В. Д. Волков, В. А. Стукопин, “Аффинный суперянгиан и квантовый группоид Вейля”, ТМФ, 216:3 (2023), 476–489; Theoret. and Math. Phys., 216:3 (2023), 1313

Аннотация: Определены две реализации аффинного суперянгиана $Y_{\hbar}(\widehat{sl}(m|n))$ специальной линейной супералгебры Каца–Муди $\widehat{sl}(m|n)$ для произвольной системы простых корней: в терминах “минималистской” системы образующих и новой системы образующих Дринфельда. Построен изоморфизм между этими двумя реализациями суперянгиана в случае фиксированной системы простых корней. Рассмотрен группоид Вейля, определен его квантовый аналог и задано его действие на суперянгианах, определяемых системами простых корней. Показано, что действие квантового группоида Вейля индуцирует изоморфизмы между суперянгианами, определяемыми разными системами простых корней.

1. Введение

В данной работе мы определяем янгиан аффинной специальной линейной супералгебры Каца–Муди в терминах новой системы образующих Дринфельда [1]–[4] для произвольной системы простых корней этой аффинной супералгебры. Мы также определяем суперянгиан $Y_{\hbar}(\widehat{sl}(m,n))$ аффинной специальной линейной супералгебры $\widehat{sl}(m,n)$ для произвольной системы простых корней $\Pi$ в терминах минималистской системы образующих (см. [2], [4], [5]). Мы строим в явном виде изоморфизм между этими двумя реализациями суперянгиана, определяемыми заданной системой простых корней $\Pi$ аффинной супералгебры Каца–Муди $\hat{\mathfrak{g}}(\Pi)\simeq\widehat{sl}(m,n)$. Далее мы вводим квантовый группоид Вейля [6]–[8], элементы которого реализуются как изоморфизмы в категории суперянгианов $Y_{\hbar}(\hat{\mathfrak{g}}(\Pi))$ аффинных специальных линейных супералгебр Каца–Муди $\hat{\mathfrak{g}}(\Pi)$, определяемых системами простых корней $\Pi$. Как следствие получаем утверждение об изоморфизме суперянгианов, определяемых разными системами простых корней. Вводя таким образом, т. е. на основе данных о системе корней, объекты описываемой категории суперянгианов, мы получаем в определенном смысле комбинаторное описание суперянгианов.

Следует отметить, что конструкция янгиана общей линейной алгебры Ли в так называемой реализации Фаддеева–Решетихина–Тахтаджяна появилась еще до возникновения самого́ термина “янгиан” в связи с применением алгебраического анзаца Бете для изучения квантовых интегрируемых моделей с квантовой рациональной $R$-матрицей (cм. для ссылок [3], [9], [10]). Само определение янгиана было дано В. Г. Дринфельдом, это был один из наиболее важных для приложений примеров квантовых групп. Дринфельд определил янгиан конечномерной простой алгебры Ли как квантование (или плоскую деформацию) биалгебры Ли $\mathfrak{g}[z]$ полиномиальных токов [9] и таким образом, в частности, дал алгебраическое объяснение смысла рациональных решений квантового уравнения Янга–Бакстера. Он также ввел три реализации (представления) янгиана и доказал их эквивалентность. Одна из этих реализаций называется дринфельдовской реализацией (или новой реализацией Дринфельда) и задается образующими $\{h_{i,r}^{},x^{\pm}_{i,r}\mid r\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}\}$, причем в случае, когда второй индекс равен нулю, эти образующие совпадают с образующими Шевалле $\{h_i^{},x^{\pm}_i\}$ алгебры Ли $\mathfrak{g}$. Таким образом, янгиан содержит в качестве подалгебры универсальную обертывающую алгебру $U(\mathfrak{g})$. Отметим, что янгиан является алгеброй Хопфа и наделен коумножением. Правда, в реализации Дринфельда в общем случае неизвестны явные формулы коумножения для всех образующих.

Определение янгиана в реализации Дринфельда естественным образом можно распространить на случай, когда $\mathfrak{g}$ является как супералгеброй Ли [2], [11], так и аффинной алгеброй Каца–Муди (с симметризуемой матрицей Картана) [4], [12], [13]. Это обобщение впервые было сделано Левендорским и Боярченко в частном случае аффинной алгебры Каца–Муди типа $A_1^{(1)}$ [12], а также Гуэем в общем случае аффинной алгебры типа $A_n^{(1)}$ (см., например, [13]). Определение структуры алгебры Хопфа на аффинном янгиане является более сложной задачей, но эта задача относительно недавно была решена в работах Гуэя с соавторами [4].

Известно, что янгианы тесно связаны с $W$-алгебрами. Было показано, что существуют сюръективные гомоморфизмы янгианов типа $A$ в конечные $W$-алгебры типа $A$. Таким же образом аффинный янгиан связан с бесконечными $W$-алгебрами, играющими важную роль в математической физике.

В случае супералгебры Ли $sl(m,n)$ определение янгиана также известно и в представлении Дринфельда, и в так называемом представлении Решетихина–Тахтаджяна–Фаддеева. В случае конечномерных супералгебр Ли связь между янгианами и $W$-алгебрами изучалась многими авторами (например, Ч. Брио, Э. Рагуси, К. Пэном, В. Сергановой и Е. Полетаевой). В недавней статье Габердиэля, Ли, Пэна и Чжана [14] был определен янгиан $Y(\widehat{gl}(1,1))$ аффинной супералгебры Ли $\widehat{gl}(1,1)$. Совсем недавно Уэда определил аффинный суперянгиан $Y(\widehat{sl}(m,n))$ для выделенной простой системы корней [15].

Следует отметить, что базисная супералгебра Ли в отличие от простой алгебры Ли может быть задана разными диаграммами Дынкина. Это объясняется тем, что она имеет разные неэквивалентные системы простых корней (или, что то же самое, имеет несопряженные борелевские подалгебры).

В настоящей работе мы определяем аффинный суперянгиан $Y_{\hbar}(\widehat{sl}(m,n))$ для произвольной системы простых корней $\Pi$ и вводим группоид Вейля, который является категорией таких янгианов, более того, суперкатегорией, морфизмы которой суть изоморфизмы ассоциативных супералгебр. Мы также рассматриваем суперянгиан $Y_{\hbar}(\widetilde{sl}(m,n))$, где $\widetilde{sl}(m,n)$ – реализация аффинной алгебры Каца–Муди как центрального расширения петлевой супералгебры Ли, а сам аффинный янгиан является деформацией супералгебры токов со значениями в центральном расширении супералгебры петель. Мы доказываем, что для любых двух различных систем простых корней $\Pi_1$ и $\Pi_2$ соответствующие аффинные суперянгианы $Y_{\hbar}(\widetilde{sl}(\Pi_1))$ и $Y_{\hbar}( \widetilde{sl}(\Pi_2))$ изоморфны.

Отметим, что этот результат можно доказать и для суперянгианов $Y_{\epsilon_1, \epsilon_2}(\widetilde{sl}(\Pi_1))$ и $Y_{\epsilon_1, \epsilon_2}(\widetilde{sl}(\Pi_2))$, являющихся аналогами введенных Гуэем аффинных янгианов. Эти суперянгианы мы не рассматриваем в нашей работе, но они представляют интерес в связи с тороидальными квантовыми супералгебрами. Наше доказательство основано на построении группоида Вейля, порожденного суперотражениями решетки весов относительно простых корней, и эта конструкция, на наш взгляд, также представляет самостоятельный интерес. Суперотражения и индуцируют упомянутые выше изоморфизмы.

Мы строим два представления аффинного суперянгиана, а именно так называемое минималистское представление (в случае янгиана такое представление было введено Левендорским [5], в суперслучае было рассмотрено в работе [2]) и новую реализацию Дринфельда [9], [1], [3], которая для суперянгианов рассматривалась в работе [2] (см. также [8], [11], [16], [17]). Наш второй результат состоит в том, что эти два представления изоморфны как ассоциативные супералгебры. Мы не будем здесь рассматривать вопросы, связанные с коумножением. Это тема отдельной работы, которая планируется как продолжение данного исследования. Мы также планируем обсудить связь аффинных суперянгианов и квантовых тороидальных супералгебр по аналогии с работами [18]–[20]. В настоящей работе мы рассматриваем конструкцию суперянгиана для произвольной реализации аффинной супералгебры Ли типа $A^{(1)}(m-1,n-1)=\widehat{sl}(m,n)$, но эта конструкция может быть распространена и на произвольную аффинную базисную супералгебру Ли. Поэтому, имея в виду такое обобщение, мы в начале работы приводим некоторые необходимые сведения из общей теории супералгебр Ли, не ограничиваясь случаем специальной линейной супералгебры Ли и ее аффинизации.

Мы используем следующие обозначения. Пусть $\mathbb{C}$ – поле комплексных чисел, $\mathbb{N}$ – множество натуральных чисел, $\mathbb{Z}$ – кольцо целых чисел, $\mathbb{Z}_{+}$ – множество неотрицательных целых чисел, $\hbar$ будет всегда обозначать параметр деформации. Через $K[u]$ и $K[[u]]$ будем обозначать соответственно кольцо многочленов и кольцо формальных степенных рядов с коэффициентами из кольца $K$, $I$ – множество, индексирующее систему простых корней $\{\alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_m,\ldots,\alpha_{m+n-1}\}$ аффинной супералгебры Каца–Муди $A^{(1)}(m-1,n-1)$; выделенная система ее простых корней содержит два нечетных корня $\alpha_0$, $\alpha_m$.

2. Предварительные сведения. Супералгебры Ли, аффинные супералгебры Каца–Муди

Напомним основные определения теории супералгебр Ли (см. также [6]). Если иное не оговорено особо, мы полагаем, что $\mathfrak{g}=\mathfrak{sl}(m+1, n+1)=A(m,n)$.

2.1. Супералгебры Ли, группоид Вейля

Определение 1. Супералгебра Ли $\mathfrak{g}$ – это $\mathbb{Z}_2$-градуированное векторное пространство $\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_0\oplus\mathfrak{g}_1$, наделенное билинейным отображением $[\,{\cdot}\,,\,{\cdot}\,]\colon\mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{g}$ и функцией четности $p$ (заданной как $p(x)=i$, если $x\in\mathfrak{g}_i$), такое что для всех элементов $a,b,c\in\mathfrak{g}$

1) $[\mathfrak{g}_\alpha,\mathfrak{g}_\beta]\subseteq\mathfrak{g}_{\alpha+\beta}$ для $\alpha,\beta\in\mathbb{Z}_2$ ($\mathbb{Z}_2$-градуировка);
2) $[a,b]=-(-1)^{\bar a\bar{b}}[b,a]\vphantom{a^{\big|}}$ (градуированная антисимметричность или антисуперсимметричность);
3) $(-1)^{\bar a\bar{c}}[a,[b,c]]+(-1)^{\bar a\bar b}[b,[c,a]]+(-1)^{\bar b\bar{c}}[c,[a,b]=0\vphantom{a^{\big|}}$ (градуированное тождество Якоби).

Здесь $\bar a:=p(a)$.

Важным примером супералгебр Ли являются так называемые классические супералгебры Ли (или супералгебры Ли классического типа). Пусть $\mathfrak{g}=\mathfrak{g}_0\oplus\mathfrak{g}_1$ – конечномерная супералгебра Ли, такая что $\mathfrak{g}_0$ – редуктивная алгебра Ли, а $\mathfrak{g}_1$ является полупростым $\mathfrak{g}_0$-модулем. Тогда $\mathfrak{g}$ называется супералгеброй Ли классического типа. Пусть также $\mathfrak{h}_0$ – подалгебра Картана в $\mathfrak{g}_0$. Для $\alpha\in\mathfrak{h}_0^\ast$ положим

Нам потребуются некоторые дополнительные определения из теории супералгебр Ли [6].

Определение 2. Евклидово пространство $E$ – это конечномерное векторное пространство с положительно определенным скалярным (внутренним) произведением, обозначаемым как $(\,{\cdot}\,,\,{\cdot}\,)$. Для ненулевого $\alpha\in E$ положим $\alpha^\vee=2\alpha/(\alpha,\alpha)$. Гиперплоскость, ортогональная к $\alpha$, задается как

$$ \begin{equation*} \mathbb{H}_{\alpha}=\{\lambda\in E\mid (\lambda,\alpha)=0\}, \end{equation*} \notag $$

и мы определим отражение $s_{\alpha}$ относительно $\mathbb{H}_{\alpha}$ формулой

$$ \begin{equation*} s_{\alpha}(\lambda)=\lambda-(\lambda,\alpha^\vee)\alpha. \end{equation*} \notag $$

Далее мы ограничимся рассмотрением базисных супералгебр Ли, и определения будут относиться только к ним.

Подмножество $\Pi$ множества $\Delta$ называется базисом простых корней (системой простых корней), если $\Pi$ – базис векторного пространства $E$ и каждый корень $\beta$ из $\Pi$ может быть записан в форме $\beta=\sum_{\alpha\in\Pi}k_{\alpha}\alpha$ с целыми коэффициентами $k_{\alpha}$, которые все либо неотрицательны, либо все неположительны. Далее будем предполагать, что на $\Delta=\Delta_0\cup\Delta_1$ определена функция четности $p$, заданная как $p(v)=i$, если $v\in\Delta_i$. Другими словами, $\Delta_0$ и $\Delta_1$ обозначают соответственно множество четных и нечетных корней. Корень $\beta=\sum_{\alpha\in\Pi}k_{\alpha}\alpha$ с $k_{\alpha}\geqslant 0$ называется положительным. Множество всех положительных корней (имеющих в разложении только неотрицательные коэффициенты) мы обозначаем как $\Delta^{+}$. Мы будем формально рассматривать также отражения относительно нечетных корней.

Если $\mathfrak{g}$ – супералгебра Ли типа $sl(m,n)=A(m-1,n-1)$, то $\mathfrak{g}$ имеет корневое разложение (2.1), где $\mathfrak{h}$ – множество диагональных матриц, а $\Delta=\Delta_0\cup\Delta_1\subseteq\mathfrak{h}^\ast$ – множество корней. Пусть $\varepsilon_i$, $\delta_j$ – линейные функционалы на $\mathfrak{h}$, которые мы будем называть весами, определяемые на диагональных матрицах $a=\operatorname{diag}(a_1,\ldots,a_{m+n})$ формулами

Мы определяем диаграмму Дынкина как граф с множеством вершин двух цветов. Каждая вершина белого цвета соответствует корню из множества $\Delta_0$, каждая вершина серого цвета соответствует корню из множества $\Delta_1$. Две вершины графа соединены, если их скалярное произведение отлично от нуля. У нас не будут встречаться черные вершины, и мы их здесь не рассматриваем.

Отметим, что можно задать функцию порядка $O(\Pi)\rightarrow\{1,\ldots, m+n-1\}$ на системе простых корней, которая равна номеру простого корня в диаграмме Дынкина, а также функцию четности $p$:

четный корень $\alpha$ – это элемент множества $\Delta_0$, тогда $p(\alpha)=0$;

нечетный корень $\beta$ – это элемент множества $\Delta_1$, тогда $p(\beta)=1$.

Заметим, что скалярное произведение корня из множества $\Delta_1$ самого на себя равно нулю для всех корней из этого множества. Тем не менее мы можем определить отражение $s_{\alpha_i}$ относительно нечетного корня:

Если $\Pi$ – базис простых корней супералгебры $\mathfrak{g}$, то $s_{\alpha_i}(\Pi)=\{s_{\alpha_i}(\lambda)\mid\lambda\in\Pi\}$ также является базисом простых корней. Отметим, что отражения относительно корней образуют структуру группоида. Таким образом, мы можем определить группоид Вейля как группоид, порожденный всеми отражениями $s_{\alpha_i}$ для $\alpha_i\in\Delta$. Заметим, что действия нечетными элементами группоида Вейля изоморфно переводят систему положительных корней $\Delta^{+}$ в другую систему положительных корней $\Delta^{+}_1$.

2.2. Аффинные супералгебры Каца–Муди

Напомним определение аффинизации $\widehat{sl}(m,n)$ супералгебры Ли $sl(m,n)$, а также определение аффинной супералгебры Ли $A^{(1)}(m-1,n-1)=sl^{(1)}(m,n)$.

Определение 5. Пусть $g=sl(m,n)$. Супералгебра Ли $\tilde g$ задается как алгебра

$$ \begin{equation*} g\otimes\mathbb{C}[t^{\pm 1}]\oplus\mathbb{C}c\oplus\mathbb{C}d \end{equation*} \notag $$

с определяющими коммутационными соотношениями

$$ \begin{equation*} [a\otimes t^s,b\otimes t^u]=[a,b]\otimes t^{s+u}+\delta_{s+u}\kappa(a,b)c,\qquad [d,a\otimes t^s]=sa\otimes t^s, \end{equation*} \notag $$

где $c$ – центральный элемент в $\tilde g$.

Зададим супералгебру $\hat g\subset\tilde g$ как $g\otimes\mathbb{C}[t^{\pm 1}]\oplus\mathbb{C}c$. Имеет место следующее представление супералгебры Ли $\widehat{sl}(m,n)$ как супералгебры Каца–Муди.

Супералгебра Ли $\widetilde{sl}(m,n)$ изоморфна супералгебре Ли $sl^{(1)}(m,n)$ с образующими $\{x_i^{\pm},h_i^{},d\mid i=0,1,\ldots,m+n-1\}$ и следующими определяющими соотношениями:

Отметим, что супералгебра Ли $\widehat{sl}(m,n)$ изоморфна супералгебре Ли над $\mathbb{C}$, задаваемой образующими $\{ x_i^{\pm},h_i^{}\mid i=0,1,\ldots,m+n-1\}$ и соотношениями (2.5)–(2.7).

Пусть $\{\alpha_i\}_{0\leqslant i\leqslant m+n-1}$ есть множество простых корней аффинной супералгебры $\widetilde{sl}(m,n)$. Пусть $\delta$ обозначает корень $\sum_{0\leqslant i\leqslant m+n-1}\alpha_i$ и $\theta$ есть корень $\sum_{1\leqslant i\leqslant m+n-1}\alpha_i$, так что $\alpha_0=\delta-\theta$. Будем обозначать через $\Delta$ (через $\Delta_{+}$) множество корней (соответственно положительных корней) супералгебры Ли $\widetilde{sl}(m,n)$.

Рассмотрим упорядоченное множество весов, введенное формулой (2.2). Мы дополнили это множество нулевым корнем $\alpha_0$, ввели также корень $\delta$, который дуален $d$, т. е. $\langle\delta, d\rangle=1$, этот корень биортогонален подалгебре Картана $sl(m,n)$. Мы можем рассматривать простой корень $\alpha_i$ с $i=1,\ldots, m+n-1$ как разность весов, расположенных рядом в соответствии с заданным порядком. Нулевой корень задается как разность $\alpha_0=\delta-\theta$, и мы его фиксируем, остальные простые корни образуют систему простых корней, которая является выделенной при определенном выше порядке весов и переходит в другую систему простых корней при изменении упорядочения весов. Определим (симметрическую) матрицу Картана как симметрическую матрицу с матричными элементами $a_{i,i}=0$, если $\alpha_i$ – нечетный корень, и

Отметим, что матрица Картана супералгебры Ли $sl(\Pi)$ или ее аффинного аналога содержит диагональные блоки: для четных и нечетных корней соответственно

3. Аффинный суперянгиан

Пусть $S_n$ – симметрическая группа и $\widehat{sl}(m,n)$ – супералгебра Ли, определяемая неразложимой матрицей Картана $(a_{ij})_{i,j\in I}$, где $I$ – множество вершин расширенной диаграммы Дынкина, соответствующей $\widehat{sl}(m,n)$. Отметим, что элементы множества $I$ индексируются числами $\{0,1,\ldots, m+n-1\}$, и мы будем, не оговаривая это специально, отождествлять эти два множества, когда хотим зафиксировать выделенный порядок на множестве простых корней. Зададим $\{a,b\}$ как $\{a,b\}=ab+(-1)^{p(a)p(b)}ba$.

Определим сначала суперянгиан $Y_\hbar(\widehat{sl}(m,n))$ для выделенной системы простых корней.

Определение 6. Суперянгиан $Y_\hbar(\widehat{sl}(m,n))$ – это ассоциативная супералгебра с единицей над кольцом формальных степенных рядов $\mathbb{C}[\hbar]$, порожденная образующими $x_{i,r}^{\pm}$, $h_{i,r}^{}$, где $i=0,1,\ldots,m+n-1$ и $r\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$, которые удовлетворяют следующим определяющим соотношениям:

$$ \begin{equation} [h_{i,r},h_{j,s}]=0, \end{equation} \tag{3.1} $$

$$ \begin{equation} [h_{i,0}^{},x_{j,s}^{\pm}]=\pm a_{ij}^{}x_{j,s}^{\pm}, \end{equation} \tag{3.2} $$

$$ \begin{equation} [x_{i,r}^{+},x_{j,s}^{-}]=\delta_{ij}^{}h_{i,r+s}^{}, \end{equation} \tag{3.3} $$

$$ \begin{equation} [h_{i,r+1}^{},x_{j,s}^{\pm}]-[h_{i,r}^{},x_{j,s+1}^{\pm}]=\pm\frac{\hbar a_{ij}}{2}\{h_{i,r}^{},x_{j,s}^{\pm}\}, \end{equation} \tag{3.4} $$

$$ \begin{equation} [x_{i,r+1}^{\pm},x_{j,s}^{\pm}]-[x_{i,r}^{\pm},x_{j,s+1}^{\pm}]=\pm\frac{\hbar a_{ij}}{2}\{x_{i,r}^{\pm},x_{j,s}^{\pm}\}, \end{equation} \tag{3.5} $$

$$ \begin{equation} \sum_{\sigma\in S_n}[x_{i,r_{\sigma(1)}}^{\pm},[x_{i,r_{\sigma(2)}}^{\pm},\ldots,[x_{i,r_{\sigma(n)}}^{\pm},x_{j,s}^{\pm}]\ldots]]=0\quad\text{для}\;\, i\neq j\;\,\text{и}\;\,n=1+|a_{ij}|, \end{equation} \tag{3.6} $$

$$ \begin{equation} [x^{\pm}_{i,r},x^{\pm}_{i,s}]=0\quad\text{для}\;\,i=0,m, \end{equation} \tag{3.7} $$

$$ \begin{equation} [[x_{i-1,0}^{\pm},x_{i, 0}^{\pm}],[x_{i,0}^{\pm},x_{i+1, 0}^{\pm}]]=0\quad\text{для}\;\,i=0,m,\qquad x^{\pm}_{-1,k}:=x^{\pm}_{m+n-1,k}. \end{equation} \tag{3.8} $$

Здесь

$$ \begin{equation*} a_{i,j}=\begin{cases} \phantom{-}(-1)^{p(i)}+(-1)^{p(i+1)}, &\text{если}\;\, i=j,\\ -(-1)^{p(i+1)}, &\text{если}\;\, j=i+1,\\ -(-1)^{p(i)}, &\text{если}\;\, j=i-1,\\ \phantom{-}1, &\text{если}\;\, (i,j)=(0,m+n-1),(m+n-1,0),\\ \phantom{-}0 &\text{в противном случае}. \end{cases} \end{equation*} \notag $$

Образующие $x_{m,r}^{\pm}$ и $x_{0,r}^{\pm}$ нечетные, а остальные образующие четные.

Мы также можем определить суперянгиан $\widehat{sl}(m,n)$ следующим эквивалентным образом.

Определение 7. Суперянгиан $Y_\hbar(\widehat{sl}(m,n))$ – это унитальная ассоциативная $\mathbb{C}[\hbar]$-супералгебра, порожденная элементами $x_{i,r}^{\pm}$, $h_{i,r}^{}$, где $i=0,1,\ldots,m+n-1$ и $r\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$, которые удовлетворяют соотношениям (3.1)–(3.7) и следующему соотношению, эквивалентному (3.8):

$$ \begin{equation} [[x_{i-1,k}^{\pm},x_{i,0}^{\pm}],[x_{i,0}^{\pm},x_{i+1,t}^{\pm}]]=0\quad\text{для}\;\,i=0,m. \end{equation} \tag{3.9} $$

Здесь и выше $a_{ij}$ – это элементы матрицы Картана $A=(a_{ij})_{i,j\in I}$ супералгебры Ли $\widehat{sl}(m,n)$, определяемые выделенной системой простых корней.

Замечание 1. Аффинный суперянгиан является также супералгеброй Хопфа. Здесь мы не рассматриваем операцию коумножения на аффинном суперянгиане, намереваясь это сделать в отдельной работе, в которой также собираемся объяснить естественность минималистского представления аффинного суперянгиана и то, каким образом эта реализация появляется как результат квантования бисупералгебры Ли полиномиальных токов со значениями в аффинной супералгебре Каца–Муди.

Теперь определим аффинный суперянгиан супералгебры Каца–Муди $\widetilde{sl}(m,n)=A^{(1)}(m-1,n-1)$.

Определение 8. Предположим, что $m,n\geqslant 2$ и $m\neq n$. Аффинный суперянгиан $Y_{\hbar}(\widetilde{sl}(m,n))$ – это ассоциативная супералгебра над полем комплексных чисел $\mathbb{C}$ (точнее, семейство супералгебр, зависящих от параметра $\hbar\in\mathbb{C}$, или супералгебра над $\mathbb{C}[[\hbar]]$), порожденная образующими

$$ \begin{equation*} \{x_{i,r}^{\pm},h_{i,r}^{},d\mid i=0,1,\ldots,m+n-1\;\,\text{и}\;\,r\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}\}, \end{equation*} \notag $$

которые удовлетворяют соотношениям (3.1)–(3.8), а также соотношениям

$$ \begin{equation} [d,h_{i,r}]=0,\quad [d,x_{i,r}^{+}]=\begin{cases} x^{+}_{i,r}, &\text{если}\;\, i=0,\\ 0, &\text{если}\;\, i\neq 0, \end{cases} \quad [d,x_{i, r}^{-}]=\begin{cases} -x^{-}_{i,r}, &\text{если}\;\, i=0,\\ \phantom{-}0, &\text{если}\;\, i\neq 0. \end{cases} \end{equation} \tag{3.10} $$

Образующие $x_{m,r}^{\pm}$ и $x_{0,r}^{\pm}$ являются нечетными, а все остальные образующие четные.

Пусть $\tilde h_{i,1}=h_{i,1}-\frac{\hbar}{2}h_{i,0}^2$, тогда можно показать [15], что следующая супералгебра изоморфна $Y_{\hbar}(\widehat{sl}(m,n))$ (в случае выделенной системы простых корней).

Теорема 1. Пусть $m,n\geqslant 2$ и $m\neq n$. Аффинный суперянгиан $Y_{\hbar}(\widehat{sl}(m,n))$ изоморфен в категории ассоциативных супералгебр ассоциативной супералгебре, порожденной образующими $x_{i,r}^{\pm}$, $h_{i,r}^{}$, где $i=0, 1,\ldots,m+n-1$ и $r=0,1$, которые удовлетворяют следующей системе определяющих соотношений:

$$ \begin{equation} [h_{i,r},h_{j,s}]=0, \end{equation} \tag{3.11} $$

$$ \begin{equation} [x_{i,0}^{+},x_{j,0}^{-}]=\delta_{ij}h_{i,0}, \end{equation} \tag{3.12} $$

$$ \begin{equation} [x_{i,1}^{+},x_{j,0}^{-}]=\delta_{ij}^{}h_{i,1}^{}=[x_{i,0}^{+},x_{j,1}^{-}], \end{equation} \tag{3.13} $$

$$ \begin{equation} [h_{i,0}^{},x_{j,r}^{\pm}]=\pm a_{ij}^{}x_{j,r}^{\pm}, \end{equation} \tag{3.14} $$

$$ \begin{equation} [x_{i,1}^{\pm},x_{j,0}^{\pm}]-[x_{i,0}^{\pm},x_{j,1}^{\pm}]=\pm\frac{\hbar a_{ij}}{2}\{x_{i, 0}^{\pm},x_{j,0}^{\pm}\}, \end{equation} \tag{3.15} $$

$$ \begin{equation} [\tilde h_{i,1},x_{j, 0}^{\pm}]=\pm a_{ij}x_{j,1}^{\pm}, \end{equation} \tag{3.16} $$

$$ \begin{equation} (\operatorname{ad}x_{i,0}^{\pm})^{(1+|a_{ij}^{}|)}(x_{j,0}^{\pm})=0\quad\textit{для}\;\, i\neq j, \end{equation} \tag{3.17} $$

$$ \begin{equation} [x_{i,0}^{\pm},x_{i,0}^{\pm}]=0\quad\textit{для}\;\,i=0,m, \end{equation} \tag{3.18} $$

$$ \begin{equation} [[x_{i-1,0}^{\pm},x_{i,0}^{\pm}],[x_{i,0}^{\pm},x_{i+1,0}^{\pm}]]=0\quad\textit{для}\;\, i=0,m. \end{equation} \tag{3.19} $$

Пусть теперь $\Pi$ – произвольная система простых корней специальной линейной супералгебры Каца–Муди. Определим аффинный суперянгиан для произвольной реализации аффинной специальной линейной супералгебры Каца–Муди $\widehat{sl}(E,\Pi,p)$, где $E$ – векторное пространство с невырожденной инвариантной формой, базисом $\Pi=\{\alpha_0,\alpha_1,\ldots,\alpha_{m+n-1}\}$, состоящим из простых корней, и функцией четности $p$, определенной на решетке корней. Определение выглядит внешне так же, как определение суперянгиана для выделенной системы корней, но матрица Картана $A=(a_{i,j})_{i,j\in I}$ здесь другая, она задается произвольной системой простых корней $\Pi$.

Определение 9. Суперянгиан $Y_\hbar(\widehat{sl}(E,\Pi,p))$ – это ассоциативная $\mathbb{C}[\hbar]$-супералгебра с единицей, порожденная образующими $x_{\alpha_i,r}^{\pm}$, $h_{\alpha_i,r}^{}$, где $\alpha_i\in\Pi$ и $r\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}$, которые удовлетворяют следующим определяющим соотношениям:

$$ \begin{equation} [h_{\alpha_i,r},h_{\alpha_j,s}]=0, \end{equation} \tag{3.20} $$

$$ \begin{equation} [h_{\alpha_i,0}^{},x_{\alpha_j,s}^{\pm}]=\pm a_{ij}^{}x_{\alpha_j,s}^{\pm}, \end{equation} \tag{3.21} $$

$$ \begin{equation} [x_{\alpha_i,r}^{+},x_{\alpha_j,s}^{-}]=\delta_{ij}^{}h_{\alpha_i,r+s}^{}, \end{equation} \tag{3.22} $$

$$ \begin{equation} [h_{\alpha_i,r+1}^{},x_{\alpha_j,s}^{\pm}]-[h_{\alpha_i,r}^{},x_{\alpha_j,s+1}^{\pm}]= \pm\frac{\hbar a_{ij}}{2}\{h_{\alpha_i,r},x_{\alpha_j,s}^{\pm}\}, \end{equation} \tag{3.23} $$

$$ \begin{equation} [x_{\alpha_i,r+1}^{\pm},x_{\alpha_j,s}^{\pm}]-[x_{\alpha_i,r}^{\pm},x_{\alpha_j,s+1}^{\pm}]= \pm\frac{\hbar a_{ij}}{2}\{x_{\alpha_i,r}^{\pm},x_{\alpha_j,s}^{\pm}\}, \end{equation} \tag{3.24} $$

$$ \begin{equation} \sum_{\sigma_i\in S_n}[x_{\alpha_i,r_{\sigma(i)}}^{\pm}, [x_{\alpha_i,r_{\sigma(2)}}^{\pm},\ldots,[x_{\alpha_i,r_{\sigma(m)}}^{\pm},x_{\alpha_j,s}^{\pm}]\ldots]]=0 \quad\text{для}\;\,i\neq j, \end{equation} \tag{3.25} $$

$$ \begin{equation} [x_{\alpha_i,r},x_{\alpha_i,s}]=0\quad\text{для каждого нечетного корня}\;\,\alpha_i, \end{equation} \tag{3.26} $$

$$ \begin{equation} [[x_{\alpha_{i-1},k}^{\pm},x_{\alpha_i,0}^{\pm}],[x_{\alpha_i,0}^{\pm},x_{\alpha_{i+1},t}^{\pm}]]=0\quad\text{для каждого нечетного корня}\;\,\alpha_i. \end{equation} \tag{3.27} $$

Здесь $a_{i,j}$ – матричные элементы матрицы Картана, определяемой заданной системой простых корней $\Pi$. В соотношении (3.25) $n=1+|a_{ij}|$.

Определение 10. Пусть $\widetilde{sl}(E,\Pi,p)$ – аффинная супералгебра Каца–Муди типа $A^{(1)}(m-1,n-1)$, $m\neq n$ и $m,n\geqslant 2$. Аффинный суперянгиан $Y_{\hbar}(\widetilde{sl}(E,\Pi,p))$ – это ассоциативная супералгебра над $\mathbb{C}$, зависящая от параметра $\hbar\in\mathbb{C}$ (или ассоциативная супералгебра над кольцом $\mathbb{C}[[\hbar]]$), порожденная $\{h_{\alpha_i,r},x_{\alpha_i,r}^{\pm},d\mid\alpha_i\in\Pi,\,r\in\mathbb{Z}_{\geqslant 0}\}$, которая удовлетворяет определяющим соотношениям (3.20)–(3.27) и соотношениям

$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, {} [d,h_{\alpha_i,r}]=0, \\ [d,x_{\alpha_i,r}^{+}]=\begin{cases} x^{+}_{\alpha_i,r}, &\text{если}\;\, i=0,\\ 0, &\text{если}\;\, i\neq 0, \end{cases}\qquad [d,x_{\alpha_i,r}^{-}]=\begin{cases} -x^{-}_{\alpha_i,r}, &\text{если}\;\, i=0,\\ \phantom{-}0, &\text{если}\;\, i\neq 0. \end{cases} \end{gathered} \end{equation} \tag{3.28} $$

Нечетные образующие $x_{\alpha_i,r}^{\pm}$ соответствуют нечетным корням $\alpha_i$, а все остальные образующие являются четными.

3.1. Основная теорема

Теорема 2. Пусть $\widetilde{sl}(E,\Pi,p)$ есть аффинная супералгебра Каца–Муди типа $A(m-1,n-1)$, $m\neq n$ и $m,n\geqslant 2$. Тогда аффинный суперянгиан $Y_{\hbar}(\widetilde{sl}(E,\Pi,p))$ изоморфен ассоциативной супералгебре, порожденной образующими $x_{\alpha_i,r}^{\pm}$, $h_{\alpha_i,r}^{}$, $d$, где $\alpha_i\in\Pi$ и $r=0,1$, которые удовлетворяют следующим определяющим соотношениям:

$$ \begin{equation} [h_{\alpha_i,r},h_{\alpha_j,s}]=0, \end{equation} \tag{3.29} $$

$$ \begin{equation} [x_{\alpha_i, s}^{+},x_{\alpha_j,r}^{-}]=\delta_{ij}^{}h_{\alpha_i,k+r}^{}, \end{equation} \tag{3.30} $$

$$ \begin{equation} [h_{\alpha_i,0}^{},x_{\alpha_i,r}^{\pm}]=\pm a_{ij}^{}x_{\alpha_j,r}^{\pm}, \end{equation} \tag{3.31} $$

$$ \begin{equation} [x_{\alpha_i,k+1}^{\pm},x_{\alpha_j,r}^{\pm}]-[x_{\alpha_i,k}^{\pm},x_{\alpha_j,r+1}^{\pm}]= \pm\frac{\hbar a_{ij}}{2}\{x_{\alpha_i,k}^{\pm},x_{\alpha_j,r}^{\pm}\}, \end{equation} \tag{3.32} $$

$$ \begin{equation} [\tilde h_{\alpha_i,1}^{},x_{\alpha_j,r}^{\pm}]=\pm a_{ij}x_{\alpha_j,r+1}^{\pm}, \end{equation} \tag{3.33} $$

$$ \begin{equation} (\operatorname{ad} x_{\alpha_i,0}^{\pm})^{(1+|a_{ij}|)}(x_{\alpha_j,0}^{\pm})=0\quad\textit{для}\;\,i\neq j, \end{equation} \tag{3.34} $$

$$ \begin{equation} [x_{\alpha_i,0}^{\pm},x_{\alpha_i,0}^{\pm}]=0\quad\textit{для каждого нечетного корня}\;\,\alpha_i, \end{equation} \tag{3.35} $$

$$ \begin{equation} [[x_{\alpha_{i-1},0}^{\pm},x_{\alpha_i,0}^{\pm}][x_{\alpha_i,0}^{\pm},x_{\alpha_{i+1},0}^{\pm}]]=0\quad\textit{для каждого нечетного корня}\;\,\alpha_i, \end{equation} \tag{3.36} $$

$$ \begin{equation} \begin{gathered} \, {} [d,h_{\alpha_{\alpha_i},r}]=0, \\ [d,x_{\alpha_i,r}^{+}]=\begin{cases} x^{+}_{\alpha_i,r}, &\textit{если}\;\,i=0,\\ 0, &\textit{если}\;\,i\neq 0, \end{cases} \qquad [d,x_{\alpha_i,r}^{-}]=\begin{cases} -x^{-}_{\alpha_i,r}, &\textit{если}\;\,i=0,\\ \phantom{-}0, &\textit{если}\;\,i\neq 0. \end{cases} \end{gathered} \end{equation} \tag{3.37} $$

Доказательство. Мы дадим краткий набросок доказательства, а чуть ниже, в следующем пункте, объясним геометрический смысл основной конструкции изоморфизма между разными реализациями аффинного суперянгиана. Основные моменты доказательства появлялись в работах [5], [2], [4], [15]. Остановимся только на отличиях, они не очень существенны. Доказательство дополнительного соотношения Серра нельзя провести так же, как в работе [15], но общая схема, реализованная в работах [2], [7], может быть использована и в случае аффинного суперянгиана. Тем не менее детальное доказательство достаточно громоздко.

Примерная схема доказательства следующая. Легко видеть, что соотношения в минималистской реализации аффинного суперянгиана следуют из соотношений в новой реализации Дринфельда. Чтобы показать, что соотношения в новой реализации Дринфельда вытекают из соотношений в минималистском представлении, следует сначала, используя минималистское представление, по индукции определить образующие, соответствующие образующим в реализации Дринфельда. После этого из соотношений в минималистском представлении выводятся определяющие соотношения в новой реализации Дринфельда. Доказательство проводится по индукции.

Трудности, вызванные рассмотрением произвольной системы простых корней и достаточно большим количеством нечетных образующих, не очень существенны. Некоторое объяснение этого факта, связано с тем, что все эти реализации, определяемые выбором различных систем корней, изоморфны в категории ассоциативных супералгебр. В следующем пункте мы объясним, что всё это приводит к естественной конструкции квантового группоида.

Замечание 2. В качестве определения аффинного суперянгиана мы использовали новую реализацию Дринфельда. Основная теорема утверждает, что эта реализация эквивалентна минималистской реализации. Но можно было бы использовать в качестве определения минималистское представление аффинного суперянгиана, и тогда формулировка теоремы не изменилась бы, но ее утверждение состояло бы в том, что аффинный суперянгиан может быть описан в новой реализации Дринфельда, т. е. как суперянгиан Дринфельда. Вторая точка зрения является естественной, если пытаться определить аффинный суперянгиан как результат квантования бисупералгебры Ли полиномиальных токов со значениями в аффинной супералгебре Каца–Муди. В этом случае аффинный суперянгиан появляется вместе со структурой супералгебры Хопфа. Поскольку мы работаем в категории ассоциативных супералгебр, мы предпочли использовать в качестве исходного определения аффинного суперянгиана его представление как суперянгиана Дринфельда, уже ставшее традиционным и применявшееся многими авторами в качестве определения янгиана как простых, так и аффинных алгебр Каца–Муди–Ли.

3.2. Группоид Вейля

Пусть $s$ – элемент группоида Вейля $\widehat W$. Определено естественное действие элементов из $\widehat W$ на системе простых корней $\Pi$ супералгебры Ли $A(m,n)$, а именно, для $s\in\widehat W$ мы имеем $s\colon\Pi\rightarrow\Pi_1$. Мы также можем определить действие группоида Вейля $\widehat W$ на суперянгианах вида $Y(\widehat{sl}(E,\Pi,p))$: элементы из $\widehat W$ индуцируют отображения $Y(\widehat{sl}(E,\Pi,p))\rightarrow Y(\widehat{sl}(E,\Pi_1,p))$. Другими словами, элементы $s$ группоида Вейля определяют изоморфизмы $T_s$ в категории суперянгианов вида $Y(\widehat{sl}(E,\Pi,p))$; мы называем эти изоморфизмы квантовыми суперотражениями. Таким образом, $\widehat W$ является группоидом в категорийном смысле.

Отметим, что каждый четный элемент $s\in\widehat W$ определяет автоморфизм

Отметим, что точно такое же определение группоида Вейля может быть дано и в случае аффинного суперянгиана $Y(\widetilde{sl}(E,\Pi,p))$.

Для четных простых отражений мы можем определить отображения

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, T_{\alpha_i}(x_{\alpha_j,0}^{\pm})&=\begin{cases} -x_{\alpha_i,0}^{\mp}, &\text{если}\;\,i=j,\;\, a_{i,i}=2,\\ \pm[x_{\alpha_i,0}^{\pm},x_{\alpha_j,0}^{\pm}], &\text{если}\;\, a_{i,j}=-1,\\ \phantom{-}x_{\alpha_j,0}^{\pm}, &\text{если}\;\, a_{i,j}=0; \end{cases} \\ T_{\alpha_i}(h_{\alpha_j,0})&=\begin{cases} -h_{\alpha_i,0}, &\text{если}\;\, i=j,\;\, a_{i,i}=2,\\ \phantom{-}h_{\alpha_i,0}+h_{\alpha_j,0}, &\text{если}\;\, a_{i,j}=-1,\\ \phantom{-}h_{\alpha_j,0}, &\text{если}\;\, a_{i,j}=0; \end{cases} \\ T_{\alpha_i}(x_{\alpha_j,1}^{\pm})&=\begin{cases} -x_{\alpha_i,1}^{\mp}+\dfrac{\hbar}{2}\{h_{\alpha_i,0}^{},x_{\alpha_i,0}^{\mp}\}, &\text{если}\;\, i=j,\;\, a_{i,i}=2,\\ \pm[x_{\alpha_i,0}^{\pm},x_{\alpha_j,1}^{\pm}], &\text{если}\;\,a_{i,j}=-1,\\ \phantom{-}x_{\alpha_j,1}^{\pm}, &\text{если}\;\,a_{i,j}=0; \end{cases} \\ T_{\alpha_i}(\tilde h_{\alpha_j,1})&=\begin{cases} -\tilde h_{\alpha_i,1}^{}-\hbar\{x_{\alpha_i,0}^{+},x_{\alpha_i,0}^{-}\},&\text{если}\;\, i=j,\;\, a_{i,i}=2,\\ \phantom{-}\tilde h_{\alpha_j,1}^{}+\tilde h_{\alpha_i,1}^{}+\dfrac{\hbar}{2}\{x_{\alpha_i,0}^{+},x_{\alpha_i,0}^{-}\},&\text{если}\;\,a_{i,j}=-1,\\ \phantom{-}\tilde h_{\alpha_j,1},&\text{если}\;\,a_{i,j}=0. \end{cases} \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Определим теперь квантовые нечетные отражения. Пусть $\alpha_i$ – нечетный простой корень, т. е. $|\alpha_i|=1$, а $s_i\colon\Pi\rightarrow\Pi'$ есть отражение относительно этого нечетного корня (“нечетное отражение”). Пусть $\beta_j:=s(\alpha_j)\in\Pi'$ есть образ простого корня $\alpha_j$ исходной системы простых корней $\Pi$ под действием этого отражения $s_i=s_{\alpha_i}$. Определим гомоморфизмы

$$ \begin{equation*} \begin{aligned} \, T_i(x_{\alpha_j,0}^{+})&=\begin{cases} -x_{s_i(\alpha_i),0}^{-}, &\text{если}\;\,i=j,\\ \kern4.6pt[x_{s_i(\alpha_i),0}^{+},x_{s_i(\alpha_j),0}^{+}], &\text{если}\;\,a_{ij}=\pm1,\\ \phantom{-}x_{\alpha_j,0}^{+}, &\text{если}\;\, a_{ij}=0; \end{cases}, \\ T_i(x_{\alpha_j,0}^{-})&=\begin{cases} -x_{s_i(\alpha_i,0)}^{+}, &\text{если}\;\, i=j,\\ \kern4.6pt[x_{s_i(\alpha_i),0}^{-},x_{s_i(\alpha_j),0}^{-}], &\text{если}\;\,a_{ij}=\pm1,\\ \phantom{-}x_{s_i(\alpha_j),0}^{-}, &\text{если}\;\, a_{ij}=0; \end{cases} \\ T_i(h_{\alpha_j,0})&=\begin{cases} -h_{s_i(\alpha_i),0}, &\text{если}\;\,i=j,\\ \phantom{-}h_{s_i(\alpha_i),0}+h_{s_i(\alpha_j),0}, &\text{если}\;\,a_{ij}=\pm1,\\ \phantom{-}h_{s_i(\alpha_j),0}, &\text{если}\;\,a_{ij}=0; \end{cases} \\ T_i(x_{\alpha_j,1}^{+})&=\begin{cases} -x_{s_i(\alpha_i),1}^{-}, &\text{если}\;\, i=j,\\ \kern4.6pt[x_{s_i(\alpha_i),0}^{+},x_{s_i(\alpha_j),1}^{+}], &\text{если}\;\, a_{ij}=\pm1,\\ \phantom{-}x_{s_i(\alpha_j),1}^{+}, &\text{если}\;\, a_{ij}=0; \end{cases} \\ T_i(x_{\alpha_j,1}^{-})&=\begin{cases} -x_{s_i(\alpha_i),1}^{+}, &\text{если}\;\, i=j,\\ -[x_{s_i(\alpha_i),0}^{-},x_{s_i(\alpha_j),1}^{-}], &\text{если}\;\, a_{ij}=\pm1,\\ \phantom{-}x_{s_i(\alpha_j),1}^{-}, &\text{если}\;\, a_{ij}=0; \end{cases} \\ T_i(\tilde h_{\alpha_j,1})&=\begin{cases} -\tilde h_{s_i(\alpha_i),1}, &\text{если}\;\, i=j,\\ \phantom{-}\tilde h_{s_i(\alpha_j),1}^{}+\tilde h_{s_i(\alpha_i),1}^{}+ \dfrac{\hbar}{2}\{x_{s_i(\alpha_i),0}^{+},x_{s_i(\alpha_i),0}^{-}\}, &\text{если}\;\, a_{ij}=\pm1,\\ \phantom{-}\tilde h_{s_i(\alpha_i),1}, &\text{если}\;\, a_{ij}=0. \end{cases} \end{aligned} \end{equation*} \notag $$

Отметим, что квантовые отражения относительно нечетных корней (квантовые “нечетные отражения”) являются четными отображениями, т. е. морфизмами в суперкатегории суперянгианов или в суперкатегории квантового группоида Вейля.

Доказательство теоремы 3 сугубо техническое и сводится к проверке того, что определенные выше отображения $T_{\alpha_i}$ совместны с определяющими соотношениями суперянгиана $Y_{\hbar}(\widehat{sl}(m,n))$. Часть необходимых для доказательства вычислений была проделана в работах [21], [15].

Как уже отмечалось, мы здесь не рассматриваем операцию коумножения на аффинном суперянгиане и собираемся исследовать вопрос о структурах супералгебры Хопфа на аффинном суперянгиане в отдельной работе. Тем не менее приведем следующий результат.

Таким же образом можно рассмотреть категорию аффинных $\hbar$-суперянгианов вида $Y_{\hbar}(\mathfrak{g}^{(1)}(\Pi,E,p))$, где $\mathfrak{g}^{(1)}(\Pi,E,p))$ – аффинная супералгебра Ли типа $A^{(1)}(m,n)=\widetilde{sl}(m+1, n+1)$, морфизмы которой порождаются изоморфизмами $T_{\alpha_i}$. Собственно, определенную выше категорию мы и называем квантовым группоидом Вейля. Наша конструкция является аналогом таких же категорийных конструкций квантовых группоидов, данных в работах [7], [8]. Другими словами, группоид Вейля порождается отображениями вида $T_{\alpha_j}$. В частности, мы показали, что все объекты этой категории изоморфны как ассоциативные супералгебры. Отметим, что доказательство как этой теоремы, так и других результатов настоящей работы, основано на использовании введенного выше минималистского представления аффинного суперянгиана, точнее, на использовании минималистской системы образующих и определяющих соотношений. Дальнейшие применения квантового группоида Вейля для аффинного суперянгиана мы планируем представить в следующей работе.

Конфликт интересов

Авторы заявляют, что у них нет конфликта интересов.

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{VolStu23}

\by В.~Д.~Волков, В.~А.~Стукопин

\paper Аффинный суперянгиан и~квантовый группоид Вейля

\jour ТМФ

\yr 2023

\vol 216

\issue 3

\pages 476--489

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/tmf10455}

\crossref{https://doi.org/10.4213/tmf10455}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4634827}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2023TMP...216.1313V}

\transl

\jour Theoret. and Math. Phys.

\yr 2023

\vol 216

\issue 3

\pages 1313--1325

\crossref{https://doi.org/10.1134/S0040577923090064}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85172363304}