| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Элементы Шаповалова и диаграммы Хассе Д. Алгетамиab, А. И. Мудровac a University of Leicester, Leicester, United Kingdom b University of Bisha, Bisha, Saudi Arabia c Центр фундаментальной математики, Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет), Долгопрудный, Московская обл., Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923090015 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеЭлементы Шаповалова $\theta_{\beta,m}$ для универсальной обертывающей алгебры $U(\mathfrak{g})$ простой алгебры Ли $\mathfrak{g}$ были введены в работе [1] при изучении контравариантной формы Шаповалова на $U(\mathfrak{g})$. Они принадлежат отрицательной борелевской подалгебре $U(\mathfrak{b}_{-})$, расширенной над кольцом частных подалгебры Картана $U(\mathfrak{h})$, и параметризуются положительным корнем $\beta$ и натуральным числом $m$. Элемент $\theta_{\beta,m}$ имеет вес $-m\beta$ и преобразует вакуумный вектор $v_\lambda$ модуля Верма $V_\lambda$ в особый вектор $\theta_{\beta,m}v_\lambda\in V_\lambda$, если старший вес $\lambda$ модуля $V_\lambda$ удовлетворяет условию Каца–Каждана $2(\lambda+\rho,\beta)-m(\beta,\beta)=0$, где $\rho$ – полусумма положительных корней. Таким образом, элементы Шаповалова задают старшие векторы подмодулей Верма в $V_\lambda$ и поэтому важны в теории представлений [2]. Элементы $\theta_{\beta,m}$ могут быть определены и для квантовых групп $U_q(\mathfrak{g})$ при соответствующей модификации критерия приводимости для $V_\lambda$ [3]. В то время как имеется многочисленная литература по классической версии элементов $\theta_{\beta,m}$, их квантовые аналоги известны в явном виде только для случая $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(n)$ [4], [5]. В этой работе мы получаем такие выражения в рамках общей схемы [6] на основе изучения обратной формы Шаповалова и ее матричных элементов [7]. Имеются и другие подходы к построению элементов Шаповалова [9]–[11]. В настоящей статье мы следуем работе [6], в которой были предложены наиболее явные выражения для $\theta_{\beta,m}$ из известных на сегодняшний день. Основная идея нашего подхода проистекает из простого наблюдения, что особые векторы модуля $V_\lambda$ порождают ядро канонической контравариантной формы на $V_\lambda$, которая получается из формы Шаповалова специализацией подалгебры $U_q(\mathfrak{h})$ на весе $\lambda$. Тем самым элемент $\theta_{\beta,m}$ может быть найден как вычет некоторых матричных элементов обратной формы Шаповалова. Знание обратной формы Шаповалова позволяет решить проблему в два этапа: сначала мы представляем $\theta_{\beta,m}$ как произведение множителей $\theta_{\beta,1}$, а затем вычисляем $\theta_{\beta,1}$, используя обобщенный алгоритм Найджела–Мошинского [7], [8]. В классической версии теории этот алгоритм связывает обратную форму Шаповалова с ограниченной обратной формой Киллинга $\mathcal C\in\mathfrak{g}_{+}\otimes\mathfrak{g}_{-}$ (расщепленный “полуказимир”). В квантовом случае роль $\mathcal C$ играет универсальная $R$-матрица квантовой группы $U_q(\mathfrak{g})$ без экспоненциального картановского множителя. Таким образом, для описания $\theta_{\beta,m}$ в рамках нашего метода требуется знать квантовый $L$-оператор в подходящем вспомогательном представлении. Как было доказано в [6], для этого достаточно ограничиться фундаментальным представлением минимальной размерности. Квантовый $L$-оператор для исключительных групп неизвестен даже в базовом представлении (кроме $\mathfrak{g}_2$), в то время как случай классических серий намного проще. Поэтому мы оставили случай исключительных групп за пределами данной публикации. Напротив, случай классических универсальных обертывающих алгебр полностью был разобран в работе [6], поскольку расщепленный полуказимир для этих алгебр может быть записан с помощью структурных констант алгебры Ли $\mathfrak{g}$. 2. Постановка задачи2.1. Основые сведения о квантовых группахДалее $\mathfrak{g}$ обозначает комплексную алгебру Ли одного из классических типов $\mathfrak{gl}(N)$, $\mathfrak{so}(N)$ и $\mathfrak{sp}(N)$. Мы будем работать с матричной реализацией $\mathfrak{g}\subset\operatorname{End}(V)$, где $V$ – это естественный фундаментальный модуль, $V\simeq\mathbb{C}^N$. Мы предполагаем треугольное разложение $\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_{-}\oplus\mathfrak{h}\oplus\mathfrak{g}_{+}$, где $\mathfrak{h}$ – диагональная подалгебра Картана, $\mathfrak{g}_{+}$ и $\mathfrak{g}_{-}$ – верхнетреугольная и нижнетреугольная нильпотентные подалгебры соответственно. Точное представление, с которым мы работаем, предъявлено в разделе 4. Базис $\Pi=\{\alpha_i\}$ простых корней выражается через ортонормированную систему весов $\{\varepsilon_i\}_{i=1}^n\subset\mathfrak{h}^*$ по формулам
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{5} \alpha_1&=\varepsilon_1-\varepsilon_2,\ldots,\alpha_{n-1}=\varepsilon_{n-1}-\varepsilon_n,& & & \mathfrak{g}&=\mathfrak{gl}(n), \\ \alpha_1&=\varepsilon_1-\varepsilon_2,\ldots,\alpha_{n-1}=\varepsilon_{n-1}-\varepsilon_n,&\quad \alpha_n&=\varepsilon_n, &\qquad \mathfrak{g}&=\mathfrak{so}(2n+1), \\ \alpha_1&=\varepsilon_1-\varepsilon_2,\ldots,\alpha_{n-1}=\varepsilon_{n-1}-\varepsilon_n, &\quad \alpha_n&=2\varepsilon_n, &\qquad \mathfrak{g}&=\mathfrak{sp}(2n), \\ \alpha_1&=\varepsilon_1-\varepsilon_2,\ldots,\alpha_{n-1}=\varepsilon_{n-1}-\varepsilon_n, &\qquad \alpha_n&=\varepsilon_{n-1}+\varepsilon_n, &\qquad \mathfrak{g}&=\mathfrak{so}(2n). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
Множество $\Pi$ порождает корневую систему $\mathrm R\subset\mathfrak{h}^*$ алгебры Ли $\mathfrak{g}$ с подмножеством $\mathrm R^{+}$ положительных корней. Мы обозначаем через $\Gamma=\mathbb{Z}\Pi\subset\mathfrak{h}^*$ корневую решетку, а через $\Gamma_{+}=\mathbb{Z}_{+}\Pi\subset\Gamma$ – ее положительную полугруппу. Выберем форму следа в качестве инвариантного скалярного произведения $(\,{\cdot}\,,\,{\cdot}\,)$ на $\mathfrak{g}$, ограничим ее на $\mathfrak{h}$ и перенесем ее на $\mathfrak{h}^*$ по дуальности. Для каждого $\lambda\in\mathfrak{h}^*$ определим единственный элемент $h_\lambda\in\mathfrak{h}$, такой что $\mu(h_\lambda)=(\mu,\lambda)$ для всех $\mu\in\mathfrak{h}^*$. Зафиксируем ненулевое комплексное число $q$, которое не является корнем из единицы, и положим $[z]_q=\frac{q^z-q^{-z}}{q-q^{-1}}$ для $z\in\mathfrak{h}+\mathbb{C}$. Стандартная квантовая группа $U_q(\mathfrak{g})$ – это комплексная алгебра Хопфа с набором генераторов $e_\alpha$, $f_\alpha$ и $q^{\pm h_\alpha}$, $\alpha\in\Pi$, удовлетворяющих соотношениям [12], [13]
$$
\begin{equation*}
q^{h_\alpha}e_\beta=q^{(\alpha,\beta)}e_\beta q^{h_\alpha},\quad [e_\alpha,f_\beta]=\delta_{\alpha,\beta}[h_\alpha]_q,\quad q^{h_\alpha}f_\beta=q^{-(\alpha,\beta)}f_\beta q^{h_\alpha},\qquad \alpha,\beta\in\Pi.
\end{equation*}
\notag
$$
Элементы $q^{h_\alpha}$ обратимы, $q^{h_\alpha}q^{-h_\alpha}=1$, а элементы $e_\alpha$ и $f_\alpha$, $\alpha\in\Pi$, подчиняются квантовым соотношениям Серра
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\sum_{k=0}^{1-a_{\alpha\beta}}(-1)^k \begin{bmatrix} 1-a_{\alpha\beta} \\ k \end{bmatrix}_{{}^{\scriptstyle q_\alpha}} e_\alpha^{1-a_{\alpha\beta}-k}e_{\beta}e_\alpha^k=0, \\ &\sum_{k=0}^{1-a_{\alpha\beta}}(-1)^k \begin{bmatrix} 1-a_{\alpha\beta} \\ k \end{bmatrix}_{{}^{\scriptstyle q_\alpha}} f_\alpha^{1-a_{\alpha\beta}-k}f_{\beta}f_\alpha^k=0, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
где $a_{\alpha\beta}=\frac{2(\alpha,\beta)}{(\alpha,\alpha)}$ – элементы матрицы Картана, $q_\alpha=q^{(\alpha,\alpha)/2}$ и
$$
\begin{equation*}
\begin{bmatrix} m \\ k \end{bmatrix}_{{}^{\scriptstyle q}}= \frac{[m]_q!}{[k]_q!\,[m-k]_q!},\qquad [m]_q!=[1]_q\cdot [2]_q\cdot\ldots\cdot[m]_q.
\end{equation*}
\notag
$$
Структура алгебры Хопфа на $U_q(\mathfrak{g})$ определяется коумножением
$$
\begin{equation*}
\Delta(f_\alpha)=f_\alpha\otimes 1+q^{-h_\alpha}\otimes f_\alpha,\quad\; \Delta(q^{\pm h_\alpha})=q^{\pm h_\alpha}\otimes q^{\pm h_\alpha},\quad\; \Delta(e_\alpha)=e_\alpha\otimes q^{h_\alpha}+1\otimes e_\alpha,
\end{equation*}
\notag
$$
заданным на генераторах и продолженным как гомоморфизм алгебр
$$
\begin{equation*}
U_q(\mathfrak{g})\to U_q(\mathfrak{g})\otimes U_q(\mathfrak{g}).
\end{equation*}
\notag
$$
Обозначим через $U_q(\mathfrak{h})$, $U_q(\mathfrak{g}_{+})$ и $U_q(\mathfrak{g}_{-})$ подалгебры в $U_q(\mathfrak{g})$, порожденные элементами $\{q^{\pm h_\alpha}\}_{\alpha\in\Pi}$, $\{e_\alpha\}_{\alpha\in\Pi}$ и $\{f_\alpha\}_{\alpha\in\Pi}$ соответственно. Квантовые борелевские подгруппы определяются как $U_q(\mathfrak{b}_\pm)=U_q(\mathfrak{g}_\pm)U_q(\mathfrak{h})$; они являются подалгебрами Хопфа в $U_q(\mathfrak{g})$. В дальнейшем нам также потребуются их расширенные версии $\widehat U_q(\mathfrak{b}_\pm)=U_q(\mathfrak{g}_\pm)\widehat U_q(\mathfrak{h})$, где $\widehat U_q(\mathfrak{h})$ – кольцо частных алгебры $U_q(\mathfrak{h})$ над мультипликативной системой, порожденной $[h_\alpha-c]_q$ с $\alpha\in\Gamma_{+}$ и $c\in\mathbb{Q}$. Универсальная $R$-матрица алгебры $U_q(\mathfrak{g})$ выбирается в форме $\mathcal R=q^{\sum_ih_i\otimes h_i}\check{\mathcal R}$, где $\{h_i\}_{i=1}^{\operatorname{rank}\mathfrak{g}}$ – некоторый ортонормированный базис в $\mathfrak{h}$, а $\check{\mathcal R}$ принадлежит пополненному тензорному произведению $U_q(\mathfrak{g}_{+})\otimes U_q(\mathfrak{g}_{-})$. Она сплетает коумножение $\Delta$ и противоположное к нему коумножение $\Delta'$, другими словами, $\mathcal R \Delta(x)=\Delta'(x)\mathcal R$ для всех $x\in U_q(\mathfrak{g})$. 2.2. Модули Верма и элементы ШаповаловаГоворят, что ненулевой вектор $v$ из $U_q(\mathfrak{g})$-модуля $V$ имеет вес $\mu\in\mathfrak{h}^*$, если $q^{h_\alpha}v=q^{(\mu,\alpha)}v$ для всех $\alpha\in\Pi$. Линейная оболочка таких векторов обозначается как $V[\mu]$. Говорят, что $V$ – модуль старшего веса $\lambda$, если он порождается вектором $v\in V[\lambda]$, который аннулируется всеми $e_\alpha$. Вектор $v$ называется старшим; он задается с точностью до ненулевого скалярного множителя. Модуль Верма $V_\lambda$ определяется как индуцированный модуль
$$
\begin{equation*}
V_\lambda=U_q(\mathfrak{g})\mathop{\otimes}\limits_{U_q(\mathfrak{b}_{+})}\mathbb{C}_\lambda,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\mathbb{C}_\lambda$ – одномерный $U_q(\mathfrak{b}_{+})$-модуль, тривиальный на $U_q(\mathfrak{g}_{+})$ и возвращающий вес $\lambda$ на $U_q(\mathfrak{h})$. Его старший вектор с весом $\lambda$, обозначаемый как $v_\lambda$, называется также вакуумным вектором. Этот вектор свободно порождает $V_\lambda$ как модуль над $U_q(\mathfrak{g}_{-})$. Известно, что модуль Верма приводим тогда и только тогда, когда его старший вес принадлежит объединению множеств $\mathcal H_{\beta,m}=\{\lambda\in\mathfrak{h}^*\mid q^{2(\lambda+\rho,\beta)-m(\beta,\beta)}=1\}$ по всем $\beta\in\mathrm R^{+}$ и $m\in\mathbb{N}$, где $\rho$ обозначает полусумму положительных корней [3]. В классическом случае $q=1$ множество $\mathcal H_{\beta,m}$ превращается в гиперплоскость Каца–Каждана в пространстве весов, задаваемую условием $2(\lambda+\rho,\beta)=m(\beta,\beta)$. Напомним, что вектор $v\in V_\lambda$ веса $\lambda-\mu$ при $\mu\in\Gamma_{+}$, $\mu\neq 0$ называется экстремальным (сингулярным, особым), если $e_\alpha v=0$ для всех $\alpha\in\Pi$. Нам интересен специальный случай $\mu=m\beta$, где $\beta\in\mathrm R^{+}$ и $m\in\mathbb{N}$. Тогда старший вес $\lambda$ лежит в $\mathcal H_{\beta,m}$. Образ $\theta_{\beta,m}$ вектора $v$ при изоморфизме $V_\lambda\to U_q(\mathfrak{g}_{-})$ называется элементом Шаповалова. Он является функцией старшего веса $\lambda$, ограниченной на $\mathcal H_{\beta,m}$. Считая $\widehat U_q(\mathfrak{b}_{-})$ свободным правым $\widehat U_q(\mathfrak{h} )$-модулем, мы получаем биекцию между рациональными тригонометрическими функциями $\mathfrak{h}^*\to U_q(\mathfrak{g}_{-})$ и $\widehat U_q(\mathfrak{b}_{-})\simeq U_q(\mathfrak{g}_{-})\otimes\widehat U_q(\mathfrak{h})$. Это позволяет нам рассматривать $\theta_{\beta,m}$ как элемент расширенной борелевской подалгебры $\widehat U_q(\mathfrak{b}_{-})$, чтобы учесть зависимость от $\lambda$. Для простого корня $\beta$ элемент Шаповалова $\theta_{\beta,m}$ есть обычная $m$-я степень корневого вектора, $\theta_{\beta,m}=f_\beta^m$. Это не так для составного корня $\beta$, для которого $\theta_{\beta,m}$ есть сложная функция образующих. Ниже мы приведем явные выражения для $\theta_{\beta,m}$ при всех $\beta$ и $m$ для простых квантовых групп из четырех бесконечных серий. 3. Диаграммы Хассе, связанные с представлениямиНаше решение задачи удобно формулировать на языке диаграмм Хассе. Напомним, что это ориентированные графы, связанные с частично упорядоченными множествами. Частично упорядоченные множества, возникающие в этой работе, происходят из представлений алгебр $U_q(\mathfrak{g}_{+})$ и $U_q(\mathfrak{g}_{-})$. Хотя изоморфизм $U_q(\mathfrak{g}_{-})\simeq U_q(\mathfrak{g}_{+})$ в принципе позволяет свести рассмотрение к случаю, скажем, $U_q(\mathfrak{g}_{+})$, роли этих диаграмм, как и подлежащие модули, будут различны. Поэтому нам придется различать эти диаграммы и рассматривать их одновременно. Снабдим алгебру $U_q(\mathfrak{g}_{-})$ $\mathbb{Z}$-градуировкой, положив на генераторах $\deg(f_\alpha)=1$ для $\alpha\in\Pi$. Предположим, что $V$ – это конечномерный $U_q(\mathfrak{b}_{+})$-модуль, диагонализуемый над $U_q(\mathfrak{h})$, и ограничим представление на подалгебру $U_q(\mathfrak{g}_{+})$. Заметим, что различные $U_q(\mathfrak{b}_{+})$-модули могут приводить к изоморфным $U_q(\mathfrak{g}_{+})$-модулям (так же, как в случае $V_\lambda$ с различными $\lambda$). Мы определяем диаграмму Хассе $\mathfrak{H}(V)$ следующим образом. Выберем весовой базис $\{v_i\}_{i\in I}$ в качестве множества вершин. Мы также будем отождествлять их с элементами множества индексов $I$. Обозначим через $\pi$ гомоморфизм представления $U_q(\mathfrak{g}_{+})\to\operatorname{End}(V)$. Стрелки в $\mathfrak{H}(V)$ соответствуют простым корням $\alpha\in\Pi$; мы полагаем $i\stackrel{\alpha}{\longleftarrow}j$, если $\pi_{ij}(e_\alpha)\neq 0$. Отсюда следует, что веса $\varepsilon_i$ и $\varepsilon_j$ вершин $i$ и $j$ связаны равенством $\varepsilon_i-\varepsilon_j=\alpha$. Мы пишем $i\succ j$, если вершины $i$ и $j$ могут быть соединены последовательностью стрелок из $j$ в $i$, и называем эту последовательность путем. Любая упорядоченная последовательность узлов $i=i_1\succ i_1\succ\cdots\succ i_k=j$ называется маршрутом из $j$ в $i$. Ниже мы приводим диаграммы для $U_q(\mathfrak{g}_{+})$-модуля $V\simeq\mathbb{C}^N$, ограниченного с естественного представления ортогональных и симплектических групп:  Здесь весами модуля $V$ являются $\{\pm\varepsilon_i\}_{i=1}^{[N/2]}$ плюс $\varepsilon_{n+1}=0$ в случае $\mathfrak{g}=\mathfrak{so}(2n+1)$. Мы используем обозначение $i'=N+1-i$ для всех $i=1,\ldots, N$. Соответствие $i\mapsto i'$ задает отражение вершин относительно центра диаграммы. Эти диаграммы содержат диаграммы Хассе для естественного представления алгебры $\mathfrak{gl}(n)$ и его двойственного. Определим поддиаграмму Хассе $\mathfrak{H}(v_i,v_j)\subset\mathfrak{H}(V)$, включив в нее все возможные пути из $v_j$ в $v_i$. Вершина $v_k\in\mathfrak{H}(V)$ лежит в диаграмме $\mathfrak{H}(v_i,v_j)$ тогда и только тогда, когда $v_i\succeq v_k\succeq v_j$. Поддиаграмма $\mathfrak{H}(v_i,v_j)$ ассоциируется с $U_q(\mathfrak{g}_{+})$-модулем $V(v_i,v_j)$, который является частным алгебры $U_q(\mathfrak{g}_{+})v_j$ по сумме циклических подмодулей $U_q(\mathfrak{g}_{+})v_k\subset U_q(\mathfrak{g}_{+})v_j$, где $v_k\notin\mathfrak{H}(v_i,v_j)$. Как векторное пространство $V(v_i,v_j)$ порождается всеми вершинами из $\mathfrak{H}(v_i,v_j)$. В то время как для построения $\mathfrak{H}(V)$ подходит произвольный $U_q(\mathfrak{b}_{+})$-модуль, для других типов диаграмм нам потребуется ограничение на $U_q(\mathfrak{g}_{-})$ с $U_q(\mathfrak{g})$-модуля $V$. Мы связываем с ним диаграмму Хассе $\mathfrak{H}_{-}(V)$, вершинами которой также являются элементы весового базиса, а стрелки помечаются простыми корнями. Однако теперь они направлены из вершин с бо́льшим весом к вершинам с меньшим весом, т. е. $i\stackrel{\alpha}{\longrightarrow} j$, если $\pi_{ji}(f_\alpha)\neq 0$. В качестве примера приведем естественные представления ортогональной и симплектической алгебры $\mathfrak{g}$:  Для заданного конечномерного $U_q(\mathfrak{g})$-модуля $V$ мы также рассматриваем модуль $V^*\otimes V$ и его диаграмму Хассе $\mathfrak{H}_{-}(V^*\otimes V)$. Ее вершинами являются пары $(i,j)$, где $e_i$, $e_j$ – элементы выбранного базиса в $V$. Стрелки имеют вид
$$
\begin{equation*}
(i,j)\stackrel{\alpha}{\longrightarrow}(k,j)\quad {или}\quad (i,j)\stackrel{\alpha}{\longrightarrow}(i,k),
\end{equation*}
\notag
$$
если соответственно $\varepsilon_k-\varepsilon_i=\alpha$ или $\varepsilon_j-\varepsilon_k=\alpha$. Во всех интересных нам случаях вершина имеет не более двух исходящих $\alpha$-стрелок для каждого $\alpha$. Мы не пользуемся специальным графическим представлением для $\mathfrak{H}_{-}(V^*\otimes V)$, так как всю необходимую информацию об этой диаграмме будет удобно извлекать из $\mathfrak{H}_{-}(V)$.
4. Квантовый $L$-оператор в базовом представленииДиаграмма Хассе $\mathfrak{H}_{-}(V^*\otimes V)$ представления $(V,\pi)$ нам потребуется для нахождения квантового оператора Лакса $L=(\pi\otimes\operatorname{id})(\mathcal R)\in\operatorname{End}(V\otimes V)$. Его матричные элементы участвуют в конструкции элементов Шаповалова. Выберем стандартный весовой базис $\{v_i\}_{i=1}^N\subset V$. Построим сначала представление классической алгебры Ли $\mathfrak{g}$. Положим для $i=1,\ldots,n-1$
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \pi(e_i)=e_{i,i+1}+e_{i'-1,i'},\qquad \pi(f_i)=e_{i+1,i}+e_{i',i'-1}, \\ \pi(h_{\alpha_i})=e_{ii}-e_{i+1,i+1}+e_{i'-1,i'-1}-e_{i'i'}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Таким образом, мы получаем прямую сумму естественного представления подалгебры $\mathfrak{gl}(n)\subset\mathfrak{g}$ и двойственного к нему. Чтобы сделать формулы более читаемыми, мы заменим на $*$ индекс $n+1$, соответствующий нулевому весу естественного $\mathfrak{so}(2n+1)$-модуля. Представление, заданное выше для $\mathfrak{gl}(n)$, продолжается до представления алгебры Ли $\mathfrak{g}$ по формулам
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{5} \pi(e_n)&=e_{n,*}+e_{*,n'},&\qquad\pi(f_n)&=e_{*,n}+e_{n',*},&\qquad \pi(h_{\alpha_n})&=e_{nn}-e_{n'n'}, \\ \pi(e_n)&=e_{nn'},&\qquad \pi(f_n)&=e_{n'n},&\qquad\pi(h_{\alpha_n})&=2e_{nn}-2e_{n'n'} \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
и
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \pi(e_n)=e_{n-1,n'}+e_{n,n'+1},\qquad\pi(f_n)=\!e_{n',n-1}+e_{n'+1,n}, \\ \pi(h_{\alpha_n})=e_{n-1,n-1}+e_{nn}-e_{n'n'}-e_{n'+1,n'+1} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
для $\mathfrak{g}=\mathfrak{so}(2n+1)$, $\mathfrak{g}=\mathfrak{sp}(2n)$ и $\mathfrak{g}=\mathfrak{so}(2n)$ соответственно. Подалгебра Картана представлена диагональными матрицами, а базисные элементы $v_i$ имеют веса $\varepsilon_i\in\mathfrak{h}^*$, подчиненные условию $\varepsilon_{i'}=-\varepsilon_i$. Набор $\{\varepsilon_i\}_{i=1}^n$ образует ортонормированный базис в $\mathfrak{h}^*$, через который выражается корневая система, описанная в разделе 2. В этом представлении все матричные элементы простых корневых векторов принимают значения в множестве $\{0,1\}$, а не в $\{0,\pm 1\}$, как в случае представления, сохраняющего стандартную косодиагональную форму. Это упростит наши вычисления. Перенормируем корневой вектор $f_n$, отвечающий простому короткому корню алгебры $\mathfrak{g}=\mathfrak{so}(2n+1)$, так, что соответствующий коммутатор станет равным $[e_n,f_n]=\frac{q^{h_n}-q^{-h_n}}{q^{}-q^{-1}}$. Все другие соотношения останутся прежними. Тогда заданное выше матричное соответствие годится и для генераторов квантовой группы, если мы понимаем $q^{\pm h_\alpha}$ как $\exp(\pm\hbar h_\alpha)$ для $\alpha\in\Pi$, при этом $q=e^\hbar$. Обозначим через $U''_q(\mathfrak{g}_{-})\subset U_q(\mathfrak{g}_{-})$ подалгебру элементов степени $2$ и выше. Явные формулы для универсальной $R$-матрицы (см., например, [13]) дают
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \check R&=(\pi\otimes\operatorname{id})(\check{\mathcal R})= \notag\\ &=1\otimes 1+(q^{1+\delta_{1n}}-q^{-1-\delta_{1n}})\sum_{i=1}^n\pi(e_i)\otimes f_i\, \mod\!\operatorname{End}(V)\otimes U_q''(\mathfrak{g}_{-}), \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.1}
$$
где слагаемое $\delta_{1n}$ в показателе степени присутствует только для $\mathfrak{g}=\mathfrak{sp}(2n)$. Аксиома сплетения $\mathcal R\Delta(x)=\Delta'(x)\mathcal R$, выполняющаяся при всех $x\in U_q(\mathfrak{g})$, переписывается в виде следующего тождества для отрицательных образующих в $U_q(\mathfrak{g}_{-})$:
$$
\begin{equation}
\sum_{k}\check{R}_{ik}\pi(f_\alpha)_{kj}-\sum_{k}\pi_{ik}(f_\alpha)\check{R}_{kj}= q^{(\alpha,\varepsilon_i)}f_\alpha \check{R}_{ij}-q^{-(\alpha,\varepsilon_j)}\check{R}_{ij}f_\alpha,\qquad \alpha\in\Pi.
\end{equation}
\tag{4.2}
$$
Формулы (4.1) и (4.2) обеспечивают итерационный алгоритм нахождения $\check{R}$. Эти вычисления будут организованы с помощью диаграмм Хассе $\mathfrak{H}_{-}(V)$ и $\mathfrak{H}_{-}(V^*\otimes V)$. Мы говорим, что пара $(i,j)$ не имеет $\alpha$-ветвления, если в диаграмме $\mathfrak{H}_{-}(V^*\otimes V)$ из вершины $(i,j)$ исходит не более чем одна $\alpha$-стрелка. В нашем случае таковыми являются пары, у которых $j'\neq i$. Если $\alpha$-стрелка соединяет $(i,j)$ с $(l,k)$ и при этом вершина $(i,j)$ не имеет $\alpha$-ветвления, то $\check{R}_{l,k}\propto [\check{R}_{i,j},f_\alpha]_a$ для некоторого числа $a$, которое равно рациональной степени параметра $q$. Предположим, что существует путь без ветвления
$$
\begin{equation*}
(i_1,j_1)\stackrel{\beta^1}{\longrightarrow}(i_2,j_2)\stackrel{\beta^2}{\longrightarrow} \dotsb\stackrel{\beta^{k-2}}{\longrightarrow} (i_{k-1},j_{k-1})\stackrel{\beta^{k-1}}{\longrightarrow}(i_k,j_k)
\end{equation*}
\notag
$$
(т. е. каждая пара $(i_l,j_l)$ не имеет $\beta^l$-ветвления). Тогда $\check{R}_{i_k,j_k}$ пропорционален композиции деформированных коммутаторов с образующей $f_{\beta^k}$, последовательно примененных к $\check{R}_{i_1,j_1}$. Если $\varepsilon_{i_1}-\varepsilon_{j_1}\in\Pi$, то пара $(i_1,j_1)$ называется простой. Простые пары являются минимальными вершинами в диаграмме $\mathfrak{H}_{-}(V^*,V)$. Если пара $(i_k,j_k)$ соединяется с простой парой без ветвления, то матричный элемент $\check{R}_{i_k,j_k}$ можно найти как композицию $q$-коммутаторов благодаря начальному условию (4.1). Ключевой проблемой применимости описанной схемы является вопрос: можно ли попасть в каждую пару $(i,j)\in\mathfrak{H}_{-}(V^*,V)$ из простой пары по пути без ветвления? Ответ на него утвердительный для базового представления $V$ неисключительной группы. Предложение 4.1. Предположим, что $i\leqslant j\leqslant N/2$ и $i\neq N/2$. Тогда имеются пути без ветвления из $(i,i+1)$ в $(i,j')$ и из $(i'-1,i')$ в $(j,i')$. Доказательство. Единственной вершиной в $\mathfrak{H}_{-}(V^*,V)$, где возникает ветвление, является пара $(i,i')$ благодаря стрелкам Поэтому в пути без ветвления пара $(i,i')$ может быть только конечной. С другой стороны, имеются единственные пути из $(i,i+1)$ в $(i,j')$ и из $(j-1,i')$ в $(j,i')$ при $i<j$, которые тем самым не имеют ветвления. Наконец, в вершину $(i,i')$ можно попасть с помощью $\alpha_i$ либо из $(i,i'-1)$, либо из $(i-1,i')$. Это завершает доказательство. $\blacksquare$ Заметим также, что для $\mathfrak{g}=\mathfrak{so}(2n+1)$ имеется путь без ветвления из вершины $(n,*)$ в вершину $(n,n')$. Формула (4.1) дает $\check R_{i,i+1}=\check R_{i'-1,i'}=(q-q^{-1})f_i$ для всех $i\leqslant n$, кроме $i=n$ при $\mathfrak{g}=\mathfrak{sp}(2n)$. В последнем случае $\check R_{n,n'}=(q^2-q^{-2})f_n$. При этих начальных данных предложение 4.1 позволяет получить все элементы отрицательного веса в матрице $\check R$ и, следовательно, во всех $C=(\pi\otimes \operatorname{id})(\mathcal C)=\sum_{i,j}e_{ij}\otimes c_{ij}$ как итерации $q$-коммутаторов с отрицательными генераторами с точностью до скалярного множителя. Мы подвергли их дальнейшей обработке с помощью модифицированного тождества Якоби [14] и получили следующие выражения для всех алгебр $\mathfrak{g}$ и любых $i<j\leqslant*$ :
$$
\begin{equation}
c_{ij}=[f_{j-1},\ldots [f_{i+1},f_i]_{\bar q^{}}\ldots ]_{\bar q},\qquad c_{j'i'}=[\ldots [f_i,f_{i+1}]_{\bar q^{}},\ldots f_{j-1}]_{\bar q},
\end{equation}
\tag{4.3}
$$
где черта сверху обозначает обращение, $\bar q=q^{-1}$. Далее
5. Элементы ШаповаловаОбозначим через $\tilde{\mathfrak{g}}$ простой $U_q(\mathfrak{g})$-модуль размерности $\dim\mathfrak{g}$, который является $q$-деформацией присоединенного модуля $\mathfrak{g}$. Его старший вес – это максимальный корень системы $\mathrm R^{+}$. Ограничим это представление на $U_q(\mathfrak{g}_{+})$ и отфакторизуем подмодуль, порожденный положительными весовыми подпространствами $\sum_{\alpha\in\mathrm R^{+}}\tilde{\mathfrak{g}}[\alpha]$. Обозначим диаграму Хассе этого фактормодуля как $\mathfrak{H}(\mathfrak{b}_{-})$ (она такая же, как в классическом пределе $q\to 1$). Векторы $\tilde f_\eta$ весов $-\eta\in-\mathrm R^{+}$ определены единственным образом с точностью до знака, если мы нормируем их условием $(\tilde f_\eta,\tilde f_\eta)=1$ относительно канонической контравариантной формы на $\tilde{\mathfrak{g}}$. Мы можем считать, что они получаются деформацией классических корневых векторов. Выберем в качестве базисных элементов нулевого веса элементы $\tilde h_\alpha=e_\alpha \tilde f_\alpha$, $\alpha\in\Pi$. Например, диаграмма $\mathfrak{H}(\mathfrak{b}_{-})$ в случае $\mathfrak{g}=\mathfrak{gl}(4)$ имеет следующий вид:  Частичный порядок на $\mathfrak{H}(\mathfrak{b}_{-})$ противоположен стандартному частичному порядку на $\mathrm R^{+}$: $\alpha\prec\beta$ тогда и только тогда, когда $\tilde f_\alpha\succ\tilde f_\beta$. Для каждого веса $\mu\in\Gamma_{+}$ введем элемент
$$
\begin{equation}
\eta_{\mu}=h_\mu+(\mu,\rho)-\frac{1}{2}(\mu,\mu)\in\mathfrak{h}\oplus\mathbb{C}.
\end{equation}
\tag{5.1}
$$
Его можно считать афинной функцией на векторном пространстве $\mathfrak{h}^*$, действующей по правилу $\eta_\mu\colon\zeta\mapsto (\mu,\zeta+\rho)-\frac{1}{2}(\mu,\mu)$ для $\zeta\in\mathfrak{h}^*$. Для упорядоченной пары векторов $v_b,v_a\in V$ из $U_q(\mathfrak{g}_{+})$-модуля $V$, подчиненных неравенству $v_b\succ v_a$, определим
$$
\begin{equation}
\langle v_b||v_a\rangle=c_{ba}+\sum_{k\geqslant 1}\;\sum_{v_b\succ v_k\succ\cdots\succ v_1\succ v_a} c_{bk}\ldots c_{1a}\frac{(-1)^kq^{\eta_{\mu_k}}\ldots q^{\eta_{\mu_1}}}{[\eta_{\mu_k}]_q\ldots [\eta_{\mu_1}]_q}\in\widehat U_q(\mathfrak{b}_{-}).
\end{equation}
\tag{5.2}
$$
Это перенормированный матричный элемент матрицы Шаповалова, ассоциированной с вспомогательным $U_q(\mathfrak{g}_{+})$-модулем $V$ (см. работу [6]). Для $\nu\in\mathfrak{h}^*$ рассмотрим автоморфизм $\tau_\nu$ алгебры $\widehat U_q(\mathfrak{h})$, порожденный аффинным сдвигом весового пространства $\mathfrak{h}^*$ вдоль $\nu$, т. е. $(\tau_\nu\varphi)(\mu)=\varphi(\mu+\nu)$, $\varphi\in\widehat U_q(\mathfrak{h})$, $\mu\in\mathfrak{h}^*$. Для положительного корня $\beta$ и простого корня $\alpha\in\Pi$ обозначим через $\ell_{\beta,\alpha}\in\mathbb{Z}_{+}$ кратность вхождения $\alpha$ в разложение $\beta$ по базису простых корней. Тогда $\ell_{\beta,\alpha}\neq 0$, если и только если $\alpha\prec\beta$ относительно стандартного частичного порядка на $\mathrm R^{+}$. Теорема 5.1 [6]. Для всех $\alpha\prec\beta$, где $\alpha\in\Pi$, перенормированный матричный элемент $\langle\tilde h_\alpha||\tilde f_\beta\rangle$ с $\tilde h_\alpha,\tilde f_\beta\in\tilde{\mathfrak{g}}$ является элементом Шаповалова $\theta_{\beta,1}$. Для общего $m>1$ элемент Шаповалова $\theta_{\beta,m}$ факторизуется: где $\theta_\beta=\theta_{\beta,1}$, а вес сдвига дается формулой $\nu=\frac{(\beta,\beta)}{\ell_{\alpha,\beta}(\alpha,\alpha)}\omega_\alpha$. Таким образом, для построения $\theta_{\beta,m}$ можно выбрать любой корень $\alpha\in\Pi$, предшествующий $\beta$. Поскольку матричный элемент $\langle\tilde h_\alpha||\tilde f_\beta\rangle$ зависит только от $U_q(\mathfrak{g}_{+})$-представления, можно взять любой модуль, содержащий поддиаграмму Хассе, изоморфную $\mathfrak{H}(\tilde h_\alpha,\tilde f_\beta)\subset\mathfrak{H}(\mathfrak{b}_{-})$, с изоморфным подлежащим $U_q(\mathfrak{g}_{+})$-действием. Мы утверждаем, что для этой цели можно взять естественный $U_q(\mathfrak{g})$-модуль $V$. В табл. 1 приведены изоморфные $U_q(\mathfrak{g}_{+})$-подфакторы из $\mathfrak{H}_{-}(\mathfrak{g}_{-})$ и $\mathfrak{H}_{-}(V)$ для всех составных корней $\beta\in\mathrm R^{+}$. Таблица 1
6. Исключительная квантовая группа ранга 2В заключение рассмотрим пример квантовой универсальной обертывающей алгебры исключительной алгебры Ли $\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_2$. Мы увидим, что даже для минимального представления размерности $7$ диаграмма Хассе имеет ветвления, которые невозможно обойти при вычислении $L$-оператора. Определим скалярное произведение на $\mathfrak{h}^*$, задав его на базисе из двух простых корней $\{\alpha,\beta\}$ по формулам
$$
\begin{equation*}
(\alpha,\alpha)=2,\qquad (\alpha,\beta)=-3,\qquad (\beta,\beta)=6.
\end{equation*}
\notag
$$
Следующее соответствие определяет минимальное представление на векторном пространстве $V\simeq\mathbb{C}^7$:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \begin{aligned} \, q^{h_\alpha}&\mapsto qe_{11}+q^{-1}e_{22}+q^2e_{33}+e_{44}+q^{-2}e_{55}+q^{}e_{66}+q^{-1}e_{77}, \\ q^{h_\beta}&\mapsto e_{11}+q^{3}e_{22}+q^{-3}e_{33}+e_{44}+q^{3}e_{55}+q^{-3}e_{66}+e_{77}, \end{aligned} \\ \begin{alignedat}{3} e_\alpha&\mapsto e_{12}+e_{34}+e_{45}+e_{67},&\qquad f_\alpha&\mapsto e_{21}+[2]_qe_{43}+[2]_qe_{54}+e_{76},\vphantom{e^{\big|}_{}} \\ e_{\beta}&\mapsto e_{23}+e_{56},&\qquad f_{\beta}&\mapsto e_{32}+e_{65}. \end{alignedat} \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Его диаграмма Хассе $\mathfrak{H}_{-}(V)$ имеет вид  Представим последовательность шагов (в терминах диаграммы $\mathfrak{H}_{-}(V^*\otimes V)$), реализующих алгоритм нахождения матричных элементов $L$-оператора. Как обычно, мы стартуем с простых пар:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, (1,2)\stackrel{\beta}{\longrightarrow}(1,3), \quad (3,4)\stackrel{\beta}{\longrightarrow}(2,4), \quad (4,6)\stackrel{\beta}{\longrightarrow}(4,5), \quad (6,7)\stackrel{\beta}{\longrightarrow}(5,7), \quad \\ (3,4)\stackrel{\alpha}{\longrightarrow}(3,5),\quad (1,3)\stackrel{\alpha}{\longrightarrow}(1,4), \\ (3,4)\stackrel{\alpha}{\longrightarrow}(3,5),\quad (1,3)\stackrel{\alpha}{\longrightarrow}(1,4),\quad (5,7)\stackrel{\alpha}{\longrightarrow}(4,7). \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
При вычислении $c_{25}$ и $c_{36}$ мы сталкиваемся с ветвлением:  Нижние пары выражаются через пары, найденные на предыдущем этапе, так что можно решить уравнения относительно $c_{25}$ и $c_{36}$. Хотя мы не получаем ответ в требуемой форме немедленно, $c_{25}$ и $c_{36}$ могут быть представлены в виде композиции коммутаторов (см. ниже). Завершающая часть алгоритма проходит без ветвлений:
$$
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{5} (1,4)&\stackrel{\alpha}{\longrightarrow}(1,5),&\quad (2,5)&\stackrel{\beta}{\longrightarrow}(2,6),&\quad (4,7)&\stackrel{\alpha}{\longrightarrow}(3,7), \\ (1,5)&\stackrel{\beta}{\longrightarrow}(1,6),&\quad (3,7)&\stackrel{\beta}{\longrightarrow}(2,7),&\quad (1,6)&\stackrel{\alpha}{\longrightarrow}(1,7). \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
$$
В результате все матричные элементы $c_{ij}$ оказываются представленными в виде композиции деформированных коммутаторов:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, c_{12}=f_\alpha, \quad c_{23}=[3]_qf_\beta, \quad c_{34}=f_\alpha, \quad c_{45}=f_\alpha, \quad c_{56}=[3]_qf_\beta, \quad c_{67}=f_\alpha, \\ c_{13}=[f_\beta,f_\alpha]_{\bar q^3},\quad c_{24}=[f_\alpha,f_\beta]_{\bar q^3},\quad c_{35}=\frac{q^2}{[2]_q}[f_\alpha,f_\alpha]_{\bar q^2}, \\ c_{46}=[f_\beta,f_\alpha]_{\bar q^3},\quad c_{57}=[f_\alpha,f_\beta]_{\bar q^3}, \\ c_{14}=\frac{q}{[2]_q}[f_\alpha,[f_\beta,f_\alpha]_{\bar q^3}]_{\bar q^3},\quad c_{25}=\frac{[f_\alpha,[f_\alpha,f_\beta]_{\bar q}]_{\bar q^3}}{[2]_q^2},\quad c_{36}=\frac{[[f_\beta,f_\alpha]_{\bar q},f_\alpha]_{\bar q^3}}{[2]_q^2}, \\ c_{47}=\frac{q}{[2]_q}[[f_\alpha,f_\beta]_{\bar q^3},f_\alpha]_{\bar q^3},\quad c_{15}=\frac{q^2}{[2]_q^2}[f_\alpha,[f_\alpha,[f_\beta,f_\alpha]_{\bar q^3}]_{\bar q^3}]_{\bar q}, \\ c_{26}=\frac{q^{3}}{[2]_q^2}[f_\beta,[f_\alpha,[f_\alpha,f_\beta]_{\bar q}]_{\bar q^3}]_{\bar q^6},\quad c_{37}=\frac{q^2}{[2]_q^2}[[[f_\alpha,f_\beta]_{\bar q^3},f_\alpha]_{\bar q^3},f_\alpha]_{\bar q}, \\ c_{16}=\frac{q^2}{[2]_q^2}[f_\beta,[f_\alpha,[f_\alpha,[f_\beta,f_\alpha]_{\bar q^3}]_{\bar q^3}]_{\bar q}]_{\bar q^3},\quad c_{27}=\frac{q^2}{[2]_q^2}[[[[f_\alpha,f_\beta]_{\bar q^3},f_\alpha]_{\bar q^3},f_\alpha]_{\bar q},f_\beta]_{\bar q^3}, \\ c_{17}=\frac{q^3}{[2]_q^2}[f_\alpha,[f_\beta,[f_\alpha,[f_\alpha,[f_\beta,f_\alpha]_{\bar q^3}]_{\bar q^3}]_{\bar q}]_{\bar q^3}]_{\bar q^2}. \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
Здесь мы пользуемся возможностью исправить ошибку во внешнем коммутаторе матричного элемента $c_{17}$, допущенную в [15]. Этот матричный элемент не использовался при вычислениях в [15], и поэтому ошибка не повлияла на результаты указанной работы. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AlgMud23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|