с использованием NWA, его улучшенной модификации PSINWA и прямым интегрированием по кинематически разрешенным импульсам. Значения параметров размера мы выбрали равными $\Lambda_\pi=0.620$ ГэВ, $\Lambda_K=1.36$ ГэВ, $\Lambda_{f_0}=1.20$ ГэВ и $\Lambda_{J/\psi}=1.75$ ГэВ. Затем мы варьировали значение параметра размера резонанса $Y$ в некоторой окрестности его среднего: $\Lambda_Y=3.3\pm 0.1$ ГэВ. Полученные числовые значения в сравнении с последними экспериментальными данными из работ [12] и [11] представлены в табл. 1. Наши оценки ширин затухания рассматриваемых процессов находятся в разумном согласии с последними экспериментальными данными, представленными в [12] и [11]. Таблица 1.Наши расчеты, основанные на сильных распадах подобного чармонию состояния $Y(4230)$ на две и три частицы, в сравнении с последними данными.
3. Доминирующие радиационные переходы чармонияСуществует несколько низколежащих возбужденных состояний $c{\bar c}$ относительно небольшой ширины, распадающихся при сильных и слабых взаимодействиях, но типичной доминирующей модой является однофотонный радиационный переход в основное состояние чармония. Недавние исследования на адронных коллайдерах показали, что коэффициенты ветвления радиационных переходов триплета $\chi_{\{c0,c1,c2\}}\to\gamma J/\psi$ относительно велики [26]. Для изучения свойств состояний чармония как квазичастицы были разработаны различные феноменологические модели и эффективные теории (см., например, работы [27], [14], [28]). Несмотря на изощренность теоретических подходов, имеются существенные расхождения между экспериментальными измерениями и предсказаниями различных моделей (см., например, [15], [14], [29], [30]). Приведем оценки относительных ширин распада доминирующих радиационных переходов для $J/\psi$, $\eta_h$ и триплета $\chi_{\{c0,c1,c2\}}$ в рамках CCQM:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, T_{X_1\to\gamma X_2}^{\Gamma_1,\Gamma_2,\sigma}= N_{\mathrm c}\int&\frac{d^{\kern0.5pt 4}k}{i(2\pi)^4}\,\widetilde{\Phi}_{X_1}(-k^2) \widetilde\Phi_{X_2}\biggl(-\biggl(k+\frac{q_2}{2}\biggr)^{\!2\,}\biggr)\times{} \notag\\ &\times \operatorname{Tr} \biggl[\Gamma_2^{}S\biggl(\hat k+\frac{\hat p}{2}\biggr) \Gamma_1^{}\widetilde S\biggl(\hat k-\frac{\hat p}{2}\biggr)\gamma^\sigma_\perp \widetilde S\biggl(\hat k-\frac{\hat p}{2}+\hat q_2\biggr)\biggr], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{27}
$$
где $N_{\mathrm c}=3$, $p$, $q_1$, $q_2$ – внешние импульсы состояний чармония $X_1$, $X_2$ и фотона $\gamma$ соответственно,
$$
\begin{equation*}
\Gamma_1=\biggl\{\gamma^\mu, I,\gamma^\mu\gamma_5,\stackrel{\leftrightarrow}{\partial}_{\nu}\gamma^5, \frac{i(\gamma^\mu\stackrel{\leftrightarrow}{\partial}_{\nu}+\gamma^\nu\stackrel{\leftrightarrow}{\partial}_\mu)}{2}\biggr\} \quad\text{и}\quad \Gamma_2=\{i\gamma^5,\gamma^\mu\}
\end{equation*}
\notag
$$
суть наборы матриц Дирака для соответственно входных и выходных состояний чармония $\{J/\psi,\chi_{c0},\chi_{c1},h_c,\chi_{c2}\}$ и $\{\eta_c,J/\psi\}$. 3.1. Переход $J/\psi({}^3S_1)\to\gamma\eta_c({}^1S_0)$Это типичный электромагнитный М1-переход, и его калибровочно-инвариантная амплитуда имеет вид
$$
\begin{equation}
T^{\text{inv};\rho\sigma}_{J/\psi\to\gamma\eta_c}=\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}q_1^\mu q_2^\nu C(p^2,q_1^2,q_2^2),
\end{equation}
\tag{28}
$$
где формфактор $C(p^2,q_1^2,q_2^2)$ задан в (27). Соответствующая ширина однофотонного радиационного распада в рамках CCQM записывается как
$$
\begin{equation}
\Gamma(J/\psi\to\gamma\eta_c)= \frac{\alpha g_{J/\psi}^2\,g_{\eta_c}^2}{24}M_{J/\psi}^3\biggl(1-\frac{M_{\eta_c}^2}{M_{J/\psi}^2}\biggr)^{\!\!3}\cdot [C(M^2_{J/\psi},M^2_{\eta_c},0)]^2.
\end{equation}
\tag{29}
$$
Здесь и далее ренормированные константы связи ($g_{J/\psi}$, $g_{\eta_c}$ и т. д.), присутствующие в состояниях чармония, определяются в строгом соответствии с условием (6). 3.2. Переход $\chi_{c0}({}^3P_0)\to\gamma J/\psi({}^3S_1)$В этом случае орбитально-возбужденный скалярный чармоний $\chi_{c0}({}^3P_0)$ распадается, порождая векторное основное состояние и излучая фотон, а соответствующая калибровочно-инвариантная амплитуда перехода принимает вид
$$
\begin{equation}
T^{\text{inv};\rho\sigma}_{\chi_{c0}\to\gamma J/\psi}= \bigl(q_1^\sigma q_2^\rho-g_{\rho\sigma}(q_1 q_2)\bigr)\cdot d(p^2,q_1^2,q_2^2).
\end{equation}
\tag{30}
$$
Парциальная ширина распада рассчитывается с использованием следующего выражения:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \Gamma(\chi_{c0}\to\gamma J/\psi)&= \frac{\alpha g_{\chi_{c0}}^2g_{J/\psi}^2}{24}M_{\chi_{c0}}^3\biggl(1-\frac{M_{J/\psi}^2}{M_{\chi_{c0}}^2}\biggr)^{\!\!3}\cdot [d(M^2_{\chi_{c0}},M^2_{J/\psi},0)]^2. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{31}
$$
3.3. Переход $\chi_{c1}({}^3P_1)\to\gamma J/\psi({}^3S_1)$Амплитуда перехода параметризуется четырьмя, казалось бы, независимыми лоренцевыми формфакторами как
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, T^{\text{inv};\mu\rho\sigma}_{\chi_{c1}\to\gamma J/\psi}&= \epsilon^{q_2\mu\sigma\rho}(q_1q_2)W_1+\epsilon^{q_1q_2\sigma\rho}q_1^\mu W_2+{} \notag\\ &\quad +\epsilon^{q_1q_2\mu\rho}q_2^\sigma W_3+\bigl(\epsilon^{q_1q_2\mu\sigma}q_1^\rho-\epsilon^{q_1\mu\sigma\rho}(q_1q_2)\bigr)W_4. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{32}
$$
Парциальная ширина распада рассчитывается по формуле
$$
\begin{equation}
\Gamma(\chi_{c1}\to\gamma J/\Psi)= \frac{\alpha g_{\chi_{c1}}^2g_{J/\psi}^2}{12\pi}\frac{|\vec q_2|}{M_{\chi_{c1}}^2}(|H_L|^2+|H_{T}|^2).
\end{equation}
\tag{33}
$$
Здесь введены две независимые амплитуды спиральности
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, H_L&=i\frac{M_{\chi_{c1}}^2}{M_{J/\psi}}|\vec q_2|^2 \biggl[W_1+W_3-\frac{M^2_{J/\psi}}{M_{\chi_{c1}}|\vec q_2|}W_4\biggr], \\ H_T&=-iM_{\chi_{c1}}|\vec q_2|^2\biggl[W_1+W_2{}-{}\biggr(1+\frac{M^2_{J/\psi}}{M_{\chi_{c1}}|\vec q_2|}\biggr)W_4\biggr], \end{aligned}
\end{equation}
\tag{34}
$$
где
$$
\begin{equation*}
|\vec q_2|=\frac{M_{\chi_{c1}}^2-M^2_{J/\psi}}{2M_{\chi_{c1}}}.
\end{equation*}
\notag
$$
3.4. Переход $h_c({}^1P_1)\to\gamma\eta_c({}^1S_0)$Последние экспериментальные данные о полной ширине распада орбитально-возбужденного состояния чармония $h_c(3525)$ содержат большую неопределенность: $\Gamma_{\text{tot}}(h_c)=0.7\pm 0.4$ МэВ [12]. Положив $\Gamma_1=k^\mu\gamma^5$ и $\Gamma_2=\gamma^\rho$, запишем калибровочно-инвариантную амплитуду перехода как
$$
\begin{equation}
T^{\text{inv};\rho\sigma}_{h_c\to\gamma\eta_c}=\bigl(q_2^\rho q_1^\sigma-g^{\rho\sigma}(q_1 q_2)\bigr)\cdot h(p^2,q_1^2,q_2^2).
\end{equation}
\tag{35}
$$
Парциальная ширина однофотонного радиационного распада имеет вид
$$
\begin{equation}
\Gamma(h_c\to\gamma\eta_c)= \frac{\alpha g_{h_c}^2g_{\eta_c}^2}{24(1+2s)}M_{h_c}^3 \biggl(1-\frac{M_{\eta_c}^2}{M_{h_c}^2}\biggr)^{\!3}\cdot|h(M_{h_c}^2,M_{\eta_c}^2,0)|^2,
\end{equation}
\tag{36}
$$
где спин $s=1$. 3.5. Переход $\chi_{c2}({}^3P_{2})\to\gamma J/\psi({}^3S_1)$При $\Gamma_1=(\gamma^\mu k^\nu+\gamma^\nu k^\mu)/2$ и $\Gamma_2=\gamma^\rho$ получаем калибровочно-инвариантную амплитуду перехода
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, T^{\text{inv};\mu\nu\rho\sigma}_{\chi_{c2}\to\gamma J/\psi}&=A\bigl(g^{\mu\rho} [g^{\sigma\nu}(q_1^{}q_2^{})-q_1^\sigma q_2^\nu]+g^{\nu\rho}[g^{\sigma\mu}(q_1^{}q_2^{})-q_1^\sigma q_2^\mu]\bigr)+{} \notag\\ &\quad +B\bigl(g^{\sigma\rho}[q_1^\mu q_2^\nu+q_1^\nu q_2^\mu]- g^{\mu\sigma}q_1^\nu q_2^\rho-g^{\nu\sigma} q_1^\mu q_2^\rho\bigr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{37}
$$
Парциальная ширина распада $\chi_{c2}$ задается как
$$
\begin{equation}
\Gamma(\chi_{c2}\to\gamma J/\psi)=\frac{\alpha g_{\chi_{c2}}^2g_{J/\psi}^2}{4(1+2s)}M_{\chi_{c2}}^3 \biggl(1-\frac{M_{J/\psi}^2}{M_{\chi_{c2}}^2}\biggr)\cdot(C_AA^2+C_{AB}AB+C_BB^2),
\end{equation}
\tag{38}
$$
где $s=2$ и параметры $C_A=0.7584$, $C_{AB}=-0.02576$, $C_B=0.00226$ представляют собой значения полиномов от отношения масс $M_{J/\psi}^2/M_{\chi_{c2}}^2$. 3.6. Численные результаты и обсуждениеМы модифицировали CCQM, заменив шесть свободных параметров размера $\Lambda_{\eta_c}$, $\Lambda_{J/\psi}$, $\Lambda_{\chi_{c0}}$, $\Lambda_{\chi_{c1}}$, $\Lambda_{h_c}$, $\Lambda_{\chi_{c2}}$ одним общим настроечным параметром $\varrho>0$ по формуле [21]
$$
\begin{equation}
\widetilde\Phi_X(-p^2)=e^{p^2/(\varrho^2 M_X^2)},\qquad \varrho\equiv\frac{\Lambda_X}{M_X}=\text{const}.
\end{equation}
\tag{39}
$$
При расчетах мы сохранили значения (11) основных параметров модели. Затем мы провели подбор параметров, используя последние данные о доминирующих радиационных распадах триплета $\chi_{c0}$, $\chi_{c1}$ и $\chi_{c2}$ и зафиксировали параметры модели следующим образом [21]: Наши результаты в сравнении с последними экспериментальными данными [12] и некоторыми теоретическими предсказаниями, представленными в [27], [28], [31], приведены в табл. 2. Таблица 2.Наши теоретические предсказания парциальных ширин (в кэВ) доминирующего радиационного распада состояний чармония ниже порога распада $D \kern1.6pt\overline{\vphantom{D}\kern6.8pt}\kern-8.6pt D\kern0.4pt $ в сравнении с последними экспериментальными и теоретическими данными.
Подведем итог. Мы исследовали радиационные переходы основного и орбитально-возбужденного состояний чармония в рамках модифицированной CCQM. При этом мы ввели один общий настроечный параметр $\varrho>0$ вместо использовавшихся ранее шести независимых параметров. Мы рассчитали перенормированные константы связи и парциальные ширины распада для состояний чармония $J/\psi({}^3S_1)$, $\chi_{c0}({}^3P_0)$, $\chi_{c1}({} ^3P_1)$, $h_c({}^1P_1)$ и $\chi_{c2}({}^3P_{2})$. Наши результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными. Мы также рассчитали теоретическую “полную ширину распада” $\Gamma^{\kern1pt\text{theor}}_{h_c}\simeq(0.57\pm 0.12)$ МэВ, которая лежит в более узком диапазоне, чем экспериментальное значение [12]. Конфликт интересовАвтор заявляет, что у него нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Gan23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|