| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Сильноинтенсивная переменная в модели высокоэнергетических pp-взаимодействий с образованием струнных кластеров В. В. Вечернин, С. Н. Белокурова Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923090052 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеИзвестно, что изучение флуктуаций и корреляций различных наблюдаемых в процессах множественного рождения частиц при высоких энергиях дает информацию о начальном этапе взаимодействия адронов, отвечающем наибольшей плотности образующейся кварк-глюонной материи [1]. Это позволяет получить уникальные данные о новых объектах, которые образуются на этом этапе, в том числе о кварк-глюонных струнах и струнных кластерах. Поскольку данные физические явления относятся в основном к так называемой мягкой области сильного взаимодействия с малыми передачами импульса, в которой невозможно провести расчеты по теории возмущения КХД, то обоснованным является использование модели кварк-глюонных (цветных) струн [2], [3]. В этом подходе используется имеющее качественное обоснование в рамках КХД представление о струнах как о трубках цветового потока (см. более подробно [4]–[8]). Дальнейшие исследования показали необходимость учета процессов взаимодействия и слияния струн [9]–[11]. Эти процессы были включены в генератор событий DIPSY в виде формирования так называемых “цветных веревок”, приводящих к увеличенному выходу странных частиц [12]. В статье [13], посвященной экспериментальным исследованиям выхода мультистранных адронов в pp-взаимодействиях как функции центральности столкновения, при сравнении этих результатов с предсказаниями различных теоретических моделей коллаборация ALICE делает вывод, что модель DIPSY с учетом процессов образования “цветных веревок” описывает данные лучше, чем другие генераторы событий. Аналогичные результаты [14] были получены и в рамках мультипомеронной модели, в которой эффективным образом также учтен вклад процессов слияния струн [15], [16]. Чтобы извлечь информацию о процессах слияния струн и образовании струнных кластеров из анализа флуктуаций и корреляций между различными наблюдаемыми, необходимо уметь отделить в экспериментальных данных тривиальный затеняющий вклад так называемых “объемных” флуктуаций, возникающих из-за флуктуаций объема области взаимодействия (например, числа образующихся струн) от события к событию, в частности по причине принципиально неустранимых флуктуаций прицельного параметра в реальном эксперименте. Поэтому особое значение имеет изучение флуктуаций и корреляций с использованием интенсивных и сильноинтенсивных наблюдаемых, которые позволяют минимизировать вклад “объемных” флуктуаций и дают возможность получить информацию о свойствах объектов, образующихся на начальной стадии сильного взаимодействия. В настоящей работе мы используем для этой цели так называемую сильноинтенсивную переменную $\Sigma$, введенную в работах [17], [18]. Мы рассчитываем поведение этой переменной в рамках модели pp-взаимодействия со слиянием струн и образованием струнных кластеров для различных начальных энергий. Сравнение полученных теоретических зависимостей для переменной $\Sigma$ с предварительными экспериментальными данными [19] коллаборации ALICE на Большом адронном коллайдере (БАК) при трех начальных энергиях рр-столкновений позволяет сделать однозначный вывод о наличии эффектов слияния струн и образования струнных кластеров при энергиях БАК уже в рр-взаимодействиях. При этом, как и ожидалось, вклад струнных кластеров в переменную $\Sigma$ растет с ростом начальной энергии. Сравнение с экспериментальными данными позволяет также фиксировать параметры, характеризующие кластеры с различным числом слившихся струн. 2. Сильноинтенсивные переменныеВ статистической физике используемые величины обычно делят на интенсивные и экстенсивные. К первым относятся давление, температура и тому подобные величины, значение которых остается неизменным при выделении из рассматриваемой системы какой-то ее части. Ко вторым относят объем, энтропию и другие величины, значение которых равно сумме их значений для отдельных частей системы. При перенесении этих понятий на физику высоких энергий, например на случай ядро-ядерных столкновений, объем образующейся системы считается пропорциональным суммарному числу нуклонов в сталкивающихся ядрах, принявших участие в процессе взаимодействия. Ясно, что в этом случае объем зависит от прицельного параметра, при котором происходит столкновение ядер. В более общем случае взаимодействия адронов высоких энергий считается, что объем образующейся системы пропорционален числу $N$ кварк-глюонных струн, формирующихся на начальном этапе взаимодействия. С этой точки зрения число частиц $n$ с импульсом, принадлежащим некоторой заданной области (в заданном аксептансе), представляет собой пример экстенсивной величины, так как ее значение пропорционально объему образующейся системы. В каждом столкновении адронов значение $n$ равно сумме вкладов, $n=n_1+\cdots+n_N$, от каждой из $N$ образующихся струн. Очевидно, что величина $n$ флуктуирует от события к событию вместе с величиной объема образующейся системы (числом образующихся первичных струн), в том числе из-за неизбежных флуктуаций прицельного параметра. Однако, как отмечалось в разделе 1, для нахождения вклада физически интересных флуктуаций и корреляций, несущих информацию о фундаментальных свойствах образующейся в результате взаимодействия адронов материи, необходимо уметь выделять их вклад на фоне тривиального вклада, возникающего из-за флуктуаций объема образующейся системы. Для этого в физике высоких энергий, наряду с экстенсивными и интенсивными величинами, вводится понятие сильноинтенсивных переменных, под которыми понимаются такие наблюдаемые величины, значение которых не зависит не только от объема образующейся системы, но и от флуктуаций этого объема от события к событию. Общие методы построения таких наблюдаемых исследовались в работе [17], где, в частности, было показано, что в рамках определенного класса статистических моделей, рассмотренных в работе, величина
$$
\begin{equation}
\Sigma(A,B)\equiv\frac{\langle A\rangle \omega_B+\langle B\rangle \omega_A-2 \operatorname{cov}(A,B)}{\langle A\rangle +\langle B\rangle },
\end{equation}
\tag{1}
$$
составленная из любых двух экстенсивных величин $A$ и $B$, является сильноинтенсивной переменной. В этой формуле $\langle A\rangle $ и $\langle B\rangle $ – средние значения величин $A$ и $B$, а $\omega_A$ и $\omega_B$ – их приведенные дисперсии:
$$
\begin{equation}
\omega_A\equiv\frac{D_ A}{\langle A\rangle}=\frac{\langle {A^2}\rangle-\langle {A}\rangle^2}{\langle A\rangle}, \qquad \omega_B\equiv\frac{D_ B}{\langle B\rangle}=\frac{\langle {B^2}\rangle-\langle {B}\rangle^2}{\langle B\rangle}.
\end{equation}
\tag{2}
$$
В формулу (1) входит также коррелятор этих переменных:
$$
\begin{equation}
\operatorname{cov}(A,B)=\langle {AB}\rangle-\langle {A}\rangle\langle {B}\rangle.
\end{equation}
\tag{3}
$$
Позднее в работе [18] было предложено при построении переменной $\Sigma$ по формуле (1) использовать в качестве этих экстенсивных переменных $A$ и $B$ значения числа частиц $n_{\mathrm F}$ и $n_{\mathrm B}$, регистрируемых в данном событии в двух интервалах импульсов этих частиц, в так называемых окнах наблюдения. Часто эти окна наблюдения обозначаются как переднее (forward) и заднее (backward), так как в первых экспериментах им соответствовали частицы, вылетающие соответственно в переднюю и заднюю полусферы реакции в системе центра масс. При рассмотрении процессов множественного рождения частиц при высоких энергиях удобно перейти от продольных, направленных вдоль оси столкновения, компонент $p_z$ импульсов частиц к быстротам этих частиц:
$$
\begin{equation}
y=\frac{1}{2}\ln \frac{p_+}{p_-}=\frac{1}{2}\ln \frac{p_0+p_z}{p_0-p_z} ,
\end{equation}
\tag{4}
$$
где $p_0=\sqrt{p^2_z+\mathbf{p}^2_\perp}$. В нашем рассмотрении мы считаем, что частица попадает в передний интервал наблюдения, если ее быстрота принадлежит заданному интервалу: $y \in (y_\mathrm{F},y_\mathrm{F}+\delta y_\mathrm{F})$, поперечный импульс $\mathbf{p}_\perp$ при этом может быть произвольным, и аналогично для заднего окна наблюдения. Соответственно $\delta y_\mathrm{F}$ и $\delta y_\mathrm{B}$ – ширины этих окон наблюдения по быстроте. В дальнейшем мы ограничимся случаем симметричных реакций, к которым, в частности, относится изучаемое pp-взаимодействие, и одинаковых, $\delta y_\mathrm{F}=\delta y_\mathrm{B}\equiv\delta y$, симметрично расположенных относительно $y=0$ быстротных интервалов наблюдения. В этом случае
$$
\begin{equation}
\langle n_{\mathrm F}\rangle=\langle n_{\mathrm B}\rangle\equiv \langle n \rangle, \qquad D_{n_{\mathrm F}}=D_{n_{\mathrm B}}\equiv D_n , \qquad \omega_{n_{\mathrm F}}=\omega_{n_{\mathrm B}}\equiv \omega_n ,
\end{equation}
\tag{5}
$$
и выражение (1) для этого частного случая принимает вид
$$
\begin{equation}
\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})= \frac{D_n-\operatorname{cov}(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})}{\langle n\rangle}= \frac{\langle{n^2}\rangle-\langle{n_{\mathrm F}n_{\mathrm B}}\rangle}{\langle n\rangle}.
\end{equation}
\tag{6}
$$
3. Связь наблюдаемой $\Sigma({n}_{\mathrm F},{n}_{\mathrm B})$ со свойствами струнных кластеровВ работе [26] мы получили выражение для переменной $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$ в рамках модели, учитывающей процессы слияния струн и образование струнных кластеров. В этой работе для учета эффектов от слияния струн мы использовали решетку в плоскости прицельного параметра (см. более подробное обсуждение этого метода ниже в разделе 5). Было показано, что в этом случае
$$
\begin{equation}
\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B}) = \sum_{ k=1}^{\infty} \alpha( k) \Sigma_k (\mu_\mathrm{F}, \mu_\mathrm{B}),
\end{equation}
\tag{7}
$$
где
$$
\begin{equation}
\alpha( k)\equiv \frac{\langle n\rangle_k}{\langle n\rangle}.
\end{equation}
\tag{8}
$$
В этих формулах переменная $\Sigma_k (\mu_\mathrm{F}, \mu_\mathrm{B})$ определена согласно общим выражениям (1) и (6), но для какого-то одного кластера, образованного слиянием $k$ струн. Соответственно, величины $\mu_\mathrm{F}$ и $\mu_\mathrm{B}$ – это числа частиц, которые попадают в переднее и заднее окна наблюдения в данном событии от распада этого кластера. Разумеется, экспериментально их невозможно выделить из общего числа частиц $n_{\mathrm F}$ и $n_{\mathrm B}$, регистрируемых в этих окнах в данном событии. Весовые множители $\alpha(k)$ имеют смысл средней доли частиц, рожденных от всех кластеров, образованных слиянием ровно $k$ струн; $\langle n\rangle_k$ – среднее число частиц, рождающихся от всех таких кластеров. Поэтому выполняется нормировочное условие
$$
\begin{equation}
\sum_{ k=1}^{\infty} \alpha(k) = \frac{1}{\langle n\rangle}\sum_{ k=1}^{\infty} \langle n\rangle_k = 1.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Значению $k=1$ отвечает вклад одиночных струн. Из формул (7) и (8) мы видим, что без учета процессов слияния струн вклад дают только одиночные струны, и мы имеем $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})=\Sigma_1(\mu_{\mathrm F},\mu_{\mathrm B})$. В этом случае подтверждается сильноинтенсивный характер переменной $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$ – ее значение полностью определяется только свойствами одиночной струны и не зависит от числа $N$ образующихся в данном столкновении струн и флуктуаций этого числа от события к событию. В то же время в общем случае с учетом слияния струн и формирования новых типов источников частиц – струнных кластеров – переменная $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$, как мы увидим ниже, оказывается зависящей не только от свойств струнных кластеров, определяющих величины $\Sigma_k (\mu_\mathrm{F}, \mu_\mathrm{B})$, но и от деталей столкновения – его начальной энергии и центральности, через весовые коэффициенты $\alpha(k)$. В работе [20] было найдено следующее выражение для переменных $\Sigma_k (\mu_\mathrm{F}, \mu_\mathrm{B})$, входящих в формулу (7), через величины, характеризующие свойства струнных кластеров, образованных слиянием $k$ струн:
$$
\begin{equation}
\Sigma_k (\mu_\mathrm{F}, \mu_\mathrm{B})=1+\mu^{(k)}_0 \delta y [J^{(k)}-J^{(k)}_\mathrm{FB}],
\end{equation}
\tag{10}
$$
где
$$
\begin{equation}
J^{(k)}= \frac{1}{(\delta y)^2}\int_{\delta y} dy_1 \int_{\delta y} dy_2\, \Lambda^{(k)}(y_1-y_2)
\end{equation}
\tag{11}
$$
и
$$
\begin{equation}
J^{(k)}_\mathrm{FB}= \frac{1}{(\delta y)^2}\int_{\delta y_\mathrm{F}}dy_1 \int_{\delta y_\mathrm{B}} dy_2\, \Lambda^{(k)}(y_1-y_2).
\end{equation}
\tag{12}
$$
В последней формуле при интегрировании переменная $y_1$ принадлежит переднему, а переменная $y_2$ – заднему окну. Здесь мы приводим эти формулы для случая симметричных по быстроте окон наблюдения одинаковой ширины $\delta y_\mathrm{F}=\delta y_\mathrm{B}=\delta y$, выбранных в центральной области быстрот. Мы также предполагаем наличие трансляционной инвариантности по быстроте в этой области. Отметим, что такое приближение хорошо работает при энергиях БАК, когда формирующиеся струны дают вклад в достаточно широкий интервал быстроты. В этом приближении одночастичные распределения $\lambda^{(k)} (y)$ частиц от распада данного кластера, сформированного слиянием $k$ струн, постоянны, а двухчастичные распределения $\lambda^{(k)}_2 (y_1, y_2)$ зависят только от разности быстрот образующихся частиц:
$$
\begin{equation}
\lambda^{(k)} (y)=\mu^{(k)}_0, \qquad \lambda^{(k)}_2 (y_1, y_2)=\lambda^{(k)}_2 (y_1-y_2),
\end{equation}
\tag{13}
$$
где $\mu^{(k)}_0$ – среднее число частиц, рождающихся на единицу быстроты от распада этого струнного кластера. Парная корреляционная функция кластера $\Lambda^{(k)}$ в формуле (10) определена стандартным образом:
$$
\begin{equation}
\Lambda^{(k)} (y_1,y_2)\equiv\frac{\lambda^ {(k)}_2 (y_1, y_2)}{\lambda^{(k)} (y_1)\lambda^{(k)} (y_2)} - 1.
\end{equation}
\tag{14}
$$
При наличии трансляционной инвариантности по быстроте это определение принимает вид
$$
\begin{equation}
\Lambda^{(k)} (y_1-y_2)=\frac{\lambda^ {(k)}_2 (y_1-y_2)}{(\mu^{(k)}_0)^2} - 1.
\end{equation}
\tag{15}
$$
Особенно простой вид формула (10) принимает в случае быстротных окон наблюдения малой ширины, когда $\delta y_\mathrm{F}=\delta y_\mathrm{B}\equiv\delta y \ll y_\mathrm{corr}$, где $y_\mathrm{corr}\simeq 1\div 2$ – характерная длина корреляции в пространстве быстрот. В этом случае формула (10) принимает следующий вид:
$$
\begin{equation}
\Sigma_k (\mu_\mathrm{F}, \mu_\mathrm{B})=1+\mu^{(k)}_0 \delta y [\Lambda^{(k)} (0)-\Lambda^{(k)} (\Delta y)],
\end{equation}
\tag{16}
$$
где $\Delta y$ – расстояние по быстроте между центрами этих малых окон наблюдения $\delta y_\mathrm{F}$ и $\delta y_\mathrm{B}$. Эта упрощенная формула позволяет качественно понять основные черты зависимости переменной $\Sigma_k (\mu_\mathrm{F}, \mu_\mathrm{B})$ для данного кластера из $k$ струн от ширины окон наблюдения $\delta y$ и расстояния по быстроте между ними $\Delta y$. При малом расстоянии между окнами наблюдения, когда $\Delta y \ll y_\mathrm{corr}$, мы видим, что $\Sigma_k (\mu_\mathrm{F}, \mu_\mathrm{B})\to 1$. С ростом $\Delta y$ значение $\Sigma_k (\mu_\mathrm{F}, \mu_\mathrm{B})$ возрастает, выходя на уровень $1+\mu^{(k)}_0 \delta y \Lambda^{(k)}(0)$, так как $\Lambda^{(k)}(\Delta y)\to 0$ при $\Delta y \gg y_\mathrm{corr}$. При этом скорость выхода на этот уровень и его величина пропорциональны ширине окон наблюдения $\delta y$. Это значение $1+\mu^{(k)}_0 \delta y \Lambda^{(k)}(0)$, на которое выходит переменная $\Sigma_k$ (16) для удаленных друг от друга по быстроте окон наблюдения, есть просто приведенная дисперсия $\omega_\mu^{(k)}\equiv D_\mu^{(k)}/\langle \mu\rangle^{(k)}$, $\langle \mu\rangle^{(k)}=\mu^{(k)}_0 \delta y$, числа частиц, попадающих при распаде струнного кластера в быстротный интервал ширины $\delta y$. Действительно, в работах [21], [22] в общем случае источника любого типа было показано, что $\omega_\mu^{(k)}$ дается первым слагаемым в формулах (10) и (16):
$$
\begin{equation}
\omega_\mu^{(k)}=1+\mu^{(k)}_0 \delta y J^{(k)}\approx 1+\mu^{(k)}_0 \delta y \Lambda^{(k)}(0),
\end{equation}
\tag{17}
$$
где $J^{(k)}$ определяется по формуле (11), а последний переход справедлив, когда ширина окна много меньше характерной корреляционной длины по быстроте, $\delta y \ll y_\mathrm{corr}\simeq 1\div2$. Важным физическим следствием формулы (17) является неизбежное отклонение распределения по числу частиц в данном фиксированном интервале быстроты $\delta y$ от распределения Пуассона, для которого $\omega_\mu^{(k)}$ должно быть равно единице, при наличии любых, даже ближних, корреляций между частицами, образующимися в процессе распада данного кластера. Из формулы (17) видно также, что распределение Пуассона по числу частиц от распада кластера в данном интервале быстроты $\delta y$ возможно только для очень узких окон, когда $\delta y \cdot\mu^{(k)}_0 \Lambda^{(k)}(0)\ll 1$. 4. Моделирование распределения струн в поперечной плоскости pp-столкновенияРасчеты величины $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$ для pp-столкновений при энергиях БАК проводились на основе формулы (7). Остановимся сначала на расчете весовых коэффициентов $\alpha(k)$ (8), входящих в эту формулу и определяющих соотношение вкладов кластеров с различным числом слившихся струн. Ясно, что это соотношение зависит от конкретных деталей pp-столкновения, в частности от начальной энергии и от степени его центральности. Расчет весовых коэффициентов $\alpha(k)$ в настоящей работе проводился в два этапа. Сначала проводилось моделирование распределения первичных струн в поперечной плоскости с учетом реальных условий pp-столкновения согласно методике, предложенной в работе [23]. На втором этапе мы моделировали процесс слияния первичных струн и образования струнных кластеров, вводя конечную решетку (грид) в плоскости прицельного параметра (см. раздел 5). Чтобы иметь возможность учесть эти процессы наложения струн и образования струнных кластеров, мы должны уметь на первом этапе моделировать не только общее количество первичных струн, образующихся при данной начальной энергии и заданном прицельном параметре pp-столкновения, но и их распределение в поперечной плоскости. Mы предполагаем, что и в случае столкновения двух протонов при прицельном параметре $b$ плотность распределения струн в точке $\mathbf{s}$ поперечной плоскости пропорциональна произведению профильных функций сталкивающихся протонов:
$$
\begin{equation}
w_\mathrm{str}(\mathbf{s}, \mathbf{b}) \sim \frac{1}{\sigma_\mathrm{pp}(b)} T\biggl(\mathbf{s}-\frac{\mathbf{b}}{2}\biggr)T\biggl(\mathbf{s}+\frac{\mathbf{b}}{2}\biggr),
\end{equation}
\tag{18}
$$
где $T(\mathbf{s})$ – партонная профильная функция нуклона, а $\sigma_\mathrm{pp}(b)$ – вероятность недифракционного pp-взаимодействия (по крайней мере, с одним рассеченным помероном) при заданном значении прицельного параметра $b$. Интеграл
$$
\begin{equation}
\sigma_\mathrm{pp} = \int \sigma_\mathrm{pp}(b)\, d^{2}\mathbf{b}
\end{equation}
\tag{19}
$$
дает полное сечение недифракционного pp-взаимодействия. По аналогии с легкими ядрами для партонной профильной функции протона мы будем использовать простейшее гауссово распределение с параметром $r_0$: Подставляя (20) в (18), мы получаем
$$
\begin{equation}
w_\mathrm{str}(\mathbf{s}, \mathbf{b}) \sim \frac{1}{\sigma_\mathrm{pp}(b)} e^{-(\mathbf{s}+\mathbf{b}/2)^2/ r_0^2} e^{-(\mathbf{s}-\mathbf{b}/2)^2/ r_0^2}=\frac{1}{\sigma_\mathrm{pp}(b)} e^{-2 s^2 / r_0^2} e^{-b^2 / 2 r_0^2} .
\end{equation}
\tag{21}
$$
Видно, что в этом приближении зависимость от переменных $s$ и $b$ факторизуется. Интегрируя (21) по $\mathbf{s}$, мы находим, что для среднего числа струн, образующихся в pp-столкновении на прицельном параметре $b$, справедливо следующее соотношение:
$$
\begin{equation}
\langle N_\mathrm{str}(b) \rangle \sim \frac{e^{-b^2 / 2 r_0^2}}{\sigma_\mathrm{pp}(b)}.
\end{equation}
\tag{22}
$$
Поскольку один рассеченный померон приводит к формированию двух кварк-глюонных струн, то $N_\mathrm{str}=2N$, где $N$ – число рассеченных померонов в данном событии. Поэтому в силу (22) мы также имеем
$$
\begin{equation}
\langle N(b) \rangle \sim \frac{e^{-b^2 / 2 r_0^2}}{\sigma_\mathrm{pp}(b)}.
\end{equation}
\tag{23}
$$
Эта формула дает зависимость среднего числа рассеченных померонов от прицельного параметра для недифракционных pp-столкновений. Для расчета величины флуктуаций и корреляций различных наблюдаемых требуется знание не только среднего значения числа рассеченных померонов в pp-столкновениях при заданном значении прицельного параметра $b$, но и распределения числа померонов от события к событию вокруг этого среднего значения. Мы будем предполагать, что при заданном прицельном параметре $b$ это распределение $\widetilde{P}(N,b)$, которое при $N\geqslant 1$ дается формулой является простой модификацией распределения Пуассона:
$$
\begin{equation}
P(N,b) =\frac{1}{N!} e^{- \overline{N} (b)} { \overline{N} (b)^{N}}
\end{equation}
\tag{25}
$$
с некоторым параметром $ \overline{N} (b)$. Отличие нашего распределения $\widetilde{P}(N,b)$ (24) от пуассоновского (25) состоит только в исключении из него значения $N=0$: $\widetilde{P}(0,b)=0$, что соответствует исключению дифракционного рассеяния, которому соответствует $N=0$. Ясно, что при $N\geqslant 1$ это сводится лишь к введению в (24) дополнительного общего множителя, обеспечивающего правильную нормировку: $\sum_{N=1}\widetilde{P}(N,b) =1$. Расчет среднего числа померонов при заданном $b$ с распределением (24) дает
$$
\begin{equation}
\langle N(b) \rangle = \frac{ \overline{N} (b)}{1 - P(0,b)}.
\end{equation}
\tag{26}
$$
Учитывая, что вероятность $\sigma_\mathrm{pp}(b)$ недифракционного pp-взаимодействия при заданном фиксированном прицельном параметре $b$ равна вероятности иметь ненулевое число рассеченных померонов, мы имеем
$$
\begin{equation}
\sigma_\mathrm{pp}(b)=1 - P(0,b)=1 - e^{- \overline{N} (b)}.
\end{equation}
\tag{27}
$$
Сравнивая с учетом этого формулы (23) и (26), приходим к выводу, что $ \overline{N} (b) \sim e^{-b^2 / 2 r_0^2}$, или, вводя параметр $N_0$, имеем Тогда, с учетом формул (25) и (26) среднее число рассеченных померонов при прицельном параметре $b$ определяется выражением
$$
\begin{equation}
\langle N(b) \rangle = \frac{ \overline{N} (b)}{1 -e^{- \overline{N} (b)}},
\end{equation}
\tag{29}
$$
где $ \overline{N} (b)$ дается формулой (28). Чтобы получить результат для pp-столкновений без отбора по центральности, необходимо выполнить интегрирование по $b$. Для этого удобно в плоскости прицельного параметра ввести плотность вероятности недифракционного pp-взаимодействия (см. (19)), нормированную на единицу:
$$
\begin{equation}
f(b) = \frac{\sigma_\mathrm{pp}(b)}{\sigma_\mathrm{pp}}, \qquad \int f(b)\, d^{2}\mathbf{b} =1.
\end{equation}
\tag{30}
$$
Тогда, используя (30), можно найти среднее число померонов в недифракционном pp-взаимодействии, усредненное по прицельному параметру:
$$
\begin{equation}
\langle N\rangle = \int \langle N(b) \rangle f(b)\, d^{2}\mathbf{b} = \int \frac{ \overline{N} (b)}{\sigma_\mathrm{pp}}\, d^{2}\mathbf{b} = \frac{2\pi r_0^2 N_0}{\sigma_\mathrm{pp}},
\end{equation}
\tag{31}
$$
а также соответствующую дисперсию $D_N \equiv \langle N^2 \rangle - \langle N \rangle^2$, где
$$
\begin{equation}
\langle N^2 \rangle = \int \langle N^2(b) \rangle f(b)\, d^{2}\mathbf{b} = \frac{\pi r_0^2 N_0 (N_0+2)}{\sigma_\mathrm{pp}} = \langle N\rangle \biggl(1+\frac{N_0}{2}\biggr).
\end{equation}
\tag{32}
$$
Здесь мы использовали формулу (28). Используя эту формулу, мы можем также вычислить в нашей модели полное сечение недифракционного pp-взаимодействия:
$$
\begin{equation}
\sigma_\mathrm{pp} = \int \sigma_\mathrm{pp}(b)\,d^2 \mathbf{b}= \int [1 - e^{- \overline{N} (b)}]\,d^2 \mathbf{b}= 2\pi r_0^{2} \Phi_1(N_0),
\end{equation}
\tag{33}
$$
где
$$
\begin{equation}
\Phi_m(z)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}z^k}{k!k^m}, \qquad \Phi_1(z)=\int_0^z(1-e^{-t})\,\frac{dt}{t}.
\end{equation}
\tag{34}
$$
После этого формула (31) принимает окончательный вид: т. е. параметр $N_0$ однозначно определяет среднее число рассеченных померонов. Для приведенной дисперсии числа рассеченных померонов $\omega_N$ согласно (32) и (35) это дает
$$
\begin{equation}
\omega_{N}\equiv \frac{D_N}{\langle N\rangle} = 1+\frac{N_0}{2} - \langle N\rangle = 1+\frac{N_0}{2} - \frac{ N_0}{\Phi_1(N_0)}.
\end{equation}
\tag{36}
$$
То есть параметр $N_0$, введенный в формуле (28) как коэффициент пропорциональности, однозначно определяет среднее число рассеченных померонов и дисперсию этого числа от события к событию. При этом зависимость от начальной энергии также входит только через этот параметр. В рамках данной простой модели удается явно вычислить и саму вероятность $p_N$ иметь $N$ рассеченых померонов в недифракционном pp-столкновении, усредняя $\widetilde{P}(N,b)$ (24) по $b$ при фиксированном $N$:
$$
\begin{equation}
p_N= \int \widetilde{P}(N,b) f(b)\, d^{2}\mathbf{b} = \frac{1}{\sigma_\mathrm{pp}} \int P(N,b)\, d^{2}\mathbf{b},
\end{equation}
\tag{37}
$$
где мы приняли во внимание соотношение (27). Используя теперь (25), мы находим
$$
\begin{equation}
p_N = \frac{1}{\sigma_\mathrm{pp} N!} \int e^{- \overline{N} (b)} ( \overline{N} (b))^N \, d^{2}\mathbf{b} = \frac{2\pi}{\sigma_\mathrm{pp} N!} \int_0^\infty e^{- \overline{N} (b)} ( \overline{N} (b))^N b\,db.
\end{equation}
\tag{38}
$$
Учитывая (28), мы можем использовать $ \overline{N} $ в качестве новой переменной интегрирования в формуле (38):
$$
\begin{equation}
\overline{N} = \overline{N} (b)=N_0 e^{-b^2 / 2 r_0^2}, \qquad d \overline{N} =-\frac{ \overline{N} }{r_0^2} b\,db.
\end{equation}
\tag{39}
$$
Теперь формула (38) принимает следующий вид:
$$
\begin{equation}
p_N =\frac{2\pi r_0^2}{\sigma_\mathrm{pp} N!} \int_0^{N_0} e^{- \overline{N} } \overline{N} ^{N-1} \, d \overline{N} .
\end{equation}
\tag{40}
$$
Мы видим, что получившийся интеграл есть разность гамма-функции и неполной гамма-функции:
$$
\begin{equation}
\int_0^{N_0} e^{-z} z^{N-1} \, dz=\int_0^{\infty} e^{-z} z^{N-1} \, dz -\int_{N_0}^\infty e^{-z} z^{N-1} \, dz =\Gamma(N)-\Gamma(N,N_0).
\end{equation}
\tag{41}
$$
При целых $N$ это дает
$$
\begin{equation}
\Gamma(N)=(N-1)!, \qquad \Gamma(N,N_0) =(N-1)!\, e^{-N_0} \sum_{l=0}^{N-1} \frac{N_0^l}{l!}.
\end{equation}
\tag{42}
$$
В результате мы получаем, что $p_N={\sigma_N}/{\sigma_\mathrm{pp}}$, где
$$
\begin{equation}
\sigma_N\equiv \frac{2\pi r_0^2}{N}\biggl[1- e^{-N_0} \sum_{l=0}^{N-1} \frac{N_0^l}{l!} \biggr].
\end{equation}
\tag{43}
$$
Прямым суммированием легко убедиться, что
$$
\begin{equation}
\sum_{N=1}^{\infty} \sigma_N = 2\pi r_0^{2}\Phi_1(N_0)=\sigma_\mathrm{pp},
\end{equation}
\tag{44}
$$
где мы использовали формулы (33) и (34). Напомним, что величина $\sigma_\mathrm{pp}$, определенная согласно (19), – это сечение недифракционного pp-взаимодействия, поэтому $\sigma_N$ имеет смысл вклада в это сечение, возникающего от процесса с $N$ рассечеными померонами. Формула (43), полученная в рамках изложенного в этом разделе подхода, совпадает с хорошо известными результатами для $\sigma_N$, полученными в рамках квазиэйконального реджевского подхода [24], [25]:
$$
\begin{equation}
\sigma_N = \frac{4\pi\lambda}{CN} \biggl[1- e^{-z} \sum_{k=0}^{N-1} \frac{z^k}{k!} \biggr],
\end{equation}
\tag{45}
$$
где
$$
\begin{equation}
z=\frac{2\gamma C}{\lambda} e^{\Delta\xi}, \qquad \lambda=R^2+\alpha'\xi, \qquad \xi=\ln \frac{s}{s_0}.
\end{equation}
\tag{46}
$$
Здесь $s_0 \simeq 1$ ГэВ$^2$, а $1+\Delta$ и $\alpha'$ – интерсепт и наклон померонной траектории. Параметры $\gamma$ и $R$ описывают вершину присоединения померона к рассеивающимся адронам. Квазиэйкональный параметр $C$ эффективно учитывает вклад в эту вершину дифракционных процессов. Совпадение формул (43) и (45) позволяет фиксировать параметры $N_0$ и $ r_0$, используемые в нашем подходе, поскольку они однозначно выражаются через известные реджевские параметры:
$$
\begin{equation}
N_0=z=\frac{2\gamma C}{\lambda} e^{\Delta\xi}, \qquad r_0=\sqrt{\frac{2\lambda}{C}}, \qquad \lambda=R^2+\alpha'\xi.
\end{equation}
\tag{47}
$$
В наших расчетах при моделировании распределения струн в плоскости прицельного параметра мы использовали следующие значения этих параметров:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \Delta= 0.2,\qquad \alpha'=0.05\,\, \text{ГэВ}^{-2}, \\ \gamma_\mathrm{pp}=1.035\,\, \text{ГэВ}^{-2},\qquad R_\mathrm{pp}^2=3.3\,\, \text{ГэВ}^{-2},\qquad C=1.5, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{48}
$$
которые позволяют описать поведение недифракционного сечения pp-рассеяния при энергиях БАК [26], [27].
5. Формирование струнных кластеровДля эффективного описания процессов слияния струн и образования струнных кластеров [9]–[11] в поперечной к оси столкновения плоскости мы вводили конечную решетку (сетку) с площадью ячейки порядка поперечного сечения струны. Этот метод был предложен в работе [28] и затем успешно использовался при дальнейших исследованиях этого явления в работах [29]–[31]. В этом подходе предполагается, что происходит слияние в единый струнный кластер всех струн с центрами, попадающими в одну ячейку сетки. При этом в соответствии с моделью слияния струн [32] предполагается следующая зависимость средней множественности заряженных частиц, образующихся от распада кластера, образованного слиянием $k$ струн, в быстротном интервале $\delta y$:
$$
\begin{equation}
\langle \mu \rangle_k=\mu^{(k)}_0 \delta y=\mu_0 \sqrt{k}\, \delta y,
\end{equation}
\tag{49}
$$
где $\mu^{(k)}_0$ и $\mu^{(1)}_0\equiv \mu_0$ – соответствующие множественности на единицу быстроты от распада кластера и одиночной струны. Для расчета весовых коэффициентов $\alpha(k)$ (8), входящих в формулу (7), необходимо знать среднее число $\langle n\rangle_k$ частиц, рождающихся от всех кластеров, образованных слиянием ровно $k$ струн. С учетом (49) его можно представить следующим образом:
$$
\begin{equation}
\langle n\rangle_k = \langle m_k\rangle \mu_0^{(k)} \delta y = \langle m_k\rangle \sqrt{k}\,\mu_0 \delta y,
\end{equation}
\tag{50}
$$
где $\langle m_k\rangle$ – среднее число кластеров из $k$ струн, образующихся в pp-взаимодействии при заданной энергии и центральности столкновения. Подставляя (50) в (8), находим для весовых коэффициентов
$$
\begin{equation}
\alpha({k})= \frac{\langle m_k\rangle \sqrt{{k}}}{\sum_{k=1}^{\infty} \langle m_k\rangle \sqrt{k}}.
\end{equation}
\tag{51}
$$
Из формулы (51) мы видим, что для расчета весовых коэффициентов $\alpha(k)$, входящих в формулу (7), необходимо знать только среднее число $\langle m_k\rangle$ кластеров из $k$ струн, образующихся в pp-взаимодействии при заданной энергии и центральности столкновения. К сожалению, эту часть вычислений пока не удается выполнить аналитически. Поэтому мы осуществили моделирование распределения струн в поперечной плоскости методом Монте-Карло (MK) в соответствии с алгоритмами, представленными в разделе 3. Мы также использовали аналитические результаты раздела 3 для контроля разработанных МК-кодов. После генерации каждой струнной конфигурации, зная расположение всех центров первичных струн на сетке, мы подсчитали количество кластеров $m_k$, образованных слиянием $k$ струн. Усредняя по конфигурациям, мы нашли $\langle m_k\rangle$, а затем по формуле (51) нашли весовой коэффициент $\alpha(k)$, входящий в формулу (7). Для расчета сильноинтенсивных переменных $\Sigma_k (\mu_\mathrm{F}, \mu_\mathrm{B})$ кластеров, образованных слиянием $k$ струн, также входящих в формулу (7) для $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$, мы использовали их выражения (10)–(12) через соответствующие корреляционные функции $\Lambda^{(k)}(\Delta y)$. Ранее в работе [22] из анализа разультатов коллаборации ALICE [33] по величине корреляций вперед-назад в pp-столкновениях на БАК [21] было показано, что для корреляционной функции одиночной струны $\Lambda^{(1)}(\Delta y)$ с хорошей точностью можно использовать простое экспоненциальное приближение, которое мы будем использовать и для струнных кластеров:
$$
\begin{equation}
\Lambda^{(k)}(\Delta y)=\Lambda_0^{(k)} e^{-|\Delta y|/y^{(k)}_\mathrm{corr}},
\end{equation}
\tag{52}
$$
где $\Delta y=y_1-y_2$, а $y^{(k)}_\mathrm{corr}$ – характерная длина корреляции по быстроте для частиц, рожденных данным струнным кластером. Поскольку согласно (49) быстротная плотность заряженных частиц от распада струнного кластера считается пропорциональной $\sqrt{k}$, а корреляции имеют место только между соседними сегментами струнного кластера, разумно предположить, что характеристическая корреляционная длина $y^{(k)}_\mathrm{corr}$ убывает с ростом $k$ как $1/\sqrt{k}$. Некоторые дополнительные аргументы в пользу этого предположения были представлены в работе [22]. Поэтому мы предполагаем следующую зависимость параметров корреляционной функции струнного кластера от $k$:
$$
\begin{equation}
y^{(k)}_\mathrm{corr}=\frac{y^{(1)}_\mathrm{corr}}{\sqrt{k}}, \qquad \Lambda^{(k)}_0 = \mathrm{const}.
\end{equation}
\tag{53}
$$
Отметим, что варианту без учета слияния струн отвечает совсем другой вид этих зависимостей:
$$
\begin{equation*}
\widetilde{\mu}_0^{(k)} = k \mu^{(1)}_0, \qquad \widetilde{y}_\mathrm{corr}^{(k)}= \mathrm{const}, \qquad \widetilde{\Lambda}_{0}^{(k)} = \frac{\Lambda^{(1)}_0}{k}.
\end{equation*}
\notag
$$
Формулы (49) и (53) позволяют вычислить параметры струнного кластера, образованного слиянием $k$ струн, исходя из трех параметров $\mu^{(1)} _0\equiv \mu_0$, $\Lambda^{(1)}_0$, $y^{(1)}_\mathrm{corr}$, характеризующих одиночную струну (52). После этого по формулам (10)–(12) можно найти $\Sigma_k (\mu_\mathrm{F}, \mu_\mathrm{B})$, входящие в формулу (7) для $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$. При этом в силу простой зависимости (52) интегралы (11) и (12) вычисляются явно [34]. 6. Сравнение с данными экспериментаЗначение параметра $\mu_0$ (среднее число заряженных частиц на единицу быстроты от распада одиночной струны) необходимо выбрать равным 0.7 для правильного описания экспериментальной множественности заряженных частиц в центральной области быстрот. Для фиксации двух оставшихся свободных параметров модели $\Lambda^{(1)}_0$ и $y^{(1)}_\mathrm{corr}$, характеризующих корреляционную функцию одиночной струны (52), нами была рассчитана зависимость переменной $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$ от расстояния по быстроте $\Delta y$ между окнами наблюдения малой ширины ($\delta y=0.2$) для pp-столкновений без отбора по центральности при двух начальных энергиях 0.9 и 7 ТэВ. В MK-реализации алгоритма, описанного в разделе 4, это отвечает случайной генерации вектора прицельного параметра $\mathbf{b}$ для каждого события. Сравнение результатов этих расчетов с предварительными экспериментальными данными коллаборации ALICE для $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$ [19], полученными при анализе рождения заряженных частиц в мягкой области спектра с поперечными импульсами в диапазоне 0.3–1.5 ГэВ/$c$ (см. две нижние кривые на рис. 1), дает следующие значения этих двух параметров:
$$
\begin{equation}
y^{(1)}_\mathrm{corr}=2.7, \qquad \Lambda^{(1)}_0 = 0.8.
\end{equation}
\tag{54}
$$
После этого, уже с полностью фиксированными параметрами модели, мы провели аналогичные вычисления переменной $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$ для случая pp-столкновений без отбора по центральности при начальной энергии 13 ТэВ. Сравнение полученных результатов с экспериментальными данными ALICE [19], полученными при 13 ТэВ (верхняя кривая на рис. 1), показывает, что этот набор параметров также хорошо описывает зависимость наблюдаемой $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$ от быстротного расстояния между центрами окон наблюдения $\Delta y$ и при начальной энергии 13 ТэВ.  Рис. 1.Сильноинтенсивная переменная $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$, рассчитанная в рамках модели с образованием струнных кластеров, как функция расстояния по быстроте между центрами окон наблюдения $\Delta y$, для окон шириной $\delta y = 0.2$, в pp-столкновениях при трех начальных энергиях 0.9, 7 и 13 ТэВ (соответственно нижняя, средняя и верхняя кривые). Экспериментальные значения коллаборации ALICE на БАК [19] при тех же энергиях – 0.9 ТэВ ($\scriptstyle\blacksquare$), 7 ТэВ ($\blacktriangle$) и 13 ТэВ ($\bullet$). При этом мы учли, что поскольку анализ этих данных при 13 ТэВ в эксперименте ALICE проводился для более широкого диапазона поперечных импульсов 0.2–2 ГэВ/$c$, который в настоящее время используется в коллаборации ALICE при анализе рождения заряженных частиц в мягкой области спектров, то из-за увеличения общего числа частиц, регистрируемых в этом более широком интервале поперечных импульсов, коэффициент $\mu_0$ должен быть увеличен согласно анализу работы [35] в 1.28 раза до значения $\mu_0=0.9$. Из рис. 1 мы видим, что характер зависимости переменной $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$ от расстояния по быстроте между окнами наблюдения $\Delta y$ в целом соответствует предсказываемому нашей моделью (см. конец раздела 3). Наблюдается рост величины $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$ от значений порядка единицы при малых значениях $\Delta y$ с некоторой тенденцией к насыщению при больших значениях $\Delta y$. Что касается зависимости от начальной энергии, то сравнивая зависимости при энергиях 0.9, 7 и 13 ТэВ, представленные на рис. 1, мы видим, что в pp-столкновениях при энергиях БАК наблюдается рост наблюдаемой $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$ с увеличением начальной энергии. В нашей модели этот рост объясняется возрастающим с энергией вкладом от образования струнных кластеров с новыми свойствами, состоящих из все большего числа слившихся струн. Отметим, что в модели с одним типом струн, без учета процессов их слияния и образования струнных кластеров, все три кривые на рис. 1 для разных начальных энергий оказались бы совпающими друг с другом. 7. ЗаключениеВ рамках модели, учитывающей слияние кварк-глюонных струн и образование струнных кластеров, для случая pp-рассеяния при высоких энергиях рассчитана сильноинтенсивная переменная $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$, характеризующая корреляции между числами частиц $n_{\mathrm F}$ и $n_{\mathrm B}$, образующихся в двух разнесенных по быстроте интервалах наблюдения. Использование этой переменной для изучения корреляций позволяет минимизировать вклад тривиальных “объемных” флуктуаций и дает возможность получить информацию о свойствах источников (струн и струнных кластеров), образующихся на начальной стадии сильного взаимодействия. В частности, сравнение полученных теоретических зависимостей для переменной $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$ с предварительными экспериментальными данными [19] коллаборации ALICE на БАК при трех начальных энергиях рр-столкновений позволяет сделать однозначный вывод о наличии эффектов слияния струн и образования струнных кластеров при энергиях БАК уже в рр-взаимодействиях. При этом, как и ожидалось, вклад струнных кластеров в переменную $\Sigma(n_{\mathrm F},n_{\mathrm B})$ растет с ростом начальной энергии. В работе [36] показано, что тот же эффект имеет место и при отборе событий с более центральными pp-столкновениями. Сравнение полученных теоретических зависимостей с экспериментальными данными позволяет также фиксировать параметры, характеризующие кластеры с различным числом слившихся струн. БлагодарностиАвторы благодарны организаторам VII международной конференции “Модели квантовой теории поля” (MQFT-2022). Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{VecBel23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|