| Теоретическая и математическая физика |
|
|
|
|
|
Сходящаяся теория возмущений и предел сильной связи в квантовой электродинамике М. В. Комароваa, М. Ю. Налимовab a Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, Россия b Лаборатория теоретической физики им. Н. Н. Боголюбова, Объединенный институт ядерных исследований, Дубна, Московская обл., Россия
Англоязычная версия:
Theoretical and Mathematical Physics, 2023, Volume 216, Issue 3, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0040577923090106 
Реферативные базы данных:
   1. ВведениеКвантово-полевая теория возмущений (ТВ) широко используется и в квантовой теории поля, и в статистической физике – например, для описания критических явлений. Она генерирует ряды по константе связи, которые обычно имеют асимптотический характер [1], [2]; численную сходимость демонстрирует лишь небольшое количество членов ряда при малых константах связи. Однако встречаются проблемы, для анализа которых требуется рассмотреть большие константы связи. К таковым, например, относится известная проблема московского нуля (полюса Ландау) [3]. Когда она была обнаружена, разгорелась идеологическая дискуссия [4]: является ли квантовая электродинамика (КЭД) без учета слабого взаимодействия теорией, не применимой на малых масштабах, или же полюс Ландау – это лишь артефакт ТВ? Ответ на этот вопрос может дать исследование предела сильной связи $\beta$-функции КЭД. Свойства предела сильной связи можно изучить, рассмотрев ряд ТВ по некоторому альтернативному параметру. При этом исходная константа связи может быть произвольно большой. В настоящей работе в качестве такого альтернативного разложения мы используем сходящееся разложение в духе работы Ушверидзе [5]. В статье [6] было предложено развитие этой схемы для широкого класса бозонных моделей. В нашей работе мы расширяем схему построения сходящихся рядов ТВ на фермионные квантово-полевые теории. До нас предел сильной связи в КЭД обсуждался в работе [7], полученный там результат свидетельствует, что полюс Ландау возникает лишь в ТВ и связан с ее особенностями. Наши результаты не подтверждают это утверждение, поэтому имеет смысл сравнить наш подход с подходом работы [7]. Мы сделаем это на примере предела сильной связи для коэффициентов уравнения ренормализационной группы (РГ) в модели $\phi^4$. Вычисление критических индексов, описывающих фазовые переходы второго рода, – очень известная и хорошо развитая тема. Модель $\phi^4$ рассматривают в пространстве размерности $4-\epsilon$, что позволяет вычислять критические параметры (критические индексы) в форме $\epsilon$-разложений. Однако из-за упомянутого асимптотического характера рядов их непосредственное суммирование не приводит к ответам с точностью, в настоящий момент считающейся достаточной. Для получения численного значения индексов производится пересуммирование расходящихся рядов, а оно, в свою очередь, требует привлечения дополнительной информации о свойствах исследуемых объектов. Например, применялась асимптотика высоких порядков ТВ [1], предписывающая использование схем борелевского пересуммирования. В качестве дополнительной информации также предлагалось использовать предел сильной связи функций РГ. В теории $\phi^4$ данный предел сильной связи ранее исследовался разными методами в работах [8]–[10], и результаты очень сильно различаются между собой. В работе [8], а также в [11]–[16] по сути был использован конструктивный способ исследования данных асимптотик: правильная асимптотика определялась по анализу полученных с ее учетом результатов пересуммирования. В работе [9] была предпринята попытка использования сходящегося разложения из статьи [5]. В [10], как и в [7], для случая КЭД делалось априорное предположение о свойствах предела сильной связи исследуемых $\beta$-функций, которое для теории $\phi^4$ не подтверждается ни результатами работ [8], [9], [11]–[16], ни нашими результатами. Cформулируем правила построения сходящейся ТВ в КЭД. Новизна нашего подхода в данном вопросе обусловлена присутствием фермионных полей и рассмотрением $S$-матрицы вместо статистической суммы. Но сначала нам придется кратко напомнить читателю схему построения сходящейся квантово-полевой теории возмущений в статистической физике бозонного (коммутирующего) поля. Это сделано в разделе 2. Необходимость данного раздела обусловлена также тем, что наш подход, будучи идеологически близким методам, использованным в работе [9], отличается формой уравнения РГ, которая в сходящемся формализме отличается от традиционной. Точный вид уравнения РГ в случае использования сходящейся теории возмущений и схемы минимальных вычитаний (“MS-схемы” ренормировки) с размерной регуляризацией был получен в работе [17]. Именно этот вид будет использован в нашей работе. Структура статьи такова. В разделе 2 мы напоминаем логику построения сходящейся ТВ в бозонных теориях. В разделе 3 построена сходящаяся ТВ для КЭД. В разделе 4 доказана сходимость полученных рядов по вспомогательному параметру $\zeta$ и вычислен соответствующий радиус сходимости. Раздел 5 посвящен исследованию предела сильной связи в КЭД. В заключении (раздел 6) мы перечисляем полученные результаты. Также в работе имеются два приложения. В приложении А мы приводим в качестве простой иллюстрации сходящейся ТВ пример, соответствующий нульмерной модели $\phi^4$. Она является прекрасным полигоном, демонстрирующим, как на основе анализа альтернативной ТВ по параметру $\zeta$ можно получить асимптотику по константе связи $g$ для сильной связи. В приложении Б мы собрали основные результаты, которые получаются из сходящейся ТВ для обычной модели $\phi^4$ в рамках уравнения РГ и ($4-\epsilon$)-разложения. 2. Уравнения РГ в формализме сходящейся ТВ в бозонных моделяхНапомним схему построения сходящейся ТВ и вывод соответствующего уравнения РГ на примере модели $\phi^4$ – стандартной теории критического поведения [5], [17]. При построении ТВ в модели $\phi^4$ стандартное разбиение действия имеет вид
$$
\begin{equation*}
S=S_1+S_2,\qquad S_1=\frac{1}{2}\int dx\,\partial\phi\,\partial\phi,\quad S_2=\frac{g}{4!}\int dx\,\phi^4.
\end{equation*}
\notag
$$
Возмущением здесь выступает $S_2$, что приводит к разложению по константе связи $g$, которое имеет нулевой радиус сходимости [1]. Для построения сходящейся ТВ то же самое действие следует представить [5] в виде $S=S_0+S_{\kern1pt\mathrm I}$, где $S_0= S_1+aS_1^2$ и $S_{\kern1pt\mathrm I}=\zeta (S_2-aS_1^2)$ с произвольной константой $a$, а разложение теперь проводить по параметру $\zeta$. “Физическим” значением $\zeta$ является $\zeta_{\mathrm{ph}}=1$, при котором рассматриваемая модель совпадает с исходной. Как было показано в работах [17], разложение по $\zeta$ является сходящимся с радиусом сходимости $\zeta_{\mathrm{ph}}$, если
$$
\begin{equation}
a\geqslant \frac{g}{4g_{\mathrm c}},\qquad g_{\mathrm c}=16\pi^2.
\end{equation}
\tag{1}
$$
Тот факт, что разбиение $S=S_0+S_{\kern1pt\mathrm I}$ приводит к ТВ с конечным радиусом сходимости (в отличие от разбиения $S=S_1+S_2$), связан, грубо говоря, с тем, что в сильных полях вклады $S_1\sim\phi^2$ и $S_2\sim\phi^4$ по-разному растут с ростом $\phi$; при этом добавка возмущения к свободному действию должна менять тип асимптотики в сильных полях. В то же время вклады $S_1^2$ и $S_2$ при больших полях растут однотипно, поэтому учет в “свободной” части действия вклада $S_1^2$ делает вклад “взаимодействия” $S_2-aS_1^2$ не столь катастрофическим. Важной особенностью данного сходящегося разложения является то, что при его использовании не требуется вычислять диаграммы в какой-либо новой форме: коэффициенты ряда ТВ можно получить на основании диаграмм в стандартной технике со стандартным пропагатором. Остановимся на вопросе о том, как это делается. Рассматривая теорию с действием $S=(S_1+aS_1^2)+\zeta(S_2-aS_1^2)$, представим выражение $e^{-S}$ с помощью дополнительного интеграла по $y$ с $\delta$-функцией в подынтегральном выражении,
$$
\begin{equation*}
e^{-S}=\int dy\,\delta(y-2S_1)e^{-S_1-\zeta S_2-\frac{a}{4}(1-\zeta)y^2},
\end{equation*}
\notag
$$
и запишем $\delta$-функцию в виде вспомогательного интеграла по $y'$,
$$
\begin{equation*}
\int dy\, dy'e^{iy'( y-2S_1)-S_1-\zeta S_2-\frac{a}{4}(1-\zeta)y^2}=\int dy\, dy'e^{iy'y-\frac{a}{4}(1-\zeta)y^2}e^{-(1+2iy')S_1-\zeta S_2}.
\end{equation*}
\notag
$$
За исключением появившихся параметрических интегралов по $y$, $y'$ ответ имеет достаточно простой вид: полевые вклады собрались в последнем множителе, который сводится к стандартному для модели $\phi^4$ посредством растяжения поля в выражениях для $S_1$ и $S_2$: Это преобразование приводит к новой константе связи $g^{\blacktriangleright}={g\zeta}/(1+2iy')^2$. Таким образом, в рамках разложения по $\zeta$ можно представить ренормированную $2k$-хвостую функцию Грина данной сходящейся теории в виде
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, G_{2k}^{\mathrm R}=\int& dy\,dy'\,e^{iy'y-\frac{a}{4}(1-\zeta)y^2}\times{} \notag\\ &\times\int \mathscr{D} \phi\,\frac{\phi(\mathbf x_1)\ldots\phi(\mathbf x_{2k})}{(1+2iy')^k}\, Z_{\phi}^{-2k}(g^{\blacktriangleright}) \exp\biggl(-S_1-\frac{\zeta Z_g(g^{\blacktriangleright})\mu^{\epsilon}}{(1+2iy')^2}S_2\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{2}
$$
Здесь $g$ – ренормированный заряд стандартной теории возмущений, $\mu$ – ренормировочная масса, $Z_g$ и $Z_{\phi}$ – константы ренормировки заряда и поля, вычисленные в MS-схеме, при этом ряды для $Z_g(g)$ и $Z_\phi(g)$ известны из стандартной диаграммной техники. В данном подходе фактически имеет место изменение порядка интегрирования по параметрам $y$, $y'$ и функционального интегрирования. При этом фейнмановский интеграл следует понимать как сумму ряда ТВ по параметру $\zeta$, каждое слагаемое которого хорошо определено. Таким образом, диаграммы сходящейся ТВ [5] имеют стандартный вид и стандартную аналитическую форму, но приобретают дополнительные множители
$$
\begin{equation}
\begin{aligned} \, U_j(a)&=\int dy\,dy'\,e^{iy'y -\frac{a}{4}y^2}\frac{1}{(1+2iy')^j}= \notag\\ &=\int dy\,dy'\int_0^{\infty}\frac{dt\,t^{j-1}}{\Gamma(j)}e^{iy'y -\frac{a}{4}y^2-t(1+2iy')}= \int_0^{\infty}\frac{dt\,t^{j-1}}{(j-1)!}e^{-t-at^2} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{3}
$$
(см. работу [6]); здесь второе равенство получено с использованием фейнмановского альфа-представления. Основное отличие нашего исследования от предпринятого в работе [9] заключается в учете специфической формы уравнения РГ в сходящихся ТВ. Как известно, коэффициенты уравнения РГ не являются ренормализационно-инвариантными, поэтому нет ничего удивительного в том, что и форма данного уравнения оказывается нетривиальной при использовании нестандартной ТВ. Для обсуждаемой сходящейся ТВ в MS-схеме ренормировки при $D=4-\epsilon$ уравнение РГ имеет вид [17]
$$
\begin{equation}
\mathcal D_{\mathrm{RG}}G_{2k}^{\mathrm R}\equiv(\mu\partial_\mu+\beta\partial_g+\beta_2\partial_g^2+\cdots+\gamma)G_{2k}^{\mathrm R}=0,
\end{equation}
\tag{4}
$$
где
$$
\begin{equation}
\gamma=-\frac {2g\,\partial_g}{U_1(a(1-\zeta))}\sum_{l\geqslant 0}g^l\zeta^l[Z_{\phi}^{(l)}]U_{2l+1}(a(1-\zeta)),
\end{equation}
\tag{5}
$$
$$
\begin{equation}
\beta=-\epsilon g-\gamma g+\frac{g^2\,\partial_g}{U_3(a(1-\zeta))} \sum_{l\geqslant 0}g^l\zeta^l\bigl([Z_g^{(l)}]-2[Z_{\phi}^{(l)}]\bigr)U_{2l+3}(a(1-\zeta)).
\end{equation}
\tag{6}
$$
Здесь и далее $[Z_i^{(l)}]$ обозначает $l$-й порядок разложения по константе связи $g$ для коэффициентов при простом полюсе по $\epsilon$ константы ренормировки $Z_i$ в обычной ТВ. В отличие от стандартной ситуации, уравнение (4) при произвольном $\zeta$ содержит производные всех порядков по $g$ и по сути оказывается нелокальным. Это следствие потери мультипликативной ренормируемости в сходящейся ТВ. Однако сумма всех членов разложения по $\zeta$ при $\zeta=\zeta_{\mathrm{ph}}$ совпадает с результатом обычной ТВ, при этом мультипликативная ренормируемость и стандартная форма уравнения РГ восстанавливаются. Поэтому, если учесть достаточно большое число членов ряда, $\beta$-функция (6) хорошо описывает стандартную $\beta$-функцию локального уравнения РГ, а вклад старших производных оказывается малым. Именно эта идея далее будет использована при анализе предела сильной связи $\beta$-функций. В приложении А мы демонстрируем, как логика построения сходящейся ТВ реализуется на примере нульмерной модели $\phi^4$. В приложении Б мы собрали основные результаты, полученные с помощью сходящейся ТВ для стандартной модели $\phi^4$. 3. Сходящаяся ТВ для КЭДВозможность построения сходящейся ТВ в модели фермионов на решетке была показана в [18]. Здесь мы покажем, что методы, развитые для статистических бозонных моделей в евклидовом пространстве [6], можно перенести на квантово-полевые модели с фермионами в пространстве Минковского. В качестве примера рассмотрим стандартную КЭД. Подразумевая интегралы по времени и координатам, а также необходимые свертки по значкам, запишем действие $S$ (и плотность лагранжиана) в виде
$$
\begin{equation*}
\bar\psi(i\partial\kern-5pt/\kern-0.7pt-m-e\gamma^\mu A_\mu)\psi-\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}.
\end{equation*}
\notag
$$
Интересуясь поведением $\beta$-функции в MS-схеме с размерной регуляризацией, мы можем ограничиться случаем $m=0$. Для удобства введем обозначения для каждого члена действия (необходимые интегралы по полевым переменным подразумеваются):
$$
\begin{equation*}
S_{\psi\psi}=\bar\psi(i\partial\kern-5pt/)\psi,\qquad S_{\psi A\psi}=e\bar{\psi}\gamma^\mu A_\mu\psi,\qquad S_{FF}=\frac {F^{\mu\nu} F_{\mu\nu}}{4}.
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично [6] разобьем действие на две части:
$$
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, S=S_{\psi\psi}-S_{FF}-S_{\psi A\psi}=S_0+\zeta S_{\kern1pt\mathrm I}, \\ S_0=S_{\psi\psi}-S_{FF}+aS_{\psi\psi}\sqrt{iS_{FF}},\qquad S_{\kern1pt\mathrm I}=-S_{\psi A\psi}-aS_{\psi\psi}\sqrt{iS_{FF}}, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
$$
с произвольным положительным параметром $a$. Отметим, что при больших значениях полей $\psi$ и $A$ вклады $S_{\psi A\psi}$ и $S_{\psi\psi}\sqrt{iS_{FF}}$ демонстрируют “однотипный” рост по каждому из полей и имеют одинаковую каноническую размерность. Вспомогательная $\delta$-функция позволяет записать подынтегральную функцию $S$-матрицы в виде
$$
\begin{equation*}
e^{iS}=\int dy\,\delta(y-S_{FF})\,e^{iS_{\psi\psi}-iS_{FF}-i\zeta S_{\psi A\psi}+ ia(1-\zeta)\sqrt{iy}S_{\psi\psi}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Снова расписав $\delta$-функцию с помощью вспомогательного интеграла по $y'$, перегруппируем вклады в экспоненте:
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int& dy\,dy'\,e^{iy'(y-S_{FF})}e^{iS_{\psi\psi}-iS_{FF}-i\zeta S_{\psi A\psi}+ia(1-\zeta)\sqrt{iy}S_{\psi\psi}}= \\ &=\int dy\,dy'\,e^{iy' y}\exp\bigl({i(1+a(1-\zeta)\sqrt{iy}\,)S_{\psi\psi}-i(1+y')S_{FF}-i\zeta S_{\psi A\psi}}\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Теперь растяжение полей
$$
\begin{equation*}
A\to\frac {A}{\sqrt{1+y'}},\qquad\psi\to\frac{\psi}{\sqrt{1+a(1-\zeta)\sqrt{iy}}},\qquad \bar{\psi}\to\frac{\bar{\psi}}{\sqrt{1+a(1-\zeta)\sqrt{iy}}}
\end{equation*}
\notag
$$
позволяет записать функцию Грина $G_{mn}$, зависящую от следующего набора переменных: $m/2$ полей $\bar\psi$ (с соответствующим набором аргументов), $m/2$ полей $\psi$ и $n$ полей $A$. Мы имеем
$$
\begin{equation}
G_{mn}=\int\frac {dy\, dy'\; G_{mn}^{\scriptscriptstyle\mathrm{\,QED}}(e^{\blacktriangleright})}{\sqrt{1+y'}^{\,n}(1+a(1-\zeta)\sqrt{iy}\,)^m},\qquad e^{\blacktriangleright}=\frac{e\zeta}{\sqrt{1+y'}(1+a(1-\zeta)\sqrt{iy}\,)};
\end{equation}
\tag{7}
$$
здесь $G_{mn}^{\scriptscriptstyle\mathrm{\,QED}}(e)$ – соответствующая функция Грина в стандартной ТВ, а растянутая константа связи $e^{\blacktriangleright}$ порождается упомянутым растяжением полей. Данная форма записи позволяет построить сходящийся ряд ТВ по $\zeta$. Вычисление интеграла по $y$, $y'$
$$
\begin{equation}
\int dy\int dy'\,\frac {e^{iy'y}}{(1+y')^{(N+n)/2}(1+(iy)^{1/2}a(1-\zeta))^{N+m}}
\end{equation}
\tag{8}
$$
производится с помощью фейнмановского альфа-представления для первого множителя в знаменателе (введения вспомогательного интеграла по параметру $t$) и сведе́ния интеграла по $y'$ к дельта-функции. При этом любая диаграмма $N$-го порядка по заряду $e$, число аргументов которой задается числами $m$ и $n$, получает множитель
$$
\begin{equation}
U_{N,n,m}=\frac{1}{\Gamma((N+n)/2)}\int_0^{\infty}dt\,\frac{t^{(N+n)/2-1}e^{-t}}{(1+\sqrt {t}a(1-\zeta))^{N+m}}.
\end{equation}
\tag{9}
$$
Заметим, что интеграл по $y'$ в (8), очевидно, не существует, что отражает хорошо известный факт: в квантовой теории поля не существует функциональный интеграл с подынтегральной функцией $e^{iS}$ [19]. Поэтому преобразование с помощью фейнмановского альфа-представления имеет лишь формальный характер. Однако для доопределения здесь подходит ровно тот прием, который традиционно используется для доопределения функционального интеграла в квантовой теории поля: предлагается произвести виковский поворот, преобразовав пространство Минковского в пространство Евклида, провести все вычисления и затем “вернуться” обратно в пространство Минковского. При этом аналогично (3) все интегралы становятся хорошо определенными. Тем не менее подчеркнем, что к виковскому повороту функций Грина следует относиться с осторожностью. Повторим вслед за [19], что функциональный интеграл корректно воспринимать лишь как формальную запись для ряда ТВ. В данной работе такого толкования будет вполне достаточно, так как соответствующие выражения используются в рамках ТВ. Расходимость интеграла по $y'$ в (8) непосредственно связана с вычислением функционального интеграла по полю $A$. Поэтому для обоснования справедливости наших действий, включающих прямой и обратный виковский повороты, достаточно проверить справедливость формулы (9) для свободной функции Грина, содержащей только поля $A$. Для нее, в свою очередь, тривиально выполняется равенство
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int& \mathscr{D} \psi\, \mathscr{D} \bar\psi\, \mathscr{D} \kern-1pt A\,A(x_1)\ldots A(x_n)e^{iS_{\psi\psi}-iS_{FF}}= \\ &=\int_0^{\infty}dt\,\frac{t^{n/2-1}e^{-t}}{\Gamma(n/2)}\int \mathscr{D} \psi\, \mathscr{D} \bar\psi\, \mathscr{D} \kern-1pt A\,A(x_1)\ldots A(x_n) e^{iS_{\psi\psi}-iS_{FF}}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Аналогично соотношениям (4)–(6) несложно, разлагая $G_{mn}$ в ряд по взаимодействию, которое рассматривается как независимые составные операторы, вывести уравнение РГ для сходящейся ТВ обсуждаемой теории. Результат полностью аналогичен (4) и может быть представлен в виде
$$
\begin{equation}
\mathcal D_{\mathrm{RG}}G_{mn}^{\mathrm R}\equiv(\mu\partial_\mu+\beta\partial_\alpha+\beta_2\partial_\alpha^2+\cdots+\gamma_{m,n})G_{mn}^{\mathrm R}=0,
\end{equation}
\tag{10}
$$
где $\alpha={e^2}/{4\pi}$, а $\beta$- и $\gamma$-функции определены следующим образом:
$$
\begin{equation}
\beta =\frac{\alpha^2\,\partial_\alpha}{U_{2,n,m}} \sum_{l\geqslant 0}\alpha^l\zeta^{2l}\bigl([Z_\alpha^{(l)}]-m[Z_{\bar\psi}^{(l)}]-m[Z_{\psi}^{(l)}]-n[Z_{A}^{(l)}]\bigr)U_{2l+2,n,m}-\alpha\gamma_{n,m},
\end{equation}
\tag{11}
$$
$$
\begin{equation}
\gamma_{n,m} =-\frac {\alpha\,\partial_\alpha}{U_{0,n,m}} \sum_{l\geqslant 0}\alpha^l\zeta^{2l}(m[Z_{\psi}^{(l)}]U_{2l,n,m}+(m[Z_{\bar\psi}^{(l)}]U_{2l,n,m}+n[Z_{A}^{(l)}]U_{2l,n,m}).
\end{equation}
\tag{12}
$$
Как и ранее, $[Z_i^{(l)}]$ обозначает $l$-й коэффициент разложения по $\alpha$ для вычета (в простом полюсе по $\epsilon$) константы ренормировки $Z_i$.
4. Сходимость разложения по $\zeta$ для КЭДВ бозонных моделях сходимость разложения по $\zeta$ обычно доказывается на основании того, что существует инстантон [6]. Для моделей с фермионами ситуация осложнена отсутствием инстантона. К счастью, асимптотика высоких порядков разложения стандартной КЭД уже была исследована в работах [20], [21], и мы воспользуемся их результатами для доказательства сходимости построенной ТВ. В общих чертах доказательство аналогично приведенному в работе [18]. В работах [20], [21] была исследована асимптотика высоких порядков разложения по $\alpha=e^2/4\pi$ для $\beta$-функции стандартной ТВ:
$$
\begin{equation*}
\beta(\alpha)=\sum_{N}\beta^{(N)}\alpha^N,\qquad \beta^{(N)}\mathop{\sim}\limits_{N\to\infty}\biggl(-\frac{2\pi}{\tilde e^2}\biggr)^{\!N}N^p N!,
\end{equation*}
\notag
$$
где $\tilde{e}$ и $p$ – некоторые числовые константы. В соответствии с упомянутыми работами $\tilde e^2\simeq 5.9$, а константа $p$ не вычислялась. Легко показать, что данная асимптотика соответствует следующему виду асимптотики высоких порядков для первого полюса константы ренормировки:
$$
\begin{equation}
[Z_\alpha]^{N}\sim\biggl(-\frac{2\pi}{\tilde e^2}\biggr)^{\!N-1}(N-1)!\,N^p.
\end{equation}
\tag{13}
$$
Для простоты ограничимся рассмотрением случая $m=n=0$. При переходе к константе связи $e^{\blacktriangleright}$ в разложении по $\zeta$ у параметра $\alpha$ возникает коэффициент $\zeta^2$ (см. (7)). Согласно (13) коэффициенты разложения $[Z_\alpha]$ быстро растут с ростом $N$. Поэтому в соответствии со свойствами рядов с факториально растущими коэффициентами для вычисления аналогичной асимптотики в сходящейся ТВ достаточно учесть лишь вклад в нее величины (13) при больших $N$. По той же причине достаточно ограничиться асимптотикой высоких порядков разложения по $\zeta$ функции $U_{N,0,0}$ (9), т. е. считать в ней, что $N$ велико. Выражение для $k$-го члена этого разложения
$$
\begin{equation*}
U_{N,0,0}^{(k)}=\frac{1}{\Gamma(N/2)}\frac{(N+k-1)!}{k!\,(N-1)!} \int_0^{\infty}dt\,\frac {t^{(N+k)/2-1}e^{-t}}{(1+\sqrt{t}\,a)^{N+k}}\,a^k
\end{equation*}
\notag
$$
при больших $N+k$ несложно исследовать методом Лапласа. Для точки экстремума $t_{\mathrm c}$ подынтегральной функции, которую мы обозначим как $\exp(f(t))$, при больших $N+k$, а также для второй производной в точке экстремума имеем
$$
\begin{equation*}
f(t)=\frac{N+k}{2}\ln\frac{t}{(1+\sqrt {t}\,a)^2}-t,\qquad t_{\mathrm c}\approx\frac{(N+k)^{2/3}}{(2a)^{2/3}},\quad f''_{\mathrm c}=\frac{3(2a)^{2/3}}{2(N+K)^{2/3}}.
\end{equation*}
\notag
$$
Нетрудно убедиться, что старшие члены разложения функции $f$ в окрестности точки экстремума дают малые поправки в рассматриваемую асимптотику. В результате ответ имеет вид
$$
\begin{equation}
U_{N,0,0}^{(k)}\approx\frac{2^{4/3}\sqrt{3\pi}}{\Gamma(N/2)}\frac{C^k_{N+k-1}}{a^{N}} \biggl(\frac{N+k}{2a}\biggr)^{\!-5/9}\exp\biggl(-\frac{(N+k)^{2/3}}{(2a)^{2/3}}\biggr).
\end{equation}
\tag{14}
$$
Рассмотрим разложение по $\zeta$ для $\beta$-функции (11). Легко найти вклад $K$-го порядка альфа-разложения (где $K=N+k$), подставляя вместо $U_{2l+2,0,0}$ соответствующий вклад от (14) (при $2l=N$), а вместо $[Z_\alpha]$ – асимптотику (13). С точностью до асимптотически несущественных множителей получаем оценку
$$
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \beta(\zeta)=\sum_{K}\bar{\beta}^{(K)}\zeta^K,\qquad \bar\beta^{(K)}\mathop{\sim}\limits_{K\to\infty} \sum_k&\biggl(-\frac{2\pi\alpha}{\tilde e^2}\biggr)^{\!(K-k)/2}\biggl(\frac {K-k}2\biggr)!\biggl(\frac{K-k}2\biggr)^{\!p}\times{} \\ &\times\frac{C^k_{K-1}}{\Gamma((K-k)/2)a^{K-k}}\biggl(\frac{K}{2a}\biggr)^{\!-5/9}\exp\biggl(-\frac{K^{2/3}}{(2a)^{2/3}}\biggr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
$$
Не существенный для дальнейших рассуждений множитель $((K-k)/2)^p$ представляет собой результат $p$-кратного дифференцирования по $\sqrt{\alpha}$. Множитель $C^k_{K-1}$ показывает, что основной вклад в рассматриваемую сумму дают члены с $k\approx K/2$, а вклад членов с $k\approx K$ очевидно подавлен. Ввиду этого выражение для $\beta(\zeta)$ можно представить в асимптотической форме
$$
\begin{equation*}
\sum_{k=0}^{K}\biggl(-\frac{2\pi\alpha}{\tilde e^2}\biggr)^{\!(K-k)/2}\biggl(\frac{K}{2a}\biggr)^{\!-2/3}\frac {C^k_{K}}{a^{K-k}} \exp\biggl({-\frac{K^{2/3}}{(2a)^{2/3}}}\biggr).
\end{equation*}
\notag
$$
В результате радиус сходимости по $\zeta$ у рассматриваемой $\beta$-функции такой же, как у ряда
$$
\begin{equation*}
\sum_K\biggl(1-\sqrt{\frac{2\pi\alpha}{\tilde e^2a^2}}\;\biggr)^{\!\!K\,}\biggl(\frac{K}{2a}\biggr)^{\!-2/3}\exp\biggl(-\frac{K^{2/3}}{(2a)^{2/3}}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
таким образом, радиус сходимости разложения по $\zeta$ для $\beta$-функции имеет вид [21]
$$
\begin{equation*}
R_{\zeta}=\bigg|1-\sqrt{\frac{2\pi\alpha}{\tilde e^2a^2}}\,\bigg|^{-1},\qquad\tilde e^2\approx 5.9.
\end{equation*}
\notag
$$
Тем самым мы показали, что построенное разложение по $\zeta$ для $\beta$-функции КЭД действительно сходится в физической точке $\zeta_{\mathrm{ph}}=1$, если или, другими словами, при $\alpha<\alpha_{\max}=2a^2\tilde e^2/\pi$.5. Предел сильной связи в КЭДПятипетлевой результат расчетов $\beta$-функции КЭД впервые был представлен в работе [22], результаты расчетов также процитированы и используются в [23]. В MS-схеме ответ имеет вид
$$
\begin{equation*}
\beta= 0.0337\alpha^2+0.008062\alpha^3-0.04312\alpha^4-0.001866\alpha^5-0.0406\alpha^6.
\end{equation*}
\notag
$$
Восстановим простой полюс константы ренормировки заряда по формуле
$$
\begin{equation*}
Z_\alpha=1-\frac{1}{\epsilon}\int d\alpha\,\frac{\beta(\alpha)}{\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Для констант ренормировки полей $\psi$ и $A$ можно использовать пятипетлевые расчеты в КХД [24]. Впрочем, здесь достаточно положить $n=m=0$ и использовать формулу (12) для вакуумных петель. При этом мы не будем ни разлагать по $\zeta$ не зависящий от $\alpha$ общий множитель $U_{0,0,0}$ в $\beta$-функции, ни учитывать его как-либо иначе – это несущественная для нас константа. Мы исследуем асимптотику $\beta$-функции с точностью до не зависящей от заряда амплитуды. Приведем графики пяти- и четырехпетлевых результатов для $\beta$-функции (11) при $\zeta=\zeta_{\mathrm{ph}}$ и $a=100\,000$ (см. рис. 1а). Чтобы наблюдать степенное поведение, представляет интерес график в дважды логарифмическом масштабе: функция $\ln\beta$ от $\ln\alpha$ (см. рис. 1б). Здесь мы также привели четырех- и пятипетлевые результаты, чтобы показать малость соответствующей погрешности, а также специально расширили диапазон возможных значений $\ln\alpha$ по сравнению с максимально допустимым значением $\alpha_{\max}$. Всплески на краю графика связаны с численными проблемами расчета ряда на границе круга сходимости. Сам предел сильной связи можно найти, сравнив графики функций $\frac{\partial\ln\beta}{\partial\ln\alpha}$ и $\frac{\partial^2\ln\beta}{\partial(\ln\alpha)^2}$ в зависимости от $\ln\alpha$ (в пяти и четырех петлях), см. рис. 2. Численное сравнение показывает, что с большой точностью при больших $\alpha$ мы можем написать
$$
\begin{equation*}
\partial^2_{\ln\alpha}\ln\beta\approx\partial_{\ln\alpha}\ln\beta-2.
\end{equation*}
\notag
$$
Разрешая это уравнение, получаем предел сильной связи $\beta$-функции КЭД:
$$
\begin{equation*}
\beta(\alpha)\mathop{\approx}\limits_{\alpha\to\infty}C_1\alpha^2e^{C_2\alpha}.
\end{equation*}
\notag
$$
Амплитуду $C_1$, скорее всего, нельзя достаточно точно определить в предложенной нами схеме вычислений. Равенство $\partial_\alpha\ln\beta\approx C_2$ для $\alpha=\alpha_{\max}$ дает возможность получить оценку $C_2\approx 3\cdot 10^{-6}$. Столь малое значение этой константы не позволяет нам утверждать, что на самом деле она не равна нулю, тем не менее множитель $\alpha^2$ и монотонный характер роста рассматриваемой $\beta$-функции нашими результатами подтверждаются достаточно надежно.
6. ЗаключениеИсследование нульмерной модели $\varphi^4$, а также сходящаяся ТВ для стандартной модели $\phi^4$ в пространстве размерности $4-\epsilon$ свидетельствуют, что сходящаяся ТВ является работоспособным инструментом исследования предела сильной связи, который применяется, в частности, для анализа $\beta$-функции уравнения РГ. Полученные результаты для $\beta$-функции КЭД приводят нас к заключению, что проблема московского нуля (полюса Ландау) является свойством рассматриваемой задачи, а не артефактом ТВ. Это говорит о том, что даже такая простая и хорошо исследованная теория, как КЭД, не существует во всем энергетическом диапазоне и имеет принципиальное ограничение на малых пространственных масштабах. Приведенные нами результаты исследования предела сильной связи функций РГ теории $\varphi^4$ в ($4-\epsilon$)-разложении, а также рядов по $\epsilon$ для критических индексов могут быть использованы для более точного пересуммирования результатов многопетлевых вычислений. Приложение А. Как наш подход работает в нульмерной теории $\phi^4$Проиллюстрируем построение сходящегося ряда на примере интеграла
$$
\begin{equation*}
I_0(g)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int dx\,e^{-S(x)},\qquad S(x)=\frac{x^2}{2}+\frac{g x^4}{4!}.
\end{equation*}
\notag
$$
Являясь нульмерным аналогом модели $\phi^4$, этот объект традиционно используется в качестве полигона для различных методов обработки асимптотических рядов. Подробное исследование его свойств можно найти в [8]. Представление функции $S$ в виде
$$
\begin{equation*}
S_0+S_{\kern1pt\mathrm I},\qquad S_0=\frac{x^2}{2}+\frac{ax^4}{4},\quad S_{\kern1pt\mathrm I}=\zeta\biggl(\frac{gx^4}{4!}-\frac{ax^4}{4}\biggr),
\end{equation*}
\notag
$$
порождает ряд по $\zeta$, сходящийся при
$$
\begin{equation}
a>\frac{g}{4g_{\mathrm c}},\qquad g_{\mathrm c}=\frac{3}{2},
\end{equation}
\tag{15}
$$
и совпадающий с $I_0$ при $\zeta=1$. Теория возмущений по параметру $g$ хорошо исследована и приводит к асимптотическим рядам с нулевым радиусом сходимости. Предел сильной связи легко получить прямым вычислением: $I_0\sim g^{-1/4}$. Функция $I_0(g)$ стремится к этой асимптоте достаточно медленно (см. рис. 3а). Тем не менее шесть порядков возмущений являются репрезентативными для выделения предела сильной связи с помощью сходящейся схемы. Действительно, шесть порядков возмущения дают для $I_0(g)$
$$
\begin{equation*}
I_0^{\kern1pt\text{approx}}=U_{1/2}(a)+\sum_{l=1}^6\frac{(a-g/3!)^l(4l-1)!}{(2l-1)!\,l!\,2^{4l-1}} U_{2l+1/2}(a)\zeta^l.
\end{equation*}
\notag
$$
На рис. 3б приведен график этой функции при $\zeta=1$, $a=10^7$, демонстрирующий выход ряда на требуемое значение $-1/4$ как в случае шести, так и в случае пяти учтенных порядков сходящейся ТВ. Отметим, что восстановление требуемой асимптотики больших $g$ имеет место лишь при достаточно больших значениях параметра $a$, который выбирается с учетом неравенства (15). Приложение Б. Результаты исследования предела сильной связи в сходящейся модели $\phi^4$Для определения асимптотики сильной связи $\beta$-функции в теории $\phi^4$ использовались разные методы [8]–[10]. Во всех этих работах утверждалось, что $\beta$-функция при больших $g$ ведет себя как $g^{\lambda}$, однако параметр $\lambda$ получался разный: $\lambda\approx 2$ в работах [8], $\lambda\approx 3/2$ в работе [9], $\lambda\approx 1$ в работе [10]. В работах [12], [13] по результатам шестипетлевых расчетов было найдено значение $\lambda\approx 1.8$, которое вычислялось с помощью методики, аналогичной применявшейся в [8]. Сходящаяся ТВ в данной задаче была построена в [5], в работе [9] в этом формализме была найдена асимптотика сильной связи $\beta\sim g^{3/2}$. Нам удалось показать, что если использовать верную форму уравнения РГ в сходящейся ТВ [17], то результаты работы [9] исправляются и начинают соответствовать результатам работ [8] и [12], [13]. Таким образом, лишь результаты работы [10] не согласуются с остальными результатами. Наш подход к исследованию асимптотики сильной связи для $\beta$- и $\gamma$-функций основан на возможности использовать сходящееся разложение по $\zeta$ при $\zeta_{\mathrm{ph}}=1$ вплоть до больших значений $g$, зависящих от выбора параметра $a$. Для построения сходящегося ряда мы использовали шестипетлевые результаты расчета $\beta$- и $\gamma$-функций в стандартной ТВ модели $\phi^4$ [14]. Чтобы определить показатель степени $\lambda$, мы построили графики функций $\frac{\partial\ln\beta}{\partial\ln g}$ и $\frac{\partial\ln\gamma}{\partial\ln g}$ в зависимости от $\ln g$; вблизи максимального значения $g$ можно найти плато на уровне $\lambda$. В выражении (6) имеются четыре слагаемых. Асимптотика сильной связи для них исследовалась раздельно. Наши результаты показывают, что основной вклад в исследуемую асимптотику вносит член $[Z_g^l]$. Заметим также, что знаменатели в (5), (6) не зависят от $g$ и не влияют на степень, характеризующую асимптотику сильной связи. Используя константы $Z_i$, найденные в шестипетлевом расчете [14], мы вычислили функции (6), (5) для различных $a$ вплоть до $g_{\max}=4g_{\mathrm c}a$ (1). Полученные результаты практически не зависят от $a$ при достаточно больших $a$. Графики, с помощью которых можно определить степенное поведение функций $\beta$, $\gamma_\tau$ и $\eta=2\gamma_\phi$ при $a=e^{20}$, представлены на рис. 4. Мы определили следующее асимптотическое поведение функций РГ:
$$
\begin{equation*}
\beta\sim g^\lambda,\quad \gamma_\phi\sim g^{\lambda_\phi},\quad \gamma_\tau\sim g^{\lambda_\tau},
\end{equation*}
\notag
$$
где $\lambda\in(1.77,1.88)$, $\lambda_\phi\in(1.95,1.97)$, $\lambda_\tau\in(0.90, 0.935)$. Эти результаты согласуются с результатами работы [12], полученными без использования сходящейся ТВ. Кроме того, наши результаты позволяют получить для модели $\phi^4$ в рамках разложения по $\epsilon$ асимптотику критических индексов в переделе больших $\epsilon$. Записав уравнение $\beta(g_*)=0$ для фиксированной точки в виде можно заключить, что при больших $\epsilon$ справедливо соотношение $g_*\gamma_g(g_*)\sim g_*^{\lambda}$, т. е. $g_*\sim\epsilon^{1/(\lambda-1)}$. Поэтому значения индексов оцениваются как
$$
\begin{equation*}
\eta(g_*)\sim\epsilon^{\lambda_\phi/(\lambda-1)},\qquad \gamma_\tau(g_*)\sim\epsilon^{\lambda_\tau/(\lambda-1)}.
\end{equation*}
\notag
$$
Мы также нашли аналогичные характеристики для динамического критического индекса: $z(g_*)\sim\epsilon^{\lambda_{z}/(\lambda-1)}$, $\lambda_z\in(1.875,1.9)$. Конфликт интересовАвторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KomNal23} |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|