| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Трехпетлевые К. В. Степаньянцab, О. В. Ханейчукa, В. Ю. Широковаa a Физический факультет, Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, Москва, Россия b Лаборатория теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Московская обл., Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923090143 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеВ настоящее время считается, что суперсимметричные теории могут описывать физику “за пределами Стандартной модели”, и они вызывают значительный интерес. Одним из основных аргументов в пользу существования суперсимметрии в природе является объединение бегущих констант связи, которое согласуется с предсказаниями теорий Великого объединения, но не имеет места в Стандартной модели, в отличие от ее суперсимметричного расширения, т. е. минимальной суперсимметричной стандартной модели (МССМ) [1]–[3]. Поэтому важно исследовать, особенно на квантовом уровне, разные суперсимметричные модели, а также модели с мягко нарушенной суперсимметрией. В частности, интерес представляют $\mathcal{N}=1$ суперсимметричные теории и поведение в них бегущих констант связи, которое кодируется калибровочными $\beta$-функциями. В таких теориях существует важное соотношение, названное точной $\beta$-функцией Новикова–Шифмана–Вайнштейна–Захарова (НШВЗ), которое связывает $\beta$-функции с аномальными размерностями киральных суперполей материи во всех предыдущих порядках теории возмущений [4]–[7]. Использование соотношений НШВЗ значительно упрощает вычисления $\beta$-функций, которые с его помощью можно получить, например, в трехпетлевом приближении, зная аномальные размерности в первом и во втором порядках. Однако, к сожалению, не каждое перенормировочное предписание относится к так называемым НШВЗ-схемам, т. е. к схемам, сохраняющим справедливой формулу НШВЗ. Например, наиболее широко используемая в суперсимметричных моделях $\overline{DR}$-схема ее не сохраняет [8]–[10]. В этой схеме в качестве регуляризации используется размерная редукция [11], а для устранения расходимостей – модифицированные минимальные вычитания [12]. Формула НШВЗ перестает в этой схеме выполняться начиная с трехпетлевого приближения, однако может быть восстановлена при помощи специально подобранной в каждом порядке теории возмущений конечной перенормировки [8], [9], [13], [14]. Кроме того, известно, что регуляризация с помощью размерной редукции является математически противоречивой [15] и может нарушать суперсимметрию в высших петлях [16]–[18]. Возможно, что противоречивость размерной редукции ответственна за отличие от нуля трехпетлевого вклада в $\beta$-функцию $\mathcal{N}=2$ суперсимметричной теории Янга–Миллса, полученного на основе юкавского слагаемого. Это отличие было впервые установлено в работе [16] и сохранилось даже после корректировки результата в работе [19]. Поэтому удобно применять к суперсимметричным моделям другую регуляризацию, лишенную перечисленных недостатков. Такой является регуляризация высшими ковариантными производными [20], [21], при которой соотношение НШВЗ удовлетворяется во всех петлях, если ренормгрупповые функции (РГФ) определены в терминах голых констант связи [22]–[24]. Для РГФ, стандартным образом определенных в терминах перенормированных констант связи, формула НШВЗ также выполняется при данной регуляризации, если устранение расходимостей производится с помощью минимальных вычитаний логарифмов (HD+MSL перенормировочное предписание), т. е. когда перенормировочные константы содержат только степени $\Lambda/\mu$, где $\mu$ – точка нормировки, а $\Lambda$ – размерный параметр регуляризации [25]. Эти утверждения верны для $\mathcal{N}=1$ суперсимметричных теорий как с одной, так и с несколькими константами связи [26]. Преимуществами регуляризации высшими ковариантными производными также являются ее математическая непротиворечивость и то, что она не нарушает суперсимметрию в высших порядках, так как может быть сформулирована явно суперсимметричным образом в терминах $\mathcal{N}=1$ суперполей [27], [28]. Следует отметить, что данная регуляризация не устраняет однопетлевые расходимости, и для их устранения используется регуляризация Паули–Вилларса [29]. Целью настоящей работы является нахождение $\beta$-функции в трехпетлевом приближении для МССМ, регуляризованной высшими ковариантными производными, при произвольном перенормировочном предписании, явно сохраняющем суперсимметрию. Это означает, что суперполя должны перенормироваться как целое, т. е. константы перенормировки для всех их компонент должны быть одинаковыми. В $\overline{DR}$-схеме соответствующий результат для $\beta$-функций был получен в работе [30]. Как будет показано ниже, при определенных значениях конечных констант, определяющих схему вычитаний, он полностью совпадает с результатом, полученным в настоящей статье. Поскольку для РГФ, определенных в терминах голых констант связи, используемая регуляризация позволяет использовать соотношения НШВЗ, сначала мы получили выражения для двухпетлевых аномальных размерностей всех киральных суперполей материи МССМ в терминах голых констант связи, и с их помощью определили трехпетлевые $\beta$-функции, тоже в терминах голых констант связи. Затем мы использовали полученный результат, чтобы найти те же РГФ, уже стандартным образом определенные в терминах перенормированных констант связи, а также нашли условия, которым должны удовлетворять конечные константы, определяющие перенормировочное предписание, чтобы и для этих РГФ также были справедливы соотношения НШВЗ. 2. МССМ, регуляризованная высшими ковариантными производнымиПеренормируемая $\mathcal{N}=1$ суперсимметричная теория с несколькими константами связи в безмассовом пределе описывается следующим действием:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S ={}&\sum_{K=1}^n \operatorname{Re}\frac{1}{4}\int d^4x\,d^2\theta \, (W^a)^{A_K}(W_a)^{A_K}+\frac{1}{4}\int d^4x\,d^4\theta\, \phi^{*i}{(e^{2V})}^j_i\phi_j +{} \notag\\ & + \biggl(\frac{1}{6}{\lambda_0}^{ijk}\int d^4x\,d^2\theta\, \phi_i\phi_j\phi_k + \text{к. с.}\biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{1}
$$
где индекс $K$ определяет подгруппу калибровочной группы $G$, которая является прямым произведением $n$ сомножителей $G_K$, каждый из которых – либо простая группа, либо $U(1)$. Соответственно в теории будет $n$ калибровочных констант связи $\alpha_K \equiv e_K^2/4\pi$, а $\lambda_{ijk}$ – юкавские константы связи. Голые константы связи мы будем обозначать соответственно $\alpha_{0K}$ и $\lambda_{0ijk}$. $W_a$ является суперсимметричным аналогом тензора напряженности для калибровочного суперполя Генераторы калибровочной группы $T^{A_K}$ подчиняются коммутационным соотношениям где $f^{A_KB_KC_K}$ – структурные константы подгруппы $G_K$. $T^{A_K}$ обозначают генераторы в том представлении, в котором лежат киральные суперполя материи, а генераторы в фундаментальном представлении $t^{A_K}$ нормированы условиемМССМ является $\mathcal{N}=1$ теорией с мягко нарушенной суперсимметрией и калибровочной группой Таким образом, в этой модели присутствуют три калибровочные константы связи
$$
\begin{equation}
\alpha_3=\frac{e_3^2}{4\pi}, \qquad \alpha_2=\frac{e_2^2}{4\pi},\qquad \alpha_1=\frac{5}{3} \frac{e_1^2}{4\pi},
\end{equation}
\tag{6}
$$
где множитель $5/3$ добавлен в определение $\alpha_1$ для того, чтобы условие Великого объединения можно было записать в наиболее простом виде $\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3$. Компонентами киральных суперполей материи являются три поколения кварков и лептонов, два хиггсовских поля $H_u$ и $H_d$ и их суперпартнеры. Левые кварки $Q_I$ лежат в антифундаментальном представлении по подгруппе $SU(3)$, в фундаментальном – по $SU(2)$, они имеют гиперзаряд $Y=-1/6$ по подгруппе $U(1)$. Правые кварки лежат в фундаментальном представлении по $SU(3)$ и в тривиальном по $SU(2)$, при этом верхние правые кварки $U_I$ имеют гиперзаряд по подгруппе $U(1)$ $Y=2/3$, а нижние кварки $D_I$ имеют $Y=-1/3$. Левые лептоны $L_I$ не преобразуются по $SU(3)$ и лежат в фундаментальном представлении по $SU(2)$, а по $U(1)$ имеют гиперзаряд $Y=1/2$. Правые лептоны $E_I$ (мы рассматриваем модель без правых нейтрино) лежат в тривиальном представлении по $SU(3)$ и $SU(2)$ и имеют $Y=-1$ по $U(1)$. Индекс $I$ нумерует поколения и пробегает значения $1,2,3$. Хиггсовские поля $H_u$ и $H_d$ лежат в тривиальном представлении по $SU(3)$ и в фундаментальном – по $SU(2)$, при этом по $U(1)$ имеют $Y=-1/2$ для $H_u$ и $Y=1/2$ для $H_d$. Если нумеровать индексом $a$ киральные суперполя материи $\phi_a$, лежащие в определенном представлении $R_{aK}$ по подгруппам $SU(3)$ и $SU(2)$ и имеющие заряд $q_a$ по подгруппе $U(1)$, то соответствующие генераторы $T_a^{A_K}$ будут являться генераторами подгруппы $SU(3)$ или $SU(2)$ в том представлении, в котором лежит поле $\phi_a$, или зарядами $q_a$, если $K=1$. Они будут подчиняться тем же коммутационным соотношениям Суперпотенциал $W$ содержится в слагаемом действия МССМ
$$
\begin{equation}
\Delta S = \frac{1}{2}\int d^4x\,d^2\theta\, W+\text{к. с.}
\end{equation}
\tag{8}
$$
и выглядит следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, W ={}& (Y_{0U})_{IJ}{(\begin{matrix}\tilde{U}&\tilde{D}\end{matrix})}_I^a\begin{pmatrix}0&1\\ -1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}H_{u1}\\H_{u2}\end{pmatrix}U_{aJ}+{} \notag\\ &+ (Y_{0D})_{IJ}{(\begin{matrix}\tilde{U}&\tilde{D}\end{matrix})}_I^a\begin{pmatrix}0&1\\ -1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}H_{d1}\\H_{d2}\end{pmatrix}D_{aJ}+{} \notag\\ &+(Y_{0E})_{IJ}{(\begin{matrix}\tilde{N}&\tilde{E}\end{matrix})}_I\begin{pmatrix}0&1\\ -1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}H_{d1}\\H_{d2}\end{pmatrix}E_{J}+{} \notag\\ &+\mu_0 \begin{pmatrix}H_{u1}&H_{u2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}H_{d1}\\H_{d2}\end{pmatrix}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{9}
$$
Здесь $\Bigl(\begin{smallmatrix}\tilde{U}\\ \tilde{D}\end{smallmatrix}\Bigr)$ и $\Bigl(\begin{smallmatrix}\tilde{N}\\ \tilde{E}\end{smallmatrix}\Bigr)$ описывают левые кварки и лептоны соответственно, а суперполя $H_u$ и $H_d$ записаны как столбцы по подгруппе $SU(2)$, $Y_{0U}$, $Y_{0D}$, $Y_{0E}$ – безразмерные матрицы Юкавы, а параметр $\mu_0$ имеет размерность массы. Перенормировка суперполей материи осуществляется следующим образом: где перенормированное суперполе обозначено индексом $R$. Эволюция перенормирочных констант ${Z_a}^b$ определяется соответствующей аномальной размерностью, а калибровочных констант связи – $\beta$-функциями. РГФ, определенные в терминах голых констант связи $\alpha_0$ и $\lambda_0$, задаются уравнениями
$$
\begin{equation}
{\gamma_a}^b(\alpha_0,\lambda_0) \equiv -\frac{d \ln {Z_a}^b}{d\ln{\Lambda}}\Big|_{\alpha,\lambda=\text{const}}, \qquad \beta_K(\alpha_0,\lambda_0) \equiv \frac{d \alpha_{0K}}{d\ln{\Lambda}}\Big|_{\alpha,\lambda=\text{const}},
\end{equation}
\tag{11}
$$
где производные берутся по размерному параметру регуляризации $\Lambda$ при фиксированных значениях $\alpha$ и $\lambda$. Эти РГФ отличаются от РГФ, определенных в терминах перенормированных констант связи
$$
\begin{equation}
\widetilde\gamma_a{}^b(\alpha,\lambda) \equiv \frac{d \ln {Z_a}^b}{d\ln{\mu}}\Big|_{\alpha_0,\lambda_0=\text{const}}, \qquad \widetilde\beta_K(\alpha,\lambda) \equiv \frac{d \alpha_{K}}{d\ln{\mu}}\Big|_{\alpha_0,\lambda_0=\text{const}},
\end{equation}
\tag{12}
$$
где производные берутся по точке нормировки $\mu$ при фиксированных значениях $\alpha_0$ и $\lambda_0$. При этом ${\gamma_a}^b(\alpha_0,\lambda_0)=0$ и ${\gamma_a}^b(\alpha,\lambda)=0$ при $a \neq b$, кроме тех случаев, когда $\phi_a$ и $\phi_b$ соответствуют разным поколениям одного и того же суперполя. Для квантования теории мы будем использовать метод фонового поля и применим регуляризацию высшими ковариантными производными. Следует отметить, что при этом действие сохранит явно суперсимметричный вид, поскольку все слагаемые сформулированы в терминах $\mathcal{N}=1$ суперполей. Прежде всего для этого следует произвести замену $e^{2V} \to e^{2\mathcal{F}(V)}e^{2\mathbf{V}}$, где $\mathbf{V}$ – фоновое калибровочное суперполе. Функция $\mathcal{F}(V)$ в общем случае должна содержать бесконечный ряд нелинейных по $V$ членов, каждый со своим параметром, поскольку калибровочное суперполе $V$ перенормируется нелинейным образом [31], [32]. В рассматриваемом приближении она содержит слагаемые, пропорциональные $V^3$ c некоторым новым голым параметром $y_0$. На следующем этапе к действию добавляются члены с высшими ковариантными производными,
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, S \to S_\mathrm{reg} ={}& \sum_{K=1}^n\operatorname{Re}\frac{1}{4} \int d^4x\, d^2\theta\, (W^a)^{A_K}\times{} \notag\\ &\qquad\qquad\quad\times \biggl[ \biggl(e^{-2\mathbf{V}} e^{-2\mathcal{F}(V)}R\biggl(-\frac{\bar\nabla^2 \nabla^2}{16\Lambda^2}\biggr)\times e^{2\mathcal{F}(V)}e^{2\mathbf{V}}\biggr)_{Adj} W_a \biggr]^{A_K}+{} \notag\\ & + \frac{1}{4} \int d^4x\,d^4\theta\, \phi^{*i} \biggl[F\biggl(-\frac{\bar\nabla^2 \nabla^2}{16\Lambda^2}\biggr) e^{2\mathcal{F}(V)}e^{2\mathbf{V}}\biggr]_i{}^j \phi_j +{} \notag\\ &+ \biggl(\frac{1}{6} \int d^4x\,d^2\theta\, \lambda_0^{ijk}\phi_i \phi_j \phi_k + \text{к. с.} \biggr), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{13}
$$
где ковариантные производные определены как
$$
\begin{equation}
\nabla_a = D_a,\qquad \bar\nabla_{\dot a} = e^{2\mathcal{F}(V)} e^{2\mathbf{V}} \bar D_{\dot a} e^{-2\mathbf{V}} e^{-2\mathcal{F}(V)},
\end{equation}
\tag{14}
$$
а функции-регуляторы $R(x)$ и $F(x)$ (одни и те же для каждой подгруппы $G_K$) достаточно быстро растут при стремлении аргумента к бесконечности и равны единице при аргументе, равном нулю. Они устраняют все расходимости, кроме однопетлевых. Также следует добавить к действию член, фиксирующий калибровку $S_\mathrm{gf}$, и слагаемые, содержащие духи Фаддева–Попова $S_\mathrm{FP}$ и Нильсена–Каллош $S_\mathrm{NK}$, а для устранения остаточных однопетлевых расходимостей вставить детерминанты Паули–Вилларса в производящий функционал, который в результате будет задаваться выражением [26]
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Z[\text{источники}] ={}& \int D\mu\, \prod_K \operatorname{Det}^{c_K}(PV,M_K)\times{} \notag \\ &\times \exp\{i(S_\mathrm{reg} + S_\mathrm{gf}+ S_\mathrm{FP}+ S_\mathrm{NK} +S_\varphi + S_\mathrm{sources})\}. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{15}
$$
Детерминанты $\operatorname{Det}(PV,M_K)$ содержат суперполя Паули–Вилларса с массами которые устраняют однопетлевые расходимости, появляющиеся от петель суперполей материи.В действии $S_\varphi$ содержатся суперполя Паули–Вилларса $\varphi_K$, лежащие в присоединенном представлении подгруппы $G_K$ и в тривиальных представлениях остальных подгрупп калибровочной группы $G$. Они устраняют расходимости, появляющиеся от однопетлевых графов калибровочных суперполей и духов и имеют массу 3. Соотношения НШВЗ для МССМ$\mathcal{N}=1$ суперсимметричные теории отличаются меньшим числом ультрафиолетовых расходимостей благодаря так называемым теоремам о неперенормировке, к которым можно отнести точную $\beta$-функцию НШВЗ. В общем виде соотношение НШВЗ выглядит следующим образом:
$$
\begin{equation}
\beta(\alpha,\lambda) = - \frac{\alpha^2(3 C_2 - T(R) + C(R)_i{}^j(\gamma_\phi)_j{}^i(\alpha,\lambda)/r)}{2\pi(1- C_2\alpha/2\pi)},
\end{equation}
\tag{18}
$$
где индекс Дынкина $2T(R)$ представления $R$ и квадратичные операторы Казимира $C(R)_i{}^j$ и $C_2$ для представления $R$ и присоединенного представления соответственно определяются равенствами
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, {tr}\,(T^A T^B) \equiv T(R)\delta^{AB}, \qquad (T^A)_i{}^k (T^A)_k{}^j \equiv C(R)_i{}^j, \\ f^{ACD} f^{BCD} \equiv C_2 \delta^{AB},\qquad r\equiv \delta_{AA} = \operatorname{dim} G. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Для теорий с несколькими калибровочными константами связи следует использовать обобщение соотношения НШВЗ [26]
$$
\begin{equation}
\frac{\beta_K(\alpha_0,\lambda_0)}{{\alpha_{0K}}^2}=-\frac{1}{2\pi(1-C_2(G_K)\alpha_{0K}/2\pi)}\biggl[3C_2(G_K) -\sum_a T_{aK}(1-{\gamma_a}^a(\alpha_0,\lambda_0)) \biggr],
\end{equation}
\tag{19}
$$
где
$$
\begin{equation}
C_2(G_K)\delta^{A_K B_K}=f^{A_K C_KD_K}f^{B_K C_KD_K}, \qquad T_K(R_{aK})\delta^{A_K B_K}={(T_a^{A_K}T_a^{B_K})_{i_K}}^{i_K},
\end{equation}
\tag{20}
$$
$$
\begin{equation}
T_{aK} = \begin{cases} {\delta_{i_1}}^{i_1} \cdots {\delta_{i_{K-1}}}^{i_{K-1}}T_K(R_{ak}){\delta_{i_{K+1}}}^{i_{K+1}} \cdots {\delta_{i_n}}^{i_n}, &G_K\, -\text{простая группа},\\ {\delta_{i_1}}^{i_1} \cdots {\delta_{i_{K-1}}}^{i_{K-1}}q^2_{aK}{\delta_{i_{K+1}}}^{i_{K+1}} \cdots {\delta_{i_n}}^{i_n}, &G_K =U(1). \end{cases}
\end{equation}
\tag{21}
$$
РГФ, определенные в терминах голых констант связи, зависят от регуляризации, но не зависят от схемы вычитаний [25]. Как уже отмечалось выше, если теория регуляризована высшими ковариантными производными, они подчиняются формулам НШВЗ во всех порядках теории возмущений. Более того, если использовать HD+MSL перенормировочное предписание, при котором РГФ, определенные в терминах перенормированных констант связи, отличаются от них лишь формальным переобозначением, то соотношения НШВЗ будут справедливы и для РГФ, определенных в терминах перенормированных констант связи. Согласно [26] для МССМ формулы (19) принимают вид
$$
\begin{equation}
\frac{\beta_3(\alpha_0,\lambda_0)}{{\alpha_{03}}^2}={} -\frac{1}{2\pi(1-3\alpha_{03}/2\pi)}\times{} \nonumber
\end{equation}
\tag{22}
$$
$$
\begin{equation}
\times \biggl[ 3+\operatorname{tr}\biggl(\gamma_Q(\alpha_0,Y_0)+\frac{1}{2}\gamma_U(\alpha_0,Y_0) +\frac{1}{2}\gamma_D(\alpha_0,Y_0)\biggr) \biggr],
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\beta_2(\alpha_0,\lambda_0)}{{\alpha_{02}}^2}={} -\frac{1}{2\pi(1-\alpha_{02}/\pi)}\biggl[ -1+ {tr}\biggl(\frac{3}{2}\gamma_Q(\alpha_0,Y_0)+\frac{1}{2}\gamma_L(\alpha_0,Y_0)\biggr)+{} \nonumber
\end{equation}
\tag{23}
$$
$$
\begin{equation}
+\frac{1}{2}\gamma_{H_u}(\alpha_0,Y_0) +\frac{1}{2}\gamma_{H_d}(\alpha_0,Y_0)\biggr],
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\beta_1(\alpha_0,\lambda_0)}{{\alpha_{01}}^2} ={} -\frac{3}{5}\frac{1}{2\pi}\biggl[-11+\operatorname{tr}\biggl(\frac{1}{6}\gamma_Q(\alpha_0,Y_0)+\frac{4}{3}\gamma_U(\alpha_0,Y_0) +\frac{1}{3}\gamma_D(\alpha_0,Y_0) +{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+ \frac{1}{2}\gamma_L(\alpha_0,Y_0) +\gamma_E(\alpha_0,Y_0)\biggr)+ \frac{1}{2}\gamma_{H_u}(\alpha_0,Y_0) +\frac{1}{2}\gamma_{H_d}(\alpha_0,Y_0)\biggr],
\end{equation}
\tag{24}
$$
где следы берутся по индексам поколений.
4. Вычисление трехпетлевых $\beta$-функций в терминах голых констант связиДля того чтобы получить трехпетлевые $\beta$-функции по формулам (22)–(24), требуется вычислить аномальные размерности для всех киральных суперполей материи МССМ в двухпетлевом приближении. В работе [33] показано, что для регуляризованной высшими ковариантными производными теории с простой калибровочной группой выражение для двухпетлевой аномальной размерности в терминах голых констант связи выглядит следующим образом:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &{\gamma_i}^j(\alpha_0,\lambda_0) = -\frac{d \ln {Z_i}^j}{d \ln \Lambda}\Big|_{\alpha,\lambda=\mathrm{const}}=-\frac{\alpha_0}{\pi}{C(R)_i}^j+ \frac{1}{4\pi^2}\lambda_{0imn}^*\lambda_0^{jmn} +{}\notag\\ &\qquad+\frac{\alpha_0^2}{2\pi^2}\biggl[{[C(R)^2]_i}^j-3C_2{C(R)_i}^j \biggl(\ln a_\varphi +1 +\frac{A}{2}\biggr)+ T(R){C(R)_i}^j\biggl(\ln a +1 +\frac{A}{2}\biggr)\biggr] -{} \notag\\ &\qquad-\frac{\alpha_0}{8\pi^3}\lambda_{0lmn}^*\lambda_0^{jmn}{C(R)_i}^l(1-B+A) +\frac{\alpha_0}{4\pi^3}\lambda_{0imn}^*\lambda_0^{jml}{C(R)_l}^n(1+B-A)-{} \notag \\ &\qquad-\frac{1}{16\pi^4}\lambda_{0iac}^*\lambda_0^{jab}\lambda_{0bde}^*\lambda_0^{cde}+O(\alpha_0^3,\alpha_0^2\lambda_0^2,\alpha_0\lambda_0^4,\lambda_0^6), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{25}
$$
где $a$ и $a_\varphi$ являются введенными ранее коэффициентами пропорциональности между массами суперполей Паули–Вилларса и параметром регуляризации $\Lambda$, а $A$ и $B$ – параметры регуляризации, определяемые как
$$
\begin{equation*}
A \equiv \int_0^\infty dx\, \ln x \frac{d}{dx}\biggl(\frac{1}{R(x)}\biggr), \qquad B \equiv \int_0^\infty dx\, \ln x \frac{d}{dx}\biggl(\frac{1}{F^2(x)}\biggr).
\end{equation*}
\tag{26}
$$
Обобщение формулы (25) для теории с несколькими калибровочными константами связи было найдено в работе [34] и дается выражением
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &{\gamma_a}^b(\alpha_0,\lambda_0) = -\frac{d \ln {Z_a}^b}{d \ln \Lambda}\Big|_{\alpha,\lambda=\text{const}}=-\sum_{K} \frac{\alpha_{0K}}{\pi}C(R_{aK}){\delta_a}^b+{} \notag \\ &\qquad+\frac{1}{4\pi^2}{(\lambda_{0}^*\lambda_0)_a}^b +\sum_{K,L}\frac{\alpha_{0K}\alpha_{0L}}{2\pi^2}C(R_{aK})C(R_{aL}){\delta_a}^b-{} \notag\\ &\qquad - \sum_{K}\frac{3\alpha_{0K}^2}{2\pi^2}C_2(G_K)C(R_{aK})\biggl(\ln a_{\varphi,K} +1 +\frac{A}{2}\biggr){\delta_a}^b +{} \notag \\ &\qquad+ \sum_{K}\frac{\alpha_{0K}^2}{2\pi^2}C(R_{aK})\sum_{c}{\bf T}_{cK}\biggl(\ln a_K +1 +\frac{A}{2}\biggr){\delta_a}^b-{} \notag\\ &\qquad - \sum_{K}\frac{\alpha_{0K}}{8\pi^3}{(\lambda_{0}^*\lambda_0)_a}^bC(R_{aK})(1-B+A)+\sum_{K}\frac{\alpha_{0K}}{4\pi^3}{(\lambda_{0}^*C_K\lambda_0)_a}^b(1+B-A)-{} \notag\\ &\qquad - \frac{1}{16\pi^4}{(\lambda_{0}^*[\lambda_{0}^*\lambda_0]\lambda_0)_a}^b +O(\alpha_0^3,\alpha_0^2\lambda_0^2,\alpha_0\lambda_0^4,\lambda_0^6), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{27}
$$
где используются следующие обозначения:
$$
\begin{equation}
\begin{gathered} \, {(T_a^{A_K}T_a^{A_K})_{i_K}}^{j_K}=C(R_{aK}){\delta_{i_K}}^{j_K}, \qquad {(\lambda_{0}^*\lambda_0)_a}^b{\delta_{i_a}}^{j_b}=\sum_{c,d}\lambda_{0i_am_cn_d}^*\lambda_0^{j_bm_cn_d}, \\ \begin{aligned} \, {(\lambda_{0}^*C_K\lambda_0)_a}^b{\delta_{i_a}}^{j_b}&=\sum_{c,d}\lambda_{0i_am_cn_d}^*C(R_{dK})\lambda_0^{j_bm_cn_d}, \\ {(\lambda_{0}^*[\lambda_{0}^*\lambda_0]\lambda_0)_a}^b{\delta_{i_a}}^{j_b}&= \sum_{c,d,e,f,g}\lambda_{0i_ak_el_f}^*\lambda_0^{j_bk_ep_g}\lambda_{0p_gm_cn_d}^*\lambda_0^{l_fm_cn_d}. \end{aligned} \end{gathered}
\end{equation}
\tag{28}
$$
В работе [34] также можно найти таблицы, где приведены значения $T_{aK}$ и ${(\lambda_{0}^*\lambda_0)_a}^b$ для всех суперполей $\phi_a$ МССМ ($\lambda_0^{ijk}$ выражены через матрицы Юкавы $Y_{0U}$, $Y_{0D}$, $Y_{0E}$). Используя формулу (27), можно найти искомые аномальные размерности для всех суперполей $\phi_a$, для чего также понадобятся групповые множители
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, C_2(SU(N)) &= N, \qquad C(\text{фунд.}\,\, SU(N)) = \frac{N^2-1}{2N}, \\ C_2(U(1)) &= 0, \quad \qquad C_{aU(1)} = q^2_a. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{29}
$$
Напомним, что ${\gamma_a}^b$ равны нулю, если $a$ и $b$ соответствуют разным суперполям, но недиагональны по индексам поколений. Поскольку задающие их выражения достаточно громоздки, здесь мы приведем только результат, полученный для $\gamma_Q$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\gamma_{Q}(\alpha_0,Y_0)^\mathrm{T}= \frac{1}{2\pi^2}\biggl[\frac{1}{3600}\alpha_{01}^2+\frac{9}{16}\alpha_{02}^2+\frac{16}{9}\alpha_{03}^2+\frac{1}{40}\alpha_{01}\alpha_{02}+\frac{2}{45}\alpha_{01}\alpha_{03}+{} \notag \\ &\qquad+ 2\alpha_{02}\alpha_{03}-\frac{9}{2}\alpha_{02}^2\biggl(\ln a_{\varphi,2}+1+\frac{A}{2}\biggr)- 12\alpha_{03}^2\biggl(\ln a_{\varphi,3}+1+\frac{A}{2}\biggr)+{} \notag \\ &\qquad+\frac{11}{100}\alpha_{01}^2\biggl(\ln a_{1}+1+\frac{A}{2}\biggr)+\frac{21}{4} \alpha_{02}^2\biggl(\ln a_{2}+1+\frac{A}{2}\biggr)+{} \notag \\ &\qquad+8\alpha_{03}^2\biggl(\ln a_{3}+1+\frac{A}{2}\biggr)\biggr]+\frac{1}{8\pi^3}Y_{0U}Y_{0U}^\unicode{8224}\biggl[\alpha_{01}\biggl(\frac{1}{5}+\frac{13}{60}(B-A)\biggr)+{} \notag \\ &\qquad+\frac{3}{4}\alpha_{02}(B-A)+\frac{4}{3}\alpha_{03}(B-A)\biggr]+{} \notag \\ &\qquad+ \frac{1}{8\pi^3}Y_{0D}Y_{0D}^\unicode{8224}\biggl[\alpha_{01}\biggl(\frac{1}{10}+\frac{7}{60}(B-A)\biggr)+\frac{3}{4}\alpha_{02}(B-A)+\frac{4}{3}\alpha_{03}(B-A)\biggr]-{} \notag \\ &\qquad- \frac{1}{(8\pi^2)^2}\biggl[(Y_{0U}Y_{0U}^\unicode{8224})^2+(Y_{0D}Y_{0D}^\unicode{8224})^2+\frac{3}{2}\operatorname{tr}(Y_{0U}Y_{0U}^\unicode{8224})Y_{0U}Y_{0U}^\unicode{8224} +{} \notag \\ &\qquad+ \frac{3}{2}\operatorname{tr}(Y_{0D}Y_{0D}^\unicode{8224})Y_{0D}Y_{0D}^\unicode{8224}+\frac{1}{2}\operatorname{tr}(Y_{0E}Y_{0E}^\unicode{8224})Y_{0D}Y_{0D}^\unicode{8224}\biggr] +O(\alpha_0^3,\alpha_0^2Y_0^2,\alpha_0Y_0^4,Y_0^6). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{30}
$$
Выражения для остальных двухпетлевых аномальных размерностей можно найти в работе [34]. Складывая полученные двухпетлевые аномальные размерности с однопетлевым вкладом, полученным в работе [26], и подставляя в (22)–(24), находим трехпетлевые $\beta$-функции в терминах голых констант связи, которые, однако, тоже выражаются весьма длинными формулами, и поэтому здесь приведен результат только для $\beta_3$, а $\beta_2$ и $\beta_1$ можно найти в [34]:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{\beta_3(\alpha_0, Y_0)}{\alpha_{03}^2} = -\frac{1}{2\pi}\biggl[ 3-\frac{11}{20}\frac{\alpha_{01}}{\pi}-\frac{9}{4}\frac{\alpha_{02}}{\pi}-\frac{7}{2}\frac{\alpha_{03}}{\pi}+\frac{1}{4\pi^2}\operatorname{tr}(Y_{0U}Y_{0U}^\unicode{8224}+Y_{0D}Y_{0D}^\unicode{8224})+{} \notag\\ &+\frac{1}{2\pi^2}\biggl[ \frac{137}{1200}\alpha_{01}^2+\frac{27}{16}\alpha_{02}^2 + \frac{1}{6}\alpha_{03}^2+\frac{3}{40}\alpha_{01}\alpha_{02}-\frac{11}{60}\alpha_{01}\alpha_{03}-\frac{3}{4}\alpha_{02}\alpha_{03}-{} \notag\\ &-\frac{27}{2}\alpha_{02}^2\biggl(\ln a_{\varphi,2}+1+\frac{A}{2}\biggr)-72\alpha_{03}^2\biggl(\ln a_{\varphi,3}+1+ \frac{A}{2}\biggr)+ \frac{363}{100}\alpha_{01}^2\biggl(\ln a_1+1+\frac{A}{2}\biggr)+{} \notag\\ &+\frac{63}{4}\alpha_{02}^2\biggl(\ln a_2+1+\frac{A}{2}\biggr)+48\alpha_{03}^2\biggl(\ln a_3+1+\frac{A}{2}\biggr) \biggr]+ \frac{1}{8\pi^3}\operatorname{tr}(Y_{0U}Y_{0U}^\unicode{8224})\times{} \notag \\ &\times \biggl[ \alpha_{01}\biggl( \frac{3}{20}+\frac{13}{30}(B-A) \biggr) +\alpha_{02}\biggl( \frac{3}{4}+\frac{3}{2}(B-A) \biggr)+\alpha_{03}\biggl( 3+\frac{8}{3}(B-A) \biggr) \biggr] +{} \notag \\ &+ \frac{1}{8\pi^3}\operatorname{tr}(Y_{0D}Y_{0D}^\unicode{8224})\biggl[ \alpha_{01}\biggl( \frac{3}{20}+\frac{7}{30}(B-A) \biggr)+{} \notag \\ &+\alpha_{02}\biggl( \frac{3}{4}+\frac{3}{2}(B-A) \biggr)+ \alpha_{03}\biggl( 3+\frac{8}{3}(B-A) \biggr) \biggr]-{} \notag\\ &-\frac{1}{(8\pi^2)^2}\biggl( \frac{3}{2}\operatorname{tr}( (Y_{0U}Y_{0U}^\unicode{8224})^2) +\frac{3}{2}\operatorname{tr}( (Y_{0D}Y_{0D}^\unicode{8224})^2)+ 3\operatorname{tr}^2(Y_{0U}Y_{0U}^\unicode{8224})+3\operatorname{tr}^2(Y_{0D}Y_{0D}^\unicode{8224}) +{} \notag\\ &+ \operatorname{tr}(Y_{0E}Y_{0E}^\unicode{8224})\operatorname{tr}(Y_{0D}Y_{0D}^\unicode{8224}) + \operatorname{tr}(Y_{0D}Y_{0D}^\unicode{8224} Y_{0U}Y_{0U}^\unicode{8224})\biggr) \biggr] + O(\alpha_0^3,\alpha_0^2Y_0^2,\alpha_0Y_0^4,Y_0^6). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{31}
$$
5. Двухпетлевые аномальные размерности и трехпетлевые $\beta$-функции в терминах перенормированных констант связиЗная РГФ в терминах голых констант связи, можно воспользоваться ренормгрупповыми уравнениями (11) и (12) и получить те же РГФ, определенные в терминах перенормированных констант связи. Начиная с третьего порядка для $\beta$-функций и со второго для аномальных размерностей они зависят от конечных констант, определяющих перенормировочное предписание в рассматриваемом приближении. В частности, в схеме HD+MSL все конечные константы, входящие в перенормировку калибровочных и юкавских констант связи и в выражение для перенормировочных констант $Z_a$ киральных суперполей материи, равны нулю. При произвольном перенормировочном предписании уравнения, связывающие голые и перенормированные константы связи, в низшем приближении можно записать следующим образом:
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\alpha_{03}} ={} \frac{1}{\alpha_{3}}+\frac{1}{2\pi}\biggl[ 3 \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+b_{1,3}\biggr)-\frac{11\alpha_1}{20\pi} \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+b_{2,31}\biggr)-\frac{9\alpha_2}{4\pi} \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+b_{2,32}\biggr) -{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
- \frac{7\alpha_3}{2\pi} \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+b_{2,33}\biggr) + \frac{1}{4\pi^2}\operatorname{tr}(Y_U Y_U^\unicode{8224})\biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+b_{2,3U}\biggr) +{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+\frac{1}{4\pi^2}\operatorname{tr}(Y_D Y_D^\unicode{8224}) \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+b_{2,3D}\biggr) \biggr] +O(\alpha^2,\alpha Y^2, Y^4),
\end{equation}
\tag{32}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\alpha_{02}} ={} \frac{1}{\alpha_{2}}+\frac{1}{2\pi}\biggl[ - \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+b_{1,2}\biggr)-\frac{9\alpha_1}{20\pi} \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+b_{2,21}\biggr)-\frac{25\alpha_2}{4\pi} \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+b_{2,22}\biggr) -{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
- \frac{6\alpha_3}{\pi} \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+b_{2,23}\biggr)+\frac{3}{8\pi^2}\operatorname{tr}(Y_U Y_U^\unicode{8224})\biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+b_{2,2U}\biggr) +{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+\frac{3}{8\pi^2}\operatorname{tr}(Y_D Y_D^\unicode{8224}) \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+b_{2,2D}\biggr)+\frac{1}{8\pi^2}\operatorname{tr}(Y_E Y_E^\unicode{8224}) \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+b_{2,2E}\biggr) \biggr] +{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\alpha_{01}} ={} \frac{1}{\alpha_{1}}+\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{3}{5}\biggl[ -11\biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+b_{1,1}\biggr)-\frac{199\alpha_1}{60\pi} \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+b_{2,11}\biggr)-\frac{9\alpha_2}{4\pi} \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+b_{2,12}\biggr) -{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
- \frac{22\alpha_3}{3\pi} \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+b_{2,13}\biggr) + \frac{13}{24\pi^2}\operatorname{tr}(Y_U Y_U^\unicode{8224})\biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+b_{2,1U}\biggr) +{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+\frac{7}{24\pi^2}\operatorname{tr}(Y_D Y_D^\unicode{8224}) \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+b_{2,1D}\biggr)+ \frac{3}{8\pi^2}\operatorname{tr}(Y_E Y_E^\unicode{8224}) \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+b_{2,1E}\biggr) \biggr]+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
Константы перенормировки для киральных суперполей материи при произвольном перенормировочном предписании могут быть выражены как
$$
\begin{equation}
(Z_Q)^\mathrm{T}={} 1+\frac{\alpha_1}{60\pi} \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+g_{Q1}\biggr)+\frac{3\alpha_2}{4\pi} \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+g_{Q2}\biggr)+\frac{4\alpha_3}{3\pi} \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+g_{Q3}\biggr)-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
- \frac{1}{8\pi^2}Y_U Y_U^\unicode{8224}\biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+g_{QU}\biggr)- \frac{1}{8\pi^2}Y_D Y_D^\unicode{8224}\biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+g_{QD}\biggr)+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
Z_U ={} 1+\frac{4\alpha_1}{15\pi} \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+g_{U1}\biggr)+\frac{4\alpha_3}{3\pi} \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+g_{U3}\biggr) -{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
- \frac{1}{4\pi^2}Y_U^\unicode{8224} Y_U\biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+g_{UU}\biggr)+O(\alpha^2,\alpha Y^2, Y^4),
\end{equation}
\tag{36}
$$
$$
\begin{equation}
Z_D ={} 1+\frac{\alpha_1}{15\pi} \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+g_{D1}\biggr)+\frac{4\alpha_3}{3\pi} \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+g_{D3}\biggr) -{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
- \frac{1}{4\pi^2}Y_D^\unicode{8224} Y_D\biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+g_{DD}\biggr)+O(\alpha^2,\alpha Y^2, Y^4),
\end{equation}
\tag{37}
$$
$$
\begin{equation}
(Z_L)^\mathrm{T}={} 1+\frac{3\alpha_1}{20\pi} \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+g_{L1}\biggr)+\frac{3\alpha_2}{4\pi} \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+g_{L2}\biggr) -{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
- \frac{1}{8\pi^2}Y_E Y_E^\unicode{8224}\biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+g_{LE}\biggr)+ O(\alpha^2,\alpha Y^2, Y^4),
\end{equation}
\tag{38}
$$
$$
\begin{equation}
Z_E ={} 1+\frac{3\alpha_1}{5\pi} \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+g_{E1}\biggr) - \frac{1}{4\pi^2}Y_E^\unicode{8224} Y_E\biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+g_{EE}\biggr)+O(\alpha^2,\alpha Y^2, Y^4),
\end{equation}
\tag{39}
$$
$$
\begin{equation}
Z_{H_u}={} 1+\frac{3\alpha_1}{20\pi} \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+g_{H_u1}\biggr)+\frac{3\alpha_2}{4\pi} \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+g_{H_u2}\biggr) -{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
- \frac{3}{8\pi^2}\operatorname{tr}(Y_U Y_U^\unicode{8224})\biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+g_{H_uU}\biggr)+ O(\alpha^2,\alpha Y^2, Y^4),
\end{equation}
\tag{40}
$$
$$
\begin{equation}
Z_{H_d}={} 1+\frac{3\alpha_1}{20\pi} \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+g_{H_d1}\biggr)+\frac{3\alpha_2}{4\pi} \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+g_{H_d2}\biggr) - \frac{3}{8\pi^2}\operatorname{tr}(Y_D Y_D^\unicode{8224})\times{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\times\biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+g_{H_dD}\biggr)-\frac{1}{8\pi^2}\operatorname{tr}(Y_E Y_E^\unicode{8224})\biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+g_{H_dE}\biggr)+ O(\alpha^2,\alpha Y^2, Y^4).
\end{equation}
\tag{41}
$$
Для перенормировки юкавских констант связи мы будем использовать более общие выражения, чем обычно применяемые
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, Y_{0U} &= (Z_{H_u})^{-1/2}((Z_{Q})^\mathrm{T})^{-1/2}Y_U(Z_{U})^{-1/2},\\ Y_{0D} &= (Z_{H_d})^{-1/2}((Z_{Q})^\mathrm{T})^{-1/2}Y_D(Z_{D})^{-1/2},\\ Y_{0E} &=(Z_{H_d})^{-1/2}((Z_{L})^\mathrm{T})^{-1/2}Y_E(Z_{E})^{-1/2}, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{42}
$$
а именно
$$
\begin{equation}
Y_{0U}={} \biggl[ 1-\frac{13\alpha_1}{60\pi} \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+j_{U1}\biggr)-\frac{3\alpha_2}{4\pi} \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+j_{U2}\biggr)-\frac{4\alpha_3}{3\pi} \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+j_{U3}\biggr)+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+\frac{3}{16\pi^2}\operatorname{tr}(Y_U Y_U^\unicode{8224})\biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+j_{UtU}\biggr)+{}\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+\frac{1}{16\pi^2}Y_D Y_D^\unicode{8224}\biggl(\ln \frac{\Lambda}{\mu}+j_{UD}\biggr)+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+\frac{3}{16\pi^2}Y_U Y_U^\unicode{8224}\biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+j_{UU}\biggr)\biggr]Y_U +O(\alpha^2Y,\alpha Y^3, Y^5),
\end{equation}
\tag{43}
$$
$$
\begin{equation}
Y_{0D}={} \biggl[ 1-\frac{7\alpha_1}{60\pi} \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+j_{D1}\biggr)-\frac{3\alpha_2}{4\pi} \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+j_{D2}\biggr)-\frac{4\alpha_3}{3\pi} \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+ j_{D3}\biggr)+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+\frac{3}{16\pi^2}\operatorname{tr}(Y_D Y_D^\unicode{8224}) \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+j_{DtD}\biggr)+\frac{1}{16\pi^2}\operatorname{tr} (Y_E Y_E^\unicode{8224})\biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+j_{DtE}\biggr)+{}\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+\frac{3}{16\pi^2}Y_D Y_D^\unicode{8224}\biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+j_{DD}\biggr) +\frac{1}{16\pi^2}Y_U Y_U^\unicode{8224}\biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+j_{DU}\biggr)\biggr]Y_D +{}\nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
Y_{0E}={} \biggl[ 1-\frac{9\alpha_1}{20\pi} \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+j_{E1}\biggr)-\frac{3\alpha_2}{4\pi} \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu} +j_{E2}\biggr)+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+\frac{3}{16\pi^2}\operatorname{tr}(Y_D Y_D^\unicode{8224}) \biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+j_{EtD}\biggr) +\frac{1}{16\pi^2}\operatorname{tr}(Y_E Y_E^\unicode{8224})\biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+j_{EtE}\biggr)+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
+\frac{3}{16\pi^2}Y_E Y_E^\unicode{8224}\biggl( \ln \frac{\Lambda}{\mu}+j_{EE}\biggr)\biggr]Y_E+O(\alpha^2Y,\alpha Y^3, Y^5).
\end{equation}
\tag{45}
$$
В работе [34] можно найти соотношения, выражающие константы $j_{aK}$ и $j_{ab}$ через $g_{aK}$ и $g_{ab}$ так, чтобы выполнялись соотношения (42). Результат для двухпетлевых аномальных размерностей в терминах перенормированных констант связи мы также по причине большой длины формул приводим только для $\tilde\gamma_Q$:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \tilde\gamma_{Q}(\alpha,&Y)^\mathrm{T}= -\frac{\alpha_1}{60\pi}-\frac{3\alpha_2}{4\pi}-\frac{4\alpha_3}{3\pi}+\frac{1}{8\pi^2}\biggl(Y_UY_U^\unicode{8224}+Y_DY_D^\unicode{8224}\biggr)+ \frac{1}{2\pi^2}\biggl[\frac{1}{3600}\alpha_{1}^2+\frac{9}{16}\alpha_{2}^2 +{} \notag\\ &+\frac{16}{9}\alpha_{3}^2+\frac{1}{40}\alpha_{1}\alpha_{2}+\frac{2}{45}\alpha_{1}\alpha_{3} + 2\alpha_{2}\alpha_{3} +\frac{11}{100}\alpha_{1}^2\biggl(\ln a_{1}+1+\frac{A}{2}+g_{Q1}-b_{1,1}\biggr)+{} \notag\\ &+\frac{3}{4}\alpha_{2}^2\biggl(-6\ln a_{\varphi,2}+7\ln a_{2}+1+\frac{A}{2}+g_{Q2}-b_{1,2}\biggr) -{} \notag\\ &- 4\alpha_{3}^2\biggl(3\ln a_{\varphi,3}-2\ln a_{3}+1+\frac{A}{2}+g_{Q3}-b_{1,3}\biggr)\biggr]+{} \notag\\ &+\frac{1}{8\pi^3}Y_UY_U^\unicode{8224}\biggl[\alpha_{1}\biggl(\frac{1}{5}+\frac{13}{60}(B-A+2g_{QU}-2j_{U1})\biggr)+{} \notag\\ &+\frac{3}{4}\alpha_{2}(B-A+2g_{QU}-2j_{U2})+\frac{4}{3}\alpha_{03}(B-A+2g_{QU}-2j_{U3})\biggr]+{} \notag\\ &+ \frac{1}{8\pi^3}Y_DY_D^\unicode{8224}\biggl[\alpha_{1}\biggl(\frac{1}{10}+\frac{7}{60}(B-A+2g_{QD}-2j_{D1})\biggr)+{} \notag\\ &+\frac{3}{4}\alpha_{2}(B-A+2g_{QD}-2j_{D2})+\frac{4}{3}\alpha_{3}(B-A+2g_{QD}-2j_{D3})\biggr]-{} \notag \\ &- \frac{1}{(8\pi^2)^2}\biggl[(Y_UY_U^\unicode{8224})^2(1+3g_{QU}-3j_{UU})+(Y_DY_D^\unicode{8224})^2 (1+3g_{QD}-3j_{DD})+{} \notag\\ &+\frac{3}{2}\operatorname{tr}(Y_UY_U^\unicode{8224})Y_UY_U^\unicode{8224}(1+2g_{QU}-2j_{UtU}) +\frac{3}{2}\operatorname{tr}(Y_DY_D^\unicode{8224})Y_DY_D^\unicode{8224}\times{} \notag\\ &\times(1+2g_{QD}-2j_{DtD})+\frac{1}{2}\operatorname{tr}(Y_EY_E^\unicode{8224})Y_DY_D^\unicode{8224}(1+2g_{QD}-2j_{DtE}) +{} \notag\\ &+\frac{1}{2}( Y_UY_U^\unicode{8224} Y_DY_D^\unicode{8224} +Y_DY_D^\unicode{8224} Y_UY_U^\unicode{8224} )(g_{QU}+g_{QD}-j_{UD}-j_{DU})\biggr]+{} \notag \\ & +O(\alpha^3 ,\alpha^2 Y^2,\alpha Y^4,Y^6). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{46}
$$
Результат для трехпетлевых $\beta$-функций в терминах перенормированных констант связи также получен на основании полученных ранее $\beta$-функций в терминах голых констант связи путем интегрирования ренормгрупповых уравнений. Он приводится здесь для $\tilde\beta_3$, а остальные аномальные размерности и $\beta$-функции в терминах перенормированных констант связи можно найти в работе [34]:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, &\frac{\tilde\beta_3(\alpha, Y)}{\alpha_{3}^2}=-\frac{1}{2\pi}\biggl\{ 3-\frac{11}{20}\frac{\alpha_{1}}{\pi}-\frac{9}{4}\frac{\alpha_{2}}{\pi}-\frac{7}{2}\frac{\alpha_{3}}{\pi}+\frac{1}{4\pi^2}\operatorname{tr}(Y_{U}Y_{U}^\unicode{8224}+Y_{D}Y_{D}^\unicode{8224})+{} \notag\\ &\qquad+ \frac{1}{2\pi^2}\biggl[ \frac{137}{1200}\alpha_{1}^2+\frac{27}{16}\alpha_{2}^2+\frac{1}{6}\alpha_{3}^2+\frac{3}{40}\alpha_{1}\alpha_{2}-\frac{11}{60}\alpha_{1}\alpha_{3}-\frac{3}{4}\alpha_{2}\alpha_{3} +{} \notag\\ &\qquad+\frac{363}{100}\alpha_{1}^2\biggl(\ln a_{1}+1+\frac{A}{2}+b_{2 ,31}-b_{1 ,1}\biggr)+{} \notag\\ &\qquad+\frac{9}{4}\alpha_{2}^2\biggl(7\ln a_{2}-6\ln a_{\varphi,2}+1+\frac{A}{2}+b_{2 ,32}-b_{1 ,2}\biggr)-{} \notag\\ &\qquad- 24\alpha_{3}^2\biggl(3\ln a_{\varphi,3}-2\ln a_{3}+1+\frac{A}{2}+\frac{7}{16}b_{2 ,33}-\frac{7}{16}b_{1 ,3}\biggr) \biggr]+{} \notag\\ &\qquad+\frac{1}{8\pi^3}\operatorname{tr}(Y_{U}Y_{U}^\unicode{8224}) \biggl[ \alpha_{1}\biggl( \frac{3}{20}+\frac{13}{30}(B-A+2b_{2 ,3U}-2j_{U1}) \biggr) +{} \notag\\ &\qquad+ \alpha_{2}\biggl( \frac{3}{4}+\frac{3}{2}(B-A+2b_{2 ,3U}-2j_{U2}) \biggr)+\alpha_{3} \biggl(3+\frac{8}{3}(B-A+2b_{2 ,3U}-2j_{U3}) \biggr) \biggr]+{} \notag\\ &\qquad+ \frac{1}{8\pi^3}\operatorname{tr}(Y_{D}Y_{D}^\unicode{8224})\biggl[ \alpha_{1}\biggl( \frac{3}{20}+\frac{7}{30}(B-A+2b_{2 ,3D}-2j_{D1}) \biggr)+{} \notag\\ &\qquad+ \alpha_{2}\biggl( \frac{3}{4}+\frac{3}{2}(B-A+2b_{2 ,3D}-2j_{D2}) \biggr)+\alpha_{3}\biggl( 3+\frac{8}{3}(B-A+2b_{2 ,3D}-2j_{D3}) \biggr) \biggr] -{} \notag \\ &\qquad- \frac{1}{(8\pi^2)^2}\Big( \frac{3}{2}\operatorname{tr}( (Y_{U}Y_{U}^\unicode{8224})^2)(1+4b_{2 ,3U}-4j_{UU}) +{} \notag\\ &\qquad+\frac{3}{2}\operatorname{tr}( (Y_{D}Y_{D}^\unicode{8224})^2)(1+4b_{2 ,3D}- 4j_{DD})+{} \notag\\ &\qquad+ 3\operatorname{tr}^2(Y_{U}Y_{U}^\unicode{8224})(1+2b_{2 ,3U}-2j_{UtU})+3\operatorname{tr}^2(Y_{D}Y_{D}^\unicode{8224})(1+2b_{2 ,3D}-2j_{DtD})+{} \notag\\ &\qquad+\operatorname{tr}(Y_{E}Y_{E}^\unicode{8224})\operatorname{tr}(Y_{D}Y_{D}^\unicode{8224})(1+2b_{2 ,3D}-2j_{DtE})+\operatorname{tr}(Y_{D}Y_{D}^\unicode{8224} Y_{U}Y_{U}^\unicode{8224})\times{} \notag\\ &\qquad\times (1+2b_{2 ,3U}+2b_{2 ,3D}-2j_{UD}-2j_{DU}) \Big) \biggr\}+O(\alpha^3,\alpha^2 Y^2,\alpha Y^4,Y^6). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{47}
$$
В работе [30] эти же РГФ были найдены ранее в $\overline{DR}$-схеме. В наших обозначениях результат для $\tilde\gamma_Q$ и $\tilde\beta_3$ в $\overline{DR}$-схеме выглядит соответственно как
$$
\begin{equation}
\tilde\gamma_{Q}(\alpha,Y)^\mathrm{T} = -\frac{\alpha_1}{60\pi}-\frac{3\alpha_2}{4\pi}-\frac{4\alpha_3}{3\pi}+\frac{1}{8\pi^2}(Y_UY_U^\unicode{8224}+Y_DY_D^\unicode{8224})+ \frac{1}{2\pi^2}\biggl[\frac{199}{3600}\alpha_{1}^2+\frac{15}{16}\alpha_{2}^2 -{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad-\frac{2}{9}\alpha_{3}^2+\frac{1}{40}\alpha_{1}\alpha_{2}+\frac{2}{45}\alpha_{1}\alpha_{3} + 2\alpha_{2}\alpha_{3}\biggr] +\frac{1}{8\pi^3}Y_UY_U^\unicode{8224} \frac{\alpha_{1}}{5} + \frac{1}{8\pi^3}Y_DY_D^\unicode{8224} \frac{\alpha_{1}}{10}-{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad - \frac{1}{(8\pi^2)^2}\biggl[(Y_UY_U^\unicode{8224})^2+(Y_DY_D^\unicode{8224})^2 +\frac{3}{2}\operatorname{tr}(Y_UY_U^\unicode{8224})Y_UY_U^\unicode{8224} +\frac{3}{2}\operatorname{tr}(Y_DY_D^\unicode{8224})Y_DY_D^\unicode{8224} +{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+ \frac{1}{2}\operatorname{tr}(Y_EY_E^\unicode{8224})Y_DY_D^\unicode{8224} \biggr] +O(\alpha^3,\alpha^2 Y^2,\alpha Y^4,Y^6),
\end{equation}
\tag{48}
$$
$$
\begin{equation}
\frac{\tilde\beta_3(\alpha , Y)}{\alpha_{3}^2}=-\frac{1}{2\pi}\biggl[ 3-\frac{11}{20}\frac{\alpha_{1}}{\pi}-\frac{9}{4}\frac{\alpha_{2}}{\pi}-\frac{7}{2}\frac{\alpha_{3}}{\pi}+\frac{1}{4\pi^2}\operatorname{tr}(Y_{U}Y_{U}^\unicode{8224}+Y_{D}Y_{D}^\unicode{8224})+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+ \frac{1}{2\pi^2}\biggl[ \frac{851}{300}\alpha_{1}^2+\frac{27}{8}\alpha_{2}^2-\frac{347}{24}\alpha_{3}^2+\frac{3}{40}\alpha_{1}\alpha_{2}-\frac{11}{60}\alpha_{1}\alpha_{3}-\frac{3}{4}\alpha_{2}\alpha_{3} \biggr]+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad+\frac{1}{8\pi^3} \operatorname{tr}(Y_{U}Y_{U}^\unicode{8224}) \biggl[ \frac{11}{30}\alpha_{1} + \frac{3}{2} \alpha_{2}+\frac{13}{3}\alpha_{3}\biggr]+ \frac{1}{8\pi^3}\operatorname{tr}(Y_{D}Y_{D}^\unicode{8224})\biggl[ \frac{4}{15} \alpha_{1}+ \frac{3}{2} \alpha_{2}+\frac{13}{3}\alpha_{3} \biggr] -{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad- \frac{1}{(8\pi^2)^2}\biggl( 3 \operatorname{tr}( (Y_{U}Y_{U}^\unicode{8224})^2) + 3 \operatorname{tr}( (Y_{D}Y_{D}^\unicode{8224})^2) + \frac{9}{2}\operatorname{tr}^2(Y_{U}Y_{U}^\unicode{8224})+\frac{9}{2}\operatorname{tr}^2(Y_{D}Y_{D}^\unicode{8224})+{} \nonumber
\end{equation}
\notag
$$
$$
\begin{equation}
\qquad +\frac{3}{2} \operatorname{tr}(Y_{E}Y_{E}^\unicode{8224})\operatorname{tr}(Y_{D}Y_{D}^\unicode{8224})+2\operatorname{tr}(Y_{D}Y_{D}^\unicode{8224} Y_{U}Y_{U}^\unicode{8224})\biggr) \biggr]+O(\alpha^3,\alpha^2 Y^2,\alpha Y^4,Y^6).
\end{equation}
\tag{49}
$$
В работе [34] показано, что при определенном перенормировочном предписании полученные здесь РГФ полностью воспроизводят соответствующие РГФ, найденные в $\overline{DR}$-схеме, т. е. найдены значения конечных констант $b_{1,K}$, $b_{2,KL}$, $b_{2,Ka}$, $g_{aK}$, $g_{ab}$, $j_{aK}$, $j_{ab}$ (зависящие от параметров регуляризации $a_K$, $a_{\varphi,K}$, $A$, $B$), при которых (46) совпадает с (48), а (47) совпадает с (49), и для остальных аномальных размерностей и $\beta$-функций тоже имеет место такое же соответствие. 6. Перенормировочные предписания, сохраняющие соотношения НШВЗ для МССМСоотношения НШВЗ (22)–(24), конечно, не будут выполняться для $\tilde\gamma_a{}^b$ и $\tilde\beta_K$ при любых значениях $b_{1,K}$, $b_{2,KL}$, $b_{2,Ka}$, $g_{aK}$, $g_{ab}$. Подставляя в них найденные аномальные размерности и $\beta$-функции в терминах перенормированных констант связи, можно найти соотношения, которым должны удовлетворять эти константы, чтобы формулы НШВЗ оставались справедливы для этих РГФ:
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, & b_{2,11}=\frac{1}{398}(g_{Q1}+128g_{U1}+8g_{D1}+27g_{L1}+216g_{E1}+9g_{H_u1}+9g_{H_d1}), \\ & b_{2,12}=\frac{1}{6}(g_{Q2}+3g_{L2}+g_{H_u2}+g_{H_d2}), \quad b_{2,13}=\frac{1}{11}(g_{Q3}+8g_{U3}+2g_{D3}),\\ & b_{2,21}=\frac{1}{6}(g_{Q1}+3g_{L1}+g_{H_u1}+g_{H_d1}), \\ & b_{2,22}=\frac{1}{50}(27g_{Q2}+9g_{L2}+3g_{H_u2}+3g_{H_d2}+ 8b_{1,2}),\\ & b_{2,23}=g_{Q3}, \quad b_{2,31}=\frac{1}{11}(g_{Q1}+8g_{U1}+2g_{D1}), \quad b_{2,32}=g_{Q2}, \\ & b_{2,33}=\frac{1}{7}(8g_{Q3}+4g_{U3}+4g_{D3}-9b_{1,3}), \quad b_{2,1U}=\frac{1}{26}(g_{QU}+16g_{UU}+9g_{H_uU}), \\ & b_{2,1D}=\frac{1}{14}(g_{QD}+4g_{DD}+9g_{H_dD}), \quad b_{2,1E}=\frac{1}{6}(g_{LE}+4g_{EE}+g_{H_dE}), \\ & b_{2,2U}=\frac{1}{2}(g_{QU}+g_{H_uU}), \quad b_{2,2D}=\frac{1}{2}(g_{QD}+g_{H_dD}), \quad b_{2,2E}=\frac{1}{2}(g_{LE}+g_{H_dE}), \\ & b_{2,3U}=\frac{1}{2}(g_{QU}+g_{UU}), \quad b_{2,3D}=\frac{1}{2}(g_{QD}+g_{DD}). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{50}
$$
Таким образом, все перенормировочные предписания, удовлетворяющие (50), относятся к так называемым НШВЗ-схемам, т. е. к схемам, сохраняющим формулы НШВЗ. HD+MSL-предписание, очевидно, относится к ним, поскольку в нем $b_{1,K}$, $b_{2,KL}$, $b_{2,Ka}$, $g_{aK}$, $g_{ab}=0$. С другой стороны, существует общая формула, описывающая конечную перенормировку, позволяющую осуществлять переход от одной НШВЗ-схемы к другой [35], обобщенная в работе [26] на случай теории с не простой калибровочной группой. Она имеет вид
$$
\begin{equation}
\alpha_K^\prime=\alpha_K^\prime (\alpha , \lambda), \quad \lambda^\prime=\lambda^\prime (\alpha , \lambda), \quad Z_a^\prime \biggl(\alpha^\prime , \lambda^\prime , \ln \frac{\Lambda}{\mu}\biggr)=z_a (\alpha, \lambda) Z_a \biggl(\alpha, \lambda, \ln \frac{\Lambda}{\mu}\biggr),
\end{equation}
\tag{51}
$$
причем должно выполняться соотношение
$$
\begin{equation}
\frac{1}{\alpha_K^\prime} - \frac{1}{\alpha_K}+\frac{C_2(G_K)}{2\pi}\ln \frac{\alpha_K^\prime}{\alpha_K}-\frac{1}{2\pi}\sum_a T_{aK} \ln z_a = B_K,
\end{equation}
\tag{52}
$$
где $B_K$ – некоторые константы. Для случая МССМ соотношение (52) дает
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \frac{1}{\alpha_3^\prime}& - \frac{1}{\alpha_3}+\frac{3}{2\pi}\ln \frac{\alpha_3^\prime}{\alpha_3}-\frac{1}{2\pi}\operatorname{tr} \biggl( \ln (z_Q)^\mathrm{T}+\frac{1}{2}\ln z_U +\frac{1}{2}\ln z_D \biggr) = B_3, \\ \frac{1}{\alpha_2^\prime} &- \frac{1}{\alpha_2}+\frac{1}{\pi}\ln \frac{\alpha_2^\prime}{\alpha_2}-\frac{1}{2\pi}\operatorname{tr} \biggl( \frac{3}{2} \ln (z_Q)^\mathrm{T}+\frac{1}{2}\ln (z_L)^\mathrm{T} \biggr) -{} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad-\frac{1}{2\pi} \biggl( \frac{1}{2} \ln z_{H_u}+\frac{1}{2}\ln z_{H_d} \biggr) = B_2, \\ \frac{1}{\alpha_1^\prime} &- \frac{1}{\alpha_1} - \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{3}{5} \biggl[\operatorname{tr} \biggl( \frac{1}{6} \ln (z_Q)^\mathrm{T}+\frac{4}{3}\ln z_U +\frac{1}{3}\ln z_D+\frac{1}{2}\ln (z_L)^\mathrm{T}+ \ln z_E \biggr) +{} \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad +\frac{1}{2} \ln z_{H_u}+\frac{1}{2}\ln z_{H_d} \biggr] = B_1. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{53}
$$
Соотношения (50) согласуются с общим результатом (52), поскольку их можно получить вместе со значениями констант $B_K$, задаваемыми как
$$
\begin{equation}
B_1=\frac{33}{10\pi} b_{1 ,1}, \qquad B_2=\frac{1}{2\pi} b_{1 ,2}, \qquad B_3=-\frac{3}{2\pi} b_{1 ,3},
\end{equation}
\tag{54}
$$
если подставить в (53) выражения, задающие конечную перенормировку, связывающую HD+MSL-схему (которой соответствуют калибровочные константы связи $\alpha_K$) с используемым здесь произвольным перенормировочным предписанием, определенным уравнениями (32)–(34) и (35)–(41) (ему соответствуют $\alpha_K^\prime$):
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \frac{1}{\alpha_3^\prime} &= \frac{1}{\alpha_3}-\frac{1}{2\pi}\biggl[3b_{1,3}-\frac{11\alpha_1}{20\pi}b_{2,31}-\frac{9\alpha_2}{4\pi}b_{2,32}-\frac{7\alpha_3}{2\pi}b_{2,33}+\frac{1}{4\pi^2}\operatorname{tr}(Y_U Y_U^\unicode{8224})b_{2,3U}+{} \\ &\qquad\qquad\qquad+\frac{1}{4\pi^2}\operatorname{tr}(Y_D Y_D^\unicode{8224})b_{2,3D}\biggr]+ O(\alpha^2,\alpha Y^2 ,Y^4), \\ \frac{1}{\alpha_2^\prime} &= \frac{1}{\alpha_2}-\frac{1}{2\pi}\biggl[-b_{1,2}-\frac{9\alpha_1}{20\pi}b_{2,21}-\frac{25\alpha_2}{4\pi}b_{2,22}-\frac{6\alpha_3}{\pi}b_{2,23}+\frac{3}{8\pi^2}\operatorname{tr}(Y_U Y_U^\unicode{8224})b_{2,2U}+{} \\ &\qquad\qquad\qquad+\frac{3}{8\pi^2}\operatorname{tr}(Y_D Y_D^\unicode{8224})b_{2,2D}+\frac{1}{8\pi^2}\operatorname{tr}(Y_E Y_E^\unicode{8224})b_{2,2E}\biggr]+O(\alpha^2,\alpha Y^2,Y^4), \\ \frac{1}{\alpha_1^\prime} &= \frac{1}{\alpha_1}-\frac{1}{2\pi}\cdot\frac{3}{5}\biggl[-11b_{1,1}-\frac{199\alpha_1}{60\pi}b_{2,11}-\frac{9\alpha_2}{4\pi}b_{2,12}-\frac{22\alpha_3}{3\pi}b_{2,13}+\frac{13}{24\pi^2}\times{} \\ &\qquad\times\operatorname{tr}(Y_U Y_U^\unicode{8224})b_{2,1U}+\frac{7}{24\pi^2}\operatorname{tr}(Y_D Y_D^\unicode{8224})b_{2,1D}+\frac{3}{8\pi^2}\operatorname{tr}(Y_E Y_E^\unicode{8224})b_{2,1E}\biggr]+{} \\ &\qquad\qquad\qquad+O(\alpha^2,\alpha Y^2,Y^4), \\ (z_Q)^\mathrm{T}&=1+\frac{\alpha_1}{60\pi}g_{Q1}+\frac{3\alpha_2}{4\pi}g_{Q2}+\frac{4\alpha_3}{3\pi}g_{Q3}-\frac{1}{8\pi^2}Y_UY_U^\unicode{8224} g_{QU}-\frac{1}{8\pi^2}Y_DY_D^\unicode{8224} g_{QD}+{} \\ &\qquad+O(\alpha^2,\alpha Y^2,Y^4), \\ z_U&=1+\frac{4\alpha_1}{15\pi}g_{U1}+\frac{4\alpha_3}{3\pi}g_{U3}-\frac{1}{4\pi^2}Y_U^\unicode{8224} Y_U g_{UU}+O(\alpha^2,\alpha Y^2,Y^4), \\ z_D&=1+\frac{\alpha_1}{15\pi}g_{D1}+\frac{4\alpha_3}{3\pi}g_{D3}-\frac{1}{4\pi^2}Y_D^\unicode{8224} Y_D g_{DD}+O(\alpha^2,\alpha Y^2,Y^4), \\ (z_L)^\mathrm{T}&=1+\frac{3\alpha_1}{20\pi}g_{L1}+\frac{3\alpha_2}{4\pi}g_{L2}-\frac{1}{8\pi^2}Y_E Y_E^\unicode{8224} g_{LE}+O(\alpha^2,\alpha Y^2,Y^4), \\ z_E&=1+\frac{3\alpha_1}{5\pi}g_{E1}-\frac{1}{4\pi^2}Y_E^\unicode{8224} Y_E g_{EE}+O(\alpha^2,\alpha Y^2,Y^4), \\ z_{H_u}&=1+\frac{3\alpha_1}{20\pi}g_{H_u1}+\frac{3\alpha_2}{4\pi}g_{H_u2}-\frac{3}{8\pi^2}\operatorname{tr}(Y_U^\unicode{8224} Y_U) g_{H_uU}+O(\alpha^2 ,\alpha Y^2 ,Y^4), \\ z_{H_d}&=1+\frac{3\alpha_1}{20\pi}g_{H_d1}+\frac{3\alpha_2}{4\pi}g_{H_d2}-\frac{3}{8\pi^2}\operatorname{tr}(Y_D^\unicode{8224} Y_D) g_{H_dD}-\frac{1}{8\pi^2}\operatorname{tr}(Y_E^\unicode{8224} Y_E) g_{H_dE}+{} \\ &\qquad+O(\alpha^2,\alpha Y^2,Y^4). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, полученный в настоящей работе результат подтверждает общую формулу (52) для случая МССМ (заметим, что в рассмотренном приближении уже имеет место зависимость от схемы вычитаний). 7. ЗаключениеВ терминах как голых, так и перенормированных констант связи были найдены трехпетлевые $\beta$-функции для МССМ, регуляризованной высшими ковариантными производными. Поскольку известно, что в $\mathcal{N}=1$ суперсимметричных теориях РГФ, определенные в терминах голых констант связи, удовлетворяют при данной регуляризации соотношению НШВЗ во всех петлях [22], сначала мы нашли выражения для двухпетлевых аномальных размерностей всех киральных суперполей материи МССМ, выраженные через голые константы связи. Для их получения мы обобщили на случай МССМ, являющейся теорией с не простой калибровочной группой, соответствующую формулу, полученную в работе [33] для теории с одной калибровочной константой связи. На их основании с помощью соотношений НШВЗ (обобщенных в работе [26] для теории с несколькими калибровочными константами связи) были получены трехпетлевые $\beta$-функции, тоже выраженные через голые константы связи. Найденные РГФ были использованы, чтобы получить эти же двухпетлевые аномальные размерности и трехпетлевые $\beta$-функции, стандартным образом определенные в терминах перенормированных констант связи. Последние РГФ уже зависят от перенормировочного предписания, которое мы выбрали в общем виде, согласующемся с суперсимметрией, т. е. такое, при котором все компоненты суперполей имеют одинаковые константы перенормировки (мы использовали формулировку в терминах $\mathcal{N}= 1$ суперполей, при которой суперсимметрия является явной). В рассматриваемом приближении РГФ, определенные в терминах перенормированных констант связи, не удовлетворяют соотношениям НШВЗ при любом перенормировочном предписании. Сравнив двухпетлевые аномальные размерности и трехпетлевые $\beta$-функции, выраженные через перенормированные константы связи, мы нашли класс таких перенормировочных предписаний, при которых для этих РГФ продолжают выполняться соотношения НШВЗ. К ним, конечно же, относится HD+MSL-схема, в которой все конечные константы, определяющие перенормировочное предписание, равны нулю. $\overline{DR}$-схема, напротив, классу таких схем не принадлежит [8], [9]. В этой схеме двухпетлевые аномальные размерности и трехпетлевые $\beta$-функции для МССМ были получены в работе [30]. При определенном перенормировочном предписании полученный здесь результат полностью воспроизводит их и поэтому может считаться также независимым подтверждением соответствующих результатов, полученных в $\overline{DR}$-схеме. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{SteHanShi23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|